2017春八年级数学下册4.1因式分解教学课件(新版)北师大版
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4.1因式分解(共15张PPT)北师大版初中数学八年级下册
课堂小结
布置作业
教科书第94页
习题4.1第1、2、3、4
结同
再
束学
见
们
4.1 因式分解
八年级下册
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
学
习
目
标
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
创设情境
问题导入
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
归纳
因式分解
探究新知
多项式
应用新知
整式乘法与因式分解是互为逆变形.
巩固新知
课堂小结
布置作业
整式乘法
整式乘积
创设情境
课堂练习
判断
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
否
. ( − ) = −
. 2 − 1 + 2 = ( − 1)( + 1) + 2
. 2 − 1 = ( − 1)( + 1) 是
. + + = ( + ) + 否
1
E. 2
x
−1
1
=(
x
−
11)(x+ 1)否否
创设情境
能力提升
思考
若多项式 2 + + 分解因式的结果为 ( − 2)( + 3) ，
探究新知
应用新知
布置作业
教科书第94页
习题4.1第1、2、3、4
结同
再
束学
见
们
4.1 因式分解
八年级下册
1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法.
学
习
目
标
2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观.
3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系.
4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
创设情境
问题导入
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
归纳
因式分解
探究新知
多项式
应用新知
整式乘法与因式分解是互为逆变形.
巩固新知
课堂小结
布置作业
整式乘法
整式乘积
创设情境
课堂练习
判断
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
探究新知
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
否
. ( − ) = −
. 2 − 1 + 2 = ( − 1)( + 1) + 2
. 2 − 1 = ( − 1)( + 1) 是
. + + = ( + ) + 否
1
E. 2
x
−1
1
=(
x
−
11)(x+ 1)否否
创设情境
能力提升
思考
若多项式 2 + + 分解因式的结果为 ( − 2)( + 3) ，
探究新知
应用新知
八年级数学下册 4.1 因式分解课件 (新版)北师大版
能力提升 拓展应用
１当 a 3.14,b 2.386,c 1.386时， 求ab ac的值 .
解: ab-ac=a(b-c) 当a=3.14, b=2.386, c=1.386时, 原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
2. 20082+2009能被2008整除吗? 解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
用a表示任意一个大于1的整数，则：
a3 a a a2 a a (a 2 1) a (a 1)(a 1) (a 1) a (a 1)
上面式子化成了几个整式积的形式
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解定义
• 把一个多项式化成几__个__整__式__的__积__的 形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式，也叫因式分解。
探究993-99能被100整除吗?
小明是这样想的: 993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗?
想一想: 993-99还能被哪些整数整除? 答： 98， 99
将99换成其他任意一个大于1 的整数,上述结论仍然成立吗?
第四1） 736×95+736×5 解 ：736×95+736×5=736×（95+5） =736×100=73600
-2.67× 132+25×2.67+7×2.67=
（2）-2.67× 132+25×2.67+7×2.67 解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67 =2.67×（-132+25+7）=2.67×（-100）=-267
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
北师大版八年级下册数学《因式分解》PPT教学课件
合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )
4-1 因式分解(课件)八年级数学下册(北师大版)
B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
随堂练习
3.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
பைடு நூலகம்
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
4. 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．a2＋1＝a(a＋
1
)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
探究新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低
于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂练习
A．6
B．2017
C．2016
D．2015
随堂练习
5.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( B )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
随堂练习
7. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
(2)2a3b2c+4ab3c-abc
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
随堂练习
9.将下列各式分解因式
C．10x2－5x＝5x(2x－1)
D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
随堂练习
3.把x2－3xy2分解因式，结果正确的是( D )
A．(x＋3xy)(x－3xy)
பைடு நூலகம்
B．x(x－3xy)
C．x2(1－3xy2)
D．x(x－3y2)
4. 20162－2016不能被下列哪个数整除？( B )
A．a2＋1＝a(a＋
1
)
a
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
探究新知
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低
于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
随堂练习
A．6
B．2017
C．2016
D．2015
随堂练习
5.若x2＋3x＋m＝(x＋1)(x＋2)，则m的值为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
6. 一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么
这个多项式是( B )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
随堂练习
7. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果( C )
(2)2a3b2c+4ab3c-abc
=abc·2a2b+abc·4b2-abc·1
=abc (2a2b+4b2-1)
随堂练习
9.将下列各式分解因式
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计
北师大版八年级下册数学《4.1 因式分解》教学设计一. 教材分析《4.1 因式分解》是北师大版八年级下册数学的一章内容。
本章主要介绍了因式分解的概念、方法和应用。
因式分解是初中学过的最复杂的整式运算，也是中学数学中重要的思想方法。
本章内容对于学生来说，既是对之前所学知识的巩固，也是为之后学习更高级数学打下基础。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了整式的加减、乘法、除法等基本运算，同时也学习过一些简单的因式分解方法。
但是，对于八年级的学生来说，因式分解仍然是一个比较困难的问题，需要通过实例讲解和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法，能够运用因式分解解决实际问题。
2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生观察、分析、归纳的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和毅力，使学生感受到数学的美丽和实用性。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：如何运用因式分解解决实际问题。
五. 教学方法采用讲解法、示例法、练习法、讨论法等教学方法，通过实例讲解、练习和讨论，使学生理解和掌握因式分解的方法和应用。
六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出因式分解的概念和方法。
例如，讲解“分解因数”的概念，让学生初步了解因式分解的意义。
2.呈现（15分钟）讲解因式分解的基本方法，如提公因式法、公式法等。
通过示例，让学生观察和分析因式分解的过程，引导学生主动思考和探究。
3.操练（15分钟）让学生分组进行练习，互相讨论和交流因式分解的方法。
教师巡回指导，解答学生的疑问，及时给予反馈和评价。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些因式分解的题目，巩固所学知识。
教师选取部分学生的作业进行讲解和分析，指出其中的错误和不足。
北师大版初中八年级下册数学课件 《提取公因式法》因式分解PPT(第1课时)
举一反三
2. 利用分解因式计算：（-2）²ºº¹+（-2）²ºº²× 1 2
解：（-2）²ºº¹+（-2）²ºº²×1 =（-2）²ºº¹×[1-(-2) ×] 2
1
=（-2）²ºº¹×0
2
=0
随堂检测
1.下列各式中,没有公因式的是( C )
A.ab-bc
B.y²-y
C.x²+2x+1 D.mn²-nm+m²
D
3. 把首项系数变为正数.
（1）-2x²y-2xy²=-（）
（2）-2x²+3x-1=-（） 2x²y+2xy²
2x²-3x+1
活动探究
探究点一 问题1：多项式ac+bc每项含有哪些因式？有相同的因式吗？3x²+x呢？ mb²+nb+b呢？ 解：多项式ac+bc的ac项含因式a、c、ac；bc项含因式b、c、bc.相同因式：c 多项式3x²+x含因式3、x、x²3x、3x²相同因式：x 多项式mb²+nb+b含因式m、b、b²mx²、n；相同因式：b
4.2提取公因式法 第1课时
八年级下册
学习目标 1 能确定多项式各项的单项式公因式; 2 会用提公因式法把多项式分解因式.
前置学习
1． 下列各式公因式是a的是（）D
A. ax＋ay＋5B．3ma－6ma²C．4a²＋10abD．a²－2a＋ma
2． －6xyz＋3xy²－9x²y的公因式是（）
A.－3xB．3xzC．3yzD．－3xy
活动探究
探究点二 问题1：把下列各式因式分解： （1）3x+x³；（2）7x³-21x²； （3）8a³b²-12ab³c+ab；（4）-24x³+12x²-28x. 解：（1）原式=3•x+x²•x=x(3+x²); （2）原式=7x²•x+7x²•3=7x² (x-3); （3）原式=ab•8a²b-ab•12b²c+ab=ab(8a²b-12b²c+1); （4）-（24x³-12x²+28x）=-（4x•6x²-4x•3x+4x•7) =-4x(6x²-3x+7).
北师大版八年级数学(下册)优秀教学案例：4.1因式分解
在本章节的教学过程中，我将关注学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的全面发展，努力提高他们的数学素养，为学生的终身发展奠定坚实基础。在教学实践中，注重激发学生的学习兴趣，营造轻松愉快的教学氛围，使他们在愉悦的情感体验中学习数学，感受数学的无穷魅力。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解因式分解的概念和意义，我将通过创设丰富多样的教学情景，引导学生从生活中发现数学的影子。例如，通过实际生活中的物品购买问题，让学生体会因式分解在简化计算方面的作用；或者通过设计有趣的数学故事，将因式分解融入其中，激发学生的学习兴趣。此外，利用多媒体教学手段，如动画、图片等，形象直观地展示因式分解的过程，帮助学生形成直观的认识。
1.例题1：（a+b）×（a+b）
例题2：（x+y）×（x-y）
例题3：a^2+2ab+b^2
2.讨论要求：
（1）各小组讨论并确定解题方法。
（2）各小组派代表展示解题过程及答案。
（3）讨论过程中，鼓励学生提问、质疑，分享解题心得。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的因式分解方法，总结各方法的优缺点及适用场景。
2.因式分解的意义：因式分解可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
3.因式分解的方法：介绍提取公因式法、十字相乘法、平方差公式等常用的因式分解方法。
在讲解过程中，结合具体例题，让学生直观地感受因式分解的过程，并强调各方法的适用条件及注意事项。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会给出几个具有代表性的例题，让学生分组讨论，共同完成因式分解的任务。
北师大版八年级数学（下册）优秀教学案例：4.1因式分解
一、案例背景
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解因式分解的概念和意义，我将通过创设丰富多样的教学情景，引导学生从生活中发现数学的影子。例如，通过实际生活中的物品购买问题，让学生体会因式分解在简化计算方面的作用；或者通过设计有趣的数学故事，将因式分解融入其中，激发学生的学习兴趣。此外，利用多媒体教学手段，如动画、图片等，形象直观地展示因式分解的过程，帮助学生形成直观的认识。
1.例题1：（a+b）×（a+b）
例题2：（x+y）×（x-y）
例题3：a^2+2ab+b^2
2.讨论要求：
（1）各小组讨论并确定解题方法。
（2）各小组派代表展示解题过程及答案。
（3）讨论过程中，鼓励学生提问、质疑，分享解题心得。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的因式分解方法，总结各方法的优缺点及适用场景。
2.因式分解的意义：因式分解可以帮助我们简化计算，解决实际问题。
3.因式分解的方法：介绍提取公因式法、十字相乘法、平方差公式等常用的因式分解方法。
在讲解过程中，结合具体例题，让学生直观地感受因式分解的过程，并强调各方法的适用条件及注意事项。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会给出几个具有代表性的例题，让学生分组讨论，共同完成因式分解的任务。
北师大版八年级数学（下册）优秀教学案例：4.1因式分解
一、案例背景
因式分解北师大数学八年级下册PPT课件
B. − + = − +
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
C. − = −
D. + = + +
）
课堂检测
基础巩固题
2.
如果多项式
+
么另一个因式是（ B
）
A. c−b+5ac
B.c+b−5ac
1
C. ac
5
1
D. ac
5
− 的一个因式是 ,那
= ( + ) − ( − ) −
= ++ +− −+ −−
∵ , , 是△ABC的三边，
∴ + + > ， + − > ， − + > ， − − < ，
∴原式< ，即( + − ) − < .
北师大版 八年级 数学 下册
4.1 因式分解
导入新知
630可以被哪些整数整除？
解决这个问题，需要对630进行分解质因数
= × × ×
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项
式可以分解成几个整式的积吗？
素养目标
2. 理解因式分解与整式乘法之间的联系与区
别.
1. 理解掌握因式分解的意义，会判断一个变
.
探究新知
3.观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
（2）
x
x
x
x+1
1
x
1
1
1
x+1
+ +
＝
北师大版初二数学下册数学八年级下北师大第四章因式分解
=m(m-n)(n+m-n) =m²(m-n);
6.(x+y+z)²-(x-y-z)²=(x+y+z+x-y-z)(x+y+z-x+y+z) =2x(2y+2z)
7.4xy²-4x²y-y³=y(4xy-4x²-y²)
8.x²-6x+8=(x-2)(x-4)
1.把下列各式分解因式. （1） 5a²-20b²； （2） p²(a-1)+p(1-a)²； （3）a²(x-y) + 9b²（y-x）; （4）(a²-4)²+6(a²-4)+9 .
1. b²- 2b-8=b (b-2 ) – 8; 2. 2x3 4x 2 2x =2x(x²+2x); 3.x(x+y)(x-y)-x(x+y)²=x(x+y)(x-y-x-y); 4.p4 - 1=(p²+1)(p²-1); 5.mn(m-n)-m(n-m)²=mn(m-n)+m(m-n)²
提公因式法 运用公式法
平方差公式 a2 b2 (a b)(a b)
完全平方公式 a2 2ab b2 (a b)2
如果把乘法公式反过来，那 么就可以用来把某些多项式 分解因式，这种分解因式的 方法叫做运用公式法。
下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？你能从中得到什么启示？
2.你能把下列各式分解因式吗？
（1）x²-y²-2y-1 (2) m²-4mn+3n²
解:(1)原式=x²-(y²+2y+1 ) =x²-(y+1) ² =（x+y+1)(x-y-1)
(2)原式= m²-4mn+4n²-n² =(m-2n) ²-n² =(m-2n+n)(m-2n-n) =(m-n)(m-3n)
6.(x+y+z)²-(x-y-z)²=(x+y+z+x-y-z)(x+y+z-x+y+z) =2x(2y+2z)
7.4xy²-4x²y-y³=y(4xy-4x²-y²)
8.x²-6x+8=(x-2)(x-4)
1.把下列各式分解因式. （1） 5a²-20b²； （2） p²(a-1)+p(1-a)²； （3）a²(x-y) + 9b²（y-x）; （4）(a²-4)²+6(a²-4)+9 .
1. b²- 2b-8=b (b-2 ) – 8; 2. 2x3 4x 2 2x =2x(x²+2x); 3.x(x+y)(x-y)-x(x+y)²=x(x+y)(x-y-x-y); 4.p4 - 1=(p²+1)(p²-1); 5.mn(m-n)-m(n-m)²=mn(m-n)+m(m-n)²
提公因式法 运用公式法
平方差公式 a2 b2 (a b)(a b)
完全平方公式 a2 2ab b2 (a b)2
如果把乘法公式反过来，那 么就可以用来把某些多项式 分解因式，这种分解因式的 方法叫做运用公式法。
下列各式的因式分解是否正确？如果不正确， 应怎样改正？你能从中得到什么启示？
2.你能把下列各式分解因式吗？
（1）x²-y²-2y-1 (2) m²-4mn+3n²
解:(1)原式=x²-(y²+2y+1 ) =x²-(y+1) ² =（x+y+1)(x-y-1)
(2)原式= m²-4mn+4n²-n² =(m-2n) ²-n² =(m-2n+n)(m-2n-n) =(m-n)(m-3n)
北师大版 八年级下册 4.1因式分解课件 (共20张PPT)
分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
跟踪训练
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右 的变形是 整式乘法 ，从右到左的变是 因式分解；
nm m
（2）根据下图写出一个因式分解的算式为 _m_n_+_m_2_=m__（__m_+_n_）__.
当堂检测
3.若x2+mx-n分解因式后是(x-2)(x-5)， 求m、n的值.
4.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5
可以.
合作探究
问题1：993-99能被100整除这个吗？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
所以，993-99能被100整除.
问题2：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不 同的方式表示这块草坪的面积吗？
根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1_)_ (2)ma+mb+mc=__m__(a_+__b_+_c_) _ (3) m2-16=_(m__+_4_)_(m__-_4_) (4) x2-6x+9=__(_x_-_3_)2__ (5) a3-a=__a_(_a_+_1_)_(_a_-1_)
跟踪训练
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右 的变形是 整式乘法 ，从右到左的变是 因式分解；
nm m
（2）根据下图写出一个因式分解的算式为 _m_n_+_m_2_=m__（__m_+_n_）__.
当堂检测
3.若x2+mx-n分解因式后是(x-2)(x-5)， 求m、n的值.
4.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5
可以.
合作探究
问题1：993-99能被100整除这个吗？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
所以，993-99能被100整除.
问题2：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不 同的方式表示这块草坪的面积吗？
根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1_)_ (2)ma+mb+mc=__m__(a_+__b_+_c_) _ (3) m2-16=_(m__+_4_)_(m__-_4_) (4) x2-6x+9=__(_x_-_3_)2__ (5) a3-a=__a_(_a_+_1_)_(_a_-1_)
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案
北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。
因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。
但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。
2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。
3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。
2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。
3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。
引导学生了解各种方法的特点和应用。
3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
北师大版八年级下册4.1因式分解(教案)
举例Байду номын сангаас释：
-难点在于如何引导学生从多项式中提取公因式，例如在多项式4x² + 5x + 1中找出公因式。
-解释平方差公式和完全平方公式的适用条件，通过具体题目（如将x² - 6x + 9分解为(x - 3)²）来帮助学生识别和运用这些公式。
-在解决综合问题时，如求解含绝对值符号的方程，指导学生如何先进行因式分解，再根据不同情况讨论解的取值。
2.教学难点
-找出多项式的公因式：学生在寻找多项式的公因式时可能存在困难，特别是在多项式项数较多时。
-判断并运用平方差公式和完全平方公式：学生需要理解平方差和完全平方的结构特点，才能准确应用这些公式进行因式分解。
-灵活运用因式分解解决综合问题：学生需要将因式分解与其他数学知识（如方程、不等式等）结合，解决更复杂的数学问题。
2.提高学生的数学运算能力：使学生能够熟练运用提公因式法、平方差公式和完全平方公式进行因式分解，简化数学表达式，提高解题效率。
3.增强学生的数学建模意识：培养学生将现实问题转化为数学问题，通过因式分解解决实际问题的能力，提高数学建模素养。
4.培养学生的合作交流能力：在小组讨论和互动中，使学生学会倾听、表达、交流与合作，提高团队协作能力。
北师大版八年级下册4.1因式分解（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级下册第四章第一节“因式分解”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.因式分解的概念与意义：使学生理解因式分解的定义，掌握因式分解在简化计算、解决方程中的应用。
2.因式分解的方法与步骤：引导学生掌握以下几种因式分解方法：
（1）提公因式法：找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
平方差公式和完全平方公式的应用对学生而言也是一个难点。我发现他们在判断何时使用这些公式方面存在困难。在今后的教学中，我可以设计一些更具针对性的练习，让学生在不同的情境中应用这些公式，从而提高他们的识别和应用能力。
-难点在于如何引导学生从多项式中提取公因式，例如在多项式4x² + 5x + 1中找出公因式。
-解释平方差公式和完全平方公式的适用条件，通过具体题目（如将x² - 6x + 9分解为(x - 3)²）来帮助学生识别和运用这些公式。
-在解决综合问题时，如求解含绝对值符号的方程，指导学生如何先进行因式分解，再根据不同情况讨论解的取值。
2.教学难点
-找出多项式的公因式：学生在寻找多项式的公因式时可能存在困难，特别是在多项式项数较多时。
-判断并运用平方差公式和完全平方公式：学生需要理解平方差和完全平方的结构特点，才能准确应用这些公式进行因式分解。
-灵活运用因式分解解决综合问题：学生需要将因式分解与其他数学知识（如方程、不等式等）结合，解决更复杂的数学问题。
2.提高学生的数学运算能力：使学生能够熟练运用提公因式法、平方差公式和完全平方公式进行因式分解，简化数学表达式，提高解题效率。
3.增强学生的数学建模意识：培养学生将现实问题转化为数学问题，通过因式分解解决实际问题的能力，提高数学建模素养。
4.培养学生的合作交流能力：在小组讨论和互动中，使学生学会倾听、表达、交流与合作，提高团队协作能力。
北师大版八年级下册4.1因式分解（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级下册第四章第一节“因式分解”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.因式分解的概念与意义：使学生理解因式分解的定义，掌握因式分解在简化计算、解决方程中的应用。
2.因式分解的方法与步骤：引导学生掌握以下几种因式分解方法：
（1）提公因式法：找出多项式中的公因式，并将其提取出来。
平方差公式和完全平方公式的应用对学生而言也是一个难点。我发现他们在判断何时使用这些公式方面存在困难。在今后的教学中，我可以设计一些更具针对性的练习，让学生在不同的情境中应用这些公式，从而提高他们的识别和应用能力。
北师大版初中八年级下册数学课件 《公式法》因式分解PPT(第1课时)
强化训练
2. 证明：任意两奇数的平方差能被8整除. 证明：设任何奇数为2m＋1,2n＋1(m,n是整数） 则(2m＋1) ²-(2n＋1) ² ＝（2m＋1＋2n+1）（2m-2n） ＝4(m-n)(m+n＋1) 可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可， 若m,n都是奇数或偶数，则m-n为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)能被8整除， 若m,n都为一奇一偶，则m+n+1为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)也能被8整除， 所以，任意的两个奇数的平方差能被8整除.
解：∵b²+2ab=c²+2ac， ∴b²－c²+2ab－2ac=0， ∴（b+c）（b－c）+2a（b－c）=0， （b－c）（b+c+2a）=0． ∵a，b，c为三角形三边，所以b+c+2a＞0， ∴b－c=0，即b=c．所以△ABC为等腰三角形．
课堂小结
1.平方差公式运用的条件： （1）二项式 （2）两项的符号相反 （3）每项都能化成平方的形式 2.公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式 3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.
强化训练
1.已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a²c²－b²c²＝a4-b4，是判断∆ABC的形状. 解：a²c²-b²c²=a4-b4， a²c²-b²c²-a4+b4=0， c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0 (a²-b²)(c²-a²-b²)=0 (a＋b) (a-b)(c²-a²-b²)=0 其中a＋b≠0， ∴a-b=0或c²-a²-b²=0 ∴a²＋b²=c²或a＝b. ∆ABC是直角三角形,或∆ABC是等腰直角三角形.
北师大版八年级数学下册第四章《4.1 因式分解(1)》公开课课件
练习三 拓展应用
1. 计算: 7652×17－2352 ×17 解: 7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000
2. 20042 +2004 能被2005 整除吗?
解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/29
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
北师大版初中八年级下册数学：第四章 因式分解 复习课件
观察上面这五道题的解题过程，你有什么 发现？
• a2+a=a（a+1） • a2-b2=（a+b）（a-b） • a2-2ab+b2=（a-b）2
• a2b-ab2=ab（a-b）
• ma＋mb=m（a＋b） • 我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫做多
项式的因式分解。
多项式的因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式 的积的形式，叫做把这个多项式 分解因式。
第四章 因式分解 复习课件
（一）【教学目标】 1、认知目标： （1）理解因式分解的意义和概念。 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反方向的恒等 变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法，培 养学生创编因式分解题目的能力。 （3）掌握因式分解的基本方法：提公因式法、公式法。明确 用公式法分解因式就是逆用乘法公式，进一步提高代数式的恒 等变形能力。 2、能力目标：在因式分解的教学中，注意揭示数学中的可逆 关系，培养学生的辨证思维以及创造性思维能力，提高学生的 综合运用能力。 3、情感目标：培养学生独立思考，勇于探索的精神和实事求 是的科学态度。激发学习兴趣，使学生满腔热忱，科学积极地 投入到这部分内容的学习，让学生体验到成功的喜悦。
例2:把下列各多项式分解因式：
（1）（x+z）²- （y+z）² （2）4（a+b）²-25（a-b）² （3）（x+y+z）²-（x-y-z ）² （4）（4a+5b）2-（2a-b）2 （5）9x2-（x-2y）2
ห้องสมุดไป่ตู้
例3：下列各式是否为完全平方式：
• ① x 2 2xy y 2
• ② 4a2 4ab 2b2
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(m+4)(m-4) (3) m2-16=__________ 2 2 ( x -3) (4) x -6x+9=________
a(a+1)(a-1) (5) a3-a=___________
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同? 答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)
第四章 Байду номын сангаас式分解
4.1 因式分解
复习 导入
合作 探究 课堂 小结 随堂 训练
复习导入
1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式 (2)单项式乘以多项式 (3)多项式乘以多项式 2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式 (2)完全平方公式
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合作探究
993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流. 小明是这样想的:
2.分接的结果一定是几个整式 的乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
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随堂训练
1.判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法 (3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解 (5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-42=(m+4)(m-4) 因式分解 (7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r) 因式分解
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2.把下列各式写成乘积的形式: =(1+x)(1-x) (1). 1-x2 (2). 4a2+4a+1 =(2a+1)2 =4x(x-2) (3). 4x2-8x (4). 2x2y-6xy2 =2xy(x-3y)
(5). 1-4x2 (6). x2-14x+49
=(1-2x)(1+2x) =(x-7)2
4. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004=2004(2004+1) =2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除
99 99 99 99 99 1
3 2
99(992 1) 99 9800 98 99 100 所以, 99 99能被100整除 .
3
你知道每一步 的根据吗? 想一想: 99399还能被哪些 整数整除?
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计算下列各式: x (1) 3x(x-1)= 3x2 - 3__,
的变形与上面的变形互为逆过程.
分解因式定义:
把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形
叫做把这个多项式分解因式.
想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?
善于辨析：分解因式与整式乘法
有什么关系? 分解因式
二者是互逆的恒等变形
课堂小结
• 分解因式与整式乘法是互逆过程.
• 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
根据左面算式填空: 3x(x-1) (1) 3x2-3x=_________
m a+b+c) _( ________ (2) m(a+b+c) = ma+mb+mc ______, (2)ma+mb+mc=__
2 -16 m (3)(m+4)(m-4)= _____,
(4)(x-3)2= x2-6x+9 , (5)a(a+1)(a-1)= a3__, a