2019届高考数学知识点总结易错题题库教师版 (8)

P C
D
（4）
2019届高考数学知识点总结易错题题库教师版
1．一个圆锥形的空杯子上面放着一个球形的冰淇淋，圆锥底的直径与球的直径相同均为10，如果冰淇淋融化后全部流在空杯子中，并且不会溢出杯子，则杯子的高度最小为___ 20_____
2． 定义在区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛
20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_____23____ 3. 已知数列}{n b 满足11=b ，x b =2)(*N x ∈， ),2(||*11N n n b b b n n n ∈≥-=-+.
①若2=x ，则该数列前10项和为_____9____；
②若前100项中恰好含有30项为0，则x 的值为____6或7或8_____.
4. 如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P 是BC 中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为____92+π__________．
（5）
5．已知函数),3[)(+∞-的定义域为
x f ，且2)3()6(=-=f f .'()f x 为()f x 的导函数， '()f x 的图像如右图所示.若正数,a b 满足(2)2f a b +<，则32
b a +-的取值范围是 3(,)(3,)2-∞-⋃+∞ 6．设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x =
，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是 ． 21(,]e
e -∞+
7．已知向量OB ＝(2，0)， OC ＝(2，2)， CA ＝(cos α，sin α)( α∈R)，则OA 与OB 夹角的取值范围是 [15°,75°]
8.设直线系)20(1sin )2(cos :πθθθ≤≤=-+y x M ,则下列命题中真命题的个数是 5 个
① 存在一个圆与所有直线相交
② 存在一个圆与所有直线不相交
③ 存在一个圆与所有直线相切
④ M 中所有直线均经过一个定点
⑤存在定点P 不在M 中的任一条直线上
⑥对于任意整数)3(≥n n ，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上
⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
9．已知x
x x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2f x g x >+
； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
解：（1） x x x f ln )(-=，x
x x x f 111)(-=-=' ∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减
当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增
∴()f x 的极小值为1)1(=f
（2） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1，
∴ 0)(>x f ，min ()1f x = 令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，x
x x h ln 1)(-='， 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ∴min max |)(|12
121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f x g x >+
（3）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-= ① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=
（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a
上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a a
f x f ，2e a =，满足条件. ③ 当e a ≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4=（舍），此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.
10．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝3n ．设b n ＝a n －14×3n ． （1）求证：数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的前n 项的和；
（3）设T 2n ＝1a 1＋1a 2＋1a 3…＋1a 2n ，求证：T 2n ＜3．
（1）证明：由a n ＋a n ＋1＝3n ，得a n ＋1－14×3n ＋1＝－（a n －14×3n ）．
即b n ＋1＝－b n ．b 1＝a 1－34＝14．所以数列{b n }是首项为14
，公比为－1的等比数列． （2）解：由b n ＝14×（－1）n －1，得a n －14×3n ＝14
×（－1）n －1， a n ＝14×3n ＋14×（－1）n －1＝14
×[3n ＋（－1）n －1]． S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝14[3＋32＋33＋…＋3n ＋（－1）0＋（－1）1＋（－1）2＋…＋（－1）n －1]
＝14[3n ＋1－32＋1＋（－1）n ＋12
] （3）证明：T 2n ＝1a 1＋1a 2 ＋1a 3＋1a 4…＋1a 2n －1＋1a 2n
＝4（13＋1＋132－1＋133＋1 ＋134－1 ＋…＋132 n －1＋1＋132 n －1
） ＝4[（13＋1＋133＋1 ＋…＋132 n －1＋1）＋（132－1＋134－1＋…＋132 n －1）] ＜4[（13＋133 ＋…＋132 n －1）＋（132－1＋134－1＋…＋132 n －1
）]． 因为32 n －1＞32 n －1（n ∈N*），所以132 n －1
＜132 n －1（n ∈N*）． 所以132－1＋134－1＋…＋132 n －1＜13＋133 ＋…＋1
32 n －1
． 所以T 2n ＜8（13＋133 ＋…＋132 n －1）＝8×13（1－19n ）1－19
＝3（1－19n
）＜3．。