抛物线的几何性质--导学案
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案答案
3.3.2 抛物线的简单几何性质 第1课时 抛物线的简单几何性质【课前预习】知识点一向右 向左 向上 向下 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R x 轴 y 轴 (0,0) e=1 诊断分析(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)抛物线不关于原点对称. (2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,抛物线没有对称中心. (3)抛物线的离心率均为1.知识点二1.(2)焦点弦 x 0+p2 p2-x 0 y 0+p2 p2-y 0 2.2p 诊断分析(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)抛物线x 2=4y ,y 2=4x 的焦点到准线的距离都是2,是相同的,离心率都是1,也相同. (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (3)抛物线y 2=2px (p>0)的焦半径长|PF|=x 1+p2. 【课中探究】探究点一例1 解:(1)由y 2=8x ,得p=4,变量x 的范围为x ≥0,∴该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x 轴.(2)椭圆的方程可化为x 24+y 29=1,其短轴在x 轴上,∴抛物线的对称轴为x 轴,∴设抛物线的方程为y 2=2px 或y 2=-2px ,其中p>0.∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,即p2=3,∴p=6,∴抛物线的标准方程为y 2=12x 或y 2=-12x ,其准线方程为x=-3或x=3.变式 解:(1)设AB 与x 轴交于点E ,则由|AB|=2得E (√3,0),∴A (√3,1).设抛物线的方程为y 2=2px (p>0),则1=2p ·√3,∴2p=√33,∴抛物线的方程为y 2=√33x.(2)由(1)知2p=√33,∴p 2=√312,∴抛物线的焦点坐标为(√312,0),准线方程为x=-√312,离心率e=1.探究点二例2 解:(1)因为直线l 的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=√3,又F (32,0),所以直线l 的方程为y=√3(x -32).由{y 2=6x ,y =√3(x -32),消去y 得x 2-5x+94=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p , 所以|AB|=5+3=8.(2)结合(1)知|AB|=|AF|+|BF|=x 1+p2+x 2+p2=x 1+x 2+p=x 1+x 2+3=9,所以x 1+x 2=6,于是线段AB 的中点M 的横坐标是3,又准线方程是x=-32,所以点M 到准线的距离为3+32=92.变式 AD [解析] 设直线AB 的方程为x=ty+p 2,将x=ty+p2代入y 2=2px ,得y 2-2pty-p 2=0,则y 1+y 2=2pt ,y 1y 2=-p 2,x 1+x 2=t (y 1+y 1)+p=2pt 2+p ,x 1x 2=y 12y 224p2=p24.当直线AB 与x 轴垂直时,t=0,|AB|最小,故A 中说法正确;1|AF |+1|BF |=1x 1+p 2+1x 2+p 2=x 1+x 2+px 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=2p,故B 中说法错误;以弦AB 为直径的圆的圆心为(x 1+x 22,y 1+y 22),半径为12|AB|=12(x 1+x 2+p )=pt 2+p ,圆心到准线的距离d=12(x 1+x 2)+12p=pt 2+p=12|AB|,所以圆与准线x=-p 2相切,故C 中说法错误;y 1y 2=-p 2,故D 中说法正确.故选AD .探究点三例3 (1)A (2)2√2 [解析] (1)依据抛物线的对称性,以及等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y 2=4x 上,可设另外两个顶点的坐标分别为(m 24,m),(m 24,-m)(m>0),∴tan 30°=√33=mm 24,解得m=4√3,故这个等边三角形的边长为2m=8√3.故选A .(2)因为抛物线C 的方程为y 2=4√2x ,所以2p=4√2,可得p2=√2,所以焦点为F (√2,0),准线方程为x=-√2,又P 为抛物线C 上一点,且|PF|=3√2,所以点P 到准线x=-√2的距离为3√2,所以x P =3√2-√2=2√2,所以y P 2=4√2×2√2=16,所以|y P |=4,所以S △POF =12×|OF|×|y P |=12×√2×4=2√2.变式 (1)B [解析] 根据题意,可得F (1,0),准线方程为x=-1.不妨设A (x ,y )(y>0),∵|AQ|=43,∴x+1=43,∴x=13,∴A (13,2√33),∴直线AF 的方程为2√33-0=x -113-1,即y=-√3(x-1).将x=-1代入y=-√3(x-1)中,可得y=2√3,∴B (-1,2√3).将y=2√3代入y 2=4x 中,可得x=3,∴P (3,2√3).△PBF 的周长C △PBF =|FB|+|PF|+|PB|,又|FB|=√22+(2√3)2=4,|PF|=|PB|=4,∴C △PBF =12.故选B .(2)解:设点A (x 0,y 0)(x 0>0),由题意可知点B (x 0,-y 0).∵抛物线的焦点F (p2,0)是△AOB 的垂心,∴AF ⊥OB ,∴k AF ·k OB =-1,即y 0x 0-p2·(-y 0x 0)=-1,∴y 02=x 0(x 0-p 2).又y 02=2px 0,∴x 0=2p+p 2=5p2, ∴直线AB 的方程为x=5p2.。
抛物线的简单性质导学案
§2.3* 抛物线的简单性质【合作探究】1. 抛物线的焦半径：抛物线上任意一点P ),(00y x 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径.由抛物线的定义知，焦半径|PF |的长度，等于点P ),(00y x 到抛物线准线的距离，例如： （1）抛物线)0(22>=p px y ，|PF |=00--22p px x =+（） ； 类比可知： 2. = .3.直线与抛物线的位置关系：（1）相交（ 或 个公共点）；相离（ 个公共点）；相切（ 个公共点）.（2）对于抛物线C ：)0(22>=p px y 和直线b kx y l +=:①当0=k ，即直线平行于对称轴时，直线与抛物线有 个交点.它们相 . ②当0≠k ，联立⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22，消去y ，得到关于x 的二次方程k 2x 2+2（km-p ）x+m 2=0（Ⅰ）若0>∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 . （Ⅱ）若0=∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 . （Ⅲ）若0<∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 .（3）综上，直线与抛物线有1个交点，则它们相交（直线平行于对称轴）或相切；直线与抛物线有2个交点，则它们相交（直线不平行于对称轴）；直线与抛物线有0个交点，则它们相离（k 不存在时，直线与抛物线的位置关系如何？ ） 3. 直线与抛物线的位置关系：（1）相交（ 或 个公共点）；相离（ 个公共点）；相切（ 个公共点）.（2）对于抛物线C ：22(0)y px p =>和直线:l x my a =+①当0k =，即直线平行于对称轴时，直线与抛物线有 个 交点.它们相 . ②当0≠k ，联立22x my a y px=+=⎧⎨⎩，消去y ，得到关于x 的二次方程y 2+2mpy-2pa=0（Ⅰ）若0>∆，直线与抛物线有 个交点，它们 相 . （Ⅱ）若0=∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 . （Ⅲ）若0<∆，直线与抛物线有 个交点，它们相 .（3）综上，直线与抛物线有1个交点，则它们相交（直线平行于对称轴）或相切；直线与抛物线有2个交点，则它们相交（直线不平行于对称轴）；直线与抛物线有0个交点，则它们相离 4．相交弦设抛物线C ：)0(22>=p px y 和直线b kx y l +=:有两交点),(),,(2211y x B y x A 相交弦长d=|AB |= = . 【自学检测】1. 抛物线x y 42=上一点P 到直线02=+x 的距离为5，则点P 到抛物线焦点F 的距离为 .2. 抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于两点A ，B 。
高中数学 3.2.2《抛物线的几何性质》导学案 北师大版选修21
2.4.2《抛物线的几何性质》导学案【学习目标】1.抛物线的性质及其灵活运用；2.抛物线的定义在求解最值问题中的运用.【导入新课】复习导入1.抛物线的定义；2.抛物线的方程的推导.新授课阶段1.抛物线的几何性质(1) 抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．(2) 抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3) 抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．具体归纳如下表：特征：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它渐近线;2.抛物线只有对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有顶点、焦点、准线;4.抛物线的离心率是确定的且为1.), 求它的标准例1. 已知抛物线关于x轴对称, 顶点在坐标原点, 并且过点M(2, 22方程.解：例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点,求线段AB 的长.解：课堂小结（一）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义.（二）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（三）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.作业见同步练习部分拓展提升1．抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( )A ．1716B ．1516C ．78D ．0 2．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|MN → |·|MP → |＋MN → ·NP →=0，则动点P （x,y ）的轨迹方程是 （ ）A ．y 2=8xB ．y 2=－8xC ．y 2=4xD ．y 2=－4x3．已知P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，―1），点M 分PA → 所成的比为2，则点M的轨迹方程是（ ）A ．y=6x 2―31B ．x=6y 2－31C ．y=3x 2+31 D ．y=―3x 2―1 4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2=23 x 上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是 .5．对正整数n ，设抛物线x n y )12(22+=，过)0,2(n P 任作直线l 交抛物线于n n B A ,两点，则数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⋅)1(2n OB OA n n 的前n 项和公式是 . 6．焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x ＋1截得的弦长为15 ，求抛物线的标准方程.7．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=x 上移动，AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求出点M 的坐标.8．在直角坐标系中，已知点⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F （p>0）, 设点F 关于原点的对称点为B ，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切.⑴ 点A 的轨迹C 的方程；⑵ PQ 为过F 点且平行于y 轴的曲线C 的弦，试判断PB 与QB 与曲线C 的位置关系.21M M 是曲线C 的平行于y 轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M ，试证明点M 在曲线C 上.参考答案新授课阶段特征 没有 一条 一个 、一个 、一条 例1.例2解：抛物线的焦点 F(1 , 0),1l y x =-直线的方程为：2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ 1212322322 222222x x y y ⎧⎧=+=-⎪⎪⇒⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩或221212AB =(x -x )+(y -y )=8拓展提升1．B 【解析】用抛物线的定义.2．B 【解析】坐标代入.3．B 【解析】用坐标转移法.4．12【解析】有两个顶点关于x 轴对称，进而得到直线的倾斜角是6π和56π. 5．)1(+-n n 【解析】求出数列的通项公式.6．y 2=12x 或y 2=－4x 【解析】设抛物线方程后，用韦达定理及弦长公式. 7．M （52,42）或（52,42-）【解析】数形结合得到当且仅当AB 过焦点时M 到y 轴距离最小．设出此时的直线方程，用弦长公式解得直线AB 的斜率，并得到AB 的坐标.8． 解：(1)设A （x,y ），则22p x 2y )2p x (22+=+-, 化简得：y 2=2px（2）由对称性知，PB 和QB 与曲线C 的位置关系是一致的，由题设，不妨P （p ,2p ） 而1)2p (2p0p k PB =---= ∴直线PB 的方程为y=x+2p ,代入y 2=2px ，消去y 得到关于x 的一元二次方程 x 2+px+4p 2=0,∆=0 ∴直线PB 和QB 均与抛物线相切.（3）由题意设)t ,p 2t (M 21，)t ,p 2t (M 22-，则直线FM 1：)2p x (2p p 2t t y 2--=；直线BM 2：)2px (2p p 2t t y 2++-=联立方程组解得M 点坐标为23t 2p (，)t p 2-， 经检验，)2(2)(2322t pp t p =- ，∴点M 在曲线C 上.。
3.3.2第1课时 抛物线的简单几何性质 导学案正文
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质【学习目标】能类比椭圆、双曲线几何性质的研究方法得到抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质及其代数表达.◆知识点一抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形焦点坐标(p2,0)(-p2,0)(0,p2)(0,-p2)准线方程x=-p2x=p2y=-p2y=p2开口方向范围对称轴顶点坐标离心率【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线关于原点对称.( )(2)抛物线只有一个焦点、一条对称轴,无对称中心. ( )(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )◆知识点二抛物线的焦半径、焦点弦与通径1.焦半径与焦点弦(1)抛物线上一点与焦点F连接的线段叫作焦半径.(2)过抛物线焦点的直线与抛物线相交,直线被抛物线所截得的线段称为抛物线的.设A(x0,y0)为抛物线上任意一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式和焦点弦长|MN|(M(x1,y1),N(x2,y2))为标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦半径|AF|焦点弦长|MN|x1+x2+p-x1-x2+p y1+y2+p-y1-y2+p2.通径经过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线交抛物线于A,B两点,线段AB称为抛物线的通径,通径的长|AB|为.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛物线x2=4y,y2=4x的焦点到准线的距离是相同的,离心率也相同.( )(2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长是p(p>0).( )(3)P(x1,y1)是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,则|PF|=x1+p.( )◆探究点一抛物线的几何性质例1 (1)已知抛物线y2=8x,求出变量x的范围及该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴.(2)抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36的短轴所在的直线重合,抛物线的焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程.变式已知等边三角形AOB的边长为2,O为坐标原点,AB⊥x轴,且点A在第一象限.(1)求以O为顶点且过点A,B的抛物线的方程;(2)求(1)中所求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.[素养小结]运用抛物线的几何性质要把握三个要点:(1)定性:由抛物线的标准方程看抛物线的开口方向,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)定量:确定焦点到准线的距离p(p>0).(3)转化:抛物线上的一点到焦点的距离与到准线的距离相等,解题时适时转化可起到事半功倍的效果.◆探究点二焦点弦的性质问题例2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.变式 (多选题)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确的是( )A.当AB与x轴垂直时,|AB|最小B.1|AF|+1|BF|=p2C.以弦AB为直径的圆与直线x=-p2相离D.y1y2=-p2[素养小结]抛物线焦点弦长的求法:设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用弦所在直线的方程(注意方程的设法)与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2,由公式|AB|=x1+x2+p求出焦点弦长.◆探究点三抛物线几何性质的应用例3 (1)已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线y2=4x上,则这个等边三角形的边长为( )A.8√3B.4√2C.4√3D.3√2(2)已知抛物线C:y2=4√2x的焦点为F,O为坐标原点,P为抛物线C上一点,且满足|PF|=3√2,则△POF的面积为.变式 (1)以抛物线C:y2=4x的焦点F为端点的射线与C及C的准线l分别交于A,B两点,过B且平行于x轴的直线交C于点P,过A且平行于x轴的直线交l于点Q,若|AQ|=43,则△PBF的周长为( )A.16B.12C.10D.6(2)已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,求直线AB的方程.[素养小结]利用抛物线的性质可以解决的问题:(1)对称性:解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线:解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围:解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点:解决焦点弦问题.。
抛物线导学案(第一课时)
一轮复习抛物线导学案（第一课时）班级 姓名教学目标：1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质2.了解抛物线的简单应用，通过抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想.教学重点：抛物线的定义、几何图形和标准方程教学难点：双曲线简单几何性质,体会数形结合的思想及双曲线的应用 教学过程一、知识回顾1．抛物线的定义一般地，设F 是平面内的一个定点，l 是不过点F 的一条定直线，则平面上 的点的轨迹称为抛物线．其中定点F 称为抛物线的 ，定直线l 称为抛物线的 ．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程 y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)开口方向向右向左向上向下图形顶点 O (0，0)对称轴 x 轴y 轴焦点离心率 e ＝1准线方程 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R焦半径(其中P (x 0，y 0)在抛物线上)|PF |＝ |PF |＝|PF |＝ |PF |＝常用结论1．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为 ，准线方程为x ＝－a4.2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O (0，0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p ，0)；反之，若过点M (2p ，0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB . 二、诊断自测1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)过抛物线的焦点垂直于对称轴的弦，是抛物线过焦点最短的弦．( )(4)y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，其焦点坐标是,04a ，准线方程是x ＝－a4.( )2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A ．1716 B ．1516 C ．78D ．03．(教材改编)抛物线y ＝14x 2的准线方程是( )A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－24．(易错自纠)过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________．5．(易错自纠)点A 是焦点为F 的抛物线y 2＝2px 上的一点，若|AF |＝4，AF 的中点为M ，则M 点到y 轴的距离为________．三、例题讲解1.点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136y D ．x 2＝12y 或x 2＝－36y2.设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0，2)，则C 的标准方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x3.[一题多解](2022·全国乙卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( )A ．2B ．22C ．3D ．324．动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．5．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线的焦点．若B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为__________． 6．已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝________．7.(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．。
抛物线的简单几何性质教案
抛物线的简单几何性质（一）导学案【教学目标】知识与技能：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，从定义和标准方程出发，探究有关抛物线的焦半径和焦点弦的常见性质．过程与方法：从抛物线的定义和标准方程出发，结合几何分析和坐标运算，推导抛物线的性质。
培养学生分析、归纳、推理等能力．情感态度与价值观：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系概念的理解，解决抛物线中的弦的问题．【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.教学重难点：1．重点：有关抛物线焦半径和焦点弦几何性质的推理过程中所应用的方法、技巧和结论．2．难点：对抛物线的几何性质和焦点弦几何性质推理和应用的方法渗透．学情分析：【知识回顾】1．抛物线的定义、标准方程。
（生口述完成）2．焦半径直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，3.填空（顶点在原点，焦点在坐标轴）方程，焦点，准线，开口.1.26y x=2.()1,0F-3.1y=-4.2270x y+=二、新课讲授【问题探究一】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px (p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？(生通过预习，完成导学案上的表格，并小组之间互相分享结果，互相讨论)1．抛物线的几何性质（方程的方法进行验证）(生口述完成) 研究抛物线)0(22>=p px y ： （1）范围因为0>p ，由方程可知0≥x ，所以抛物线在y 轴的右侧，当x 的值增大时，||y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性以y -代y ，方程不变，所以抛物线关于x 轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点，在方程中，当0=y 时0=x ，因此抛物线的顶点就是坐标原点．（4）离心率抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知1=e例题1：【引题】已知斜率为1直线经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点.求线段AB 的长。
高二数学组 抛物线的简单几何性质导学案(林祖成)
2.3.2《抛物线的简单几何性质》导学案高二数学组 林祖成编制教学目标1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质；2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题；3.培养学生分析、归纳、推理等能力.教学过程(一)情景引入抛物线在光学、物理学和建筑学等领域的应用，引出学习抛物线知识的必要性.(二)课前自主回顾1、抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 .2、抛物线的标准方程： 22y px（三）探索新知1、类比探索结合抛物线22(0)y px p =>的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点(4)离心率(5)焦半径(6)通径通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
2、拓展探索探究p 到抛物线图象有怎样的影响 在同一个直角坐标系中画出22221,,2,4.2y x y x y x y x ====图象，并观察.结论：_______________________________________________3、形成知识特点：(请同学们归纳总结)1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线；2．____________________________________________________________；3．____________________________________________________________；4．____________________________________________________________；5．____________________________________________________________；（四）理论迁移例1.顶点在坐标原点,对称轴是x 轴,并且过点(2,M -,求它的标准方程.【变式1】顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点(2,M -,满足条件的抛物线有几条，求它的标准方程.例2.斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长.解这题,你有什么方法呢?【变式2】（抛物线的弦点弦的性质探究）已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于1122(,)(,)A x y B x y 、两点 问题1:若l 的倾斜角α，则22||sin p AB α=问题2:焦点弦中，通径最短.问题3:求证221212,4p x x y y p ==-归纳：抛物线的焦点弦的常用性质（1）焦点弦公式：12||AB x x p =++；（2）___________________________________________；（3）___________________________________________；（4）___________________________________________；（5）___________________________________________；（五）随堂检测1.顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为( )A.x 2＝±3yB.y 2＝±6xC. x 2＝±12yD.y 2＝±6y2.设过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦为AB ，则|AB |的最小值为( ) A. 2p B.p C.2p D.无法确定3.过抛物线y 2＝8x 的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为___.4 .直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为________________________.5.过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于,A B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ∙ 的值是( )A. 12B. 12-C. 3D. 3-（六）课堂小结、布置作业教材P72 练习1，3教材P73 A 组 2，4，6。
高中数学《抛物线的简单几何性质》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2抛物线的简单几何性质一、学习目标1．掌握抛物线的性质、焦半径、焦点弦的应用． 2．掌握直线与抛物线位置关系的判断． 【重点难点】1．会用抛物线的性质解决与抛物线相关的综合问题．(重点)2．直线与抛物线的位置关系的应用．(难点) 二、学习过程 【问题导思】类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？ 【提示】 范围、对称性、顶点、离心率． 【导入新课】标准方程y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py(p ＞0)图形性质焦点 (p2，0) (－p2，0) (0，p2)(0，－p2)准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R________________对称轴 ____________顶点 ______ 离心率 ______ 开口方向向右 向左向上向下特征：1.2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1. 【典型例题】例1. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆x 29＋y 216＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的标准方程．例2 斜率为1的直线l 经过抛物线24y x 的焦点F ,且与抛物线相交于A,B 两点,求线段AB 的长.例3 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【变式拓展】1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4，求该抛物线的方程并指出焦点坐标与准线方程．2.直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点．3.求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程．三、总结反思（1）本节课我们学习了抛物线的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义. （2）了解了研究抛物线的焦半径，焦点弦和通径这对我们解决抛物线中的相关问题有很大的帮助.（3）在对曲线的问题的处理过程中，我们更多的是从方程的角度来挖掘题目中的条件，认识并熟练掌握数与形的联系.在本节课中，我们运用了数形结合，待定系数法来求解抛物线方程，在解题过程中，准确体现了函数与方程以及分类讨论的数学思想.求抛物线弦长问题的方法：(1)一般弦长公式|AB|＝|x1－x2|·1＋k2＝|y1－y2|·1＋1k2.(2)焦点弦长设AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点．四、随堂检测1.抛物线x2=-8y的通径为线段AB,O为抛物线的顶点,则AB长是( )A.2B.4C.8D.12.(2015·兰州高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|= ( )A.6B.8C.9D.103.(2015·阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,点P为C的准线上一点,则△ABP的面积为( )A.18B.24C.36D.484.已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( )A.错误!未找到引用源。
高中数学-抛物线的几何性质导学案
高中数学-抛物线的几何性质导学案学习目标：1.了解抛物线的简单的几何性质，如范围、对称性、顶点和离心率等． 2.会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]抛物线的几何性质类型y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)图象性 质焦点 F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2准线x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R x ∈R ，y ≥0x ∈R ，y ≤0对称轴 x 轴y 轴顶点 O (0,0) 离心率 e ＝1开口方向向右向左向上向下1．判断正误：(1)抛物线是中心对称图形．( ) (2)抛物线的范围是x ∈R .( ) (3)抛物线是轴对称图形．( )【解析】 (1)×.在抛物线方程中，以－x 代x ，－y 代y ，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形．(2)×.抛物线的方程不同，其范围就不同，如y 2＝2px (p ＞0)的范围是x ≥0，y ∈R . (3)√.抛物线y 2＝±2py (p ＞0)的对称轴是x 轴，抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的对称轴是y 轴．【答案】 (1)× (2)× (3)√2．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点的距离是a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＞p 2，则点M 的横坐标是________.【导学号：95902138】【解析】 由抛物线的定义知：点M 到焦点的距离a 等于点M 到抛物线的准线x ＝－p2的距离，所以点M 的横坐标即点M 到y 轴的距离为a －p2.【答案】 a －p2[合 作 探 究·攻 重 难]抛物线的方程及其几何性质(1)设O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若PF＝42，则△POF 的面积为________．(2)已知拋物线的焦点F 在x 轴上，直线l 过F 且垂直于x 轴，l 与拋物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积等于4，求此拋物线的标准方程.[思路探究] (1)利用抛物线的对称性及等边三角形的性质求解；(2)设出抛物线的标准方程，根据抛物线的对称性表示出三角形的面积，解方程可得抛物线方程中的参数，即得抛物线的方程．【自主解答】 (1)如图，设P (x 0，y 0)，由PF ＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得y 20＝42×32＝24. 所以y 0＝2 6.所以S △POF ＝12OF ·y 0＝12×2×26＝2 3.【答案】 2 3(2)由题意，设拋物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，直线l ：x ＝a4，∴A 、B 两点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，－a2，∴AB ＝a ，∵△OAB 的面积为4，∴12·a 4·a ＝4，∴a ＝±42，∴拋物线的方程为y 2＝±42x . [规律方法]1．求抛物线的标准方程时，目标就是求解p ，只要列出一个关于p 的方程即可求解． 2．求抛物线的标准方程要明确四个步骤：(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)； (2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；(3)找关系(根据条件列出关于p 的方程)； (4)得出抛物线的标准方程． [跟踪训练]1．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，求抛物线C 2的方程.【导学号：95902139】【解】 ∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝c ，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8，∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .抛物线中的应用题河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究] 建系→设方程→求方程→求出相关量→解决问题 【自主解答】 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y .∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h ＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．[规律方法]1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程．(2)利用已求方程求点的坐标．[跟踪训练]2．某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如241图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由.【导学号：95902140】图241【解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－3，－3)，A (3，－3)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，将B 点的坐标代入，得9＝－2p ·(－3)， ∴p ＝32，∴抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0)．∵车与箱共高4.5 m ，∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m ．设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)，D ′的坐标为(－x 0，－0.5)，则x 20＝－3×(－0.5)，解得x 0＝±32＝±62. ∴|DD ′|＝2|x 0|＝6＜3，故此车不能通过隧道.直线与抛物线的综合应用[探究问题]1．直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 AB 的长是多少？【提示】 由抛物线的定义可知AF ＝x 1＋p 2，BF ＝x 2＋p2，所以AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .2．斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的长是多少？【提示】 设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则AB ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋kx 1＋m －kx 2－m2＝1＋k2x 1－x 22＝1＋k 2|x 1－x 2|.这个公式称为弦长公式．(1)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________．(2)求顶点在原点，焦点在x 轴上且截直线2x －y ＋1＝0所得弦长为15的抛物线方程． [思路探究] (1)应用焦半径公式求解；(2)应用弦长公式求解．【自主解答】 (1)抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.设直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，与方程y 2＝6x联立得：4k 2x 2－(12k 2＋24)x ＋9k 2＝0.设直线与抛物线交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∴x 1＋x 2＝3k 2＋6k 2，∴x 1＋x 2＋3＝3k 2＋6k2＋3＝12.∴k 2＝1，∴k ＝±1.故弦所在直线的倾斜角是π4或34π.【答案】π4或34π (2)设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0) ① 直线方程变形为y ＝2x ＋1 ② 设抛物线截直线得弦长为AB ，将②代入①整理得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0， 则AB ＝1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －442－4×14＝15.解得a ＝12或a ＝－4. 故所求抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x . [规律方法] 直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A x 1，y 1，B x 2，y 2两点，直线的斜率为k . 1一般的弦长公式：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|.2焦点弦长公式：当直线经过抛物线y 2＝2px p ＞0的焦点时，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .3求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求x 1，x 2的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需要列出参数的方程或不等式即可求解，而x 1，y 2或y 1，x 2一般是求不出来的.[跟踪训练]3．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝__________.【导学号：95902141】【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线倾斜角为45°，过抛物线焦点，所以可设直线方程为y ＝x －p2，代入抛物线方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 22＝2px ，即x 2－3px ＋p 24＝0，故x 1＋x 2＝3p ，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，因此p ＝2.【答案】 2[构建·体系][当 堂 达 标·固 双 基]1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与抛物线相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝8，则PQ 的值为________.【导学号：95902142】【解析】 PQ ＝x 1＋x 2＋2＝10. 【答案】 102.如图242，已知等边三角形AOB 的顶点A ，B 在抛物线y 2＝6x 上，O 是坐标原点，则△AOB 的边长为________．图242【解析】 设△AOB 边长为a ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，∴a 24＝6×32a .∴a ＝12 3.【答案】 12 33.如图243所示是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米.【导学号：95902143】图243【解析】 设水面与拱桥的一个交点为A ，如图所示，建立平面直角坐标系，则A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为26米．【答案】 2 64．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于__________．【解析】 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.【答案】 45．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且AM ＝17，AF ＝3，求此抛物线的标准方程．【解】 设所求抛物线的标准方程为x 2＝2py (p ＞0)， 设A (x 0，y 0)，由题知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵AF ＝3，∴y 0＋p 2＝3，∵AM ＝17，∴x 20＋⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，∴x 20＝8，代入方程x 20＝2py 0得，8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2，解得p ＝2或p ＝4.∴所求抛物线的标准方程为x 2＝4y 或x 2＝8y .。
高中数学抛物线的简单几何性质(2)精品导学案
抛物线的简单几何性质（2）一、课前导学1.已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x 轴上，其上一点P (－3，m )到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x2.已知点A (－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1 B ．(－2,22) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，－1 D ．(－2，－22) 3.过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条D ．不存在 4.已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M (2,2)，则△ABF 的面积为________.二、课堂导学例1.抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆x 24＋y 29＝1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程.练习1.求以双曲线x 28－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及准线方程.例2.过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴.练习2.如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .例3.如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4，2)作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值.例4.过抛物线22(0)y px p =>焦点的一条直线和抛物线相交于1122(,),(,)A x yB x y 两点，求证：（1） 4221p x x =⋅ （2）221p y y -=⋅ 12(3)AB x x p =++ 112(4)FA FB p+=.三、课堂小结1.求抛物线的方程常用待定系数法和定义法；2.直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；3.抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.四、课堂练习1．若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则该点的轨迹是( )A．椭圆B．双曲线 C．双曲线的一支D．抛物线2.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为( )A．4 B．8 C．16 D．323.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).能使这条抛物线方程为y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号).4.过抛物线y2＝4x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为________.。
抛物线的简单性质导学案
主备人：审核：包科领导：年级组长：使用时间：§2.2抛物线的简单性质【教学目标】1.使学生掌握抛物线的几何性质2.了解抛物线的一些简单性质3.体验自主探究、合作式学习的快乐、收获成功的快乐。
【重点、难点】重点：抛物线的几何性质难点：抛物线的简单性质的应用。
【学法指导】1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；1、用红笔勾出疑难点，提交小组讨论；2、预习p35-p36【自主探究】1.参数p的几何意义是3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为————【合作探究】1.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p﹥0)上，求这个正三角形的边长2.设抛物线y2=2px(p﹥0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且B C∥x轴，证明直线AC经过原点O.3.已知抛物线的方程为y2=4x，直线L过定点P(-2,1) ，斜率为k，k为何值时，直线L与抛物线y2=4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【巩固提高】1、等腰R t⊿ABO内接于抛物线y2=2px(p﹥0)，O为抛物线的顶点，O A⊥OB,求⊿ABO的面积2、过抛物线y2=2px(p﹥0)的焦点F的直线交抛物线于P、Q两点,弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R,求证：︳F R︱=1/2︳PQ︳3.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长【本节小结】：1、在抛物线的几何性质中，应用较广泛的是范围，对称性、顶点坐标、参数p的几何意义要理解到位，在解题时，应先注意开口方向，焦点位置，选准标准形式，然后运用条件求解.2、在解决有关直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意作出草图，避免丢解的情况，同时要注意韦达定理，判别式的应用，当弦过焦点时，一定要与定义、焦点弦的一些常用结论相结合，从而避免运算的繁杂性，提高效率。
《2.4.2 抛物线的简单几何性质(1)》导学案1
《抛物线的简单几何性质(1)》导学案学习目标1．掌握抛物线的几何性质；2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习重难点重点：掌握抛物线的几何性质；难点：根据几何性质确定抛物线的标准方程．学习过程问题：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？新知：抛物线的几何性质试试：画出抛物线8y x =的图形，顶点坐标( )、焦点坐标( )、准线方程______、对称轴______、离心率e =_____合作探究例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解． 例2斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长 ．变式：过点(2,0)M 作斜率为1的直线l ，交抛物线24y x =于A ，B 两点，求AB ．小结：求过抛物线焦点的弦长，可用弦长公式求解，也可利用抛物线的定义求解．目标检测1．抛物线2y ax =的准线方程是2y = ， 则a 的值为( ) A 、18 B 、18- C 、8 D 、-8 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )A 、10B 、8C 、6D 、4 3．已知直线y kx k =-及抛物线22y px =(0p >)则( ) A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没公共点4．已知抛物线22(0)y px p =->的焦点恰好是椭圆2211612x y +=的左焦点，则p =______。
选修1-1抛物线性质导学案
【拓展探究】
1. 过点 P (0, 2) 的直线和抛物线 y 2 8x 交于 A 、 B 两点，若线段 AB 的中点在直线 x 2 上，求线段 AB 的长 ．
3
2. 从抛物线 y 2 2 px( p 0) 外一点 A( 2， 4) 引倾斜角为 45 的直线，与抛物线交于 P1 、 P2 两点，若 AP1 、 P1P2 、 AP2 成等比数列，求抛物线的方程．
1．抛物线的几何性质
标准 方程
y2＝ 2px( p>0)
y2＝－ 2px( p>0)
x2＝ 2py( p>0)
x2＝－ 2py( p>0)
图形
性质
范围
对称 轴
顶点
离心 率
____________ x轴
e＝ 1
____________
____________
x轴
y轴
(0,0)
____________ y轴
4
()
A. 4 2
B.4
C.8
D.2
4．（ 2009 宁夏 / 海南卷）已知抛物线 C 的顶点坐标为原点，焦点在 x 轴上，直线 y x 与抛
物线 C 交于 A，B 两点。 若 P（ 2，2）为 AB 的中点， 则抛物线 C 的方程为 _______________
5 ． 若 抛 物 线 y2
x2 2 px 的 焦 点 与 双 曲 线
5
3．已知 P(8，a)在抛物线 y2＝ 4px 上，且 P 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为 ( )
A．2
B．4
C．8
D． 16
4．已知抛物线 y2＝ 2px(p>0) 的准线与圆 x 2＋ y2－ 6x－ 7＝ 0 相切，则 p 的值为 (
高中数学抛物线的简单几何性质(1)课堂同步导学案
抛物线的简单几何性质（1）一、课前导学1.抛物线的几何性质2.焦点弦直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝3.直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴，此时直线与抛物线有个公共点.二、课堂导学例1.若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为 ( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24 练习1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________例2.已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点. （1）若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； （2）若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离.练习2.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程.例3.已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？练习3.过点(－3,2)的直线与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，求此直线方程.三、课堂小结 1.抛物线的性质2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题3.直线与抛物线的关系 四、课堂练习1．设AB 为过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的弦，则|AB |的最小值为 ( ) A ．p2B ．pC ．2pD ．无法确定2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 ( ) A ．(1,2)B ．(0,0)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1,4)4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_______。
高中数学课题 抛物线的几何性质导学案
课题5 抛物线的几何性质【教学目标】1．掌握抛物线的几何性质．2．了解抛物线的几何性质的应用．【教学重点】抛物线的几何性质．【教学难点】抛物线的几何性质的应用．【教学过程】(一)复习提问问题1：请叙述抛物线的定义？学生回答：平面内与一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 教师注意强调两点：(1)“平面内”；(2)“与一个定点F 和一条定直线l 距离相等”，定点与定直线不要颠倒．问题2：写出抛物线标准方程的四种情况．学生回答：y 2＝2px (p ＞0)，y 2＝－2px (p ＞0)，x 2＝2py (p ＞0)，x 2＝－2py (p ＞0)．教师注意强调：后边的括号(p ＞0)，是抛物线定义的重要组成部分．(二)讲解新课下面，我们根据抛物线的标准方程y 2＝2px (p ＞0)来研究抛物线的几何性质．1．范围由抛物线的标准方程知道，抛物线上任意一点的坐标(x ，y )都满足2px ≥0，即x ≥0，(y ∈R )．因此，抛物线在y 轴的右侧．当x 的值增大时，︱y ︱的值增大，说明这个抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性在抛物线的标准方程中，把y 换成－y ，方程不变，说明这个抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点在抛物线的标准方程中，令x ＝0，得y ＝0，可知这个抛物线与x 轴的交点是(0,0)．我们把这个点叫做抛物线的顶点．4．离心率抛物线上的点M 到焦点的距离与到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率．由定义知道，e ＝1.例1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，且经过点M ⎝⎛⎭⎫－12，3，求这个抛物线的标准方程．分析：如何设所求抛物线的标准方程，是解决这道题的关键，同学们可以根据已知条件加以分析讨论．解：由已知，可设抛物线的标准方程为y 2＝－2px .因为点M ⎝⎛⎭⎫－12，3在抛物线上， 所以，有(3)2＝－2p ⎝⎛⎭⎫－12， 解之，得 p ＝3，故所求方程为y 2＝－6x .例2 已知如图1，直线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且垂直于x 轴，交抛物线于A 、B 两点，求线段AB 的长． 解：在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p 2带入方程，得 y ＝±p .即A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫p 2，p ，⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，所以，线段AB 的长为∣p －(－p )∣＝2p .在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，过焦点且垂直于对称轴的直线，被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径，它的长为2p ，这就是在抛物线的标准方程中2p 的一种几何意义．利用抛物线的几何性质和其通径的两个端点⎝⎛⎭⎫p 2，p 、⎝⎛⎭⎫p 2，－p ，可以方便地画出反映抛物线基本特征的草图．(三)课堂练习求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程是x ＝4；(2)顶点在原点，焦点坐标是(0,3)．(四)课堂小结1．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的几何性质．(1)范围：抛物线在y 轴的右侧．当x 的值增大时，︱y ︱的值增大．(2)对称性：抛物线关于x 轴对称．(3)顶点：(0,0)．(4)离心率：e ＝1.2．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的通径AB 的长为2p .(五)布置作业学生学习指导用书，2.3抛物线的标准方程和性质(三)【教学设计说明】由于学生在学习椭圆和双曲线时，已经对用代数方法研究曲线的几何性质比较熟悉，因此这节课讲抛物线的性质就应该很顺利了，例1是利用抛物线的定义和性质来求抛物线的标准方程，根据已知条件选设抛物线的标准方程是很重要的一环，应引导学生参与讨论．例2是根据抛物线的方程求它的通径的长，使学生了解通径的长2p的几何意义．同时可以借助于通径的端点画出抛物线的草图．本节课例题的设置与练习题的安排都突出了教学重点，且难易适中，便于激发学生的学习兴趣，调动学生参与教学过程的积极性，有利于本节教学任务的顺利完成．。
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§2.3.2抛物线的几何性质-------导学案
一、学习任务：1．掌握抛物线的几何性质；
2．根据几何性质确定抛物线的标准方程．
二、课堂探究：
探究1：类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？
新知：抛物线的几何性质
试试：画出抛物线28y x =的图形，顶点坐标（ ）、焦点坐标（ ）、准线方程 、
对称轴 、离心率 ．
探究2：在同一直角坐标系中画出下列抛物线的图形：
（1）x
y 412=
； （2）x y =2； （3）x y 42=
再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x 的系数有怎样的关系？
例1已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．
变式：顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且经过点(2,M -的抛物线有几条？求出它们的标准方程．
小结：一般，过一点的抛物线会有两条，根据其开口方向，用待定系数法求解．
例2 （实际应用题）教材60页
三、课堂检测
1．下列抛物线中，开口最大的是（ ）．
A ．2
12y x
= B ．2
y x
= C ．2
2y x
= D ．2
4y x
=
2．顶点在原点，焦点是(0,5)F 的抛物线方程（ ） ．
A ．2
20y x
= B ．2
20x y
= C ．2
120
y x
=
D ．2
120
x y
=
3．若双曲线
1163
2
2
2
=-
p
y x
的左焦点在抛物线px
y
22
=的准线上，则p 的值是（ ）
A ．2 B.3 C.4 D.24
4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点（-5，52）到焦点的距离是6，则抛物线的方
程为（ ）
A. x y 22-=
B. x y 42-=
C. x y 22=
D. x y 42-=或x y 362-= 5.垂直于x 轴的直线与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，且34=AB .求直线AB 的直线方程.
6.已知正三角形AOB 的顶点A 、B 在抛物线x y 62=上，O 是坐标原点.求△AOB 的边长.。