圆的对称性测试题
初中数学 《圆的对称性》习题
《圆的对称性》习题一、选择题1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A．相等弦所对的弧相等B．相等弦所对的圆心角相等C．相等圆心角所对的弧相等D.相等圆心角所对的弦相等2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A.正方形B.平行四边形C.等腰梯形D.圆3.如图，AB是⊙O的直径，BC＝CD＝DE，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A.51°B.56°C.68°D.78°第3题图第4题图第5题图4.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠A＝30°，则∠B＝（）A.150°B.75°C.6°D.15°5.如图，AB是⊙O直径，C、D在直径AB的同旁，连接AD、DC、BC，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（）A.5π cmB. 6πcmC.9πcmD.8π cm二、填空题6.如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，∠AOC＝40°，D是BC弧的中点，则∠ACD＝________.第6题图第7题图第8题图7.如图，已知AB是⊙O直径，点C、D在⊙O上，且BC＝BD，∠BOC＝60°，则∠COD的度数是______度.8.如图，若∠1＝∠2，那么AB与BC________相等.（填一定、一定不、不一定）.9.弦AB分圆为1：5两部分，则劣弧AB所对的圆心角等于________度.三、解答题10.如图，在⊙O中，CD为⊙O直径，AC＝BC，点E为OD上任意一点（不与O、D 重合）.求证：AE＝BE.11.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC与AB分别交于E、F，且AE＝BF.求证：AC＝BD.12.如图，已知AB、CD是⊙O直径，DF∥AB交⊙O于点F，BE∥DC交⊙O于点E.（1）求证：BE＝DF；（2）写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）.。
圆的对称性 - 习题2
圆的对称性参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2008•台湾）如图，AD为圆O的直径．甲、乙两人想在圆上找B，C两点，作一个正三角形ABC，其作法如下：甲：1．作OD中垂线，交圆于B，C两点，2．连AB，AC，△ABC即为所求．乙：1．以D为圆心，OD长为半径画弧，交圆于B，C两点，2．连AB，BC，CA，△ABC即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A．甲、乙皆正确 B．甲、乙皆错误C．甲正确、乙错误D．甲错误、乙正确【分析】根据垂径定理和等边三角形的判定求解．【解答】解：甲的作图：BC是OD的中垂线，则在直角△OBE中，OE=OB，则∠OBE=30°，∠BOE=60°，∠BOC=120°，∴∠BAC=60°．根据条件易证AB=AC，则△ABC是等边三角形．乙的作图：连接BD，则△OBD是等边三角形．因而∠BAD=30°，∠BAC=60°．根据条件易证AB=AC，则△ABC是等边三角形．所以甲乙皆正确，故选A．【点评】AD经过圆心，则AD所在的直线是本题图形的对称轴．2．（2013•陕西校级一模）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，则弦CD的长为（）A．8cm B．4cm C．2D．2【分析】先过点O作OM⊥CD，连结OC，根据垂径定理得出CD=2CM，再根据AE=6cm，EB=2cm，求出AB，再求出OC、OB、OE，再根据∠CEA=30°，求出OM=OE=×2=1，根据CM=，求出CM，最后根据CD=2CM即可得出答案．【解答】解：过点O作OM⊥CD，连结OC，则CD=2CM，∵AE=6cm，EB=2cm，∴AB=8cm，∴OC=OB=4cm，∴OE=4﹣2=2（cm），∵∠CEA=30°，∴OM=OE=×2=1（cm），∴CM===，∴CD=2．故选：C．【点评】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、30°角的直角三角形，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．3．（2013•洛阳模拟）如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，AB是过E的⊙O的最长弦，根据勾股定理和垂径定理求出CD=6，得出弦的长度为6（1条），7、8、9（都有2条），10（1条），即可得出答案．【解答】解：∵AB=10，∵OB=OA=OC=5，过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，∵OB⊥CD，∴∠CEO=90°，由勾股定理得：CE===3，∵OE⊥CD，OE过O，∴CD=2CE=6，∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，故选C．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．4．（2015秋•盐城校级期末）如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“1”和“4”（单位：cm），则该圆的半径为（）A．5cm B．cm C．cm D．cm【分析】根据题意可知，圆内的弦长为3cm，作出弦的弦心距，根据垂径定理和勾股定理，可以求出圆的半径．【解答】解：如图示，连接OA，根据题意知，PC=2cm，OP⊥AB，∴AP=BP，∵AB=3cm，∴AP=cm，在Rt△AOP中，设OA=x，则0P=x﹣2，根据勾股定理得，+（x﹣2）2=x2，解得，x=．故选C．【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．5．（2010•西藏）如图，⊙O的直径CD⊥弦AB于点P，且点P为OD的中点，已知AB=2，则CD的值为（）A．2 B．4 C．D．【分析】连接OA，由CD垂直于AB，利用垂径定理得到P为AB的中点，求出AP的长，设OA=OD=x，由P为OD中点，得到OP为x，在直角三角形AOP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，进而求出CD的长．【解答】解：连接OA，∵CD⊥AB，∴P为AB的中点，∴AP=AB=，∵P为AB的中点，∴OP=PD=OD，在Rt△AOP中，OA=x，OP=x，根据勾股定理得：OA2=OP2+AP2，即x2=x2+3，即x2=4，解得：x=2，则CD=4．故选B【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．6．（2013•本溪）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（）A．2 B．C．2D．【分析】先过O作OC⊥AP，连结OB，根据OP=4，∠APO=30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值．【解答】解：过O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP=4，∠APO=30°，∴OC=sin30°×4=2，∵OB=3，∴BC===，∴AB=2；故选A．【点评】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．7．（2009•广元）如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（）A．（5，﹣4）B．（4，﹣5）C．（4，﹣7）D．（5，﹣7）【分析】由M（0，﹣4），N（0，﹣10），即可得MN的值，然后连接PM，过点P作PE⊥MN于E，根据垂径定理可得ME的值，然后由勾股定理，即可求得PE的值，则可得圆心P的坐标．【解答】解：∵M（0，﹣4），N（0，﹣10），∴MN=6，连接PM，过点P作PE⊥MN于E，∴ME=NE=MN=3，∴OE=OM+EM=4+3=7，在Rt△PEM，PE===4，∴圆心P的坐标为（4，﹣7）．故选C．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理的知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．二．填空题（共1小题）8．（2015•黄冈中学自主招生）在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是．【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．【解答】解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵AB=2，∴AE=，PA=2，∴PE=1．∵点D在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=．∵⊙P的圆心是（2，a），∴点D的横坐标为2，∴OC=2，∴DC=OC=2，∴a=PD+DC=2+．故答案为：2+．【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x与x轴的夹角是45°．三．解答题（共17小题）9．（2007•双柏县）如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．（1）请写出五个不同类型的正确结论；（2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径．【分析】（1）AB是⊙O的直径，则AB所对的圆周角是直角，BC是弦，OD⊥BC于E，则满足垂径定理的结论；（2）OD⊥BC，则BE=CE=BC=4，在Rt△OEB中，由勾股定理就可以得到关于半径的方程，可以求出半径．【解答】解：（1）不同类型的正确结论有：①BE=CE；②弧BD=弧DC；③∠BED=90°；④∠BOD=∠A；⑤AC∥OD；⑥AC⊥BC；⑦OE2+BE2=OB2；⑧S△ABC=BC•OE；⑨△BOD是等腰三角形；⑩△BOE∽△BAC…（2）∵OD⊥BC，∴BE=CE=BC=4，设⊙O的半径为R，则OE=OD﹣DE=R﹣2，在Rt△OEB中，由勾股定理得：OE2+BE2=OB2，即（R﹣2）2+42=R2，解得：R=5，∴⊙O的半径为5．【点评】本题主要考查了垂径定理，求圆的弦，半径，弦心距的长问题可以转化为解直角三角形的问题．10．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．【分析】可通过构建直角三角形进行求解．连接OA，OC，那么OA⊥BC．在直角三角形ACD中，有AC，CD的值，AD就能求出了；在直角三角形ODC中，用半径表示出OD，OC，然后根据勾股定理就能求出半径了．【解答】解：连接OA交BC于点D，连接OC，OB，∵AB=AC=13，∴=，∴∠AOB=∠AOC，∵OB=OC，∴AO⊥BC，CD=BC=12在Rt△ACD中，AC=13，CD=12所以AD=设⊙O的半径为r则在Rt△OCD中，OD=r﹣5，CD=12，OC=r所以（r﹣5）2+122=r2解得r=16.9．答：⊙O的半径为16.9．【点评】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的综合运用．11．（2013秋•章丘市校级月考）（1）如图1，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连结OC，若AB=10，CD=8，求AE的长．（2）如图2，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长度．【分析】（1）根据垂径定理可以得到CE的长，在直角△OCE中，根据勾股定理即可求得．（2）先过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠COP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．【解答】解：（1）∵AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E．∴CE=CD=4．在直角△OCE中，OE===3．则AE=OA﹣OE=5﹣3=2；（2）如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠COP，∴∠PCE=∠BOP+∠COP=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=4，∴PE=PC=×4=2，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=2．【点评】此题考查了垂经定理和30°角的直角三角形，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、直角三角形中0°角所对的直角边等于斜边的一半，关键是作辅助线构造出含30°的直角三角形．12．（2015秋•湖南月考）如图是以定长AB为直径的⊙O，CD为上的一条动弦（点C与A，点D与B不重合），CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．（1）求证：AF=BE；（2）若弦CD的长度保持不变，四边形CDEF的面积是否也保持不变？并请说明理由．【分析】（1）作OM⊥CD于M，根据垂径定理得到CM=DM，根据平行线等分线段定理证明结论；（2）根据梯形中位线定理和梯形的面积公式解答即可．【解答】（1）证明：作OM⊥CD于M，则CM=DM，∵CF⊥CD，DE⊥CD，OM⊥CD，∴CF∥OM∥DE，又CM=DM，∴OF=OE，又OA=OB，∴OA﹣OF=OB﹣OE，即AF=BE；（2）∵弦CD的长度保持不变，∴弦心距OM的长度保持不变，由（1）得，OM是梯形CDEF的中位线，∴OM=（CF+DE），∵四边形CDEF的面积=OM×CD，∴四边形CDEF的面积保持不变．【点评】本题考查的是垂径定理、梯形中位线定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧、梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半是解题的关键．13．（2015秋•富顺县月考）已知：在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM ⊥OA，DN⊥OB．求证：．【分析】首先连接OC，OD，由M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB，易证得Rt△OMC≌Rt△OND（HL），继而证得∠MOC=∠NOD，然后由圆心角与弧的关系，证得结论．【解答】证明：连接OC，OD，则OC=OD，∵M、N分别是半径OA、OB的中点，∴OM=ON，∵CM⊥OA，DN⊥OB，∴∠OMC=∠OND=90°，在Rt△OMC和Rt△OND中，，∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），∴∠MOC=∠NOD，∴．【点评】此题考查了圆心角与弧的关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．14．（2013秋•包河区期末）如图，在⊙O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为E，连接OB、AD，∠ADC=30°，弦AB=2．（1）求∠BOC的度数；（2）求CE的长．【分析】（1）先根据垂径定理得出=，再由∠ADC=30°求出∠BOC的度数即可；（2）在Rt△OBE中，根据BE=，∠BOC=60°可得出OB及OE的长，进而可得出CE的长．【解答】解：（1）∵弦AB垂直于直径CD，∠ADC=30°，∴=，∴∠BOC=2∠ADC=60°；（2）∵AB⊥CD，AB=2，∴BE=AB=．∵由（1）知，∠BOC=60°，∴OB===2，OE===1，∴CE=2﹣1=1．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．15．（2013秋•仙游县月考）已知如图（1），AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，OE⊥AC 于E，猜想OE与BD的数量关系是BD=2OE．探索：①若：AB不是⊙O的直径，其他的条件不变[如图（2）]则（1）中的结论是否成立？如果成立，请给予证明，不成立，请说明理由．②若：AB，CD的位置关系不变，但其交点在⊙O外[如图（3）]，则上述结论还成立吗？请说明你的判断依据．【分析】（1）首先连接BC，由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，可得BC=BD，又由OE⊥AC，易得OE是△ABC的中位线，继而证得BD=2OE；（2）①首先连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，易得OE是△ACF的中位线，则可得CF=2OE，又由圆周角定理与弧与弦的关系，可证得BD=CF，继而证得结论；②首先连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，易得OE是△ACF的中位线，则可得CF=2OE，又由圆周角定理与弧与弦的关系，可证得BD=CF，继而证得结论．【解答】解：（1）连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，∴BC=BD，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∵AO=BO，∴BC=2OE，∴BD=2OE．故答案为：BD=2OE．（2）①成立．理由：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∵OA=OF，∵CF=2OE，∵AF是直径，∴∠ACF=90°，∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∵∠ACH+∠DCF=90°，∴∠CAH=∠DCF，∵∠CAH=∠CDB，∴∠DCF=∠CDB，∴=，∴=，∴CF=BD，∴BD=2OE．②成立．理由：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∵OA=OF，∵CF=2OE，∵AF是直径，∴∠ACF=90°，∵CD⊥AB，∴∠AHC=90°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∵∠ACH+∠DCF=90°，∴∠CAH=∠DCF，∵∠CAH=∠CDB，∴∠DCF=∠CDB，∴=，∴=，∴CF=BD，∴BD=2OE．【点评】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧与弦的关系以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．（2009秋•和县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CE⊥AB于E，连接AC、BC．若BE=2，CD=8，求AB和AC的长．【分析】根据垂径定理得到CE的长，再根据勾股定理得到关于半径的方程，从而求得AB 的长；进一步求得AE的长，从而根据勾股定理求得AC的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED=4．设⊙O的半径为r，OE=OB﹣BE=r﹣2．在Rt△OEC中，OE2+CE2=OC2，即（r﹣2）2+16=r2，解得r=5．∴AB=10．又CD=8，∴CE=DE=4，∴AE=8．∴AC=．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．17．（2010秋•常州期末）如图，⊙O的半径为6，点C在⊙O上，将圆折叠，使点C与圆心O重合，折痕为AB且点A、B在⊙O上，E、F是AB上两点（点E、F不与点A、B重合且点E在点F的右边），且AF=BE．（1）判定四边形OECF的形状；（2）当AF为多少时，四边形OECF为正方形？【分析】（1）四边形OECF为菱形，连接OC，交AB于点D，先由折叠的性质得到OD=CD，且OC垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，利用等式的性质得到FD=ED，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到OEFC为平行四边形，再由FD=ED，且OD 垂直于EF，得到OE=OF，即可得到四边形OECF为菱形；（2）四边形OEFC要为正方形，必须FD=ED=OD=CD，由半径求出OD的长，得到DF的长，在直角三角形AOD中，利用勾股定理求出AD的长，由AD﹣DF即可求出此时AF的长．【解答】解：（1）四边形OEFC为菱形，理由为：连接OC，交AB于点D，由折叠的性质得到OD=CD，OC⊥AB，则D为AB的中点，即AD=BD，∵AF=BE，∴AD﹣AF=BD﹣BE，即FD=ED，∴四边形OEFC为平行四边形，∵FD=ED，OD⊥EF，∴OE=OF，则四边形OEFC为菱形；（2）∵OD=DC=OC=3，∴在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AD==3，要使四边形OEFC为正方形，必须FD=OD=3，则此时AF=AD﹣FD=3﹣3．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．18．（2009秋•自贡校级期中）如图，已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C 的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x2+4（c+2）=（c+4）x的两个根，点D是以C为圆心，CB为半径的圆与AB的交点．（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）若，求AB的长；（3）在（2）的条件下求AD长．【分析】（1）由韦达定理可求得a+b、ab的值，然后证a2+b2=c2，由勾股定理来判定△ABC 是直角三角形；（2）可根据a、b的比例关系，用未知数设出a、b的长，进而可表示出c的值；由韦达定理知：a+b=c+4，由此可求得未知数的值，进而可求出a、b、c的值，也就得出了AB的长．（3）欲求AD，需先求出BD；可过C作CE⊥BD于E，根据直角三角形面积的不同表示方法，可求出CE的长，在Rt△BCE中，根据勾股定理，可求出BE的值；由垂径定理知BD=2BE，由此可求出BD的长，由此得解．【解答】（1）证明：依题意，得a+b=c+4，ab=4（c+2）（1分）∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（c+4）2﹣2×4（c+2）=c2+8c+16﹣8c﹣16=c2∴△ABC是直角三角形．（3分）（2）解：设a=3k，b=4k，从而c=5k（k＞0）．代入a+b=c+4，得k=2；∴a=6，b=8，c=10．（5分）（3）解：过C作CE⊥AB于E．则CE==，BE===；由垂径定理，得BD=2BE=；故AD=10﹣BD=10﹣7.2=2.8．（9分）【点评】此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、直角三角形的判定和性质、垂径定理等知识．19．（2008秋•苏州期末）如图，一车轱辘⊙O抵住高为10cm的路沿AB，此时发现轮胎与地面的接触点C与路沿下端B的距离恰好为30cm（∠ABC=90°），请你利用已学的知识，求出车轱辘的直径．【分析】将实际问题转化为关于圆的问题解答．【解答】解：连接OC，则OC⊥BC，过A作AD⊥OC于D，则可得矩形ABCD，且有AD=BC=30cm，DC=AB=10cm，连接OA，设⊙O半径为xcm，在Rt△OAD中，由勾股定理得方程，（x﹣10）2+302=x2，解得，x=50，∴2x=100，答：车轱辘的直径为100cm．【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径的计算的问题，常把半弦长，弦心距转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．20．（2008秋•黄冈校级月考）2008年北京奥运会圆了所有中国人的百年奥运梦，开幕式上奇特的点火式为世界所震惊．（图中为奥运会中所用的圣火盆），其中圣火盆高120cm，盆体深20cm，立柱高110cm，CD=60cm．试求盆口圆的直径AB．【分析】这道题虽然数据复杂，借助图形，在Rt△OFD中运用勾股定理求出OF的值．再次运用勾股定理在Rt△OPB中求出PB的值，最后求得AB的值．【解答】解：如图作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点P，交狐AB于E，连接OB、OD设⊙O的半径为r，依题意可知：PF=120﹣110=10cm，EF=20﹣10=10（cm），DF=CD=30cm．在Rt△OFD中，OD=r，OF=r﹣10，DF=30，∴r2=（r﹣10）2+302∴r=50cm在RT△OPB中OB=50，OP=50﹣20=30．∴BP=cm∴AB=2BP=80cm即盆口圆的直径AB=80cm．【点评】借助图形，分析好题所给的数据，把问题转化在直角三角形中得出问题处理的方法．21．（2006秋•宝山区期末）已知：⊙O中，OB、OC是半径，DF⊥OC于F，AE⊥OB于E，若AB=CD，求证：AE=DF．【分析】连接OA、OD，根据AB=CD可得出∠AOB=∠COD，结合圆的性质可证明△AOE ≌△DOF，继而可得出结论．【解答】证明：连接OA、OD，∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∵AE⊥OB，DF⊥OC，∴∠OEA=∠OFD=90°，又∵OA=OD，∴△AOE≌△DOF，∴AE=DF．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质及圆心角、弦、弧的关系，难度一般，解答本题的关键是得出∠AOB=∠COD．22．（2005秋•静安区期末）已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC．【分析】（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，根据AB=CD可知OE=OF，进而可知PO平分∠BPD；（2）先根据全等三角形的判定定理得出Rt△POE≌Rt△POF，再由垂径定理可得出AE=CF，再根据PE﹣AE=PF﹣CF即可得出结论．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，∵AB=CD，∴OE=OF，∴PO平分∠BPD；（2）在Rt△POE与Rt△POF中，∵OP=OP，OE=OF，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴PE=PF，∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足，∴AE=，CF=，∴AE=CF，∴PE﹣AE=PF﹣CF，即PA=PC．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质及角平分线的判定，涉及面较广，难度适中．23．（2004秋•奉贤区期末）如图，已知OE是⊙O的半径，F是OE上任意一点，AB和CD 为过点F的弦，且FA=FD．求证：AB=CD．【分析】首先连接OA，OD，作AB、CD的弦心距OM，ON，根据SSS可证得△AOF≌△DOF，即可得∠AFO=∠DFO，根据角平分线的性质，可证得弦心距OM，ON相等，然后根据同圆或等圆中，弦心距相等，则对应的弦相等，即可证得AB=CD．【解答】解：连接OA，OD，作AB、CD的弦心距OM，ON，（2分）∵OA=OD，FA=FD，OF=OF，∴△AOF≌△DOF，（1分）∴∠AFO=∠DFO，（1分）∴OM=ON，（1分）∴AB=CD．（1分）【点评】此题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．24．已知⊙O中，=．（1）如图1，求证：CO⊥AE；（2）如图2，CD⊥直径AB于D，若BD=1，AE=4，求⊙O的半径．【分析】（1）延长CO交AE于点D，再由垂径定理即可得出结论；（2）连接CO并延长交AE于点F，由垂径定理可知OF⊥AE，根据全等三角形的判定定理得出△OAF≌△OCD，故可得出OF的长，根据勾股定理即可求出OA的长．【解答】（1）证明：延长CO交AE于点D，∵=，CD过圆心，∴CO⊥AE；（2）设⊙O的半径为r，连接CO并延长交AE于点F，∵=，CF过圆心，AE=4，∴OF⊥AE，∴AF=AE=×4=2，∵CD⊥AB，∠AOF=∠COD，∴在△OAF与△OCD中，∵，∴△OAF≌△OCD（ASA），∴OF=OD=r﹣1，∴在Rt△AOF中，OA2=AF2+OF2，即r2=22+（r﹣1）2，解得r=．【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．25．如图，已知：AD是⊙O的直径，AB、AC是弦，且AB=AC．（1）求证：直径AD平分∠BAC；（2）若BC经过半径OA的中点E，F是的中点，G是中点，⊙O的半径为1，求GF的长．【分析】（1）根据全等或等腰三角形的性质即可得出AO⊥BC，AO平分BC．（2）求出∠AOC的度数，求出弧AC度数，分别求出弧CD、弧CF、弧DF、弧BF、弧GF的度数，求出∠GOF=90°，根据勾股定理求出即可．【解答】（1）证明：连接OB，OC，∵在△ABO和△ACO中，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，∴直径AD平分∠BAC；（2）解：连接OG、OF，OC，∵BC过AO中点，∴AE=OE=OA=OC，∵AO⊥BC，∴∠OEC=90°，∴∠OCE=30°，∴∠AOC=60°，即弧AC度数是60°，∵AD为直径，∴弧CD的度数是180°﹣60°=120°，∵F为弧CD中点，∴弧CF的度数和弧DF的度数都等于60°，∵AO⊥BC，AO平分BC，∴弧BD的度数=弧CD的度数，是120°，∴弧BDF的度数是120°+60°=180°，∵G为弧BDF的中点，∴弧GF度数是90°，∴∠GOF=90°，∵OG=OF=1，∴由勾股定理得：GF==．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．。
3.2 圆的对称性(练习)(解析版)
第三章圆第二节圆的对称性精选练习一、单选题1．（2021·全国九年级课时练习）下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．【详解】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；B中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；D中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦之间的观，此类试题属于难度较大的试题，其中，弦和圆心角等一些基本知识容易混淆，从而很难把握．2．（2021·全国九年级课时练习）下列说法中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念并结合圆的特点判断各选项，然后求解即可．【详解】A 、圆是轴对称图形，正确；B 、圆的任意一条直径所在得直线都是圆的对称轴，正确；C 、圆的任一直径所在的直线都是圆的对称轴，错误；D 、经过圆心的任意直线都是圆的对称轴，正确，故选：C ．【点睛】本题主要是考查圆的特征、轴对称图形的特征，注意，语言要严密，不能说成圆的直径就是圆的对称轴，因为对称轴是一条直线，直径是线段．3．（2021·全国九年级课时练习）下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.【详解】①直径是圆中最长的弦，故正确；②在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧是等弧，故②错误；③圆是中心对称图形，故正确；④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故④错误，正确的有2个，故选：B.【点睛】此题考查圆的性质，正确掌握弦、等弧的定义，圆的对称性是解题的关键.4．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是半圆O 上不同于,A B 的一点，点D 为弧AC 的中点，连结,,OD BD AC ，设,CAB BDO b a Ð=Ð=，则（ ）．A ．a b=B ．290a b °+=C ．290a b °+=D ．45a b °+=【答案】C利用等腰三角形边角关系表示出∠AOD ，再根据同圆中平分弧平分弦垂直弦求出关系即可．【详解】解析 如图，设AC 与DO 交点为E ，连接BC ，OD OB = ，OBD BDO a \Ð=Ð=，2DOA OBD BDO a \Ð=Ð+Ð=，又D Q 为 AC 中点，AB 为O e 直径，,OD AC BC AC \^^，90AED ACB °\Ð=Ð=，90EAO EOA °\Ð+Ð=，即：290a b °+=．故选C ．【点睛】此题考查了垂径定理中同圆中平分弧平分弦垂直弦,等边对等角等有关知识点,难度一般．5．（2020·西安益新中学九年级期末）如图，AB 是O e 的直径，弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，36COD Ð=°，则AOE Ð的度数是（ ）A ．30°B ．36°C ．54°D ．72°【答案】D【分析】由弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，得36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°，即可求AOE Ð．解：∵弧BC 、弧CD 与弧DE 相等，∴36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°，18036372AOE Ð=°-°´=°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系，解题关键是熟知在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．6．（2021·全国九年级课时练习）如图，已知：AB 是O e 的直径，C 、D 是 BE上的三等分点，60AOE Ð=o ，则COE Ð是（ ）A ．40oB ．60oC ．80oD ．120o【答案】C【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可解．【详解】∵∠AOE=60°，∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，∴»BE的度数是120°，∵C 、D 是»BE上的三等分点，∴弧CD 与弧ED 的度数都是40度，∴∠COE=80°，故选C.【点睛】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．熟练掌握圆周角定理是解题关键.7．（2021·全国九年级课时练习）如图，⊙O 中，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，F 为 CBD的中点，连接AF 、BF 、AC ，A F 交CD 于M ，过F 作FH ⊥AC ，垂足为G ，以下结论：① CFDF =；②HC ＝BF ：③MF ＝FC ：④ DF AH BF AF +=+，其中成立的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可．【详解】解：∵F为CBD的中点，∴CF DF=，故①正确，∴∠FCM＝∠FAC，∵∠FCG＝∠ACM+∠FCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC，∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM，∴FC＞FM，故③错误，∵AB⊥CD，FH⊥AC，∴∠AEM＝∠CGF＝90°，∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°，∴∠CFH＝∠BAF，∴=，CF BF∴HC＝BF，故②正确，∵∠AGF＝90°，∴∠CAF+∠AFH＝90°，∴+＝180°，AH CF∴+＝180°，CH AF∴+=+=+=+，故④正确，AH CF AH DF CH AF AF BF故选：C．【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考选择题中的压轴题．8．（2019·武汉市梅苑学校九年级月考）如图AB 为⊙O 的定直径，过圆上一点C 作弦CD AB ^，OCD Ð的平分线交⊙O 于点P ，当点C （不包括A ，B 两点）在⊙O 上移动时，点P （ ）A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分弧DBD ．随C 点移动而移动【答案】B【分析】连OP ，由CP 平分∠OCD ，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，可得2=3,ÐÐ所以有//OP CD ，则OP ⊥AB ，即可得到OP 平分半圆APB ．从而可得答案．【详解】解：连OP ，如图，∵CP 平分∠OCD ，∴∠1=∠2，OC=OP ，\ ∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴//OP CD ，又∵弦CD ⊥AB ，∴OP ⊥AB ，∴OP 平分半圆APB ，即点P 是半圆的中点．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，圆的对称性，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题9．（2021·全国九年级课时练习）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=BC，连结OB、OC，延长CO 交弦AB于D，若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为______________．【答案】【分析】如图1，当∠DOB=90°时，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到=；如图2，当∠ODB=90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC=AB=．【详解】如图1，当∠DOB =90°时，∴∠BOC=90°∴△BOC是等腰直角三角形∴=^如图2，当∠ODB=90°时，即CD AB∴ AD=BD∴ AC=BC∵ AB=BC∴△ABC是等边三角形∴∠DBO=30°∵ OB=5∴BD==∴ BC=AB=．综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．10．（2021·全国九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，AD DE=，AB=5，BD=4，则cos∠ECB=__．【答案】3 5【分析】连接AD，BE，根据直径所对的圆周角是直角，构建两个直角三角形，再利用等弧所对的圆周角相等得：∠ABD=∠CBE，根据等角的余角相等得：∠ECB=∠DAB，最后利用等角的三角函数得出结论．【详解】解：连接AD， BE，AD DE=，∴EBC DBAÐ=Ð，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，∴∠ECB+∠EBC=90°，∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECB =∠DAB ．AB =5，BD =4 ，3AD \==， ∴3cos cos 5ECB DAB Ð=Ð=．【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，余角的性质，以及勾股定理等知识．掌握圆周角的两个定理：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．这两个性质在圆的证明题中经常运用，要熟练掌握．11．（2021·全国九年级课时练习）如图，A 、D 是⊙O 上的两点，BC 是直径，若∠D ＝32°，则∠OAC ＝_______度．【答案】58【分析】根据∠D 的度数，可以得到∠ABC 的度数，然后根据BC 是直径，从而可以得到∠BAC 的度数，然后可以得到∠OCA 的度数，再根据OA=OC ，从而可以得到∠OAC 的度数．【详解】解：∵∠D=32°，∠D=∠ABC∴∠ABC=32°∵BC 是直径∴∠BAC=90°∴∠BCA=90°-∠ABC=90°-32°=58°∴∠OCA=58°∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=58°故答案为58．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．（2021·上海九年级专题练习）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为__________米．【答案】0.8或0.2.【分析】构造垂径定理，分两种情形求得弦心距，从而得到水深.【详解】如图所示，作AB 的垂直平分线，垂足为E ，根据题意，得 AO=0.5，AE=0.4，根据勾股定理，得，∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2（米）或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8（米），∴水深为0.2米或0.8米.故答案为：0.2米或0.8.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解答时，构造垂径定理，活用分类思想是解题的关键.三、解答题13．（2021·全国九年级课时练习）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PA＝PC．求证：AB CD=．【答案】证明见解析【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD，根据等腰三角形的性质得到∠PAC＝∠PCA，根据圆周角定理得到∠BOC＝∠AOD，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．【详解】证明：连接AC、OA、OB、OC、OD，∵PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∵∠PAC12=∠BOC，∠PCA12=∠AOD，∴∠BOC＝∠AOD，∴AD BC=n n，∴AD BD BC BD-=-，即AB CD=．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．14．（2021·全国九年级课时练习）如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．求证：（1）AB＝CD；（2）AE ＝CE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）欲证明AB=CD ，只需证得 AB ＝ CD ；（2）连接AC ，由 AB ＝ CD得出∠ACB=∠CAD ，再由等角对等边即可证的AE ＝CE.【详解】证明：（1）∵AD ＝BC∴ AD ＝ BC∴ AD －AC ＝ BC － AC 即 AB ＝ CD∴AB ＝CD（2）连接AC∵ AB ＝ CD∴∠ACB ＝∠DAC∴AE ＝CE【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.15．（2020·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级期中）如图，在O e 中， AC CB=，CD OA ^于点D ，CE OB ^于点E ．（1）求证：CD CE =；（2）若120AOB Ð=°，2OA =，求四边形DOEC 的面积．【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）如图，连接OC ，先证明,AOC BOC Ð=Ð再证明：,CDO CEO V V ≌从而可得结论；（2）由120AOB Ð=°，2OA =，求解60AOC Ð=°，再利用三角函数求解,OD CD ， 利用,CDO CEO V V ≌从而可得四边形的面积．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，AC BC= ， ,AOC BOC \Ð=Ð,,CD OA CE OB ^^90CDO CEO \Ð=Ð=°，,OC OC =(),CDO CEO AAS \V V ≌.CD CE \=（2）120,AOB Ð=60AOC BOC \Ð=Ð=°，2OA OC == ，1cos 6021,sin 6022OD OC CD OC \=°=´==°==g g ,CDO CEO V V ≌12212CDO CDOE S S \==´´=V 四边形【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，圆的基本性质，两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系定理，解直角三角形的应用，四边形的面积，掌握以上知识是解题的关键．。
圆的对称性专项练习测验题
1.⊙O 中若直径为25cm ，弦AB 地弦心距为10cm ，则弦AB 地长为．2若圆地半径为3，圆中一条弦为25，则此弦中点到弦所对劣弧地中点地距离为．3 若AB 是O 地直径，弦CD AB ⊥于E ，16AE =，4BE =，则CD =，AC =．4.⊙O 中，弦AB 地长恰等于半径，则弦AB 所对圆心角是________度．一条弦AB 分圆地直径为3cm 和7cm 两部分，弦和直径相交成60角，则AB =．b5E2R 。
5.⊙O 中，弦AB 地长恰等于半径，则弦AB 所对圆心角是________度．6．弦心距是弦地一半时，弦与直径地比是，弦所对地圆心角是．7. 在半径为1地圆中，长为2地弦所对地圆心角度数是，8．半径为5地⊙O 内有一点P ，且OP=4，则过点P 地最短地弦长是，最长地弦长是．9.下列说法中，正确地是A ．等弦所对地弧相等B ．等弧所对地弦相等C ．圆心角相等，所对地弦相等D ．弦相等所对地圆心角相等10.在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°，点O 到弦AB 地距离为4，则⊙O 地直径地长为（）A ．42B ．82C ．24D ．1611 如图，以O 为圆心地两个同心圆中，大圆地弦AB 交小圆于C ，D 两点，10cm AB =，6cm CD =，那么AC 地长为Ａ．0.5cm Ｂ．1cm Ｃ．1.5cm Ｄ．2cm p1Ean 。
． 12，AB 是⊙O 地直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中错误地是（ ）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．AE=BED ．BD BC =13．如果两条弦相等，那么A ．这两条弦所对地弧相等B ．这两条弦所对地圆心角相等C ．这两条弦地弦心距相等D ．以上答案都不对14.(8f)12．已知：如图7－33，AB ，CD 是⊙O 地两条直径，AE是⊙15. (8f)如图，已知O ，线段CD 与O 交于A ，B 两点，且OC OD =．试比较线段AC 和BD 地大小，并说明理由．ＥＣＡＤＢ Ｏ ＯＣ ＡＢ Ｄ B A C E D O16．(8f)．已知：如图，在⊙O 中，，D ，E 分别是半径OA ，OB 地中点.求证：CD =CE.17. (8f)如图，有一座石拱桥地桥拱是以O 为圆心，OA 为半径地一段圆弧．（1）请你确定弧AB 地中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）若120AOB ∠=，4OA =m ，请求出石拱桥地高度．、、18.(8f) 如图，AB 是O 地直径，BC ，CD ，DA 是O 地弦，且BC CD DA ==，求BOD ∠地度数．19、.(8f)如图，在△ABC 中，BD 、CE 是高.求证：A 、B 、C 、D 、E 在同一个圆上.20．(10f)已知：如图，过⊙O 上一点A 作弦AB ，AC ，且AB =AC ，M ，N 分别是AB ，AC 地中点，弦PQ 过M ，N 两点.求证：PM =NQ .DXDiT 。
圆的对称性 课时练习含答案解析
圆的对称性同步练习一、选择题1.圆内接四边形ABCD ，∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为3：4：6，则∠D 的度数为（ ）A ．60B ．80C ．100D ．1202.如图，AB 是⊙O 的直径，BC CD DE ==，∠COD =34°，则∠AEO 的度数是（ ）A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°3.如图所示，在⊙O 中，AB AC =，∠A ＝30°，则∠B ＝（ ）A ．150°B ．75°C ．60°D ．15°4.如图，半圆O 的直径AB ＝10cm ，弦AC ＝6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（ ）A ．45cmB ．35cmC ．55cmD ．4cm5.若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，则优弧所对的圆周角为（ ）A ．45°B ．90°C ．l35°D ．270°6.如图，△ABC 的外接圆上，AB ，BC ，CA 三弧的度数比为12：13：11．自劣弧BC 上取一点D ，过D 分别作直线AC ，直线AB 的平行线，且交 BC 于E ，F 两点，则∠EDF 的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°7.如图，弧D A 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为弧D A上任意一点，若AC ＝5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A ．15B ．20C ．15＋52D ．15＋558.如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一点，D 、E 是弧AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则∠D ＋∠E 的度数为（ ）A ．mB ．180°－2mC ．90°＋2mD ．2m 9.如图，MN 为⊙O 的弦，∠M ＝50°，则∠MON 等于（ ）A ．50°B ．55°C ．65°D ．80°10.如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE 上的三等分点，∠AOE =60°，∠COE 是（ ）A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°11.如图，弧BE 是半径为6的圆D 的14圆周，C 点是BE 上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ）A ．12＜P ≤18B ．18＜P ≤24C ．18＜P ≤18＋62D ．12＜P ≤12＋6212.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°13.如图，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝（）A．105°B．120°C．135°D．150°14.如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D ＋∠E的度数是（）A．180°B．150°C．135°D．120°15.如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、角、弧分别具有相等关系的量共有（不包括AB＝CD）（）A．10组B．7组C．6组D．5组二、填空题16.如图，圆心角∠AOB＝20°，将AB旋转n°得到CD，则CD的度数是度．17.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E，则BD的度数为．18.一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为cm．19.已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB＝45°，则∠AOB＝____20.如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝25°，则∠AOC的度数是____三、解答题21.如图，AB是⊙O的直径，AC＝CD，∠COD＝60°．（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；（2）求证：OC∥BD．22.如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC 的中点．（1）求证：△ABC为等边三角形；（2）求DE的长；（3）在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．23.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．24.如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC＝120°．（1）求∠ACB的大小；（2）求点A到直线BC的距离．25.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C 作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC＝____ 度，∠BPC＝____度；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA＝1，PB＝2，求梯形PBCM的面积．答案：C答案：A答案：B答案：A答案：A答案：C答案：C答案：B答案：D答案：C答案：C答案：D答案：B答案：A答案：A答案：20答案：50°答案：40答案：90°答案：50°解析：解答：（1）△AOC是等边三角形.证明：∵AC＝CD，∴∠1＝∠COD＝60°∵OA＝OC几何∴△AOC是等边三角形；（2）∵AC＝CD，∴OC⊥AD又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AD∴OC∥BD.答案：存在，只需PB＝1解析：解答：（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵点D是BC的中点，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形．（2）解：连接BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC，∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点，∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，∴DE＝12AB＝12×2＝1．（3）解：存在点P使△PBD≌△AED，由（1）（2）知，BD＝ED，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°，∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°，∴∠PBD＝∠AED，要使△PBD≌△AED；只需PB＝AE＝1．答案：菱形解析：解答：（1）证明：∵AC＝CD，∴AC CD∴∠ABC＝∠CBD，又∵OC＝OB（⊙O的半径），∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD；（2）解：∵OC∥BD，不妨设平行线OC与BD间的距离为h，又S△OBC＝12OC×h，S△DBC＝12BD×h，因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC＝S△DBC，∴OC＝BD，∴四边形OBDC为平行四边形，又∵OC＝OB，∴四边形OBDC为菱形．答案：33 2解析：解答：（1）连接BD，∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC＝90°，∵D是AC 中点，∴BD是AC的垂直平分线，∴AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，即∠ACB＝30°；（2）过点A 作AE ⊥BC 于点E ，∵BC ＝3，∠ACB ＝30°，∠BDC ＝90°，∴cos30°＝3CD CD BC ，∴CD ＝332，∵AD ＝CD ， ∴AC ＝33，∵在Rt △AEC 中，∠ACE ＝30°，∴AE ＝12×33＝332．解析：解答：（1）解：∠APC ＝60°，∠BPC ＝60°；（2）证明：∵CM ∥BP ， ∴∠BPM ＋∠M ＝180°， ∠PCM ＝∠BPC ，∵∠BPC ＝∠BAC ＝60°， ∴∠PCM ＝∠BPC ＝60°， ∴∠M ＝180°－∠BPM ＝180°－（∠APC ＋∠BPC ）＝180°－120°＝60°，∴∠M ＝∠BPC ＝60°，又∵A 、P 、B 、C 四点共圆，∴∠PAC ＋∠PBC ＝180°，∵∠MAC ＋∠PAC ＝180°∴∠MAC ＝∠PBC ∵AC ＝BC ，∴△ACM ≌△BCP ；（3）解：作PH ⊥CM 于H ，∵△ACM ≌△BCP ，∴CM ＝CP AM ＝BP ，又∠M ＝60°， ∴△PCM 为等边三角形，∴CM ＝CP ＝PM ＝PA ＋AM ＝PA ＋PB ＝1＋2＝3，在Rt △PMH 中，∠MPH ＝30°，∴PH ＝332， ∴S 梯形PBCM ＝12（PB ＋CM ）×PH ＝12(2＋3)×332＝ 1534．。
圆的对称性专项练习测验题
1.⊙ O 中若直径为 25cm ，弦 AB 地弦心距为 10cm ，则弦 AB 地长为．2 若圆地半径为 3，圆中一条弦为 2 5 ，则此弦中点到弦所对劣弧地中点地距离为．3 若 AB 是 O 地直径，弦 CD ⊥AB 于E ，AE 16，BE 4，则CD ， AC ．4.⊙O 中，弦 AB 地长恰等于半径，则弦 AB 所对圆心角是 ______ 度．一条弦 AB 分圆地直径为 3cm 和7cm 两部分，弦和直径相交成 60 角，则 AB ． b5E2RGbCAP5.⊙ O 中，弦 AB 地长恰等于半径，则弦 AB 所对圆心角是 ____ 度．6．弦心距是弦地一半时，弦与直径地比是，弦所对地圆心角是．7. 在半径为 1地圆中，长为 2 地弦所对地圆心角度数是，8．半径为 5 地⊙ O 内有一点 P ，且 OP=4，则过点 P 地最短地弦长是，最长地弦长是．9. 下列说法中，正确地是 A ．等弦所对地弧相等B ．等弧所对地弦相等D ． BD BC15. (8f)如图，已知 O ，线段 CD 与 O 交于 A ，B 两点，且 OC OD ．试比较线段 AC 和BD 地大小， 并说明理由．C ．圆心角相等，所对地弦相等D ．弦相等所对地圆心角相等 10.在⊙ O 中，圆心角∠ AOB=90°，点 O 到弦 AB 地距离为 4，则⊙ O 地直径地长为()82 C ．24 D ．1611 如图， AB 10cm ， CD 6cm ，那么 AC 地长为Ａ． Ｄ． 2cm p1EanqFDPw以 O 为圆心地两个同心圆中，大圆地弦 AB 交小圆于 C ，D 两点，0.5cm Ｂ． 1cm Ｃ． 1.5 cm CD 为弦， CD ⊥AB 于 E ，则下B ．CE=DEC ．AE=BE13．如果两条弦相等，那么 A ．这两条弦所对地弧相等 B ． 这两条弦所对地圆心角相等 C ．这两条弦地弦心距相等 D ．以上答案都不对14.(8f) 12．已知：如图7－33，AB ，CD 是⊙ O 地两条直径， AE 是⊙ A ． 4 2 B ． 12，AB 是⊙O 地直径， 列结论中错误地是( )A ．∠ COE= ∠ DOEＤ16．(8f) ．已知：如图，在⊙ O 中， ， D ，E 分别是半径 OA ，OB 地中点 .求证： CD=CE.度 . 5PCzVD7HxA3.如图所示， AB 是圆 O 地直径，以 OA 为直径地圆 C 与圆 O 地弦 AD 相交于点 E. 你认为图 中有哪些相等地线段？为什么？ jLBHrnAILg17. (8f) 如图，有一座石拱桥地桥拱是以 (1)请你确定弧 AB 地中点；(要求： 法和证明)O 为圆心， OA 为半径地一段圆弧． 用尺规作图，2）若 AOB 120 ， OA 4m ， 、、18.(8f) 如图， AB 是 O 地直径， BC ， CDBC CD DA ，求 BOD 地度数．19、.(8f)如图，在 △ABC 中，BD 、CE 是高.求证：个圆上 .20． (10f)已知：如图，过⊙ O 上一点 A 作弦 AB ，AC ，且 AB=AC ，M ， N 分别是 AB ，AC 地中点，弦 PQ 过 M ，N 两点.求证： PM =NQ.DXDiTa9E3d21(10f) 25．如图，已知⊙ O 1和⊙ O 2是等圆，直线 CF 顺次交这两个圆于 C 、D 、E 、F ，且 CF 交 O 1O 2于点 M ，1. 已知：A B 交圆 O 于 C 、 D ，且 AC ＝BD.你认为 OA ＝OB 吗？为什么？ 2. 如图所示，是一个直径为 650mm 地圆柱形输油管地横截面，若油面宽 AB=600mm ，求油面地最大深ＯＢ BCD EF ， O 1M 和 O 2M 相等吗？为什么？ RTCrpUDGiTB4. 如图所示，OA 是圆O 地半径，弦CD ⊥OA 于点P，CD= x.HAQX74J0X5. 如图所示，在圆O中，AB、AC 为互相垂直且相等地两条弦，分别为D、E，若AC=2cm ，则圆O 地半径为6. 如图所示，AB 是圆O 地直径，弦已知OC=5 ，OP=3 ，则弦OD⊥AB，OE⊥AC，垂足___________ c m.LDAYtRyKfECD⊥AB，E 为垂足，若AB=9 ，BE=1，则7. 如图所示， 在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以 AC 为直径作圆与斜边交于点 P ， 则 BP 地长为 __________ d .vzfvkwMI18. 如图所示，四边形 ABCD 内接于圆 O ，∠BCD=120°，则∠ BOD= __________ 度.rqyn14ZNXI9. 如图所示，圆 O 地直径为 10，弦 AB 地长为 6，M 是弦 AB 上地一动点，则线段地 OM 地长 地取值范围是（） EmxvxOtOco10. 下列说法中，正确地是 A. 到圆心地距离大于半径地点在圆内 B. 圆地半径垂直于圆地切线C. 圆周角等于圆心角地一半D. 等弧所对地圆心角相等 SixE2yXPq511. 若圆地一条弦把圆分成度数地比为 1：3 地两条弧，则劣弧所对地圆周角等于（）A. 45°B. 90°C. 135°D. 270°12. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆 O 上，∠ AOC=100°，则∠ ABC 等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°13. △ABC 中，∠ C=90°，AB= 4cm ， BC= 2cm ，以点 A 为圆心，以 3.5cm 长为半径画圆， 则点 C 在圆 A _________ ，点 B 在圆 A _______ ；6ewMyirQFL14. 圆地半径等于 2cm，圆内一条弦长 2 3 cm ，则弦地中点与弦所对弧地中点地距离等于 15. 如图所示，已知 AB 为圆 O 地直径， AC 为弦，OD ∥BC 交AC 于D ，OD= 2cm ，求 BC 地长；A. 3≤OM ≤5B. 4≤ OM ≤5C. 3<OM <5D. 4< OM <5kavU42VRUs16. 如图所示，破残地圆形轮片上，弦AB 地垂直平分线交弧AB 于点C，交弦AB 于点D. 已知：AB 24cm ，CD 8cm y6v3ALoS89（1）求作此残片所在地圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆地半径.17. 已知：如图所示，Rt△ABC 地两直角边BC=3cm，AC=4cm，斜边AB 上地高为CD，若以C 为圆心，分别以r1=2cm，r2=2.4cm，r3=3cm，为半径作圆，试判断点D 与这三个圆地位置关系. M2ub6vSTnP18. 在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，D是AB 边地中点，以点C为圆心，4cm为半径作圆.则A、B、C、D 四点在圆内有__________ 0.YujCfmUCw19. 等腰三角形ABC中，B、C为定点，且AC=AB ，D为BC中点，以BC为直径作圆D. （1）顶角 A 等于多少度时， A 在圆 D 上？（2）顶角 A 等于多少度时， A 在圆 D 内部？（3）顶角 A 等于多少度时， A 在圆 D 外部？20. 在半径为5cm地圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB 与CD之间地距离.21. 如图所示，圆O 地直径AB 和弦CD 交于E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠ CEA=30°，求CD.eUts8ZQVRdBBD22. 圆O 中若直径为25cm，弦AB 地弦心距10cm，求弦长.23. 若圆地半径2cm，圆中一条弦长1cm，则此弦中点到此弦所对劣弧中点之间地距离？24. 圆内一条弦与直径地交角为30°，且分直径为1cm和5cm两段，求弦心距，弦长？25. _______________________________________________________ 半径为5cm地圆O中有一点P，OP=4，则过P地最短弦长 ____________________________ ，最长弦是__________ ，sQsAEJkW5T26. 如图所示，已知O是∠ EPF地平分线上地一点，以O为圆心地圆心角地两边分别交于点A、B、C、D 求证：PB=PD，若角地顶点P 在圆上或圆内，上述还成立吗？请说明.GMsIasNXkA版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理. 版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership. TIrRGchYzg用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利. 除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬. 7EqZcWLZNXUsers may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee. lzq7IGf02E转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任. zvpgeqJ1hkReproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the content of this article, and shall bearlegal liability。
(完整版)圆的对称性习题(有答案)
2 圆的对称性一、选择题（共10小题）1．（2012•江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）A．（﹣1，）B．（0，）C．（，0）D．（1，）2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（）A．1B．2C．3D．43．下列说法：①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．34．（2013•邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（）A．B．2RsinαC．D．R sinα5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A．3＜r＜5 B．3＜r≤4 C．4＜r≤5 D．无法确定6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（）A．3cm B．6cm C．8cm D．10cm7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm9．（2010•昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．10．（2013•合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D 是上的一动点，则四边形AODC 的面积s的取值范围是（）A．≤s ≤B．＜s ≤C．≤s ≤D．＜s ＜二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB=_________cm．13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为_________cm．14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是_________．15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A_________．16．在下图所列的图形中选出轴对称图形：_________．17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是_________．18．以已知点O为圆心，可以画_________个圆．19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=_________．20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D=_________度．三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．（1）求圆心O到弦AB的距离；（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的长；（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1．（2012•江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）A．（﹣1，）B．（0，）C．（，0）D．（1，）考点：圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形．分析：连接OQ、OP，求出∠POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，∠OPQ=∠OQP=60°，求出∠AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出∠QAO，求出AQ、OA，即可得出答案．解答：解：连接OQ、PO，则∠POQ=120°﹣60°=60，∵PO=OQ，∴△POQ是等边三角形，∴PQ=OP=OQ=×4cm=2cm，∠OPQ=∠OQP=60°，∵∠AOQ=90°﹣60°=30°，∴∠QAO=180°﹣60°﹣30°=90°，∴AQ=OQ=2cm，∵在Rt△AOQ中，由勾股定理得：OA==，∴A的坐标是（0，），故选B．点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是构造三角形后求出OA的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能力．2．已知⊙O中，弦AB长为，OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则⊙O的半径是（）A．1B．2C．3D．4考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OA，根据垂径定理求出AD，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程R2=（R﹣1）2+（）2，求出R即可．解答：解：连接OA，∵OC是半径，OC⊥AB，∴AD=BD=AB=，设⊙O的半径是R，则OA=R，OD=R﹣1，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2，即R2=（R﹣1）2+（）2，R=2，故选B．点评：本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想．3．下列说法：①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：垂径定理；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质．分析：根据只有在平行线中，同位角才相等，等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断①②③④；画出反例图形即可判断⑤．解答：解：∵只有在平行线中，同位角才相等，∴①错误；∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，∴②错误；∵对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，∴③错误；∵等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，∴④正确；如图AB是⊙O直径，CD是⊙O弦，AB平分CD，但AB和CD不垂直，∴⑤错误；故选B．点评：本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，同位角，等腰梯形性质，正方形的判定等知识点的应用，主要考查学生的辨析能力．4．（2013•邵东县模拟）⊙O的半径为R，若∠AOB=α，则弦AB的长为（）A．B．2RsinαC．D．R sinα考点：垂径定理；解直角三角形．分析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得出AB=2AC，根据等腰三角形性质求出∠AOC=∠BOC=∠AOB=，根据sin∠AOC=求出AC=Rsin，即可求出AB．解答：解：过O作OC⊥AB于C，则由垂径定理得：AB=2AC=2BC，∵OA=OB，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=，在△AOC中，sin∠AOC=，∴AC=Rsin，∴AB=2AC=2Rsin，故选A．点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点，关键是求出AC的长和得出AB=2AC．5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A．3＜r＜5 B．3＜r≤4 C．4＜r≤5 D．无法确定考点：点与圆的位置关系．分析：四边形ABCD是矩形，则△ABC是直角三角形．根据勾股定理得到：AC=5，B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，由题意可知一定是B在圆内，则半径r＞3，一定是点C在圆外，则半径r＜5，所以3＜r＜5．解答：解：∵AB=3，AD=4，∴AC=5，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r的取值范围是：3＜r＜5．故选A．点评：本题主要考查了勾股定理，以及点和圆的位置关系，可以通过点到圆心的距离与圆的半径比较大小，判定点和圆的位置关系．6．已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（）A．3cm B．6cm C．8cm D．10cm考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：连接OA，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可．解答：解：连接OA，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC，由勾股定理得：AC===3（cm），∴AB=2AC=6（cm）．故选B．点评：本题主要考查对勾股定理，垂径定理等知识点的理解和掌握，能求出AC=BC和AC的长是解此题的关键．7．半径为5的⊙O，圆心在原点O，点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定考点：点与圆的位置关系；勾股定理．专题：计算题．分析：连接OP，根据勾股定理求出OP，把OP和圆的半径比较即可．解答：解：连接OP．∵P（﹣3，4），由勾股定理得：OP==5，∵圆的半径5，∴P在圆O上．故选B．点评：本题主要考查对勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能求出OP长和能根据直线与圆的位置关系性质进行判断是解此题的关键．8．一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm考点：点与圆的位置关系．分析：点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．解答：解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm；当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm．故选A．点评：本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．9．（2010•昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象；垂径定理．专题：压轴题；动点型．分析：连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．解答：解：连接OP，∵OC=OP，∴∠OCP=∠OPC．∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB，∴∠OPC=∠DCP．∴OP∥CD．∴PO⊥AB．∵OA=OP=1，∴AP=y=（0＜x＜1）．故选A．点评：解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．10．（2013•合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D 是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（）A．≤s≤B．＜s≤C．≤s≤D．＜s＜考点：等边三角形的性质；垂径定理．专题：压轴题；动点型．分析：根据题意，得四边形AODC的最小面积即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC时四边形的面积．要求三角形AOC的面积，作CD⊥AO于D．根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得CD=，得其面积是；要求最大面积，只需再进一步求得三角形DOC的面积，即是，则最大面积是．解答：解：根据题意，得四边形AODC的面积最小即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD⊥OC 时四边形的面积．作CH⊥AO于H，∵△AOC为等边三角形∴CH=∴S△AOC=；当OD⊥OC时面积最大，∴S△OCD=，则最大面积是+=∴四边形AODC的面积s的取值范围是＜s≤．故选B．点评：此题首先要能够正确分析出要求的四边形的最小面积和最大面积，然后根据等边三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算．二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？考点：圆的认识．分析：根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合可以得到答案．解答：解：可让牛牛站在原地旋转，壮壮拉直牛牛的手臂，绕牛牛走一圈，用脚在沙滩上画出一条曲线，就是一个圆．点评：本题考查了圆的认识，了解圆的定义是解决本题的关键．12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB=2cm．考点：垂径定理．分析：根据题意画出图形，作弦的弦心距，根据题意可知，半径OA=5cm，ND=3cm，ON=2cm，利用勾股定理易求得NM=1cm，OM=cm，进一步可求出AM，进而求出AB．解答：解：根据题意画出图形，如图示，作OM⊥AB于M，连接OA，∴AM=BM，CD=10cm，ND=3cm，∴ON=2cm，∵∠ONM=60°，OM⊥AB，∴MN=1cm，∴OM=，在Rt△OMA中，AM===，∴AB=2AM=2．点评：本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，设法确定其中两边，进而利用勾股定理确定第三边．13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为24cm．考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：在△OBD中，利用勾股定理即可求得BD的长，然后根据垂径定理可得：AB=2BD，即可求解．解答：解：连接OB，∵在Rt△ODB中，OD=4cm，OB=5cm．由勾股定理得：BD2=OB2﹣OD2=132﹣52=144，∴BD=12，又OD⊥AB，∴AB=2BD=2×12=24cm．故答案是24．点评：本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形．14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是8条．考点：垂径定理；勾股定理．专题：推理填空题．分析：求出最长弦（直径）和最短弦（垂直于OP的弦），再求出之间的数，得出符合条件的弦，相加即可求出答案．解答：解：过P点最长的弦是直径，等于10，最短的弦是垂直于PO的弦，根据勾股定理和垂径定理求出是6，10和6之间有7，8，9，每个都有两条弦，关于OP对称，共6条，1+1+6=8，故答案为：8条．点评：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题是一道比较容易出错的题目，考虑一定要全面，争取做到不重不漏．15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A内部．考点：点与圆的位置关系；坐标与图形性质．分析：首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A的半径求得点与圆的位置关系．解答：解：∵A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），∴AP==2∵⊙A的半径为5，∴5＞2∴点P在⊙A的内部故答案为：内部．点评：本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离．16．在下图所列的图形中选出轴对称图形：②③④⑥．考点：圆的认识；轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形进行判断．解答：解：①⑤都不是轴对称图形，②③④⑥是轴对称图形，故答案为：②③④⑥．点评：本题主要考查轴对称的知识点，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是线段AB的垂直平分线．考点：圆的认识；线段垂直平分线的性质．分析：利用圆的性质可以得到圆上的所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到A、B两点的距离相等，从而得到结论．解答：解：∵圆上的所有点到圆心的距离相等，∴无论圆心O在哪里，总有OA=OB，即：所有圆心到A、B两点的距离相等，∵到A、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，故答案为：线段AB的垂直平分线．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．18．以已知点O为圆心，可以画无数个圆．考点：圆的认识．分析：圆心固定，半径不确定，可以画出无数个圆，由此选择答案解决问题．解答：解：以一点为圆心，以任意长为半径可以画无数个同心圆，故答案为：无数．点评：此题考查：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小这一知识．19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=48°．考点：圆的认识；平行线的性质．分析：根据半径相等和等腰三角形的性质得到∠D=∠A，利用三角形内角和定理可计算出∠A，然后根据平行线的性质即可得到∠BOC的度数．解答：解：∵OD=OC，∴∠D=∠A，∵∠AOD=84°，∴∠A=（180°﹣84°）=48°，又∵AD∥OC，∴∠BOC=∠A=48°．故答案为：48°．点评：本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等．也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D=25度．考点：圆的认识；三角形内角和定理；三角形的外角性质．分析：解答此题要作辅助线OB，根据OA=OB=BD=半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决．解答：解：连接OB，∵BD=OA，OA=OB所以△AOB和△BOD为等腰三角形，设∠D=x度，则∠OBA=2x°，因为OB=OA，所以∠A=2x°，在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）=180，解得x=25，即∠D=25°．点评：此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中．三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．考点：垂径定理；线段垂直平分线的性质．专题：证明题．分析：过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出CE=DE，求出AE=BE，根据线段的垂直平分线定理求出即可．解答：证明：过O作OE⊥AB于E，∵OE过圆心O，∴CE=DE，∵AC=BD，∴AE=BE，∵OE⊥AB，∴OA=OB．点评：本题考查了线段的垂直平分线定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．考点：垂径定理．专题：证明题．分析：过O作OG⊥CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，再由平行线分线段成比例定理即可求解．解答：证明：过O作OG⊥CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，则CG=DG，∵CE⊥CD，DF⊥CD，OG⊥CD，∴CE∥OG∥DF，∵CG=DG，∴OE=OF，∵OA=OB，∴AE=BF．点评：本题综合考查了垂径定理和平行线分线段成比例定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出平行线，再利用平行线的性质解答．23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．考点：圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形．专题：证明题．分析：连接OE，推出DE⊥OC，求出∠EDO=90°，根据OD=OC=OE，求出∠DEO=30°，求出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠AOC=90°，求出∠AOE=30°，即可求出答案．解答：证明：连接OE，∵AB⊥OC，DE∥AB，∴DE⊥OC，∴∠EDO=90°，∵D为OC中点，∴OD=OC=OE，∴∠DEO=30°，∴∠EOC=90°﹣30°=60°，∵OC⊥AB，∴∠AOC=90°，∴∠AOE=90°﹣60°=30°，即∠AOE=30°，∠COE=60°，∴=2（圆心角的度数等于它所对的弧的度数）．点评：本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性比较强．24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．（1）求圆心O到弦AB的距离；（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？考点：垂径定理；勾股定理．专题：计算题．分析：（1）连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，求出BC，再根据勾股定理求出OC即可；（2）弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．解答：（1）解：连接OB，过O作OC⊥AB于C，则线段OC的长就是圆心O到弦AB的距离，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC=AB=8cm，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===4（cm），答：圆心O到弦AB的距离是4cm．（2）解：如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点到圆心O的距离都是4cm，∴如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成一个以O为圆心，以4cm为半径的圆周．点评：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好，难度适中．25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）考点：圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：方法一：连接OB，利用同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等即可证明此题．方法二：连接OE，利用垂径定理可得OE⊥BC，再利用AD⊥BC，可得OE∥AD，然后即可证明．解答：证明：（1）连接OB，则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC，∴∠OAB=（180°﹣∠AOB），=90°﹣∠AOB=90°﹣∠ACB=∠DAC，∵E是弧BC的中点，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB﹣∠OAB=∠EAC﹣∠DAC=∠EAD．（2）连接OE，∵E是的中点，∴弧BE=弧EC，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OAE=∠EAD．点评：此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线，方法一：连接OB，方法二：连接OE，属于中档题．26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的长；（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．考点：垂径定理；勾股定理．分析：（1）作OH⊥CD于H，连接OD，求出AB=6cm，半径OD=3cm，在Rt△OHE中，OE=2cm，∠OEH=60°，由勾股定理求出OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD=cm，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可；（2）求出OE，∠OEH=45°，根据勾股定理求出OH，在Rt△OHD中，由勾股定理得求出HD，由垂径定理得出DC=2DH，代入即可．解答：解：（1）作OH⊥CD于H，连接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=6cm，半径OD=3cm，∵在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=60°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD=cm，∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；（2）作OH⊥CD于H，连接OD，∵AE=1cm，BE=5cm，E在直径AB上，∴AB=1cm+5cm=cm6，半径OD=3cm，∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，∴∠OEH=60°﹣15°=45°，在Rt△OHE中，OE=3cm﹣1cm=2cm，∠OEH=45°，∴OH=cm，在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD==（cm），∵OH⊥CD，∴由垂径定理得：DC=2DH=2cm；即CD=2cm．点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．考点：垂径定理；解直角三角形．专题：证明题．分析：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，设⊙O半径为R，根据sinA=，、inC=和∠A=∠C求出OE=OF，由勾股定理求出AE=CF，由垂径定理得出DC=2DF，AB=2AE，即可求出答案．解答：证明：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F设⊙O半径为R，sinA=，sinC=，∴OE=RsinA，OF=RsinC，∵∠A=∠C，∴sinA=sinC，∴OE=OF，由勾股定理得：CF2=OC2﹣OF2，AE2=OA2﹣OE2，∴AE=CF，由垂径定理得：DC=2DF，AB=2AE，∴AB=CD．点评：本题考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识点，主要培养学生运用定理进行推理的能力．28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．考点：垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：连接OA，根据等腰三角形性质求出∠D=∠OAD=30°，求出∠AOH=60°，根据垂径定理求出AB=2AH=2BH，求出∠HAO=30°，推出AO=2OH=C0，求出OH=CH=1cm，AO=2cm，在Rt△AHO 中，由勾股定理求出AH即可．解答：解：连接OA，∵OA=OD，∴∠D=∠OAD=30°，∴∠AOH=30°+30°=60°，∵AB⊥DH，∴∠AHO=90°，AB=2AH=2BH，∴∠HAO=30°，∴AO=2OH=C0，∴OH=CH=1cm，∴AO=2cm，在Rt△AHO中，由勾股定理得：AH==cm，∴AB=2cm．点评：本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算和推理的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB 的长．考点：垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：①连接AD、OB，根据三线合一得出AO过D，在Rt△OBD中，根据勾股定理求出BD，在Rt△ADB 中，根据勾股定理求出AB即可．②求出BD、AD，根据勾股定理求出AB即可．解答：解：①如图，连接AD，连接OB，∵△ABC是等腰三角形，∴根据等腰三角形的性质（三线合一定理）得出，AO⊥BC，AO平分BC，∵OD⊥BC，∴根据垂直定理得：OD平分BC，即A、O、D三点共线，∴AO过D，∵等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，∴OA=6cm，BD=DC，AD⊥BC，在Rt△OBD中，由勾股定理得：BD===4（cm），在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB===4（cm），②如图：同法求出BD=4cm，AD=6cm﹣2cm=4cm，由勾股定理得：AB===4（cm），答：AB的长是4cm或4cm．点评：本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，勾股定理等知识点的应用，关键是正确作辅助线后求出BD的长，题目具有一定的代表性，难度也适中，是一道比较好的题目．注意：分类讨论．30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：计算题．分析：延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E，根据垂径定理求出BC=2BE，根据等边三角形的性质和判定求出AD=BD=AB=12，求出OD的长，根据含30度角的直角三角形性质求出DE即可解答：解：延长AO交BC于D，过O作OE⊥BC于E，∵OE过圆心O，OE⊥BC，∴BC=2CE=2BE（垂径定理），∵∠A=∠B=60°，∴DA=DB，∴△DAB是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形），∴AD=BD=AB=12，∠ADB=60°，∴OD=AD﹣OA=12﹣7=5，∵∠OED=90°，∠ODE=60°，∴∠DOE=30°，∴DE=OD=（在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半），∴BE=12﹣=，∴BC=2BE=19（根据垂径定理已推出，在第三行）．点评：本题考查了垂径定理，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，关键是正确作辅助线后求出BE的长，题目比较典型，难度适中．。
圆的对称性(含答案)
1题《圆的对称性》练习题二1.如图，⊙O 中，AB=CD ，由图中可得哪些结论？ 。
2.半径为2cm 的圆中，长为2 3 cm 的所对的圆心角度数为 ，弦心距长为 。
3.下列说法中正确的是：A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弦所对的圆心角相等C 、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等D 、相等的弦所对的弧相等4.如图，⑴⊙O 的半径为4cm ，正方形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，则AB 长为 。
⑵⊙O 的半径为5cm ，正六边形ABCDEF 的六个顶点都在⊙O 上，则正六边形ABCDEF 的周长为 。
5.如图，点A 、B 、C 为⊙O 上的三点，CD ⊥AO ，CE ⊥BO ，且CD=CE试判断与的大小关系，并说明理由。
6.如图，⊙O 中，弦AB 、CD 交于点P ，M 、N分别是AB 、CD 的中点，连接MN ，若求证：MP=NP7.如图，⊙O 中，AB=CD ，点M 、N 分别为AB 、CD 的中点 求证：∠AMN=∠DNM8.如图，==，OB 、OC 分别交AC 、BD 于点M 、N 求证：∠OMN=∠ONM9.如图，已知AB 为⊙O 的弦，从圆上任意一点作弦C D ⊥AB ，作∠OCD 的角平分线交⊙O 于点P ，连接PA 、PB 。
求证：AP=PB4题（1） 4题（2） 5题 8题6题 7题AB 、CD 4.如图，已知点O 为∠EPF 的角平分线上一点，以O 为圆心的圆与角两边分别交于A 、B 、C 、D 四点。
求证：AB=CD6.如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 交于点P ，PO 为∠APC 的角平分线，点M 、N分别是 的中点。
求证：MN ⊥PO答案：1略 2.10.5cm 3.10cm 4.过点O 分别作AB 、CD 的垂线段 5.连接OP6.分别连接OM 、ON7. 分别连接OM 、ON8. 分别连接OD 、OE。
圆的对称性作业
练习一车轮为什么做成圆形一、填空题：1.如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：①点P在⊙O外，则______；②______ 则d=r；③______则d<r.2.两个同心圆的直径分别为5 cm和3 cm，则圆环部分的宽度为_____ cm.3.已知，⊙O的直径为10 cm，点O到直线a的距离为d：①若a与⊙O相切，则d=______；②若d=4 cm，则a与⊙O有_____个交点；③若d=6 cm，则a与⊙O的位置关系是_____.4.已知：⊙O的半径为10cm，OP=28cm，A为线段OP的中点，则点A在圆________二、选择题：5.若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(3，4)，点P的坐标是(5，8)，你认为点P的位置为（）A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不能确定三、解答题：6.如图，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.(1)当r取什么值时，点A、B在⊙C外(2)当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外。
ABC7.设AB=3cm，作图说明：（1）到点A、B的距离都小于2cm的所有点组成的图形。
（2）到点A、B的距离都大于2cm的所有点组成的图形（3）到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形。
练习二圆的对称性课后练习：1．下列命题中，正确的有（）A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等3．下列命题中，不正确的是（）A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对4．半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于（）A ．43R B．23R C．3R D ．23R5．如图1，半圆的直径AB=4，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为（） A．23B．3C．5D．256．已知：如图2，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为P，且AP=4cm，PD=2cm，则⊙O的半径为（） A．4cm B．5cm C．42cm D．23cm7．如图3，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为（）A．3：2 B．5：2 C ．5：2D．5：48．半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE：OF=（）A．2：1 B．3：2 C．2：3 D．09．在⊙O 中，圆心角∠AOB=90°点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ） A ．42B ．82C ．24D ．1610．如果两条弦相等，那么（ ） A ．这两条弦所对的弧相等 B ．这两条弦所对的圆心角相等 C ．这两条弦的弦心距相等 D ．以上答案都不对 11．⊙O 中若直径为25cm ，弦AB 的弦心距为10cm ，则弦AB 的长为 ． 12．若圆的半径为2cm ，圆中的一条弦长23cm ，则此弦中点到此弦所对劣弧的中点的距离为 ．13．AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，且CD=6cm ，OE=4cm ，则AB= ． 14．半径为5的⊙O 内有一点P ，且OP=4，则过点P 的最短的弦长是 ， 最长的弦长是 ．15．弓形的弦长6cm ，高为1cm ，则弓形所在圆的半径为 cm ． 16．在半径为6cm 的圆中，垂直平分半径的弦长为 cm ． 17．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为 ． 18．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是 ，弦所对的圆心角是 ．19．如图4，AB 、CD 是⊙O 的直径OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，则∠EOD ∠BOF ，⌒AC ⌒AE ，AC AE ．20．如图5，P 是⊙O 的弦AB 上一点，AB=10cm ，OP=5cm ，PA=4cm ，求⊙O 的半径．21．如图6，已知以点O 为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB 交小圆于C 、D ． （1） 求证：AC=DB ；（2）如果AB=6cm ，CD=4cm ，求圆环的面积．22、如图，AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC 、EB 、DF 是否相等？为什么？23、如图，弦DC 、FE 的延长线交于⊙O 外一点P ，直线PAB 经过圆心O ，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件： ，使∠1=∠2．并写出证明过程。
27.1《圆的对称性》同步练习
《圆的对称性》同步练习一．选择题（共10小题）1．下列说法，正确的是（）A．弦是直径B．弧是半圆C．半圆是弧D．过圆心的线段是直径2．点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）A．2 B．3 C．4 D．53．下列说法中，正确的是（）A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧4．有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧6．如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1，这4个正三角形的周长和为C2，则C1和C2的大小关系是（）A．C1＞C2B．C1＜C2C．C1=C2D．不能确定7．过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或无数条8．下列结论错误的是（）A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．半圆不是弧D．同圆中，等弧所对的圆心角相等9．一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为8cm，则该圆的半径是（）A．5cm或11cm B．2.5cm C．5.5cm D．2.5cm或5.5cm10．在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆M的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定二．填空题（共8小题）11．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．12．已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是．13．已知⊙O的半径为5，点A在⊙O外，那么线段OA的取值范围是．14．若⊙O的半径为6cm，则⊙O中最长的弦为厘米．15．圆上各点到圆心的距离都等于，到圆心距离等于半径的点都在．16．下列说法正确的是（）填序号．①半径不等的圆叫做同心圆；②优弧一定大于劣弧；③不同的圆中不可能有相等的弦；④直径是同一个圆中最长的弦．17．与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是．18．如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有条弦，它们分别是．三．解答题（共2小题）19．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE=DF．。
《圆的对称性》练习题
14．如图，已知⊙O 的半径等于 1 cm，AB 是直径，C，D 是⊙O 上的 ︵ ︵ ︵ 两点，且AD＝DC＝CB，则四边形 ABCD 的周长等于( B ) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
15．(导学号：37554049)如图，在扇形 OAB 中，∠AOB＝110°， ︵ 将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，点 O 恰好落在AB上的点 D 处， ︵ 折痕交 OA 于点 C，则AD所对的圆心角的度数为( B A．40° B．50° C．60° D．70° )
20．如图，A，B，C 是半径为 2 的圆 O 上的三个点，其中点 A 是弧 BC 的中点，连接 AB，AC，点 D，E 分别在弦 AB，AC 上，且满足 AD＝CE. (1)求证：OD＝OE； (2)连接 BC，当 BC＝2 2时，求∠DOE 的度数．
(1) 证明：连接 OA ， 图略．∵点 A 是弧 BC 的中点 ， ∴∠ AOB ＝ ∠AOC.∵OA＝OB＝OC，∴∠ABO＝∠BAO＝∠ACO，∵AD＝CE， ∴△AOD≌△COE，∴OD＝OE (2)连接 BC 交 OA 于点 F，图略．由 三线合一知 OA⊥BC，BF＝ 2.在 Rt△BFO 中，由勾股定理可求 OF＝ 2 ， ∴ BF ＝ OF ， ∴∠ AOB ＝ 45 ° . ∵△ AOD ≌△ COE ， ∴∠ AOD ＝ ∠COE，∴∠BOD＝∠AOE，∴∠DOE＝∠AOB＝45°
︵ 的三 连接 AC，BD，图略．∵在⊙O 中，半径 OA⊥OB，C，D 为AB 1 1 等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝ ∠AOB ＝ ×90°＝30°， 3 3 AC＝CD＝BD.∵OA＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA＝45°，∵∠AOC＝ ∠BOD＝30°，∴∠OEF＝∠OAB＋∠AOC＝45°＋30°＝75°，同 理∠OFE＝75°，∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD＝30°， 180°－30° ∴∠ACO＝∠BDO＝ ＝75°.∵∠AEC＝∠OEF＝75°， 2 ∠ BDO ＝∠OFE ＝ 75 ° ， ∴∠ ACO ＝∠AEC ， ∠ BDO ＝∠BFD ， ∴ AE＝AC，BD＝BF，又∵AC＝CD＝BD，∴AE＝BF＝CD
九年级数学圆的对称性(含答案)
圆的对称性一、单选题(共9道，每道10分)1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.平行四边形D.圆答案：D解题思路：A：等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误B：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误C：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C错误D：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故D正确试题难度：三颗星知识点：略2.如果两个圆心角相等，那么( )A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对答案：D解题思路：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故选D试题难度：三颗星知识点：略3.如图，已知在⊙O中，AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D，下列说法不正确的是( )A.AD=BDB.弧AC=弧CBC.∠COA=∠COBD.OD=CD答案：D解题思路：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧∵AB是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D∴AD=BD，弧AC=弧CB，故A，B正确∵弧AC=弧CB∴∠COA=∠COB，故C正确OD不一定等于CD，故D不正确试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB，弧CD，弧EF，如果弧AB+弧CD=弧EF，那么AB+CD与EF的大小关系是( )A.AB+CD=EFB.AB+CD<EFC.AB+CD＞EFD.大小关系不确定答案：C解题思路：如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧AB，则弧FM=弧CD∴AB=EM，CD=FM在△EMF中，EM+FM＞EF∴AB+CD＞EF试题难度：三颗星知识点：略5.已知⊙O中，弧AB=2弧CD，则弦AB和2CD的大小关系是( )A.AB＞2CDB.AB=2CDC.AB<2CDD.不能确定答案：C解题思路：如图，取弧AB的中点E，则弧AE=弧BE∵弧AB=2弧CD∴弧AE=弧BE=弧CD∴AE=BE=CD∵在△AEB中，AE+BE＞AB∴AB<2CD试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在⊙O中，若点C是弧AB的中点，∠A=50°，则∠BOC=( )A.40°B.45°C.50°D.60°答案：A解题思路：在△AOB中，OA=OB，∠A=50°∴∠BOA=180°-2∠A=80°∵点C是弧AB的中点∴弧AC=弧BC∴∠BOC=∠AOC=∠BOA=40°试题难度：三颗星知识点：略7.如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE的度数为( )A.22.5°B.30°C.45°D.60°答案：B解题思路：如图，连接OC∵AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点∴弧AC=弧CD=弧DB∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°又OA=OC∴△AOC是等边三角形∴∠A=60°∵CE⊥AB∴∠ACE=90°-60°=30°试题难度：三颗星知识点：略8.如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=34°，则∠AEO的度数是( )A.51°B.56°C.68°D.78°答案：A解题思路：∵弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=34°∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°又OA=OE∴∠AEO=∠OAE∴∠AEO=试题难度：三颗星知识点：略9.已知在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点P，且OP=，则弦AB的长为( )A.4B.6C.8D.10答案：C解题思路：如图，作OM⊥CD于M，ON⊥AB于N，连接OB，则四边形MPNO为矩形∵AB，CD是互相垂直且相等的两条弦，OM⊥CD，ON⊥AB∴OM=ON∴四边形MPNO为正方形∴ON=OP=3在Rt△ONB中，OB=5，ON=3∴又ON⊥AB∴AB=2BN=8试题难度：三颗星知识点：略。
初三数学圆的对称性试卷
#### 一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个图形是轴对称图形？A. 等边三角形B. 等腰梯形C. 正方形D. 圆2. 一个圆的直径是10cm，那么这个圆的对称轴有：A. 1条B. 2条C. 4条D. 无限多条3. 圆的对称性可以用来证明以下哪个性质？A. 对角线相等B. 对边平行C. 角平分线相等D. 对角相等4. 如果一个圆的半径增加了2cm，那么它的对称轴数量：A. 不变B. 增加了2条C. 减少了2条D. 无法确定5. 下列哪个图形不是圆的对称图形？A. 圆内的任意直线B. 圆内的任意半径C. 圆内的任意直径D. 圆内的任意弦#### 二、填空题（每题5分，共20分）6. 圆的对称轴是指通过圆心的______。
7. 一个圆有______条对称轴。
8. 如果一个图形关于某条直线对称，那么这条直线称为这个图形的______。
9. 圆的对称性在生活中的应用有______。
10. 在圆中，直径是圆的最长对称轴，因为它是圆的______。
#### 三、解答题（每题10分，共30分）11. 请说明圆具有对称性的原因，并举例说明圆的对称性在实际生活中的应用。
12. 证明：一个圆的任意直径都是它的对称轴。
13. 已知一个圆的半径为5cm，请画出这个圆的所有对称轴，并标明它们。
#### 四、拓展题（10分）14. 设有一个圆的半径为6cm，已知圆内有两条互相垂直的直径AB和CD。
请证明：AC和BD也是圆的对称轴。
---注意：本试卷的答案部分将在试卷发布后提供。
学生在答题时，请认真审题，确保答案的准确性。
在解答题中，不仅要给出结论，还要尽可能详细地展示解题过程。
圆的对称性(个人整理,经典题型)
第八讲圆的对称性（一）【你必须知道的数学小知识】1、圆的定义：平面上到定点．．的距离等于_____________的所有点组成的图形叫做圆．；其中，定点称为__________，______________称为半径，以点O为圆心的圆可记作___________。
注意：①圆是一条___________的曲线，不能认为是圆面；②圆上各点到定点的距离都等于_________，到定点的距离等于定长的点都在__________；③圆的两要素：________________________________。
2、圆具有对称性：_______________________________________________________________________________。
3、圆的相关概念（1）弦与直径：连结圆上任意两点的__________叫做弦；经过___________的弦叫做直径；（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做__________，简称________。
用符号"⌒"表示，以A、B为端点的弧记作___________；（注意”半圆“、”优弧“、”劣弧“之间的区别）4、点与圆的位置关系：（1）点在圆外——点到圆心的距离_________半径；（2）点在圆上——点到圆心的距离_________半径；（3）点在园内——点到圆心的距离_________半径；5、垂径定理：垂直于弦的____________平方这条__________，并且平分弦所对的________________.用符号语言表示为：6、垂径定理推论：平分弦（不是直径．．．．）的___________垂直于___________，并且平分弦所对的___________. 用符号语言表示为：7、知二推三【经典例题】例1、（1）若⊙O的半径为5cm，圆心O到直线α的距离OM是4cm，直线α上有一点A，AM为6cm，则A在⊙O_____________________（填内、外、上）（2）已知一点与⊙O上的点最近距离是4cm，最远距离是9cm，则这个圆的半径是______________cm。
《圆的对称性》同步测试
《圆的对称性》同步测试一．选择题（共8小题）1．（2022•广元）如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论一定错误的是（）A．CE=DE B．AE=OE C．= D．△OCE≌△ODE（1题图）（2题图）（3题图）（4题图）2．（2022•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．（2022•玉林）如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD4．（2022•滕州市校级四模）当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm）那么该圆的半径为（）A．8cm B．9cm C．cm D．10cm5．（2022秋•乐清市校级月考）一条排水管的截面如图所示，已知该排水管的半径OA=10，水面宽AB=16，则排水管内水的最大深度CD的长为（）A．8 B．6 C．5 D． 4（5题图）（6题图）（7题图）6．（2022•温州一模）温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图）．已知桥拱半径OC 为5m，水面宽AB为m，则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（）A．4m B．7m C．5m D．6m7．（2022•宜州市二模）如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么△ABC的面积为（）A．3 B．C．4 D．8．（2022•武汉模拟）如图，在⊙O内有折线OABC，点B、C在圆上，点A在⊙O内，其中OA=4cm，BC=10cm，∠A=∠B=60°，则AB的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm（8题图）（9题图）（10题图）（11题图）二．填空题（共6小题）9．（2022•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为．10．（2022•义乌市）如图，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交轴的正半轴于点C，则∠BAC 等于度．11．（2022•南通）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD=13cm，AB=24cm，则CD= cm．12．（2022•东营）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为，则排水管内水的深度为m．（12题图）（13题图）（14题图）13．（2022•六盘水）赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R= 米．14．（2022•得荣县三模）如图将半径为4米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为米．三．解答题（共5小题）15．（2022•江岸区校级模拟）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC=BD．16．（2022•东西湖区校级模拟）如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有油部分油面高CD（单位：cm）．17．（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，；Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm；根据勾股定理，得：OC==5cm；∴CD=OD﹣OC=8cm；∴油面高为8cm．17．解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OB，∵AB=8cm，∴AE=BE=AB=×8=4cm，∵⊙O的直径为10cm，∴OB=×10=5cm，∴OE===3cm，∵垂线段最短，半径最长，∴3cm≤O．18．（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD=∠ACD=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BE=CE；（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AD是直径，AB=AC，∴AD⊥BC，BE=CE，∵CF∥BD，∴∠FCE=∠DBE，在△BED和△CEF中，∴△BED≌△CEF，∴CF=BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴四边形BFCD是菱形；（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE=CE，∴CE2=DE•AE，设DE=，∵BC=8，AD=10，∴42=（10﹣），解得：=2或=8（舍去）在Rt△CED中，CD===2．19．（1）证明：连接AC，如图∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴，∴AC=AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF=DF，即CF是AD的中垂线，∴AC=CD，∴AC=AD=CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD=30°，在Rt△COE中，，∴，∴点E 为OB的中点；（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，∴，又∵BE=OE，∴OE=2，∴，∴．。
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27.2 圆的对称性检测题
1．（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
① ② ③
④ ⑤
O
D
（2）如果将图①中的弦AB 改成直径(AB 与CD 相互垂直的条件不
变)，结果又如何？将图②中的直径AB 改成怎样的一条弦，图②将变成轴对称图形。
2.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是
3.求⊙O 的半径.
3.如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.
4.如图，过⊙O 内一点P ，作⊙O 的弦AB ，使它以点P 为中点。
5.如图，⊙O 的直径是10，弦AB 的长为8，P 是AB 上的一个动点，求OP 的求值范围。
6.已知；如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，求证AC=BD
7.已知；在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，
求油的最大深度。
8、已知；如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.求证；AC=BD
9．已知；如图，在⊙O 中，AC=BD ，∠AOB=50°,求∠COD 的度数．
10. 已知；如图，在⊙O 中， AB=AC ，∠A=40°,求∠B 的度数．
11.已知；如图,在△ABC 中, ∠C=90°, ∠B=28°,以C 为圆心,CA 为半径的圆交AB 于点D,交BC 与点E,求弧AD 、 DE 的度数.
13．已知；如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上， AB= DC ，AC 与BD 相等吗？为什么？
14、已知；如图，在⊙O 中，AB = CD , ∠1=30°,求∠2的度数。
15、⊙O 的半径为13CM 。
弦AB ∥CD,AB=10cm,CD=24cm,求AB 与CD 间的距离。
16、 如图，有一圆拱形门拱的拱高AB 为1m ，跨度CD 为4m,求门拱的半径。
12.已知；如图，AD 、BE 、CF 是⊙O 的直径，且∠AOF=∠BOC=∠DOE 。
弦AB 、CD 、EF 相等吗？为什么？
17.如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB,垂足为H ，且CD=22，BD=3,
求；AB 的长。
18．已知，AD=BC,求证；AB 与CD 相等。
19.
如图，
AB
是⊙O 的弦，
C 、
D 为弦AB 上两点，且OC=OD,延长OC 、OD 分别交⊙O 于
E 、
F 求证；AE=BF.。