1.3函数的单调性与导数课件(2)

G=(a,b)
y
y
o
a
b
x
o
a
b
x
导数与函数的单调性的关系
一般地， 设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
a
b
x
o a
b
x
利用导数讨论函数单调的步骤:
x (0,1]上是增函数，求a的取值范围. 2 解：由已知得 f '(x) 2a 3 x 因为函数在（0，1]上单调递增 2 f '(x)>0,即a - 3 在x 1]上恒成立 （0， x 1 而g(x) 3 在（0， 1]上单调递增， x
g(x)max g(1)=-1
1
2
x
o
2 x
(A)
y
y f (x)
(B)
y
y f (x)
o
2
1
x
o
1 2
x
(C)
(D)
函 数 y x co s x sin x 在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 ( B )
3 A. ( , ) 2 2
B . ( , 2 )
3 5 C. ( , ) 2 2
a〉 -1
已知函数（x 2ax f ）
1 x
2
，x (0 ,1] 若（x , f ）在
x (0 ,1]上是增函数，求a的取值范围.
当a 1时，f '(x) 2
对x 1）也有f '(x)〉 （0， 0
2 x
3
a -1 时，（x）在(0, f 1)上是增函数
xx
2
（2） y
xx
3
( 3 ) y x ln x
证明： f(x)=2x-sinx在R上为单调增 函数
f 练习：求证：( x )
e x 在 区 间 （ － ，） 0
x
内是减函数
求函数 y
解 : y ( 1 x
1 x
的单调区间。
1 x
2
)
x 0或 x 0, 单调减区间为
D . ( 2 , 3 )
解 : y ( x cos x sin x ) ( x cos x ) cos x x cos x x (cos x ) cos x x sin x x sin x 0 , x sin x 0 , 当 x ( , 2 ), x 0 , sin x 0 , x sin x 0
函数的单调性与导数
知识回顾：
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， f ( x ) 在G 上是增函数； 则
则 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， f ( x ) 在G 上是减函数；
确定函数 f ( x) 2 x 6 x 7
3 2
，
在哪些区间是增函数。
变式1：求
f ( x ) 2 x 6 x 7 (x> -1 )
3 2
的单调增区间
变式2：求f ( x ) 2 x 6 a x 7 ( a 0 ) 的单调减区间
3 2
解：
f ( x )＝ 6 x 1 2 a x
1 x
2
，x (0,1],若（x）在 f
x (0,1]上是增函数，求a的取值范围. 2 当a 1时，f '(x) 2 3 x 对x 1）也有f '(x)〉 （0， 0
a -1时，（x）在(0, f 1)上是增函数
所以a的范围是[-1，+）
本题用到一个重要的转化：
m≥f(x)恒成立 m f (x )max m f (x )恒成立 m f (x )min
所以a的范围是[-1，+）
在某个区间上，f '(x)>0(或<0) ，f（x）在这个区间上单调递增 （递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到 f '(x)>0(或<0) 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f（x）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
已知函数（x） 2ax f
练习2 已知函数f (x)=2ax - x ，x (0, a 0, 1],
3
若f (x)在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
, )
已知函数f(x)=ax³ +3x² -x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。
1 x
2
0 恒成立
( , 0 ), ( 0 , )
y 设 f '( x )是函数 f ( x ) 的导函数， f '( x )的图象如 右图所示,则 y f ( x ) 的图象最有可能的是( C )
y
y
y f (x)
y
y f (x)
y f '( x )
o
1

2
x
o
'
x ' x

(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
(4)(log a x )
'
1 xlna
(a 0, 且a 1)
(5)(e ) e
x '
'
x
(6)(lnx)
'
1 x
(7)(sinx ) cosx
(8)(cosx) sinx
'
基础练习:求下列函数的单调区间 （1）y
所 以 f ( x )的 单 调 减 区 间 为 （ 2 a，) 0
例1：求参数的范围 求参数的取值范围
3 2
若函数f(x) ax - x x - 5在(-,+)上单调递增， 求a的取值范围
a
1 3
求参数 1 已知函数（x） 2ax 2 ，x (0,1],若（x）在 f f x
(1)求
y = f ( x ) 的定义域D
f ( x ).
f x 0
(2)求导数
(3)解不等式
;或解不等式f x
0
.
(4)与定义域求交集 (5)写出单调区间
忆一忆
基本求导公式:
1
(1)(kx b) k , 特殊的：C 0(C为常数)
(2)( x ) x
2
令 f ( x ) 0 , 即 6 x 1 2 a x 0 即 x ( x 2 a ) 0
2
(1)当 2 a 0时 , 即 a 0 , 则 0 x 2 a
所 以 f ( x )的 单 调 减 区 间 为 （ 0， a ) 2
（ 2 ） 当 2 a 0时 , 即 a 0 , 则 2 a x 0