高考数学一轮复习 2.6 函数的单调性课件 理
高考数学专题复习《函数的单调性与最大值》PPT课件
解 当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明
如下:
(方法1 定义法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,
因为
-1+1
1
f(x)=a(
)=a(1+ ),则
-1
-1
1
1
( 2 - 1 )
f(x1)-f(x2)=a(1+ )-a(1+ )=
(-1)-
(方法2 导数法) f'(x)=
2
(-1)
=
-
(-1)2
,所以当a>0时,f'(x)<0,当a<0
时,f'(x)>0,即当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调
递增.
解题心得1.判断函数单调性的四种方法:
(1)定义法;
(2)图像法;
3
∴f(-2)<f(- )<f(-1).故选
2
D.
f(x)在(-∞,-1]上是增函数,
3 1
4.(2020 全国 2,文 10)设函数 f(x)=x - 3 ,则 f(x)(
)
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
3.若f(x)满足f(-x)=f(x),且在(-∞,-1]上是增函数,则(
3
A.f(-2)<f(-1)<f(2)
3
B.f(-1)<f(-2)<f(2)
函数单调性与最值问题课件-2025届高三数学一轮复习
合的方法进行求解.
方 法 规 律
利用函数的单调性求解不等式的方法
(1)依据：若 f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，x1，x2 是定义域上(或该区间上)任
意两个自变量的值，则 f(x1)<f(x2)⇔ x1<x2(x1>x2)；
.
解析 （2）法一（换元法）：令t＝ − 1，且t≥0，则x＝t2＋1，所以原函数
变为y＝t2＋1＋t，t≥0.配方得y＝
+
1 2 3
1 3
＋ ，又因为t≥0，所以y≥ ＋ ＝1，
2
4
4 4
故函数y＝x＋ − 1的最小值为1.
法二（单调性法）：因为函数y＝x和y＝ − 1在定义域内均为增函数，故函数y
【例3】 设f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，且f（x）在[0，＋∞）上
为增函数，则f（－2），f（－π），f（3）的大小顺序是 （答案 ）B
A.f（－π）＜f（－2）＜f（3）
B.f（－2）＜f（3）＜f（－π）
C.f（－π）＜f（3）＜f（－2）
D.f（3）＜f（－2）＜f（－π）
解析 ∵f（x）的定义域为R，图象关于y轴对称，∴f（x）是偶函数，∴f（－
A.（－∞，－2）
B.（－∞，1）
C.（1，＋∞）
D.（4，＋∞）
）
解析：D 由x2－2x－8＞0，得f（x）的定义域为{x｜x＜－2或x＞4}.设t＝x2－
2x－8，则y＝ln t为增函数.要求函数f（x）的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x
－8的单调递增区间（定义域内）.∵函数t＝x2－2x－8在区间（4，＋∞）上单调
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第二章 §2.2 函数的单调性与最值
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.2 函数的单调性与最值1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义单调递增单调递减如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为D ，如果存在实数M 满足条件(1)∀x ∈D ，都有 ；(2)∃x 0∈D ，使得_________(1)∀x ∈D ，都有 ；(2)∃x 0∈D ，使得_________结论M 是函数y ＝f (x )的最大值M 是函数y ＝f (x )的最小值f (x )≤M f (x 0)＝M f (x )≥M f (x 0)＝M常用结论1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有 >0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减).2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反.4.复合函数的单调性：同增异减.自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )满足f (－3)<f (2)，则f (x )在[－3,2]上单调递增.( )(2)若函数f (x )在(－2,3)上单调递增，则函数f (x )的单调递增区间为(－2,3).( )(3)若函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，则f (x )在区间[a ，b ]上一定有最值.( )(4)函数y ＝ 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )×××√2.下列函数中，在其定义域上是减函数的是√A.y＝－2x＋1B.y＝x2＋1C.y＝D.y＝2xy＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确；y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；y＝ 在[0，＋∞)上是增函数，故C错误；y＝2x在R上是增函数，故D错误.√4.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)> 的x的取值范围是________.∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，返回第二部分探究核心题型题型一 确定函数的单调性命题点1 函数单调性的判断例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是√√√由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；∵y′＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确；函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确.命题点2 利用定义证明函数的单调性方法一 定义法设－1<x1<x2<1，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.方法二 导数法故当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为√g(x)＝x·|x－1|＋1画出函数图象，如图所示，(2)(2024·唐山模拟)函数f (x )＝的单调递增区间为____________.212log (232)x x --令t＝2x2－3x－2>0，log t由f(t)＝ 在(0，＋∞)上单调递减，12根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，题型二 函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小√所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)<f(3)<f(4)，又f(－2)＝f(2)，所以f(－2)<f(3)<f(4).命题点2 求函数的最值√微拓展求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)数形结合法.(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.典例 (多选)下列函数中，值域正确的是√A.当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6)√√由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6).故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，命题点3 解函数不等式例5 函数y ＝f (x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a的取值范围是________.所以实数a 的取值范围是[－1,1).[－1,1)命题点4 求参数的取值范围√思维升华(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.A.(－2,1)B.(0,1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(1，＋∞)√则不等式f(x＋2)<f(x2＋2x)等价于x＋2<x2＋2x，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2，则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞).∵f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，[1,2)知识过关一、单项选择题1.(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是√y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意；y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意.2.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为√A.(－∞，2]B.[2，＋∞)C.[0,2]D.[0，＋∞)∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞).3.(2024·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为A.f(1)>f(－2)>f(－3)B.f(－2)>f(－3)>f(1)√C.f(－3)>f(1)>f(－2)D.f(－3)>f(－2)>f(1)因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3).因为f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)，所以f(－3)>f(－2)>f(1).√∴f(x)max＝f(2)＝4.5.(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)<0的解集为A.(e，＋∞)B.(1，＋∞)√C.(0,1)D.(0，＋∞)函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞).因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝1＋ln 1－1＝0，所以不等式f(x)<0的解集为(0,1).6.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是A.y＝f(x)＋x是增函数B.y＝f(x)＋x是减函数C.y＝f(x)是增函数D.y＝f(x)是减函数不妨令x1<x2，∴x1－x2<0，√令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)<g(x2)，又x1<x2，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数.。
2025高考数学一轮复习-2.2-函数的单调性与最值【课件】
2
f(x)＝log1 (x2－4)在(－∞，－2)上单调递增，∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．故
2
选 D.
易错点睛：(1)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；多个单调区间应 分开写，用“逗号”或“和”连接，不能用“∪”以及“或”连接．
2．函数的最值
前提
设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
∀x∈I，都有f(x) ≤ M；
条件 ∃x∈I，使得
f(x)＝M
∀x∈I，都有f(x) ≥ M； ∃x∈I，使得 f(x)＝M
结论
M为最大值
M为最小值
提醒：函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一
3．函数 y＝x－1 1在[2,3]上的最小值为( B )
A．2
B．12
C．13
D．－12
【解析】 ∵y＝x－1 1在[2,3]上为减函数， ∴当 x＝3 时，y 取最小值12.故选 B.
4．已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ___(－__∞__，__1_]__．
第二章 函数
第二节 函数的单调性与最值
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D
当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2) ，那 当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ， 那么就称函数f(x)在区间D上f(x)＝－x
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数与函数的单调性》课件
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
恒有 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
结论 f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__增__ f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__减__ f(x)在区间(a，b)上是_常__数__函__数__
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
当 a＝1 时，f(x)＝x－ln x－1，则 f′(x)＝1－1x＝x－x 1(x>0)， 当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
知识梳理
2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 定义域 ； 第2步，求出导数f′(x)的 零点 ； 第 3 步 ， 用 f′(x) 的 零 点 将 f(x) 的 定 义 域 划 分 为 若 干 个 区 间 ， 列 表 给 出 f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
综上，当－2<a<0 时，g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞， 单调递增区间为12，－1a； 当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当 a<－2 时，g(x)的单调递减区间为0，－1a，12，＋∞，单调递增 区间为－1a，12.
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数 为零的点和函数的间断点.
新高考一轮复习人教A版第二章第十一讲导数与函数的单调性课件(60张)
【题后反思】根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单 调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)单调递增(减)的充要条件是对任意的 x∈(a，b) 都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且在(a，b)内的任一非空子区间 上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略， 否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式 有解问题.
解：函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋1x＝ax2－a＋x 1x＋1＝
ax－1x－1
x
.
①当 0<a<1 时，1a>1， ∴x∈(0,1)和1a，＋∞时，f′(x)>0； x∈1，a1时，f′(x)<0， ∴函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单调递增，在1，1a上 单调递减；
综上，当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和1a，＋∞上单 调递增，在1，a1上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当 a>1 时，函数 f(x)在0，a1和(1，＋∞)上单调递增， 在1a，1上单调递减.
【题后反思】 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式 解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论， 还要确定导数为零的点和函数的间断点.
②当 a＞0 时，令 3x2－a＝0，得 x＝
33a或－
3a 3.
当 x＞ 33a或 x＜－ 33a时，f′(x)＞0；
当－ 33a＜x＜ 33a时，f′(x)＜0.
因此 f(x)在－∞，－ 33a， 33a，＋∞上单调递增， 在－ 33a， 33a上单调递减.
导数与函数的单调性课件高三数学一轮复习
｜解题技法｜ 讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上 讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒 研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进 行分类讨论.
目录
考向2 解不等式
A.（－∞，－2）∪（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，－1）∪（2，＋∞） D.（－1，2）
目录
答案 C
目录
（1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
目录
所以a＞－1. 即a的取值范围是（－1，＋∞）.
目录
（2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.
1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有
（）
A.f（x）＝x4 C.f（x）＝xex
B.f（x）＝x－sin x D.f（x）＝ex－e－x－2x
目录
目录
2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是
.
解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），
∴a≤3，即a的最大值是3.
答案：3
目录
02
目录
证明（判断）函数的单调性 【例1】 （1）（2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g （x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
目录
目录
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第2节 函数的单调性与最值 课件(35张)
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”). (1)对于函数 y＝f(x)，若 f(4)<f(5)，则 f(x)为增函数．( ) (2)函数 y＝f(x)在[4，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[4，＋∞).( ) (3)函数 y＝3x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (4)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1, x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－x2)[f (x1)－f(x2)]>0，则 函数 f(x)在区间 D 上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
【考点集训】
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是( )
A．y＝－sin x
B．y＝x2－2x＋3
C．y＝ln (x＋1)
x
D．y＝2 022－2
解析：y＝－sin x 和 y＝x2－2x＋3 在(0，＋∞)上不具备单调性；y＝ln (x＋1)在(0，
＋∞)上单增．故选 D．
答案：D
2．函数 y＝log1(－x2＋x＋6)的单调递增区间为( )
－1<12，解得 1≤x<32，故选 D． 答案：D
4．(必修第一册 P81 例 5 改编)函数 f(x)＝2x－5 1在区间[2，4]上的最大值为________， 最小值为________.
解析：因为 f(x)在[1，5]上是减函数，所以最大值为 f(2)＝2×52－1＝53，最小值为 f(4)
第二章 函 数
[课标解读] 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值， 理解它们的作用和实际意义．
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识
1．函数单调性的定义
义域为 I，区间 D⊆I，如果∀x1，x2∈D，当 x1＜x2 时
第05节+函数的基本性质(课件帮)2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
条件 A．充分不必要 C．充分必要 【答案】A
B．必要不充分 D．既不充分也不必要
【解析】若函数 f x 在 R 上严格递增，对任意的 x1 、 x2 R 且 x1 x2 ， f x1 f x2 ，
由不等式的性质可得 f x1 x1 f x2 x2 ，即 g x1 g x2 ，
所以 a 0 ，即实数 a 的取值范围是 ,0 .故选：D
2．已知 y f x 在定义域 1,1 上是减函数，且 f 1 a f a2 1 ，则 a 的取值范围为（ ）
A．（0，1） 【答案】A
B．（-2，1）
C．（0， 2 ）
【解析】因为 y f x 在定义域 1,1 上是减函数，所以由
2
2
所以，“ f x 在 R 上严格递增” “ g x f x x在 R 上严格递增”.
因此，“ f x 在 R 上严格递增”是“ g x f x x在 R 上严格递增”的充分不必要条件.
故选：A.
方法技巧
定义法 一般步骤为设元—作差—变形—判断符号—得出结论 若f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调
f
x在
,
1 2
上单调递减，D
正确.故选：D.
7．（2020
年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））设函数
f
(x)
x3
1 x3
,则
f
(x)
（
）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
03
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数课件 理
D．①②④
13
第十三页，共四十五页。
解析：若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意义，若 logaM2＝logaN2， 即 M2＝N2，则|M|＝|N|，①③④不正确，②正确．
答案：C
14
第十四页，共四十五页。
2.写出下列各式的值： (1)log2 22＝________； (2)log53＋log513＝________； (3)lg 52＋2lg 2－12－1＝________；
「应用提示研一研」 1.换底公式的两个重要推论
其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R.
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2.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故 0 ＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
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「基础小题练一练」
1.对于 a＞0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN； ②若 logaM＝logaN，则 M＝N； ③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N； ④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2. A.①③
B．②④
C.②
5＋(lg 5＋lg 2)·lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)81
5 (2)4
(3)15
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对数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
[典 例 导 引] (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)若不等式(x－1)2＜logax 在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
高三数学第一轮复习第二章《函数》课件
解析 (1)∵y＝11－ ＋xx＝－1＋1＋2 x ∴当 1＋x＞0 或 1＋x＜0 时，此函数均为减函数， 故减区间为(－1，＋∞)、(－∞，－1) (2)由11－ ＋xx≥0 得 x∈(－1,1]，此即为递减区间．
2．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )
• (2)复合函数的单调性判断，要注意掌握“同增异减”．
• 2．根据定义证明函数单调性的一般步骤：设值(x1，x2且 x1<x2)→作差(f(x1)－f(x2))→变形→定号→结论．
• 3．对于函数f(x)的单调性，也可直接求f′(x)，当f′(x)>0时 为增函数，当f′(x)<0时为减函数．
• 4．单调性法是求最值(或值域)的常用方法．
• 题型一 判断或证明函数的单调性
例 1 判断函数 f(x)＝x2a－x 1(a≠0)在区间(－1,11<x2<1， 则 f(x1)－f(x2)＝axx121x－2＋11x22x－2－1x 1. ∵x1xx212－＋11xx222－－1x1>0， ∴a>0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为减函数； a<0 时，函数 f(x)在(－1,1)上为增函数．
A．y＝1－x2
B．y＝x2＋x
C．y＝－ －x
D．y＝x－x 1
• 答案 D
• 3．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数， 则b的取值范围是( )
• A．b≥0
B．b≤0
• C．b>0
D．b<0
• 答案 A
解析 由－b2≤0，得 b≥0.
• 4．函数f(x)＝log0.5(x2－2x－8)的增区间________；减区 间________．
函数的单调性与最值+课件——2025届高三数学一轮复习
例1 已知函数，且，讨论 的单调性.
［思路点拨］ 先分离常数，再根据定义判断函数的单调性，注意分 和 两种情况进行讨论.
解：函数，设，，且 ，则 ，当时，在上单调递增，由，得 ，所以，又， ，所以，即 ，此时在 上单调递增；当时，在 上单调递减，由，得，所以 ，又，，所以 ，即，此时在 上单调递减．综上，当时，函数在 上单调递增；当时，函数在 上单调递减.
单调性
单调区间
续表
3.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足
条件
，都有____________； ，使得_____________
，都有____________； ，使得_____________
结论
为最大值
为最小值
几何意义
图象上最高点的_________
图象上最低点的_________
变式题 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( )
BD
A. B. C. D.
[解析] 对于A，画出函数 的图象如图所示，易知函数 在其定义域内不是增函数，故A错误；对于B，因为函数是增函数， 是减函数，所以是 上的增函数，故B正确；对于C，函数是减函数，而 为增函数，
在定义域 上为减函数，故C错误；对于D，的定义域为，在上恒成立，故 是上的增函数，故D正确.故选 .
（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
◆ 对点演练 ◆
题组一 常识题
1.［教材改编］ 函数 的单调递增区间是_______，单调递减区间是________.
[解析] 由函数的图象可得 的单调递增区间是，单调递减区间是 .
2.［教材改编］ 函数 的最大值为___，最小值为___.
名师导学高考数学一轮总复习第二章函数第6讲函数的单调性课件文新人教A版
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5.对任意 a，b∈R，记 max{a，b}＝ba，，aa<≥bb. ，函数 fx＝ 3
max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是 2 .
【解析】作出函数 y＝x＋1和 y ＝x－2的图象，如图，由图可知 f(x)
＝x2＋－1x，，xx≥<1212，所以 f(x)的最小值
为 f12＝32.
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【知识要点】
1.单调函数的有关概念
(1)增函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自
变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就说
f(x)在这个区间上是增函数.
(2)减函数：如果对于定义域 D 的某个区间内任意两个自
变量的值 x1、x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2) ，那么就说
立.
即
a≥
x2＋2x x＋1
＝
（x＋1）2－1 x＋1
＝
(x
＋
1)
－
1 x＋1
对
任
意
x∈(－1，1)都成立.
令 y＝(x＋1)－x＋1 1，则 y′＝1＋（x＋11）2>0.
∴y＝(x＋1)－x＋1 1在(－1，1)上单调递增.
∴y<(1＋1)－1＋1 1＝32.
∴a≥32.
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(3)若函数 f(x)在 R 上单调递减， 则 f′(x)≤0 对任意 x∈R 都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0 对任意 x∈R 都成立， ∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0 对任意 x∈R 都成立.
2.判断函数单调性的常用方法
2024届新高考一轮复习北师大版 第三章 第二节 函数的单调性与最值 课件(40张)
第三章
第二节 函数的单调性与最值
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单
调区间的基本方法.
课标解读 2.理解函数最大值、最小值的概念,理解它们的作用和实际意义,
会求简单函数的最值.
3.能够利用函数的单调性解决有关问题.
强基础 固本增分
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调性、单调区间的定义
设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间:
如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数y=f(x)在
区间I上
单调递增
.这时,区间I叫作函数y=f(x)的单调递增区间.
(5)复合函数单调性的判断方法.若两个简单函数的单调性相同,则这两个
函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的
复合函数为减函数,简称“同增异减”.
2.“对勾函数”f(x)=x+ (p>0)的单调递增区间是(-∞,
单调递减区间是(- ,0),(0, ).
),( ,+∞);
(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)=f(x)(f(x)>0)与y=-f(x), y=() 在公共定义域内的单调性相反;
(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)与 y= () 在公共定义域内的单调性相同;
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解法二：y＝f(x)在定义域上为减函数，则 f′(x)≤0， 即 2＋xa2≤0 对∀x∈(0，1]恒成立，即 a≤-2.
(3)当 a≥0 时，函数 y＝f(x)在区间(0，1]上单调递
增，无最小值，当 x＝1 时，函数 y＝f(x)取得最大值 2 －a；
由(2)知，当 a≤－2 时】函数 f(x)是 R 上的减函数，
a－2<0， 于是有（a－2）×2≤122－1，由此解得
a≤183，
即实数 a 的取值范围是－∞，183.
【知识要点】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某 个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2
又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在区间[0，＋∞)上为减函数．
【点评】利用定义证明函数 f(x)在给定区间 D 上 的单调性的一般步骤：
①任取 x1，x2∈D，且 x1<x2；
②作差； ③变形(通常是因式分解、通分、配方)； ④判断符号(即判断 f(x1)－f(x2)的符号)； ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定区间 D 上的单调 性)．
1]上单调递减，无最大值，当 x＝1 时，函数 y＝f(x) 取得最小值 2－a；
当－2<a<0 时，函数 y＝f(x)在区间0， －2 2a上 单调递减，在区间 －2 2a，1上单调递增，无最大值， 当 x＝ －2 2a时，函数 y＝f(x)取得最小值 2 －2a.
【点评】求函数值域或最值的常用方法： (1)定义法：先确定函数的单调性，再由单调性求 值域或最值． (2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再
观察其最高点、最低点，求出其最值． (3)配方法：对于二次函数或可化为二次函数形式
的函数，可用配方法求解． (4)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟
悉的函数，再用相应的方法求值域或最值．
三、函数单调区间的求法 例3已知函数 f(x)＝x2＋2x|x－a|，其中 a∈R.
是 减函数 ．
3．函数 f(x)＝log1(x2－4)的单调递增区间为( D )
2
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
【解析】要使 f(x)单调递增，需有xx2<－0，4>0，解得 x<－2.
（a－2）x，x≥2， 减函4数．，已则知实函数数af的(x)取＝值范12x围－为1，__x_<_2_－__∞__，__1是8_3__R. 上的
二、函数单调性的应用 例2已知函数 f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1](a 为实 数)． (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x)的值域；
(2)若 y＝f(x)在定义域上是减函数，求 a 的取值范 围；
(3)求函数 y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小
值，并求出当函数 f(x)取得最值时 x 的值．
2．设 x1，x2∈[a，b]，x1≠x2.若有(x1－x2)[f(x1)
－f(x2)]>0 或f（x1）x1－－fx（2 x2）>0，则 f(x)在闭区间[a，
b]上是
增函数 ；若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
或
f（x1）－f（x2） x1－x2
<0
，
则
f(x) 在 闭 区 间 [a ， b] 上
【解析】(1)当 a＝1 时，f(x)＝2x－1x. 因为 y＝2x，y＝－1x在区间(0，1]上均为增函数， 所以 f(x)＝2x－1x在区间(0，1]上为增函数， 所以 f(x)≤f(1)＝1，故函数 y＝f(x)的值域是
(－∞，1]．
(2)解法一：若 y＝f(x)在定义域上是减函数，则任
取 x1，x2∈(0，1]，且 x1<x2，都有 f(x1)>f(x2)成立， 即 f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋a（xx11－x2x2）>0， 故只要 a<－2x1x2 即可． 由 x1，x2∈(0，1]，且 x1<x2， 知－2x1x2∈(－2，0)， 所以 a≤－2，
当
x1<x2
时，都有_f_(_x_1_)_<_f_(_x_2_)，
当 x1<x2 时 ， 都 有
____f_(x__1)_>__f(_x__2)___，那么就
那么就说函数 f(x)在区间 D 上 说函数 f(x)在区间 D 上是减
是增函数.
函数．
图象 特征
自左向右图象是上升的
自左向右图象是下降的
(2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是__增___函__数___或__减__函__数___， 则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间． 2．函数单调性的判断方法 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、结论． (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同 时，为增函数，不同时为减函数． (3)导法数：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．
一、单调性的证明 例1已知函数 f(x)＝ x2＋1－ax，其中 a>0. (1)若 2f(1)＝f(－1)，求 a 的值； (2)证明：当 a≥1 时，f(x)在区间[0，＋∞)上为减 函数． 【解析】(1)由 2f(1)＝f(－1)， 可得 2 2－2a＝ 2＋a， ∴a＝ 32.
(2)任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2，f(x1)－f(x2)
第6讲 函数的单调性
【学习目标】 1．了解函数单调性的概念，会讨论和证明一些简 单函数的单调性． 2．利用函数的单调性求最值，求单调区间及参数 的取值范围．
【基础检测】 1．函数 f(x)＝x2－1 的单调递减区间是 (－∞，0) ．
【解析】函数 f(x)的图象的对称轴为 y 轴，开口向 上，所以函数 f(x)的单调递减区间是(－∞，0)．
＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2
＝ x21＋1－ x22＋1－a(x1－x2) ＝ x12＋x121＋－x22x22＋1－a(x1－x2)
＝(x1－x2)
x21＋x11＋＋x2x22＋1－a.
∵0≤x1< x21＋1，0<x2< x22＋1，
∴0< x21＋x11＋＋x2x22＋1<1.