高考数学一轮复习 2.6 函数的单调性课件 理

故 a 的取值范围是(－∞，－2]．
解法二：y＝f(x)在定义域上为减函数，则 f′(x)≤0， 即 2＋xa2≤0 对∀x∈(0，1]恒成立，即 a≤-2.
(3)当 a≥0 时，函数 y＝f(x)在区间(0，1]上单调递
增，无最小值，当 x＝1 时，函数 y＝f(x)取得最大值 2 －a；
由(2)知，当 a≤－2 时，函数 y＝f(x)在区间(0，
是 减函数 ．
3．函数 f(x)＝log1(x2－4)的单调递增区间为( D )
2
A．(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
【解析】要使 f(x)单调递增，需有xx2<－0，4>0，解得 x<－2.
（a－2）x，x≥2， 减函4数．，已则知实函数数af的(x)取＝值范12x围－为1，__x_<_2_－__∞__，__1是8_3__R. 上的
二、函数单调性的应用 例2已知函数 f(x)＝2x－ax的定义域为(0，1](a 为实 数)． (1)当 a＝1 时，求函数 y＝f(x)的值域；
(2)若 y＝f(x)在定义域上是减函数，求 a 的取值范 围；
(3)求函数 y＝f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小
值，并求出当函数 f(x)取得最值时 x 的值．
又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在区间[0，＋∞)上为减函数．
【点评】利用定义证明函数 f(x)在给定区间 D 上 的单调性的一般步骤：
①任取 x1，x2∈D，且 x1<x2；
②作差； ③变形(通常是因式分解、通分、配方)； ④判断符号(即判断 f(x1)－f(x2)的符号)； ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定区间 D 上的单调 性)．
当
x1<x2
时，都有_f_(_x_1_)_<_f_(_x_2_)，
当 x1<x2 时 ， 都 有
____f_(x__1)_>__f(_x__2)___，那么就
那么就说函数 f(x)在区间 D 上 说函数 f(x)在区间 D 上是减
是增函数.
函数．
图象 特征
自左向右图象是上升的
自左向右图象是下降的
(2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是__增___函__数___或__减__函__数___， 则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间． 2．函数单调性的判断方法 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、结论． (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同 时，为增函数，不同时为减函数． (3)导法数：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．
【解析】(1)当 a＝1 时，f(x)＝2x－1x. 因为 y＝2x，y＝－1x在区间(0，1]上均为增函数， 所以 f(x)＝2x－1x在区间(0，1]上为增函数， 所以 f(x)≤f(1)＝1，故函数 y＝f(x)的值域是
(－∞，1]．
(2)解法一：若 y＝f(x)在定义域上是减函数，则任
取 x1，x2∈(0，1]，且 x1<x2，都有 f(x1)>f(x2)成立， 即 f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)＋a（xx11－x2x2）>0， 故只要 a<－2x1x2 即可． 由 x1，x2∈(0，1]，且 x1<x2， 知－2x1x2∈(－2，0)， 所以 a≤－2，
观察其最高点、最低点，求出其最值． (3)配方法：对于二次函数或可化为二次函数形式
的函数，可用配方法求解． (4)换元法：对较复杂的函数可通过换元转化为熟
悉的函数，再用相应的方法求值域或最值．
三、函数单调区间的求法 例3已知函数 f(x)＝x2＋2x|x－a|，其中 a∈R.
＝ x21＋1－ax1－ x22＋1＋ax2
＝ x21＋1－ x22＋1－a(x1－x2) ＝ x12＋x121＋－x22x22＋1－a(x1－x2)
＝(x1－x2)
x21＋x11＋＋x2x22＋1－a.
∵0≤x1< x21＋1，0<x2< x22＋1，
∴0< x21＋x11＋＋x2x22＋1<1.
第6讲 函数的单调性
【学习目标】 1．了解函数单调性的概念，会讨论和证明一些简 单函数的单调性． 2．利用函数的单调性求最值，求单调区间及参数 的取值范围．
【基础检测】 1．函数 f(x)＝x2－1 的单调递减区间是 (－∞，0) ．
【解析】函数 f(x)的图象的对称轴为 y 轴，开口向 上，所以函数 f(x)的单调递减区间是(－∞，0)．
2．设 x1，x2∈[a，b]，x1≠x2.若有(x1－x2)[f(x1)
－f(x2)]>0 或f（x1）x1－－fx（2 x2）>0，则 f(x)在闭区间[a，
b]上是
增函数 ；若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0
或
f（x1）－f（x2） x1－x2
<0
，
则
f(x) 在 闭 区 间 [a ， b] 上
一、单调性的证明 例1已知函数 f(x)＝ x2＋1－ax，其中 a>0. (1)若 2f(1)＝f(－1)，求 a 的值； (2)证明：当 a≥1 时，f(x)在区间[0，＋∞)上为减 函数． 【解析】(1)由 2f(1)＝f(－1)， 可得 2 2－2a＝ 2＋a， ∴a＝ 32.
(2)任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1<x2，f(x1)－f(x2)
1]上单调递减，无最大值，当 x＝1 时，函数 y＝f(x) 取得最小值 2－a；
当－2<a<0 时，函数 y＝f(x)在区间0， －2 2a上 单调递减，在区间 －2 2a，1上单调递增，无最大值， 当 x＝ －2 2a时，函数 y＝f(x)取得最小值 2 －2a.
【点评】求函数值域或最值的常用方法： (1)定义法：先确定函数的单调性，再由单调性ຫໍສະໝຸດ Baidu 值域或最值． (2)图象法：先作出函数在给定区间上的图象，再
【解析】函数 f(x)是 R 上的减函数，
a－2<0， 于是有（a－2）×2≤122－1，由此解得
a≤183，
即实数 a 的取值范围是－∞，183.
【知识要点】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某 个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2