函数的单调性PPT教学课件 (2)

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y=f(x)
f(x1)
x1
f(x2)
x
x2
若取某区间上任意两个实数x1,x2,且x1<x2 f(x1)>f(x2)，
则f(x)在这个区间上是减函数。
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注意:
(1)函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。如果 函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说函数y=f (x) 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f (x)的单调区间.
＋∞)上是减函数.
根据单调函数的定义:
若取给定区间上任意两个实数x1,x2,且x1<x2 f(x1)>f(x2)，
则f(x)在这个区间上是减函数。
x x x x 证明:设 1 , 2 是 (0, ＋∞)上的任意两个实数,且 1 < 2 ,则-----
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【例4】证明:函数f(x)=x22x3在(1, ＋∞)上
y=f(x)
就说f(x)在这个区间上是增函数.
f(x1)
0
x1
若取某区间上任意两个实数x1,x2,且x1<x2 f(x1)<f(x2)，
则f(x)在这个区间上是增函数。
f(x2)
x
x2
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y
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自 变量的值 x 1 , x 2 ,当 x 1 < x 2 时,都有f( x 1 )>f( x 2) ,那么 就说f(x)在这个区间上是减函数.
x 其中y=f(x)在区间[－5, －2), [1,3) 上是减函数， 在区间[－2,1), [3,5]上是增函数。
注意：区间与区间之间只能用“，”隔开，
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不能用“U”连接起来。
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【例1】 （2）如图，说出f(x)=x2的单调区间。
y
f(x)= x2
4
3 2
1
x
－3 －2 －1 0
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【练习】证明f (x)= - x²-4x+3在(-∞,-2]上为增函数.
1.书写规范 2.根据学过的什么性质能够得到想要的结果.
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小结：
1、求函数的单调区间可用图象法与定义法。 2、证明（判断）函数的单调性只能用定义法。 3、单调区间一定是定义域的子集。
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作函数f(x)=x2的图象， 观察图象：
f(x)=x2 y
4 3 2 1
图象在y轴右侧部分是上升的，也就是说，当x在
[0, ＋∞)上取值时，随着x的增大，相应的y值也随
着增大。 即如果取 x 1, x∈2 [0, ＋∞) ， 那么 当
< x 1时说函数f(x)= x2
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总结：
1、y=kx+b
（1）当 k>0时，f(x)在 (－∞, ＋∞)上为增函数。
（2）当 k<0时，f(x)在 (－∞, ＋∞)上为减函数。
2、y
k x
（1）当 k>0时，f(x) 在 ( ,0),(0, )上为增函数。
（2）当 k<0时，f(x) 在 ( ,0),(0, )上为减函数。
(2)在单调区间上增函数的图像从左向右是上升的,减函数的图像从 左向右是下降的.
(3)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,例如:y=x² 在[0, ＋∞)上为增函数,在(－∞，0)上为减函数;但在(－∞, ＋∞)上 不具备单调性.此函数在(－∞, ＋∞)上也不是单调函数.
因此:说哪个函数是单调增(或减)函数时,一定要指明是在哪个区间.
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3
解： (－∞，0)是函数f(x)=x2减区间, [0，＋∞)是函数f(x)=x2增区间。
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例2：作出下列函数的图像，并求单调区间， 以及f(x)在该区间上是增函数还是减函数。
（1）y=3x+2
（3） y 1 x
(2) y= -3x+2
（4） y 1 x
（5）yx22x3（6） yx22x3
在[0，＋∞)上是增函数，即函数f(x)=x2在[0, ＋∞)
上单调递增。
－3 －2 －1 0
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3
x
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图象在y轴左侧部分是下降的，也就是说，当x在
（－ ∞，0）上取值时， 随着x的增大，相应的y
值反而随着减小。即如果取 x 1, x 2∈（－ ∞，0）,
那么当 x 1 < x 2时,有f(x 1)>f(x 2). 这时我们就说函数
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【例1】 （1） 如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每 一单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数.
y
4 3
2 1
－5 －4 －3 －2 －1 0
－1 －2
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3 45
解：函数y=f(x)的单调区间有 [－5, －2), [－2,1), [1,3), [3,5].
3（、1y ） 当在a x a[2 >0 b时b ,x ,f( x)c )在(上a (为 增0 , )函2ba数] 。上为减函数。
（2）当a<02时a ,f(x) 在 (, b ] 上为增函数。
在
[
b 2a
,
2a
上) 为减函数。
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x1
【例3】
证明函数f(x)=
1 x
在(0,
是增函数。
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【例5】证明：函数 y x x 在 R 上是增函数。
【例6】证明：函数 y x2 在 [2,)上是增函数。
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小结: 用定义法证明函数在给定区间上是增函数还 是减函数, 步骤为:
一、设值； 二、作差； 三、变形(化成几个因式相乘除的形式）；
（1）因式分解；（2）配方；（3）有理化； 四、判断符号； 五、下结论。
函数的单调性
2005年10月28日
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观察函数y=2x+1的函数值随自变量x 变化的规律
❖ f(x)=2x+1的函数值随自 变量x的增大而增大
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2
观察函数y=-2x+1的函数值随自变量x 变化的规律
❖ f(x)=-2x+1的函数值随 自变量x的增大而减小
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f(x)= x2在（－ ∞，0）上是减函数，即函数f(x)=x2
在（－∞，0）上单调递减。
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定义：
一般地,设函数的定义域为I :
y
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自
变量的值 x 1 , x 2 ,当 x 1< x 2 时,都有f(x 1 )<f( x 2) ,那么