数轴与绝对值(辅导)
1.2数轴、相反数和绝对值例题与讲解
1.2 数轴、相反数和绝对值1．数轴(1)数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．如图所示．(2)数轴的概念包涵的意思①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；③原点位置的选定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的．一般取向右的方向为正方向．(3)数轴的画法：要正确迅速地画出数轴，可按以下步骤进行：①“画”就是先画一条水平的直线；②“取”就是在直线上选取一点表示原点(原点表示的数是0)；③“选”就是选择向右的方向为正方向(用箭头表示)，那么相反的方向，即从原点向左为负方向，然后选取适当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出；④“标”就是从原点向右，依次标出1,2，3，…；从原点向左，依次标出－1，－2，－3，….画数轴的步骤可简单归纳为“一画、二取、三选、四标”．解技巧确定数轴的单位长度画数轴时根据实际问题的需要可选取不同的距离作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须一致．【例1】观察下列图形，数轴画得正确的是______．解析：判断一条直线是否为一数轴，关键看这条直线是否具有原点、正方向和单位长度这三要素．A没有原点，B没有正方向，C的单位长度不一致，E中负方向上所标注的数字顺序错误，只有D满足条件．答案：D辨误区画数轴常见的错误画数轴常出现的错误：(1)没有方向；(2)没有原点；(3)单位长度不一致；(4)标出的数值排列错误．2．有理数与数轴上的点之间的关系(1)数对应点：任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示．(2)在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧，所有正数对应的点都在数轴上原点的右侧，所有负数对应的点都在数轴上原点的左侧，与正数对称．(3)找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：①确定点与原点的位置关系(左负右正)；②确定点与原点的距离．辨误区有理数与数轴上的点的对应关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数，因为数轴上除了表示所有的有理数的点之外，还有表示所有的无理数的点(以后会学习)．【例2－1】 指出数轴上A ，B ，C ，D ，E ，F 各点分别表示什么数？分析：先确定已知点的位置是在原点的左边还是右边，再确定点对应的数值，特别是B ，E 两点，要看准它们所表示的数在哪两个数之间．解：A 表示4；B 表示2.5；C 表示1；D 表示0；E 表示－1.5；F 表示－3.【例2－2】 把下列各数在数轴上表示出来：32，－5,0,3.6，－3，－12，－112. 分析：第一步，画出数轴(按三要素)；第二步，把这些数在数轴上的对应点找出来；0在原点，容易找到对应点．正数在原点的右边，所以32，3.6在原点的右边，且分别距原点32个单位长度、3.6个单位长度．负数在原点的左边，所以－5，－3，－12，－112在原点的左边，且分别距原点5个单位长度、3个单位长度、12个单位长度、112个单位长度． 解：解技巧 确定数在数轴上的对应点 (1)确定有理数在数轴上的对应点，要先根据正负确定该点在原点的哪一边，然后再确定距原点多少个单位长度；(2)一般情况下，原数轴上的表示单位长度的数要标在数轴的下方，而要表示的数应标在数轴的上方．3.相反数(1)相反数的定义只有符号不同的两个数互为相反数，这就是说，其中一个是另一个的相反数，特别规定： 0的相反数是0.辨误区 相反数的意义①“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，千万不能漏掉；②“只有符号不同”指的是除符号不同以外，其他完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，例如：－2和＋3符号不同，但它们不互为相反数．(2)相反数的几何意义两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，与原点的距离相等．如：＋3和－3，＋4.4和－4.4互为相反数，在数轴上的位置如图所示：(3)相反数的表示方法一般地，数a 的相反数是－a ，这里a 表示任意一个数，它可以是正数、负数或者零． 析规律 相反数的表示方法在任意一个数前面添上“－”号，所得的数是原数的相反数，在一个数的前面添上一个“＋”号，仍是原数．【例3】 填空题：(1)－5的相反数是__________；(2)－(－6)的相反数__________；(3)__________的相反数是0.7；(4)18与__________互为相反数； (5)若a ＝13，则－a ＝__________.解析：根据相反数的意义求出各数的相反数．(1)－5的相反数为5；(2)－(－6)表示－6的相反数，即－(－6)＝6，所以求－(－6)的相反数就是求6的相反数；(3)－0.7的相反数是0.7；(4)18与－18互为相反数；(5)－a 表示a 的相反数，即求13的相反数，所以－a ＝－13. 答案：(1)5 (2)－6 (3)－0.7 (4)－18(5)－134．绝对值(1)绝对值的概念在数轴上，表示数a 的点到原点的距离，叫做数a 的绝对值，记作|a |.表示数0的点即原点，到原点的距离是0，故|0|＝0.(2)一个数的绝对值与这个数的关系①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ②绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．注意：既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数．故绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值是它的相反数的数是负数和0.③互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数． 谈重点 绝对值的意义绝对值是初中代数中的重要概念，从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小．由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数．也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a 取任意有理数，都有|a |≥0，所以绝对值最小的数是0.【例4－1】 下列说法正确的是( )．A ．|－5|表示－5的绝对值，等于－5B ．负数的绝对值等于它本身C ．－4距离原点4个单位长度，所以－4的绝对值是4D ．绝对值等于它本身的数有两个，是0和1解析：绝对值是一个距离，不能为负数，故选项A 错误；负数的绝对值等于它的相反数，故选项B 错误；一个数的绝对值是它在数轴上对应点与原点的距离，C 正确；正数的绝对值都等于它本身，故选项D 错误．答案：C【例4－2】 回答问题：(1)绝对值是3的数有几个？各是什么？(2)绝对值是0的数有几个？各是什么？(3)绝对值是－2的数是否存在？若存在，请写出来．分析：本题要正确理解绝对值的概念，尤其要理解绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．(1)表示到原点距离等于3的点对应的数有几个，显然，表示数3和－3的点到原点的距离都等于3，所以绝对值等于3的数有两个，它们互为相反数．(2)到原点的距离为0的点只有原点本身，它对应的数是0.(3)任意有理数的绝对值都是非负数，故不存在绝对值是－2的数．一般地，一个有理数的绝对值只有一个，但是绝对值为一个正数的有理数都有两个，它们互为相反数，没有绝对值为负数的有理数．解：(1)绝对值是3的数有两个，它们分别是3和－3.(2)绝对值是0的数只有一个，它是0.(3)绝对值是－2的数不存在．5．数轴上两点间的距离与点表示的数之间的关系(1)数轴使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形的内在联系．正是这种联系，使得数轴上两点之间的距离与所表示的数之间存在密切关系．(2)数轴上表示数a 的点与原点之间的距离：当a 为一个正数时，它与原点的距离是a 个单位长度，当a 是负数时，它与原点的距离是|a |个单位长度；当a 是0时，距离为0.(3)注意：到某一点距离等于a (a 是正数)的点有两个，在原点的左右两侧各一个．解技巧 确定数轴上两点间的距离解决此类问题的最好方法是画出数轴，并表示出所求的数，再求两点间的距离．【例5－1】 如图，A ，B 两点在数轴上，点A 对应的数为2，若线段AB 的长为3，求点B 对应的数是多少？分析：由于点A 对应的数为2，说明它到原点的距离为2，又线段AB 的长为3，则点B 对应的数就很容易确定了．解：因为点A 对应的数为2，又线段AB 的长为3，所以点B 到原点的长为1.又因为点B 在原点的左边，所以点B 对应的数为－1.【例5－2】 已知数轴上A ，B 表示的数互为相反数，并且A ，B 两点间的距离为6个单位长度，求A ，B 两点表示的数(A 在B 的左边)．分析：互为相反数的数，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，根据A ，B 的距离为6个单位长度，即可求出A ，B 两点表示的数．解：由点A ，B 表示的数互为相反数，且A ，B 两点间的距离为6，可知点A ，B 在原点的两侧，到原点距离都为3，又A 在B 的左边，所以A 点表示－3，B 点表示3.6.运用相反数化简符号(1)理解：①在任意－个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．如：＋5的相反数表示为－(＋5)，而5的相反数就是－5，所以－(＋5)＝－5.因此运用相反数可以进行符号化简．(2)分类：简单的符号化简共有3种情况：①－(＋a )＝－a ；②＋(－a )＝－a ；③－(－a )＝a .(3)延伸：①－[－(－a )]＝－a ；－[＋(－a )]＝a 等．②－0＝0，表示0的相反数是0. 多重符号的结果是由“－”号的个数决定的，与“＋”号无关，据此可以对带有多重符号的数进行化简．化简时“＋”号的个数不影响结果，可省去；而“－”号的个数是偶数个时也可全部省去，奇数个时，结果保留一个“－”号即可．【例6－1】 填空：(1)－⎝⎛⎭⎫－127的相反数是__________； (2)如果－x ＝＋(－80.5)，那么x ＝__________.解析：(1)∵－⎝⎛⎭⎫－127＝127，因此此题实际上是求127的相反数，∴－⎝⎛⎭⎫－127的相反数是－127；(2)是已知x 的相反数求原数x 的问题，∵－x ＝＋(－80.5)＝－80.5，∴x ＝80.5.答案：(1)－127(2)80.5 【例6－2】 化简下列各符号：(1)－[－(－2)]；(2)＋{－[－(＋5)]}；(3)－{－{－…－(－6)…}}(共n 个负号)．分析：化简的法则是：结果的符号与负号的个数有关，有偶数个负号时，结果为正；有奇数个负号时，结果为负．解：(1)－2；(2)5；(3)当n 为偶数时，为6；当n 为奇数时，为－6.7.绝对值的化简和计算化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．解技巧 准确化简绝对值符号化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数、负数或是0.【例7】 化简：(1)－⎪⎪⎪⎪－23； (2)＋|－24|；(3)⎪⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎫＋312； (4)|－(－7.5)|.分析：先判断绝对值符号内数的符号，再求绝对值．解：(1)－⎪⎪⎪⎪－23＝－23； (2)＋|－24|＝24；(3)⎪⎪⎪⎪－⎝⎛⎭⎫＋312＝312； (4)|－(－7.5)|＝7.5.8.字母表示的数的绝对值的求法应用因为用字母所表示的数既可以是正数也可以是负数，还可以是0.它具有不确定性，而求绝对值首先要考虑的就是符号，因此求字母表示的数的绝对值时，必须考虑题目中给定的条件，若有限定条件，就按限定条件求出，若没有限定条件，则要分正、负、0三种情况讨论．解技巧 求字母表示的数的绝对值(1)限制型逆用求法，如：|a |＝6，那么a ＝±6；(2)开放型分类讨论求法：如求|x |＋x 的值，当x ＞0时，|x |＝x ，所以|x |＋x ＝x ＋x ＝2x ，当x ＜0时，|x |＝－x ，原式＝0，当x ＝0时，原式＝0；(3)化简型求法：如：|a |＝|－8|，|－a |＝|－8|，|－a |＝|8|都能化为|a |＝|8|＝8解决．【例8－1】 已知a ＝－5，|a |＝|b |，则b 的值等于( )．A ．＋5B ．－5C ．0D ．±5解析：因为a ＝－5，所以|a |＝5.所以|b |＝5.所以b ＝±5.注：本题常见的思维误区是由|a |＝|b |推出a ＝b ，错选B.事实上，由|a |＝|b |，可得b ＝±a ，所以b ＝a 或b ＝－a ，即b ＝5或b ＝－5.答案：D【例8－2】 下面推理正确的是( )．A ．若|m |＝|n |，则m ＝nB ．若|m |＝n ，则m ＝nC．若|m|＝－n，则m＝nD．若m＝n，则|m|＝|n|解析：A中若|m|＝|n|，则m＝±n；B中若|m|＝n(n一定是非负数)，则m＝±n，例如|±2|＝2，此时m＝±2，n＝2，显然m＝±n；C中若|m|＝－n，则m＝n或m＝－n，例如|±3|＝－(－3)(n一定是非正数)，此时m＝±3，n＝－3，所以m＝±n.答案：D9．利用数轴解决生活中的实际问题本节知识常与运动问题结合在一起，利用数形结合将运动问题解决．这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一．数轴是一种数学工具，它使数和数轴上的点建立了对应关系，运用数轴可以直观表示点的移动，正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键．解题时，通常根据题意正确地画出数轴，在选取长度单位时，要根据题目中的实际情况来确定，再在数轴上表示点的移动过程，用箭头和竖线来表示．【例9】超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置以及小明最后的位置．分析：书店处于超市和玩具店之间，且书店与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置．解决点的移动问题，可画出数轴，在数轴上表示点的移动，关键是确定原点，最后的点相对于原点来说，若在原点的右侧，表示的是正数，若在原点的左侧，则表示的是负数．解：根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边10米处．10.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题．利用绝对值求距离路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示带方向的路程，求最后实际路程时，实际上是求绝对值的和．方法：①求各个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．【例10】一天上午，出租车司机小王在东西走向的中山路上营运，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”和“－”在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在营运中所行驶的路程，因此求共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和．解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．答：小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米．。
数轴与绝对值含答案
数轴与绝对值一、运用数轴直观的表示数1、点A 、B 、C 在同一条数轴上，其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1，若BC=2，则AC 等于（ ）A. 3B. 2C. 3或5D. 2或6【答案】 D【分析】此题有两种情况，①：点C 在点B 的右侧，即AC=AB+BC=4+2=6；②：点C 在点B 的左侧，即AC=AB-BC=4-2=2.2、如图，数轴上每个刻度为1个单位长，则 A ，B 分别对应数 a ，b ，且b-2a=7，那么数轴上原点的位置在 （ ）A. A 点B. B 点C. C 点D. D 点【答案】C【分析】由数轴可知b-a=3，即b=a+3，再由b-2a=7，代入计算可求出a 的值，进而可确定原点的位置.二、运用数轴比较有理数的大小3、实数a 在数轴上的对应点位置如下图所示，把a ，-a ，2按照从小到大的顺序排列，正确的是( )A. -a<a<2B. a<-a<2C. 2<a<-aD. a<2<-a【答案】 B【分析】观察数轴可知：a ＜0，|a|＜2，就可得到2＞-a ＞0，即可得出答案。
4、数轴上有两个实数a ，b ，且a ＞0，b ＜0，a+ b ＜0，则四个数a ，b ，-a ，-b 的大小关系为________（用“＜”号连接）．【答案】 b<-a<a<-b5、p 在数轴上的位置如图所示， 化简：21-+-p p =________；【答案】 16、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|﹣|b﹣1|﹣|a﹣c|﹣|1﹣c|得到的结果是（）A. 0B. ﹣2C. 2aD. 2c【答案】B7、有理数a、b、c 在数轴上对应的点的位置，如图所示：① abc＜0；② |a－b|＋|b－c|＝|a －c|；③ (a－b)(b－c)(c－a)＞0；④ |a|＜1－bc，以上四个结论正确的有（）个A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得：a＜-1＜0＜b＜c＜1，则：①abc＜0正确②∵|a-b|+|b-c|=-a+b-b+c=-a+c，|a-c|=-a+c，∴|a-b|+|b-c|=|a-c|正确③∵a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，∴（a-b）（b-c）（c-a）＞0正确④∵|a|＞1，1-bc＜1，∴|a|＞1-bc；故|a|＜1－bC不符合题意故正确的结论有①②③三个．三、数轴：数与形的第一次碰撞8、在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB=2，BC=1，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是p．（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算p的值；若以C为原点，p又是多少？（2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，求p．【答案】（1）解：若以B为原点，则C表示1，A表示﹣2，∴p=1+0﹣2=﹣1；若以C为原点，则A表示﹣3，B表示﹣1，∴p=﹣3﹣1+0=﹣4（2）解：若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO=28，则C表示﹣28，B表示﹣29，A 表示﹣31，∴p=﹣31﹣29﹣28=﹣889、如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A 在数轴上表示的数是﹣10，点C 在数轴上表示的数是16．若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．（1）问运动多少时BC=8（单位长度）？（2）当运动到BC=8（单位长度）时，点B 在数轴上表示的数是________；（3）P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式FC AF BD -=3，若存在，求线段PD 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：设运动t 秒时，BC=8单位长度，①当点B 在点C 的左边时，由题意得：6t+8+2t=24解得：t=2（秒）；②当点B 在点C 的右边时，由题意得：6t ﹣8+2t=24解得：t=4（秒）（2）解：4或16（3）解：存在关系式FCAF BD - =3． 设运动时间为t 秒，1）当t=3时，点B 和点C 重合，点P 在线段AB 上，0＜PC≤2，且BD=CD=4，AP+3PC=AB+2PC=2+2PC ，当PC=1时，BD=AP+3PC ，即FCAF BD - =3； 2）当3＜t ＜ 时，点C 在点A 和点B 之间，0＜PC ＜2，①点P 在线段AC 上时，BD=CD ﹣BC=4﹣BC ，AP+3PC=AC+2PC=AB ﹣BC+2PC=2﹣BC+2PC ，当PC=1时，有BD=AP+3PC ，即 =3；点P 在线段BC 上时，BD=CD ﹣BC=4﹣BC ，AP+3PC=AC+4PC=AB ﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC ， 当PC= 时，有BD=AP+3PC ，即 =3；3°当t= 时，点A 与点C 重合，0＜PC≤2，BD=CD ﹣AB=2，AP+3PC=4PC ，当PC= 时，有BD=AP+3PC ，即 =3；4°当＜t 时，0＜PC＜4，BD=CD﹣BC=4﹣BC，AP+3PC=AB﹣BC+4PC=2﹣BC+4PC，PC= 时，有BD=AP+3PC，即=3．∵P在C点左侧或右侧，∴PD的长有3种可能，即5或3.510、阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是点是【A，B】的好点．（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D________【A，B】的好点，但点D________【B，A】的好点．（请在横线上填是或不是）知识运用：（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数________所表示的点是【M，N】的好点；（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过________秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？【答案】（1）不是；是（2）0（3）5或10【解答】解：（1）如图1，∵点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，根据好点的定义得：DB=2DA，那么点D不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点；⑵如图2，4﹣（﹣2）=6，6÷3×2=4，即距离点M4个单位，距离点N2个单位的点就是所求的好点0；∴数0所表示的点是【M，N】的好点；⑶如图3，由题意得：PB=4t，AB=40+20=60，PA=60﹣4t，点P走完所用的时间为：60÷4=15（秒），当PB=2PA时，即4t=2（60﹣4t），t=10（秒），当PA=2PB 时，即2×4t=60﹣4t ，t=5（秒），∴当经过5秒或10秒时，P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的好点；故答案：（1）不是，是；（2）0；（3）5或10．11、如图1，点A 、B 分别在数轴原点O 的左右两侧，且31OA+50=OB ，点B 对应数是90．（1）求A 点对应的数；（2）如图2，动点M 、N 、P 分别从原点O 、A 、B 同时出发，其中M 、N 均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P 向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t 秒，问当t 为何值时，点M 、N 之间的距离等于P 、M 之间的距离；（3）如图3，将（2）中的三动点M 、N 、P 的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q 为线段MN 的中点，R 为线段OP 的中点，求22RQ ﹣28RO ﹣5PN 的值．【答案】（1）解：如图1，∵点B 对应数是90，∴OB=90．又∵ 31OA+50=OB ，即 31OA+50=90， ∴OA=120．∴点A 所对应的数是﹣120（2）解：依题意得，MN=|（﹣120+7t ）﹣2t|=|﹣120+5t|，PM=|2t ﹣（90﹣8t ）|=|10t ﹣90|，又∵MN=PM ，∴|﹣120+5t|=|10t ﹣90|，∴﹣120+5t=10t ﹣90或﹣120+5t=﹣（10t ﹣90）解得t=﹣6或t=14，∵t≥0，∴t=14，点M 、N 之间的距离等于点P 、M 之间的距离（3）解：依题意得RQ=（ 45+4t ）﹣（﹣60﹣4.5t ）=105+8.5t ，RO=45+4t ，PN=（90+8t ）﹣（﹣120﹣7t ）=210+15t ，则22RQ ﹣28RO ﹣5PN=22（105+8.5t ）﹣28（45+4t ）﹣5（210+15t ）=012、已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为－10，B点对应的数为70. （1）请写出AB的中点M对应的数（2）现在有一只电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，请你求出C点对应的数（3）若当电子蚂蚁P从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从B点出发，以2单位/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时P点对应的数．【答案】（1）解：M点对应的数是（﹣10+70）÷2=30；（2）解：∵A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣10，B点对应的数为70，∴AB=70+10=80，设t秒后P、Q相遇，∴3t+2t=80，解得t=16；∴此时点Q走过的路程=2×16=32，∴此时C点表示的数为70﹣32=38．答：C点对应的数是38；（3）解：相遇前：（80﹣35）÷（2+3）=9（秒），相遇后：（35+80）÷（2+3）=23（秒）．则经过9秒或23秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，9秒对应的数为17，23秒对应的数为59．13、已知A、B两地相距50米，小乌龟从A地出发前往B地，第一次它前进1米，第二次它后退2米，第三次再前进3米，第四次又向后退4米…，按此规律行进，如果A地在数轴上表示的数为﹣16．（1）求出B地在数轴上表示的数；（2）若B地在原点的右侧，经过第七次行进后小乌龟到达点P，第八次行进后到达点Q，点P、点Q到A地的距离相等吗？说明理由？（3）若B地在原点的右侧，那么经过100次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少？【答案】（1）解：﹣16+50=34，﹣16﹣50=﹣66（2）解：第七次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7=4，第八次行进后：1﹣2+3﹣4+5﹣6+7﹣8=﹣4，因为点P、Q与A点的距离都是4米，所以点P、点Q到A地的距离相等（3）解：当n为100时，它在数轴上表示的数为：﹣16+1﹣2+3﹣4+…+（100﹣1）﹣100==﹣66，34﹣（﹣66）=100（米）一、绝对值基本概念及求法1、下面结论正确的有（ ）①两个有理数相加，和一定大于每一个加数②一个正数与一个负数相加得正数③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和④两个正数相加，和为正数⑤正数加负数，其和一定等于0．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C2、若x 的相反数是3，│y│＝5，则x ＋y 的值为（ ）A. －8B. 2C. 8或－2D. －8或2【答案】 D3、若|a|=3，|b|=2，且a ﹣b ＞0，则a+b 的值等于（ ）A. 1或5B. 1或﹣5C. ﹣1或﹣5D. ﹣1或5【答案】A4、己知a=5，|b|=8，且满足a+b ＜0，则a-b 的值为（ ）A. 13B. -13C. 3D. -3【答案】 A5、若2a =25, b =3,则a+b=（ ）A. -8B. ±8C. ±2D. ±8或±2【答案】D6、若a 是负数，且|a|<1，则11--a a 的值是（ ）A. 等于1B. 大于-1，且小于0C. 小于-1是D. 大于1【答案】C7、a 为有理数，下列各式：⑴ a 2=(−a)2 （2） |a|=|−a| （3） a 3=(−a)3 （4） (−a)3=−∣a 3∣ ⑸ |a+b|=|a|+|b|（6） (a+b)2=a 2+b 2其中一定成立的有（ ）个.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】 A二、绝对值非负性8、若 | x | =－ x ，则 x 一定是（ ）A. 非正数B. 正数C. 非负数D. 负数【答案】 A9、若|a+2|+（b ﹣1）2=0，那么代数式（a+b ）2017的值是（ ）A. 2009B. ﹣2009C. 1D. ﹣1【答案】 D10、已知a ，b ，c 为非零的实数，则bcbc ac ac ab ab a a +++ 的可能值的个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】A11、已知(a +1)2=25 ，且a < 0 ，|a+3|+|b+2|=14，则a+b= ________【答案】3或-19三、绝对值的化简12、若有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则化简：| a |＋| a －b |－| c ＋b |＝________．【答案】2a+c13、已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，求|a|+|a ﹣c|﹣|a+b|+|b+c|的值．【答案】解：∵由图可知b ＜a ＜c ，|b|＞c ＞|a|，∴a ﹣c ＜0，a+b ＜0，b+c ＜0，∴原式=﹣a+（c ﹣a ）+a+b ﹣（b+c ）=﹣a+c ﹣a+a+b ﹣b ﹣c=﹣a ．14、如图，已知数轴上点A 、B 、C 所表示的数分别为a 、b 、c ，点C 是线段AB 的中点，且AB=2，如果原点O 的位置在线段AC 上，那么c b a 2-+ = ________.【答案】015、化简155332+--+-x x x 63642-+--x x16、代数式|x ﹣1|+|x+2|+|x ﹣3|的最小值为 （ ）A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】C17、若33-=+x x ，则x 的取值范围是________．【答案】18、当x 变化时，|x －4|+|x －t|有最小值5，则常数t 的值为________.【答案】 -1或9四、绝对值的几何意义19、同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：（1）|﹣4+6|=________；|﹣2﹣4|=________；（2）找出所有符合条件的整数x ，使|x+2|+|x-1|=3成立；（3）若数轴上表示数a 的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a ﹣6|的值；（4）当a=________时，|a ﹣1|+|a+5|+|a ﹣4|的值最小，最小值是________；（5）当a=________时，|a ﹣1|+|a+2|+|a ﹣3|+|a+4|+|a ﹣5|+…+|a+2n|+|a ﹣(2n+1)|的值最小，最小值是________.【答案】（1）2；6（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x 是整数，所以x 的值可以为：-2，-1,0,1.（3）解：∵数轴上表示数a 的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a ﹣6＜0，∴|a+4|+|a ﹣6|=a+4-a+6=10;（4）1；9（5）1；4n+1【考点】绝对值及有理数的绝对值【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a 表示的数是1的时候，|a ﹣1|+|a+5|+|a ﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a ﹣1|+|a+5|+|a ﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；(5)此题可以理解为数轴上一点到1，-2,3，-4…-2n,(2n+1)的距离和最小，根据两点之间线段最短，故当a=1的时候，|a ﹣1|+|a+2|+|a ﹣3|+|a+4|+|a ﹣5|+…+|a+2n|+|a ﹣(2n+1)|的值最小，最小值是2n+2n+1=4n+1.20、点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB ＝b a -．利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和-2 的两点之间的距离为________（2）数轴上表示x 和1两点之间的距离为________，数轴上表示 x 和-3 两点之间的距离为________（3）若 x 表示一个实数，且35<<-x ，化简53++-x x = ，（4） 43-+-x x 的最小值为________，54321-+-+-+-+-x x x x x 的最小值为________.（5）31--+x x 的最大值为________【答案】 （1）4；3（2）；（3）8（4）7；6（5）4【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，绝对值及有理数的绝对值，整式的加减运算【解析】【解答】解：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离，数轴上表示1和 的两点之间的距离 ；( 2 )数轴上表示 和1两点之间的距离， 数轴上表示 和两点之间的距离 ； ( 3 )∵， ∴;初中数学培优专题世上无难事，只怕有心人( 4 )∵的几何意义为到-3与到4的距离和，∴取最小值时，在-3与4之间，即最小值，同理可得的最小值为6；( 5 )∵取最大值时，最小，∴，，∴最大值.21、如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4、8（A、B两点间的距离用AB表示），点M、N是数轴上两个动点，分别表示数m、n（1）AB＝________个单位长度；若点M在A、B之间，则|m＋4|＋|m－8|＝________（2）若|m＋4|＋|m－8|＝20，求m的值（3）若点M、点N既满足|m＋4|＋n＝6，也满足|n－8|＋m＝28，则m＝________；n＝________ 【答案】（1）12；12（2）解：如果m在-4的左边，则-m-4+8-m=20,m=-8.如果m在8的右边，则m+4+m-8=20,m=12所以m=-8或12.（3）11；-9【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，绝对值及有理数的绝对值，解含绝对值符号的一元一次方程【解析】【解答】解：（1）12,12.（3 ）|m＋4|＋n＝6，|n－8|＋m＝28当m<-4,n<8时，-m-4+n=6,8-n+m=28，无解.当m<-4,n>8时，-m-4+n=6,n-8+m=28，n=23,m=13，矛盾.当m>-4,n<8时，m+4+n=6,8-n+m=28，m=11,n=-9.当m>-4,n>8时，m+4+n=6,n-8+m=28，无解.11。
数轴、相反数、绝对值 (讲义及答案)
数轴、相反数、绝对值（讲义）➢课前预习1.为了表示相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示．请根据上述内容回答问题：（1）如果规定向东为正，那么向东走5 m可记作+5 m，向西走8 m可记作_____m．（2）一种袋装食品标准净重为200 g，质监工作人员为了了解该种食品每袋的净重与标准的误差，把食品净重205 g记为+5 g，那么食品净重197 g就记为_____g．2.正数可分为正整数和正分数，那么负数也可以分为负整数和负分数．比如：-2，-5等都是负整数，而-1.5，12-都是负分数．请将下列各数进行分类：3，-2.5，3.14，32-，-9，100，0．其中属于整数的有：__________________________________；其中属于分数的有：__________________________________；其中属于正数的有：__________________________________；其中属于负数的有：__________________________________．3.如图，点A表示小明的家，动物园在小明家西边500米，书店在小明家东边500米，车站在书店东边200米，小明从动物园出发向东走1 000米，到达_________；动物园和书店到小明家的距离都是_______米；小明从家出发，走了500米，可以到达_________________；动物园和车站之间的距离为__________米．DCA1. _______与_______统称为有理数．2. 有理数的分类：有理数_________________________________________________⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩_________________________________________________有理数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎩ 3. 非正数：_________________；非负数：________________． 非正整数：_______________；非负整数：______________． 4. 数轴的定义：规定了_______、________、_________的一条数轴．任何一个______都可以用数轴上的一个点来表示．5.数轴的作用：__________________、___________________、___________________________．6. 利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，越往右数越____，越往左数越_____，右边的总比左边的______．正数_____0，负数_______0，正数________负数．7. 相反数的定义：__________________的两个数，互为相反数．特别地，____________________． 互为相反数的两个数，和为0．8. 绝对值的定义：在________上，一个数所对应的点与原点的__________叫做这个数的绝对值． 9. 绝对值法则：正数的绝对值是_________；___________________________；___________________________．1. 若上升5 m 记作+5 m ，则-8 m 表示__________；如果-10元表示支出10元，那么+50元表示_____________；如果零上5℃记作+5℃，那么零下2℃记作___________；太平洋中的马里亚纳海沟深达11 034 m ，可记作海拔-11 034 m （即低于海平面11 034 m ），则比海平面高50 m 的地方，它的高度记作海拔___________，比海平面低30 m 的地方，它的高度记作海拔___________． 2. 选出下列不具有相反意义的量（ ）A ．气温升高4℃与气温为12℃B ．胜3局与负4局C ．转盘逆时针转4圈与顺时针转6圈D ．支出5万元与收入3万元3. 有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450克）为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ） A ．+2B ．-3C ．+3D ．+44. 如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm ），其中不合格的是（ ） A ．Φ45.02B ．Φ44.9C ．Φ44.98D ．Φ45.015. 把下列各数填入它所在的集合里：-2，7，32-，0，2 020，0.618，3.14，-1.732，-5，+3．①正数集合：{__________________________________…}；②负数集合：{__________________________________…}； ③整数集合：{__________________________________…}； ④非正数集合：{________________________________…}； ⑤非负整数集合：{______________________________…}； ⑥有理数集合：{________________________________…}．6.7. a ，b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列关于a ，b ，0三者之间的大小关系，正确的是（ ）b0aA ．0＜a ＜bB ．a ＜0＜bC ．b ＜0＜aD ．a ＜b ＜08. 数轴上表示-2和-101的两个点分别为A ，B ，则A ，B 两点间的距离是______________．9. 在数轴上大于-4.12的负整数有______________________．10. 到原点的距离等于3的数是____________．11. 数轴上，将表示-2的点向左移动两个单位后得到点A ，与点A 距离为3个单位的点对应的数是_________．12. 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了-60米，此时小明的位置在（ ） A ．玩具店B ．文具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东边-60米13. 填空： 13+的相反数是_____；-3.5的相反数是_____；(1)--的相反数是_____；(2)+-的相反数是_____；0的相反数是_____． 14. A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）A ．B AB ．B AC ．B AD ．B A15. 下列各组数中，互为相反数的两个数是（ ）A ．-3和+2B ．5和15C ．-6和6D ．13-和1216. 下列化简不正确的是（ ）A ．( 4.9) 4.9--=+B ．( 4.9) 4.9-+=-C ．[]( 4.9) 4.9-+-=+D ．[]( 4.9) 4.9+-+=+ 17. 下列各数中，属于正数的是（ ）A ．)2(-+B ．-3的相反数C ．)(a --D ．-3的相反数的相反数18. a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a ，-a ，b ，-b按照从小到大的顺序排列正确的是（ ）aA ．b a a b -<-<<B ．b a b a >->->C ．b a a b -<<-<D ．b b a a -<<-<19. 填空：5.3-=______；21+=_______；5--=_______；若x ＜0，则x =_______，x -=_______； 若m ＜n ，则m n -=________． 20. 下列各数：-2，31+，3-，0，2-+，-(-2)，2--，其中是正数的有_______________________________． 21. 有理数的绝对值一定是（ ）A ．正数B ．整数C ．正数或零D ．非正数22. 下列说法正确的是（ ）A ．一个数的绝对值一定大于它本身B ．只有正数的绝对值等于它本身C ．负数的绝对值是它的相反数D ．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 23. 下列说法正确的是（ ）A ．所有的有理数都可以用数轴上的点来表示B ．绝对值等于它相反数的数是负数C ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等D ．相反数等于它本身的数是非负数24. 请判断下列说法的正误．（对的打“√”，错的打“×”）（1）所有的有理数都能用数轴上的点表示 （ ）（2）符号不同的两个数互为相反数 （ ） （3）有理数分为正数和负数 （ ） （4）最小的正数是1 （ ） （5）最大的负整数是-1 （ ） （6）绝对值最小的数是0 （ ） （7）绝对值等于它本身的数是0和1 （ ） （8）相反数等于它本身的数是0和1 （ ）25. 填空：（1）311--=_______；（2）2.42.4--=____-____=_____； （3）53++-=____+____=____； （4）22--+=|_____-_____|=_____； （5）3 6.2-⨯=____×____=_____； （6）21433-÷-=____÷____=____×____=_____．【参考答案】 ➢ 课前预习1. （1）-8 （2）-3．2. 其中属于整数的有：3，-9，100，0；其中属于分数的有：-2.5，3.14，32-；其中属于正数的有：3，3.14，100；其中属于负数的有：-2.5，32-，-9．3. 书店，500，动物园或书店，1 200．➢ 知识点睛1. 整数、分数2.⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩正整数正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数3. 负数和0；正数和0；负整数和0；正整数和04. 原点、单位长度、正方向、直线； 有理数．5. 表示数 比较大小 表示距离6. 大，小；大；大于，小于，大于7. 只有符号不同．0的相反数为0．8. 数轴，距离9.它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩右侧框内答案 框2：图略框3：-a ，a ，-a +b框4：正数和0，负数和0➢ 精讲精练1. 下降8 m 收入50元 -2℃+50 m -30 m2. A3. A4.B5.①7，2 019，0.618，3.14，+3；②-2，23-，-1.732，-5③-2，7，0，2 019，-5，+3；④-2，23-，0，-1.732，-5⑤7，0，2 019，+3；⑥-2，7，23-，0，2 020，0.618，3.14，-1.732，-5，+36.212101332-3.5<-<-<<<+图略；7. B8.999.-4，-3，-2，-110.±311.-7或-112.B13.13-；3.5，-1，2，014.D15.C16.D17.B18.C19.3.5 12-5 -x -x-m +n20.13+，3-，-(-2)21.C22.C23.A24.（1）√（2）×（3）×（4）×（5）√（6）√（7）×（8）×25.（1）113 -；（2）4.2 4.2 0；（3）3 5 8；（4）2 2 0；（5）3 6.2 18.6；（6）231432331417．。
专题 有理数的分类、数轴、相反数及绝对值(知识大串讲)(解析版)
专题01 有理数的分类、数轴、相反数及绝对值（知识大串讲）【知识点梳理】考点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
考点2 有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称分数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数考点3 数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）考点4 相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。
两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。
3.多重符号的化简多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数（：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号）考点5 绝对值1.几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）2.代数意义一个负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是03.代数符号意义：a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0a = 0，|a|=0a＜0，|a|=‐a注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。
第一讲-数轴与绝对值
课 题第一讲：数轴与绝对值复习教学目标1、理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，会画数轴；、理解数轴的概念，掌握数轴的三要素，会画数轴；2、会用数轴上的点表示、会用数轴上的点表示有理数有理数，能说出数轴上的点表示的有理数；，能说出数轴上的点表示的有理数；3、利用数轴理解相反数的意义，会求一个数的相反数。
、利用数轴理解相反数的意义，会求一个数的相反数。
4、理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值；、理解绝对值的意义，会求一个数的绝对值；5、能熟练运用法则结、能熟练运用法则结合数合数轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比较两个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序个负数的大小，能利用数轴对多个有理数进行有序排列排列 重点、难点重点重点:1:1:1、理解、理解数轴上的点与有理数之间的关系 2、绝对值的概念和求一个数的绝对值；难点难点:1:1:1、、从数形结合的观点出发认识相反数。
从数形结合的观点出发认识相反数。
2、绝对值的、绝对值的几何意义几何意义及求绝对值等于某一个正数的有理数；及求绝对值等于某一个正数的有理数； 考点及考试要求1、用数轴上的点表示有理数以及有理数的相反数、用数轴上的点表示有理数以及有理数的相反数2、求一个数的绝对值、求一个数的绝对值3、利用数轴比较有理数的大小、利用数轴比较有理数的大小教学内容 知识框架1、数轴的概念及画法2、数轴上的点与有理数之间的关系3、绝对值的几何意义4、 绝对值的代数意义5、 绝对值的性质知识点一： 数的分类1、正数和负数的概念的概念比比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数既不是正数，也不是负数. . 为了突出数的符号，为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略号不能省略. .对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数. .2、有理数的概念及分类及分类整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和正分数；负整数包括负整数和负分数．到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限，因为有限小数小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为以看作是分母为 1 1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数的分数. .通常把正整数和零统为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为，即为自然数自然数；负整数和零统称为非正整数.【题型一】例1.把下列各数分别填入相应的把下列各数分别填入相应的集合集合：-3.5 -3.5，，-12，3.23.2，，8.18.1，，0，.1.3，-20%-20%，，5，14，-7-7．． 整整数集：{ { ……}；分数集：分数集：分数集：{ { { ……}； 自然数集：自然数集：自然数集：{ { { ……}； 非负数集：非负数集：非负数集：{ { { ……}； 非正数集：非正数集：非正数集：{ { { ……}．变式1：把下列各数填入相应的数集圈：把下列各数填入相应的数集圈：-2.1 -2.1，，0，-2-2，，15，1010，，-52，+5.8+5.8，，.6.2，50%50%．．变式2：下列既不是正数又不是负数的是（下列既不是正数又不是负数的是（ ）A 、－、－11B 、＋、＋33C 、0.12 D 、0 例2. 下列各数－5,31,71_,0,－212,314,－m(m 是有理数)中，一定是负数的有（）。
七年级数轴和绝对值知识点
七年级数轴和绝对值知识点数轴和绝对值是数学中基础又重要的概念，尤其在初中数学中，更是必不可少的知识点。
在七年级，学生们需要掌握数轴和绝对值的定义、计算以及应用。
本文将分为三个部分，分别是数轴的定义和用法、绝对值的定义和计算以及绝对值的应用。
一、数轴的定义和用法数轴是一种用线段表示实数的方法。
它可以将实数按大小排列，并使其形成有序的结构。
在数轴上，一个数对应着唯一的一个点，这个点的坐标就是这个数。
比如，数轴上的原点表示0，向右边每一个单位，代表的是正方向的整数，向左边每一个单位，代表的是负方向的整数。
学生们可以通过数轴学习实数大小的比较和实数的加减法。
比如对于一道加法题目“1+2=？”，可以通过数轴找到1，再向右边移动两个单位，最后找到答案3. 同样的，对于一道减法题目“4-1=？”，可以通过数轴找到4，再向左边移动一个单位，最后找到答案3.二、绝对值的定义和计算绝对值是一个数的大小，与这个数到0的距离相等。
比如，|3|代表着3这个数到0的距离，而|-3|同样代表着3这个数到0的距离，因为它们都等于3.绝对值的计算方法是：若x≥0，则| x |=x；若x<0，则| x |=-x. 这个规律很好理解，因为对于任何正数来说，它和0之间的距离就是它本身，而对于任何负数来说，它到0的距离和它绝对值的大小是相等的。
绝对值还可以帮助学生们大于等于已知值或小于等于已知值的解集。
比如，对于不等式|x+2|≥5来说，可以分别解出x≥3或x≤-7，从而得出整个不等式的解集为(-∞，-7]∪[3，+∞).三、绝对值的应用绝对值在数学中有着广泛的应用，这里介绍两个常见的例子。
例一：对于机器人在地图上移动的问题。
考虑机器人在2D平面内移动，假设原点是机器人的起点，机器人按照某种规律走向了一个新的点(x,y). 那么，机器人从起点到达(x,y)这个点的距离为√((x-0)²+(y-0)²)，即为这个点到原点的欧几里得距离。
专题 数轴及绝对值难点解析(二) 课后练习二及详解
1题1：题面：式子|1||2||3|x x x ++-+-的最小值是________.题2：题面：能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是 ．题3：题面：a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图，且|a|=|c|，化简：|a| -|b+a|+|b-c|+|c+b|+|c+a|。
题4：题面：已知p 、q 为有理数，且｜p ｜＞｜q ｜＞1试比较p 3、p 2、p 、q 、－p 和－q ，大小，并用“＜”号把它们连接起来。
题5：题面：如图，数轴上的两个点A 、B 所表示的数分别是a 、b ，在a 、－b 、b a ⋅-、b a -中是正数的个数有 个.题6：题面：设a 、b 是实数，说明|a|-|b|、|a+b|、|a|+|b|的大小关系.题7：题面：关于x 的方程│a│x=│a+1│-x 的解是x=0,则a 的值是 ;关于x 的方程│a│x=│a+1│-x 的解是x=1,则有理数a 的取值范围是 .题8：题面：已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．题9：题面：对于任意数x ，若不等式|x ＋2|+|x －4|＞a 恒成立，则a 的取值范围是___________．课后练习详解题1： 答案：4解析：：如图，|1|x +表示点x 和点－1之间的距离；|2|x -表示点x 和点2之间的距离；|3|x -表示点x 和点3之间的距离.显然，当三条线段没有重合部分时，其距离之和最小，此时，2x =.即原式的最小值为点－1、3之间的距离，即当2x =时|1||2||3|x x x ++-+-有最小值，即|21||22||23|314++-+-=+=.题2：答案： x<-1解析：因│x│≥x,│x│-x≥0,故1+x<0.题3： 答案：b -解析：由题意知：00 a b c ，，所以0000=++-+a c b c c b a b ，，， ， 所以，原式()[]()[]()[]0++-+--++---=b c c b a b ab c c b a b a --+-++-= b -=。
小升初衔接1-10教案7数轴、绝对值、相反数(预习)【st】
精锐教育学科教师辅导教案学员编号：年级：课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课程主题：数轴、绝对值、相反数授课时间：学习目标教学内容有理数的概念一、同步知识梳理一．数轴数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。
数与形的第一次联姻---数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在联系，并由此成为数形结合的基础。
1．数轴的定义：规定了、和的直线叫数轴．、、称为数轴的三要素．数轴的定义包含了三层含义：一、数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二、数轴有三要素，三者缺一不可；三、三要素的确定都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。
2．数轴的画法：三要素缺一不可，单位长度．注：确定单位长度时，可根据实际情况，有时可以每隔2个单位长度（或更多）单位长度取一点。
3．利用数轴比较有理数的大小（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数．（2）正数都大于0，负数都小于0，正数于一切负数．提问：所有的有理数都可以用数轴上的点来表示么？三．相反数1．相反数的概念:（1）相反数的几何定义：在数轴上原点两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。
（2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除符号外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0 。
2．相反数的表示方法:一般的，数a的相反数是-a，这里的数a表示任意一个数，可以是正数、负数、或0。
3．多重符号的化简：（1）在一个数的前面添上“+”号，仍然与原数相同，如：+5=5，+（-5）=-5.（2）在一个数的前面添上“-”号，就成为原来的相反数。
如-（-3）就是-3的相反数，因此，-（-3）=3.三．绝对值1．绝对值的概念:（1）绝对值的几何意义：一个数a的绝对值，•就是在数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作“|a|”。
（2）绝对值的代数意义：（1）正数的绝对值是它的．（2）负数的绝对值是它的相反数．（3）0的绝对值是．提问：“0”属于有理数还是无理数?2．两个负数大小比较:因为两个负数在数轴上的位置关系是：绝对值较大的数一定在绝对值较小的负数的左边，所以两个负数，绝对值大的反而小。
专题 数轴及绝对值难点解析(二) 课后练习一及详解
题1：题面：求|3-x|+|x-1|的最小值。
题2：题面：若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．题3：题面：设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜。
题4：题面：设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值。
题5： 题面：已知0,>-<ba b a ，a b a b ab -+++则等于（ ） A ab b a ++22. B ab -. C ab b a +--22. D ab a +-2.题6：题面：若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试说明这两个数在不在-1与1之间.题7：题面：方程|x －1|+|x ＋2|＝4的解为 ．题8： 题面：已知36)13)(12)(21(=++-++--++z z y y x x ，求z y x 32++的最大值和最小值．题9：题面：求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x 的取值范围．课后练习详解题1：答案：2解析：如图，设数轴上的三点A 、B 、C 所表示的数分别为1、3、x ，其中C 可视为一个动点，这样，此题就可转化为求AC+BC 的最小值。
由图形可知，当点C 在线段AB 上时AC+BC 最小，此时AC+BC=AB=2，故当1≤x ≤3时，|3-x|+|x-1|有最小值，其最小值为2。
题2：答案：当13≤x≤45时，常数值为7 解析：要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x ｜=4-5x 且｜1-3x ｜=3x-1．故x 应满足的条件是450310x x -≥⎧⎨-≥⎩ 解得：13≤x≤45 此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．题3：答案：-2c解析：由图可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，且有｜c ｜＞｜a ｜＞｜b ｜＞0。
数轴相反数与绝对值课堂教案
数轴相反数与绝对值课堂教案数轴相反数与绝对值课堂教案「篇一」数学绝对值与相反数教案教学目标1、知识与技能：初步理解绝对值的概念，理解绝对值的几何意义,会通过画数轴的方法求一个数的绝对值。
2、过程与方法：经历将实际问题数学化的过程,感受数学与生活的关系。
3、情感、态度与价值观：经历将实际问题数学化的过程,感受数学与生活的联系。
进一步渗透数形结合的思想，感知数学知识具有普遍的联系性。
教学重点：绝对值的概念.通过画数轴的方法求一个数的绝对值。
教学难点：理解绝对值的几何意义。
教学过程:1.课间预习小明的家在学校西边3km处，小丽的家在学校东边2km处，如下图,我们可以把学校门前的大街想象为数轴,把学校定为原点,把小明、小丽两家看成数轴上的两点A、B。
-2-121A-3B`思考：1、A、B两点离原点的距离各是多少? 2、A、B两点离原点的距离与它们表示的数是正数还是负数有没有关系? 3、在数轴上分别描出下列数所对应的点，并指出它们到原点的距离：2.自主探究我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
(absolutevalue) 例如上图,表示-3的点A到原点的距离是3，所以-3的绝对值是3。
问:表示-2点到原点的距离是,所以-2的绝对值是。
表示2点到原点的距离是,所以2的绝对值是。
表示0到原点的距离是,所以0的绝对值是。
重点也也是难点注意：绝对值为正数的数有两个。
例如：绝对值为5的数是+5和-5你做对了吗+2.3和-2.3的绝对值都为2.3提问;绝对值为0的数是『小试牛刀』1、数轴上与原点的距离为3.5的点有个。
它们分别表示有理数和。
2、绝对值等于6的数是。
12345-1-2-3-4-5●●●●●ABCDE例1、说出数轴上A、B、C、D、E各点所表示的数的绝对值。
例2、求4、0与-3.5的绝对值。
分析：解此题应画数轴，在数轴上画出表示4、0、-3.5的点，求出表示4、0、-3.5的点到原点的距离，即是它们的绝对值。
与绝对值数轴……有关的化简与求值
《绝对值数轴化简与求值》一、介绍绝对值数轴是数学中常见的一种图示工具，用来表示数的绝对值大小及其在数轴上的位置。
在解决实际问题和数学题目中，经常需要对绝对值数轴进行化简和求值操作。
本文将从化简和求值两个方面，深入探讨与绝对值数轴有关的内容。
二、绝对值数轴的化简1. 什么是化简化简是指将一个复杂的数学表达式或问题简化为更加直观和易于处理的形式。
在绝对值数轴中，化简通常指对绝对值表达式进行简化，以便更好地理解和操作。
2. 绝对值数轴化简的基本方法（1）根据绝对值的定义绝对值数轴的化简首先要根据绝对值的定义进行操作。
|a|表示a的绝对值，当a大于等于0时，|a|等于a；当a小于0时，|a|等于-a。
（2）应用数轴图示利用数轴图示，将绝对值数轴的表达式转化为更直观的数轴位置。
|x-3|表示x到3的距离，可以表示为x在数轴上距离3的正向和负向的距离。
3. 示例分析【示例】化简绝对值数轴表达式|2x-5|+3。
【化简过程】根据绝对值的定义，|2x-5|大于等于0，因此化简后有2x-5或者-(2x-5)。
再根据数轴图示，得到2x-5大于等于0时，|2x-5|=2x-5；2x-5小于0时，|2x-5|=-(2x-5)。
最终化简得：2x-5或者-(2x-5)。
三、绝对值数轴的求值1. 什么是求值求值是指对数学表达式或问题进行具体数值的计算操作。
在绝对值数轴中，求值通常指根据具体数值，确定绝对值数轴表达式的具体取值。
2. 绝对值数轴求值的基本方法（1）根据数轴位置根据数轴位置，确定绝对值数轴表达式的取值范围。
如果是一根绝对值数轴，可以通过观察数轴上的正负号，确定绝对值的具体取值。
（2）代入具体数值将具体数值代入绝对值数轴的表达式中，计算得到具体的绝对值数值。
3. 示例分析【示例】求值绝对值数轴表达式|2x-5|+3，当x=4时的取值。
【求值过程】根据化简后的表达式，当x=4时，代入得到|2*4-5|+3=5+3=8。
数轴、相反数、绝对值(讲义)
数轴、相反数、绝对值（讲义）一、知识点睛1. 去绝对值：①看整体，定符号；②依法则，留括号；③化简，验证．2. 分类讨论：①画树状图，分类；②根据限制条件筛选、排除．3. 绝对值的几何意义：a b -表示在数轴上数a 与数b 对应点之间的距离．二、精讲精练1. 设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则b -a ____0，a +c ________0，所以2b a c a c a -+-+-化简后的结果为____________． c a2. 设有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简1a b a b b +---+-． b a103. 设有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简11a b a b ---+--． a 01b4. 已知m m =-，化简12m m ---．5. 已知a +b <0，化简13a b a b +----．6. 已知a <0<c ，ab >0，b c a >>，化简b a b c a b c -++-++．7. 已知a <0<c ，ab <0，>>a c b ，化简a a c b c b -+----．8. 若15x -=，1y =，则x y -的值为__________________．9. 若24x +=，3y =，则x y +的值为__________________．10. 若4a =，2b =，且a b a b +=+，则a b -的值是多少？11. 若3x =，2y =，且x y y x -=-，则x y +的值是多少？12. 若ab ≠0，则a b a b+的值为______________． 13. 若abc ≠0，则cc b b a a ++的值为_______________． 14. 已知x 为有理数，则12x x -+-的最小值为______．210-215. 已知x 为有理数，则12x x ++-的最小值为______．210-216. 已知x 为有理数，则123x x x -+-+-的最小值为______．17. 已知x 为有理数，若123x x -+-=，则x =________．18. ∵____0a∴当a =____时，a 取值最小我们称a 有最小值____；∴当a =_____时，2a +取得最____值是______． ∵____0a -∴当a =_____时，a -取值最大我们称a -有最大值______；∴当a =____时，10a -+取得最____值是_____． 同理可知，23a --+有最____值是_____，此时a =_____．类似地，∵2____0a∴2a 有最____值是_____，22a -有最____值是_____．练：若ab ≠0，则a b ab a b ab++的值为___________．。
1.2 数轴、相反数和绝对值(三)-绝对值(解析版)
1.2数轴、相反数和绝对值（三）—绝对值绝对值的概念题型一：求一个数的绝对值【例题1】（2021·合肥市第四十五中学九年级其他模拟）有理数12021-的绝对值为（ ）A ．2021B ．12021C ．2021-D ．12021-【答案】B【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案．【详解】解：12021-的绝对值是：12021．故选：B ．【点睛】本题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键．变式训练【变式1-1】（2021·安徽池州市·九年级三模）8-的绝对值是（）A ．8-B ．8C ．8±D ．18【答案】B【分析】根据绝对值的意义即可解决．【详解】∵80-<，1∴88-=.故选：B【点睛】本题考查绝对值的意义，即正数的绝对值为它本身，负数的绝对值为它的相反数，零的绝对值为零；要求一个数的绝对值，首先要看这个数的符号，再根据绝对值的意义计算绝对值．【变式1-2】（2021·安徽九年级二模）绝对值是2的数是（）A ．2-B ．12C ．2D ．2±【答案】D【分析】由绝对值的意义，即可得到答案．【详解】解：绝对值是2的数是2±．故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的意义．【变式1-3】（2021·浙江杭州市·九年级二模）2-等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．0【答案】A【分析】根据绝对值的意义求解即可．【详解】解：|-2|=2，故选：A ．【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，理解绝对值的意义是关键．题型二：绝对值的化简求值【例题2】（2021·安徽九年级一模）-|-8|的相反数是（ ）A ．8B ．-8C ．18D ．-18【答案】A【分析】依题意，根据绝对值、相反数的定义即可；【详解】由题知：∵8-的绝对值为：8（即88-=），∴8(8)8--=-=-；又8-的相反数为：8∴8--的相反数为：8；故选：A【点睛】本题主要考查负数的绝对值及相反数，难点在绝对值前面的负号的理解；变式训练【变式2-1】（2021·广东九年级二模）﹣|﹣2021|等于（ ）A ．﹣2021B ．2021C ．﹣12021D ．12021【答案】A【分析】根据绝对值的性质“负数的绝对值是它的相反数”去绝对值即可．【详解】由绝对值的性质可知，|﹣2021|＝2021，∴﹣|﹣2021|＝﹣2021，故选：A ．【点睛】本题考查了绝对值的性质，准确掌握概念法则是解题的关键．【变式2-2】（2021·天津七年级期末）|1|--=______．【答案】-1【分析】利用绝对值性质可进行求解．【详解】|1|--=-（1）=-1故答案为-1．【点睛】本题考察了绝对值的性质，利用绝对值的性质化简是本题的关键．【变式2-3】（2021·江苏南京市·中考真题）()2--=________；2--=________．【答案】2 -2 【分析】根据相反数的意义和绝对值的意义即可得解．【详解】解：()2--=2；2--=-2．故答案为2，-2．【点睛】本题考查了相反数和绝对值．掌握相反数的意义和绝对值的意义是解题的关键．【变式2-3】（2020·华中师范大学附属惠阳学校七年级月考）化简：34p p -+-=________．【答案】1【分析】根据绝对值的定义即可得出答案，去掉绝对值再计算．【详解】解：|π-3|+|4-π|=π-3+4-π=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟记求绝对值的法则．绝对值的应用题型三：绝对值的实际应用【例题3】（2020·湖南株洲市·中考真题）一实验室检测A 、B 、C 、D 四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．【详解】∵|+1.2|=1.2，|-2.3|=2.3， |+0.9|=0.9，|-0.8|=0.8，0.8＜0.9＜1.2＜2.3，∴从轻重的角度看，最接近标准的是选项D 中的元件，故选D ．【点睛】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大．变式训练【变式3-1】（2021·吉林长春市·九年级二模）某公司抽检盒装牛奶的容量，超过标准容量的部分记为正数，不足的部分记为负数．从容量的角度看，以下四盒牛奶容量最接近标准的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】找出四个选项中，四个数的绝对值的最小者即可得．2【详解】解：0.80.8+=， 1.2 1.2-=，0.50.5-=，11+=，因为0.50.81 1.2<<<，所以从容量的角度看，这四盒牛奶容量最接近标准的是选项C ，故选：C ．【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用、绝对值，理解题意，掌握绝对值的性质是解题关键．【变式3-2】（2021·浙江九年级期末）“天问，问天！祝融，探火！”，2021年5月15日，“天问一号”搭载火星探测器“祝融号”成功降落火星，据悉，火星表面平均温度大约是55-℃，55-的绝对值是（ ）A ．55B ．55-C ．155D ．155-【答案】A【分析】利用绝对值的定义即可求解．【详解】解：55-的绝对值是55，故选：A ．【点睛】本题考查求绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键．【变式3-3】（2020·浙江七年级单元测试）质检员抽查某零件的质量，超过规定尺寸的部分记为正数，不足规定尺寸的部分记为负数，结果第一个0.13mm ，第二个0.12mm -，第三个0.1mm -，第四个0.15mm ，则质量最好的零件是（）A ．第一个B ．第二个C ．第三个D ．第四个【答案】C【分析】根据绝对值最小的是最接近标准的，可得答案．【详解】解：∵|0.15|＞|0.13|＞|-0.12|＞|-0.1|，∴-0.1mm 的误差最小，第三个零件最好；故选：C ．【点睛】本题考查了正数和负数，先比较绝对值，再判断．题型四：绝对值与倒数、相反数综合计算【例题4】（2018·江苏南通市·七年级期中）已知a 、b 互为相反数，mn 互为倒数，x 绝对值为2，求35()mn a b x -++-的值.【答案】-5或-1【解析】【分析】根据a 、b 互为相反数，mn 互为倒数，x 绝对值为2，得到a+b=0,mn=1,x=±2，分别代入即可求解.【详解】∵a 、b 互为相反数，mn 互为倒数，x 绝对值为2，∴a+b=0,mn=1,x=±2，故当x=2时，35()mn a b x -++-=-3-2=-5；当x=-2时，35()mn a b x -++-=-3+2=-1【点睛】此题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知相反数、倒数、绝对值的性质.变式训练【变式4-1】（2019·江苏镇江市·七年级月考）如果a b 、互为相反数，、c d 互为倒数，x 的绝对值是1，y 是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式2a b x cd y x++-+的值．【答案】－1【分析】根据题意可得：a+b=0，cd=1，x=±1，y=-1，代入代数式进行计算即可得出答案.【详解】依题意可得：a+b=0，cd=1，x=±1，y=-1①当x=1时22019220190=+1-1+(-1)11a b x cd y x +-+=-+②当x=-1时220=+(-1)-1+(-1)1-1a b x cd y x ++-=-+综上所述，代数式的值为：-1【点睛】本题考查了代数式求值、绝对值、相反数以及倒数，熟练掌握相关基础知识是解决本题的关键.【变式4-2】（2019·丹阳市第三中学七年级月考）已知a ，b 互为相反数、c ，d 互为倒数，且x 的绝对值是4，试求 x +| a+b-5|+|2-cd|的值。
初中数学数轴绝对值教案
初中数学数轴绝对值教案教学内容：本节课主要讲解数轴与绝对值的概念、性质和应用。
通过数轴来理解绝对值的意义，并能运用绝对值解决实际问题。
教学目标：1. 知识与能力目标：借助于数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，初步学会求绝对值等于某一个正数的有理数。
2. 过程与方法目标：通过从数形两个侧面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法。
通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义。
3. 情感态度与价值观：通过应用绝对值解决实际问题，培养学生浓厚的学习兴趣，使学生能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。
教学重点与难点：教学重点：绝对值的几何意义和代数意义，以及求一个数的绝对值。
教学难点：绝对值定义的得出、意义的理解，以及求绝对值等于某一个正数的有理数。
教学准备：多媒体课件、数轴图示、实际问题案例。
教学过程：一、创设问题情境1. 两只小狗从同一点O出发，在一条笔直的街上跑，一只向右跑10米到达A点，另一只向左跑10米到达B点。
若规定向右为正，则A处记作+10，B处记作-10。
2. 以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并标出A、B的位置。
二、探究绝对值的概念1. 绝对值的定义：在数轴上，一个数的绝对值表示这个数与原点的距离。
2. 绝对值的性质：a. 任何数的绝对值都是非负数。
b. 正数的绝对值等于它本身。
c. 负数的绝对值等于它的相反数。
d. 零的绝对值等于零。
三、求一个数的绝对值1. 求一个数的绝对值的方法：a. 如果这个数是正数，它的绝对值就是它本身。
b. 如果这个数是负数，它的绝对值就是它的相反数。
c. 如果这个数是零，它的绝对值就是零。
四、应用绝对值解决实际问题1. 问题案例：小明家距离学校10公里，他向左走了5公里，然后又向右走了5公里，最终他离学校有多远？2. 解答：小明最终离学校的距离是0公里，因为他回到了起点。
五、总结与评价1. 绝对值是数学中的重要概念，通过数轴可以直观地理解绝对值的意义。
有理数、数轴、绝对值教案(学生用)
乐智教育2018年暑假邛崃校区名师培优精讲有理数的认识【教学目标】1，理解并掌握有理数的概念．2，会用正、负数表示生活中具有相反意义的量．3，通过与温度计的类比认识数轴，并会用数轴上的点表示有理数.4，借助数轴了解相反数的概念，会求一个数的相反数．5，借助数轴理解绝对值的概念．【教学重点】1，会求一个数的相反数．2，会求一个数的绝对值．【教学难点】3，有理数的分类．4，对相反数概念的理解.5，会用绝对值比较两个负数的大小【教学内容】一，有理数正数和负数一、复习引入：1．你看过电视或听过广播中的天气预报吗？请大家来当小小气象员，记录温度计所示的气温25ºC，10ºC，零下10ºC，零下30ºC。
2．回忆我们已经学了哪些数？它们是怎样产生和发展起来的？在生活中为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了数1，2，3，…；为了表示“没有”，引入了数0；有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数（小数）表示。
总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生、发展起来的。
二、新课教学1．相反意义的量：在日常生活中，常会遇到这样一些量（事情）：例1：汽车向东行驶3千米和向西行驶2千米。
例2：温度是零上10℃和零下5℃。
例3：收入500元和支出237元。
例4：水位升高1.2米和下降0.7米。
例5：买进100辆自行车和买出20辆自行车。
①这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点？②你能举出几对日常生活中具有相反意义的量吗？2．正数和负数：①能用我们已经学的来很好的表示这些相反意义的量吗？例如，零上5℃用5来表示，零下5℃呢？也用5来表示，行吗？说明：在天气预报图中，零下5℃是用―5℃来表示的。
一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数来表示；把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数（零除外）前面放一个“－”（读作“负”）号来表示。
拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10℃就用10℃表示，零下5℃则用―5℃来表示。
七年级同步教案(人教版)-专题02数轴、绝对值、相反数(答案版)
专题1.2 数轴、绝对值、相反数常见题型题型01 数轴的相关概念 (2)题型02 数轴的画法 ........................................................................................................... 3 题型03 在数轴上的位置确定数 ....................................................................................... 5 题型04 在数轴上解决动点问题 ....................................................................................... 6 题型05 利用数轴解决实际问题 ....................................................................................... 7 题型06 相反数的相关概念 ............................................................................................... 9 题型07 相反数的性质 ..................................................................................................... 10 题型08 在数轴求数的相反数 ......................................................................................... 11 题型09 绝对值的相关概念 ............................................................................................. 11 题型10 求绝对值 ............................................................................................................. 13 题型11 绝对值的非负性 ................................................................................................. 14 题型12 绝对值与最值问题 ............................................................................................. 15 题型13 利用绝对值比较大小 ......................................................................................... 15 题型14 绝对值、相反数、数轴的综合运用 .. (17)【知识梳理】 数轴规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；（即数轴的三要素）一般地，当a 是正数时，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，距离原点a 个单位长度；表示数－a 的点在原点的左边，距离原点a 个单位长度；两点关于原点对称：一般地，设a 是正数，则在数轴上与原点的距离为a 的点有两个，它们分别在原点的左右，表示－a 和a ，我们称这两个点关于原点对称； 相反数只有符号不同的两个数称为互为相反数；一般地，a 的相反数是－a ；特别地，0的相反数是0；相反数的几何意义：数轴上表示相反数的两个点关于原点对称； a 、b 互为相反数⇔a +b =0；（即相反数之和为0） a 、b 互为相反数⇔1-=b a 或1-=ab；（即相反数之商为－1） a 、b 互为相反数⇔|a |=|b |；(即相反数的绝对值相等） 绝对值一般地，在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做a 的绝对值；（|a |≥0） 一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数；0的绝对值是0；绝对值可表示为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩10a a a =⇔>;10aa a=-⇔<; 有理数的比较在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序。
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数轴、绝对值
一、选择题
1、一个数的相反数是它本身，则这个数是（）
A．正数 B．负数 C．0 D．没有这样的数
2、如果，则（）
A． B． C． D．
3、下面说法中正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4、下面说法中正确的是（）
A．若和都是负数，且有，则
B．若和都是负数，且有，则
C、若，且，则
D．若都是正数，且且，则
5、数轴上有一点到原点的距离是5，则（）
A．这一点表示的数的相反数是5 B．这一点表示的数的绝对值是5
C．这一点表示的数是5 D．这一点表示的数是－5
6、若m为有理数，那么下列判断正确的是（）
A、｜m｜是正数
B、－m是负数
C、－｜m｜不是正数
D、m大于－m
7、若｜x｜
x
＝－1，则x是（）
A、正数
B、负数
C、非正数
D、非负数
8、若两个数的和为负数，则下列结论正确的是（）
A、两数都是负数
B、只有一个负数
C、至少有一个负数
D、必有一个是正数
9、若x＞0，且｜x｜＜｜y｜，则x－y的结果一定是（）
A、正数
B、负数
C、正数或负数
D、0
10、数a、b
，那么在：
①a＜0；②b－a＞0；③a＋b＞0；④a－b＞0中，正确的有（）个
A、1
B、2
C、3
D、4
11、若｜－a｜－a＝0，则（）
A、a＞0
B、a≥0
C、a＜0
D、a≤0
12、如果一个数的绝对值等于它的平方，那么这个数是（）
A. 1
B. 0
C. 1，1
- D. 1
-，0，
13、给出下面说法： <1>互为相反数的两数的绝对值相等； <2>一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数； <3>若|m|>m,则m<0； <4>若|a|>|b|,则a>b,
其中正确的有( )
(A)<1><2><3>； (B)<1><2<4>； (C)<1><3><4>； (D)<2><3><4>
二、填空题
1、已知某数的绝对值是，则是______或_______；
2、绝对值最小的有理数是________；
3、一个数的相反数是8，则这个数的绝对值是_________；
4、已知数轴上有一点到原点的距离是3，则这点所表示的数的绝对值是
________，这点所表示的数是__；
5、已知a≠b，a=-5,|a|=|b|,则b等于_______；
6、在数轴上表示一个数的点，它离开原点的距离就是这个数的____________；7绝对值为同一个正数的有理数有_______________个；
8、一个数比它的绝对值小10，这个数是________________；
9、一个数的相反数的绝对值与这个数的绝对值的相反数的关系是
______________；
10、一个数的绝对值与这个数的倒数互为相反数，则这个数是________________；
11、若a<0,b<0,且|a|>|b|，则a与b的大小关系是______________；
12、绝对值不大一3的整数是____________________，其和为_____________；
13、在有理数中，绝对值最小的数是_____；在负整数中，绝对值最小的数是_____；
14、设|x|<3,且x>1
x
,若x为整数，则x=_________________；
15、若|x|=-x，且x=1
x
，则x=_________________。
16、去掉下列各数的绝对值符号：
(1)若x<0,则|x|=________________；
(2)若a<1,则|a-1|=_______________;
(3)已知x>y>0,则|x+y|=________________;
(4)若a>b>0,则|-a-b|=__________________.
三、解答题
1、若-m>0,|m|=7,求m.
2、若|a+b|+|b+z|=0,求a,b的值。
3、比较-(-a)和-|a|的大小关系。
4、若a<0,b<0且|a|<|b|,试确定下列各式所表示的数是正数还是负数：(1)a+b (2)a-b (3)-a-b (4) b-a
5、若
2
2
x
x
-
-
=-1,求x的取值范围。
6、一个有理数在数轴上对应的点为A，将A点向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，得到点B，点B所对应的数和点A对应的数的绝对值相等，求点 A的对应的数是什么？
7、化简|1-a|+|2a+1|+|a|,其中a<-2.
8、如果a,b表示有理数，在什么条件下，a+b和a-b互为相反数？a+b与a-b 的积为2？。