安徽省宣城市2017届高三下学期第二次调研(模拟)考试数学(理)试卷

宣城市2017届高三第二次调研测试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设，其中为虚数单位，，是实数，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】，，是实数,故选D.2. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合A={x∣∣x2−2x−3<0}={x|−1<x<3},B={x|2x-1}={x|}，则A∩B={x|1⩽x<3}.故选：C.3. 一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的办法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）人A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】C【解析】解：因为男运动员有56人，那么男：女=4:3，按照比例抽取的概率为，则则男运动员应抽取28*4/7=16人。

选A........................4. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，则【答案】D【解析】A. 由m∥α,m∥β,α∩β=n,利用线面平行的判定与性质定理可得：m∥n，正确；B. 由α⊥β，m⊥α，n⊥β，利用线面面面垂直的性质定理可得m⊥n，正确。

C. 由α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，利用线面面面垂直的性质定理可得m⊥α，正确。

D. 由α∥β,m∥α,则m∥β或m⊂β.因此不正确。

故选：D.5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（）A. 1007B. 3025C. 2017D. 3024【答案】B【解析】由程序框图可知，输出的S的值为：，故选B.6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A. 96里B. 192里C. 48里D. 24里【答案】A【解析】记每天走的路程里数为，易知是公比的等比数列，由题意知，故选A.7. 二项式的展开式中常数项为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：二项式展开式的通项公式：.要使其为常数，则,即，常数项为.考点：二项式定理.8. 已知双曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐进线的距离，则该双曲线的焦距为（）A. B. 或 C. 或 D. 或【答案】C【解析】∵双曲线两渐近线的夹角θ满足，∴或，设焦点为(c,0),渐近线方程为，则，又b2=c2−a2=1，解得c=或则有焦距为或.故选C.9. 设数列为等差数列，为其前项和，若，，，则的最大值为（）A. 3B. 4C.D.【答案】B【解析】∵S4≥10，S5≤15∴a1+a2+a3+a4≥10，a1+a2+a3+a4+a5≤15∴a5≤5，a3≤3即：a1+4d≤5，a1+2d≤3两式相加得：2（a1+3d）≤8∴a4≤4故答案是410. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球，底面三角形的外接圆半径，球心到底面的距离d=，故球半径R满足，R2=r2+d2=，故球的表面积S=4πR2=，故选：D．11. 已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“好集合”．给出下列4个集合：①；②；③；④．其中为“好集合”的序号是（）A. ①②④B. ②③C. ③④D. ①③④【答案】B【解析】对于①y=是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足好集合的定义，不是好集合．对于②M={（x，y）|y=e x-2}，如图（2）如图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，-1），则N（ln2，0），满足好集合的定义，所以是好集合；正确．对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3）对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足好集合的定义，所以M是好集合；正确．对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是好集合．所以②③正确．故选B．点睛：本题考查好集合的定义，属于中档题，利用对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别，举反例是解决问题的关键.12. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵f（x）=e x（sinx+acosx）在上单调递增，∴f′（x）=e x[（1-a）sinx+（1+a）cosx]≥0在上恒成立，∵e x＞0在上恒成立，∴（1-a）sinx+（1+a）cosx≥0在上恒成立，∴a（sinx-cosx）≤sinx+cosx在上恒成立∴，设g（x）=∴g′（x）在上恒成立，∴g（x）在上单调递减，∴g（x）＞=1，∴a≤1，故选：A．点睛：本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，利用导数研究函数的单调性，关键是分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，属于中档题，正确的构造函数和利用导数是解决问题的关键.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 计算__________．【答案】4【解析】由题意得，14. 已知向量，满足，，，则__________．【答案】【解析】由题意得，因为，，，则15. 在中，，，若最大边长为63，则最小边长为__________．【答案】25【解析】在△ABC中，由可得，．而＜sinB，∴A＜B，所以A为锐角，．于是cosC=-cos（B+A）=-cosAcosB+sinAsinB=-<0，C最大则，由正弦定理得，，即最小边长为25.16. 已知是圆上一点，且不在坐标轴上，，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的最小值为__________．【答案】8【解析】设点，则直线PA的方程：，则同理，则的最小值为8.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，函数，函数在轴上的截距我，与轴最近的最高点的坐标是．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）将函数的图象向左平移（）个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，求的最小值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）由平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用可得，由点在函数图象上，可解得a，又由题意点在函数图象上，代入可解得b，即可求得函数f（x）的解析式；（2）由已知及（1）可求出平移之后的函数解析式，最终可求出的最小值.试题解析：（Ⅰ），由，得，此时，，由，得或，当时，，经检验为最高点；当时，，经检验不是最高点．故函数的解析式为．（Ⅱ）函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，横坐标伸长到原来的2倍后得到函数的图象，所以（），（），因为，所以的最小值为．18. 如图1，在直角梯形中，，，，，为线段的中点，将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．【解析】试题分析：解析：（1）在图1中，可得，从而，故.取中点连结，则，又面面，面面，面，从而平面.∴，又，.∴平面.（2）建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，.设为面的法向量，则即，解得. 令，可得.又为面的一个法向量，∴.∴二面角的余弦值为.（法二）如图，取的中点，的中点，连结.易知，又，，又，.又为的中位线，因，，，且都在面内，故，故即为二面角的平面角.在中，易知；在中，易知，.在中.故.∴二面角的余弦值为.考点：棱锥中的垂直以及二面角的平面角点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。

19. 某校在高二年级开展了体育分项教学活动，将体育课分为大球（包括篮球、排球、足球）、小球（包括乒乓球、羽毛球）、田径、体操四大项（以下简称四大项，并且按照这个顺序）．为体现公平，学校规定时间让学生在电脑上选课，据初步统计，在全年级980名同学中，有意申报四大项的人数之比为3:2:1:1，而实际上由于受多方面条件影响，最终确定的四大项人数必须控制在2:1:3:1，选课不成功的同学由电脑自动调剂到田径类．（Ⅰ）随机抽取一名同学，求该同学选课成功（未被调剂）的概率；（Ⅱ）某小组有五名同学，有意申报四大项的人数分别为2、1、1、1，记最终确定到田径类的人数为，求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（I）利用频数之和为80，可得位置①处的数据，利用频数除以总数，可得位置②处的数据；（II）由题意可知，第6，7，8组共有32人，抽8人，确定6，7，8组抽取的人数，可得概率，从而可求X的分布列和数学期望．试题解析：（Ⅰ）．（Ⅱ）的所有可能取值为1,2,3,4．；；；.分布列为：．20. 已知，是的导函数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）若在时恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）极小值;（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数g（x）,再对g(x)进行求导g’(x),即可求出的极值；（Ⅱ）讨论以及时，对应函数f（x）的单调性，求出满足在时恒成立时a的取值范围．试题解析：（Ⅰ），，，当时，恒成立，无极值；当时，，即，由，得；由，得，所以当时，有极小值.（Ⅱ）令，则，注意到，令，则，且，得；，得，∴，即恒成立，故，当时，，，于是当时，，即成立.当时，由（）可得（）.，故当时，，于是当时，，不成立.综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查了函数的最值，导数极其应用问题，利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，也考查了不等式的应用问题，考查了推理论证能力与逻辑思维能力以及运算求解能力的应用问题，是综合性题目．21. 如图，已知椭圆：的离心率为，、为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，、为椭圆上异于、的两点，且直线的斜率等于直线斜率的2倍．（Ⅰ）求证：直线与直线的斜率乘积为定值；（Ⅱ）求三角形的面积的最大值．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的方程可得点P,A,B的坐标，利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘积为定值-1；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，，，，当直线的斜率不存在时，，故综合的最大值为.试题解析：（Ⅰ）．，故．（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设：与轴的交点为，代入椭圆方程得，设，，则，，由，得，得，，得或．或，所以过定点或，点为右端点，舍去，，令（），，，，当直线的斜率不存在时，，，，即，解得，，，所以的最大值为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．（Ⅰ）若，是直线与轴的交点，是圆上一动点，求的最大值；（Ⅱ）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径倍，求的值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先，根据所给a的值，将圆的极坐标方程化为普通方程，将直线的参数方程化为直角坐标方程，然后，根据圆的性质，将所求的最值转化为到圆心的距离；（Ⅱ）首先，得到原点普通方程，然后，结合圆的弦长公式，建立关系式求解a的值即可．试题解析：（Ⅰ）当时，圆的极坐标方程为，可化为，化为直角坐标方程为，即.直线的普通方程为，与轴的交点的坐标为，∵圆心与点的距离为，∴的最大值为.（Ⅱ）由，可化为，∴圆的普通方程为.∵直线被圆截得的弦长等于圆的半径的倍，∴由垂径定理及勾股定理得：圆心到直线的距离为圆半径的一半，∴，解得或．23. 选修4-5：不等式选讲已知，不等式的解集是.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若存在实数解，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【解析】试题分析：（1）由题可解含绝对值的不等式得，与所给解集比较可得关于的方程；（2）可求出不等式左侧表达式的最小值即可得关于的不等式，解得的取值范围：试题解析：（1）解：由，得，即.因时，，因为不等式的解集是所以解得.（2）因为，所以要使存在实数解，只需.解得或.所以实数的取值范围是.。