(101202)2003(1)线性代数试题
线性代数试题及详细答案
线性代数试题及详细答案线性代数试题及详细答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：线性代数（试卷一）一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CAB =-1。
4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是_________5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为__2___________。
6. 设A 为三阶可逆阵，=-1230120011A，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是8.已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T-的模（范数）______________。
10.若()Tk 11=α与()T121-=β正交，则=k二、选择题（本题总计10分，每小题2分）1. 向量组r ααα,,,21Λ线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A(A)Ａ．8 Ｂ．8-Ｃ．34 Ｄ．34-3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R =Ｄ．)()(A R B R ≥4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()*kA 等于_____。
(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)
高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。
每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分．1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( )A．-4B．-1C．1D．42．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACBB．ABCC．BACD．CBA3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A TB．A - A TC．A A TD．A T A4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( )5．矩阵的逆矩阵是（）6．设矩阵A=，则A中( )A．所有2阶子式都不为零B．所有2阶子式都为零C．所有3阶子式都不为零D．存在一个3阶子式不为零7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关B．A的列向量组线性无关C．A的行向量组线性相关D．A的行向量组线性无关8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( )9．矩阵的非零特征值为( )A．4B．3C．2D．l10．4元二次型的秩为( )A．4B．3C．2D．l二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分)请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分．11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。
12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。
13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。
14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。
2003年线性代数考研试题
= ⎜⎜⎝⎛11⎟⎟⎠⎞, β 2
= ⎜⎜⎝⎛ 12⎟⎟⎠⎞ 的过渡
矩阵为
P=[α1
,α
2
]−1
[
β1
,
β
2
]
=
⎡1 ⎢⎣0
1 ⎤ −1 ⎡1 −1⎥⎦ ⎢⎣1
1⎤ 2⎥⎦ .
⎡1 = ⎢⎣0
1 ⎤⎡1 − 1⎥⎦ ⎢⎣1
1⎤ 2⎥⎦
=
⎡2 ⎢⎣− 1
3⎤ − 2⎥⎦.
2. 设向量组 I：α1,α 2 ,",α r 可由向量组 II： β1, β 2 ,", β s 线性表示，则[ D ]
(A) 当 r < s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r < s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关.
【详解】 用排除法：如α1
=
⎜⎜⎝⎛
0 0
⎟⎟⎠⎞,
β
1
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
⎟⎟⎠⎞,
② 若秩(A) ≥ 秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；
③ 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；
④ 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解.
以上命题中正确的是[ B ]
(A) ① ②.
(B) ① ③.
(C) ② ④.
(D) ③ ④.
【详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，
⎧ax + 2by = −3c,
⎪⎨bx + 2cy = −3a,
线性代数试题(附参考答案)
《 线性代数 》课程试题（附答案）一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 22.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ，则=-1A3.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A 4.设CB A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B 5.矩阵A 可逆的充要条件为6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂ （填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有 个解向量。
二、 计算行列式的值。
（10分）321103221033210=D三、 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求1-A 。
（10分）四、 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112A ，求矩阵X ，使E A AX 2+=。
（10分）五、 问K 取什么值时下列向量组线性相关（10分） T k )1,2,(1=α，T k )0,,2(2=α，T )1,1,1(3-=α。
六、 设A ,B 为n 阶矩阵且2B B =，E B A +=，证明A 可逆并求其逆（6分）七、 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A ，求矩阵A 的列向量组的秩及一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组表示。
（15分）八、 求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
（15分）《线性代数》课程试题参考答案一、 填空。
（3×8=24分）1.设A 为四阶方阵，且3=A ，则=-A 2482.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003020100A ，则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001021031003.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ，则A 的伴随矩阵=*A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 4.设C B A ,,为n 阶方阵，若0≠A ，且C AB =，则=B C A 1- 5.矩阵A 可逆的充要条件为0≠A6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为n A r <)(7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关，则向量组32,∂∂线性无关（填“线性相关”或“线性无关”）8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ，且n r A r <=)(，则基础解系中含有r n -个解向量。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
合肥工业大学2002-2003第一学期《线性代数》试卷参考答案
2002-2003第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设三阶行列式1112223330a b c a b c a a b c =≠，则三阶行列式111111222222333333222222222a b b c c a a b b c c a a b b c c a ++++++=+++9a ； 2．设矩阵12341123A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，则1A -=2131223121-⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭； 3．若3阶方阵A 的特征值分别为1,2,3--，则16A -的特征值为6,3,2--；4．设A x b =是3元非齐次线性方程组，若矩阵A 的秩为2，且1122ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2321ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是A x b = 的两个特解，则方程组的通解是210212X c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭（c 为任意常数）； 5．设()12,2,1T a = ,()22,1,2T a =- ,()31,2,2T a =- ,()44,3,2Ta = ,则该向量组的一个最大无关组是123,,ααα．二、选择题（每小题3分，共计15分）1．设,A B 为n 阶矩阵，0A ≠,且0AB =，则（ B ）()A 0B = ()B 0A =或0B = ()C 0BA = ()D 222()A B A B +=+2．若4阶实对称矩阵A 的特征值为0,1,2,3,则A 的秩为（ C ）()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 43．设A 为正交阵，且1A =-，则必有A *=（ B ）()A T A ()B TA - ()C A ()D A -4．已知二次型222113223322f tx x x tx x x x =++-+正定，则t 的取植范围是（ C ）()A 1t <- ()B 11t -<< ()C 2t > ()D 02t <<5．向量组12,,,m ααα线性无关的充分必要条件是（ C ） ()A 12,,,m ααα均不为零向量()B 12,,,m ααα中任意两个向量的分量成比例()C 12,,,m ααα中任意一个向量均不能由其余1m -个向量线性表示 ()D 12,,,m ααα中有一部分向量线性无关三、（8分）计算行列式1111111111111111a a D a a ---+-=--+--（a 为常数）．解：0111111101111111011111111111111a a a a D a a a-----+--+-=+--------4100111100111100111100a a a a a a a a --=--+-+=--．四、（9分）设E 为3阶单位阵，101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求满足2AX E A X +=+的矩阵X ．解：由2AX E A X +=+得2()A E X A E -=-，12()()X A E A E A E -=--=+201031102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭． 五、（15分）a 取什么值时，下面的线性方程组1231231232221ax x x x ax x x ax x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，无解？有唯一解？有无穷多解？当有无穷多解时，求其通解．解：系数行列式1111(1)121a D a a a a==--， (1)当0a =时，1012()01120001A b ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭，()()R A b R A ≠ ,方程组无解; (2) 当0a ≠且1a ≠时，0D ≠,方程组有唯一解;(3) 当1a =时，()()23R A b R A ==<,方程组有无穷多解,此时11121013()0101010100000000A b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1323,1x x x =-+⎧⎨=-⎩， 得通解130110X c -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c 为任意常数）． 六、（15分）设矩阵A 与B 相似，其中20022111A x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，12B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，（1）求x 与y ；（2）求可逆阵Q ，使1QAQ B -=．解：（1）因为矩阵A 与B 相似，且B 为对角阵，所以1,2,y -也是A 的特征值．220022(2)(2)0111A E x x x λλλλλλλλ---=-=+-+-++=--分别将1,y λλ==代入上式，得0,2.x y =⎧⎨=-⎩（2）当1λ=时，A E λ-～012100000-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，120,2,x x =⎧⇒⎨=⎩基础解系1021ξ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭， 当2λ=-时，A E λ-～111000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1230x x x ⇒++=，基础解系2101ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．所以所求可逆阵()123011,,201110Q ξξξ--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭． 七、（15分）若有正交变换X P Y =使二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>化为标准形22212325f y y y =++，求正交阵P 及常数a 的值．解：二次型f 所对应的矩阵为2000303A a a⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则2220003(2)[(3)]003A E a a aλλλλλλ--=-=---=-．由题意可知：11λ=，22λ=，35λ=满足上面等式，将11λ=代入得2a =或2a =-． 由于0a >，所以2a =．当11λ=时，由()A E X O λ-= ,A E λ-～100011000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭得基础解系1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,单位化得10p ⎛⎫⎪= ⎪ -⎝ ；当22λ=时，由()A E X O λ-= ,A E λ-～000010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭得基础解系2100ξ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ，取22p ξ= ； 当35λ=时，由()A E X O λ-= ,A E λ-～100011000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭得基础解系3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,单位化得30p ⎛⎫= ⎝ ；所以所求正交矩阵()123010,,00P p p p ⎛⎫ == -⎝ ，使得1125P A P -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭． 八、（8分）设有向量组12,,,(2)m m ααα>线性无关， 证明：向量组1(1,2,,)mi jj j ij m βα=≠==∑也线性无关．证明：设有一组数12,,,m λλλ ，使得123213121()()()0m m m m λαααλαααλααα-++++++++++++=， 即231132121()()()0m m m mλλλαλλλαλλλα-++++++++++++=．因为12,,,m ααα 线性无关，所以23131210,0,0.m m m λλλλλλλλλ-+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于101111011(1)(1)01110m m -=--≠，从而关于12,,,m λλλ 的线性方程组只有零解，即120,0,0.mλλλ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩故向量组1(1,2,,)mi jj j ij m βα=≠==∑也线性无关．。
线性代数试题(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解D.2η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.Aの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A（）A. 可逆B. 不可逆C. 行等价于零矩阵D. 列等价于零矩阵答案：B2. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的齐次线性方程组的解空间的维数为（）A. rB. r-1C. n-rD. n+r答案：C3. 向量组α1，α2，…，αs线性无关，则（）A. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs线性无关B. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性无关，其中k为非零常数C. 向量组α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs线性无关D. 向量组kα1，kα2，…，kαs线性相关，其中k为非零常数答案：B4. 设A为n阶方阵，且|A|≠0，则下列命题中正确的是（）A. A与A*的秩相等B. A*与A^(-1)的秩相等C. A与A^(-1)的秩相等D. A与A*的秩不相等答案：C5. 矩阵A=（）A. 行最简形矩阵B. 行阶梯形矩阵C. 行等价于单位矩阵的矩阵D. 行等价于零矩阵的矩阵答案：C6. 设A为3×3矩阵，且|A|=2，则|2A|=（）A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C7. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：D8. 设A为n阶方阵，且A^2=E，则（）A. A=0B. |A|=0C. A可逆D. A不可逆答案：C9. 设A为n阶方阵，且A^T=A，则（）A. A为对称矩阵B. A为反对称矩阵C. A为正交矩阵D. A为斜对称矩阵答案：A10. 设A为n阶方阵，且|A|=1，则|A^(-1)|=（）A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B二、填空题（每题2分，共20分）11. 若A为n阶方阵，且|A|=-3，则|-2A|=______。
答案：1212. 设A为n阶方阵，且A^2=0，则矩阵A的秩r(A)满足______。
2003年考研数学(一)试题及答案解析
(C)两个极小值点和两个极大值点.
(D)三个极小值点和一个极大值点.[ C ]
y
O x
【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.
【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).
七、（本题满分12分）
设函数y=y(x)在 内具有二阶导数，且 是y=y(x)的反函数.
(1)试将x=x(y)所满足的微分方程 变换为y=y(x)满足的微分方程；
(2)求变换后的微分方程满足初始条件 的解.
【分析】将 转化为 比较简单， = ，关键是应注意：
=
= .
然后再代入原方程化简即可.
（2）曲面 与平面 平行的切平面的方程是 .
【分析】待求平面的法矢量为 ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面 切平面的法矢量与 平行确定.
【详解】令 ，则
， ， .
设切点坐标为 ，则切平面的法矢量为 ，其与已知平面 平行，因此有
，
可解得 ，相应地有
故所求的切平面方程为
，即 .
（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布 ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则 .
(注：标准正态分布函数值
【分析】已知方差 ，对正态总体的数学期望 进行估计，可根据 ，由 确定临界值 ，进而确定相应的置信区间.
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案好东西第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536= .16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a11A21+a12A22+a13A232+a21A21+a22A22+a23A232+a31A21+a32A22+a33A232= .18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a线性相关,则a= .19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A是m×n矩阵,A的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A=01061332108---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .24.设实二次型fx1,x2,x3,x4,x5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数; 29.设矩阵A =1212242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； 2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550---- =5116205506255301040---=---=+=.27.解 AB =A +2B 即A -2EB =A ,而A -2E -1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =A -2E -1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 28.解一 ----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112 所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1.解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3,即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解 对矩阵A 施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.1秩B=3,所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组;A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.31.解 fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E,所以E-A可逆,且E-A-1= E+A+A2 .33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解;2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。
线性代数考试练习题带答案大全
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
川大02-03年线代期末考试+答案
线性代数期末试题四川大学20032002−.________))((,,.2._____________,,,.1)15(.222的条件是则为同阶方阵设是为等幂矩阵的条件则为同阶等幂矩阵设的矩阵称为等幂矩阵满足条件分填空题一B AB A B A B A B A B A A A −=−++=._______,,0||,,,.3==≠X B AXC AC n C B A 则如果且阶矩阵均为设._______),6,2,4(),2,1,3(),3,1,2(.4321则该向量组线性向量组=−==ααα._____0)(,2)(,5)(,5,.5个向量有的基础解系含则齐次线性方程组秩秩阶矩阵都是设===X AB B A B A .|,,,|4,|,,,|,|,,,|4,,,,,.1)15(.211232321132121321等于（）阶行列式则列式阶行且都是四维列向量若分选择题二ββαααβαααβαααββααα+==n m nm D m n C n m B n m A −−+−+).(,)(),()(,).(则三条直线设,,,.2321332123211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=c c c b b b a a a ααα().)3,2,1,0(),3,2,1(022交于一点的充要条件是其=≠+==++i b a i c y b x a ii i i i 线性无关线性相关秩秩线性无关线性相关2132121321321321,,,,).(),(),,().(,,,)(;,,).(ααααααααααααααααD C B A =件既不充分也非必要的条充分而非必要条件必要二非充分条件充分必要条件角化的可相似对个不同特征值是有阶矩阵).(;).()(;).(().3D C B A A n A n.)().(;)(;).()32),,(.42221321半正定的不定的；半负定的负定的（是二次型D C B A x x x x x f −−=的基础解系。
线性代数2001-2009年考研真题
线性代数2001-2009年考研真题线性代数作为高等数学的重要分支，在考研数学中占据着举足轻重的地位。
通过对 2001 2009 年线性代数考研真题的研究，我们能够发现一些具有规律性和代表性的考点与题型，这对于备考的同学来说具有重要的指导意义。
在这九年的真题中，向量组的线性相关性是一个频繁出现的考点。
向量组的线性相关性是理解线性空间结构的基础，经常以证明题或者计算题的形式出现。
例如，给定一组向量，判断它们是否线性相关，或者根据已知的线性相关性条件求解某些参数的值。
要解决这类问题，关键是要掌握线性相关和线性无关的定义及判定定理，熟练运用矩阵的秩、行列式等工具进行计算和推理。
矩阵的特征值和特征向量也是一个重点。
真题中常常要求求出给定矩阵的特征值和特征向量，或者利用特征值和特征向量的性质来解决相关问题。
在求解特征值时，需要正确计算矩阵的特征多项式，并求解其根。
而对于特征向量，则需要将特征值代入方程组中求解。
线性方程组的求解一直是线性代数中的核心内容。
在考研真题中，既有单纯求解线性方程组的题目，也有将线性方程组与其他知识点综合起来考查的情况。
对于齐次线性方程组，要理解其有非零解的条件以及基础解系的概念；对于非齐次线性方程组，则要掌握其解的结构和求解方法。
矩阵的运算和变换也是常见的考点。
包括矩阵的乘法、逆矩阵的求解、矩阵的初等变换等。
这些运算和变换不仅在单独的题目中出现，还经常在其他题型中作为解题的工具和手段。
另外，二次型也是一个不容忽视的部分。
真题中可能要求将二次型化为标准形，或者利用二次型的正定性质来判断参数的取值范围等。
这需要掌握二次型的矩阵表示，以及通过正交变换或配方法将其化为标准形的方法。
通过对 2001 2009 年真题的分析，我们可以发现，线性代数的知识点之间相互关联，综合性较强。
因此，在备考过程中，不能孤立地学习各个知识点，而要注重它们之间的联系和综合运用。
在解题时，要养成良好的解题习惯。
线性代数历届考试题及答案
一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。
在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分）1、设B A ,都是对称矩阵，k 为常数，则下列说法错误的是（ D ）.A ：B A +是对称矩阵； B ：B A -是对称矩阵；C ：kA 是对称矩阵；D ：AB 是对称矩阵.2、排列1234、1342与1432中偶排列个数为 ( C ).A: 0； B: 1； C: 2； D: 3.3、设B A ,都是n n ⨯可逆矩阵，则下列正确的是（ B ）.A ：111)(---=B A AB ； B ：111)(---=A B AB ；C ：111)(---+=+B A B A ；D ：111)(----=-B A B A .4、设A 是n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵, 则下列正确的是（ B ）. A ：n A A =*； B ：1-*=n A A ； C ：1+*=n A A ； D ：A A =*.5、设向量,100,00121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=αα下列向量中，可由21,αα的线性表示的是( A ),。
A ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-302； B ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010 ； C ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011 ； D ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110. 6、设B A ,都是n 阶正交矩阵，则下列说法错误的是（ C ）.A ：AB 是正交矩阵； B ：1-A 是正交矩阵；C ：B A -是正交矩阵；D ：T A 是正交矩阵.二、填空题（本题共6小题，每小题 3分，共18分。
将答案直接填入括号内, 填错或未填均无分）1、设方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0213A ，则=A A T 2( 16 ). 2、设方阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3121A ，则=-1A ( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1123 ) 3、若齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=-,0,022121kx x x x 有非零解，则其中常数=k ( -2 ) 4、设)(x f 是一个首项系数为1的4次多项式,并已知它的根为1,1,0-(二重), 则)(x f 按降幂排列的表达式是=)(x f ( x x x x +--234 ).5、已知向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111α是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221102111A 对应于特征值λ的特征向量，则=λ( 3 ).6、二次型32312123213212423),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=的矩阵为( ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112101213 )三、解答题(本题共3小题，每小题8分，共24分)1、设矩阵,132121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A ,031112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B 求B A -2及B A T . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2642422B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=233350 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=113221B A T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1412771540311122、计算行列式 1222212222122221=D 的值. 解 1222212222122221=D 1227212722172227 = 12212121221122217= 710000100001022217-=---=3、求向量组.631,253,121321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα的秩，并求一个极大无关组.解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-550110131621352131),,(3121 2321r r r r ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→-⨯+000110131)1( 5232r r r 所以向量组的秩是2,一个极大无关组为.,21αα四、解答题(本题共3小题，每小题8分，共24分)1、设三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2,已知η1, η2, η3是它的三个解向量, ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=121 ,211 321ηηη 求该方程组的通解.解 依题设知:对应的齐次线性方程组的基础解系含3-2=1个解向量, 且有解向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-=-+-=301)(2)()(3213121ηηηηηηηξ所以非齐次线性方程组的通解为)(,1为任意常数k k x ηξ+=即 )(,211301为任意常数k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2、用配方法将下列实二次型化为标准型,并求出所用的可逆线性变换.3132232132144),,(x x x x x x x x x f +-+=解: 32231321)2(),,(x x x x x x x f -+=])()[(41)2(232232231x x x x x x --+-+= 232232231)(41)(41)2(x x x x x x -++-+=作可逆线性变换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+=+=).(21).(212323322311x x y x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-==..223233223211y y x y y x y y y x 即 得232221321),,(y y y x x x f +-=3.已知三阶实对称矩阵A 的特征值为,21-=λ,12=λ,43=λ,)1,1,0(T 1-=αT 2)1,1,1(--=α分别是A 的对应于21,λλ的特征向量，试求正交矩阵Q ,使AQ Q 1-为对角矩阵。
线性代数试题2003
·221·2003年 试卷一一、填空题（每小题4分） （2）曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面的方程是_________. 解：245x y z +-=设000(,,)x y z 为与平面240x y z +-=平行的切平面的切点坐标，则过000(,,)x y z 的法向量为00{2,2,1}n x y =-于是过000(,,)x y z 的切平面方程为 00002()2()()0x x x y y y z z -+---=即000220x x y y z z +--= 由题意两平面平行，故00221241x y -==-解得001,2x y ==，故220005z x y =+= 因此所求方程为245x y z +-= （4）从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为________ 解：2312⎛⎫⎪--⎝⎭. 设P 为基12,αα到基12,ββ的过渡矩阵 则1212(,)(,)=ββααP 11212(,)(,)-=P ααββ1111102301120112⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 所以2312⎛⎫=⎪--⎝⎭P . 二、选择题（每小题4分）（4）设向量组I:12,,,r ααα 可由向量组II:12,,,s βββ 线性表示，则 （A ）当r s <时，向量组II 必线性相关. （B ）当r s >时，向量组II 必线性相关. （C ）当r s <时，向量组I 必线性相关. （D ）当r s >时，向量组I 必线性相关.·222· 解：（D ）正确.从r 与s 的大小关系，无法确定向量组II 的线性相关性，这可从以下例子看出.设j e 表示n 阶单位阵E 的第j 个列向量，1,2,,j n = 例1. 取向量组I:123,,e e e 3r =； 取向量组II:1234,,,e e e e 4s =.向量组I 可由向量组II 线性表示，r s <，但向量组II: 1234,,,e e e e 线性无关，故（A ）错误.例2. 取向量组I: 1233,,,2e e e e 4r =； 取向量组II:123,,e e e 3s =.向量组I 可由向量组II 线性表示，r s >，但向量组II: 123,,e e e 线性无关，故（B ）错误.不过从r 与s 的大小关系可以确定向量组I 的线性相关性. 由例1知（C ）错误.设向量组I 、II 是n 维向量组.因为12,,,r ααα 可由12,,,s βββ 线性表示，所以存在s r ⨯矩阵P ，使12(,,,)r =ααα 12(,,,)s βββP ，当r s >时，考虑线性方程组0,R r=∈Px x因为r s >，故在非零解1r k k ⎛⎫⎪=≠ ⎪⎪⎝⎭α0，使1r k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P 0，其中1,,r k k 不全为零，于是 111212(,,,)(,,,)r s rr k k k k ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αααβββP0 这说明12,,,r ααα 线性相关，故（D ）正确.本题的实质问题是：线性无关的向量组，不能由个数不超过它的向量组线性表示，所以当r s >时，向量组I 必线性相关.（5）设有齐次线性方程组=A x 0和=B x 0，其中,A B 均为m n ⨯矩阵，现有4个命题：①若=A x 0的解均是=B x 0的解，则()()r r ≥A B ； ②若()()r r ≥A B ，则=A x 0的解均是=B x 0的解； ③若=A x 0与=B x 0同解，则()()r r =A B ； ④若则()()r r =A B ，则=A x 0与=B x 0同解. 以上命题中正确的是（A ）①②. （B ）①③. （C ）②④. （D ）③④. 解：（B ）正确.·223·在过去历年的选择题中，正确的答案只是一个命题，本题标志着由单选开始转入多选。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华南农业大学期末考试试卷（A ）
2003年第一学期考试题目：《线性代数》
姓名： 学号： 年级专业： 成绩： 一． 填空题（每空3分）
1 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡312[]21-= 2 100
001001⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡λλλ=
3 若⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-2141X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1102=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-1013，则X= 4 设)2,1,0(,)2,1,2(,)1,,1(321=-==αααx ，当=x ＿时321,,ααα线性相关。
5 已知向量组
)1,3,0,(,)1,0,1,3(,)0,3,1,2(321-=-=-=x ααα
的秩等于２，则=x ＿。
6 向量α=[1,4,0,2]T
与β=[2,-2,1,3] T
的距离和内积分别为 和 。
7 若矩阵A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡800065043, 则=-1
A 。
8 设三阶方阵A 的三个特征值为：λ1 = 2 ,λ2 = -1 ,λ3 = 3 , 则A 的伴随矩阵对应的行列式| A * |为 ______________。
9设A = ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-21
2
23
012a B = ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡01
1
35210b
有相同的特征值 , 则a =___________ , b = __________。
10 二次型f(χ1,χ2,χ3,χ4)=χ12
+2χ22
+3χ32
+4χ1χ2+2χ2χ3的矩阵是 ，该二次型的秩为 。
二． 选择题（每题3分）
1 设 A=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-1001，B=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-0110，则下列 式成立。
（1）AB =BA （2）(AB )2=A 2B 2（3）(A +B )2=A 2+2AB +B 2 （4）都不对。
2 设A, B 为n 阶方阵，则 成立。
（1）det(A+B )=det A +det B （2）AB=BA （3） det (AB )=det(BA )（4）(A+B )－1=A －1+B －
1
3 在齐次线性方程组0=AX 中，若()R A n <，则下列结论正确的是 。
（1）当n m =时，Ａ的m 个行向量线性相关。
（2）当m n <时，Ａ的m 个行向量线性无关。
（3）当m n >时，Ａ的m 个行向量线性无关。
（4）当1+=m n 时，Ａ的m 个行向量线性相关。
4 设n 维向量α和β的模分别是6和9, α与β的距离是12，则α与β的夹角的余弦 为 。
（1） －41 (2) 41
(3) 21 (4) －21
5 设α=[8,-4,1]T
,若β与α是同方向的向量，且β的模是6，则β= 。
（1）[16,-8,2]T
(2) -[16,-8,2]
T
(3)-[316,-3
8
,32
]T
(4) [316
,-38
,32
]T
6 如果下列 式成立，则A 与B 相似。
（1） | A | = | B | (2) R ( A )= R ( B ) （3） A 与B 有相同的特征值 。
（4）A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同。
三． 解答下列各题（每题5分）
1计算n 阶行列式：x
a a a
x a a
a x
2 设线性方程组 ⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+++=+++=+++2321321321)1()1(0)1(λλλλλx x x x x x x x x
当λ等于何值时，（１）方程组有唯一解；（２）无解；（３）有无穷多解，并求出此时
方程组的通解。
3 设α1=[]1,2,1-T , α2
=[]1,3,1-T , α3
=[]0,1,4-T ，试用施密特正交化方法把这组向量正交规范
化。
4 设三阶实对称阵A 的特征值为λ1 = -1 ,λ2 =λ3 = 1，对应于λ1 的特征向量为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1101α ,
求对应于λ2 =λ3 = 1的特征向量及 A 。
5 用正交变换化下列二次型为标准形。
f=3x12+x22+x32-6x1x2-6x1x3-2x2x3
四．证明下列各题（每题5分）
1 设方阵A满足矩阵方程A2－A－2E=O
证明A及A+2E都可逆，并求A－1及(A+2E)－1。
2 设A,B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵。
3 设A、B都是n阶正定矩阵，证明A+B也是正定矩阵。