临考押题卷04-2020年高考数学(理)临考押题卷(解析版)_1
2024年高考数学临考押题卷02(全解全析)(新高考通用)
2024年高考数学临考押题卷02（新高考通用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2210A x x x =+-<，(){}2lg 1B y y x ==+，则A B = （）A ．(]1,0-B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．[)0,1【答案】B【分析】由一元二次不等式的解法，对数函数的值域，集合的交集运算得到结果即可.【详解】集合{}21210|12A x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭，因为211x +≥，所以()2lg 10x +≥，所以集合(){}{}2lg 1|0B y y x y y ==+=≥，所以10,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，故选：B.2．复数()i 1i 35i+-的共轭复数为（）A ．41i 1717--B ．41i 1717-+C ．41i 1717-D ．41i 1717+【答案】B【分析】利用复数的四则运算与共轭复数的定义即可得解.【详解】因为()()()()()i 1i 1i 35i 1i 82i 41i 35i35i 35i 35i 341717+-++-+--====-----+，所以()i 1i 35i+-的共轭复数为41i 1717-+.故选：B.3．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215S a a ＝＋，54a ＝，则1a =（）A ．14B ．14-C ．12D ．12-【答案】A【分析】把等比数列{}n a 各项用基本量1a 和q 表示，根据已知条件列方程即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由3215S a a =+，得：123215a a a a a ++=+，即：23114a a a q ==，所以，24q =，又54a =，所以，4222111()44a q a q a ==⨯=，所以，114a =.故选：A.4．若23a=，35b =，54c =，则4log abc =（）A ．2-B ．12C ．2D ．1【答案】B【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.【详解】由23a=，35b =，54c =，可得235log 3,log 5,log 4a b c ===，所以235lg 3lg 5lg 4log 3log 5log 42lg 2lg 3lg 5abc =⨯⨯=⨯⨯=，则441log log 22abc ==.故选：B.5．关于函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π02ϕ<<），有下列四个说法：①()f x 的最大值为3②()f x 的图象可由3sin y x =的图象平移得到③()f x 的图象上相邻两个对称中心间的距离为π2④()f x 的图象关于直线π3x =对称若有且仅有一个说法是错误的，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．32-C ．32D ．2【答案】D【分析】根据题意，由条件可得②和③相互矛盾，然后分别验证①②④成立时与①③④成立时的结论，即可得到结果.【详解】说法②可得1ω=，说法③可得π22T =，则2ππT ω==，则2ω=，②和③相互矛盾；当①②④成立时，由题意3A =，1ω=，ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ．因为π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故0k =，π6ϕ=，即()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；说法①③④成立时，由题意3A =，2ω=，2ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，则ππ20,62k ϕπ⎛⎫=-∉ ⎪⎝⎭，故不合题意.故选：D.6．设O 为坐标原点，圆()()22:124M x y -+-=与x轴切于点A ，直线0x +交圆M 于,B C 两点，其中B 在第二象限，则OA BC ⋅=（）A B C D 【答案】D 【分析】先根据圆的弦长公式求出线段BC 的长度，再求出直线0x +的倾斜角，即可求得OA 与BC的的夹角，进而可得出答案.【详解】由题意()1,0A ，圆心()1,2M ，()1,2M 到直线0x +距离为12，所以BC =直线0x +π6，则OA 与BC 的的夹角为π6，所以cos ,1OA BC OA BC OA BC ⋅===故选：D ．7．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径r ，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232ππ22V R R R =⋅根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321V V V R R R =-.故选：C.8．定义{}{},,max ,,min ,,,a a b b a ba b a b b a b a a b ≥≥⎧⎧==⎨⎨<<⎩⎩，对于任意实数0,0x y >>，则2211min max 2,3,49x y x y ⎧⎫⎧⎫+⎨⎨⎬⎬⎩⎭⎩⎭的值是（）AB C D 【答案】A【分析】设2211max{2,3,}49x y M x y +=，则2211323(2)(3)M x y x y ≥+++，构造函数21()0)f x x x x=+>，利用导数求出函数()f x 的最小值进而得23632M ≥，化简即可求解.【详解】设2211max{2,3,}49x y M x y +=，则22112,3,49M x M y M x y ≥≥≥+，得222211113232349(2)(3)M x y x y x y x y ≥+++=+++，设21()(0)f x x x x =+>，则33322()1x f x x x -'=-=，令()00f x x '<⇒<<，()0f x x '>⇒>所以函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，故min 233()2f x f ==，即233()2f x ≥，得223333(2)(3)22f x f y ≥≥，所以2222233311336323(2)(3)(2)(3)222M x y f x f y x y ≥+++=+≥+=，得2322M ≥2211min{max{2,3,}}49x y x y +=.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由222211113232349(2)(3)M x y x y x y x y ≥+++=+++构造函数21()0)f x x x x =+>，利用导数求得M 即为题意所求.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。
临考押题卷02-2020年高考数学临考押题卷(天津专版)(解析版)
2020年高考临考押题卷（二）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题1．已知集合2{|24},{|}x A x B x x x =<=>，则A B =U （ ） A ．(,0)-∞ B ．(,0)(1,2)-∞UC ．(,0)(1,4)-∞UD ．R【答案】D【解析】{|2},{|01},A x x B x x x A B =<=<>∴=R U 或． 2．复数z 满足()12z i i +=，则复数z 的共轭复数是（ ）A ．1i +B ．1i -C ．12i +D ．12i -【答案】B【解析】由(1)2z i i +=，得()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-， ∴1z i =-，3．下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是（ ）A ．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B ．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C ．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D ．从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50% 【答案】D【解析】对于A ，2016年私人类电动汽车充电桩保有量增长率为6.30.8100%687.5%0.8-⨯=，高于2018年的增长率47.723.2100%105.6%23.2-⨯≈，A 错误；对于B ，公共类电动汽车充电桩保有量由小至大排序，位于第三位的是21.4，故中位数为21.4万台，B 错误； 对于C ，公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为4.914.121.430.044.723.025++++=万台，C 错误；对于D ，从2017年开始，私人类电动汽车充电桩占比分别为52.0%，61.4%，57.5%，均超过50%，D 正确.4．已知a i j =+r r ，2b i =r r，其中i r ，j r 是互相垂直的单位向量，则3a b -=r r （ ）A．B．C ．28D ．24【答案】A【解析】a i =r r Q ，2b i =r r，且i r ，j r 是互相垂直的单位向量3325a b i j i i ∴-=-⨯=-r r r r r ，0i j ⋅=r r3a b ∴-====r r5．在ABC V 中，sin sin sin cos cos B CA B C+=+，则ABC V 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】B 【解析】sin sin sin cos cos B CA B C+=+Q ，∴由正弦定理及余弦定理可得22222222b ca a cb a bc ac ab+=+-+-+，22222222a c b a b c a a b c ac ab +-+-∴⨯+⨯=+，22222222a c b a b c b c c b+-+-∴+=+，()()2222222222b a c b c a b c bc b c ∴+-++-=+， 223322a b a c b c b c bc ∴+--=+，()()()()222a b c c b b c bc b c bc ∴+-++-=+，222a b c ∴=+，ABC ∴V 是直角三角形.6．已知抛物线21:8C y x =的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2y kx =-与C 交于A ，B 两点，若FA 为HFB ∠的角平分线，且||2||AB AH =，则||AF =( ) A ．2 B ．83C ．3D ．4【答案】B【解析】如图,连接AF ,BF ,过A ,B 分别作准线的垂线,垂足分别为M ,N ,易知(0,2)F ,(0,2)H -,||4FH =.由角平分线定理可得||||2||||BF BA FH AH ==,则||||1||||3AH AM BH BN ==.∵||||2||8BN BF FH ===,∴8||||3AM AF ==.7．关于函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-，有下列三个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 有3个零点；③()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）. A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】()()()sin sin f x x x x x f x -=--==Q ，()f x ∴为偶函数，①正确；令()0f x =，则0x =或sin 0x =，当sin 0x =时，0x =或x π=-或x π=，()f x ∴的零点为0x =或x π=-或x π=，共3个，②正确； ()sin cos f x x x x '=+Q ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，cos 0x >，()0f x '∴>， ()f x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，③正确.8．已知函数()()222sin cos sin 024x f x x x ωπωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．13,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,25⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 所以223562πωπωππ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，所以02ππω≤≤， 所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 9．存在两个正实数x ，y ，使得等式(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-，其中e 为自然对数的底数，则a 的范围为（ ） A ．(,0)-∞ B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1(,0),e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由(2)ln x a y ex y +-(2)ln a y ex x =-得(2)ln 0yx a y ex x+-=， 即1(2)ln 0y ya e x x+-=， 即设yt x=，则0t >， 则条件等价为1(2)ln 0a t e t +-=， 即1(2)ln t e t a-=-有解， 设()(2)ln g t t e t =-，2()ln 1eg t t t'=+-为增函数， ()g e 'Q 2ln 11120ee e=+-=+-=， ∴当t e >时，()0g t '>，当0t e <<时，()0g t '<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值，为()ge (2)ln e e e e =-=-，即()g t g …（e ）e =-， 当0t→时，()(2)ln +g t t e t =-→∞，当x →+∞时，()(2)ln +g t t e t =-→∞.若1(2)ln t e t a -=-有解， 则1e a--…，即1e a„， 则0a <或1a e…， 二、填空题10．已知tan α=，则sin 2α=__________．【答案】3【解析】2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan 3ααααααααα====++.11．在ABC V 中，60A =︒，2AB =，且ABC V AC =________；【答案】1【解析】由题得，ABC V 的面积为13sin 6022S AB AC =⨯=o ，解得1AC =. 12．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）【答案】21【解析】721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()773177211rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令731r -=，得2r =，()227121C -=，故答案为21.13．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是___________. 【答案】5【解析】1335,0,0,155x y xy x y y x+=>>∴+=Q ， ()13133121331234342555555555x y x yx y x y y x y xy x ⎛⎫∴+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当31255x yy x=，即21x y ==时取等号． 14．已知四面体ABCD 中，26AB AD ==，43BD =，BCD ∆为等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则四面体ABCD 外接球的表面积为______. 【答案】64π 【解析】取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 取CE 的三等分点为O ，使得2CO OE =， 则O 为等边BCD ∆的中心.由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，CE BD ⊥，CE ⊥平面ABD .而22248AB AD BD +==，所以ABD ∆为等腰直角三角形，且E 为ABD ∆的外心， 所以OA OB OD ==，又OB OC OD ==， 所以O 为四面体ABCD 外接球的球心，其半径243r ==. 故四面体ABCD 外接球的表面积为24464S ππ=⋅=.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F . （1）若2F 到渐近线的距离是3，则b 为__________.（2）若P 为双曲线C 右支上一点，1260F PF ∠=︒且12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点为Q ，满足122FQ QF =u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为__________.【答案】3【解析】取渐近线方程为by xa=，即0bx ay -=，()2,0F c 到直线的距离为3d ==，故3b =；122FQ QF =u u u r u u u u r ，则122PF PF =，122PF PF a -=，故14PF a =，22PF a =，根据余弦定理：2224416242cos60c a a a a =+-⨯⋅︒，整理得到：223c a =，故e =三、解答题16．为了解某地网民浏览购物网站的情况，从该地随机抽取100名网民进行调查，其中男性、女性人数分别为45和55.下面是根据调查结果绘制的网民日均浏览购物网站时间的频率分布直方图，将日均浏览购物网站时间不低于40分钟的网民称为“网购达人”，已知“网购达人”中女性有10人.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关； 非网购达人 网购达人 总计 男 女 10 总计（2）将上述调査所得到的频率视为概率，现在从该地的网民中随机抽取3名，记被抽取的3名网民中的“网购达人”的人数为X ，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X .参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：()20P K k …0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“网购达人”有(0.0200.005)1010025+⨯⨯=（人）.补充完整的22⨯列联表如下：非网购达人 网购达人 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计752510022100(30104515)100 3.030 2.7067525455533K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以有90%的把握认为是否为“网购达人”与性别有关.（2）由频率分布直方图知，“网购达人”对应的频率为0.0200.0051025(.)0+⨯=， 将频率视为概率即从该地随机抽取1名网民，该网民是“网购达人”的概率为14. 由题意知1~3,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 从而X 的分布列为 X1 2 3P2764 2764 964 164由二项分布的数学期望与方差公式得13()344E X np ==⨯=， 139()(1)34416D X np p =-=⨯⨯=，17．如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值. 【解析】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC △中，AE EC =，则1A E AC ⊥， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EFBC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH=，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==，据此可得：()()()1330,3,0,,,0,0,3,3,022A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B的坐标为132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用中点坐标公式可得：34F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ， 故直线EF的方向向量为：34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =u r ，则：()()133,,3302233,,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩， 据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =u r，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r此时4cos ,5EF m EF m EF m ⋅===⨯u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ===u u u r u r . 18．给定()3,n n n N *≥∈个不同的数1、2、3、L 、n ，它的某一个排列P 的前(),1k k N k n *∈≤≤项和为k S ，该排列P 中满足2k n S S ≤的k 的最大值为P k ．记这n 个不同数的所有排列对应的P k 之和为n T ． （1）若3n =，求3T ；（2）若41n l =+，l N *∈.①证明：对任意的排列P ，都不存在(),1kk N k n *∈≤≤使得2k n S S =；②求n T （用n 表示）．【解析】（1）1、2、3的所有排列为1、2、3；1、3、2；2、1、3；2、3、1；3、1、2；3、2、1. 因为36S =，所以对应的P k 分别为2、1、2、1、1、1，所以38T =；（2）（i ）设n 个不同数的某一个排列P 为1a 、2a 、L 、n a ，因为41n l =+，l N *∈，所以()()()141212n n n S l l +==++为奇数， 而2k S 为偶数，所以不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =（ii ）因为2k n S S ≤，即1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤，又由（i ）知不存在(),1k k N k n *∈≤≤使得2k n S S =，所以1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+；所以满足2k n S S ≤的最大下标k 即满足1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+①，且1212k k k n a a a a a a ++++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅+②，考虑排列P 的对应倒序排列:P 'n a 、1n a -、L 、1a ，①②即2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅++，2121n k k k a a a a a a +++⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++，由题意知1P k n k '=--，则1P P k k n '+=-；又1、2、3、L 、n 这n 个不同数共有!n 个不同的排列，可以构成!2n 个对应组合(),P P '， 且每组(),P P '中1P P k k n '+=-，所以()!12n n T n =-． 19．已知直线l 与椭圆22:162x y C +=交于不同的两点A ，B . （1）若线段AB 的中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若l 的斜率为k ，且l 过椭圆C 的左焦点F ，AB 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求证：||||FN AB 为定值. 【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ， 则22112222162162x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：2112211213y y x x x x y y -+=-⨯-+，AB Q 中点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，2121l y y k x x -=-，12233l k ∴=-⨯=-， ∴直线l 的方程为：()12123y x -=--，即：4670x y +-=. （2）由椭圆方程知：()2,0F -，可设直线l 的方程：()2y k x =+，联立()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：()222213121260k x k x k +++-=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则21221213k x x k +=-+，212212613k x x k -=+， ()3121222124441313k k y y k x x k k k k∴+=++=-+=++， 21226213x x k k +∴=-+，1222213y y k k +∴=+， 当0k =时，AB =2FN =，FNAB ∴=； 当0k ≠时，AB 的垂直平分线方程为：2222161313k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0y =得：22413k x k =-+，224,013k N k ⎛⎫∴- ⎪+⎝⎭，()222221421313k k FN k k +∴=-+=++，AB ==Q )22113k k +=+， ()2222113k FN AB k +∴==+； 综上所述：FN AB 20．已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +> （1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.【解析】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-+()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3.(2)由1(1)2f a ≤，得0a <≤当04a <≤时，()fx ≤2ln 0x≥， 令1t a=，则t ≥ 设()22ln gt t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =--， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭≤则()2ln g xg x =…，记1()ln ,7p xx x =≥，则1()p x x '=-==列表讨论：()(1)0,()2()0p x p g t g p x ∴=∴=厖?（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=+>， 故()q x 在211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x ≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛⎝⎦．。
2020高考理科数学押题卷含答案
形镜子的最大面积为 （ ）
A、10 平方分米
B、20 平方分米
C、40 平方分米 D、
1600 平方分米
41
（文）函数 y 3x 1的图象
x2
A. 关于点(2,3)对称
C. 关于直线 x= 2 对称
称
（） B. 关于点(2,3)对称
D. 关于直线 y= 3 对
9．若双曲线 x2 y2 1的左支上一点 P（a ，b）到直线 y x 的距离为
4
4
7．（理）C .如图，复数2 i 与 3 3i 对应的向量垂直，
2
所以 3 3i 的辐角主值是 3 。
2
2
C 32+3i
O
2-i
B
（文）A .当函数的图像左右平移时，不改变函数的
B
A
值域。 8．(理)C．如图可设 A 的坐标为 (5cos,4sin ) ，
-6
-4
-2 -1
-2
C
-3
-4
D
16．3 .
2
由非负性
1 2 3
P
0
P
3 2
，Eξ＝0
1
2 3
P
1
P 3
2
P 3
P
3 2
三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤)
17．解：(1)∵2sin2A-cos2A=2 ∴cos2A=- 1 ∴A=
2
3
分)
…………(6
(2)y=2sin2B+sin(2B+ )=1+sin(2B- )
2
2
（1）求 a, k 之值；
临考押题卷01-2020年高考数学临考押题卷(天津专版)(解析版)
2020年高考临考押题卷（一）数学（天津卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题 1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B =I ð（ ）A ．{}1-B ．{}0,1C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】A【解析】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I2．命题:(0,)p x ∀∈+∞，2112xex x >++，则p ⌝为（ ） A ．(0,)x ∀∈+∞，2112xex x ++„B ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112x e x x <++ C ．(0,)x ∀∈+∞，2112xe x x <++D ．0(0,)x ∃∈+∞，0200112x ex x ++„ 【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，且:(0,)p x ∀∈+∞，2112xex x >++， 故p ⌝：0(0,)x ∃∈+∞，0200112x ex x ++„. 3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)20,40,40,60,60,80,[80,100].若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．【答案】B【解析】根据频率分布直方可知成绩低于60分的有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20， 则成绩低于60分的频率P=(0.005+0.010)×20=0.3. 又因为低于60分的人数是15人， 所以该班的学生人数是15÷0.3=50. 4．已知ABC ∆中4,30a b A ===o ，则B 等于（ ） A ．60°或120° B ．30°C ．60°D ．30°或150°【答案】A【解析】由正弦定理sin sin a b A B =得4sin sin 30B ==o60,120B =o o5．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13-B ．13C ．-3D ．3【答案】A【解析】3124tan tan πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 112431124tan tantan tan ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选A . 6．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，C 的准线与对称轴交于点H ，直线2py =-与C 交于A ，B两点，若||3AH =，则||AF =（ ） A ．3 B ．83C ．2D ．4【答案】C【解析】连接AF ，如图，过A 作准线的垂线，垂足为M ，易知点0,,0,22p p F H ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．易知直线2p y =-过点H，tan 3AHM AHM π∠=∠=，则||||AM AH =又||AH = 所以||2AM =，由抛物线的定义可得||AF =||2AM =.7．已知实数,x y 满足1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是( ) A ．tan tan x y >B ．()()22ln 2ln 1x y +>+C ．11x y> D ．33x y >【答案】D【解析】根据题意，实数x ，y 满足（12）x <（12）y ，则x >y ，依次分析选项：对于A ，y=tanx 在其定义域上不是单调函数，故tanx >tany 不一定成立，不符合题意；对于B ，若0>x>y ，则x 2+2>y 2+2不成立，故ln （x 2+2）>ln （y 2+2）不一定成立，不符合题意；对于C ，当x >y>0时，1x <1y，不符合题意；对于D ，函数y=x 3在R 上为增函数，若x >y ，必有x 3>y 3，符合题意． 8．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．由函数()f x 的图象向右平移8π个单位长度可以得到函数sin 2y x =的图象D ．函数()f x 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C【解析】对于函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，它的最小正周期为22π=π，故排除A ；令x=4π，求得f （x ）=2，故函数f （x ）的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称；故排除B ； 把函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移8π个单位长度， 可以得到函数y=sin2（x ﹣8π）+4π]=sin2x 的图象，故C 满足条件； 在区间5,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，24x π+∈（2π，32π），函数f （x ）单调递减，故排除D ， 9．已知函数1ln ln 1,0()12,02x x x x x f x x +⎧+->⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩，则满足方程()12(())12f m f f m ++=的实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1](0,1]-∞-⋃B ．(,1]-∞C ．1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1(,1],1e ⎡⎤-∞-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由()12(())12f m f f m ++=，可得()1(())22f m f f m =-，则()0f m ≤． 当0m ≤时，由1()202mf m =-≤，解得1m ≤-； 当0m >时，1ln ()ln 1m f m m m +=+-，2ln ()m mf m m -'=． 令()lng m m m =-，11()1m g m m m-'=-=， 当01m <<时，()0g m '<，()g m 单调递减；当1m >时，()0g m '>，()g m 单调递增，则()g m 的最小值为(1)1g =． 故2ln ()0,()m mf m f m m-'=>单调递增， 又(1)0f =，故当01m <≤时，()0f m ≤．综上可知，当(,1](0,1]m ∈-∞-⋃时，()0f m ≤，满足()12(())12f m f f m ++=，二、填空题10．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】1|||1|2z i ===+. 11．6x⎛- ⎝的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答） 【答案】20-【解析】二项展开式通项公式为3662166((1)r rrr r rr T C xC x --+==-，其中系数奇数项为正，偶数项为负，又6(0,1,,6)rC r =L 中，36C 最大，因此二项式系数最大的项为第4项，系数为3620C -=-．12．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，4,AC PA ==当四棱锥P ABCD -的体积最大时，其外接球的表面积为_______． 【答案】28π．【解析】设,AB x AD y ==，则22162,8x y xy xy +=厔，故8ABCD S xy =矩形…（当且仅当x y ==， 矩形ABCD 的面积最大为8．当侧棱PA ⊥面ABCD 时，四棱锥P ABCD -的体积最大，把体积最大的四棱锥补充为一个长方体，该长方体的高为 底面ABCD 为正方形，对角线4AC =，长方体的外接球半径R ==故外接球的表面积224428===球S R πππ．13．已知双曲线222:1(0)4x y C b b -=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，若2PBA PAB π∠=∠+，则双曲线C 的焦距为_________．【答案】【解析】由2PBA PAB π=∠+，则1PA PBk k ⋅=．设()00,P x y ，则20020001224y y y x x x ⋅==+--． ∵点P 在双曲线C 上，2200214x y b ∴-=，220244y b x =-， 214b ∴=， 即2b =，则焦距为=14．已知正实数x ，y 满足23x y +=，则xy 的最大值为________，23x yxy+的最小值为________．【答案】981．【解析】由题可知，对正实数x ，y 有()292828x y xy x y xy +≥≤+⇒≤（当且仅当322x y ==时取等号），所以xy 的最大值为98；因为()2222232211x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x+++++===++≥（当且仅当6x ==-等号），所以23x y xy+的最小值为1．15．在锐角ABC V 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，若3AB AD =u u u r u u u r ，ACAF λ=u u u ru u u r，且26BC ED EF ED ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，1ED =u u u r ，则实数λ的值为_______．【答案】3【解析】如下图所示：3AB AD =u u u r u u u r Q ，AC AF λ=u u ur u u u r ，13AD AB ∴=u u u r u u u r ，1AF AC λ=u u u r u u u r ，()11111333EF ED AD AF ED AB AC ED AC AB ACλλ⎛⎫∴=-+=-+=+-+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11133ED BC AC λ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r，ABC QV 是锐角三角形，则ED u u u r 与AC u u ur 不垂直，即0ED AC ⋅≠u u u r u u u r ，1ED =u u u r Q ，6ED BC ⋅=u u u r u u u r，则21111113333ED EF ED ED BC AC ED ED BC ED ACλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=⋅++-=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 11333ED AC λ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，即1103ED AC λ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭u u ur u u u r ， 0ED AC ⋅≠u u u r u u u r Q ，1103λ∴-=，因此，3λ=.三、解答题16．“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）和年龄的中位数（保留一位小数）； （Ⅱ）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中的概率；（Ⅲ）若从所有参与调查的人（人数很多）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望．【解析】（Ⅰ）由10(0.0100.0150.0300.010)1a ⨯=＋＋＋＋，得0.035a =， 平均年龄为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯⨯⨯⨯⨯=＋＋＋＋ （岁）． 设中位数为x 岁，则()100.010100.015350.0350.5x ⨯⨯-⨯=＋＋，解得42.1x ≈， 故这200人年龄的中位数为42.1岁（Ⅱ）易知从第1，2组中抽取的人数分别为2，3， 设“抽取的3人中恰有2人的年龄在第2组中”为事件A ，则()12233535C C P A C == （Ⅲ）从所有参与调查的人员中任意选出1人，则其关注生态文明建设的概率为45. 由题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，()30341015125P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ()121344121155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()212341482155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()33346435125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以X 的分布列为 X123P1125121254812564125因为4 3, 5X B⎛⎫⎪⎝⎭:，所以()412355E X=⨯=17．如图，在四棱锥M ABCD-中，AB AD⊥，2AB AM AD===，22MB MD==.（1）证明：AM⊥平面ABCD；（2）若E是BM的中点，//CD AB，2CD AB=，求二面角E CD M--的余弦值.【解析】（1）因为2228AB AM BM+==,所以AB AM⊥,同理可得AD AM⊥.因为AD AB A⋂=,所以AM⊥平面ABCD.（2）因为AB AD⊥,所以AD、AM、AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为2AB AM AD===,所以(0,0,0)A,(2,0,0)D,(0,2,0)M,(0,0,2)B,因为E是BM的中点,所以(0,1,1)E,因为//CD AB,2CD AB=,所以(2,0,1)C,所以(2,1,0)CE=-u u u r,(0,0,1)DC=u u u r.设平面CED的一个法向量为()111,,m x y z=r,由()()111111,,(0,0,1)0,,(2,1,0)0m DC x y zm CE x y z⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩u u u vru u u vr,得11120zx y=⎧⎨-+=⎩,取11x=,得(1,2,0)m=r.取DM 的中点H ,连接AH ,易证AH⊥平面CDM ,则平面CDM 的一个法向量为(1,1,0)n AH ==u u u rr .设二面角E CD M --的平面角为θ,由图知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以||cos ||||10m n m n θ⋅===⋅r r r r , 所以二面角E CD M --18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N L 【解析】(1)由题意可得：1112432332a d a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=+⎪⎩，解得：102a d =⎧⎨=⎩， 则数列{}n a 的通项公式为22n a n =- .其前n 项和()()02212n n n S nn +-⨯==-.则()()()()1,1,12n n n nn b n n b n n b -++++++成等比数列，即：()()()()21112n n n n n b n n b n n b ++=-+⨯+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，据此有：()()()()()()()()2222121112121n n n n nn n n n b b n n n n n n b n n b b ++++=-++++++-+， 故()()()()()22112121(1)(1)(1)(2)n n n n n n b n n n n n n n n n +--++==++++--+. (2)结合(1)中的通项公式可得：2n C ==<=<=，则)122022n C C C +++<+++=L L 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，过(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，抛物线C 在,A B 两点处的切线相互垂直.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点P 为抛物线C 上异于,A B 的点，直线,AP BP 均不与x 轴平行，且直线AP 和BP 交抛物线C 的准线分别于,M N 两点，4AQ QB =u u u r u u u r .（i ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）求||MN 的最小值.【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y .抛物线C 的方程可化为2,2x x y y p p'==. 抛物线C 在,A B 两点处的切线的斜率分别为212121212122,,1,x x x x k k k k x x p p p p==∴==-=-. 由题可知直线l 的斜率存在，故可设直线1的方程为1y kx =+，联立212y kx x py=+⎧⎨=⎩，消去y 可得2220x pkx p --=， 122x x p ∴=-.2122x x p p ∴=-=-，解得2p =.∴抛物线C 的标准方程为24x y =；（2）（i ）由（1）可得12124,4x x k x x +==- 由4AQ QB =u u u r u u u r ，可得124x x =-，又点A 在第一象限，解得1234,1,4x x k ==-=. ∴直线AB 的斜率为34；（ii ）由（i ）易知1(4,4),1,4A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 设()()()00,,,,,M M N N P x y M x y N x y ，则2004x y =. 由题可知0,0AP BP k k ≠≠，故04x ≠-且01x ≠.∴直线AP 的斜率200044444APx x k x -+==-，同理可得014BP x k -=. ∴直线04:4(4)4x AP y x +-=-，当1y =-时，00444M x x x -=+. 直线011:(1)44x BP y x --=+，当1y =-时，00045111N x x x x +=-+=--. 0000444||41M N x x MN x x x x -+∴=-=++-.令00444,||||41||x m MN m m x m m +=∴=+=+=-…， 当且仅当||2m =，即00421x x +=-，也即06x =或023x =-时，||MN 取得最小值4. 20．已知函数ln ()x x f x xe x=+. （Ⅰ）求证：函数()f x 有唯一零点；（Ⅱ）若对任意(0,)x ∈+∞，ln 1x xe x kx -≥+恒成立，求实数k 的取值范围.【解析】（I ）()()21ln '1x x f x x e x-=++， 易知()'f x 在()0e ，上为正，因此()f x 在区间()01，上为增函数，又1210e e e f e e -⎛⎫=< ⎪⎝⎭，0f I e =>（） 因此10f f I e ⎛⎫<⎪⎝⎭（），即()f x 在区间()01，上恰有一个零点， 由题可知()0f x >在()1+∞，上恒成立，即在()1+∞，上无零点， 则()f x 在()0+∞，上存在唯一零点．（II ）设()f x 的零点为0x ，即0000ln 0x x x e x +=．原不等式可化为ln 1x xe x k x --≥， 令()ln 1x xe x g x x --=，则()ln 'x x xe x g x x+=，由（I ）可知()g x 在()00x ，上单调递减， 在()0x ，+∞上单调递增，故只求()0g x ，，设00x x e t =， 下面分析0000ln 0x x x e x +=，设00x x e t =，则00ln x t x =-， 可得0000lnx tx lnx x lnt=-⎧⎨+=⎩，即()01ln x t t -= 若1t >，等式左负右正不相等，若1t <，等式左正右负不相等，只能1t =．因此()0000000ln 1ln 1x x e x x g x x x --==-=，即1k …求所求．。
2024年高考数学临考押题卷01(全解全析)(新高考通用)
2024年高考数学临考押题卷01（新高考通用）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若2i23ia +-为纯虚数，R a ∈，则=a （）A ．3B ．4C ．-3D ．-4【答案】A【分析】由复数除法运算化简复数，结合复数是纯虚数列方程解出参数a 即可.【详解】因为()()()2i 23i 2634i2i 23i 1313a a a a ++-+++==-为纯虚数，所以260340a a -=⎧⎨+≠⎩，解得3a =.故选：A.2．已知平面向量()1,3a x x =--- ，()1,2b x =+ ，4a b ⋅=- ，则2a b + 与b 的夹角为（）A ．π3B ．π4C ．2π3D ．3π4【答案】B【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标运算可得=1x -，再由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()()()41123412,2a b x x x x a ⋅=-⇒-+-+=-⇒=-⇒=- ，()()0,222,2b a b =⇒+=，(2)cos2,|2|||a b ba b ba b b+⋅∴〈+〉==+r rrr rrr rr2,[0,π]a b b〈+〉∈r rrQ，.π2,4a b b∴+=．故选：B3．甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（）A．120种B．240种C．360种D．480种【答案】C【分析】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，再将这两个空位分一起和分开插入4人之间和两侧空位，即可得解.【详解】先假设每个人坐一个位置相当于去掉4个位置，再将4个人中间任意两个人之间放入2个空位，此时空位一共还剩2个，若将这两个空位连在一起插入4人之间和两侧空位，有5种放法；若将这两个空位分开插入4人之间和两侧空位，有2522A10A=种放法，故不同的就座方法共有()44A510360⨯+=种.故选：C.4．已知点()4,4M在抛物线C：22y px=（0p>）上，F为C的焦点，直线MF与C的准线相交于点N，则NF=（）A．203B．103C．152D．154【答案】B【分析】代点计算可得抛物线方程，即可得焦点纵坐标与准线方程，即可得直线MF的方程，求出两直线交点，即可得N点坐标，结合两点距离公式即可得解.【详解】由()4,4M，有1624p=⨯，即2p=，即抛物线C：24y x=，则()1,0F，准线方程为：=1x-，故()4:141MFl y x=--，整理得44:33MFl y x=-，令=1x -，则448333y =--=-，即81,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则103NF ==.故选：B.5．已知ABC 的内角, , A B C 的对边分别为, , ,a b c 若面积()22,3a b c S +-=则sin C =（）A ．2425B ．45C ．35D ．725【答案】A【分析】先利用余弦定理的变形：2222cos a b c ab C +-=，结合三角形的面积公式in 12s S ab C =，可把条件转化为：4cos 43sin C C +=，再根据同角三角函数的基本关系和三角形中sin 0C >，可求得sin C .【详解】因为in 12s S ab C =，所以()221sin 23a b c ab C +-=22223a b c ab +-+=，又由2222cos c a b ab C =+-⇒2222cos a b c ab C +-=，所以12cos 2sin 23ab C abab C +=⇒4cos 43sin C C +=.所以4cos 3sin 4C C =-⇒()()224cos 3sin 4C C =-⇒2216cos 9sin 24sin 16C C C =-+⇒()22161sin 9sin 24sin 16C C C -=-+所以225sin 24sin 0C C -=，又因为在ABC 中，sin 0C ≠，所以24sin 25C =.故选：A6．某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为32.25g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.21g/m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r 满足函数模型0.25010()3n tn r r r r +=+-⋅（t ∈R ，*n ∈N ），其中0r 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过30.65g/m 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得0.25(1)2.250.043n n r -=-⨯，由0.65n r ≤，解不等式即可求解.【详解】由题意知30 2.25g/m r =，31 2.21g/m r =，当1n =时，0.251010()3t r r r r +=+-⨯，故0.2531t +=，解得0.25t =-，所以0.25(1)2.250.043n n r -=-⨯．由0.65n r ≤，得0.25(1)340n -≥，即lg 400.25(1)lg 3n -≥，得4(12lg 2)114.33lg 3n +≥+≈，又*n ∈N ，所以15n ≥，故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次．故选：D7．记数列{}n a 的前n 项积为n T ，设甲：{}n a 为等比数列，乙：2n n T ⎧⎫⎨⎩⎭为等比数列，则（）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用等比数列通项公式、等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解.【详解】若{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则11n n a a q -=，(1)12(1)211n n n n n n T a q a q-+++-== ，于是(1)12()22n n n n n T a q -=，(1)111211(1)12()222()22n n n n n n n n n n n T a qa q T a q ++++-==⋅，当1q ≠时，12n a q ⋅不是常数，此时数列2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等比数列，则甲不是乙的充分条件；若2n n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，令首项为1b ，公比为p ，则112n n n T b p -=，112(2)n n T b p -=⋅，于是当2n ≥时，112112(2)22(2)n n n n n T b p a p T b p ---⋅===⋅，而1112a T b ==，当1b p ≠时，{}n a 不是等比数列，即甲不是乙的必要条件，所以甲是乙的既不充分也不必要条件.8．设202310121011a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，202510131012b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列关系正确的是（）A ．2e a b <<B ．2e b a<<C ．2e a b <<D ．2e b a <<【答案】B【分析】由题意可得10121ln 2023ln(210111)ln(1)10111011a ==⨯++、10131ln 2025ln(210121)ln(1)10121012b ==⨯++，构造函数1()(21)ln(1)(21)[ln(1)ln ](1)f x x x x x x x=++=++->、2()ln(1)(0)2xh x x x x =+->+，利用导数讨论两个函数的单调性可得a b >、2e b >，即可求解.【详解】10121ln 2023ln(210111)ln(1)10111011a ==⨯++，10131ln 2025ln(210121)ln(1)10121012b ==⨯++，设函数1()(21)ln(1)(21)[ln(1)ln ](1)f x x x x x x x=++=++->，则2111121()2ln(1)2ln (21)()2ln(1)()111f x x x x x x x x x x'=+-++-=+-⋅+++，设22()2ln(1)(01)1x xg x x x x+=+-<<+，则22()0(1)x g x x '=-<+，所以()g x 在(0,1)上单调递减，且()(0)0g x g <=，即()0f x '<，所以()f x 在(1,)+∞上单调递减，则(1011)(1012)f f >，即ln ln a b >，所以a b >.设2()ln(1)(0)2x h x x x x =+->+，则22214()01(1)(1)(2)x h x x x x x '=-=>++++，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，且1()(0)0h h x>=，即21(21)ln(1)2112()2ln(1)ln(1)012121212x f x xx x x x x x x++--+-=+-==>++++，得()2f x >，所以(1012)2f >，即ln 2b >，解得2e b >.综上，2e b a <<.故选：B【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。
2020年高考数学(理)临考押题卷(解析版)(02)
2020年高考临考押题卷（六）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．若集合A={x|x ﹣1＜5}，B={x|﹣4x+8＜0}，则A∩B=（ ） A ．{x|x ＜6} B ．{x|x ＞2}C ．{x|2＜x ＜6}D ．∅【答案】C【解析集合A={x|x ﹣1＜5}={x|x ＜6}， 集合B={x|﹣4x+8＜0}={x|x ＞2}， 所以A∩B={x|2＜x ＜6}2．若复数23201934134i z i i i i i-=+++++++L ，则复数z 对应的点在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】z ＝1+i+i 2+i 3+…+i 2019+3434i i-+＝（1+i ﹣1﹣i ）+…+（1+i ﹣1﹣i ）+534i + ＝0+5(34)(34)(34)i i i -+-＝345i-，∴复数z 对应的点在第四象限．3．已知非零向量,a b r r ,满足||4||,a b =r r ||[1b ∈r 且()1,a b b -⋅=r r u r 记θ是向量a r 与b r 的夹角，则θ的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．13D ．3π 【答案】D【解析】由题意知非零向量a r ，b r 满足4||||b a =r r，b ∈r 且()1,a b b -⋅=r r u r ，可得21a b b -=r r r g ，即2cos 1a b b θ=+r r r g ，所以22221111cos 444b b a b bb θ++===+r r r r r r g因为b ⎡∈⎣r ，所以[]21,3b ∈r ，所以21111cos ,4324b θ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦r 因为[]0,θπ∈，且余弦函数cos y x =在[]0,π上单调递减， 所以min 3πθ=4．为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移512π个单位 B ．向右平移512π个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】B【解析】因为sin26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且cos2y x ==sin 22x π⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭， 所以由φ4x π++=6x π-，知5φ6412πππ=--=-，即只需将cos2y x =的图像向右平移512π个单位，故选B5．已知3log 0.8a =，0.83b =， 2.10.3c =，则（ ） A ．a ab c << B ．ac b c << C ．ab a c << D ．c ac b <<【答案】C【解析】33log 0.8log 10a =<=,0.80331b =>=,()2.10.30,0.3c =∈,故0a <,1b >,01c <<.对A,若()10a ab a b <⇒-<,不成立.故A 错误. 对B,因为1c b <<,故B 错误. 对C, ab a c <<成立.对D, 因为0ac c <<,故D 错误.6．函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】函数()ln |||sin |f x x x =+（,x ππ-≤≤且0x ≠）是偶函数，排除B ； 当0x >时，()ln sin f x x x =+， 可得：()1cos f x x x '=+，令1cos 0x x+=， 作出1y x=与cos y x =-图像如图：可知两个函数有一个交点，就是函数的一个极值点，()ln 1fππ=>，排除C ；当0x x =时，()00f x '=，故()00,x x ∈时，函数()f x 单调递增，()0,x x π∈时，函数()f x 单调递减，排除A7．甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制.在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在某局比赛中，甲发球赢球的概率为12，甲接发球贏球的概率为25，则在比分为10:10后甲先发球的情况下，甲以13:11赢下此局的概率为（ ） A ．225B ．310C ．110D ．325【答案】C【解析】分两种情况：①后四球胜方依次为甲乙甲甲,概率为113123252550P =⋅⋅⋅=； ②后四球胜方依次为乙甲甲甲,概率为212121252525P =⋅⋅⋅=. 所以,所求事件概率为：12110P P +=. 8．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．136π+ C ．12π+D ．1233π+ 【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体， 如图所示；则该组合体的体积为21111111212323436V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+； 所以对应不规则几何体的体积为136π+．故选B ．9．如图的框图中，若输入1516x =，则输出的i 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】输入1516x =,0i =,进入循环体： 15721168x =⨯-=,011i =+=,0x =判定为否； 732184x =⨯-=,112i =+=,0x =判定为否；312142x =⨯-=,213i =+=,0x =判定为否；12102x =⨯-=,314i =+=,0x =判定为是；输出4i =.10．已知函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩，()3g x x =，则方程()()1f x g x =-所有根的和等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设点(),x y 是函数lg ,1y x x =≥图象上任意一点，它关于点()1,0的对称点为()'',x y ，则22,0x x x x y y y y+==-⎧⎧∴⎨⎨+=='-''⎩'⎩，代入lg y x =， 得()()'''''lg 2,lg 2,1y x y x x -=-∴=--≤.∴函数lg ,1y x x =≥的图象与函数()lg 2,1y x x =--≤的图象关于点()1,0对称，即函数()()lg ,1lg 2,1x x f x x x ≥⎧=⎨--<⎩的图象关于点()1,0对称，易知函数()f x 在定义域R 上单调递增.又函数()3g x x =的图象关于原点()0,0对称，∴函数()1y g x =-的图象关于点()1,0对称，且函数()1y g x =-在定义域R 上单调递增.又()()0111,1f g x =-=∴=是方程()()1f x g x =-的一个根.当1x ≥时，令()()()()31lg 1h x x x g x f x -=--=-，则()h x 在[)1,+∞上单调递减.()()33331313lg 210,lg lg lg100,202222822h h h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<=-=-=>∴< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=Q ，根据零点存在定理，可得()h x 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点1x ，根据()h x 的单调性知()h x 在()1,+∞上有且只有一个零点1x ，即方程()()1f x g x =-在()1,+∞上有且只有一个根1x .根据图象的对称性可知方程()()1f x g x =-在(),1-∞上有且只有一个根2x ，且122x x +=. 故方程()()1f x g x =-所有根的和等于1213x x ++=.11．F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r，则C 的离心率是（ ） A．3B．3CD ．2【答案】A【解析】由题意得,2,3;,2AF b BF b AB b OA a OB a =====，因此222222224(2)(3)33()3a a b a b c a e e =+⇒==-⇒=⇒=3，选A. 12．已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A ．21[3,]3e -- B ．2[,)e +∞ C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞【答案】B【解析】由题意，函数()(1)xf x e x =-的导数为()xf x xe '=，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x 为单调递增； 当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减， 即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，又由()2223,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -， 由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，可得2[1,][3,]e m m -⊆-，即为231m m e-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B. 二、填空题13． 曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-= 【解析】1'sin 2y x =--， 当0x =时其值为12-， 故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=． 14．()2521x x +-的展开式中x 的系数是______. 【答案】5【解析】()()()()55542212521121C 12x x x x x x x ⎡⎤+-=-+=-+-⋅+⎣⎦Q L ，x \的系数为()445C 15-=.15．如图，在平面直角坐标系xOy ，中心在原点的椭圆与双曲线交于,,,A B C D 四点，且它们具有相同的焦点12,F F ，点12,F F 分别在,AD BC 上，则椭圆与双曲线离心率之积12e e ⋅=______________.【答案】1【解析】设椭圆和双曲线方程分别为()221122111,0x y a b a b+=>>，()222222221,,0x y a b a b -=>设点()0,B c y ，由点B 既在椭圆上也在双曲线上，则有2202211222111y c a b a c b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得22221101111b ac c y a a a a -===- 2202222222221y c a b c a b ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，解得22222202222b c a c y a a a a -===- 则()22212121212c a a c c a a a a a a ++=+=，即2121211c c c a a a a ⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭121e e ∴=16．如图，四棱锥P ABCD -中，底面为四边形ABCD .其中ACD V 为正三角形，又3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.设三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的体积分别是12,V V ，三棱锥P ABD -，三棱锥P ACD -的外接球的表面积分别是12,S S .对于以下结论：①12V V <；②12V V =；③12V V >；④12S S <；⑤12S S =；⑥12S S >.其中正确命题的序号为______.【答案】①⑤【解析】不妨设2AD =,又ACD V 为正三角形,由3DA DB DB DC DB AB ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,得()0DA DB DB DC DB DA DC DB CA ⋅-⋅=⋅-=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,即有DB AC ⊥，所以30ADB CDB ∠=∠=︒.又3DB DC DB AB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得()2333DB DC DB DB DA DB DB DA ⋅=⋅-=-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,又DB DC DB DA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r,故2344cos30DB DB DA DB DA =⋅=⋅⋅︒u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.化简可以得DB =,∴90DAB ∠=︒,易得ABD ACD S S <△△,故12V V <.故①正确. 又由于60ADB ACD ∠=∠=︒,所以ABD △与ACD V 的外接圆相同（四点共圆）,所以三棱锥P ABD -,三棱锥P ACD -的外接球相同,所以12S S =.故⑤正确. 三、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22,n n S a n N =-∈.（1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）设数列2{}na 的前n 项和为n T ，求证：2nnS T 为定值； （3）判断数列{}3nn a -中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论. 【解析】（1）当1n =时，1122,S a =-，解得12a =.当2n ≥时，()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，即12n n a a -=. 因为10a ≠，所以12nn a a -=，从而数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =. （2）因为()2224n nna ==，所以2124n na a +=， 故数列{}2n a 是以4为首项，4为公比的等比数列， 从而()()2221224112nnnS-==--，()()414441143n nn T -==--，所以232n n S T =. （3）假设{}3nn a -中存在第,,()m n k m n k <<项成等差数列，则()2333nm kn m k a a a -=-+-，即()233232nm m k kn a -=-+-.因为m n k <<，且*,,m n k N ∈，所以1n k +≤.因为()112332323232n m m k k m m n n n a ++-=-+-≥-+-，所以332n m m -≥-，故矛盾，所以数列{}3nn a -中不存在三项成等差数列.18．已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF ∥平面PQB . （2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --5？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）证法1：在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,易知四边形MNQP 是平行四边形,所以MN PQ P ,联结,,FM MN NE , 则AE ND =,且AE ND P所以四边形ADNE 为矩形,故AD NE P ,同理,FM BC AD P P且NE MF AD ==,故四边形FMNE 是平行四边形,所以EF MN P ,所以EF PQ P 故,,,E F P Q 四点共面又EF PQ P ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ , 所以EF P 平面PQB .证法2：因为直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,∴AC BD ⊥,1AA ⊥底面ABCD ,设,AC BD 交点为O ,以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则有()2,0,0A ,()0,1,0B ,()2,0,0C -,()0,1,0D -,设BF a =,[]1,3a ∈,则()2,0,1E a -,()0,1,F a ,()2,0,1P a -+,()0,1,Q a -,()2,1,1EF =-u u u r ,()2,1,1QP =-u u u r ,所以EF PQ P ,故,,,E F P Q 四点共面.又EF PQ P ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF P 平面PQB .（2）平面EFPQ 中向量()2,1,1EF =-u u u r ,()2,1,1EQ =--u u u r ,设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,x y z ,则1111112020x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩,可得其一个法向量为()11,0,2n =u r . 平面BPQ 中,()2,1,1BP a =--+u u u r ,()0,2,BQ a =-u u u r ,设平面BPQ 的一个法向量为()222,,n x y z =r ,则()2222221020x y a z y az ⎧--++=⎨-+=⎩,所以取其一个法向量()22,2,4n a a =+u u r . 若()1212225cos ,5216n n n n a a ⋅==⋅+++u r u u r u r u u r则()2210548a a a +=++, 即有24230a a --=,[]1,3a ∈,解得[]2321,3a =±,故不存在点P 使之成立.19．已知圆221:2C x y +=，圆222:4C x y +=，如图，12,C C 分别交x 轴正半轴于点,E A .射线OD 分别交12,C C 于点,B D ，动点P 满足直线BP 与y 轴垂直，直线DP 与x 轴垂直.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点E 作直线l 交曲线C 与点,M N ，射线OH l ⊥与点H ，且交曲线C 于点Q .问：211MN OQ +的值是否是定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由.【解析】方法一：（1）如图设BOE α∠=,则()22B αα ()2cos ,2sin D αα,所以2cos P x α=,2P y α=.所以动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=. 方法二：（1）当射线OD 的斜率存在时,设斜率为k ,OD 方程为y kx =,由222y kx x y =⎧⎨+=⎩得2221P y k =+,同理得2241P x k =+,所以2224P P x y +=即有动点P 的轨迹C 的方程为22142x y +=.当射线OD 的斜率不存在时,点()0,2±也满足. （2）由（1）可知E 为C 的焦点,设直线l 的方程为2x my =+（斜率不为0时）且设点()11,M x y ,()22,N x y ,由22224x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222220m y my ++-= 所以121222222m y y y y m ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩,所以()2221212411m MN m m y y +==++- 又射线OQ 方程为y mx =-,带入椭圆C 的方程得()2224x my +=,即22412Q x m=+ 222412Q m y m=+,()22211241m m OQ +=+ 所以()()2222211212344141m m MN m m OQ +++=+=++ 又当直线l 的斜率为0时,也符合条件.综上,211MN OQ +为定值,且为34. 20．某工厂A ，B 两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下，通过日常监控得知，A ，B 生产线生产的产品为合格品的概率分别为p 和21(0.51)p p -≤≤．（1）从A ，B 生产线上各抽检一件产品，若使得产品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p 的最小值0p ；（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．①已知A ，B 生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元，若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线的挽回损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件可分别获利10元、8元、6元，现从A ，B 生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测，结果统计如图所示，用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X ，求X 的分布列并估计该厂产量2000件时利润的期望值．【解析】（1）设从A ，B 生产线上各抽检一件产品，至少有一件合格为事件C ，从A ，B 生产线上抽检到合格品分别为事件M ，N ，由题知，M ，N 互为独立事件，所以()P M p =，()21P N p =-， ()1()1()()P C P M N P M P N =-⋅=-⋅21(1)[1(21)]12(1)p p p =----=--，令212(1)0.995p --…，解得0.95p …，故p 的最小值00.95p =． （2）由（1）可知，A ，B 生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9，不合格品率分别为0.05和0.1．①由题知，A 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.0550⨯=（件），可挽回损失为505250⨯=（元），B 生产线上随机抽检1000件产品，估计不合格品10000.1100⨯=（件），可挽回损失为1003300⨯=（元）．由此，估计B 生产线挽回的平均损失较多．②由题知，X 的所有可能取值为6，8，10，用样本的频率分布估计总体分布，则20259(6)20040P X +===，60401(8)2002P X +===， 203511(10)20040P X +===， 所以X 的分布列为所以9111()68108.140240E X =⨯+⨯+⨯=（元）． 故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为20008.116200⨯=（元）．21．已知函数()ln f x a x x a =-+，()ln g x kx x x b =--，其中,,a b k R ∈.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]1,a e ∈，任意[]1,x e ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立时最大的k 记为c ，当[]1,b e ∈时，b c +的取值范围.【解析】（1）∵()()ln 0,f x a x x a x a R =-+>∈∴()1a a x f x x x-'=-=,∵0x >,a R ∈ ∴①当0a ≤时,()f x 的减区间为()0,∞+,没有增区间②当0a >时,()f x 的增区间为()0,a ,减区间为(),a +∞（2）原不等式()1ln ln a x x x x b k x+-++⇔≤. ∵[]1,a e ∈,[]1,x e ∈,∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x b x x +-+++-++≥, 令()()21ln ln ln x x x x b x x b g x g x x x+-++-+-'=⇒=, 令()()1ln 1p x x x b p x x'=-+-⇒=-+ ()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；①当()10p ≥时,即1b ≤,∵[]1,b e ∈,所以1b =时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≥⇒≥,∴()g x 在[]1,e 上递增；∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.②当()0p e ≤,即[]1,b e e ∈-时[]1,x e ∈,()()00p x g x '≤⇒≤,∴()g x 在[]1,e 上递减；∴()()min 2212,1b b c g x g e b c b e e e e ee ++⎡⎤===⇒+=+∈+++⎢⎥⎣⎦ ③当()()10p p e <时,又()ln p x x x b =-+-在()1,e 上递增；存在唯一实数()01,x e ∈,使得()00p x =,即00ln b x x =-，则当()01,x x ∈时()()00p x g x '⇒<⇒<.当()0,x x e ∈时()()00p x g x '⇒>⇒>.∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===. ∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+. 令()()()11ln 10x h x x x h x h x x x -'=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增, ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈,∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭. 综上所述,22,1b c e e ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系相同的长度单位.圆C的方程为,l ρθ=被圆C 截得的.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A B 、，若点P的坐标为(m ，且0m >，求PA PB +的值.【解析】（Ⅰ）由ρθ=得220,x y +-=即(225x y +-=.直线的普通方程为0x y m +-=， 被圆C=解得33m m ==-或. （Ⅱ）法1：当3m =时，将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得，())2235-+=，即2220t -+=，由于(24420∆=-⨯=>，故可设12t t ，是上述方程的两实根，所以12121t t t t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩又直线l过点(P ，故由上式及t 的几何意义得，PA PB += 122(|t |+|t |)= 122(t +t )=法2：当3m =时点(3P ，易知点P 在直线l 上.又2235+>，所以点P 在圆外.联立(22530x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y 得，2320x x -+=.不妨设((2A B ，、，所以PA PB +==23．已知()2121f x x x =++-.（Ⅰ）解不等式()(1)f x f >；（Ⅱ）若不等式11()(0,0)f x m n m n ≥+>>对任意x ∈R 的都成立，证明：43m n +≥. 【解析】（Ⅰ）()()1f x f >就是21215x x ++->.（1）当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >. (2)当112x -≤≤时，()()21215x x +-->，得35>，不成立. （3）当1x <-时，()()21215x x -+-->，得32x <-. 综上可知，不等式()()1f x f >的解集是()312⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，，. （Ⅱ）因为()()2121222122213x x x x x x ++-=++-≥+--=， 所以113m n+≤. 因为0m >，0n >时，11m n +≥3≤23≥.所以43m n +≥≥.。
临考押题卷04-2020年高考数学(理)临考押题卷(考试版)_1
绝密★启用前|学科网试题命制中心2020年高考临考押题卷（四）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，15zi i =+，则复数z 的虚部为( ) A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．已知集合{}43A x x =-<-≤，()(){}250B x x x =-+<，则A B =I （ ） A ．()5,4-B ．()3,2-C ．()2,4D ．[)3,2-3．某部门将4名员工安排在三个不同的岗位，每名员工一个岗位，每个岗位至少安排一名员工，且甲乙两人不安排在同一岗位，则不同的安排方法共有（ ） A ．66种B ．36种C ．30种D ．24种4．若a r =2，b r =2，且（a b -v r ）a ⊥r ，则a r 与b v 的夹角是A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 5．将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增 B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减 C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 6．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A ．116B ．164C ．2 D ．2 7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．10．在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,10]C ．(2,4]D ．(4,)+∞11．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 3的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1412．“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．120,4⎧⎪⎡⎫⎨⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭U B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．120,4⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=_____________.14．一个质量均匀的正四面体的表面上分别标有1，2，3，4，设函数22()2f x x bx c =---，若b ，c 是先后抛掷该正四面体两次得到的朝下面上的数字，则x ∀∈R ，()0f x <恒成立的概率为__________. 15．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点，Q 是线段PF 上的点，且2PQ QF =u u u r u u u r，则直线OQ 的斜率的最大值为______.16．母线长为233的圆锥内有一球O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入__________个．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{}n a 的前n 项和()*n S n N∈满足21nn Sa =-，数列{}nb 满足22log n n b a =+．(Ⅰ)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； (Ⅱ)令nn nb c a =，若221n c x x ≤--对于一切的正整数n 恒成立，求实数x 的取值范围； (Ⅲ)数列{}n a 中是否存在,,(m n k a a a m n k <<，且 *,,)m n k N ∈使m a ，n a ，k a 成等差数列？若存在，求出,,m n k 的值；若不存在，请说明理由．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=︒，2AB AC PA ===.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）过AC 的平面交PD 于点M ，若平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分，求二面角M PC B --的余弦值.19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，点(0,1)M 在椭圆E 上，过点(2,0)N 作斜率为22的直线恰好与椭圆E 有且仅有一个公共点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点P 为椭圆E 的长轴上的一个动点，过点P 作斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，是否存在常数k ，使2221||,,||2a PA PB +成等差数列？若存在，求出k 的值：若不存在，请说明理由.20．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x 元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？ 附参考数据：6.92 2.63≈，若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=.21．已知函数．Ⅰ若函数的最大值为3，求实数的值； Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围；Ⅲ若，是函数的两个零点，且，求证：．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)．在以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为5ρθ=.(1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标为5)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值．23．已知函数()|||2|f x x a x b =-++，,a b ∈R . （1）若1a =，1b =-，求不等式()5f x ≤的解集； （2）若0ab >，且()f x 的最小值为2，求21a b+的最小值.。
临考押题卷02-2020年高考数学(理)临考押题卷(解析版)
2020年高考临考押题卷（二）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．已知集合|1A x y x ⎧==⎨-⎩，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =I （ ） A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】D【解析】由题意得集合()1,A =+∞，所以{}2,3A B ⋂=． 故选：D. 2．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） A 13B ．13C ．10D 10【答案】A【解析】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a i a R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩， 即222,|3|313a ai a =--=+=本题选择A 选项. 3．已知a R ∈，则“1104a +<”是“210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】一方面，110404a a +<⇔-<<， 另一方面，210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立40a ⇔-<≤， 所以“1104a +<”是“210ax ax +-<对x R ∀∈恒成立”的充分不必要条件． 故选：B ．4．设平面向量()2,1a =-v，(),2b λ=v，若a v 与b v的夹角为锐角，则λ的取值范围是（ ） A ．()1,22,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭B ．()(),44,1-∞--UC ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】B【解析】因为a r 与b r的夹角为锐角， 所以()cos ,0,1a b ∈r r，向量()2,1a =-r ，(),2b λ=r，所以()2cos ,0,154a b a b a b λ⋅==⋅+r rr r r r ， 整理得22208160λλλ-+>⎧⎨++>⎩，14λλ<⎧⎨≠-⎩， 所以λ的范围为()(),44,1-∞--U . 故选：B.5．如图，在ABC V 中，1cos 4BAC ∠=，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，15AD =，则ABC V 的面积的最大值为（ ）A ．32B ．4C 15D ．3【答案】C【解析】设BAD θ∠=，则0BAC θ<<∠．3BD DC =Q ，152AD =，34ABD ABC S S ∴=V V ，131242AB ADsin AB ACsin BAC θ∴⋅=⋅⋅∠，83AC sin θ∴=，同理()8AB sin BAC θ=∠-，()181581515124ABC S AB ACsin BAC sin BAC sin θθθθθ⎫∴=⋅∠=∠-=-⎪⎪⎝⎭V ()15421(sin θϕ⎤=+-⎦其中15tan ϕ=， 0BAC θ<<∠Q ，∴当22πθϕ+=时，sin(2)1max θϕ+=，()15ABC max S ∴=V故选：C ．6．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π【答案】C 【解析】∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅⎪⎝⎭. 22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π. 故选：C.7．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为$$0.042y x a=+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C 【解析】1(12345)35x =⨯++++=，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++= 点()3,0.1在直线ˆˆ0.042yx a =+上 ˆ0.10.0423a=⨯+，ˆ0.026a =-ˆ0.0420.026yx =- 令ˆ0.0420.0260.5yx =-> 13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月， 故选：C8．函数2211()sin f x x x x π=+-在区间[]2,2ππ-上的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题可得2211()sin f x x x x π=+-是偶函数，排除A,D 两个选项， ()0,f π=当(0,)x π∈时，2211sin 0,x x x π>>，()0f x >， 当(,2)x ππ∈时，2211sin 0,x x x π<<，()0f x <， 所以当(2,2)x ππ∈-时，()f x 仅有一个零点. 故选：C9．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈3 2 是 第二圈7 3 是 第三圈15 4 是 第四圈31 5 否 故最后当i ＜5时退出， 故选B ．10．已知函数1,(0)()ln 2,(0)x xe x f x x x x ⎧+≤=⎨-->⎩，若函数()y f x a =-至多有2个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,1(1,)e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭UC ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．[1,1]e +【答案】B【解析】由()0f x a -=，得()f x a =，1x y xe =+ 0x ≤()1x y x e '=+，当1x =-时，0y '=，当(),1x ∈-∞-时，0y '<，函数单调递减， 当()1,0x ∈-时，0y '> ，函数单调递增，所以0x ≤时，函数的最小值()111f e-=-，且()01f = ln 2y x x =-- ，0x >，11y x'=-，当1x =时，0y '=， 当()0,1x ∈时，0y '<，函数单调递减， 当()1,x ∈+∞时，0y '>，函数单调递增， 所以0x >时，函数的最小值()11f =-，作出函数()y f x =与y a =的图象，观察他们的交点情况，可知，11a e<-或1a >时，至多有两个交点满足题意，故选：B.11．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A ．1y x =+或1y x =-- B ．1122y x =+或1122y x =--C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+【答案】A【解析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠， 则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切，易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+， 则2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)y x=?.故选：A.12．已知函数2()ln(1)f x m x x mx =++-在(1,)+∞上不单调，则m 的取值范围是（ ） A ．(4,)+∞ B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】A【解析】因为()f x 在(1,)+∞上不单调，所以212m ->，故4m >. 故答案为A二、填空题13．已知πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ=______，cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】12 7210【解析】πtan 11tan 33tan 41tan 2θθθθ+⎛⎫+=⇒=⇒= ⎪-⎝⎭， 22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--=-===++， 2222sin cos 2tan 4sin 22sin cos sin cos tan 15θθθθθθθθθ====++，)27cos 2cos 2sin 224210πθθθ⎛⎫∴-=+=⎪⎝⎭故答案为：12；210. 14．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，那么共有______种不同的志愿者分配方案.(用数字作答) 【答案】21【解析】若甲，乙都参加，则甲只能参加C 项目，乙只能参见A 项目，B 项目有3种方法，若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C 项目，A ，B 项目，有236A =种方法， 若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A 项目，B ，C 项目，有236A =种方法， 若甲不参加，乙不参加，有336A =种方法，根据分类计数原理，共有366621+++=种． 故答案为：21.15．已知实数x ，y 满足22911x y x y ⎧+≤⎪≥⎨⎪≥⎩，则5yx -的取值范围为____________．【答案】31[,]44-- 【解析】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，5yx -表示阴影部分内的点(),P x y 与点()5,0M 连线的斜率， 设过点M 的直线与圆229x y +=在第一象限相切于点A ，由图易知5MA MB yk k x ≤≤-． 因为3OA =，5OM =，且OA AM ⊥，所以4AM =，所以34MA k =-． 因为()5,0M ，()1,1B ，所以14MB k =-，所以31454y x -≤≤--， 故5y x -的取值范围为31,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．16．在ABC V 中，8AB =，6BC =，10AC =，P 为ABC V 外一点，满足55PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的外接球的半径为______． 【答案】254【解析】取AC 中点O ，连接,PO BO ，在ABC V 中，8AB =，6BC =，10AC =，所以ABC V 为直角三角形2ABC π∠=，所以5BO AO CO ===，O 为ABC V 所在平面与球形成截面圆的圆心， 又因为55PA PB PC === 所以22,10PO AC PO PC OC ⊥-=，在PBO V 中，222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥，OB 与AC 相交， 则PO ⊥平面ABC ，则球心M 在PO 上， 设球的半径,,10R AM PM R OM R ===-在AMO V 中，22222,25(10)AM AO OM R R =+=+-解得：254R =故答案为：254三、解答题17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2A +sin 2B +sin 2C ＝sin A sin B +sin B sin C +sin C sin A ．（1）证明：△ABC 是正三角形；（2）如图，点D 在边BC 的延长线上，且BC ＝2CD ，AD 7=，求sin ∠BAD 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）32114． 【解析】（1）证明：∵sin 2A +sin 2B +sin 2C ＝sin A sin B +sin B sin C +sin C sin A ∴a 2+b 2+c 2＝ab +ac +bc ，∴2a 2+2b 2+2c 2＝2ab +2ac +2bc ， ∴（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（a ﹣c ）2＝0，∴a ＝b ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形；（2）∵△ABC 是等边三角形，BC ＝2CD ， ∴AC ＝2CD ，∠ACD ＝120°，∴在△ACD 中，由余弦定理，得AD 2＝AC 2+CD 2﹣2AC •CD cos ∠ACD ， ∴7＝4CD 2+CD 2﹣4CD •CD cos120°，∴CD ＝1， 在△ABC 中，BD ＝3CD ＝3， 由正弦定理，得sin ∠BAD 32114BDsinB AD ==． 18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11160,,2BAC A AC A AB AA AB AC ∠=∠=∠===o,点O 是BC的中点.（1）求证:BC ⊥ 平面1A AO ；（2）若11A O =，求直线1BB 与平面11A C B 所成角的正弦值. 【答案】(1) 见解析;(2)21sin 7θ=. 【解析】(1)11111111,,A AC A AB AB AC AA AA A AB A AC A B AC Q ∠=∠===∴∆≅∆∴=.又O Q 为BC 中点，1,AO BC AO BC ∴⊥⊥.又11,,AO AO O AO AO ⋂=⊂Q 平面1,A AO BC ∴⊥平面1A AO .(2)60,2,BAC AB AC O ∠===o Q 为BC 中点，2,1,3BC BO CO AO ∴====.又222111112,1,,AA A O AO A O AA AO A O ==∴+=∴⊥Q .又由（1）知，1,BO AO BO AO ⊥⊥，则以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()13,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1AB C A -.()()1113,1,0,0,1,1C A CA A B ∴===-u u u u r u u u r u u u r.设平面11A C B 的一个法向量为(),,n x y z =r，则30{0x y y z +=-=，令1x =，得()()111,3,3,3,0,1n BB AA =--==-u u u r u u u r r .设1BB 与平面11A C B 的所成角为θ，则11·2321sin 27·BB n BB n θ===u u u r r u u ur r . 19．2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X 服从正态分布(110,144)N ，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσμ-<≤+2)0.9544σ=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．参考公式与临界值表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20()P K k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.828【答案】（1）甲131.5，乙128.5；（2）没有90％的把握；（3）0.0684. 【解析】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128135131.52+=，乙校学生数学成绩的中位数为128129128.52+=，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高．（2）由题意，作出22⨯列联表如下：甲校 乙校 合计 数学成绩优秀 10 7 17 数学成绩不优秀 10 13 23 合计 202040计算得2K的观测值240(1013107)0.9207 2.70620201723k⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有9000的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关． （3）因为~(110,144)X N ，所以110μ=，14412σ=，所以(86134)0.9544P X <≤=，所以10.9544(134)0.02282P X ->==， 由题意可知~(3,0.0228)B ξ，所以30.02280.0684E ξ=⨯=．20．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点()0,1A x 在抛物线C 上，且3AF =.（1）求抛物线C 的方程及0x 的值；（2）设点O 为坐标原点，过抛物线C 的焦点F 作斜率为34的直线l 交抛物线于()11,M x y ，()()2212,N x y x x <两点，点Q 为抛物线C 上异于M 、N 的一点，若OQ OM tON =+u u u r u u u u r u u u r，求实数t 的值.【答案】（1）28x y =，022x =±2）32t =【解析】（1）由题意知，抛物线的准线方程为：2p y =-根据抛物线的定义，132pAF =+=，所以4p =， 故抛物线方程为28x y =，点(0,2)F 当1y =时，022x =±（2）由（1）知，直线l 的方程为324y x =+， 联立28324x y y x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得26061x x -=-，解得12x =-，28x = 所以12,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()8,8N 设点Q 的坐标为()33,x y ，则OQ OM tON =+u u u r u u u u r u u u r得()()3311,2,8,882,822x y t t t ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，3382182x t y t =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，又因为点Q 在抛物线28x y =上，所以()2182882t t ⎛⎫-=+⎪⎝⎭解得32t =或0t =（舍去）. 21．已知函数f （x ）＝（x ﹣a ）cosx ﹣sinx ，g （x ）13=x 312-ax 2，a ∈R （1）当a ＝1时，求函数y ＝f （x ）在区间（0，2π）上零点的个数； （2）令F （x ）＝f （x ）+g （x ），试讨论函数y ＝F （x ）极值点的个数． 【答案】（1）零点的个数为0，（2）无极值．【解析】（1）当1a =时，()(1)cos sin f x x x x =--， ∴()(1)sin f x x x =-+'，因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0x >，所以当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，当12x π<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数取得最大值(1)sin10f =-<， 所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上零点的个数为0； （2）()()()F x f x g x =+，()()()()(sin )F x f x g x x a x x '='+'=--，令()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-≥，所以()sin h x x x =-在(,)-∞+∞上为增函数，又(0)0h =， 所以当0x >时，()sin 0h x x x =->， 当0x <时，()sin 0h x x x =-<. ①若0a >时，当0x <时，()0F x '>恒成立，故()F x 在(,0)-∞上单调递增， 当x a >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在(,)a +∞上单调递增， 当0x a <<时，()0F x '<恒成立，故()F x 在(0,)a 上单调递减，故有2个极值； ②若0a <时，当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在(0,)+∞上单调递增， 当x a <时，()0F x '>恒成立，故()F x 在(,)a -∞上单调递增， 当0a x <<时，()0F x '<恒成立，故()F x 在(,0)a 上单调递减， 故有2个极值点；③当0a =时，()(sin )F x x x x '=-，当0x >时，()0F x '>恒成立，故()F x 在(0,)+∞上单调递增， 当0x <时，()0F x '>恒成立，故()F x 在(,0)-∞上单调递增， ∴()F x 在R 上单调递增，无极值点．22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为43,x t y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的参数方程为7,7x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，射线3πθ=与曲线1C 交于点M ，射线6πθ=与曲线2C 交于点N ，求MON ∆的面积（其中O 为坐标原点）. 【答案】(1) 曲线1C :sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,曲线2C ：22(13sin )7ρθ+=.(2)1. 【解析】（1）由曲线1C ：43,,x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），消去参数t 得：34x y =化简极坐标方程为：sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭曲线2C ：7,7,x cos y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数θ得：224177x y+= 化简极坐标方程为：()2213sin 7ρθ+=（2）联立263sin πρθπθ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩ 23ρπθ=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩即2,3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 联立()2213sin 76ρθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩26ρπθ=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩即2,6N π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故11··sin 22sin 12236MON S OM ON MON ππ∆⎛⎫=∠=⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭23．已知函数()|||25|(0)f x x a x a =++->. （1）当2a =时，解不等式()5f x ≥；（2）当[,22]x a a ∈-时，不等式()|4|f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）8{|2}3x x x ≤≥或； （2）13(2,]5. 【解析】（1）当2a =时，()33,252257,22533,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，由()5f x ≥，得2335x x <-⎧⎨-≥⎩，即223x x <-⎧⎪⎨≤-⎪⎩，2x <-或52275x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-≥⎩，即5222x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤⎩，22x -≤≤或52335x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，即5283x x ⎧>⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，83x ≥ 综上：2x ≤或83x ≥， 所以不等式()5f x ≥的解集为8{|2}3x x x 或≤≥. （2）()4f x x ≤+，()254f x x a x x =++-≤+， 因为[],22x a a ∈-，22a a ->， 所以2a >，又[],22x a a ∈-，0x a +>，40x +>， 得254x a x x ++-≤+.不等式恒成立，即254x a -≤-在[],22x a a ∈-时恒成立， 不等式恒成立必须4a ≤，4254a x a -≤-≤-， 解得129a x a +≤≤-. 所以21449a a a a ≥+⎧⎨-≤-⎩，解得1315a ≤≤， 结合24a <≤， 所以1325a <≤， 即a 的取值范围为132,5⎛⎤⎥⎝⎦.。
2020年高考数学临考押题卷(山东专版)(解析版)
2020年高考临考押题卷（六）数学（山东卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．设集合(){}30S x x x =-≤，1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则S T =U ( )A ．[)0,+∞B ．(]1,3C ．[)3,+∞D ．(](),01,-∞+∞U 【答案】D【解析】Q (){}30S x x x =-≤{|3x x =≥或}0x ≤， 1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭{}|1x x =>，{|0S T x x ∴⋃=≤或}1x >(](),01,=-∞⋃+∞，故选D.2．设312iz i-=+，z 的虚部是（ ） A ．75i B ．75C ．75i -D ．75-【答案】B 【解析】因为()()()()31231717=121212555i i i i z i i i i ----===-++- 所以z 的虚部是75故选：B3．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（ ） A ．24 B ．48C ．60D ．96【答案】B【解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数3222322248N A A A A ==，4．在△ABC 中,AB c AC b ==u u ur r u u u r r ,若点D 满足3,BC BD =-u u u r u u u r 则AD =u u ur （ ）A ．4133c b -r rB ．1334c b -r rC ．4133c b -+r rD ．3143c b -+r r【答案】A【解析】ABC ∆中，点D 满足3BC BD =-u u u r u u u r ，AB c =u u ur r ，AC b =u u u r r ，则1141()33333413AD AB BD AB BC AB AC c A AC b B AB =+=-=--=--=r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 5．关于函数tan |||tan |y x x =+有下述四个结论：①y 是偶函数；②y 在(,0)2π-上是减函数；③y 在[,]-ππ上有三个零点；④y 的最小值是0.其中所有正确结论编号是（ ）A ．①②④B ．②③C ．①③D ．①④【答案】A【解析】作出函数()tan |||tan |f x x x =+的图象如图，由图可知，()()tan |||tan |tan |||tan |()f x x x x x f x -=-+-=+=，故()f x 是偶函数，故①正确；()f x 在区间(,0)2π-上单调递减，故②正确；y 在[,]-ππ上有无数个零点，故③错误；y 的最小值是0.，故④正确．故选：A ．6．已知函数()422(1)f x x ax a x =-++-为偶函数，则()f x 的导函数()f x '的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】函数()()4221f x x ax a x =-++-为偶函数，则()()f x f x -=，即：()()42422121x ax a x x ax a x -+--=-++-，据此可得：10,1a a -=∴=，函数的解析式为：()422f x x x =-+，其导函数()3'44f x x x =-+，二阶导函数()()22''124431f x x x =-+=--，()'f x 在3,3⎛-∞- ⎝⎭ 递减，在3333⎛- ⎝⎭递增，在3⎫∞⎪⎪⎝⎭递减，所以 函数()'f x 的极大值为：33338'44329f =-=<⎝⎭， 观察所给的函数图象，只有A 选项符合题意.7．已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的上、下焦点，过点2F 的直线与双曲线的上支交于点P ，若过原点O 作直线2PF 的垂线，垂足为M ，OM a =，23PMF M=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．53y x =±B ．35y x =±C ．43y x =±D ．34y x =?【答案】D【解析】由题意，在直角2OMF ∆中，可得2F M b ==，所以21cos b PF F c∠=， 又因为23PMF M=，所以3PM b =，所以24PF b =，且142PF b a =-， 在12PF F ∆中，由余弦定理可得222212121212cos 2PF F F PF b PF F c PF F F +-∠==⨯⨯()()()2224242242b c b a b c+--=⨯⨯，代入222+=a b c ，解得34a b =， 所以双曲线的渐近线方程为34y x =?. 8．已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．20,e ⎡⎤⎣⎦B ．22,e ⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．[]0,3【答案】D【解析】（1）当1x ≤时,()222f x x kx k =-+，∴()f x 的对称轴为x k =,开口向上①当1k <时,()f x 在(),k -∞递减,(),1k 递增 ∴当x k =时,()f x 有最小值,即()0f k ≥,∴01k ≤< ②当1k ³时,()f x 在(),1-∞上递减 ∴当1x =时,()f x 有最小值,即()10f ≥ ∴10≥显然成立,此时1k ³， ∴当1x ≤时, 0k ≥.（2）当1x >时,()()31xf x x k e e =--+,∴()()xf x x k e '=-①当1k ≤时,()f x 在()1,+∞上递增∴()()310f x f ke e >=-+≥,∴2k e ≤,∴此时1k ≤.②当1k >时,()f x 在()1,k 递减,()k +∞递增∴()()30kf x f k e e ≥=-+≥,∴3k ≤,∴此时13k <≤∴当1x >时, 3k ≤. 综上：0k ≤≤3. 二、多选题9．下列判断正确的是（ ） A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充要条件；C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:，则()1E ξ=； D ．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的系数为20. 【答案】AC【解析】对于A ，随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，所以图象关于1x =对称，根据(4)0.79P ξ=…，可得(4)1(4)0.21P P ξξ=-=厔， 所以(2)(4)0.21P P ξξ-==剠，故A 正确； 对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，若//αβ，则l m ⊥是真命题；若l m ⊥，则//αβ是假命题； 所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件”， 故B 错误；对于C ，随机变量ξ服从二项分布：1~(4,)4B ξ，则1()414E ξ=⨯=，故C 正确；对于D ，若5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则展开式的通项为()515122rrr r T C x y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3r =，则()232334502212T y x y C x ⎪=⎛-⎫=- ⎝⎭，故D 错误． 10．已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式为（ ）A ．a b++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭；C．124aa+≥-+；D22a b≥+【答案】ABCD【解析】对A，0,0,a b a b>>∴+≥≥= Q，当且仅当a b=⎧⎪⎨=⎪⎩，即a b==时，等号成立.故A正确；对B，()110,0,224b aa b a ba b a b⎛⎫>>∴++=++≥+=⎪⎝⎭Q，当且仅当b aa b=，即a b=时等号成立. 故B正确；对C，10,024a aa>∴+>≥-+Q，故C正确；对D，()()()()()()2222233220,0,0a b a b ab a b a b a b a b a ab b>>∴+-+=--=-++≥Q，()()()()2222222222a ba b ab a b a b a bab+∴+≥+∴≥+≥+，，.故D正确.11．将曲线()23sin sin2y x x xππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭上每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到()g x的图象，则下列说法正确的是（）A．()g x的图象关于直线23xπ=对称B．()g x在[]0,π上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．()g x的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称D．()g x的图象可由1cos2y x=+的图象向右平移23π个单位长度得到【答案】ABD【解析】()231cos2sin sin cos22xy x x x x xππ-⎛⎫=-+=+⎪⎝⎭1112cos2sin22262x x xπ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭.()1sin 62g x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，对于A ，当23x π=时，62x ππ-=，()g x ∴关于直线23x π=对称，A 正确；对于B ，当[]0,x π∈时，7,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()30,2g x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，B 正确； 对于C ，当6x π=时，06x π-=，162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()g x ∴关于点1,62π⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 错误； 对于D ，1cos 2y x =+向右平移23π个单位得：21cos 32y x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭cos 62x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭()11sin 262x g x π⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，D 正确. 12．如图，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，2PA AB =，则下列结论中正确的是（ ）A ．PB AE ⊥B ．平面ABC ⊥平面PBC C ．直线//BC 平面PAED ．45PDA ∠=︒【答案】AD【解析】对于A ，PA ⊥Q 平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，PA AE ∴⊥， 又底面ABCDEF 为正六边形，AE AB ∴⊥，AB PA A ⋂=Q ，,AB PA ⊂平面PAB ，AE ∴⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，PB AE ∴⊥，A 正确；对于B ，PA ⊥Q 平面ABC ，PA ⊂平面PAE ，∴平面PAE ⊥平面ABC ， 同理可得：平面PAB ⊥平面ABC ，则在五棱锥P ABCDE -中，只有侧面PAE ､侧面PAB 与底面ABC 垂直，B 错误； 对于C ，//BC AD Q ，AD ⋂平面PAE A =，BC ∴与平面PAE 也相交，C 错误； 对于D ，2PA AB =Q ，底面ABCDEF 为正六边形，22AD BC AB ∴==，∴在Rt PAD V 中，PA AD =，45PDA ∴∠=o ，D 正确.三、填空题13．过原点()0,0作函数()322f x x x =+图象的切线，则切线方程为______．【答案】0y =或0x y +=【解析】()322f x x x =+,则2()34f x x x '=+,设切点为32000(,2)x x x +,则切线的斜率2000()34k f x x x '==+, 故切线方程为:3200(2)y x x -+=2000(34)()x x x x +-, 因为切线过点(0,0),所以3200(2)x x -+=2000(34)()x x x +-, 即320002200x x x +=⇒=或01x =-,故当00x =时,切线方程为0y =, 当01x =-时,切线方程为0x y +=, 14．若二项式（x ﹣）6（a ＞0）的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B=4A ，则a 的值是 _________ ．【答案】2 【解析】 展开式的通项为令得r=2， 所以A= 令得r=4， 所以B=∵B=4A ，即=4，解得a=215．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆. 已知直角坐标系中(20)A -，，0(2)B ，，动点P 满足(0)PA PB λλ=>，若点P 的轨迹为一条直线，则λ=______；若2λ=，则点P 的轨迹方程为_______________；【答案】1 22332040x y x +-+=【解析】设(),P x y ，由222PA PB PA PB λλ=⇒=，()()()2222221141440x yx λλλλ-+-+++-=，1λ=时，轨迹方程为0x =，表示直线，2λ=时，轨迹方程为22332040x y x +-+=，16．函数y=f （x ），x ∈[1，+∞），数列{a n }满足()*n a f n n N ，=∈，①函数f （x ）是增函数； ②数列{a n }是递增数列．写出一个满足①的函数f （x ）的解析式______．写出一个满足②但不满足①的函数f （x ）的解析式______． 【答案】f （x ）=x 2 ()24()3f x x =-【解析】由题意可知：在x ∈[1，+∞）这个区间上是增函数的函数有许多，可写为：f （x ）=x 2．第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为：()243f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 则这个函数在[1，43]上单调递减，在[43，+∞）上单调递增， ∴()243f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[1，+∞）上不是增函数，不满足①． 而对应的数列为：243n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在n ∈N*上越来越大，属递增数列．四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC V 内角A ，B ，C 的对边，2sin a B =. （1）求角A ；（2）若6a =，求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）3A π=（2）【解析】（1）由题意，在ABC V 中，因为2sin a B =根据正弦定理，可得2sin sin A B B ，因为ABC V 是锐角三角形，可得sin 0B >，所以2sin A =sin A =， 又由三角形是锐角三角形，则(0,)2A π∈，所以3A π=.（2）由（1）和三角形的面积公式，可得1sin 24ABC S bc A ==△， 由余弦定理得2221236cos 222b c a bc A bc bc+--==≥， 所以036bc <≤（当且仅当6b c ==时等号成立），所以ABC S V 36=18．已知各项均为正数的数列{}n a ，满足()22*1120n n n n a a a a n N++--=∈，且12a=．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设12n n n b a log a =⋅，若nb 的前n 项和为n S ，求n S ；()3在()2的条件下，求使1250n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值．【答案】（1）2nn a =； （2）()n 11n 22+-⋅-； （3）5.【解析】()2211120n n n n a a a a Q ++--=，()()1120n n n n a a a a ++∴+-=，Q 数列{}n a 的各项均为正数，10n n a a +∴+>， 120n n a a +∴-=，即()*12n n a a n N+=∈，∴数列{}n a 是以2为公比的等比数列．12a =Q ，∴数列{}n a 的通项公式2n n a =；()2由()1及12n n n b a log a =得，2n nb n =-⋅，n 12n S b b b =++⋯+Q ，23n 22232n 2n S ∴=--⋅-⋅-⋯-⋅ ①()2345n n 1n 2S 2223242n 12n 2+∴=--⋅-⋅-⋅-⋯--⋅-⋅ ②-②①得，2345n n 1n S 222222n 2+=+++++⋯+-⋅()()n n 1n 1212n 21n 2212++-=-⋅=-⋅--；()3要使n 1n S n 250++⋅>成立，只需n 12250+->成立， 即n 1252+>，n 5∴≥．∴使n 1n S n 250++⋅>成立的正整数n 的最小值为5．19．如图 1，在直角梯形ABCD 中， //,AB CD AB AD ⊥，且112AB AD CD ===．现以AD 为一边向外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使ADEF 平面与平面ABCD 垂直， M 为ED 的中点，如图 2．（1）求证： //AM 平面BEC ； （2）求证： BC ⊥平面BDE ； （3）求CD 与平面BEC 所成角的正弦值.【解析】(1)证明：取中点，连结.在中，分别为的中点，所以,且. 由已知,所以四边形为平行四边形.所以. 又因为平面,且平面，所以平面.(2)证明：在正方形中， ,又因为平面平面，且平面ADEF I 平面ABCD AD =, 所以平面.所以在直角梯形中，,可得. 在中，.所以. 所以平面.(3)作于点，连接,则为所求的角由(2)知，所以,又因为平面又.所以，.20．已知椭圆C ：()222210y x a b a b +=>>的短轴长为2，且椭圆C 过点212⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，且斜率为1k -，若椭圆C 上存在A ，B 两点关于直线l 对称，求k 的取值范围.【解析】（1）∵椭圆C 的短轴长为2，∴22b =，即1b =.又点212⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，∴21112a +=，∴22a =，∴椭圆C 的方程为2212y x +=.（2）由题意设直线AB 的方程为()0y kx mk =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，由2212y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，()2222220k x kmx m +++-=， ∴>0∆，即222m k -<，① 且1222kmx x k 2+=-+， ∴线段AB 中点的横坐标022km x k =-+，纵坐标00222my kx m k =+=+， 即线段AB 的中点为222,22km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 将222,22km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭代入直线112y x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得，222k m k+=-，② 由①，②可得，223k >，∴,33k ⎛⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 21．已知函数()(2)(2)x f x ax e e a =---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围.【解析】（1）()()2x f x ax a e =-+'，当0a =时，()20xf x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2ax a->. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2ax a-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意.当0a <时，()()()()22222222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.当1a ≥时，()()20xf x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意. 当01a <<时，()f x 在21,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴()()min 210a f x f f a -⎛⎫=<=⎪⎝⎭，故01a <<不满足题意.综上，a 的取值范围为[)1,+∞.22．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在l 至11kg ）频数分布表如下（单位: kg ）：以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.（1）由种植经验认为，种植园内的水果质量Z 近似服从正态分布()2,N Sμ，其中μ近似为样本平均数2,Z S 近似为样本方差222.1S ≈.请估算该种植园内水果质量在()4,8.2内的百分比；（2）现在从质量为[1,3),[3,5),[5,7) 的三组水果中用分层抽样方法抽取14个水果，再从这14个水果中随机抽取3个．若水果质量[1,3),[3,5),[5,7)的水果每销售一个所获得的的利润分别为2元，4元，6元，记随机抽取的3个水果总利润为ξ元，求ξ的分布列及数学期望. 附：Z ()2,N Sμ~，则()0.6826,(22)0.9544P S Z S P S Z S μμμμ-<<+=-<<+=.【解析】（1）20.140.1560.4580.2100.1 6.1Z =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ，()2,Z N Sμ: ，μ近似为Z ，222.1S ≈，由正态分布P(4Z 8.2)P(μσZ μσ)0.6826<<=-<<+=，所以该种植园内水果质量在()4,8.2内的百分比为68.26%. （2）ξ的可能取值为：8,10,12,14,16，18.()2123314C C 3P ξ8C 364===；()21122923314C C C C 15P ξ10C 364+===；()11132393314C C C C 55P ξ12C 364+===； ()21123929314C C C C 99P ξ14C 364+===； ()1239314C C 108P ξ16C 364===； ()39314C 84P ξ18C 364=== ；分布列为E ξ15364364364364364364364=+++++==.。
临考押题卷01-2020年高考数学(理)临考押题卷(解析版)
2020年高考临考押题卷（一）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．已知集合{}1M x x =<，{}20N x x x =-<，则（ ） A ．{}1M N x x =<I B ．{}0M N x x =>U C ．M N ⊆ D ．N M ⊆【答案】D【解析】求解不等式20x x -<可得{}|01N x x =<<， 则：{}|01M N x x =<<I ，选项A 错误；{}|1M N x x ⋃=<，选项B 错误； N M ⊆，选项C 错误，选项D 正确；故选：D .2．设复数z 满足：(1)2i z i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．12i B ．12C ．32i -D ．32-【答案】D【解析】因为(1)2i z i +=-，故可得()()()()211311122i i i z i i i i --2-===-++-. 则z 的虚部为：32-. 故选：D.3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。
2023年新高考数学终极押题卷(含解析)
2023年新高考数学终极押题卷（试卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{|13}A x x =-<<，集合{}24B xx =<∣，则A B =（ ） A ．（-2，2） B ．（-1，2） C ．（-2，3） D ．（-1，3）2．若复数2i13iz -=-，则z =（ ） ABCD3．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（ ）． A．B ．2C ．2πD．4．函数f （x ）＝sin xx （x ∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（）A ．[﹣π，﹣56π] B ．[﹣56π，﹣6π]C ．[﹣3π，0]D ．[﹣6π，0]5．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B分别为它的左右顶点，已知定点()4,2Q ，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是（ ） A ．存在点P ，使得12120F PF ∠=︒B ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值C ．12125PF PF +有最小值185D ．1PQ PF +的范围为⎡⎤⎣⎦6．若cos212cos αα=+，则24sin sin αα+的值为（ ） A1BC ．1 D7．已知()()2cos 0cos 2f x x f x π⎛⎫=-+ '⎪⎝⎭，则曲线()y f x =在点33,44f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为（ ） AB．C．D．-8．已知事件A 与事件B 是互斥事件，则（ ）A ．)(0P AB ⋂= B ．)()()(P A B P A P B ⋂=C ．)()(1P A P B =-D ．)(1P A B ⋃=二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
临考押题卷01-2020年高考数学临考押题卷(浙江专版)(原卷和解析)
=
2
sin
π 2
+
π 6
=
3.
8．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．现有一个羡除如图所
示， DA ⊥ 平面 ABFE ，四边形 ABFE ， CDEF 均为等腰梯形，四边形 ABCD 为正方形， AB//EF ， AB = 2 ， EF = 6 ，点 F 到平面 ABCD 的距离为 2，则这个羡除的表面积为（ ）
A．
1 2
,1
B．{1}
C．{−1, 0}
D．
−∞,
1 2
2．已知复数
z
=
5+i 1−i
（i
为虚数单位），则在复平面内
z
所对应的点在（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知抛物线 ax2
=
y
的焦点到准线的距离为
1 2
，则实数
a
等于（
）
A． ±1
B． ±2
C．
±
1 4
D．
±
1 2
A 是曲线 C1 与 C2 的交点，且 ∠AF2F1 为钝角，若
AF1
=
7 2
，
AF2
=
5 2
，则
F1F2
=（
）
A． 3
B． 6
C．2
D．4
10．已知 k
∈R
，函数
f
(x)
=
x 2
( x
− 2kx + 2k, x ≤ 1
− k −1) ex + e3, x
> 1 ，若关于
2020年高考数学临考押题卷(山东卷)(解析版)(01)
2020年高考临考押题卷（五）数学（山东卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ） A ．[2,3] B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.2．已知复数z 满足(12)|34|z i i ⋅+=-（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由(12)|34|5z i i ⋅+=-=， 得55(12)5(12)1212(12)(12)5i i z i i i i --====-++-， 在复平面内复数z 对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限， 故选：D.3．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A ．2764B ．916C ．81256D ．716【答案】B【解析】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有：2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况 ∴恰有一个地方未被选中的概率：144925616p == 本题正确选项：B4．已知平面向量a r ，b r ，c r均为单位向量，若12a b ⋅=r r ，则()()a b b c +⋅-r r r r 的最大值是( )A ．1B ．3C ．32+D ．12+【答案】C【解析】Q 平面量a r ，b r ，c r均为单位向量，222()23a b a a b b ∴+=+⋅+=r r r r r r ，||a b ∴+=r r 2()()()a b b c a b b a b c ∴+⋅-=⋅+-+⋅r r r r r r r r r r333()||||222a b c a b c =-+⋅≤++⋅-=+r r r r rr 当且仅当a b +r r 与c r反向时取等号.故选：C.5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2|2|f x x =-+.若对任意的[]1,2x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是( )A ．()0,2B ．(0,2)(,6)⋃-∞-C ．()2,0-D ．()(2,06,)-⋃+∞【答案】D【解析】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =-+. 作出()f x 的图象，如图所示()y f x a =+的图象可以看成是()y f x =的图象向左（0a >时）或向右（0a <时）平移a 个单位而得.当0a >时，()y f x =的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足()()f x a f x +>成立， 当0a <时，()y f x =的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足()()f x a f x +>成立（对任意的[1,2]x ∈-）， 故(2,0)(6,)a ∈-⋃+∞. 故选：D.6．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）A ．()sin x x y e e -=+B ．()sin x xy e e -=- C ．()cos x x y e e -=- D ．()cos x x y e e -=+【答案】D【解析】由图可知，当0x =时，0y <当0x =时，()sin x xy e e -=+20sin =>，故排除A ；当0x =时，()sin x xy e e-=-00sin ==，故排除B ；当0x =时，()cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；当0x =时，()cos x x y e e -=+20cos =<，满足题意.故选：D.7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A B ，，左焦点为F P ，为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P F ，），与y 轴交于点M ，直线MB 与y 轴交于点H .若3HN OH =-u u u r u u u u r （O 为坐标原点），则C 的离心率为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】不妨设P 在第二象限，如图所示设||, (0, )(0)FM m H h h =>，由3HN OH =-u u u r u u u u r，可得(0,2)N h -.由AFM AON △∽△，得2m c a h a -=（1） 由BOH BFM △∽△，得h a m c a=+（2） 由（1），（2）两式相乘得12c a c a-=+，即3c a =. 所以离心率3ce a==. 故选：B.8．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（ ）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由题意设()()xf xg x e=，则()()1()x f x f x g x e x -'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a em ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．二、多选题9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表： AQI 指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 300>空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市12月1日-20日AQI 指数变化趋势：下列叙述正确的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上的天数占14C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】ABD【解析】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确； 对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占14是正确的， 故B 正确；对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，故C 错误；对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选：ABD.10．已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3π D ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误； 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D 错误 故选：AC11．下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤【答案】BD【解析】当0x <时，1x x+为负数，所以A 不正确； 若0a b <<，则110b a<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增， 所以11()()f f a b >，即3311()()ab>，所以B 正确；若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确； 若0a >，0b >，1a b +≤，根据基本不等式有21,0()224a b a b ab ab ++≤<≤= 所以D 正确. 故选：BD12．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是等边三角形，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，M 为棱PD 的中点，N 为菱形ABCD 的中心，下列结论正确的有（ ）A ．直线PB 与平面AMC 平行 B ．直线PB 与直线AD 垂直 C ．线段AM 与线段CM 长度相等 D ．PB 与AM 2【答案】ABD【解析】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴V 为等边三角形.设AD 的中点为O ，连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确.Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB V 为直角三角形设4=AD ，则23OP OB ==，26PB ∴=，162MN PB ==. 在MAN △中，23AM AN ==，6MN =，可得2cos 4AMN ∠=故异面直线PB 与AM 所成角的余弦值为24在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确 故选：ABD三、填空题 13．已知()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛⎫∈+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】5665-【解析】∵3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴3,22παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭, ∴()()24cos =1sin 5αβαβ+-+=． 又3,424πππβ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，12sin ,413πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭ ∴25cos()=1sin ()4413ππββ----=-． ∴cos()cos[()()]44ππααββ+=+--cos()cos()sin ()sin()44ππαββαββ=+-++-4531256()()51351365=⨯-+-⨯=-． 答案：5665- 14．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，则| |MD =_____________. 【答案】23 【解析】如图所示设准线与x 轴交于E .易知()1,0F ，2EF =，由抛物线定义知||||MN MF =. 由题意60MFx ∠=︒，60NMF ∴∠=︒， NMF ∴V 为等边三角形，60NFE ∴∠=︒， 24cos60EF NM FE ∴===︒.又OD 是FEN △的中位线，MD ∴就是该等边NMF V 的高，||23MD ∴=.故答案为：2315．已知a ∈R ，若二项式(1)n x 的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n ＝_____，含x 项的系数是_____． 【答案】4 24或96【解析】∵二项式(1)n x 的展开式中二项式系数和是16， ∴216n =，解得4n =；令1x =，可得()4181a +=，解得2a =或4-， 二项式展开式的通项公式为2442144()r rrr rr TC x C ax---+==，令2r =，则x 项的系数是22246C a a =，当2a =时，2624a =，当4a =-时，2696a =， 所以含x 项的系数是24或96． 故答案为：4，24或96．16．已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.【答案】3,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由题得函数()y f x =的图象和直线y k =有六个交点.显然有200a a a >-<，.221(1)(),()3x x e e x f x e a f x x x -'=-+∴=,（0x >）， 所以函数在(0,1)单调递减，在1+∞（，）单调递增，且21(1)03f a =>. 由题得221(,||),(0,),(1,)3A a a aB aC a --，,,A B C 三点的高度应满足A B C h h h ≥>或B A C h h h ≥>,所以21|1|3a a a a -≥>或21|1|3a a a a ≥->， 因为200a a a >-<， 所以23a ≤<或322a <≤，综合得332a <<. 故答案为：3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．(Ⅰ) 若34ADC π∠=，求AD 的长； （Ⅱ） 若2BD DC =，ACD ∆的面积为42，求sin sin BAD CAD ∠∠的值． 【解析】（I ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin 3B =． 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠， 又2AB =，4ADB π∠=，22sin 3B =．∴83AD =． （II ）∵2BD DC =，∴2ABD ADC S S ∆∆=，， 又423ADC S ∆=∴42ABC S ∆=， ∵1·sin 2ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1·sin 2ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?sin BAD AC CAD AB∠=∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠．∴42AC =∴sin 2?42sin BAD AC CAD AB∠==∠ 18．已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，336,S a =是1a 与9a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列()*24(1)41n n n a b n N n =-∈-，数列{}n b 的前2n 项和为2n P ，若2112020n P +<，求正整数n 的最小值. 【解析】（1）公差d 不为零的等差数列{}n a ，由3a 是1a 与9a 的等比中项，可得 2193a a a ⋅=，即()()211182a a d a d +=+，解得1a d =. 又31336S a d =+=，可得11a d ==，所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列，所以*,N n a n n =∈.（2）由（1）可知()()241111412121n n n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭， 211111111113355743414141n P n n n n ∴=--++--+--++---+L 1141n =-++， 211201914120204n P n n +=<∴>+Q ， 所以n 的最小值为505.19．在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90,2DBC BC DE ︒∠==，2AB AC ==，3CE AE ==，且平面BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 中点.（1）证明：DF AC ⊥；（2）求二面角B AD E --的正弦值.【解析】（1）证明：取AC 中点为G ，连接GE 和GF ，如图所示因为//GF BC ，且12GF BC =， 又因为//DE BC ，且12DE BC =，故//GF DE ，且GF DE =，即四边形GFDE 为平行四边形，故//GE DF ，CE AE =Q ，G 为AC 中点，GE AC ∴⊥；又//GE DF ，DF AC ∴⊥.（2）Q 平面BCED ⊥平面ABC ，平面BCED I 平面ABC BC DB AC =⊥，，DB ∴⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，DB AC ∴⊥.由（1）知,DF AC BD DF D ⊥⋂=Q ，,BD DF ⊂平面ABC ，AC ∴⊥平面ABD ，而AB Ì平面ABD ，AC AB ∴⊥，2AB AC ==Q ，22,2BC DE ∴==.取BC 中点O 连接OE 和OA ，四边形BCED 为直角梯形，则//OE DB ， DB ⊥Q 平面ABC ，OE ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，OA ⊂平面ABC ，故OE BC OE OA ⊥⊥，，,AB AC OA BC =∴⊥Q ，∴分别以OA 、OB 、OE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图所示3,1CE AE OE ==∴=Q ，则2,1)D ，(0,0,1)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C -，故(2,2,1)AD =-u u u r ，(2,0,1)AE =u u u r ，(2,2,0)CA =u u u r ，易知平面ABD 的一个法向量为(2,2,0)CA =u u u r ，设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即22020x z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令2,1,0z x y =∴==， 2)n ∴=r .设二面角B AD E --的为θ，则|cos ||cos ,|||||n CA n CA n CA θ⋅=〈〉==r u u u r r u u u r r u u u rsin θ\==. ∴二面角B AD E --. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2:4D y x =-有共同的焦点F ，且两曲线的公共点到F 的距离是它到直线4x =- （点F 在此直线右侧）的距离的一半.（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 过点F 且与椭圆交于A B ，两点，以OAOB ，为邻边作平行四边形OAMB .是否存在直线l ，使点M 落在椭圆C 或抛物线D 上？若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意知()1,0F -，因而1c =，即221a b =+，又两曲线在第二象限内的交点(),Q Q Q x y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，即()421Q Q x x +=-+， 得23Q x =-，则283Q y =， 代入到椭圆方程，得2248193a b+=. 由2222481931a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 解得224,3a b ==，∴所求椭圆的方程为22143x y +=. （2）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()1y k x =+ 由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()22223484120k x k x k +++-=，设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ， 则221212228412,3434k k x x x x k k --+=⋅=++， 由于OABM 为平行四边形，得OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，故012012x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，又()()11221,1y k x y k x =+=+， 可得2202220288634,,3434634k x k k k M k k ky k ⎧-=⎪⎛⎫-⎪+∴⎨ ⎪++⎝⎭⎪=⎪+⎩. 若点M 在椭圆C 上，则2200143x y +=，代入得()42221612134k k k +=+，无解. 若点M 在抛物线D 上，则200:4D y x =-，代入得()2222236323434k k k k =++，无解.当直线斜率不存在时，:1l x =-，此时存在点(2,0)M -在椭圆C 上.故不存在直线l ，使点M 落在抛物线D 上，存在直线l ，使点()2,0M -落在椭圆C 上.21．已知函数()(1)ln(1)f x x x =++，2()cos 2x g x ax x x =+-. （1）当0x ≥时，总有2()2x f x mx +…，求m 的最小值； （2）对于[]0,1中任意x 恒有()()f x g x ≤，求a 的取值范围.【解析】（1）令2()(1)1(1),02x x mx x n x x φ=+-++≥， 则1()ln(1)1,()101x x m x x x ϕφ'''=+-+-=->+， ()x ϕ'∴在[0,)+∞上单调递增，且(0)1m ϕ'=-若m 1≥，则()x ϕ在[0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴≥=，即m 1≥满足条件；若1,(0)10,()m m x ϕϕ'<=-<存在单调递减区间[]00,x ，又(0)0ϕ=Q ，所以存在0x 使得()00x ϕ<与已知条件矛盾，所以m 1≥，m 的最小值为1.（2）由（1）知2()2x f x x ≤+，如果2()2x x g x +≤，则必有()()f x g x ≤成立.令2()()(1)cos (1cos )2x h x g x x a x x x x a x ⎛⎫=-+=--=-- ⎪⎝⎭， 则()(1cos )0h x x a x =--…，即1cos 0,1cos ,2a x a x a --≥+∴∴≥≥. 若()0h x ≥，必有()()f x g x ≤恒成立，故当2a ≥时，()()f x g x ≤恒成立，下面证明2a <时，()()f x g x ≤不恒成立.令1()()(1)ln(1)f x f x x x x x =-=++-，1()ln(1)f x x '=+，当0x >时，1()ln(1)0f x x '=+>，1()f x 在区间[]0,1上单调递增故11()(0)0f x f ≥=，即1()()0f x f x x =-≥，故()x f x ≤.2()()()(1)cos 1cos 22x x g x f x g x x a x x x x a x ⎛⎫-≤-=-+-=-+- ⎪⎝⎭， 令()1cos 2xt x a x =-+-，1()sin 02t x x '=+>， 所以()t x 在[]0,1上单调递增，又(0)20t a =-<，则一定存在区间()0,m （其中01m <<），当()0,x m ∈时，()0t x <，则()()()0g x f x xt x -≤<，故()()f x g x ≤不恒成立.综上所述：实数a 取值范围是[2,)+∞.22．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y 频率组距”)时，发现Y 满足*8109,16300,N ,55(1)11,161520n n Y n n X n k n n -⎧⎪⎪=∈<+⎨⎪-⋅>⎪-⎩„„. （1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖. （i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率； （ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A B ，两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.【解析】（1）根据题意，X 在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间， 分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)，70100X ≤<Q ，由*55(1),n X n n ≤<+∈N ，14,15,16,17,18,19n ∴=. 每个小区间的频率值分别是8109,14,15,16605115,17,18,19320n n P Y k n n -⎧=⎪⎪==⎨⎪-⋅=⎪-⎩. 由3111911151160606032k ⎛⎫+++-++= ⎪⎝⎭，解得350k =. n ∴的所有取值为14,15,16,17,18,19，350k =.（2）（i ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.由（1）知，学生B 的分数属于区间[)[)[)[)[)[)70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100的概率分别是：360，1160，1960，1460，1160，260. 我们用符号ij A （或ij B )表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(,1,2,3)j i i j =….记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ， 则()12122223222()P W P B B B A B A =+++()()()()()()12122223222P B P B P B P A P B P A =+++2111111010141105160601160111160711220=+⋅+⋅⋅+⋅⋅=. （ii ）学生A 最终获得一等奖的概率是()21111P A =， 学生B 最终获得一等奖的概率是()12121112116060272711272796060P B B ''+=+⋅=+=，1180(0)1111999P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 111118(1)1111911999P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅-+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111(2)11999P ξ==⋅=， ξ∴的分布列为：801812001299999999E ξ=⋅+⋅+⋅=.。
临考押题卷05-2020年高考数学(理)临考押题卷(解析版)
2020年高考临考押题卷（五）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．已知集合{}{2|1,,|M y y x x R N x y ==-∈==,则M N ⋂=（ ）A ．[)1,-+∞ B ．⎡-⎣C ．)+∞D ．∅【答案】B【解析】由题意得，集合{}2|1,{|1}M y y x x R y y ==-∈=≥-，集合{|{|N x y x x ===≤≤，所以M {|1N x x ⋂=-≤≤，故选B.2．设复数z 满足2zi=（i 是虚数单位），则z =（ ）A 2iB 2i +C ．2iD ．2i【答案】B【解析】2zi i=是虚数单位），2(2)22z i i i ∴=-==．故选：B ．3．为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（ ）A ．最少需要16次调动，有2种可行方案B ．最少需要15次调动，有1种可行方案C ．最少需要16次调动，有1种可行方案D ．最少需要15次调动，有2种可行方案 【答案】A【解析】根据题意A ，B 两处共需向C ，D 两处调15个商品，这15个商品应给D 处11个商品，C 处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A 调动11个给D ，B 调动1个给A ，B 调动4个给C ，共调动16次； 方案二：A 调动10个给D ，B 调动5个给C ，C 调动1个给D ，共调动16次； 故选：A4．在ABC V 中，点D 在BC 边上，AD 平分BAC ∠，N 是BC 边上的中点，4AB AD AC AD →→→→⋅=⋅，1AB =，sin 2sin BAN C=，则BC =（ ）A ．5B ．32C ．42D ．52【答案】B【解析】Q 4AB AD AC AD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，AD 平分BAC ∠，∴4cos cos AB AD BAD AC AD CAD ⋅∠=⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r即44AB AC ==， ∴sin 22sin 2AC B AN C AB===， 设CN BN m ==，CNA θ∠=，则在ACN △中，2222cos AC CN AN CN AN θ=-⋅+， 在ABN V 中，()2222cos AB BN AN BN AN πθ+=-⋅-222cos BN AN BN AN θ=+⋅+，则2222224222cos 1222cos m m m m θθ⎧=+-⨯⎨=++⨯⎩，解得2m =，∴2BC m == 故选：B.5．数列{}n a 满足递推关系()*1331,2n n n a a n N n -=+-∈≥，15a =，则使得数列3n na m +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列的实数m 的值为（ ） A ．2 B ．12-C ．2-D ．12【答案】B【解析】由题设知111113313333n n n n n n n n n a m a m a m a m-----+++-++-=- 31212133n n nm m--+==-为常数， 则120m +=，故12m =-. 故选：B.6．已知实数,x y 满足约束条件20y x mx y m ⎧≥-⎨-+≥⎩，其中01m <<，若222x y y ++的最大值为40，则m =（ ）A ．2B C ．12D ．13【答案】C【解析】可行域如图，设()2222211z x y y x y =++=++-， 由图可知，A 到()0,1-最远，则23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解，即22233240111m m m m m m +⎛⎫⎛⎫++⋅= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭且01m <<，解得12m =或2（舍去） .故选:C.7．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．2【答案】D 【解析】当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．8．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.9．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103，则h 的值为（ ）A ．32B ．3C ．33D ．53【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是四棱锥，底面积，体积，解得，故答案为B.10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D【解析】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．11．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B u u u u r u u u u r=,则该双曲线的离心率为A．2BCD ．2【答案】A【解析】由()2,0F c 到渐近线by x a=的距离为d b == ，即有2AF b =u u u u r，则23BF b =u u u u r ，在2AF O ∆ 中，22,,,b OA a OF c tan F OA a==∠=u u u r u u u u r224tan 1bb a AOB a b a ⨯∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简可得222a b = ，即有222232c a b a =+=，即有c e a == ，故选A.12．若函数()()3220f x x ax bx c b =-+-<有两个极值点1x ，2x ，且()11f x x =-，()222f x x =-，则关于x 的方程()()()23220f x af x b ++=的不同的实根的个数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】()2322f x x ax b '=-+，()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 是()0f x '=的两个根， 由0b <，可知两根一正一负，又当()f x 的值取为1x -，2x -时，方程()()()23220f x af x b ++=成立．当120x x <<时，作出()f x 的简图如图1所示， 当()1f x x =-时有两根，当()2f x x =-时有三根， 所以方程()()()23220f x af x b ++=有五个根；同理当120x x >>时，作出()f x 的简图如图2所示，也有当()1f x x =-时有两根， 当()2f x x =-时有三根．综上，方程()()()23220f x af x b ++=有五个根．故选:B . 二、填空题13．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=．当01x <≤时，()f x =31x ax -+，则实数a 的值为_____． 【答案】2【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以，()()11f f -=-， 又因为()()2f x f x +=，所以，()()11f f -=， 即()()11f f -=，即()10f =，所以，()31110f a =-+=，解得：2a =.故答案为2.14．若函数()()2sin ,3sin f x x t x t R x=++∈+最大值记为()g t ,则函数()g t 的最小值为______.【答案】34【解析】∵22sin sin 333sin 3sin x x x x+=++-++,∵1sin 1x -≤≤,∴2sin 34x ≤+≤,∴293sin 33sin 2x x ≤++≤+,∴230sin 333sin 2x x ≤++-≤+,∴()()max 3,433,24t t g t f x t t ⎧≥⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩,∴当3t 4=时,函数()g t 有最小值为34;故答案为34. 15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过焦点F 且斜率为13的直线与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则cos AOB ∠=__________.【答案】313-【解析】抛物线()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设1:32p AB y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立22y px =， 可得224760x px p -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121219,,4p x x p x x y y p +===-，则2121234OA OB x x y y p ⋅=+=-u u u r u u u r ，||||OA OB ⋅==u u u r u u u r2134p ===， 则22334cos 1313||||4p OA OB AOB OA OB p -⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，故答案为：313-.16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，4BC CD ==，AB AD ==则三棱锥A BCD -的外接球的体积为_________．【答案】36π【解析】如图，取BD 的中点E ，连接,AE CE ．则AE BD ⊥，CE BD ⊥．∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，∴AE ⊥平面BCD ， 又∵CE ⊂平面BCD ，∴AE CE ⊥． 设ABD ∆的外接圆的圆心为O ，半径为r ． ∵AB AD =，∴圆心O 在AE 所在的直线上． ∴22222()r BE OE BE r AE =+=+-． ∵在Rt BCD ∆中，2242BD BC CD =+= ∴22BE EC ==∴在Rt ABE ∆中，222AB AE BE -==． ∴228(2)r r =+-，解得3r =．∴1OE = 在Rt OEC ∆中，223OC OE EC =+． ∴3OA OB OC OD ====．∴点O 是三棱锥A BCD -的外接球的球心，且球半径3R =． ∴球的表面积2436S R ππ==． 故答案为：36π. 三、解答题17．设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列， 123512b b b =，11a b + 33a b =+.(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：213n T ≤<.【解析】（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，2213[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+， 当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2132b b b =， ∴3123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，∴831582q q q -+=-+⇒=或12q =-（舍去）， ∴2122n n n b b q -+==；（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n c +++++===-------，∴123n n T c c c c =++++L 2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-------L 111121n +=-<-，显然数列{}n T 是递增数列，∴123n T T ≥=，即213n T ≤<.）18．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒， E ，M N ，分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）求异面直线1A M 与1C E 所成角的余弦值； （2）求二面角1A MA N --的平面角的正弦值.【解析】（1）Q 直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，60BAD ∠=o ，E 为BC 的中点， DE BC ∴⊥，又//AD BC ，DE AD ∴⊥.则以D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，则()12,0,4A ，()3,2M ,()13,4C -，()3,0E ， ()113,2A M →∴=--，()11,0,4C E →=-，111111734cos ,2217A M C EA M C E A M C E →→→→→→⋅∴<>===⨯⋅， ∴异面直线1A M 与1C E 734. （2）由（1）得：()1,0,2N ，()2,0,0A ，则()10,0,4A A →=-，()13,2A M →=--，()13,2A N →=--，()0,3,0MN →=-，设(),,m x y z →=为平面1A MA 的法向量， 则1132040m A M x z m A A z ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u u v r u u u v r ，令1y =，则3x 0z =，)3,1,0m →∴=； 设(),,n p q r →=为平面1A MN 的法向量， 则130320n MN q n A N p q r ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩u u u u v r u u u u v r ，令1r =-，则2p =，0q =，()2,0,1n →∴=-； 2315cos ,25m nm n m n →→→→→→⋅∴<>===⋅， ∴二面角1A MA N --2151015⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 19．为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”. ①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.【解析】（1）设高一年级有a 人，高二年级有b 人. 采用分层抽样，有75,3361233612a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人.（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”.故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. （3）ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,3335(3)110C P C ξ===. 所以ξ的分布列为ξ1 2 3 P 31035 110 故ξ的期望()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. 20．设椭圆()222210x y C a b a b+=>>：过点(0,4)，离心率为35 . (1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率45k =的直线被椭圆C 所截线段的中点坐标． 【解析】（1）将点（0，4）代入椭圆C 的方程得=1，∴b=4， 由e==，得1﹣=，∴a=5，∴椭圆C 的方程为+=1．（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x ﹣3），设直线与椭圆C 的交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），将直线方程y=（x ﹣3）代入椭圆C 方程，整理得x 2﹣3x ﹣8=0，由韦达定理得x 1+x 2=3，y 1+y 2=（x 1﹣3）+（x 2﹣3）=（x 1+x 2）﹣=﹣．由中点坐标公式AB 中点横坐标为，纵坐标为﹣，∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．21．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()ecos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 22．在极坐标系中，圆1C 的极坐标方程为()24cos sin ρρθθ=+，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求圆1C 的直角坐标方程；（2）已知曲线2C 的参数方程为22x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线2C 与圆1C 交于,A B 两点，求圆1C 夹在,A B 两点间的劣弧AB 的长.【解析】（1）解：因为24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，则2244x y x y +=+， 整理得，22(2)(2)8x y -+-=，所以圆1C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=.（2）解：曲线2C 的普通方程为22y x =-，由题意知，当2x ≤时，12,C C 的交点为A ， 即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩ ，解得，04x y =⎧⎨=⎩，即()0,4A ，当2x >时，12,C C 的交点为B ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩，解得，44x y=⎧⎨=⎩，即()4,4B ，由（1）知，圆心()12,2C ，半径22r =.()()112,2,2,2C A C B =-=u u u r u u u r ，则110C A C B ⋅=u u u r u u u r，则12AC B π∠=，所以劣弧AB 的长为2222ππ⨯=.23．已知函数()|21||5|f x x x =-++.（1）求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为32m +，求证：,(0,)p q ∀∈+∞，11mp q p q +≥+恒成立.【解析】(1)()|21||5|f x x x =-++=34,516,52134,2x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，若()7f x >,则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12347x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩,解得5x <-或51x -≤<-或1x >,因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或1}x >;(2)由函数()f x 的解析式可知,()f x 在1(,)2-∞上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增, 因此min 1113()()4222f x f m m ===+⇒=,因此要求证:,(0,)p q ∀∈+∞,114p q p q +≥+恒成立, 即证4p q pq p q +≥+恒成立,即证()24p q pq +≥恒成立,即证2220p q pq +-≥恒成立,而对,(0,)p q ∀∈+∞,222p q pq +-=2()0p q -≥恒成立, 因此,原不等式得证.。
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2020年高考临考押题卷（四）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题1．已知i 为虚数单位，15zi i =+，则复数z 的虚部为( ) A ．1- B ．1 C ．i -D ．i【答案】A【解析】因为15zi i =+，所以2(15)zi i i =+255z i i i -=+=-所以5z i =-，所以虚部为1- 故选：A2．已知集合{}43A x x =-<-≤，()(){}250B x x x =-+<，则A B =I （ ） A ．()5,4- B ．()3,2-C ．()2,4D ．[)3,2-【答案】D【解析】{|43}{|34},{|(2)(5)0}(5,2),A x x x x B x x x =-<-≤=-≤<=-+<=-Q 所以[)3,2A B ⋂=-，选D.3．某部门将4名员工安排在三个不同的岗位，每名员工一个岗位，每个岗位至少安排一名员工，且甲乙两人不安排在同一岗位，则不同的安排方法共有（ ） A ．66种 B ．36种C ．30种D ．24种【答案】C【解析】由题意可得，完成这件事分两步，第一步，先将4名员工分成3组并去掉甲乙同组的情况，共有2114212215C C C A -=种， 第二步，将3组员工安排到3个不同的岗位，共有336A =种，∴根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有5630⨯=种， 故选：C ．4．若a r，b r =2，且（a b -vr ）a ⊥r ，则a r 与b v 的夹角是A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】B【解析】2()202a b a a a b a b a b -⊥=-⋅=-⋅=⇒⋅=r r r r r r r r Q r r,cos 2||a b a b a b ⋅∴〈⋅〉===⋅r r r r u u r r ,所以a 与b 的夹角是4π. 5．将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增 B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】A【解析】由函数25y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为： sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误； 本题选择A 选项.6．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A ．116B ．164C ．2128D ．232【答案】B【解析】设第n 个图中正方形的个数为n a ，则由图可知112,n n n a a n N +*+=+∈则221332122 (2)n n n a a a a a a -⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ ，将n 个式子相加可得23122...2,2,n n a a n n N *-=+++≥∈ ， 所以()11412321,2,12n n na n n N -+*-=+=-≥∈-，当1n =时，2213-=，所以121,n n a n N +*=-∈.令1218191n n a +=-=，解得12n =.由题意知，第一个图中最小正方形边长为cos45︒ ，第二个图中最小正方形边长为2cos 45︒，则第n 个图中最小正方形边长为cos 45n ︒，则12612211cos 452264⎛⎛⎫︒=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B.7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 8．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B.9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D.10．在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（ ）A ．(2,)+∞B ．(4,10]C ．(2,4]D ．(4,)+∞【答案】B【解析】设输入x a =，第一次执行循环体后，32x a =-，1i =，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，98x a =-，2i =，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，2726x a =-，3i =，满足退出循环的条件； 故9882a -…，且272682a ->，解得：(4,10]a ∈， 故选：B ．11．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c, 由AP222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 12．“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A．10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭U B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭D．10,4⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭【答案】A【解析】函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则(]11,2x∈，因为()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+， 所以()2112f x f x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 所以()2211,12211,122x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，函数()()21y f f x a=--都恰有两个不同的零点，等价于()()21ff x a=+有两个不等的实根，作出()f x 的大致图像，如图所示， 可得()max 32f x =，()min 34f x =，317218f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，317416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设()t f x =，则①当23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ， 其中11324t ≤<，2312t ≤<， ()1f x t =无解，()2f x t =有两个解，符合题意；②当217116a +=时，由()21f t a =+得134t =，243t =， 由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意；③当21731162a <+<时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ， 其中1314t <<，2413t <<，由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意； ④当2312a +=时，由()32f t =，得121t t ==， 由图可知()1f x =有两个解，符合题意；⑤当2312a +>时，由()21f t a =+，得t 无解，不符合题意. 综上所述，2312a +=或23171416a ≤+<符合题意，而0a >，所以解得22a =或10,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 即实数a 的取值范围为120,42a ⎧⎫⎪⎪⎡⎫∈⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭U .故选：A.二、填空题13．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若()13f =，则()()()1250f f f ++⋅⋅⋅+=_____________.【答案】3【解析】()()2f x f x =-Q ，()f x ∴关于1x =对称，又()f x 为奇函数，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()()159493f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()f x Q 是定义在R 上的奇函数，()00f ∴=，()()()()024500f f f f ∴===⋅⋅⋅==，()()113f f -=-=-Q ，()()()()()13711473f f f f f ∴-====⋅⋅⋅==-，()()()()12340f f f f ∴+++= ()()()()()1250012123f f f f f ++⋅⋅⋅+=⨯++=∴.故答案为：3.14．一个质量均匀的正四面体的表面上分别标有1，2，3，4，设函数22()2f x x bx c =---，若b ，c 是先后抛掷该正四面体两次得到的朝下面上的数字，则x ∀∈R ，()0f x <恒成立的概率为__________. 【答案】38【解析】由題意得，b ，c 可能的情况有4416⨯=种， 要使x ∀∈R ，()0f x <恒成立，则应满足在二次函数22()2f x x bx c =---中，22440b c b c ∆=-<⇒<，而满足b c <的组合有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种， 所以所求概率63168P ==. 故答案为：38.15．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点，Q 是线段PF 上的点，且2PQ QF =u u u r u u u r，则直线OQ 的斜率的最大值为______.【解析】由题可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,设200,2y P y p ⎛⎫⎪⎝⎭,显然,当00y <时,0OQ k <；当00y >时,0OQ k >, 要求OQ k 的最大值,设00y >,因为2PQ QF =u u u r u u u r ,所以2PQ QF =u u u r u u u r,即()2OQ OP OF OQ -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以200221,33363y y p OQ OP OF p ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,所以02000223236OQ y k y p y p p y p ==≤=++当且仅当2202y p =时等号成立,即OQ k,故答案为16．母线长为O ，与圆锥的侧面、底面都相切，现放入一些小球，小球与圆锥底面、侧面、球O 都相切，这样的小球最多可放入__________个． 【答案】10【解析】由题意可知圆锥轴截面为正三角形，高为3，如图所示：设球O 半径为R ，由∠OCB=30°，可得OC=2R ，故OA=OC=2R ，所以R+2R=3∴R=1，OC=2，故得EC=1.设小球半径为r ，同理可得2O C r '=,故31r =，所以小球半径为13r =，且'43OO =.这时O '到直线AO 的距离为423sin603︒=。