切割线定理及推论
切割线定理公式及证明
切割线定理公式及证明
切割线定理是几何学中一种重要的定理，它是于1733年由英国数学家乔治华莱士提出的。
根据切割线定理，由一条直线和一个多边形组成的图形，如果任何一条直线穿过此图形，则这条直线必将穿过多边形的边的一半数量的次数，也就是该直线穿过多边形的总边数的一半，不管该多边形的形状与大小如何。
从表面上看，这个定理很简单，但要证明它本来是一个非常困难的任务。
以下是切割线定理的一般公式：
设N为n边形，M为n条直线，即N∩M = n/2
若M穿过N，则N与M的交点数目是n/2
既然有了一般公式，就可以利用证明定理的原则来推导出该定理的证明。
首先，假设N与M的交点数为x，此时可以得出结论：x = n/2。
为了证明这一结论，可以从多种可能中求解出更多的可行解，即如果M不穿过N，M同N的交点数将小于或大于n/2。
首先，假设M不穿过N，由于N的边缘被M分割，M与N的交点数取决于M的弧形长度与N边缘之间的交叉点，因此在这种情况下，N与M的交点数必定小于n/2。
其次，假设M穿过N，即M同N的交点数大于等于n/2时，由于M穿过N，可以把N看作一个圆，此时M与N的交点数取决于M的弧形长度与N边缘之间的交叉点，因此在这种情况下，N与M的交点数必定大于等于n/2。
根据以上求解过程，可以得出M与N的交点数将等于n/2，即该定理正确。
综上所述，切割线定理是指不管一条直线穿过的多边形的形状与大小如何，总能穿过多边形的边数的一半。
因此，这个定理同时也揭示了自然数学中的一条重要原理。
该定理公式及证明完成了，它可以用来解决对几何图形的研究，有助于更深入地理解几何学中的一些概念及原理。
2020年中考数学提优专题：《圆：切割线定理》(含答案)
《圆：切割线定理》知识梳理：（1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA•PB（切割线定理）（2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．几何语言：∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理）由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD．一．选择题1．如图，P是⊙O的直径BC延长线上一点，PA切⊙O 于点A，若PC＝2，BC＝6，则切线PA的长为（）A．无限长B．C．4 D．2．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PBA是割线，交⊙O于A、B两点，与直径CT交于点D，已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那么PB等于（）A．6 B．C．7 D．203．设H为锐角△ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则AH•AD+BH•BE+CH•CF 等于（）A．（ab+bc+ca）B．（a2+b2+c2）C．（ab+bc+ca） D．（a2+b2+c2）4．如图，MN切⊙O于A点，AC为弦，BC为直径，那么下列命题中假命题是（）A．∠MAB和∠ABC互余B．∠CAN＝∠ABC C．OA＝BC D．MA2＝MB•BC5．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（）A．B．C．8 D．56．如图，AB是⊙O直径，AC是⊙O的弦，过弧BC 的中点D作AC的垂线交AC的延长于E，若DE＝2，EC＝1，则⊙O的直径为（）A． B．C．5 D．47．如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B和点C、D，已知PA＝3，AB＝PC＝2，则PD的长是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.58．如图，已知⊙O的弦A B、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．cm9．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，PQ切⊙O1于点P，交⊙O2于点Q、M，交AB的延长线于点N．若MN＝1，MQ＝3，则NP等于（）A．1 B．C．2 D．310．同心圆O中，大圆的弦EF切小圆于K，EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，G为小圆上一点，GE、GF 分别交小圆于M、N两点，下列四个结论：①EM＝MG；②FQ2＝FN•NG；③EP＝FQ；④FN•FG＝EM•EG．正确的结论为（）A．①③B．②③C．③④D．②④二．填空题11．如图，AB为⊙O的直径，P点在AB的延长线上，PM切⊙O于点M．若OA＝a，PM＝，那么△PMB 的周长是．12．已知：如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则PA ＝，sin∠P＝，CD＝．13．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC 是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为．14．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B、C，若PA＝6，PB＝4，弧AB的度数为60°，则BC ＝，∠PCA＝度，∠PAB＝度．15．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB＝12，CD＝6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP＝8，∠APD＝60°，则R＝．16．如图，AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D 点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE＝AF，则PF应满足的条件是（只需填一个条件）．17．由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点分别为B、D，AB是⊙O的直径，连接AD、BD，线段OF交⊙O 于E，交BD于C，连接DE、BE．有下列序号为①～④的四个结论：①BE＝DE；②∠EBD＝∠EDB；③DE∥AB；④BD2＝2AD•FC其中正确的结论有．（把你认为正确结论的序号全部填上）三．解答题18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD＝6，AE＝6，求DE的长．19．如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D 是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；（1）求证：OE＝AC；（2）求证：；（3）当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．20．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2＝PE•PF；（2）当∠BOP＝30°，P点为的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．参考答案一．选择题1．解：∵PC＝2，BC＝6，∴PB＝8，∵PA2＝PC•PB＝16，∴PA＝4．故选：C．2．解：∵TD•CD＝AD•BD，CD＝2，AD＝3，BD＝4，∴TD＝6，∵PT2＝PD2﹣TD2，∴PT2＝PB•PA＝（PD﹣BD）（PD+AD），∴PD＝24，∴PB＝PD﹣BD＝24﹣4＝20．故选：D．3．解：AH•AD＝AC•AE＝AC•AB•cos∠BAE＝（b2+c2﹣a2），同理BH•BE＝（a2+c2﹣b2），CH•CF＝（a2+b2﹣c2），故AH•AD+BH•BE+CH•CF＝（a2+b2+c2）．故选：B．4．解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠MAB+∠CA N＝90°；∵MN切⊙O于A，∴MA2＝MB•MC，（故D错误）∠CAN＝∠CBA，（故B正确）∴∠MAB+∠CBA＝90°；（故A正确）∵OA是⊙O的半径，BC是⊙O的直径，∴BC＝2OA；（故C正确）故选：D．5．解：∵3x2﹣10x+3＝0，∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．∴cosD＝AD：BD＝1：3，设A D＝x，则BD＝3x．∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．∴（2x）2＝（2x﹣4）•x．∴x＝0（舍去），或x＝2．∴AB＝2×2＝8．故选：C．6．解：连接OD，∵点D是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∠OFC＝90°，AB是直径，∴∠ACB＝90°，DE⊥AE，∴∠E＝90°，∴四边形CFDE是矩形，∴∠ODE＝90°，∴ED是圆的切线．作OG⊥AC，则OG＝CF＝ED＝2．∵DE2＝EC•AE，∴AE＝4，AC＝3，AG＝，∴AO＝，∴AB＝5．故选：C．7．解：∵PA＝3，AB＝PC＝2，∴PB＝5，∵PA•PB＝PC•PD，∴PD＝7.5，故选：B．8．解：∵PA•PB＝PC•PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，∴PD＝2；设DE＝x，∵AE2＝ED•EC，∴x（x+8）＝20，∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），∴PE＝2+2＝4．故选：A．9．解：∵PN2＝NB•NA，NB•NA＝NM•NQ，∴PN2＝NM•NQ＝4，∴PN＝2．故选：C．10．解：连接OK，∵EF切小圆于K，∴OK⊥EF，根据垂径定理得EK＝FK，∵EP切小圆于P，FQ切小圆于Q，∴EP＝EK，FQ＝FK，∴EP＝FQ，故③正确；∴由切割线定理得，FK2＝FN•FG，EK2＝EM•EG，∴FN•FG＝EM•EG，故④正确；故选：C．二．填空题（共7小题）11．解：连接OM；∵PM切⊙O于点M，∴∠OMP＝90°，∵OA＝OM＝a，PM＝，∴tan∠MOP＝MP：OM＝，∴∠MOP＝60°，∴OP＝2a，∴PB＝OP﹣OB＝a；∵OM＝OB，∴△OMB是等边三角形，MB＝OB＝a，∴△PMB的周长是（+2）a．12．解：∵PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，PC＝4，PB＝8，∴PC2＝PA•PB．∴PA＝＝2．∴AB＝6．∴圆的半径是3．连接OC．∵OC＝3，OP＝5，∴sin∠P＝．∴CE＝，∴CD＝．13．解：连接AD，OB，OP；∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，∴PC＝；∵PA2＝PD•PC，∴PD＝，∴CD＝．14．解：∵PA2＝PB•PC，PA＝6，PB＝4；∴PC＝9，∴BC＝5；∵弧AB的度数为60°，∴∠PCA＝30°，∴∠PAB＝30°．15．解：由切割线定理得PB•PA＝PC•PD，则有8×20＝PC（PC+6）．解得PC＝10．在△PAC中，由PA＝2PC，∠APC＝60°，得∠PCA＝90°．从而AD是圆的直径．由勾股定理，得AD2＝AC2+CD2＝（PA2﹣PC2）+CD2＝202﹣102+62＝336．∴AD＝＝4∴R＝AD＝2．故答案为2．16．解：∵∠PAC＝90°，∠ABC＝90°，∴90°﹣∠AFP＝90°﹣∠BEP，∴∠APF＝∠CPF，∴PF平分∠APC．17．解：∵BF，DF是⊙O的两条切线∴OF是∠DFB的角平分线，DF＝FB，FO⊥BD，CD＝CB∴＝∴BE＝DE（①正确）∵＝∴∠EBD＝∠EDB（②正确）∵FB切⊙O于B∴FB⊥OB∵BC⊥OF∵BC2＝OC•FC∴（BD）2＝OC•CE∵OC为△ABD的中位线∴OC＝AD∴（BD）2＝AD•CE∴BD2＝2AD•FC（④正确）故其中正确的结论有①②④．三．解答题（共3小题）18．（1）证明：连接OE；（1分）∵⊙O是△BDE的外接圆，∠DEB＝90°，∴BD是⊙O的直径，（不证直径，不扣分）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE，∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，（2分）∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，（3分）∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，∴AC是⊙O的切线；（4分）（2）解：∵AE是⊙O的切线，AD＝6，AE＝6，∴AE2＝AD•AB，（5分）∴AB＝＝＝12，∴BD＝AB﹣AD＝12﹣6＝6；∵∠AED＝∠ABE，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE，（6分）∴；设DE＝x，BE＝2x，∵DE2+BE2＝BD2，（7分）∴2x2+4x2＝36，解得x＝±（负的舍去），∴DE＝2．（8分）19．（1）证明：∵AB为直径∴∠ACB＝90°∴AC⊥BC又D为中点，∴OD⊥BC，OD∥AC，又O为AB中点，∴；（4分）（2）证明：连接CD，PC为切线，由∠PCD＝∠CAP，∠P为公共角，∴△PCD∽△PAC，（6分）∴，又CD＝BD，∴；（8分）（3）解：∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，BE＝4，OE＝3，∴DE＝2，∴BD2＝DE2+BE2＝20，（9分）∴AD2＝AB2﹣BD2＝80，∴AD＝4，（10分）CD＝BD＝2，由（2），∴，（11分）∴CP2＝DP•AP＝45×5，∴切线PC＝15．（12分）20．（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP＝∠PDO＝90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP＝∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴＝，同理，△OPF∽△BPD∴＝，∴＝，∴PD2＝PE•PF；（2）解：连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝30°，∴∠O1BP＝90°﹣30°＝60°，∵O1B＝O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B＝BP，∵P为弧BO的中点，∴BP＝OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P＝OP＝a，∴∠O1OP＝60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP＝60°O1O＝a，∴O1D＝a，OD＝a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM＝OD＝a，OM＝DM＝a，∴D（﹣a，a），∵∠O1OF＝90°，∠O1OP＝60°∴∠POF＝30°，∵PE⊥OA，∴PF＝OP＝a，OF＝a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB＝30°，∴∠ABP＝∠BOP＝30°，∵PE⊥AB，PB＝a，∴∠EPB＝60°∴PE＝a，BE＝a，∵P为弧BO的中点，∴BP＝PO，∴∠PBO＝∠BOP＝30°，∴∠BPO＝120°，∴∠BPE+∠BPO＝120°+60°＝180°，即OPE三点共线，∵OE＝a+a＝a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA＝30°，∴EM＝OE＝a，OM＝a，∴E（﹣a，a），∵E（﹣a，a），D（﹣a，a），∴DE＝﹣a﹣（﹣a）＝a，DE边上的高为：a，∴S△DEF＝×a×a＝a2．故答案为：D（﹣a，a），E（﹣a，a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF＝a2．。
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点
【初中数学】圆的相交弦定理、切割线定理和割线定理补充知识点一、相交弦定理1、相交弦在圆的内部相交的两条弦，称为相交弦.2、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等。
几何语言：弦AB和CD相交于⊙O内一点P，那么PA·PB=PC·PD. 3、相交弦定理的证明证明：连接AC、BD由圆周角定理推论得：∠C=∠B，∠A=∠D∴△ACP∽△DBP∴ PA：PD=PC：PB二、切割线定理1、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：BC是⊙O的一条割线，PA是⊙O的一条切线，切点为A，则：PA²=PB·PC。
2、切割线定理的证明证明：如图，连接AB，AC∵ PA是圆O的切线，由弦切角定理可得∴∠PAC=∠B∵∠APB=∠CPA∴△APC∽△BPA∴ PA：BP=PC：PA三、割线定理1、割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：从⊙O一点P引圆的两条割线AB、CD，则：PA·PB=PC·PD.2、割线定理证明证明：如图，连接AD、BC，由圆周角定理推论，得：∠D=∠B∵∠BPC=∠DPA∴△BPC∽△DPA∴ PB：PD=PC：PA∴ PA·PB=PC·PD四、例题例1、如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB⊥CD于点E，已知CE·ED=3,BE =1，求⊙O的直径。
解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA由相交弦定理得：CE·ED=AE·EB∴ 3=AE×1∴ AE=3∴ AB=AE+EB=3+1=4∴ AB=CD=4∴ AH=HB=2∴ HE=HB-EB=2-1=1∵ AB=CD，AB⊥CD∴ OH=OG∴四边形OGEH为正方形∴ OH=HE=1由勾股定理得，OA=,∴⊙O的直径为,例2、如题图,⊙O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6，AE=9，PC=3, CE:ED=2:1 ，求BE的值。
切割线定理的证明
切割线定理的证明切割线定理，也被称为Severi's定理或Sokhotski–Plemelj定理，是复变函数理论中的一个重要定理。
它描述了圆周上的切割线是满足特定条件的函数的积分路径。
首先，我们先来了解一下切割线的概念。
在复平面上考虑一个圆周C，设C的圆心为a，半径为r。
我们将这个圆周与平面割开，然后选择一个切割线L，使得它与圆周C只有一个交点。
切割线L可以看作是一个无限细长的线，在我们的讨论中，我们主要关注切割线与圆周交点的位置。
切割线定理可以被描述为：如果f(z)是一个在圆周C内解析的复变函数，那么对于切割线L上的任意点z0，方向由内指向外，切割线对应的复函数f(L)在点z0处的值可以通过下面的积分得到：f(L) = \frac{1}{2πi}\int_{C}\frac{f(z)}{z-z_0}dz其中，f(z)是圆周C内的解析函数，z0是切割线L上的点，C是切割线L与圆周C之间的路径。
这个定理的证明可以按照以下步骤进行。
首先，我们可以将切割线L与圆周C之间的路径C分为两段：一段位于切割线L外部，另一段位于切割线L内部。
接下来，我们需要通过引入一个小的参数ε来表示L的位置。
当我们让ε趋近于零时，切割线L就会趋近于圆周C上的一个点。
在圆周C上选择一个点Z，通过C上的路径积分，我们可以得到f(L)在点Z处的值。
根据留数定理，我们可以将路径积分转换为圆周C 内的留数求和。
但是由于该定理的前提条件是f(z)是圆周C内的解析函数，因此留数求和等于零。
因此，我们得到了f(L)在点Z处的值为零。
接下来，我们将点Z沿着圆周C移动至点z0处。
根据解析函数的性质，在点Z和点z0之间的圆周C上，函数f(z)也是解析的。
因此，我们可以得到f(L)在点z0处的值也为零。
最后，我们让点z0沿着切割线L变动。
根据切割线L的定义，我们可以观察到f(L)在点z0处的值是连续变化的。
根据复变函数理论中的连续性原理，我们可以得出结论：f(L)在点z0处的值是切割线L上所有点值的极限。
切割线定理公式及证明
切割线定理公式及证明如果在一个平面几何图形中，有n条交叉线将其分割成了n+1个部分，并且其中交叉线的个数是最少的，那么这个平面图形的面积可以通过以下公式进行计算：S=N+1-L/2其中，S表示图形的面积，N表示图形内部的点数，L表示交叉线的个数。
证明：为了证明切割线定理，我们需要先介绍欧拉公式：欧拉公式是欧拉在数学上取得的一个重要的成果，它表明了一个多面体的顶点数、棱数和面数之间的关系。
根据欧拉公式，对于一个凸多面体来说，有以下等式成立：顶点数+面数=棱数+2接下来我们将通过对一个多边形的推导来证明切割线定理。
假设我们有一个多边形，它被交叉线切割成了n+1个部分，其中交叉线的个数是最少的。
首先我们将这个多边形切割成一个三角形和一个n边形。
我们可以通过在切割线的每个交点上添加一个小圆圈，将这个图形的每个面部都变成一个小多边形。
也就是说，一个包含n+1个面的多边形就等价于n+1个小多边形的集合。
现在我们想计算这个多边形的面积。
首先我们来计算每个小多边形内部的点数。
由于三角形内部只有一个点，所以它的内部点数为1、对于n边形来说，我们可以将它切割成一个n-2边形和一个三角形，其中n-2边形的内部点数为N-1、同样地，三角形的内部点数为1接下来我们来计算切割线的个数。
根据欧拉公式，三角形有以下等式成立：顶点数+面数=棱数+2三角形的顶点数为3，面数为1，棱数为3，代入上述公式我们可以得到：3+1=3+2两边相减，我们可以得到：顶点数-棱数=2对于n边形来说，根据欧拉公式，同样可以得到：顶点数-棱数=2我们可以看到，一个多边形与其切割后形成的小多边形的顶点数和棱数之差是相等的。
根据切割线定理的假设，n边形被切割成了n-2边形和三角形，其中交叉线的个数是最少的。
所以我们可以假设切割线的个数为L。
再次回顾一下切割线定理的公式：S=N+1-L/2根据上述的推导，我们可以得出以下结论：三角形的面积为1，其内部点数为1，切割线的个数为L。
初中数学重点梳理：切线和割线
切线和割线知识定位切割线定理是初中平面几何中的重要定理,它应用广泛,各地的中考题有相当多的题目都用到它,竞赛题也不例外.且题目新颖，灵活多变，学生往往甚感困难。
因此有计划、有目的、有步骤地对切割线定理进行补充、演化无疑是十分有益的。
知识梳理知识梳理1：切割线定理切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的之一。
几何语言:∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线∴PT²=PD·PC(切割线定理)知识梳理2：割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言:∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)(割线定理)由上可知:PT²=PA·PB=PC·PD例题精讲【试题来源】【题目】如图，等边三角形ABC中，边AB与⊙O相切于点H，边BC,CA与⊙O交于点D,E,F,G。
已知AG=2,GF=6,FC=1.则DE=_______.【答案】21【解析】2由切割线定理可知16：4又AH AG AF,AHAC AG=•=∴==2又99故5则25又7，9，AC AG GF FCAB ACBHBD BE BHCE CD CF CG BC AC=++=∴===•==•=•===【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证:2PN MN NQ=⋅.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图,已知点P是O外一点,PS,PT是O的两条切线，过点P作O的割线PAB,交O于A.B两点，并交ST于点C,求证:1111()2PC PA PB=+.【答案】【解析】【知识点】切线和割线【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC。
切割线定理的证明
切割线定理的证明（实用版）目录一、引言二、切割线定理的概念介绍三、切割线定理的证明过程四、切割线定理的应用案例五、结论正文一、引言在几何学中，切割线定理是一个重要的定理，它可以帮助我们解决许多与直线和圆相关的问题。
切割线定理指的是，在给定一个圆和一条直线，通过这条直线在圆上切出的线段长度与直线到圆心的距离成比例。
今天我们将详细介绍切割线定理的证明过程以及它的应用案例。
二、切割线定理的概念介绍切割线定理可以表述为：在给定一个圆和一条直线，通过这条直线在圆上切出的线段长度与直线到圆心的距离成比例。
具体来说，如果我们用d 表示直线到圆心的距离，用 r 表示圆的半径，用 L 表示切割线段的长度，那么我们有一个等式：d / L = r / (r + d)。
三、切割线定理的证明过程为了证明这个定理，我们可以采用切割比例法。
具体来说，我们可以通过在一个圆内画出两条弦，然后把这两条弦延长，直到它们相交。
接着，我们可以通过相交点画出一条直线，这条直线会把圆分成两个部分。
我们可以用切割线定理来证明，这两个部分的面积之比等于直线到圆心的距离与直线到圆上任意一点的距离之比。
四、切割线定理的应用案例切割线定理在许多情况下都有应用。
例如，如果我们需要求解一个与圆相关的几何问题，我们可以使用切割线定理来简化问题。
假设我们有一个圆，它的半径是 r，然后我们有一条直线，它与圆相交于两个点，这两个点的距离是 d。
如果我们想要求解直线到圆心的距离，我们可以使用切割线定理来解决这个问题。
五、结论总的来说，切割线定理是一个重要的几何定理，它可以帮助我们解决许多与直线和圆相关的问题。
切割线定理公式及证明
切割线定理公式及证明
本文旨在介绍切割线定理的公式及证明，首先进行了相关概念的介绍，然后介绍了切割线定理及其应用，最后给出了它的公式及证明。
关键词：切割线定理，公式，证明
1 言
切割线定理是一种重要的几何定理，是对星座定理的更为普遍的形式，可以用于复杂的几何图形的分析，有助于我们更好的理解几何图形的形状和特点。
切割线定理的证明是一个较为复杂的过程，也是数学家们研究的热点。
2割线定理的概念
在几何中，切割线定理是定义在两个圆上的。
即，设A,B,C,D是两个圆的四个不同的点，用o表示其夹角，那么切割线定理就说，以AB为邻边，以CD为对边，则AoC+BoD=180°。
如果o=0，则它可以推广到星座定理，这两个定理都是几何定理。
切割线定理可以帮助我们分析复杂的几何图形，让我们更好地理解几何图形的形状和特点。
3割线定理的公式及证明
切割线定理的公式及证明如下：
假设A,B,C,D是两个圆的四个不同的点，用o表示其夹角，则有AoC+BoD=180°。
证明：
以A,B,C,D为顶点，构成四边形ABCD，以AB为邻边，CD为对边，在四边形ABCD内部任意选取一点E，将四边形ABCD按E分解成两个
三角形AEC和EDB：
由夹角定理，有AEC=180°-AoC和EDB=180°-BoD，得：
AoC+BoD=180°。
4论
通过本文的证明，我们可以得到切割线定理的公式，即
AoC+BoD=180°，可以用于复杂的几何图形的分析，有助于我们更好地理解几何图形的形状和特点。
第一章 §2 2.4 & 2.5 切割线定理 相交弦定理
2．4&2.5 切割线定理 相交弦定理对应学生用书P23]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．对应学生用书P23]切割线定理的应用[例1] 如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨] 本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析] (1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB.②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知＝，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA 的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝ .解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4相交弦定理的应用[例2]O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨] 由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析] 连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，则⊙O 的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得r＝.答案：相交弦定理与切割线定理的综合应用[例3]，AD、BC 相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨] 本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED ∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析] (1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP＝.∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.由切割线定理得PA2＝PB·PC.∴PA2＝×.∴PA＝.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于点F，FC与圆交于点G.求证：(1)△DFE∽△EFA；(2)△EFG∽△CFE.证明：(1)∵EF∥CB，∴∠DEF＝∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是»DB上的圆周角，∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF.∵∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知：△DFE∽△EFA，∴＝.即EF2＝FA·FD.由割线定理得FA·FD＝FG·FC.∴EF2＝FG·FC，即＝.又∵∠EFG＝∠CFE，∴△EFG∽△CFE.本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意] 本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试] (1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为( )A．4 B．5C．8 D．10解析：选B 设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为( )A． B．2C． D．解析：选B 设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A 在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是( )A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A 因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC，所以AB>BC>AC，因为CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点，所以AC＝CD，BC＝CE，所以AB>CE>CD.故选A.二、填空题5．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝3，则BD的长为．解析：由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.答案：46．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝2，PC＝4，圆心O到BC的距离为，则圆O的半径为．解析：记圆O的半径为R.依题意得PA2＝PB·PC，PB＝＝2，BC＝PC－PB＝2，所以R＝＝2.答案：27．如图，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A，若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝；CE＝ .解析：由切割线定理得AB·AC＝AD·AE，即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5；易知＝＝，又∠A＝∠A，故△ABD∽△AEC，故∠BCE＝∠BDA＝90°，＝.在直角三角形ABD中，BD＝＝，∴CE＝＝＝2.答案：5 28.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为．解析：设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝，AE＝，再由切割线定理得CE2＝EB·EA＝×＝，所以CE＝.答案：三、解答题9．如图，P为圆O外一点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，OP与AB相交于点M，且点C求证：∠OPC＝∠OCM.证明：连接OB，由切线长定理，得PA＝PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2＝OP·OM，∵OB＝OC，∴OC2＝OP·OM，即＝，∴△OCP∽△OMC，∴∠OPC＝∠OCM.10.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F.AD，BE相交于点G，连接BD.(1)求BD的长．(2)求∠ABE＋2∠D的度数．(3)求的值．解：(1)连接OC，因为AB是小圆的切线，C是切点，所以OC⊥AB，所以C是AB的中点．因为AD是大圆的直径，所以O是AD的中点．所以OC是△ABD的中位线．所以BD＝2OC＝10.(2)连接AE.由(1)知C是AB的中点．同理F是BE的中点．即AB＝2BC，BE＝2BF，由切线长定理得BC＝BF.所以BA＝BE.所以∠BAE＝∠E.因为∠E＝∠D，所以∠ABE＋2∠D＝∠ABE＋∠E＋∠BAE＝180°.(3)连接BO，在Rt△OCB中，因为OB＝13，OC＝5，所以BC＝12，AB＝24.由(2)知∠OBG＝∠OBC＝∠OAC.因为∠BGO＝∠AGB，所以△BGO∽△AGB.所以＝＝.11.如图，在Rt△BDE中，∠BDE＝90°，BC平分∠DBE交DE于点C，AC⊥CB交BE于点A，△ABC的外接圆的半径为r.(1)若∠E＝30°，求证：BC·BD＝r·ED.(2)若BD＝3，DE＝4，求AE的长．解：(1)证明：取AB的中点为O，△ABC是直角三角形，AB是斜边，O是外接圆的圆心，连接CO，所以BO＝CO，∠BCO＝∠OBC，因为BC是∠DBE的平分线，所以∠DBC＝∠CBA，所以∠OCB＝∠DBC，所以OC∥DB(内错角相等，两直线平行)，所以＝，把比例式化为乘积式得BD·CE＝DE·OC，因为OC＝r，所以BD·CE＝DE·r.因为∠D＝90°，∠E＝30°，所以∠DBE＝60°，所以∠CBE＝∠DBE＝30°，所以∠CBE＝∠E，所以CE＝BC，所以BC·BD＝r·ED.(2)过点C作CH⊥OE，垂足为H.BD＝3，DE＝4，根据勾股定理，BE＝5，OC＝OA ＝r，因为OC∥DB，所以△OCE∽△BDE，所以＝＝，即＝＝，解得OE＝r，CE＝r.CH＝＝r，因为BC平分∠DBE交DE于点C，则△BDC≌△BHC，所以BH＝BD＝3，则HE＝2.在Rt△CHE中，根据勾股定理得：CH2＋EH2＝CE2，即2＋22＝2，解得：r＝，则AE＝BE－2r＝5－＝.。
切割线定理公式及证明
切割线定理公式及证明
切割线定理公式：假设$V=\{v_i\}_{i=1}^{n}$是多边形$P$的一个顶点集合，$L=\{l_i\}_{i=1}^{n}$是从$v_1$出发，从$v_i$开始绕$P$沿顺时针方向绕一圈，途经定点$v_{i+1}$与$v_i$之间的一条射线，则定理结论如下：将射线$L$在多边形$P$内部切割，给出的n段子线段的总长度
T(L)与多边形面积S(P)满足：
$T(L)=2S(P)$
证明：
考虑多边形$P$包围面积S(P)中最后一个三角形，设其三个顶点分别为$v_i,v_{i+1},v_{i+2}$，以$v_i,v_{i+1}$为基线，$v_{i+2}$为外顶点。
将射线$l_i$投射到$v_i,v_{i+1}$的基线上，形成一个新的顶点
$v'_{i+2}$，由$v_i,v'_{i+2}$组成的新的三角形，与原来的三角形
$v_i,v_{i+1},v_{i+2}$完全相同，只不过替换了一个顶点，而新三角形的面积仍然为S(P)，且$v'_{i+2}$是射线$l_i$与多边形$P$之间的一个公共点，即射线$l_i$将多边形$P$内部切割，形成了两段新线段，令这两段新线段为$s_1$与$s_2$，则有：
$T(L)=s_1+s_2=2S(P)$
因此，得证切割线定理。
切割线定理及其推论
B P
证 明
的
PA•PD＝PB •PC
地位作用 教学目标 重点难点 教学学法 教学程序 教学特色
推论教学 定理教学 范例讲解 反馈练习 总结作业
练习1 练习
切割线定理的推论
C B 0 D A P
如图，⊙O的两条弦AB、CD 相交于点E，AC和DB的延长 线交于点P，下列结论中成立 的是（ ）。 A.PC•CA＝PB•BD B.CE•AE＝BE•ED C.CE•CD＝BE•BA D.PB•PD＝PC•PA
切割线定理及其推论说课演示
谢 谢！
东莞中学 2002.3
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推论的教学安排，从猜测到实验、再从证 明到最后掌握推论的结构特征，遵循由浅 入深、由易到难、循序渐进的原则设计课 堂教学结构，使学生能顺利学习。
地位作用 教学目标 重点难点 教学学法 教学程序 教学特色
推论教学 定理教学 范例讲解 反馈练习 总结作业 相 交 弦 定 理 D C O P B A 点 点特 圆 上 在 C O B 交 D A
推论教学 定理教学 范例讲解 反馈练习 总结作业
例题
例2.己知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和 B,PA=6cm,AB=8cm,PO=10.9cm,求⊙O的半径。
B A P C O
解答
例2为课本例题，其解答着重于题意和思 路的分析，如方程思想方法,并强调解题的 规范性。
地位作用 教学目标 重点难点 教学学法 教学程序 教学特色
地位作用 教学目标 重点难点 教学学法 教学程序 教学特色
知识目标：让学生掌握切割线定理及其 推论的证明与初步运用它们进行计算。 能力目标：培养学生类比、归纳的数学 思想及动手实践能力。 情感目标：唤醒学生的主体意识，使学 生获得积极的情感体验。如：探究的好奇心 理，主动学习的心理素质等。
切割线定理推论
切割线定理推论切割线定理是高等数学中非常重要的一个定理，其在数学和物理学中都有广泛的应用。
本文将从切割线定理的定义、推论以及实际应用等方面进行阐述。
一、切割线定理的定义切割线定理是指：若一曲线上有一点P，并且该曲线在P点处有一条切线，那么该曲线可以被这条切线分成两部分，其中一部分包含点P，而另一部分则不包含点P。
二、切割线定理的推论1.推论一若一曲线上有一点P，并且该曲线在P点处有一条切线，那么该曲线在P点处的斜率等于该曲线在P点处的切线的斜率。
2.推论二若一曲线上有一点P，并且该曲线在P点处有一条切线，那么在点P处，该曲线的导数等于该曲线在P点处的切线的斜率。
3.推论三若一曲线上有一点P，并且该曲线在P点处有一条切线，那么在点P处，该曲线的凹凸性与该曲线在P点处的切线的斜率变化的方向相同。
三、切割线定理的实际应用切割线定理在实际应用中有着广泛的应用，下面介绍几个具体的实例。
1.曲线的最大值和最小值通过对曲线进行分割，可以确定曲线的最大值和最小值。
具体的方法是，找到曲线的拐点，然后将拐点作为切割线，从而得出曲线的最大值和最小值。
2.曲线的优化在工程和科学研究中，经常需要对曲线进行优化，以达到最佳效果。
通过切割线定理，可以找到曲线的拐点，从而确定曲线的优化方向。
3.曲线的积分在计算曲线的积分时，切割线定理也有着重要的作用。
通过将曲线进行分割，可以将曲线的积分分为多个小段，从而更加方便地进行计算。
切割线定理是高等数学中非常重要的一个定理，其具有广泛的应用。
通过对切割线定理的理解和应用，我们可以更好地理解和掌握高等数学的知识，为实际应用提供更加准确和有效的数学支持。
切割线定理及其推论(说课)(精)
切割线定理及其推论（讲课）1．教材剖析1． 1 教材的地位与作用“切割线定理及其推论”是学生在已经掌握“订交弦定理”的基础上，进一步学习与圆相关的线段之间的比率关系。
它既以相像三角形为基础，又是对相像三角形的深入。
它又是在圆一章中求线段长的有力工具。
1． 2 教课目标知识目标：让学生掌握切割线定理及其推论的证明与初步运用它们进行计算和证明。
能力目标：培育学生类比、归纳、方程的数学思想和着手初中能力。
感情目标：唤醒学生的主体意识，使学生获取踊跃的感情体验。
如：研究的好奇心理，主动学习的心理素质等。
1． 3 教材的要点与难点教课要点是切割线定理及其推论的推导与其初步运用；教课难点是切割线定理及其推论的灵巧运用。
1． 4 教材办理教课怎样提告知识的发生过程？即它们是怎样被提出的、发现的，是怎样被抽象、归纳的，是怎样被猜想、判断的在这一系列的思想活动中，包含了极其丰富的思想要素与价值。
为此，我对教材进行了再创建。
2．教课方法和教课手段的采用依照fredenthal 的“数学教育应当是数学再发现的教育”的主张，联合教课纲领和我校学生的实质状况，我在网络课室（单人单机），联合《几何画板》，使用指引发现教课法进行教课。
3．对于学法的指导“授人以鱼，不如授人以渔”，我领会到，一定教会学生自主学习的方法。
教课中以数学识题为中心，安排教课程序，重申学生自己发现，重申发现的过程，重申学生自己获取悉识的方法。
培育学生采集、办理信息能力和获取新知识的能力。
4．教课过程4． 1 切割线定理及其推论的推导提出问题1复习上节课的订交弦定理的内容，当点在特别地点——圆周上时，结论仍是成立。
由此，引出课题：妆点在圆外时，结论怎样？设计企图：创建问题情境，以惹起学生学习需要和学习兴趣。
此过程约 3 分钟。
问题 2 的解决着手实验，提出假定1带着这些问题，学生着手实验，并察看实验数据的变化。
并由实验数据，归纳出一般的结论。
并把猜想展现在展现区上。
切割线定理的证明及其应用
切割线定理的证明及其应用
1.切割线定理：
在任意多边形 P 中，选择两个点 A、B，使得其他所有点到线段 AB 距离都相等，则线段 AB 称为多边形 P 的切割线。
2.证明
任一多边形 P，假设其边数为 n ，点 A 与 B 之间的距离为 D，其他点 C 到线段AB 的距离为 d，则有：
n × D = （n -2）× d
由此可知，D 将等于 d，即点 A 到点 B 的距离与其他点到线段 AB 的距离相等。
3.应用
（1）在图形计算中，利用切割线定理可用于在平面上快速定位任意多边形中特定位置的点，迅速检验多边形的贪婪算法和路径搜索算法是否为最优解，以便更好地分析求解图形学问题。
（2）切割线定理可以延伸至空间中，帮助我们快速定位立体图形中的某一点。
也可以利用它来实现空间划分，例如空间三角剖分。
（3）切割线定理更可以用于形状识别，例如通过计算其他点到切割线距离分布，来判断形状是否为平行四边形，正方形等等，具有重要的实际价值。
初中 切割线定理
初中切割线定理
切割线定理是初中数学中的一种几何定理，主要用于解决与三角形有关的问题。
它的表述如下：若一直线割一三角形之两边（或延长线）而交其他两边（或其延长线）于两点，则此直线截得的三角形面积等于被割去的两部分面积和的一半。
例如，在一个三角形ABC中，如果有一条直线DE从A点出发，经过BC边上的点D，然后到达AC边上的点E，那么根据切割线定理，我们就可以得出：三角形ADE的面积等于三角形ABD的面积加上三角形ACE的面积的一半。
这个定理在解题中非常有用，可以帮助我们快速计算出一些难以直接测量的面积，或者用来证明两个三角形的面积相等。
在学习和应用切割线定理时，我们需要理解其背后的逻辑，并熟练掌握相关的几何知识。
数学切割线定理
数学切割线定理
《数学切割线定理》
一、定义
数学切割线定理又称为卡普尔定理，指的是在平面（即二维）空间中，若对任意点做一条开放的切线，则必能够使这条切线和已知的点或线段形成若干个有限多边形，而这些有限多边形之间的边也都与已给的点或线段有关。
二、证明
若任意点P作一条开放的切线L，则必存在另一个点Q使L上的点Q和点P等距，即：存在根据距离公式可算出的实数a，使PQ=a （1）
其中，P和Q可以属于已知的点或者已知的线段上的点；
根据向量的距离公式：PQ=∥Q-P∥，结合（1）式可得：∥Q-P ∥=a（2）
再根据点到直线的距离公式：D=∥V-V0∥，可知：D=∥Q-P∥，结合（2）式可得：D=a（3）
又根据点到直线的垂足公式：P’=V0+∥V-V0∥÷∥V-V〗。
P’为点P到L的垂足，其中V为直线L上任意一点，V0为P点；将V用Q 表示，V0用P表示，结合（3）式可得：
P’=P+∥Q-P∥÷∥Q-P∥=P+1（4）
由（3）（4）可得：P’=P+a（5）
即可以认为，在点P以a为距离做出一条开放的切线之后，其切
点是点P处沿着它做出的新直线L所形成的垂足，即P’点。
综上所述，当任意点P作一条开放的切线时，必存在另一个点P’，使它们之间的距离为a，P’点属于切线L上的一点，且P’点是P点到L的垂足，即满足数学切割线定理。
三、应用
1、在进行平面几何中的旋转构造，可以用到这个定理。
2、求抛物线上的极值点时也可以使用此定理。
3、在统计图中可以使用数学切割线定理，用来判断某种统计指标是否满足一定的标准。
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【解析】
(1)证切线两条思路：
一是过圆心作垂线段，证明d=r，
二是连结半径，证半径OD⊥AD(这种思路是已知直线和圆有交
点时)此题当然是连结OD，证OD⊥AD.
由E是弧BC
OE⊥BC于F点，
AGD ODE EGF OED 90
OD OE ODE OED
∠ADG+∠ODE=90°即AD⊥OD∴AD是⊙O的切线
➢ 要点、考点聚焦
1.本课时重点是相交弦定理与切割线定理的应用. 2.相交弦定理及其推论(写出图示的结果，如图8-3-1).
图8-3-1 定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的
积相等(PA·PB=PC·PD). 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直
径所成的两条线段的比例中项(PC2=PD2=PA·PB).
A.PA·PD=PC·PB
图8-3-13 B.
PA AC PB BD
C.PA·PB=PC·PD
D.PB·BC=PD·AD
3在Rt△ABC中，∠BCA=90°，以A为圆心.AC为半径
的圆交AB于F，交BA延长线于E，CD⊥AB于D，给出四
个等式 ①BC2=BF·BA ②CD2=AD·AB ③CD2=DF·DE ④BF·BE=BD·BA，
4.中考命题方向及题型设置.
与圆有关的比例线段的定理及推论是中考的必考内容， 常用于计算或证明比例式，出现于各类题型中.
➢ 课前热身
1.图8-3-3，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B， 若PA=6，PB=4，则⊙O的半径为( B )
A.
5 4
C.2
B. 5 2
D.5
2. 如图8-3-4，⊙O中弦AB、CD相交于点F，AB=10， AF=2，若CF∶DF=1∶4，则CF的长等于( B )
线 ， 得 到 PF·PC=PA·PB，CD 与 AB 是 ⊙ O
中两条互相垂直的弦.得到CE2=AE·BE
由 PA∶AE∶EB=2∶4∶1 可 设 PA=2k，
AE=4k，EB=k， 则 PB=7k 则
7 ( 7 + 1 3 ) = 2 k×7k k= 10由 图8-3-8
CE2=AE·BE=>CE2=4k·k=4k2
(2)计算题，在圆中通常用两个定理：相交弦定理和切 割线定理. 由AD=4，AB=2AD2=AB·ACAC=8GB=2，GC=4(切割线定理) 再由相交弦定理：CG·BG=EG·DGDG=4△ADG为等边三角
形∠ADG=60°，下面根据垂径定理求⊙O的半径.过O作 OH⊥ED于H，则∠EOH=60° EH=3，OE=23 r=23.
探求出
FG2 FE2
FA FD
FA FD
FG=EF证明同(1)
方法小结：
1.相交弦定理和切割线定理可以看作与圆有公共点 的两条相交直线，当交点在圆内时得相交弦定理， 当交点在圆外便有切割线定理及切线长定理.
2.在圆的有关证明和计算中，若有相交弦和切割线 的基本图形时，通常要想到用相交弦定理和切割 线定理.
)A
A.
12 5 5
C. 5
2
B.
45 5
D.
65 5
图8-3-6 (2003年·河南省)
5. 如图8-3-7，点C为⊙O的弦AB上一点，点P为⊙O 上一点，且OC⊥CP，则有( D )
A.OC2=CA·CB C.PC2=PA·PB
图8-3-7 B.OC2=PA·PB
D.PC2=CA·CB
(2003年·杭州市)
➢ 典型例题解析
【例1】已知如图8-3-8，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
垂足为E，P为BA延长线上的点，连结PC，交⊙O于F，
如果PF=7，FC=13，且PA∶AE∶EB=2∶4∶1，求CD的长.
【解析】涉及圆中有关切割线，相交
弦定理的应用问题时，要注意寻找应
用 定 理 的 基 本 图 形 ， 如 PFC 与 PAB 是 割
【解析】(1)要证两线段相等，方法很多但这题应该用等积 式证EF=FG，很明显FG2=FA·FD，若再能得到EF2=FA·FD即可.
由EFCB B D2 NhomakorabeaB
2 D
1 1
△ FOA∽△FDO
所以结论得证.
FE2=FA·FD
(2)这是一道探索性问题，首先要根据题意画出图形，如图
8-3-11，再利用已知条件来探求结论是否成立，此题很容易
图8-3-4
A. 2
B.2 2
C.3
D.2
(2003年·重庆市)
3. 已知：如图8-3-5中，AB是⊙O的直径，OB=BD， ∠CAB=30°，则下列结论中错误的是( D )
图8-3-5
A.BC=BD C.CD是⊙O的切线
B.∠DCB=∠A D.DC2=DB·AB
(2003年·武汉市)
4. 已知，如图8-3-6，ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4， F是BC的中点，AF的延长线交⊙O于点E，则AE的长是(
【例3】如图8-3-10，已知⊙O的弦AB、CD交于圆内 的一点E，过E作EF∥BC交DA的延长线于F，FG切⊙O 于G. 求证：EF=FG
图8-3-10 若AB与CD的交点在⊙O外，上述结论是否成立，请证 明你的猜想.
已知⊙O的弦AB、CD交于圆内的一点E，过E作 EF∥BC交DA的延长线于F，FG切⊙O于G. 求证：EF=FG
CE=2 10
CD=2CE=4 10
【例2】如图8-3-9，割线ABC与⊙O相交于B、C两点， D为⊙O上一点，E为弧BC的中点，OE交BC于F，DE交 AC于G，∠AGD=∠ADG
图8-3-9 (1)求证：AD是⊙O的切线 (2)如果AB=2，AD=4，EG=2，求⊙O的半径.
(2003年·山东省)
➢ 课时训练
一、课堂反馈 1.如图8-3-12，PAB是⊙O的割线，PO交⊙O于C， 若⊙O的半径为R，PO=d，则PA·PB=( D )
A.2R-2d C.R2-d2
图8-3-12 B.2R+2d D.d2-R2
2.如图8-3-13，若直线PAB，PCD分别与⊙O交于点A、 B、C、D，则下列各式中，相等关系立的是( C )
3.切割线定理及推论(写出如图8-3-2的结论).
图8-3-2 定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点
到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 (PA2=PB·PC或PA2=PD·PE).
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到两条割 线与圆的交点的两条线段长的积相等 (PB·PC=PD·PE).