1.2 第2课时 矩形的判定
1.2 课时2 矩形的判定 课件 (共26张PPT) 数学北师版九年级上册
矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？
猜想 一个四边形至少有3个角是直角时，这个四边形是矩形．
探究3：有三个角是直角的四边形是矩形
分析：利用同旁内角互补，两直线平行来证明四边形是平行四边形，可使问题得证．
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
用矩形的定义判定：一个平行四边形有一个角是直角，这个图形是矩形．
探究2：对角线相等的平行四边形是矩形
动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点．
思考：(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
答：随着∠α的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长．
(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？
矩形
分析：要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD, AB∥CD. 又∵AC=DB, BC=CB. ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. 又∵AB∥CD. ∴∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=∠DCB=90°. ∴□ABCD是矩形.(矩形的定义).
AC＝BD (答案不唯一)
3．如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H四点．求证：四边形EFGH是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵□ABCD的四个内角平分线分别相交于E，F，G，H四点，由角平分线性质，得∠HAB＝ ∠DAB，∠ABH＝ ∠ABC，∴∠HAB＋∠ABH＝ (∠DAB＋∠ABC)＝90°，∴∠H＝90°.同理可求得∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．
1.2.2矩形的判定
,
∥ .
∴四边形 DECF 是平行四边形.
∵∠ACB=90°,∴四边形 DECF 是矩形,∴EF=CD=6cm.
典例精讲
例 6: 如图,在四边形 ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,O 是 AC 的中点,AD∥BC.
(1)求证：四边形 ABCD是平行四边形；
”都能判定平行四边形是矩形.
典例精讲
【题型一】矩形的判定简单应用
例 1： 下列说法不正确的是( )
A.有一个角为直角的平行四边形是矩形
B.有三个角为直角的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
典例精讲
【题型一】矩形的判定简单应用
例2:如图,平行四边形 ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,E,F
1.请同学们阅读课本14-16页.
2.动手操作，拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一对不相邻的顶点（如图）.
思考：①随着∠α的变化，两条对角线的长度是否发生变化？ （发生了变化）
②当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？
（对角线相等的平行四边形是矩形）
③矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个
在 AC上,且AE=CF,EF=BD,求证:四边形 EBFD 是矩形.
【证明】∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴OA=OC,OB=OD.
∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,
∴四边形 EBFD为平行四边形.
又∵EF=BD,∴四边形EBFD是矩形.
典例精讲
【题型二】添加条件成为矩形
例 3: 如图,在四边形 ABCD中,AD∥BC,AC与BD 交于点O,再添加什么条
1.2《矩形的性质与判定》北师大版九年级数学上册教案(第2课时)
第一章特殊的平行四边形1.2 矩形的性质与判定第2课时一、教学目标1．理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系．2．经历矩形判定定理的探索过程，进一步发展合情推理能力．3．能够用综合法证明矩形的判定定理，以及其他相关结论，进一步发展演绎推理能力．4．进一步体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想．二、教学重点及难点重点：探索矩形的判定方法．难点：合理应用矩形的判定定理解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资《四边形到平行四边形再到矩形的变化》动画，《矩形的判定》微课.五、教学过程设计【复习引入】1．什么叫做矩形？答：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形与平行四边形及四边形有什么从属关系？3．矩形有什么特有的性质呢？答：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等．4．你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？答：有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义判定）．5．那么除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？这节课我们就共同来探究一下．师生活动：教师出示问题，学生回答，让学生复习前面学过的内容．设计意图：通过复习，巩固旧知，铺垫新知，设置问题，引出新课．【探究新知】做一做如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？师生活动：教师出示“做一做”并操作演示，学生思考、讨论、交流，猜想出矩形的一个判定方法．答：（1）当∠α增大到90°时，两条对角线的长度相等．当∠α超过90°时，以∠α的顶点为端点的一条对角线逐渐变短，另一条对角线逐渐变长．（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形的四个角都等于90°．得到的猜想是：对角线相等的平行四边形是矩形．思考你能证明你的猜想吗？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生写出已知、求证并完成证明过程．答：已知：如图，在四边形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB．求证：□ABCD是矩形．分析：利用全等三角形证明平行四边形的某两个相邻的角相等，而这两个角又互补，所以它们都是直角，从而得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC．又∵BC=CB，AC=DB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ABC=∠DCB．∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB=180°．∴∠ABC=∠DCB=．∴□ABCD是矩形（矩形的定义）．设计意图：培养学生发现规律的能力和逻辑推理能力．判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．该判定定理的两个适用条件：（1）对角线相等；（2）是平行四边形．想一想：我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论、交流，形成猜想并证明猜想．猜想：一个四边形至少有三个角是直角时，这个四边形就是矩形．已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°．求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵∠A=∠B=90°，∴∠A+∠B=180°．∴AD∥BC．∵∠B+∠C=180°，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．设计意图：培养学生的归纳猜想，推理论证的能力．判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形．归纳:矩形的判定方法：方法1：有一个角是直角的平行四边形是矩形；方法2：对角线相等的平行四边形是矩形；方法3：有三个角是直角的四边形是矩形．议一议你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答．答：可以用直角尺检查安装的门框的四个角是否为直角．如果有三个角是直角，那么刚安装的门框一定是矩形．也可以用直尺（或皮尺）分别量出门框两组对边的长度，如果两组对边长度分别相等，则门框一定是平行四边形，再测量门框的对角线的长度，如果两条对角线的长度相等，那么刚安装的门框一定是矩形．如果仅有一根较长的绳子，可以先用绳子分别测量出门框的两组对边的长度，做上记号．如果两组对边的长度分别相等，那么这个门框一定是平行四边形，再用绳子量出门框的对角线的长度．如果这两条对角线的长度相等，那么这个刚安装的门框一定是矩形，否则不是矩形．理由是对角线相等的平行四边形是矩形．设计意图：让学生运用所学知识解决实际问题．【典例精析】例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=4，求□ABCD的面积．师生活动：教师出示例题，学生思考，教师引导学生完成本题．分析：教师先带学生从已知条件入手，对平行四边形对角线的性质进行分析，再结合△ABO是等边三角形的条件，很容易推出对角线相等，从而利用刚学的矩形的判定定理“对角线相等的四边形是矩形”证得是矩形，再利用勾股定理求出边长BC，进而求出矩形的面积．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．又∵△ABO是等边三角形，∴OA=OB=AB=4，∠BAC=60°．∴OA=OB=OC=OD=4．∴AC=BD=2OA=2×4=8．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2+BC2=AC2，∴．∴S□ABCD=AB·BC=4×=．设计意图：培养学生应用所学知识解决问题的能力．【课堂练习】1．下列命题错误的是（）．A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形B．对角互补的平行四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．四个角都相等的四边形是矩形参考答案C2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为__________．参考答案12．3．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．答案证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC．∵M是AD边的中点，∴AM=DM．又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）．∴∠A=∠D．又∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°．∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．4．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是□ABCD外一点，且∠AEC=∠BED=90°．求证：□ABCD是矩形．师生活动：教师出示题目，学生思考，教师请有思路的学生讲述解题思路，然后订正，最后教师写出解题过程．证明：如图，连接OE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD．∵∠AEC=∠BED=90°，∴OE=AC=BD．∴AC=BD．∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识，进一步加深对所学知识的理解．六、课堂小结请同学们回顾一下，我们学过的矩形的判定方法有哪些？答：我们学过的矩形的判定方法有：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．师生活动：教师出示问题，引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计1.2 矩形的性质与判定（2）1．矩形的判定方法：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形（3）判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。
北师大版九年级上册数学 1.2 第2课时 矩形的判定 优秀教案
第2课时矩形的判定1．理解并掌握矩形的判定方法；(重点)2．能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用．(难点)一、情景导入小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！二、合作探究探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形．解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AM＝BP＝CN＝DQ，∴OM＝OP＝ON＝OQ.∴四边形MPNQ是平行四边形．又∵OM＋ON＝OQ＋OP，∴MN＝PQ.∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形．探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形．解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角．证明：∵GE∥HF，∴∠GAB＋∠ABH＝180°.∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线，∴∠1＝12∠GAB，∠4＝12∠ABH，∴∠1＋∠4＝12(∠GAB＋∠ABH)＝12×180°＝90°，∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°.同理可得∠ACB＝90°.又∵∠ABH＋∠FBA＝180°，∠4＝12∠ABH，∠2＝12∠FBA，∴∠2＋∠4＝12(∠ABH＋∠FBA)＝12×180°＝90°，即∠DBC＝90°.∴四边形ADBC是矩形．方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形．探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF.(1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由．解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE ＝∠DCE ，然后利用“AAS ”证明△AEF 和△DEC 全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF ＝CD ，再利用等量代换即可得BD ＝CD ；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD 是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB ＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC 满足的条件必须是AB ＝AC .解：(1)BD ＝CD .理由如下： ∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DCE . ∵E 是AD 的中点， ∴AE ＝DE . 在△AEF 和△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠AEF ＝∠DEC ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF ＝DC . ∵AF ＝BD ， ∴BD ＝DC ；(2)当△ABC 满足AB ＝AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由如下：∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形． ∴AB ＝AC ，BD ＝DC ， ∴∠ADB ＝90°.∴四边形AFBD 是矩形． 方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．三、板书设计矩形的判定错误!通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力.。
第1章-1.2-第2课时 矩形的判定
课堂小结 矩形的判定方法 方法 1：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 方法 2：对角线相等的平行四边形是矩形．(对角线相等
且互相平分的四边形是矩形) 方法 3：有三个角是直角的四边形是矩形．
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D＝90°， 若再添加一个条件，就能推出四边形 ABCD 是矩形，你所添 加的条件是 ∠∠AA＝＝9900°°或或∠∠BB＝＝9900°°或或 AADD＝＝BBCC或或ABA∥B∥ CD( 写出一个即可 ) ．(写出一种情况即可)
4. 如图，将▱ABCD 的边 AB 延长到点 E，使 BE＝AB，
【归纳总结】对角线相等的平行四边形是矩形．当涉及 对角线相等时，可选择这一判定方法．
知识点 3 有三个角是直角的四边形是矩形 例3 已知：如图，Rt△ ABC≌Rt△ CDA，其中点 A，D 的对应点分别是 C，B，∠B＝∠D＝90°.求证：四边形 ABCD 是矩形．
【思路点拨】由 Rt△ ABC≌Rt△ CDA，根据全等三角形 的对应角相等，可得∠BAC＝∠ACD，由∠B＝∠D＝90°， 即可证得∠BCD＝90°，由有三个角是直角的四边形是矩形 证得结论．
知识点 2 对角线相等的平行四边形是矩形 例2 (教材 P16T2)如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，分别交∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线 于点 C，D.试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论．
【思路点拨】根据角平分线的定义和平行线推出∠OCB ＝∠OBC，推出 OC＝OB，同理 OD＝OB.说明四边形 ACBD 是对角线互相平分且相等的平行四边形．
证明：∵Rt△ ABC≌Rt△ CDA，∴∠BAC＝∠ACD. ∵∠B＝∠D＝90°， ∴∠BAC＋∠ACB＝90°， ∴∠ACB＋∠ACD＝90°，即∠BCD＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形．
北师大版九年级数学上册1.2 第2课时 矩形的判定2 教学设计
第2课时矩形的判定教学目标1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。
2. 能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.重点掌握并会运用矩形的判定难点运用矩形的判定进行简单的推理与计算。
一、旧知回顾1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.平行四边形矩形边对边平行且相等对边平行且相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等且互相平分2、矩形对称性：二、合作探究仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形的判定有哪些吗？（分别从边、角、对角线几个方面考虑。
）1、定义可以作为判定2、四个角都是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等的四边形。
你能证明所写出的判定命题吗？备注（教师复备栏）三、应用例1. 如图，□ ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，△AOB 是正三角形，AB=4cm.(1) 求证□ ABCD 是矩形. (2) 求□ ABCD 的面积.2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形吗？说明理由。
答案：四边形ACBE 是矩形.因为CD 是Rt △ACB 斜边上的中线，所以DA=DC=DB,又因为DE=CD ，所以DA=DC=DB=DE,所以四边形ABCD 是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）。
四、课堂检测：1．下列说法正确的是（ ）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形D.对角互补的平行四边形是矩形备注（教师复备栏）ODC BA2. 矩形各角平分线围成的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3. 下列判定矩形的说法是否正确（1）有一个角是直角的四边形是矩形（）（2）四个角都是直角的四边形是矩形（）（3）四个角都相等的四边形是矩形（）（4）对角线相等的四边形是矩形（）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（）（6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）4.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)。
1.2.2矩形的性质与判定(教案)
同时，我也发现部分学生在解决矩形相关问题时，仍然存在思维定式，不能灵活运用所学知识。为了帮助学生克服这一问题，我打算在课后加强个别辅导，针对不同学生的特点，引导他们运用多种方法解决问题，提高他们的解题能力。
1.培养学生的几何直观与空间想象能力：通过探究矩形的性质与判定，使学生在观察、操作、思考中形成对矩形几何特征的直观认识，提高空间想象力。
2.培养学生的逻辑推理能力：在探究矩形性质与判定的过程中，训练学生运用逻辑思维，通过推理、证明等方式掌握矩形的性质及其应用。
3.培养学生的数学建模能力：通过解决与矩形相关的实际问题，让学生学会运用所学知识构建数学模型，培养解决实际问题的能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是有一个角是直角的平行四边形，具有对边平行且相等、对角相等、四个角都是直角的特点。它在几何学中具有重要地位，广泛应用于日常生活和建筑等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个矩形物体的性质，了解矩形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
（2）矩形的判定方法：掌握至少三种判定矩形的方法，并能运用到实际问题中。
-举例：通过具体练习题，让学生练习如何根据直角、对角线相等、对边平行等条件判断一个四边形是否为矩形。
2.教学难点
（1）矩形的性质推导：理解并掌握矩形对角线互相平分、相等的性质，以及矩形是轴对称图形的证明。
-难点解释：这部分内容需要学生具备一定的逻辑推理和几何证明能力，教师应通过直观演示和逐步引导，帮助学生理解性质背后的几何原理。
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定(共13张PPT)
可根据条件灵活选用恰当的方法．
求证：
是矩形。
A
解：∵ABCD是平行四边形， 意四边形，还是平行四边形，然后选择适
已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线相
O
∴AC = 2OA，BD = 2OB。 矩形的判定方法分两类：
A．对角线相等
B．对角线垂直
∵OA = OB， 求证：四边形ABCD是矩形
∴∠ABC + ∠DCB = 180°，
O
是矩形吗？为什么？
)1 B
2( C
1.已知：矩形ABCD的两条对角线相交于点O， ∠AOD= 120°，AB=4cm，求矩形对角线的长。
2.已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于 点O，△AOB是等边三角形，AB＝ 4 cm。求这 个平行四边形的面积。
3.已知:如图,平行四边形ABCD的四个内角平分线相 交于点E，F， G，H。求证：EG＝FH。
A D
C
B
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。Βιβλιοθήκη 求证：判是矩定形定。 理1
矩 ∴ ∠A + ∠B = 180°，
∴ ∠ABC = 90°，
形 有三个角都相等的四边例形是如矩：形．
已知：在
中，AC = BD。
对角线相等的平行四边形是矩形
A
D
的 延长CD到点E,使得 DE＝CD。
在Rt△ABC中，
∴ ∠A + ∠B = 180°，
∠B + ∠C = 180°，
∴AD∥BC， AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵ ∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
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例题 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB是 等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.
北师大版九年级上册数学 1.2 第2课时 矩形的判定2 教案
第2课时矩形的判定教学目标1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。
2. 能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.重点掌握并会运用矩形的判定难点运用矩形的判定进行简单的推理与计算。
一、旧知回顾1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.平行四边形矩形边对边平行且相等对边平行且相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等且互相平分2、矩形对称性：二、合作探究仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形的判定有哪些吗？（分别从边、角、对角线几个方面考虑。
）1、定义可以作为判定2、四个角都是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等的四边形。
你能证明所写出的判定命题吗？备注（教师复备栏）三、应用例1. 如图，□ ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，△AOB 是正三角形，AB=4cm.(1) 求证□ ABCD 是矩形. (2) 求□ ABCD 的面积.2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形吗？说明理由。
答案：四边形ACBE 是矩形.因为CD 是Rt △ACB 斜边上的中线，所以DA=DC=DB,又因为DE=CD ，所以DA=DC=DB=DE,所以四边形ABCD 是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）。
四、课堂检测：1．下列说法正确的是（ ）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形D.对角互补的平行四边形是矩形备注（教师复备栏）ODC BA2. 矩形各角平分线围成的四边形是（）A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形3. 下列判定矩形的说法是否正确（1）有一个角是直角的四边形是矩形（）（2）四个角都是直角的四边形是矩形（）（3）四个角都相等的四边形是矩形（）（4）对角线相等的四边形是矩形（）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（）（6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形（）4.在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)。
1.2第2课时 矩形的判定
例 [教材例2变式题] 如图1－2－17所示，D是△ABC的边 AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC. (1)求证：CD＝AN； (2)若∠AMD＝2∠MCD， 求证：四边形ADCN是矩形．
第2课时 矩形的判定
[解析] (1)根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC＝ ∠NCA，然后利用“角边角”证明△AMD和△CMN全等，根
证明：(1)∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA. 在△AMD 和△CMN 中， ∠DAC＝∠NCA， MA＝MC， ∠AMD＝∠CMN， ∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN. 又∵AD∥CN， ∴四边形 ADCN 是平行四边形，∴CD＝AN.
第2课时 矩形的判定
(2)∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC， ∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC. 由(1)知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD＝MN＝MA＝MC，
∴AC＝DN， ∴四边形ADCN是矩形． [归纳总结] 若易证四边形是平行四边形，则再证一角为直角
或对角线相等，即可得矩形．
据全等三角形对应边相等可得AD＝CN，然后判定四边形
ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证 ； (2)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推 出∠MCD＝∠MDC，再根据等角对等边可得MD＝MC，然后
证明AC＝DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形学
新课标（BS） 九年级上册
2 矩形的性质与判定
第2课时 矩形的判定
第2课时 矩形的判定
新 知 梳 理
► 知识点 矩形的判定定理
相等 的平行四边形是矩形． 定理：对角线_______ 直角 的四边形是矩形． 定理：有三个角是_______
北师大版数学九年级上册1.2.2矩形的判定(教案)
本节课将通过实例分析、定理证明、练习巩固等环节，帮助学生深入理解矩形的概念和判定方法，培养他们的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下核心素养：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过矩形判定方法的探究和证明过程，使学生能够理解逻辑推理的基本方法，提高他们的逻辑思维能力。
2.增强学生的空间观念：通过观察、分析矩形图形，使学生能够形成对矩形特征的空间观念，提高他们的空间想象力和直观感知能力。
3.提升学生的数据分析能力：在解决实际问题时，引导学生运用矩形性质进行分析，培养他们从数学角度观察、思考问题的习惯，提高数据处理和解决问题的能力。
4.培养学生的团队合作意识：通过小组讨论、合作探究，使学生学会倾听他人意见，增强团队协作能力，培养合作解决问题的意识。
2.提高小组讨论的针对性和有效性，确保讨论主题的紧扣。
3.丰富例题和练习题，提高同学们解决实际问题的能力。
4.营造更加轻松、自由的课堂氛围，让同学们更加自信地学习。
希望通过不断的反思和改进，能够帮助同学们更好地掌握矩形的相关知识，提高他们的数学素养。
-教师需要通过典型例题和练习题，引导学生学会分解复杂图形，运用矩形性质进行计算。
本节课的教学难点与重点紧密围绕矩形的判定和性质，通过丰富的教学资源和手段，帮助学生深入理解矩形的核心知识，突破学习难点，确保学生能够熟练掌握矩形的相关概念和应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《矩形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断一个图形是否为矩形的情况？”（如判断黑板的形状）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索矩形判定的奥秘。
北师大版九年级上册数学1.2第2课时矩形的判定优秀教案
上埠二中《乡村中小学信息技术与数学教课有效整合的实践研究》课题组等的平行四边形是矩形)．第 2 课时矩形的判断方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可第一考虑可否用对1．理解并掌握矩形的判断方法；(要点 )2．能娴熟掌握矩形的判断及性质的综合应用． (难点 )一、情形导入小明想要做一个矩形相框送给妈妈做诞辰礼品，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么方法能够检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！二、合作研究研究点一：对角线相等的平行四边形是矩形以下图，外面的四边形ABCD 是矩形，对角线AC，BD 订交于点O，里面的四边形 MPNQ 的四个极点都在矩形ABCD 的对角线上，且AM ＝ BP＝ CN＝DQ .求证：四边形MPNQ 是矩形．分析：要证明四边形MPNQ 是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴ OA ＝OB＝ OC＝ OD.∵AM＝ BP＝ CN＝ DQ，∴OM＝ OP＝ ON＝OQ.∴四边形 MPNQ 是平行四边形．又∵ OM ＋ ON＝ OQ＋ OP，∴MN＝ PQ.∴平行四边形MPNQ 是矩形 (对角线相角线的条件证明矩形．研究点二：有三个角是直角的四边形是矩形如图， GE∥ HF ，直线 AB 与 GE 交于点 A，与 HF 交于点 B，AC 、BC、 BD、AD 分别是∠ EAB、∠ FBA、∠ ABH 、∠GAB的均分线，求证：四边形 ADBC 是矩形．分析：利用已知条件，证明四边形ADBC 有三个角是直角．证明：∵ GE∥HF ，∴∠ GAB＋∠ ABH ＝ 180°.∵AD、BD 分别是∠ GAB、∠ ABH 的平分线，∴∠ 1＝1∠GAB，∠ 4＝1∠ ABH，22∴∠ 1＋∠4＝12(∠GAB ＋∠ABH) ＝12×180°＝ 90°，∴∠ ADB ＝180°－ (∠ 1＋∠ 4)＝ 90°.同理可得∠ ACB＝ 90°.又∵∠ ABH＋∠ FBA ＝ 180°，∠4＝12∠ ABH，∠ 2＝12∠ FBA，∴∠ 2＋∠4＝112(∠ABH ＋∠FBA) ＝2×180°＝ 90°，即∠ DBC＝ 90°.∴四边形 ADBC 是矩形．方法总结：矩形的判断方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的差别和联系，此判断方法只需说明一个四边形有三个角上埠二中《乡村中小学信息技术与数学教课有效整合的实践研究》课题组是直角，则这个四边形就是矩形．研究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形以下图，在△ ABC 中，D 为 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延伸线于点 F，且 AF ＝ BD . 连结 BF.(1)BD 与 DC 有什么数目关系？请说明原因；(2)当△ ABC 知足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明原因．分析： (1)依据“两直线平行，内错角相等”得出∠ AFE ＝∠ DCE ，而后利用“AAS ”证明△ AEF 和△DEC 全等，依据“全等三角形对应边相等” 可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD ＝ CD ；(2) 先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 证明四边形AFBD 是平行四边形，再依据“有一个角是直角的平行四边形是矩形” 可知∠ ADB ＝ 90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ ABC 知足的条件一定是AB＝AC .解： (1)BD ＝ CD .原因以下：∵AF∥ BC，∴∠ AFE ＝∠ DCE .∵E 是 AD 的中点，∴AE＝DE.在△AEF和△DEC中，∠AFE＝∠ DCE ，∠AEF ＝∠ DEC ，AE＝ DE ，∴△ AEF ≌△ DEC(AAS) ，∴AF＝DC .∵AF＝BD ，∴BD＝DC；(2)当△ ABC 知足 AB＝AC 时，四边形AFBD 是矩形．原因以下：∵AF∥BD ， AF＝ BD ，∴四边形 AFBD 是平行四边形．∴ AB＝AC， BD＝ DC ，∴∠ ADB ＝90°.∴四边形 AFBD 是矩形．方法总结：此题综合考察了矩形和全等三角形的判断方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解此题的要点．三、板书设计矩形的判断错误 !经过研究与沟通，得出矩形的判断定理，使学生亲自经历知识的发生过程，并会运用定理解决有关问题．经过开放式命题，试试从不一样角度追求解决问题的方法．经过着手实践、合作研究、小组沟通，培育学生的逻辑推理能力 .。