电大离散数学作业答案(图论部分)
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离散数学作业5
离散数学图论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业,大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求2018年12月5日前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,以便教师评分。
一、填空题
1.已知图G 中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结点,则G 的边数是15.
2.设给定图G (如右由图所示),则图G 的点割集是 {f}.
3.设G 是一个图,结点集合为V ,边集合为E ,则 G 的结点度数之和等于边数的两倍.
4.无向图G 存在欧拉回路,当且仅当G 连通且等于出度.
5.设G=
6.若图G=
7.设完全图K n 有n 个结点(n ≥2),m 条边,当n 为奇数时,K n 中存在欧拉回路.
8.结点数v 与边数e 满足e=v-1关系的无向连通图就是树.
9.设图G 是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G 中删去 4条边后使之变成树.
10.设正则5叉树的树叶数为17,则分支数为i =5.
二、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)
1.如果图G 是无向图,且其结点度数均为偶数,则图G
存在一条欧拉回
路..
(1) 不正确,缺了一个条件,图G应该是连通图,可以找出一个反例,比如图G是一个有孤立结点的图。
2.如下图所示的图G存在一条欧拉回路.
(2) 不正确,图中有奇数度结点,所以不存在是欧拉回路。
3.如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图.
G
解:正确
因为图中结点a,b,d,f的度数都为奇数,所以不是欧拉图。
如果我们沿着(a,d,g,f,e,b,c,a),这样除起点和终点是a外,我们经过每个点一次仅一次,所以存在一条汉密尔顿回路,是汉密尔顿图
4.设G是一个有7个结点16条边的连通图,则G为平面图.
解:(1) 错误
假设图G是连通的平面图,根据定理,结点数v,边数为e,应满足e小于等于3v-6,但现在16小于等于3*7-6,显示不成立。所以假设错误。
5.设G是一个连通平面图,且有6个结点11条边,则G有7个面.
(2) 正确
根据欧拉定理,有v-e+r=2,边数v=11,结点数e=6,代入公式求出面数
r=7
三、计算题
1.设G=
(1) 给出G的图形表示; (2) 写出其邻接矩阵;
(3) 求出每个结点的度数; (4) 画出其补图的图形.
解:(1)
(2) 邻接矩阵为
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛0110010110110110110000100
(3) v 1结点度数为1,v 2结点度数为2,v 3结点度数为3,v 4结点度数为2,v 5结点度数为2
(4) 补图图形为
2.图G =
(1)画出G 的图形; (2)写出G 的邻接矩阵; (3)求出G 权最小的生成树及其权值.
(1)G 的图形如下:
ο
ο ο ο v 1
ο v 5
v 2 v 3 v 4
ο
ο ο ο v 1 ο
v 5
v 2 v 3
v 4
(2)写出G的邻接矩阵
(3)G权最小的生成树及其权值
3.已知带权图G如右图所示.
(1) 求图G的最小生成树; (2)计算该生成树的权值.解:(1) 最小生成树为
(2) 该生成树的权值为(1+2+3+5+7)=18
4.设有一组权为2,3,5,7,17,31,试画出相应的最优二叉树,计算该最优二叉树的权.
3
5
2
5
1
7
17
31
1
3
61
2
3
5
7
权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131
四、证明题
1.设G 是一个n 阶无向简单图,n 是大于等于3的奇数.证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等.
证明:设,G V E =<>,,G V E '=<>.则E '是由n 阶无向完全图n K 的边删去E 所得到的.所以对于任意结点u V ∈,u 在G 和G 中的度数之和等于u 在n K 中的度数.由于n 是大于等于3的奇数,从而n K 的每个结点都是偶数度的( 1 (2)n -≥度),于是若u V ∈在G 中是奇数度结点,则它在G 中也是奇数度结点.故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等.
2.设连通图G 有k 个奇数度的结点,证明在图G 中至少要添加2
k
条边才能使其成为欧拉图.
证明:由定理3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数,可知k 是偶数.
又根据定理4.1.1的推论,图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点.因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边,使图G 的所有结点的度数变为偶数,成为欧拉图.
故最少要加2
k
条边到图G 才能使其成为欧拉图.