常见的周期数列
斐波那契数列循环周期表
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周期数列的五种常见形式
周期数列的五种常见形式周期数列指的是数列中出现的元素具有一定的规律性，按照一定的模式循环出现。
常见的周期数列有以下五种形式：1.等差数列：等差数列是指数列中的相邻元素之间的差值是常数。
即每项与前一项的差值相等。
例如：1,4,7,10,13,...这个数列的公差是3，每一项与前一项之间的差是32.等比数列：等比数列是指数列中的相邻元素之间的比值是常数。
即每项与前一项的比值相等。
例如：2,4,8,16,32,...这个数列的公比是2，每一项与前一项之间的比值是23.斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项等于其前两项之和。
即从第三项开始，每一项等于前两项的和。
例如：1,1,2,3,5,8,...这个数列的特点是，从第三项开始，每一项等于前两项的和。
4.周期为两个数的和：这种数列的每一项等于其前两项之和。
但是相比斐波那契数列，前两项可以不是1，1，而可以是任意两个正整数。
例如：3,5,8,13,21,...这个数列的特点是，从第三项开始，每一项等于前两项的和。
5.等差等比数列交替：这种数列是由等差数列和等比数列交替组成。
即相邻两个数列的元素分别满足等差和等比的规律。
例如：1,2,4,7,11,16,22,...这个数列的特点是，前两个元素满足等差规律（每一项与前一项之间的差是1），后两个元素满足等比规律（每一项与前一项之间的比是2）。
这些是周期数列的五种常见形式。
每个数列都有自己的特点和规律，通过观察数列中元素之间的关系，可以找到数列的规律并预测后续的元素。
周期数列的应用非常广泛，不仅在数学中有重要的地位，还在其他领域如物理、经济等中有着重要的应用价值。
斐波那契数列循环周期表
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周期数列及其应用
维普资讯
第 ２期
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第１ ９卷第 ２ 期
２Ｏ ０２年 ６ 月
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周期数列
常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。
例1、已知数列满足a1 =2，an+1 =1－，求an 。
解:an+1 =1－an+2 =1－=－, 从而an+3 = 1－=1＋an－1=an ,即数列是以3为周期的周期数列。
又a1 =2，a2=1－=, a3 =－12 , n=3k＋1所以an= ,n=3k＋2 ( kN )－1 , n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n 的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时，是以q为公差的等差数列。
（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。
（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an－｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。
例2、已知：=且，求数列的通项公式。
解：=－=即数列是以为公比，为首项的等比数列。
（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。
（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。
例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an －1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解：a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .(2)证明：an=3n--1＋an－1 (n2) ,an－an－1=3n—1 ,an－1－an－2=3n—2 ,an－2－an－3=3n—3……,a4－a3=33 ,a3－a2=32 ,a2－a1=31将以上等式两边分别相加，并整理得:an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。
L 四上 第6讲 数列中的周期问题
1211109876543211110987654321四上 第6讲 数列中的周期问题姓名 得分 【例 1】 小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…你知道他写的第81个数是多少吗？你能求出这81个数相加的和是多少吗？【巩固】 根据下面一组数列的规律求出51是第几个数？1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17、18、19……【例 2】 ⑴4×4×……×4（25个4），积的个位数是几？⑵24个2相乘，积末位数字是几？【巩固】 紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l 999个数字是几？这1999个数字的和是多少？【例 3】 12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图． ⑴从1号同学开始，顺时针传100次，手绢应在谁手中？⑵从1号同学开始，逆时针传100次，手绢又在谁手中？⑶从1号同学开始，先顺时针传l 56次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107次，最后手绢在谁手中？【巩固】 8个队员围成一圈做传球游戏，从①号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？【巩固】 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字0的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字0的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？【巩固】如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过几天，小球又回到原来的1号位置？【巩固】如右图，有16把椅子摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码.现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进136个，这时他到了第几号椅子？【例4】甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。
50个常见收敛发散级数
50个常见收敛发散级数在数学中，级数是由无穷多个数相加或相乘的表达式。
其中，收敛级数指的是其部分和序列逐渐趋于一个有限值，而发散级数则是其部分和序列无穷大或无穷小。
在本文中，我们将探讨50个常见的收敛与发散级数。
1. 调和级数（Harmonic series）是最简单的级数之一，其公式为1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n。
经过研究发现，调和级数是发散的。
2. 几何级数（Geometric series）是由等比数列构成的级数。
例如，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n。
当公比小于1时，几何级数收敛于有限值；当公比大于等于1时，则发散。
3. 幂级数（Power series）是由幂函数构成的级数。
例如，1 + x + x^2 +x^3 + ... + x^n。
幂级数的收敛半径与x的取值有关，超出收敛半径将发散。
4. 指数级数（Exponential series）是由指数函数构成的级数。
例如，1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ... + (x^n)/n!。
指数级数在整个实数范围内都是收敛的。
5. 对数级数（Logarithmic series）是由对数函数构成的级数。
例如，1 + (x-1)/1 - (x-1)^2/2 + (x-1)^3/3 - ... + (-1)^(n-1)*(x-1)^n/n。
对数级数在-1<x<1范围内收敛。
6. 斯特林级数（Stirling series）是用于估算阶乘的级数。
它基于斯特林公式，其公式为n! ≈ √(2πn)*(n/e)^n。
7. 贝塞尔级数（Bessel series）是由贝塞尔函数构成的级数。
贝塞尔函数广泛应用于物理和工程学领域中的振动问题。
8. 超几何级数（Hypergeometric series）是由超几何函数构成的级数。
它在统计学和数论中有重要应用。
四年级奥数周期问题二(数列中的周期问题)
教学主题：周期问题二（数列中的周期问题）教学重难点：正确理解题意，从中找准变化的规律，利用这些规律作为解题的依据；要确定解题的突破口，解决实际问题。
教学过程：1.导入问题导入例如：1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？2.呈现例1.小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…你知道他写的第81个数是多少吗？你能求出这81个数相加的和是多少吗？解析：⑴从排列上可以看出这组数按7，0，2，5，3依次重复排列，那么每个周期就有5个数．81个数则是16个周期还多1个，第1个数是7，所以第81个数是7，81516÷= (1)⑵每个周期各个数之和是：7025317++++=．再用每个周期各数之和乘以周期次数再加上余下的各数，即可得到答案．17167279⨯+=，所以，这81个数相加的和是279．例2.⑴44⨯⨯……4⨯（25个4），积的个位数是几？⑵24个2相乘，积末位数字是几？解析：⑴按照乘数的个数，积的末位数字的规律是：4，6，4，6，4，6，……，奇数个4相乘得数的末位数字是4，偶数个4相乘得数的末位数是6，所以25212÷=…1，25个4相乘，积的末位数字是4．⑵按照乘数的个数，末位数字的规律是2，4，8，6，2，4，8，6，……，4个一组2446÷=，所以24个2相乘，积末位数字是6．例3.12个同学围成一圈做传手绢的游戏，如图．⑴从1号同学开始，顺时针传l00次，手绢应在谁手中？⑵从1号同学开始，逆时针传l00次，手绢又在谁手中？⑶从1号同学开始，先顺时针传l56次，然后从那个同学开始逆时针传143次，再顺时针传107次，最后手绢在谁手中？121110987654 3 21解析：⑴因为一圈有l 2个同学，所以传一圈还回到原来同学手中，现在，从1号开始，顺时针传l 00次，我们先用除法求传了几圈、还余几次．100128÷=(圈)……4(次)从1号同学顺时针传4次正好传到5号同学手中．⑵与第一小题的道理一样，先做除法．100128÷=(圈)……4(次)这4次是逆时针传，正好传到9号同学手中(如图)．⑶先顺时针传156次，然后逆时针传l 43次，相当于顺时针传15614313-=(次)；再顺时针传l 07次，与13次合并，相当于顺时针传13107120+=(次)，1201210÷=(圈)，手绢又回到l 号同学手中．例4.甲、乙两人对一根3米长的木棍涂色。
行测数量关系知识点汇总
行测数量关系知识点汇总一、数字推理。
1. 基础数列。
- 等差数列：相邻两项的差值相等，例如：1，3，5，7，9，…，公差为2。
- 等比数列：相邻两项的比值相等，例如：2，4，8，16，32，…，公比为2。
- 质数数列：由质数组成的数列，如2，3，5，7，11，13，…- 合数数列：由合数组成的数列，如4，6，8，9，10，12，…- 周期数列：数列中的数字按照一定的周期重复出现，例如：1，2，1，2，1，2，…- 简单递推数列。
- 递推和数列：如1，2，3，5，8，13，…，从第三项起，每一项等于前两项之和。
- 递推差数列：如5，3，2，1，1，0，…，从第三项起，每一项等于前两项之差。
- 递推积数列：如1，2，2，4，8，32，…，从第三项起，每一项等于前两项之积。
- 递推商数列：如100，50，2，25，1/12.5，…，从第三项起，每一项等于前两项之商。
2. 多级数列。
- 做差多级数列。
- 对于数列不具有明显规律时，可先尝试做差。
例如数列：5，7，10，14，19，…，相邻两项做差得到2，3，4，5，…，是一个公差为1的等差数列。
- 做商多级数列。
- 当数列各项之间有明显的倍数关系时，可尝试做商。
如数列：2，4，12，48，240，…，相邻两项做商得到2，3，4，5，…，是一个公差为1的等差数列。
- 做和多级数列。
- 有些数列做和后会呈现出规律。
例如数列：1，2，3，4，7，11，…，相邻两项做和得到3，5，7，11，18，…，得到的新数列可能是质数数列或者其他有规律的数列。
- 做积多级数列。
- 数列中相邻项之间有乘积关系时适用。
比如数列：1，2，2，4，8，32，…，相邻两项做积得到2，4，8，32，256，…，做积后得到的数列可能有自身规律。
3. 幂次数列。
- 基础幂次数列。
- 要牢记常见的幂次数：1^2 = 1，2^2=4，3^2 = 9，4^2=16，5^2 = 25，6^2=36，7^2 = 49，8^2=64，9^2 = 81，10^2 = 100；1^3=1，2^3 = 8，3^3=27，4^3 = 64，5^3=125，6^3 = 216，7^3=343，8^3 = 512，9^3 = 729，10^3=1000等。
周期数列的五种常见形式
周期数列对于数列F叮，如果存在一个常数—，使得对任意的正整数 _______________ 恒有成立，则称数列｛务｝是从第—项起的周期为—的周期数列。
若，则称数列｛乙｝为,若，则称数列｛务｝为, T 的称为最小正周期，简称周期。
儿种常见类型的周期数列：一、形如—亠("NJ1 + "”证明：例1•已知数列｛色｝中，q=b(b>0),畑=一一(ng )则能使= b的“的数值Q JI +1是( )(A) 14 (B) 15 (C) 16 (D) 17二、形如5+1 = 1--(幵丘皿)n证明：例2、已知数列｛色｝满足«,=2, ©+严1 —丄川川咖二_______________三、形如5+2 = %-叫(« e N+)证明：例3、已知数列｛兀｝满足兀+] = X n -x”T ("n 2) , “ = a , x2=b, IBS,, = x｛ +x2 +••• + x n 则卜列结论正确的是( )(A) x l()0=-a , S1(X)=2b-a (B) x100 = -Z?, S lo() = 2b-a(C) x IOO = -h 9 S I(X)=b-a (D) x10() = -a , S[(K)=h-a四、形如if证明：例4、数列仏｝满足严严1(,二2),。
严一蛊，则呗=—五、形如4+]=1_©(“W N+)(等和数列)证明：例5、在数列｛©｝中，勺=2, ©+[=1—©0疋"+),设S”为数列｛©｝的前项和，则S2006 一2S20O7 + S2008 = ( )(A) -3 (B) -2 (C) 3 (D) 2。
数列的知识点公式总结
数列的知识点公式总结一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一系列数字的集合。
数列中的每一个数字被称作数列的项，用泛指变量表示，通常用字母表示。
通常我们用 {an} 表示一个数列，其中 n 表示数列的项数。
例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...} 就是一个自然数列，其中的每一项都是自然数。
数列的项数可以是有限个，也可以是无限个。
当数列的项数是有限个时，这样的数列被称为有限数列；而当数列的项数是无限个时，这样的数列被称为无限数列。
数列中每一项的下标也称为项数，通常用 n 表示。
当数列的项数是有限个时，数列通常按照从小到大的顺序排列；当数列的项数是无限个时，数列可能有很多不同的排列方式。
数列的项可能是整数、分数、小数等各种类型的数。
而数列的项之间的关系按照一定的规律排列，这种规律可以通过不同的方式进行描述，如递推关系、通项公式等。
二、等差数列等差数列是一种常见的数列类型，其中相邻两项之间的差值是一个常数。
等差数列通常用{an} 表示，其中 a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。
等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示数列的第一项，d 表示数列的公差，n 表示数列的项数。
例如，数列 {3, 6, 9, 12, 15, ...} 就是一个等差数列，其中公差为 3。
这个数列的通项公式可以表示为 an = 3 + (n-1)×3。
如果给定一个等差数列的前 n 项和 Sn，那么其求和公式为：Sn = n/2×(a1 + an)，其中 a1表示数列的第一项，an 表示数列的第 n 项。
等差数列有一个重要的性质，即等差数列的中项等于其首项与末项的算术平均数。
即(an + a1)/2 = an表示数列的中项。
三、等比数列等比数列是另一种重要的数列类型，在等比数列中，相邻两项的比值是一个常数。
等比数列通常用{an} 表示，其中a1、a2、a3、... 分别表示数列中的第一项、第二项、第三项等。
高三复习经典专题6：周期数列问题
周期数列的性质及应用我们在学习函数时，通常会围绕着函数的单调性、奇偶性和周期性进行研究；那么，数列作为一种特殊的函数，它是否有周期性呢？有周期性的数列又有哪些特点呢？下面是我在教学中总结出的几点认识，仅供大家参考． 1、周期数列的概念及主要性质类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{n a ，如果存在一个常数T )(+∈N T ，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列．若10=n ，则称数列}{n a 为纯周期数列，若20≥n ，则称数列}{n a 为混周期 数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期．通过周期数列的定义以及所学过的周期函数的性质，发现周期数列满足以下性质： （1）如果T 是数列}{n a 的周期，则对于任意的+∈N k ，kT 也是数列}{n a 的周期． （2）若数列}{n a 满足21---=n n n a a a （+∈N n ，且2>n ），则6是数列的一个周期．（3）已知数列}{n a 满足n t n a a =+（+∈N t n ,，且t 为常数），n S 分别为}{n a 的前n 项的和，若r qt n +=（t r <≤0，+∈N r ），则r n a a =，r t n S qS S +=．特别地：数列}{n a 的周期为6，（即：n n a a =+6）则262012335S S S +=（4）若数列}{n a 满足s a a k n n =+-),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列； 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =+++-- 1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列． 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =⋅⋅⋅-- 1)0,,(≠∈>+s N n k n ，则数列}{n a 是周期数列．特别地：数列}{n a 满足s a a n n =+-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=2；数列}{n a 满足s a a a n n n =++--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=3 数列}{n a 满足s a a n n =-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=2；数列}{n a 满足s a a a n n n =--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=3（5）若数列}{n a 满足,11dca baa a n n n --=--a+d=0,则数列}{n a 是周期T=2；例：数列}{n a 满足,37311--=--n n n a a a 则数列}{n a 是周期T=2；；2、周期数列性质的简单应用 （1）求周期数列的通项公式例1（04山东数学竞赛）、已知数列}{n a 满足21=a ，nn a a 111-=+，求n a ． 分析：周期数列的通项公式通常都可以分段表示，所以只需求出它的一个最小正周期即可． 解：∵n n a a 111-=+，∴111112--=-=++n n n a a a ，从而n n n n a a a a =-+=-=++111123； 即数列}{n a 是以3为周期的周期数列．又21=a ，211112=-=a a ，11123-=-=a a ，所以 332313,1,21,2+=+=+=⎪⎩⎪⎨⎧-=k n k n k n a n ．例2、若数列}{n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121( ,12)210( ,21n n n n n a a a a a ；若761=a ，则20a 的值为（ ）．A ．76 B ．75 C ．73 D ．71． 解析：紧扣分段函数的定义，代入a 1=76求得a 2=75，并依次求出 ,76,7343==a a ．故此数列是周期为3的周期性数列，故75220==a a ．故选B ．（2）求周期数列中的项例3（由第十四届希望杯改编）、已知数列}{n a 中，5,321==a a 且对于大于2的正整数，总有21---=n n n a a a ，则2009a 等于（ ）．A ．-5B ．-2C ．2D ．3．解析：由性质（2）知，数列}{n a 是以6为周期的周期数列，而533462009+⨯=，再由性质（3）可得5)(3233452009-=--=-==a a a a a a a ，故选A ．例4（上海中学数学杂志2000年的第1期）、已知实数列}{n a 满足a a =1（a 为实数），11313---+=n n n a a a (+∈N n )，求2000a ．解：11313---+=n n n a a a (+∈N n )可变形为1133133---+=n n n a a a ．我们发现1133133---+=n n na a a 与三角式6tantan 16tan tan )6tan(πππx x x -+=+十分相似，因此可把此三角式认为是原递推关系的原型．通过运算，发现本题中可取n a =6tanπn ，6)1(tan 1π-=-n a n ．显然此数列的周期是6．而263332000+⨯=，再由性质（3），得aa a a -+==31322000．注：此类问题也可采用不动点法求解，有兴趣的朋友不妨试一下．（3）求周期数列的前n 项和例5、设数列}{n a 中，21321===a a a ，，且对N n ∈，有321+++n n n n a a a a = 321++++++n n n n a a a a （121≠++n n n a a a ）成立，试求该数列前100项和100S ．解：由已知条件，对任何自然数+N ，有321+++n n n n a a a a = 321++++++n n n n a a a a ，把式中的n 换成1+n ，得4321++++n n n n a a a a = 4321+++++++n n n n a a a a ．两式相减得，44321)(+++++-=-n n n n n n n a a a a a a a ．因为1321≠+++n n n a a a ，所以n n a a =+4)(+∈N n ．所以}{n a 是以4为周期的周期数列，而254100⨯=，再由性质（3），得200)4211(25254100=+++⨯==S S ．例6（上海08质检题）、若数列}{n a 满足n n n a a a -=++12)(+∈N n ，n S 为}{n a 的前n 项和，且20082=S ，20103=S ，求2008S ．解析：由n n n a a a -=++12及性质（2），可知所以数列}{n a 是以6为周期的周期数列．由20082=S ，20103=S ，知200821=+a a ，2010321=++a a a ，再结合123a a a -=，可求得10031=a ，10052=a ，23=a ；由递推关系式可进一步求得10034-=a ，10055-=a ，26-=a ．因为433462008+⨯=，由性质（3），得100710070334334462008=+⨯=+=S S S ．（4）求周期数列的极限例7、（06北京）在数列}{n a 中，1a ，2a 是正整数，且21---=n n n a a a ， 5,4,3=n ，则称}{n a 为“绝对差数列”．若“绝对差数列”}{n a 中，320=a ，021=a ，数列}{n b 满足21++++=n n n n a a a b ， 3,2,1=n ，分别判断当n →∞时，数列}{n a 和}{n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值．解析：因为在绝对差数列}{n a 中320=a ，021=a ．所以自第20项开始，该数列是320=a ，021=a ，322=a ，323=a ，024=a ，325=a ，326=a ，027=a …．即自第 20 项开始，每三个相邻的项周期地取值3，0，3．所以当n →∞时，n a 的极限不存在．当20n ≥时，126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n n b →∞=．周期数列练习1、已知数列}{n a 满足，,11=a ,22=a ,21--=n n n a a a ),3(*∈≥N n n .则=17a ( ) A.1 B.2 C.21D.9872-2、n 个连续自然数按规律排成下表：（ ） 0 3 → 4 7 → 8 11 … ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 1 → 2 5 → 6 9 → 10根据规律，从2011到2012的箭头方向依次为（ ）。
数学循环知识点
数学循环知识点数学中的循环是指一系列数按照一定的规律反复出现的现象。
循环在数学中有着广泛的应用，无论是在代数、几何还是概率统计中，循环都是解决问题的关键。
本文将介绍数学中几个重要的循环知识点，并以Step by Step的方式进行阐述。
1.数列的循环数列是数学中最基本的循环形式之一。
数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
常见的数列有等差数列和等比数列。
等差数列是指数列中的每个数与其前一个数之差都相等；等比数列是指数列中的每个数与其前一个数之比都相等。
数列的循环可以通过找出数列的规律来实现。
例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13…，可以观察到每个数与前一个数之差都是3，因此可以得到数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n个数，a1为首项，d为公差。
2.圆的循环圆是数学中的一个重要概念，它具有循环对称性。
圆的循环可通过角度的变化来实现。
圆的角度是一个循环的概念，一周为360度。
利用圆的循环性质，可以求解各种与圆相关的问题。
例如，计算圆的周长可以使用公式C = 2πr，其中C为周长，r为半径；计算圆的面积可以使用公式A = πr^2，其中A为面积。
通过观察和利用圆的循环性质，可以解决诸如弧长、扇形面积等问题。
3.函数的周期性函数是数学中的另一个重要概念，它也具有循环性质。
函数的周期性是指函数图像在一定范围内以一定规律反复出现。
例如，正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数。
正弦函数的图像在每个周期内以曲线形式反复出现；余弦函数的图像也是如此。
通过观察和分析函数的周期性，可以求解函数的零点、最大值、最小值等问题。
4.概率的循环概率统计中的循环是指事件的重复出现。
概率是一门研究随机现象的数学学科，其中循环是一个重要的概念。
例如，掷骰子的结果就是一个循环事件，每次掷骰子都会得到1到6之间的一个整数。
通过概率的计算和分析，可以得到掷骰子得到某个数字的概率。
概率的循环性质在解决各种概率统计问题时起着关键作用。
数列周期性
1. 已知数列{a n}中，a1=3，a2=6，a n+2=a n+1-a n，则a2010=由题中的递推公式可以求出数列的各项，通过归纳，猜想，得出正确结果．解答：解：在数列a n中，a1=3，a2=6，a n+2=a n+1-a n；分析可得：a3=a2-a1=6-3=3，a4=a3-a2=3-6=-3，a5=a4-a3=-3-3=-6，a6=a5-a4=-6-（-3）=-3，a7=a6-a5=-3-（-6）=3，a8=a7-a6=3-（-3）=6，…由以上知：数列每六项后会出现相同的循环，所以a2010=a6=-3．故答案为：-3．2. 数列{a n}满足a1=2，a n+1=-，则a2010等于（）A．2 B．-13C．-32D．13.数列{a n}满足：a1=2，a n+1= ，则a2010的值为4. 若数列{a n}满足：a n+1=1- 且a1=2，则a2010=1a n+11+a n1-a n1a n相信并不放弃就会有奇迹n12n+2n n+12010A．1 B．3 C．7 D．9考点：数列递推式．专题：计算题．分析：由题意可得，数列的项分别为：3，7，1，7，7，9；3，7，1，7，7，9；3，7，1，7，7，9…，故可知数列{a n}是周期为6 的周期数列，从而可求解答：解：由题意可得，数列的项分别为：3，7，1，7，7，9；3，7，1，7，7，9；3，7，1，7，7，9…故可知数列{a n}是周期为6 的周期数列∴a2010=a6=9故选D．数列{a n}中，a n+1•a n=a n+1-1，且a2010=2，则前2010项的和等于（）A．1005 B．2010 C．1 D．0考点：数列的求和；数列递推式．答案:A过去不等于未来。
周期数列详解
周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{n a ，如果存在一个常数T )(+∈N T ，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。
若10=n ，则称数列}{n a 为纯周期数列，若20≥n ，则称数列}{n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。
设{An}是整数,m 是某个取定的大于1的正整数,若Bn 是An 除以m 后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn 在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m 的模数列,记作{An(mod m)}。
若模数列{An(mod m)}是周期的,则称{An}是关于模m 的周期数列。
二、 周期数列的性质1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2、如果T 是数列}{n a 的周期，则对于任意的+∈N k ，kT 也是数列}{n a 的周期。
3、若数列}{n a 满足21---=n n n a a a （+∈N n ，且2>n ），则6是数列的一个周期。
4、已知数列}{n a 满足n t n a a =+（+∈N t n ,，且t 为常数），n S 分别为}{n a 的前n 项的和，若r qt n +=（t r <≤0，+∈N r ），则r n a a =，r t n S qS S +=。
特别地：数列}{n a 的周期为6，（即：n n a a =+6）则262012335S S S += 5、若数列}{n a 满足s a a k n n =+-),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列； 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =+++-- 1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。
若数列}{n a 满足s a a a k n n n =⋅⋅⋅-- 1)0,,(≠∈>+s N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。
对“周期数列”的探究
对“周期数列”的探究浙江省绍兴县柯桥中学(312030) 陈冬良一般在数列中等差数列与等比数列考查较多，笔者在教学过程中感到一类特殊的数列也时常在各类高考或竞赛卷中出现,我们把它命名为“周期数列”，数列作为一类特殊的函数，函数性质在数列中的考查显得尤为自然，“周期数列”较好的渗透函数周期性的考查，笔者对 “周期数列”的考查作了以下一些探讨，仅供参考.周期数列定义：对一数列{a n },若存在一确定的正整数T 及n 0,对任一n ≥ n 0 恒有a n+T =a n 成立 ,则数列{a n }为周期数列，T 为数列{a n }的周期.周期数列性质：1)周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2)若T 是{a n }的周期，则对任何k *∈N ,kT 也是{a n }的周期；3)周期数列必有最小正周期；一．直接定义考查例1.① (2001上海春季)若数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n *∈N 都成立，则下列数列中可取遍{a n }的前8项值的数列为( )A.{a 2k+1}B.{a 3k+1}C.{a 4k+1}D.{a 6k+1} 解：由数列{a n }前8项的值各异，且a n+8=a n 对任意n *∈N 都成立得数列{a n }的周期T=8,则问题转化为2k+1,3k+1,4k+1,6k+1中k=1,2,3,…代入被8除，若余数能取到0,1,2,3,4,5,6,7即为答案，经检验，3k+1可以，故{a 3k+1}可取遍{a n }的前8项值,答案为B.评注：若在给定数列{a n }中有a n+T =a n 出现，往往需考虑数列周期.②(04北京高考)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列，且a 1=2,公和为5，那么a 18的值为_____. 解：由题可得5=a 1+a 2=a 2+a 3=a 3+a 4=…=a 2n-1+a 2n = a 2n +a 2n+1=…,得a 2n+1=a 2n+3,a 2n =a 2(n+1),得{a n }为周期数列,T=2,故a 18=a 2 ,又a 1=2,得a 2=3,所以a 18=3评注：上例考查是近年来较新的一种考查形式，通过自定义得一新数列，由新信息解题，上例作者定义为等和数列，其实质也是一周期数列.二.等价转化考查例2. (03高一“希望杯)整数数列{a n },对于每个n ≥3都有a n =a n-1-a n-2,若前2003项的和为a (a ≠0),则S 5= ( ) A.a B.5a C.a5 D.5a 探究1：由题得 213212341232211------=-=-=-===n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a,n 个等式相加得S n =a n-1+a 2 ,则S 2003=a 2002+a 2=a,求S 5=a 4+a 2 ?由S n =a n-1+a 2 ,由于{S n }中都出现a 2,猜想a 2为常数,由S 2003=a 2002+a 2=a 猜想a 2=a,特例法，取a 1=0, a 2=a,则 a 3=a,a 4=0,a 5=-a,a 6=-a,a 7=0,a 8=a,…;由列举容易得{a n }满足 S 2003=a 2002+a 2=a,又{a n }周期T=6,则S 2003=a 2002+a 2=243336a a ++⨯=a 4+a 2=S 5=a,故答案选A.探究2：由探究1的特例探究可知{a n }是周期数列,下列我们进行一般探究.由题得 213212341232211------=-=-=-===n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a,n 个等式相加得S n =a n-1+a 2 ,则S 2003=a 2002+a 2=a,求S 5=a 4+a 2 ?又a n =a n-1-a n-2可得a n-1=a n-2-a n-3 ,两式相加得a n = -a n-3 ,进一步可得a n = -a n-3= -(-a n-6)=a n-6,等同于n n a a =+6,由周期数列定义得{a n }的周期T=6,下面与探究1相同。
常见递归数列通项公式的求解策略
常见递归数列通项公式的求解策略Revised as of 23 November 2020常见递归数列通项公式的求解策略数列是中学数学中重要的知识之一，而递归数列又是近年来高考和全国联赛的重要题型之一。
数列的递归式分线性递归式和非线性递归式两种，本文仅就高中生的接受程度和能力谈谈几种递归数列通项公式的求解方法和策略。
一、周期数列如果数列满足：存在正整数M、T，使得对一切大于M的自然数n，都有成立，则数列为周期数列。
例1、已知数列满足 a1 =2，an+1 =1－，求an 。
解:an+1 =1－ an+2 =1－ =－ , 从而 an+3 = 1－=1＋an－1=an ,即数列是以3为周期的周期数列。
又a1 =2，a2=1－=, a3 =－12 , n=3k＋1所以 an= ,n=3k＋2 ( kN )－1 , n=3k＋3二、线性递归数列1、一阶线性递归数列：由两个连续项的关系式 an= f (an-1 )（n,n）及一个初始项a1所确定的数列，且递推式中，各an都是一次的，叫一阶线性递归数列，即数列满足an＋1 =f (n) an＋g(n)，其中f (n)和g(n)可以是常数，也可以是关于n的函数。
（一）当f (n) =p 时，g(n) =q（p、q为常数）时，数列是常系数一阶线性递归数列。
（1）当p =1时，是以q为公差的等差数列。
（2）当q=0，p0时，是以p为公比的等比数列。
（3）当p1且q0时，an＋1 =p an＋q可化为an＋1－=p(an－),此时｛an －｝是以p为公比，a1－为首项的等比数列，从而可求an。
例2、已知：=且，求数列的通项公式。
解：=－=即数列是以为公比，为首项的等比数列。
（二）当f(n)，g(n)至少有一个是关于n的非常数函数时，数列｛an｝是非常系数的一阶线性递归数列。
（1）当f(n) =1时，化成an＋1=an＋g(n),可用求和相消法求an。
例3、（2003年全国文科高考题）已知数列｛an｝满足a1=1,an=3n--1＋an －1 (n2) , (1)求a2 ,a3 ; (2) 证明：an= .(1)解： a1 =1, a2=3＋1=4 , a3=32＋4=13 .(2)证明： an=3n--1＋an－1 (n2) ,an－an－1=3n—1 ,an－1－an－2=3n—2 ,an－2－an－3=3n—3……,a4－a3=33 ,a3－a2=32 ,a2－a1=31将以上等式两边分别相加，并整理得:an－a1=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31 ,即an=3n—1＋3n—2＋3n—3＋…＋33＋32＋31＋1= .（2）当g(n)=0时,化为a n＋1=f(n) an ，可用求积相消法求an 。
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周期数列
一 若 ()111n n
a n N a ++=-
∈+ 则该数列的周期: T = 证明： 例1.已知数列{}n a 中，()10a b b =>，()111
n n a n N a ++=-∈+则能使n a b =的n 的数值是（ ） （A ） 14 （B ）15 （C ）16 （D ）17
二 若 111n n
a a +=-()n N +∈, 则该数列的周期: T = 证明：
例2、已知数列{}n a 满足12a =，()111n n
a n N a ++=-∈ 则2004S = 三 若 ()21n n n a a a n N +++=-∈ ，则该数列的周期: T = 证明：
例3 已知数列{}n x 满足()112n n n x x x n +-=-≥，1x a =，2x b =，记12n n
S x x x =+++则下列结论正确的是（ ）
（A ）100x a =-，1002S b a =- （B ）100x b =-，1002S b a =-
（C ）100x b =-，100S b a =- （D ）100x a =-，100S b a =- 四、若()111n n n
a a n N a +++=∈-，则该数列的周期: T = 证明：
例4、数列{}n a 满足()11121n n n a a n a --+=≥-，11100
a =-，则1998a = 五、若()11n n a a n N ++=-∈（等和数列），则该数列的周期: T = 证明：
例5在数列{}n a 中，12a =，()11n n a a n N ++=-∈，设n S 为数列{}n a 的前项和，则 2006200720082S S S -+= （ ）（A ）3- （B ）2- （C ）3 （D ）2
例6设数列}{n a 中，21321===a a a ，，且对N n ∈，有321+++n n n n a a a a = 321++++++n n n n a a a a （121≠++n n n a a a ）成立，试求该数列前100项和100S ．
数列}{n a 满足s a a n n =+-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=；
数列}{n a 满足s a a a n n n =++--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=
数列}{n a 满足s a a n n =-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=
数列}{n a 满足s a a a n n n =--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T= （2012年全国课标卷文5分）数列{}n a 满足n n 1n a (1)a 2n 1+＋－＝－，则{}n a 的前60项和为
【 】 （A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830。