数理金融 习题

1. 假设你必须将 w 投资于两只证券：一只无风险债券和一只风险证券。投资期为1年。无风险债券的收益率确定为 f

r 。风险证券的收

益率为

r ，它的均值为r

,而方差为2

σ。假设你的目标就是最大

化你的二次效用函数的期望值：

21

()2

E W aW -,其中W 为未来的财富。

(a) 求解最优组合。

(b) 讨论最优组合如何依赖于债券和股票的期望收益率 f

r 和

r

，

股票收益率的方差2

σ。

2. 假设有四个等概率的可能状态。状态空间是

1234{,,,}w w w w Ω=。考虑风险资产 A 和

B ，它们的收益率如下：

在随机占优的意义上，你能为它们排序吗？

3. 如果现在投资3000元，第二年末投资1000元，在第四年末将累积为5000元，问利率是多少，采用复利计算。

4.如果年利率在刚开始的3年里为10%，随后的2年里为8%，再随后的1年里为6%，则刚开始的1000元投资在这6年里所获得利息总和为多少元。

5. 小王于1992年5月1日出生，自出生起，他母亲每年为他在银行存1000元，每年的存款日为1月1日，直至他上大学为止，共存了18次。小王在2010年8月1日获大学录取通知书是将存款全部取出作为学费，设每年年利率为5%，则小王可取得的存款为多少？(2010年1月1日至2010年8月1日按单利计算)

6.一张面值为1000元的3年期零息债券的价格是多少？利率为7%。

7. 一张4年期的面值为1000元的债券，年付票息率为10%，到期时按面值赎回，市场利率为8%，则该债券的价格是多少？

8. 5年期面值为1000元的债券的票息率和市场利率均为8%，票息每年支付一次，到期以面值赎回，计算久期和修正久期。

9. 10年期的债券，发行价与面值相同，久期为7，凸度为50，如果该债券的收益率上升0.1%，则对债券的价格影响为多少？ 10. 市场上发行甲、乙、丙三种股票，它们在0时刻的发行价分别为每股10元，11元，12元。在1时刻可以上市交易。预测上市交易开盘价及开盘价发生的概率如下：

各股票之间的相关系数为=0.8=0.75=0.85ρρρ甲乙乙丙丙甲，，，银行在0时刻发行债券，价格为10元，1时刻赎回价为12.5元。

求(1)各股票的期望收益率； (2)各股票收益率的方差；

(3)若某投资者对甲乙丙三种股票及债券的投资组合为2221=(,,,)9993

θ，求θ的期望收益率和方差 11.设双因子模型为：

12i i i i i R a b F c F ε=+++

已知221122120.8,0.7,0.7,0.75,()0.04,()0.09,b c b c F F σσ======

212cov(,)0.03,()0.0036i F F σε==

求资产1,2收益率的方差和协方差。 12. 股票S 的价格变化趋势如图所示： 132.25 115

S=100 103.5 90

81

5%f R =，期权在t=2时到期，到期施权价为102元，试确定股票S

的欧式买入期权在t=0时的内在价值。