二次函数的应用——面积最大问题

《二次函数的应用——何时围得面积最大？》

说课稿

【教材分析】

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，也为求解最大利润等问题奠定基础。目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

【课时安排】

教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。

【学情及学法分析】

对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课

标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

【教学目标】

1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的

图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。

2. 过程与方法：通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中

的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的

能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。

3．情感、态度与价值观：通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合

作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中广泛

的应用价值。

教学重点：

利用二次函数y=2ax

bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题

教学难点：

正确构建数学模型

三、教学方法与手段的选择

由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本

节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探

究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，

突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

四、教学流程

（一）复习引入: 复习引入阶段我设计了三个问题：

1.复习二次函数

y ＝2ax bx c ++（a ≠0）的图象、顶点坐标、对称轴和

最值。 2.（1）求函数y ＝ 2x 2

+2x －3的最值。 （2）求函数y ＝x 2

+2x －3的最值。（0≤x ≤ 3） [设计思路]通过复习题1让学生回忆二次函数的图象和顶点坐标与最

值，通过做练习2复习求二次函数的最值方法---公式法、配方法、图象法，

练习2（1）的设计中，自变量的范围是全体实数，学生求最值容易想到顶

点，无论是配方、还是利用公式都能解决；（2）中给了自变量的取值范围

0≤x ≤3,学生求最值时可能还会利用顶点公式求,忽略自变量的取值范围的

限制，设计此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开自变量的取

值范围这个条件才有意义，因为任何实际问题的自变量的取值范围都受现

实条件的制约，做完练习后及时让学生总结出了取最值的点的位置往往在

顶点和两个端点之间选择，为学习新课做好知识铺垫。

（二）讲解新课

新课分为在创设情境中发现问题、在解决问题中找出方法、在巩固与

应用中提高技能几个环节

1、在创设情境中发现问题

【做一做】：请你画一个周长为40厘米的矩形，算算它的面积是多

少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？

做一做中，我让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩

形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想。学

生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起

常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决，而不是老师告诉他用函数。周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。

2、在解决问题中找出方法

这一环节我设计了：

[想一想]：某工厂为了存放材料，需要围一个周长40米的矩形场地，问矩形的长和宽各取多少米，才能使存放场地的面积最大？

我把前面矩形的周长40厘米改为40米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——我们要学有用的数学知识。学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值范围，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。

解决完想一想之后及时让学生总结方法，为应用阶段打下思想方法基础。

3、在巩固与应用中提高技能

例1：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了