二次函数的最大面积问题

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二次函数--最大面积问题.

二次函数动点之最大面积一．选择题（共8小题）1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值．2．如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点．（1）求抛物线所对应的函数表达式．（2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．（3）过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．4．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B，正比例函数y=kx在第二象限与抛物线交于点P，与直线y=x+2交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）是否存在正比例函数y=kx，将△ABC的面积分为2：3的两部分？5．如图，二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，己知点A（﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，写出满足条件的所有点E的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．（1）求直线AB和抛物线的解析式．（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．8．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P在第二象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标；（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．9．如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．10．二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴的交点从右向左为A，B两点，与y轴的交点为C，顶点D．（1）求四边形ABCD的面积；（2）在第一象限内的抛物线上求一点D′，使四边形ABCD′的面积最大．11．二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标．12．已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数y=ax2+bx+c+7与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得△PQM面积最大．13．已知二次函数的图象与坐标轴交于A（0，3）、B（﹣3，0）、c（1，0）．若点P是二次函数的图象上位于第二象限的点，过P作与y轴平行的直线与直线AB相交于点Q，则P点在何位置时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，并求最大值．14．如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣3x的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求A点和顶点C的坐标；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB 的面积最大？若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求抛物线对应的二次函数关系式；（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA面积最大的点D的坐标；（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？19．如图，已知点O为坐标原点，∠AOB=30°，∠B=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括O，B点）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积；若不存在，请说明理由．20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？21．用50米长木条，做如图等腰梯形ABCD框子，AD∥BC，AB=CD，∠B=∠C=60°设AB为x米，等腰梯形ABCD面积为y平方米．当x为多少时，才能使y最大？最大面积y是多少？（参考公式：二次函数y=ax2+bx+c，当x=﹣时，y最大（小）值=）二次函数动点之最大面积参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2009•大田县校级自主招生）如图，二次函数y=ax2+bx的图象与一次函数y=x+2的图象交于A、B两点，点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是2．（1）求二次函数的表达式；（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值．【解答】解：（1）把x=﹣1和2分别代入y=x+2，得到y的值分别是1、4，因而A、B的坐标分别是（﹣1，1），（2，4）．根据题意得到：解得因而二次函数的解析式是y=x2．（2）过点A、B作AM⊥x轴，BN⊥x轴，分别交于M、N．过点C作CP⊥BN于P．设C的坐标是（x，y）．梯形AMNB的面积=（AM+BN）•MN=（1+4）×3=；△AOM的面积=AM•OM=；△BCP的面积=CP•BP=（2﹣x）（4﹣y）=（2﹣x）（4﹣x2）；四边形CPNO的面积是（CP+ON）•PN=[（2﹣x）+2]•y=（4﹣x）•x2．因而四边形OABC面积s=梯形AMNB的面积﹣△AOM的面积﹣△BCP的面积﹣四边形CPNO的面积=﹣x2+2x+3．当x=1时，函数s=﹣x2+2x+3有最大值是4．2．（2016•湘潭一模）如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）存在，理由如下：设D的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2，∴E点的坐标为（t，t﹣2），∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，∴△DAC的面积S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，=4，当t=2时，S最大∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．3．（2016•长春模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=ax2+经过A、B两点，点E是直线AB上方抛物线上的一点．（1）求抛物线所对应的函数表达式．（2）求△ABE面积的最大值，并求出此时点E的坐标．（3）过点E作y轴的平行线交直线AB于点M，连结CM．点Q在抛物线对称轴上，点P在抛物线上．当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，即B点的坐标为（0，3），当y=0时，有﹣x+3=0，解得x=4，即A点坐标为（4，0）．将A、B点坐标代入抛物线的解析式，得，解得，故抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x+3．（2）过点E作EF⊥x轴于点F交直线AB与点M，如图1所示．∵点E是直线AB上方抛物线上的点，∴设点E的坐标为（m，﹣m+3），点M的坐标为（m，﹣m+3），∴EM=﹣m+3﹣（﹣m+3）=﹣m，∴S=S△BEM+S△AEM=ME•O A=×（﹣m）×4=﹣+3m=﹣（m﹣2）△ABE2+3，∴当m=2时，△ABE面积最大，且最大值为3，此时点E的坐标为（2，3）．（3）抛物线的对称轴为x=﹣=1．设点P的坐标为（n，﹣n+3），Q点的坐标为（1，d）．∵点E的坐标为（2，3），∴直线EM的解析式为x=2，∴点M的坐标为（2，）．∵令y=0，则有﹣x+3=0，解得x=﹣2，或x=4，∴点C的坐标为（﹣2，0），当以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况：①如图2所示，线段CM为对角线，且CM的中点为点N．∵点C（﹣2，0），点M（2，），∴点N的坐标为（0，）．又∵点N为线段PQ的中点，∴有=0，解得n=﹣1，此时P点的坐标为（﹣1，）；②线段CM为一条边时，PQ的横坐标之差等于CM的横坐标之差，即|1﹣n|=|2﹣（﹣2）|，解得：n=﹣3或n=5，此时点P的坐标为（﹣3，﹣）或（5，﹣）．综上可知：点P的坐标为（﹣3，﹣），（5，﹣）和（﹣1，）．4．（2016•孝义市二模）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B，正比例函数y=kx在第二象限与抛物线交于点P，与直线y=x+2交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）是否存在正比例函数y=kx，将△ABC的面积分为2：3的两部分？【解答】解：（1）∵对于直线y=x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=﹣4．∴点C（0，2），A（﹣4，0）．∴由抛物线的对称性可知，点A与点B关于x=﹣对称，∴点B的坐标为B（1，0）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，可得，解得：．∴抛物线的解析式是y=﹣x2﹣x+2；（2）设P（m，﹣m2﹣m+2），如图1，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q．∴Q（m，m+2），∴PQ=﹣m2﹣m+2﹣（m+2）=﹣m2﹣2m，=×PQ×OA=×PQ×4=2PQ，∵S△APC∴S=2（﹣m 2﹣2m ）=﹣m 2﹣4m=﹣（m +2）2+4；∴当m=﹣2时，△PAC 的面积有最大值4．此时P 点坐标为（﹣2，3）．（3）存在正比例函数y=kx ，将△ABC 的面积分为2：3的两部分．则S △ABC =×AB ×OC=×5×2=5，分两种情况：①如图2，过点D 作DM 1⊥AD ，垂足为M 1，当S △ADO ：S 四边形ODCB =2：3时，S △ADO =×5=2， ∴×OA ×DM 1=2，即×4×DM 1=2，∴DM 1=1．把y=1代入y=x +2，得x=﹣2，∴点D 坐标为（﹣2，1）．把x=﹣2，y=1，代入正比例函数y=kx 中，解得：k=﹣；②如图3，过点D 作DM 2⊥AD ，垂足为M 2，当S △ADO ：S 四边形ODCB =3：2时，S △ADO =×5=3， ∴×OA ×DM 2=3，即×4×DM 2=3，∴DM 2=．把y=代入y=x +2，得x=﹣1，∴点D 坐标为（﹣1，）．把x=﹣1，y=，代入正比例函数y=kx 中，解得：k=﹣．综上可得：k 的值为﹣或﹣．5．（2016•苏州一模）如图，二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，己知点A（﹣1，0），点C（0，2）（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，写出满足条件的所有点E的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，2）在二次函数y=ax2+x+c的图象上，∴，解得，∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+2；（2）连接BC，过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于G，如图所示，令y=0，得﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0），OB=4，=OB•OC=×4×2=4．∴S△BOC设直线BC的解析式为y=mx+n，则有，解得，∴直线BC的解析式为y=﹣x+2．设点D的横坐标为p，则y D=﹣p2+p+2，y G=﹣p+2，∴DG=（﹣p2+p+2）﹣（﹣p+2）=﹣p2+2p=﹣（p﹣2）2+2，=S△CDG+S△BDG∴S△CDB=DG•OH+DG•BH=DG•OB=×4DG=2DG=﹣（p﹣2）2+4．=S△BOC+S△CDB=﹣（p﹣2）2+8∴S四边形OCDB∵﹣1＜0，取最大值，∴当p=2时，S四边形OCDB此时y D=﹣×22+×2+2=3，∴点D的坐标为（2，3）；（3）①若BC为平行四边形的一边，则C、E到BF的距离相等，∴|y E|=|y C|=2，∴y E=±2．当y E=2时，解方程﹣x2+x+2=2得，x1=0，x2=3，∴点E的坐标为（3，2）；当y E=﹣2时，解方程﹣x2+x+2=﹣2得，x1=，x2=，∴点E的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若BC为平行四边形的一条对角线，则CE∥BF，∴y E=y C=2，∴点E的坐标为（3，2）．综上所述：满足条件的点E的坐标为（3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．6．（2016•富顺县校级二模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．（1）求直线AB和抛物线的解析式．（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣4，0），B（0，4）代入得：，解得k=1，b=4，∴直线AB的解析式为y=x+4．设抛物线的解析式为y=ax2+4．∵将A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．（2）如图1所示，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．设点P的坐标为（a，﹣+4），则点Q的坐标为（a，a+4）．则PQ=﹣+4﹣（a+4）=﹣﹣a．的面积=PQ•（x B﹣x A）=×4×（﹣﹣a）=﹣a2﹣2a=﹣（a+2）∵S△ABP2+2，∴当a=﹣2时△ABP的面积最大，此时P（﹣2，3）．（3）如图2所示：延长MN交x轴与点C．∵MN∥OB，OB⊥OC，∴MN⊥OC．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BA0=45°．∵ON∥AB，∴∠NOC=45°．∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．∴点N的坐标为（2，2）．如图3所示：过点N作NC⊥y轴，垂足为C．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°．∵ON∥AB，∴∠NOC=45°．∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．∴点N的坐标为（﹣2，﹣2）．如图4所示：连接MN交y轴与点C．∵四边形BNOM为菱形，OB=4，∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．∴点的纵坐标为2．∵将y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．∴点N的坐标为（2，2）．如图5所示：∵四边形OBNM为菱形，∴∠NBM=∠ABO=45°．∴四边形OBNM为正方形．∴点N的坐标为（﹣4，4）．综上所述点N的坐标为或或（﹣4，4）或（2，2）．7．（2016•泰安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P 在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，∵抛物线与y轴交于点A（0，5），∴4a+9=5，∴a=﹣1，y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5，（2）当y=0时，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5，∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；设P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，∴S=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，四边形APCD∴当x=﹣=时，=，∴即：点P（，）时，S四边形APCD最大（3）如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，∵MN∥AE，MN=AE，∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8，∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直线AE解析式为y=5x+5，∵MN∥AE，∴MN的解析式为y=5x+b，∵点N在抛物线对称轴x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+0E2=26∵MN=AE∴MN2=AE2，∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，∵点N在抛物线对称轴上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），8．（2016•阜新）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P在第二象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P 的坐标；（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．∴，∴，∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4，（2）如图1，由（1）有，二次函数的表达式为y=﹣x2﹣3x+4，令y=0，得x=﹣4，或x=1，∴B（1，0）连接AC，PA，PC，∴点P是直线AC平移之后和抛物线只有一个交点时，点P到直线AC的距离最大，所以S△PAC 最大，即：S四边形AOCP最大；∵A（﹣4，0），C（0，4），∴直线AC解析式为y=x+4，设直线AC平移后的直线解析式为y=x+4+b，∴，∴x2+4x+b=0，∴△=16﹣4b=0，∴b=4，∴点P（﹣2，6），过点P作PD⊥y轴∴PD=2，OD=4，∵A（﹣4，0），C（0，4）∴OA=4，OC=4，∴CD=2，=S梯形AODP﹣S△PCD=（PD+OA）×OD﹣PD×CD=（2+4）×6﹣×2∴S四边形AOCP×2=16．（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，理由：①以AB为边时，CQ∥AB，CQ=AB过点C，平行于AB的直线l，∵C（0，4），∴直线l解析式为y=4，∴点Q在直线l上，设Q（d，4），∴CQ=|d|∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，∴|d|=5，∴d=±5，∴Q（﹣5，4）或（5，4），②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，∵A（﹣4，0），B（1，0），∴线段AB中点坐标为（﹣，0），∵C（0，4），∴直线CQ解析式为y=x+4，设点Q（m，m+4），∴=，∴m=0（舍）或m=﹣3，∴Q（﹣3，﹣4），即：满足条件的点Q的坐标为Q（﹣5，4）或（5，4）或（﹣3，﹣4）．二．选择题（共11小题）9．（2013秋•房山区期末）如图，已知二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点D是在直线BC下方的抛物线上的一个动点，当△BCD的面积最大时，求D点坐标．【解答】解：（1）设直线BC的解析式为：y=kx+b（k≠0）．令x2﹣4x+3=0，解得：x1=1，x2=3，则A（1，0），B（3，0），C（0，3），将B（3，0），C（0，3），代入y=kx+b（k≠0），得，解得：k=﹣1，b=3，BC所在直线为：y=﹣x+3；（2）设过D点的直线与直线BC平行，且抛物线只有一个交点时，△BCD的面积最大．∵直线BC为y=﹣x+3，∴设过D点的直线为y=﹣x+b，∴，∴x2﹣3x+3﹣b=0，∴△=9﹣4（3﹣b）=0，解得b=，∴，解得，，则点D的坐标为：（，﹣）．10．二次函数y=﹣x2+x+4的图象与x轴的交点从右向左为A，B两点，与y轴的交点为C，顶点D．（1）求四边形ABCD的面积；（2）在第一象限内的抛物线上求一点D′，使四边形ABCD′的面积最大．【解答】解：（1）如图所示：连接OD，∵二次函数y=﹣x2+x+4，当y=0时，﹣x2+x+4=0，解得：x=4，或x=﹣2，∴A（4，0），B（﹣2，0）；当x=0时，y=4，∴C（0，4），∵二次函数y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣1）2+，∴D（1，），∴四边形ABCD的面积=△BOC的面积+△OCD的面积+△OAD的面积=×2×4+×4×1+×4×=15；（2）如图2所示：设D′（x，﹣x2+x+4），四边形ABCD′的面积为S，则四边形ABCD′的面积S=△BOC的面积+△OCD′的面积+△OAD′的面积=×2×4+×4×x+×4×（﹣x2+x+4）=﹣x2+4x+12=﹣（x﹣2）2+16，∵﹣1＜0，∴S有最大值，当x=2时，S最大，当x=2时，﹣x2+x+4=4，∴D′坐标为（2，4）．11．二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，已知A（﹣1，0），点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式，并求出该抛物线的顶点坐标；（2）若点D是抛物线在第一象限的部分上的一动点，当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），点C（0，2）分别代入y=ax2+x+c，得，解得，则该函数解析式为：y=﹣x2+x+2．因为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+．所以该抛物线的顶点坐标是（，）；（2）存在．设点D如图所示，过点D作DE⊥OC于点E，∵A（﹣1，0），对称轴是x=，∴B（4，0）．设点D的坐标为（a，﹣a2+a+2），则E点坐标为（0，﹣a2+a+2）∴EC=﹣a2+a+2﹣2=﹣a2+a，DE=aS四边形OCDB=S梯形OEDB﹣S△EDC=（a+4）（﹣a2+a+2）﹣a（﹣a2+a）即S=﹣a2+4a+4=﹣（a﹣2）2+8，当a=2时，S=8，最大当a=2时，﹣×4+×2+2=3，∴此时点D的坐标是（2，3）．12．（2015•合肥校级自主招生）已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为c．二次函数y=ax2+bx+c+7与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得△PQM面积最大．【解答】解：由题意可得b=2，a=﹣4代入方程得c=﹣5．∴二次函数为y=﹣4x2+2x+2与x轴的交点为P（﹣，0），Q（1，0），当点M的横坐标为x=﹣或x=或x=时，△PQM的面积可能取最大，经比较可得x=﹣时，△PQM的面积取最大，此时y=﹣10即点M（﹣，﹣10），．13．已知二次函数的图象与坐标轴交于A（0，3）、B（﹣3，0）、c（1，0）．若点P是二次函数的图象上位于第二象限的点，过P作与y轴平行的直线与直线AB相交于点Q，则P点在何位置时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，并求最大值．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把A（0，3）代入得a•3•（﹣1）=3，解得a=﹣1，所以抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1），即y=﹣x2﹣2x+3，设直线AB的解析式为y=kx+m，把A（0，3），B（﹣3，0）代入得，解得，所以直线AB的解析式为y=x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则Q（t，t+3），所以PQ=﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）=﹣t2﹣3t，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积S=S△PBQ +S△PCQ=•（﹣t2﹣3t）•3=﹣t2﹣t，当t=﹣=﹣，S有最大值，最大值==，此时P点坐标为（﹣，）．即P点坐标为（﹣，）时，以线段BP、PO、OQ、QB围成的凹四边形的面积最大，最大值为．14．（2005•资阳）如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A 的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=，BD=，∴点B的坐标为（）．（1分）（2）将A（2，0）、B（）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得（2分）解方程组，有a=，b=，c=0．（3分）∴所求二次函数解析式是y=x2+x．（4分）（3）设存在点C（x，x2+x）（其中0＜x＜），使四边形ABCO面积最大∵△OAB面积为定值，∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．（5分）过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，（6分）则S△OBC而|CF|=y C﹣y F=x2+x﹣x=﹣x2+x，=x2+x．（7分）∴S△OBC∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为．（8分）此时，点C坐标为（），四边形ABCO的面积为．（9分）15．（2015春•青海校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣3x的图象与x轴相交于O、A两点．（1）求A点和顶点C的坐标；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB 的面积最大？若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当y=0，则0=x2﹣3x，故x（x﹣3）=0，解得：x1=0，x2=3，故A（3，0），y=x2﹣3x=（x﹣）2﹣，故C（，﹣）；（2）设B（x，x2﹣3x），因为△AOB的面积等于6，所以•3•|x2﹣3x|=6，当x2﹣3x=4时，解得x1=﹣1，x2=4，则B点坐标为（4，4）；当x2﹣3x=﹣4时，方程无实数解．所以点B的坐标为（4，4）；（3）∵在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB的面积最大，∴此时P到OB的距离最大，即PO⊥OB时，∵B（4，4），∴直线OB的解析式为：y=x，∴OP的解析为：y=﹣x，则设P点坐标为：（x，﹣x），∵P点在抛物线上，∴y=x2﹣3x=﹣x，解得：x1=0（不合题意舍去），x2=2，故P（2，﹣2），∴OP=2，∴△POB的面积最大为：×OB×2=×4×2=8．16．（2012秋•文昌校级期末）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求抛物线对应的二次函数关系式；（2）在直线AC上方抛物线上有一动点D，求使△DCA面积最大的点D的坐标；（3）x轴上是否存在P点，使得以A、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，，故该二次函数的解析式为：y=﹣x2+x﹣2．（2）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2．∴E点的坐标为（t，t﹣2）．∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t．∴S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．△DAC∴当t=2时，△DAC面积最大．∴D（2，1）．（3）假设存在这样的点P．∵A（4，0），C（0，﹣2），∴AC=2．设P（x，0）．①当AC=PC时，=2，解得，x=4（不合题意，舍去）或x=﹣4，即P1（﹣4，0）；②当AP=AC时，|x﹣4|=2，解得，x=4+2或x=4﹣2，即P2（4﹣2，0）、P3（4+2，0）；③当AP=PC时，|x﹣4|=，解得，x=，即P4（，0）．综上所述，符合条件的点P的坐标分别是：P1（﹣4，0）、P2（4﹣2，0）、P3（4+2，0）、P4（，0）．17．（2010秋•吴兴区期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解答】解：（1）∵点B（3，0），C（0，﹣3）在二次函数y=x2+bx+c的图象上，∴将B、C两点的坐标代入得，解得：∴二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点E，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣3．∴Q点的坐标为（x，x﹣3），=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ∴S四边形ABPC=AB•OC+QP•OE+QP•EB=×4×3+（3x﹣x2）×3=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，四边形ABPC的面积最大．此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积．18．（2012春•上城区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C 在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？【解答】解：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标是（3﹣m，0），∵∠ODA=∠OAD=45°，∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）；（2）又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2，将D，B坐标代入：a（3﹣1）2=m，a（0﹣1）2=m﹣3，得：a=1，m=4，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1，B坐标（3，4），A（﹣1，0）；（3）如图，过点Q作QM⊥AC于点M，设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），则PM=（x﹣1），QM=x2﹣2x+1，MC=（3﹣x），=S△ABC﹣S△PQM﹣S梯形BCMQ，∴S四边形ABQP=×4×4﹣•（x﹣1）•（x2﹣2x+1）﹣•（3﹣x）•（x2﹣2x+1+4）=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，所以当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5．19．（2007•陆丰市校级模拟）如图，已知点O为坐标原点，∠AOB=30°，∠B=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括O，B点）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB=，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=cos30°=，BD=BO=，∴点B的坐标为（，）；（2）将A（2，0）、B（，）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得：，解方程组，，∴所求二次函数解析式是y=﹣x2+x；（3）设存在点C（x，﹣x2+x）（其中0＜x＜），使四边形ABCO面积最大，而△OAB面积为定值，只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，=S△OCF+S△BCF=|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，则S△OBC而|CF|=y C﹣y F=﹣x2+x﹣x=﹣x2+x，=﹣x2+x，∴S△OBC∴当x=时，△OBC面积最大，最大面积为．此时C点坐标为（，），故四边形ABCO的最大面积为：．三．解答题（共2小题）20．（2012春•上城区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C 在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的二次函数图象经过点B、D．（1）用m的代数式表示点A、D的坐标；（2）求这个二次函数关系式；（3）点Q（x，y）为二次函数图象上点P至点B之间的一点，连接PQ、BQ，当x为何值时，四边形ABQP的面积最大？【解答】解：（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC=BC=m，OA=m﹣3，∴点A的坐标是（3﹣m，0），∵∠ODA=∠OAD=45°，∴OD=OA=m﹣3，则点D的坐标是（0，m﹣3）；（2）又抛物线顶点为P（1，0），且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：y=a（x﹣1）2，将D，B坐标代入：a（3﹣1）2=m，a（0﹣1）2=m﹣3，得：a=1，m=4，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1，B坐标（3，4），A（﹣1，0）；（3）如图，过点Q作QM⊥AC于点M，设点Q的坐标是（x，x2﹣2x+1），则PM=（x﹣1），QM=x2﹣2x+1，MC=（3﹣x），=S△ABC﹣S△PQM﹣S梯形BCMQ，∴S四边形ABQP=×4×4﹣•（x﹣1）•（x2﹣2x+1）﹣•（3﹣x）•（x2﹣2x+1+4）=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，所以当x=2时，四边形ABQP的面积最大为5．21．（2009秋•哈尔滨校级期中）用50米长木条，做如图等腰梯形ABCD框子，AD∥BC，AB=CD，∠B=∠C=60°设AB为x米，等腰梯形ABCD面积为y平方米．当x为多少时，才能使y最大？最大面积y是多少？（参考公式：二次函数y=ax2+bx+c，当x=﹣时，y最大（小）值=）【解答】解：过A作AF∥CD交BC于F，AE⊥BC于E，∵AD∥BC，AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AD=CF，∠AFB=∠C=∠B=60°，∴AB=AF，∴三角形ABF是等边三角形，∴AB=BF=AF=x，∵AE⊥BC，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=x，由勾股定理得：AE=x，∵AD+DC+BC+AB=50，∴x+x+x+2AD=50，∴AD=，BC=+x=，梯形ABCD的面积y=（AD+BC）×AE=×（+）×x，即y=﹣x2+x，∵a=﹣＜0，∴y有最大值，当x=﹣=时，y的最大值是：y==，答：当x为时，才能使y最大，最大面积y是．。

二次函数中面积的最值问题(六大题型)学生版-2024年中考数学压轴题专项训练

二次函数中面积的最值问题(六大题型)通用的解题思路：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：1)当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：一般步骤为：①设出要求的点的坐标；②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；③列出关系式求解；④检验是否每个坐标都符合题意．2)用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3)利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；②通过已知点的坐标，求出直线解析式；③求出题意中要求点的坐标；④检验是否每个坐标都符合题意．题型01三角形面积最值问题1(2024·宁夏银川·一模)如图，二次函数y =-x 2+6x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1，5 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB 上方，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②设△PAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．2(2024·新疆克孜勒苏·二模)如图，抛物线y =x ²+bx +c (b ，c 是常数)的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，A 2,0 ，AB =6，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ ∥BC 交AC 于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标．3(23-24九年级下·湖北武汉·开学考试)如图，抛物线y =ax 2-4ax +3a 交x 轴于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴正半轴于点C ,OB =OC ，点P 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)若tan∠ACP=2，求点P的横坐标．(3)平面上有两点M m,-m-3，求△PMN的面积的最小值．,N m+2,-m-54(23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习)△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，点P从点C出发，沿射线CA方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发，沿射线BA方向运动．设运动时间为x(x≠2且x≠4)秒，△APQ的面积为S．(1)当0<x<2时，如图①，求S与x的函数关系式；(2)当2<x<4时，如图②，求S的最大值；(3)若在运动过程中，存在两个时刻x1，x2，对应的点P和点Q分别记为P1，P2和Q1，Q2，对应的△AP1Q1和△AP2Q2的面积分别记为S1和S2，且当CP1=P1P2时，S1=S2，请求出x1的值．5(2023·山东聊城·二模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A 的坐标为-1,0，直线CD:y=2x-3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动，，与y轴交于点C0,-3过点M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线CD于点N．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．6(2024·浙江宁波·模拟预测)如图，一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B，抛物线y=-33x2+bx+c的图象经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB 面积的最大值及点P的坐标，请说明理由．7(2024·甘肃陇南·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B1,0，抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点．要使得以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，请直接写出点P的坐标．8(2024·江苏盐城·模拟预测)已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，求△PBC的最大面积；(3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y=2x-9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．9(2024·四川广元·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=-x2+bx+c与x轴交于点B，A(-3, 0)，与y轴交于点C(0,3)．(1)求直线AC和抛物线的解析式．(2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰三角形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC面积的最大值．10(2024·安徽安庆·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0两点，与y轴交于、B3,0点C．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值；②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标．11(2024·安徽合肥·一模)如图，直线y=x-3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直接写出当x-3>x2+bx+c时，x的取值范围；(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标．12(2024·天津西青·一模)已知抛物线y=-x2-4ax-12a(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C．(1)若点D4,12在抛物线上．①求抛物线的解析式及点A的坐标；②连接AD，若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA，PD，当△PAD面积最大时，求点P的坐标及△PAD面积的最大值；(2)已知点Q的坐标为-2a,-8a，连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°，点C的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．13(2024·山东临沂·二模)如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A和点B4,0，与y轴交于点C0,2，连接BC，点D在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值；(3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB=∠ABC，请帮助小明求出∠DCB=∠ABC时点D的坐标．14(2024·广东深圳·二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与轴交于A，B 点，与y轴交于点C0,3，点B的坐标为3,0，点P是抛物线上一个动点．(1)求二次函数解析式；(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形；若不存在，请说明理由．15(2024·湖北·模拟预测)如图，抛物线y=x-12+k与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C0,-3．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式；(2)当P点位于第四象限时，求△BCP面积的最大值，并求出此时P点坐标；(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h．① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．16(22-23九年级下·重庆·阶段练习)抛物线y=ax²+bx+5经过点A1,0和点B5,0．该抛物线与直线y=12x+5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)连接PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．17(2024·江苏宿迁·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线l∥y轴，直线l与△ABD的外接圆相交于点E．①仅用无刻度直尺找出图2中△ABD外接圆的圆心P．②连接BC、CE，BC与直线DE的交点记为Q，如图3，设△CQE的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．18(2024·新疆乌鲁木齐·一模)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒t>0．(1)AH=，EF=(用含t的式子表示)．(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．19(2024·重庆·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点(3,-4)，交x轴于点A(-1,0)，B两点，交y轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC ，BC ，M 为线段AB 上一动点，过点M 作MD ∥BC 交直线AC 于点D ，连接MC ，求△MDC 面积的最大值及此时M 点的坐标；(3)在(2)中△MDC 面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC 方向平移2个单位长度，P 是平移后的抛物线上一动点，连接CP ，当∠PCM 与△OBC 的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．20(2024·湖南衡阳·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 1,0 ,B -3,0 ,C 0,3 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD 面积的最大值；(3)设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．21(2024·甘肃天水·一模)如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴交于A ,B 两点，D 是抛物线的顶点．O 为坐标原点．A ,B 两点的横坐标分别是方程x 2-4x -12=0的两根，且cos ∠DAB =22．(1)求抛物线的函数解析式；(2)作AC ⊥AD ，AC 交抛物线于点C ，求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式；(3)在(2)的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大？如果存在，请求出点P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由．22(2024·山东聊城·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若点P 为第四象限内抛物线上一点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一点，点Q 是线段BC 上一点(点Q 不与两端点重合)，是否存在以P 、Q 、O 为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23(2024·吉林长春·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点C 2,2 作x 轴垂线，垂足为D ，连接BC ．现有动点P 、Q 同时从A 点出发，分别沿AB 、AD 向终点B 和终点D 运动，若点P 的运动速度为每秒2个单位长度，点Q 的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为t 秒．(1)求A、B两点的坐标；(2)当CQ∥AB时，t=；(3)设△CPQ的面积为y，写出y与t的函数关系式，并求△CPQ面积的最大值；(4)当△CPQ为轴对称图形时，直接写出t的值．24(2023·湖南娄底·中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0，交y轴于点C．、点B5,0(1)求b，c的值．(2)点P x0,y0是抛物线上的动点0<x0<5①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25(2024·河南安阳·模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+x-1的形状相同，且与x轴交于点-1，0．直线y=kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，和4，0与y=ax2+bx+c于点C，D(点C在点D的左侧)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当k=2时，求△PCD面积的最大值；(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．26(2024·湖南长沙·一模)如图，抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A-1,0两点，与y轴交于，B m,0点C0,-3，顶点为D，直线BD交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式．(2)设点P为线段BD上一点(点P不与B，D两点重合)，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接DF，BF，求△BDF面积的最大值．(3)连接CD，在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27(2024·江西萍乡·一模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A3,0，连接AC，BC．，C0,3(1)求抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OBC相似，求出点P的坐标；(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接MC，MA．设△ACM的面积为S，试求S的最大值．28(2024·四川广元·二模)如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为5，0，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为(3,-4)．(1)求抛物线和直线BC的解析式．(2)在抛物线上是否存在点M，使得△BCM是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为⊙B 上的一个动点，连接AC ，求△ACP 面积的最大值．29(2023·山东青岛·中考真题)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =10cm ，BD =45cm ．动点P 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，动点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为2cm/s ．以AP ，AQ 为邻边的平行四边形APMQ 的边PM 与AC 交于点E ．设运动时间为t s 0<t ≤5 ，解答下列问题：(1)当点M 在BD 上时，求t 的值；(2)连接BE ．设△PEB 的面积为S cm 2 ，求S 与t 的函数关系式和S 的最大值；(3)是否存在某一时刻t ，使点B 在∠PEC 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南怀化·中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A (-4,0)、B (2,0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求△PAC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)设直线l 1:y =kx +k -354交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线l 2:y =-374上总存在一点E ，使得∠MEN 为直角．31(2024·海南省直辖县级单位·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+2x +c a ≠0 ，与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC 、PB 、BC ，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，△PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF ⊥x 轴于F ，若M m ,0 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请直接写出实数m 的取值范围．32(2024·四川成都·一模)如图，直线y =-x -4分别交x 轴，y 轴于A ，C 两点，点B 在x 轴正半轴上．抛物线y =15x 2+bx +c 过A ，B ，C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥AC 交y 轴于点D ，交抛物线于点F ．若点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PD 交AC 于点E ，连接EB ，求S △PEB 的最大值及最大值时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y =-2x 与新抛物线交于O ，G 两点，点H 是线段OG 的中点，过H 作直线RQ (不与OG 重合)与新抛物线交于R ，Q 两点，点R 在点Q 左侧．直线GR 与直线OQ 交于点T ，点T 是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．33(2024·江苏苏州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2-8ax +10a -1a <0 与x 轴的交点分别为A x 1,0 ，B x 2,0 ，其中(0<x 2<x 1)，且AB =4，与y 轴的交点为C ，直线CD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E t ,0 ，过点E 作直线l ⊥x 轴，与抛物线、直线CD 的交点分别为P 、Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当0<t ≤8时，求△APC 面积的最大值；(3)当t >2时，是否存在点P ，使以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．题型02四边形面积最值问题1(2024·安徽阜阳·一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A -1，0 ，B 3，0 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求△PAC 的周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若M 为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB 的面积的最大值及此时点M 的坐标.2(2024·山东临沂·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于点A (-2,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,4)，点P 是直线BC 上方的抛物线上一点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求线段PD 长的最大值；(3)连接CP ，BP ，请直接写出四边形ABPC 的面积最大值为．3(2024·山西运城·一模)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0、B两点，与y轴交于点C，点D-2,9 2在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线BD于点Q，连接PA、PB、QA，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求四边形PAQB面积的最大值及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得∠MAB=2∠ACO，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．4(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A，B两点，直线l：y=kx+2与抛物线交于A，C两点，且A-1,0，B3,0．(1)求a，b，k的值；(2)点M是线段OB上的动点，点N在x轴上，MN=2，且点N在M的左边．过点M作MP⊥x轴，交抛物线于点P．过点N作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线l于点R．①当以P，Q，R，M为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．②记以P，Q，R，M为顶点的四边形面积为S，求S的最大值．5(2024·安徽蚌埠·一模)如图1，已知直线y=-x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是-1，0，抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示；①求AE+DF的值；②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．6(2024·安徽马鞍山·一模)如图，过原点的二次函数y=ax2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于B1,-3，与y轴交于点C0,-4．(1)分别求此二次函数与直线AB的解析式．(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为t．①当PD=12OC时，求t的值；②当点P在直线AB下方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF，求四边形FQED面积的最大值．7(2024·山东济南·一模)如图，直线y=-12x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P m,0顺时针旋转90°得到线段O A ，若线段O A 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．8(2024·四川广元·二模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于原点O和点A4，0，经过点A的直线与该函数图象交于另一点B1，3，与y轴交于点C．(1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标．(2)点P是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，连接OP，与BF交于点G，连接DG．求四边形GDEF面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得∠BOQ=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9(2024·广东珠海·一模)如图，抛物线y=-x2+3x+4和直线y=x+1交于A-1,0点，点B，B3,4在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．(1)求∠BAC的度数．(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒t>0．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．10(2024·安徽宿州·二模)如图1，抛物线y=ax2+bx-3(a，b是常数且a>0)与x轴交于点A-1,0和点B(点B在点A的右侧)，点D是抛物线的顶点，CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C1,0.(1)求a，b的值；(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．(i)如图2，连接AP，DP，BD，求四边形ABDP面积的最大值；(ii)如图3，连接AP并延长交CD延长线于点Q，连接BP交CD于点E，求CE+CQ的值.11(2024·安徽·二模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4交x轴于点A-1,0,B4,0，交y轴于点C，点M在该抛物线上，横坐标为m，将该抛物线M,C两点之间(包括M,C两点)的部分记为图象W．(1)求抛物线的解析式；(2)图象W的最大值与最小值的差为4时，求m的值；(3)如图2，若点M位于BC下方，过点A作AE∥BC交拋物线于点E，点D为直线AE上一动点，连接CM, CD,BM,BD，求四边形CDBM面积的最大值及此时点M的坐标．12(2024·四川广安·二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-4,0．，B两点，交y轴于点C0,4(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13(23-24九年级上·重庆渝北·期末)二次函数y=ax2+bx+4经过点A-1,0，点C，点D，点B4,0分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，连接BC ，过点A 作BC 的平行线交二次函数于点E ，连接CM ，BM ，BE ，CE ．求四边形CMBE 面积的最大值以及此时点M 的坐标；(3)如图2，过点M 作MN ∥y 轴，交BC 于点N (点M 不与点D 重合)，过点D 作DH ∥y 轴，交BC 于点H ，当DM =HN 时，直接写出点M 的坐标．题型03面积比最值问题14(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =a x +1 x -4 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C 0，-2 ．(1)求a 的值；(2)点D 为第四象限抛物线上一点①求△BCD 的面积最大值②连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；15(2023·四川遂宁·中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．16(2024·湖北省直辖县级单位·一模)抛物线y =x 2-4x 与直线y =x 交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)求出点B 和点D 的坐标；(2)如图①，连接OD ，P 为x 轴的负半轴上的一点，当tan ∠PDO =12时，求点P 的坐标；(3)如图②，M 是点B 关于抛物线的对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为m 0<m <5 ，连接MQ ，BQ ，MQ 与直线OB 交于点E ，设△BEQ 和△BEM 的面积分别为S 1和S 2，求S1S 2的最大值．17(2023·湖南永州·中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．18(2024·四川南充·一模)抛物线y =-38x 2+bx +c b >0 与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C 0,3 ，抛物线对称轴为x =1，点P 是抛物线在第一象限上动点，连接CB ，PB ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图，连接PA ，交BC 于点M ，设△ABM 的面积为S 1，△PBM 的面积为S 2，求S 1S 2的最小值及此时点P的坐标．19(2024·湖北孝感·一模)如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0，B3,0，与y轴交于点C，连接BC．(1)求a，b的值及直线BC的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，(ⅰ)若EP=EG，求点P的坐标，(ⅱ)连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2的最大值；(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．题型04面积和最值问题1(2024·吉林长春·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(-1,0)、B(3,0)，交y轴于点C，连结AC、BC．点D在该抛物线上，过点D作DE∥AC，交直线BC于点E，连结AD、AE、BD．设点D横坐标为m(m>0)，△DAE的面积为S1，△DBE的面积为S2．(1)求a，b的值；(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；(3)当点D在第一象限时，求S1+S2的最大值；(4)当S1:S2=2:1时，直接写出m的值．题型05面积差最值问题1(2024·安徽合肥·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=。

二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)

(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。

278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。

抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。

思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。

该方法不是唯一的。

可以使用截补法，但是有点麻烦。

如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。

掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。

答：（1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。

将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。

二次函数的应用-——最大面积问题教学设计

二次函数的应用-——最大面积问题教学设计《二次函数的应用——面积最大问题》教学设计二次函数的应用——面积最大问题。

所用教材是山东教育出版社材九年级上册第三章第六节二次函数的应用，本节共需四课时，面积最大是第一节。

下面我将从教材内容的分析、教学目标、重点、难点的确定、教学方法的选择、教学过程的设计和教学效果预测几方面对本节课进行说明。

一、教学内容的分析1、地位与作用：二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

2、课时安排教材中二次函数的应用只设计了3个例题和一部分习题，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为面积最大、利润最大、运动中的二次函数、综合应用四课时，本节是第一课时。

3.学情及学法分析学生由简单的二次函数y＝x2学习开始，然后是y＝ax2，y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和图像的性质。

对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，本节课正是为了弥补这一不足而设计的，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

二次函数面积最大值问题

二次函数面积最大值问题二次函数面积最大值问题是一个经典的数学优化问题，旨在寻找一个二次函数的最大面积。

为了理解这个问题，我们首先需要明确什么是二次函数。

二次函数是一种具有形如y=ax^2+bx+c的函数形式的函数，其中a、b、c为实数且a不等于0。

在二次函数面积最大值问题中，我们希望找到一个二次函数的最大面积，该函数关于x轴对称。

这意味着，我们需要在二次函数的图像上找到一个顶点，使得顶点对应的面积最大。

要解决这个问题，我们可以利用一些基本的数学知识和技巧。

首先，二次函数的图像一般呈现出抛物线的形状。

当抛物线开口朝上时，函数的最小值对应于顶点；当抛物线开口朝下时，函数的最大值对应于顶点。

为了找到二次函数的顶点，我们可以使用一些数学方法。

一种简单的方法是求出二次函数的导数，并令其等于零。

这将给我们一个方程，从中我们可以解出顶点的x坐标。

将这个x坐标代入原函数，我们可以找到顶点的y坐标。

一旦我们找到了顶点坐标，我们可以计算出顶点对应的面积。

这可以通过将顶点下方的曲线与x轴之间的曲边梯形与顶点上方的曲线与x轴之间的曲边梯形的面积相加来实现。

通过这种方法，我们可以找到二次函数的最大面积。

需要注意的是，由于二次函数的图像可能对称于y轴，因此可能存在多个顶点。

因此，在求解问题时，我们需要将所有的顶点都考虑在内，并计算出对应的面积。

最后，我们选取最大的面积作为答案。

总之，二次函数面积最大值问题是一个寻找二次函数的最大面积的数学优化问题。

通过寻找二次函数的顶点，并计算出对应的面积，我们可以解决这个问题。

这是一个有趣且实用的数学问题，可以帮助我们理解和运用二次函数的概念。

二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题

二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．[例3]如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米．则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．。

二次函数的应用——最大面积问题教学设计

二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。

新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。

将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。

通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。

二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。

2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。

从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。

3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。

三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。

从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。

四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。

的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。

补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。

二次函数求面积最大值

二次函数求面积最大值二次函数是高中数学中比较重要的一章内容，它在数学和物理中都有广泛的应用。

其中，求二次函数的最值是一个常见的问题，而二次函数求面积最大值也是其中一个重要的应用。

一、二次函数的基本概念二次函数是形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。

二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。

二、二次函数求面积最大值的问题对于给定的二次函数y=ax+bx+c，我们要求其在区间[a, b]上的面积最大值。

这个问题可以转化为求y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，然后再利用定积分求解。

三、求二次函数的最值我们知道，二次函数的最值只可能出现在其顶点处，因此我们可以先求出二次函数的顶点坐标，然后再判断其是否在区间[a, b]内。

对于y=ax+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。

如果顶点坐标不在区间[a, b]内，则最值出现在区间端点处，即y(a)和y(b)中的较大值。

四、利用定积分求解面积最大值已知y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，我们可以利用定积分求解其面积最大值。

设y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值分别为y1和y2，则其面积最大值为∫[a, b] (y1-y2)dx。

五、例题解析下面通过一个例题来说明如何利用二次函数求面积最大值。

例1：求函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值。

首先，求出该函数的顶点坐标：x0 = -b/2a = -4/(-2) = 2y0 = -x0+4x0+5 = -4+8+5 = 9因为顶点坐标(2, 9)在区间[0, 4]内，所以函数的最值为y(2)=9。

然后，利用定积分求解面积最大值：∫[0, 4] (y(2)-y)dx = ∫[0, 4] (9+x-4x)dx = 20/3因此，函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值为20/3。

二次函数求最大面积公式

二次函数求最大面积公式二次函数是一种常见的数学函数，其表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在二次函数中，最大面积是一个重要的概念。

本文将通过推导和分析，探讨如何利用二次函数求解最大面积问题。

我们首先考虑一个简单的问题：如何求解一个矩形的最大面积。

假设矩形的长为x，宽为y，则矩形的面积S为S = xy。

根据矩形的性质，我们知道长和宽是相互影响的，即当长增加时，宽会减小，反之亦然。

因此，要求解最大面积，我们需要找到长和宽的一个最佳的组合。

为了简化问题，我们假设矩形的长和宽相等，即x = y。

此时，矩形的面积可以表示为S = x^2。

现在，我们可以将这个问题转化为一个二次函数的问题。

根据二次函数的定义，我们可以将面积S表示为一个二次函数的形式，即S = f(x) = x^2。

接下来，我们需要确定这个二次函数的相关参数。

根据矩形的性质，我们知道长和宽必须是正数，因此x > 0。

另外，根据实际情况，我们也可以对x设置一个合适的取值范围。

为了方便计算，我们假设x的取值范围为[0, 10]，即0 ≤ x ≤ 10。

现在，我们需要找到这个二次函数的最大值。

根据二次函数的性质，当二次函数的系数a > 0时，函数的图像是一个开口向上的抛物线，且最低点对应的横坐标为最大值点。

因此，我们可以通过求解二次函数的顶点来找到最大值点。

二次函数的顶点坐标可以通过公式x = -b / (2a)来求解。

根据我们的二次函数f(x) = x^2，可以得到a = 1，b = 0，c = 0。

代入公式，可以得到x = 0。

由于我们限定了x的取值范围为[0, 10]，因此最大值点为x = 10。

现在，我们已经找到了二次函数的最大值点，即x = 10。

将x = 10代入二次函数f(x) = x^2，可以得到最大面积S = 10^2 = 100。

因此，当长和宽相等时，矩形的最大面积为100。

二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿

二次函数的应用——面积最大问题》说课稿—获奖说课稿22.过程与方法：培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，掌握建模思想，熟练掌握最值问题的解法。

23.情感态度与价值观：通过实际问题的应用，让学生感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱。

本节课的重点是最值问题的解法和建模思想的培养，难点是对实际问题的分析和建模思想的掌握。

三、教学方法的选择本节课采用“引导发现、归纳总结、启发式教学”等多种教学方法，其中引导发现法是本节课的核心教学方法，通过引导学生发现实际问题中的规律和模式，培养学生独立思考和解决问题的能力；归纳总结法是巩固知识的有效方法，通过对学生已有的知识进行梳理和总结，加深对知识的理解和记忆；启发式教学法则是在教学中采用启发式问题，激发学生的思考和求知欲，提高学生的研究兴趣和积极性。

四、教学过程的设计本节课的教学过程分为四个环节：导入、讲授、练、归纳总结。

导入环节通过引入实际问题，激发学生的兴趣和求知欲，让学生认识到最值问题的实际应用价值；讲授环节通过具体例子和图像分析，讲解最值问题的解法和建模思想；练环节则通过多种形式的练，巩固学生的知识和技能；归纳总结环节则对本节课的知识点进行总结和梳理，加深对知识的理解和记忆。

五、教学效果预测通过本节课的教学，学生将能够掌握最值问题的解法和建模思想，能够熟练应用所学知识解决实际问题，同时也能够感受到数学在生活中的实际应用价值，培养学生对数学的兴趣和热爱，为学生今后的研究打下坚实的理论和思想方法基础。

2、___要在一块长为20米、宽为15米的空地上建一个长方形花园，他想让花园的面积最大，你能帮他算一下最大面积是多少吗？3、某公司生产一种产品，销售价格为每个10元，生产成本为每个5元，每天能生产1000个，你能帮助他们算一下每天的最大利润是多少吗？设计思路]通过这三个问题，引导学生发现实际问题中的最值问题，从而引出二次函数的最值问题。

二次函数中求面积最大的技巧

二次函数中求面积最大的技巧二次函数是数学中非常重要的一类函数，应用广泛。

在二次函数中，如何求面积最大是一个非常重要的问题。

下面，我将分步骤阐述这个问题的解决技巧。

一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为：y=ax^2+bx+c其中，a、b、c均为实数，而a不能为零。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

当a>0时，抛物线是开口向上的；当a<0时，抛物线是开口向下的。

二、求解面积最大的过程在二次函数中，若要求出面积，则必须指明积分范围。

一般情况下，我们可以选择从抛物线与x轴的交点处开始积分。

例如，有一个二次函数f(x)=-2x^2+8x+6，我们可以先将其画出来，然后找到交点。

这样，我们就可以使用定积分的方法求出抛物线所围成的面积了。

但事实上，这个方法并不是最有效的。

在这里，我将介绍一种更为简单的方法，具体步骤如下：1.将二次函数表示为顶点式二次函数是一个二次多项式，可以通过完成平方来将其写成顶点式。

即：y=a(x-h)^2+k其中，(h,k)为抛物线的顶点坐标。

根据这种表示方法，我们可以更容易地分析抛物线的性质。

2.求出抛物线的顶点如果已知二次函数的标准形式，我们可以直接使用公式求解。

即：h=-b/2ak=f(h)当然，如果已知抛物线的坐标和斜率，我们也可以通过其他方法求解。

不过，在这里我们只需要使用这个公式就可以了。

比如，对于f(x)=-2x^2+8x+6，我们可以使用上述公式求解，得到：h=2k=10也就是说，这个抛物线的顶点坐标为(2,10)。

3.求出最大面积的横坐标由于抛物线是关于顶点对称的，因此最大面积一定在顶点处或抛物线的两个端点处取得。

但由于面积为正，因此我们只需要考虑顶点附近的情况。

如果我们要求解最大面积，必须先确定面积的边界条件。

此处，横坐标的取值范围是顶点左右两侧的区域。

因此，我们需要求解的是从顶点向两侧的距离。

如果我们设距离为x，那么横坐标的取值就是[h-x,h+x]，而这一区域内的面积是可以通过定积分求解的。

二次函数面积最大值问题

二次函数面积最大值问题二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，a!=0。

它是数学中的一种基本函数类型，也是一种常见的函数类型。

二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，它在平面上呈现出对称的形状。

而二次函数的面积最大值问题即是要找到这个二次函数上的某个区间，使得该区间所对应的面积达到最大值。

要解决这个问题，我们首先需要找到二次函数的顶点，因为顶点是抛物线的最高点或最低点，对应着面积最大值或最小值。

二次函数的顶点坐标的x值可以通过求导函数的根来得到，也可以通过使用二次函数的对称轴公式来得到。

一般来说，对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的对称轴公式为x = -b/(2a)。

对于开口朝上的抛物线，顶点位于对称轴上方；对于开口朝下的抛物线，顶点位于对称轴下方。

有了二次函数的顶点坐标后，我们可以进一步求得面积最大值对应的区间。

对于开口朝上的抛物线，可以找到一个区间，使得顶点的两个x值都落在该区间内；对于开口朝下的抛物线，可以找到一个区间，使得顶点的两个x值都落在该区间外。

接下来，我们需要定义面积的计算方法。

对于开口朝上的抛物线，面积为两个顶点x值之间的曲线下方所围成的面积；对于开口朝下的抛物线，面积为整个函数曲线下方所围成的面积。

对于面积的计算，可以使用微积分的方法。

我们可以先求出二次函数的原函数F(x)，然后通过计算F(x)在区间内的两个端点的函数值之差来得到面积。

具体来说，对于开口朝上的抛物线，面积可以表示为S = F(x2) - F(x1)，其中x1和x2是顶点的两个x值；对于开口朝下的抛物线，面积可以表示为S = |-F(x2) + F(x1)|。

要计算S的数值，我们需要根据二次函数的具体形式来计算对应的原函数F(x)。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的原函数F(x) = (a/3)x^3 + (b/2)x^2 + cx。

二次函数面积最大问题专题典型题

二次函数（面积最值）专题典型题1、用20米材料制作一日字形窗框，窗框的高度为多少时，窗框面积最大，最大面积是多少？2、用20米材料制作一田字形窗框，窗框的高度为多少时，窗框面积最大，最大面积是多少？3、用20米材料制作一如图所示窗框，窗框上半部分框的高度是下半部分框高度的一半，那么窗框的宽度为多少时，窗框面积最大，最大面积是多少？4、用20米材料靠墙围一矩形场地，如图所示其中一边开一1米宽度的门，该矩形场地的一边长x 为多少时，场地面积最大，最大面积是多少？小题（1）小题（2）小题（3）5、用20米材料靠墙围一矩形场地，且矩形内分成三个小矩形场地，如图所示其中每个场地均设置一1米宽度的门，该矩形场地的一边长x 为多少时，场地面积最大，最大面积是多少？小题（1）小题（2）小题（3）6、一直角三角形形状区域，其中两直角边为墙，一墙宽度为10米，另一墙宽度为20米。

在该区域内靠墙用足够多的材料围一矩形场地，矩形场地的长度为多少时，所围面积最大，最大面积是多少？7、一直角梯形形状区域，其中一腰和一底边为墙，梯形上底边宽度为20米，下底边宽度为30米，梯形高度为25米。

在该区域内靠墙用足够多的材料围一矩形场地，矩形场地的长度为多少时，所围面积最大，最大面积是多少？8、用20米的材料制作如图所示一窗框，窗框上半部分为一半圆，下半部分为一矩形，窗框上半部分半径为多少时，窗框透光面积最大，最大面积是多少？9、已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．10、用一张长为4，宽为3的矩形白纸剪一如图所示的平行四边形纸片，其中剪掉的两个小直角三角形为全等等腰三角形，为使所剪得到的纸片面积最大，则小等腰直角三角形的直角边应为多少，此时面积最大为多少？11、在一半径为10的四分之一个圆内围一矩形，矩形一边长为多少时，面积最大，最大面积是多少？12、点P 是抛物线y x 42 上一点，另有两个点A(4，0)和B(0，-3)，求三角形PAB 的最小面积。

二次函数求面积最大值

二次函数求面积最大值二次函数求面积最大值是高中数学中的经典问题，也是数学竞赛中常考的知识点之一。

本文将分步骤阐述二次函数求面积最大值的具体过程和数学原理。

一、二次函数的标准形式首先，我们需要了解二次函数的标准形式。

一般情况下，二次函数的标准形式为：y = ax² + bx + c （a ≠ 0）其中，a、b、c分别为常数，x为自变量，y为因变量，a代表着开口向上或向下的程度，若a > 0，则开口向上，若a < 0，则开口向下。

b代表着抛物线在水平方向上的平移，c代表着抛物线的纵坐标值。

二、二次函数求解面积最大值的步骤接下来，我们来具体阐述二次函数求解面积最大值的步骤。

我们以y = -x² + 6x为例，来说明具体的求解过程。

步骤一：求解极值首先，我们需要求解二次函数的极值。

根据二次函数的标准形式，我们可以得到二次函数的导数为：y' = 2ax + b将二次函数y = -x² + 6x带入上式，可得到：y' = -2x + 6令导数y' = 0，则有：-2x + 6 = 0解得x = 3将x = 3代入原方程y = -x² + 6x中，可得到：y = -9因此，二次函数y = -x² + 6x在x = 3处达到极大值，极大值为-9。

步骤二：确定积分区间接下来，我们需要确定二次函数在哪个区间内积分。

由于二次函数的对称轴为x = -b / 2a，因此我们可以通过求解对称轴的坐标得到积分区间。

将二次函数y = -x² + 6x带入对称轴公式中，可得到：x = -6 / (-2) = 3因此，积分区间为[0, 3]。

步骤三：求解面积最大值最后，我们可以使用求定积分的方法来求解面积最大值。

将二次函数y = -x² + 6x代入定积分公式中，可得到：S = ∫[0, 3](-x² + 6x)dx= [-1 / 3 x³ + 3x²] [0, 3]= 9因此，二次函数y = -x² + 6x在[0, 3]区间内的面积最大值为9。

二次函数面积最值问题

二次函数面积最值问题一、问题概述二次函数面积最值问题是指在给定的二次函数中，找到使其面积最大或最小的变量取值。

这个问题在数学中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。

二、问题分析为了解决二次函数面积最值问题，我们需要先了解一些基本概念和公式。

下面是一些常见的数学公式：1. 二次函数的标准形式：y=ax^2+bx+c其中a,b,c都是实数，且a≠0。

2. 二次函数的顶点坐标：(h,k)其中h=-b/2a，k=f(h)，f(x)表示二次函数。

3. 二次函数的对称轴方程：x=h4. 两点之间距离公式：d=sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]5. 矩形面积公式：S=lw其中S表示矩形面积，l表示矩形长，w表示矩形宽。

了解了这些基本概念和公式后，我们可以开始分析如何解决二次函数面积最值问题。

三、求解方法1. 求最大值要求一个二次函数在给定区间内的最大面积，我们可以通过以下步骤来实现：步骤一：将二次函数化为标准形式。

步骤二：求出二次函数的顶点坐标。

步骤三：根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽。

步骤四：计算矩形面积，并比较得出最大值。

具体的，可以按照以下函数来实现：```pythondef max_area(a,b,c,start,end):# 将二次函数化为标准形式f = lambda x: a*x**2+b*x+c# 求出二次函数的顶点坐标h = -b/(2*a)k = f(h)# 根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽l = end-startw = abs(f(start)-k)*2# 计算矩形面积，并比较得出最大值S = l*wreturn S if S>0 else 0```其中，a,b,c分别表示二次函数的系数，start,end表示给定区间的端点。

这个函数会返回一个最大面积值。

2. 求最小值要求一个二次函数在给定区间内的最小面积，我们可以通过以下步骤来实现：步骤一：将二次函数化为标准形式。

二次函数面积最值问题的4种解法

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解法二：铅锤定理，在求二次函数三角形面积最值问题，运用非常多。设动点 P 的坐标，然后用代数式分别表达出铅锤高度和水平宽度，然后利用铅锤定理的计算公式，得出二次函数，必有最大值。
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原题：在（ 1）中的抛物线上的第二象限是否存在一点 P，使 △PBC 的面积最大？若存在，求出 P 点的坐标及△PBC 的面积最大值，若没有，请说明理由。考试题型，大多类似于此。求面积最大值的动点坐标，并求出面积最大值。一般解题思路和步骤是，设动点 P 的坐标，然后用代数式表达各线段的长。通过公式计算，得出二次函数顶点式，则坐标和最值，即出。
解法一：补形，割形法。方法要点是，把所求图像的面积适当的割补，转化成有利于面积表达的常规几何图形。请看解题步骤。
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解法二：铅锤定理，面积 =铅锤高度 ×水平宽度 ÷2。这是三角形面积表达方法的一种非常重要的定理。铅锤定理，在教材上没有，但是大多数数学老师都会作为重点，在课堂上讲解。因为，铅锤定理，在很多地方都用的到。这里，也有铅锤定理的简单推导，建议大家认真体会。
解法四：三角函数法。请大家认真看上面的解题步骤。总之，从以上的四种解法可以得出一个规律。过点 P 做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。设动点 P 的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。对于同学们中考数学来说，只要你熟练掌握解法一和解法二，那么二次函数几何综合题中，求三角形面积最大值问题，就非常简单了。

二次函数帮你确定最大面积

二次函数帮你确定最大面积学习了二次函数，我们经常遇到利用二次函数的性质解决生活中的最大值或最小值问题，如：求有关几何图形的最大面积问题.处理这类问题，关键是根据题意和几何图形的特点求出其面积的二次函数表达式，再通过配方成顶点式或利用最值公式求解，即对于二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)，若a ＜0，则当x ＝－ab 2时，有最大值y ＝ab ac 442-.下面举例分析，供同学们参考.例1为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图1）.若设绿化带的BC 边长为xm ，绿化带的面积为ym 2.（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？分析：由题意，y 表示的矩形的面积，因此需表示出矩形的长与宽，根据长BC=xm ，AB ＋BC ＋CD=40m ，得：宽=240x -m .解：（1）由题意和矩形的面积公式，得y ＝x ×240x -＝－12x 2+20x ，（0＜x ≤25）.（2）y ＝－12x 2＋20x ＝－12(x －20)2＋200，由于 20＜25，所以当x ＝20时，y 有最大值200.即当x ＝20时，满足条件的绿化带面积最大.点评：需注意求最大面积必须在自变量的取值范围内求.例2用长为l2m 的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图2，围出的苗圃是五边形ABCDE ，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∠C=∠D=∠E ．设CD=DE=xm ，五边形ABCDE 的面积为S m 2．问当x 取什么值时，S 最大?并求出S 的最大值．分析：由于五边形没有自己的面积公式，故应通过对图形的适当分割，转化为比较熟悉的三角形、特殊四边形的面积问题来解决．解：连结EC ，作DF ⊥EC ，垂足为F ．∵∠DCB=∠CDE=∠DEA ，∠EAB=∠CBA=90°，∴∠DCB=∠CDE=∠DEA=120°． ∵DE=CD ，∴∠DEC=∠DCE=30°，∴∠CEA=∠ECB=90°． ∴四边形EABC 为矩形， ∴DE=xm ，∴AE=(6-x )m ，DF=21x ，EC=x 3．∴S=x x 364332+-(0＜x ＜6)．当4)433(236=-⨯-=x 时，312=最大S m 2．点评：当所研究的图形为不规则图形时，我们通常可以采用割补法转化为规则图形面积的和或差来计算.图125mDC B A图2例3如图3，抛物线9222-++-=n nx x y （n 为常数）经过坐标原点和x 轴上另一点C ，顶点在第一象限．（1）确定抛物线所对应的函数关系式，并写出顶点坐标；（2）已知A 点坐标为（2，8），在梯形OABC 内有一矩形MNPQ ，点M 、N 分别在OA 、BC 上，点Q 、P 在x 轴上．当MN 为多少时，矩形MNPQ 的面积最大？最大面积是多少？分析：确定最大面积的关键是建立矩形面积与边长间的二次函数关系式，进而需找到MQ 与MN 间的关系，用一个量表示出另一个量．解：（1）∵抛物线过（0，0）点，∴092=-n ，∴3±=n ． ∵顶点在第一象限，∴02>=-n ab 且04444222>=--=-nn ab ac ，∴3=n ．∴抛物线x x y 62+-=，顶点坐标为（3，9）．（2）由二次函数图象的对称性，易得B 点的坐标为（4，8）．作AH ⊥x 轴于H ．设M 点的坐标为（x ，y ），则有△OMQ ∽△OAH ，∴AHMQ OHOQ =，∴82y x =，∴x y 4=．由抛物线的对称性可知：QP=MN=x 26-，x x x x S MNPQ 248)26(42+-=-=， ∴当231624=--=x ，即MN=3时，18=最大S ．点评：本题中运用三角形相似寻找MQ 与MN 的关系是难点，应注意体会方法.yAMOQHB NP C x图3。