二次函数的应用--最大面积

二次函数的应用—面积问题【知识要点】

(1)求出面积与自变量的函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）

（2）用配方法用配方法将y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式：

y=ax2+bx+c=a(x2+b

a x+c

a

)=a[x2+b

a

x+(b

2a

)

2

+c

a

]=a(x+b

2a

)

2

+4ac−b

2

4a

.

当a＞0时，则x=−b

2a 时，y最小值=4ac−b

2

4a

当a＜0时，则x=−b

2a 时，y最大值=4ac−b

2

4a

（3）确定自变量的取值范围，检验x=−

b

2a

是否在取值范围内，若不在，则根据函数的

增减性，代入自变量的端点值求出最值

求几何图形的常见方法：

①利用几何图形的面积公式；

②利用三角形的相似（面积比等于相似比的平方）；

③利用割补法求几何图形的面积和或差；

【例题解析】

例4、有窗框料12m长，现要制成一个如图所示的窗框，问长宽各为多少米，才能使光照最充足？

例5、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=120°，设AE=x，DF=y．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

例6、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，当两动点运动了t秒时．

（1）P点的坐标为______（用含t的代数式表示）；

（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜4）；

（3）当t=______秒时，S有最大值，最大值是______；

（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．

【课堂练习】

1.如图,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC 上截出一矩形零件DEFG,使EF 在BC 上,点D 、G 分别在边AB 、AC 上. 问矩形DEFG 的最大面积是多少?

2.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,点D 在BC 上运动(不运动至B,C),DE ∥AC,交AB 于E,设BD=x,△ADE 的面积为y.

(1)求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;

(2)x 为何值时,△ADE 的面积最大?最大面积是多少?

3.如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P 从点A 开始,沿AB 边向点B 以每秒1cm 的速度移动;点Q 从点B 开始,沿着BC 边向点C 以每秒2cm 的速度移动.如果P,Q 同时出发,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大?最大面积是多少?

F E B

G

D

A E

B

D

A

4.如图所示,是某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图,隧道的截面由抛物线和长方形构成.长方形的长是16m,宽是6m.抛物线可以用y=-132

x 2

+8表示. (1)现有一大型运货汽车,装载某大型设备后,其宽为4m,车载大型设备的顶部与路面的距离均为7m,它能否安全通过这个隧道?说明理由.

(2)如果该隧道内设双行道,那么这辆运货汽车能否安全通过?

(3)为安全起见,你认为隧道应限高多少比较适宜?为什么?

5.如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A 出发,沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动,同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动,如果P,Q 两点同时出发,分别到达B,C 两点后就停止移动.

(1)设运动开始后第t 秒钟后,五边形APQCD 的面积为Scm 2,写出S 与t 的函数关系式,

B

Q

C

P

A

B x A 1

O B 1C y A

并指出自变量t 的取值范围.

(2)t 为何值时,S 最小?最小值是多少?

6.△ABC 是锐角三角形,BC=6,面积为12,点P 在AB 上,点Q 在AC 上,如图所示, 正方形PQRS(RS 与A 在PQ 的异侧)的边长为x,正方形PQRS 与△ABC 公共部分的面积为y. (1)当RS 落在BC 上时,求x;

(2)当RS 不落在BC 上时,求y 与x 的函数关系式; (3)求公共部分面积的最大值.

7.如图,有一座抛物线形拱桥,抛物线可用y=2

125

x

表示.在正常水位时水面AB 的宽为20m,如果水位上升3m 时,水面CD 的宽是10m.

(1)在正常水位时,有一艘宽8m 、高2.5m 的小船,它能通过这座桥吗?

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km 的速度开往乙地,当行驶1小时时, 忽然接

B

Q

D

C

P A B

Q S

R

C

P A