概率论总结
概率论的知识点总结
概率论的知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具，其基本概念包括样本空间、事件和概率空间。
样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，概率空间包括样本空间和定义在样本空间上的概率测度。
2.概率分布概率分布描述了随机变量可能取值的概率情况。
概率分布分为离散分布和连续分布两种。
常见的离散分布包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
概率密度函数和累积分布函数是描述连续分布的重要工具。
3.随机变量随机变量是一种具有随机性的变量，它可以取样本空间中的某些值。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的概率分布由概率质量函数描述，连续随机变量的概率分布由概率密度函数描述。
4.数学期望和方差数学期望是随机变量的平均值，描述了随机变量的位置参数；方差是随机变量与其数学期望之间的离散程度，描述了随机变量的分散程度。
数学期望和方差是描述随机变量性质的重要指标，它们具有许多重要的性质，如线性性质、切比雪夫不等式等。
5.大数定律大数定律是描述随机变量序列平均值的收敛性质的定理。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两种。
弱大数定律描述了随机变量序列平均值收敛于数学期望的概率性质，强大数定律描述了随机变量序列平均值几乎必然收敛于数学期望的性质。
6.中心极限定理中心极限定理是概率论中一个重要的定理，描述了大量独立随机变量的和呈现出正态分布的性质。
中心极限定理包括林德伯格-莱维中心极限定理、李亥莱中心极限定理等。
中心极限定理在统计学和金融学中具有重要的应用价值，它解释了正态分布在自然界和人类活动中的普遍性。
以上是概率论的一些重要知识点，概率论作为一门基础数学学科，不仅具有重要的理论意义，而且在实际应用中有着广泛的应用价值。
随着数据科学和人工智能的快速发展，概率论的应用前景将更加广阔。
概率论公式总结
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章)()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk kki i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ)),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤badx x f b X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θ)(1)(b x a ab x f ≤≤-=分布函数 对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数联合密度与边缘密度⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()()()('x f x F =离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章 数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k kkP xX E )(⎰+∞∞-⋅=dxx f x X E )()(∑=kkk p x g X g E )())((常用公式方差 定义式常用计算式∑∑=ijiji p x X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=ijijj i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差的性质))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY=ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章 正态分布标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P 一般正态分布的概率计算),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔一般正态分布的概率计算公式第五章卡方分布t 分布F 分布 )()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P )(~)1,0(~212n X N X ni i χ∑=，则若())(~1),,(~21222n Y N Y ni iχμσσμ∑=-则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ则若),(~),1,0(~2n Y N X χ)(~/n t nY X正态总体条件下 样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计 最大似然估计似然函数均值的区间估计——大样本结果),(~2nN X σμ)1,0(~/N nX σμ-)1(~)1(222--n S n χσ)1(~/--n t ns X μ)1,1(~//2122212221--n n F S S σσ);(1θi ni x f L ∏==);(1θi ni x p L ∏==⎪⎫⎛z x σα/—正态总体方差的区间估计⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n p p z p )1(2/α正态分布的分位点—大样本要求样本容量—样本比例—2/)50(αz n np >已知准差小样本、正态总体、标σ⎪⎭⎫ ⎝⎛±n z x σα2/未知准差小样本、正态总体、标σ⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n s n t x )1(2/α分布的分位点的自由度为—t n n t 1)1(2/--α()22)1()1(--Sn Sn 样本方差—22S两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性和概率分布。
在现实生活中，概率论广泛应用于统计学、金融、工程、生物学等领域。
下面将对概率论中的一些重要知识点进行总结。
一、基本概念1. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
2. 随机事件：样本空间中的一个子集。
3. 概率：随机事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
4. 事件的互斥与对立：互斥事件指两个事件不可能同时发生，对立事件指两个事件至少有一个发生。
二、概率的性质1. 非负性：概率值始终大于等于0。
2. 规范性：样本空间的概率为1。
3. 可数可加性：如果事件A和事件B互斥，则P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 加法定理：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
三、条件概率1. 定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
2. 计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
3. 乘法公式：P(A∩B) = P(A|B) * P(B) = P(B|A) * P(A)。
四、独立事件1. 定义：事件A发生与否不受事件B发生与否的影响。
2. 判别条件：P(A∩B) = P(A) * P(B)。
五、全概率公式与贝叶斯定理1. 全概率公式：设事件B1、B2、...、Bn为样本空间的一个划分，即B1∪B2∪...∪Bn = S，且P(Bi) > 0，有P(A) = ∑P(A|Bi) * P(Bi)。
2. 贝叶斯定理：在全概率公式的基础上，可以得到P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ∑P(A|Bi) * P(Bi)。
六、随机变量与概率分布1. 随机变量：将数学状态与随机事件的结果联系起来的变量。
2. 离散型随机变量与连续型随机变量。
3. 概率分布：描述随机变量各个取值的概率情况。
4. 均匀分布、正态分布、泊松分布等。
七、大数定律与中心极限定理1. 大数定律：随着试验次数的增加，样本均值趋于总体均值。
概率论公式总结
第一章PA+B=PA+PB- PAB 特别地,当A 、B 互斥时, PA+B=PA+PB条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布Bernoulli 分布——X~Bn,p泊松分布——X~P λ概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~Ua,b指数分布X~Exp θ分布函数对离散型随机变量 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望 离散型随机变量,数学期望定义 连续型随机变量,数学期望定义Ea=a,其中a 为常数Ea+bX=a+bEX,其中a 、b 为常数EX+Y=EX+EY,X 、Y 为任意随机变量⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F ∑+∞-∞=⋅=k kk P x X E )(随机变量gX 的数学期望常用公式方差定义式常用计算式 常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质Da=0,其中a 为常数Da+bX=b2DX,其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时,DX+Y=DX+DY协方差与相关系数协方差的性质独立与相关独立必定不相关相关必定不独立 []22)()()(X E X E X D -=不相关不一定独立第四章 正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章卡方分布t 分布F 分布正态总体条件下样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章 ),(~2σμN X )(~)1,0(~212n X N X n i i χ∑=，则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计似然函数均值的区间估计——大样本结果 正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1② 根据假设选择检验统计量,并计算检验统计值③ 看检验统计值是否落在拒绝域,若落在拒绝域则拒绝原假设,否则就不拒绝原假设; 不可避免的两类错误第1类弃真错误：原假设为真,但拒绝了原假设);(1θi n i x f L ∏==);(1θi ni x p L ∏==()22/1222/2)1()1(,ααχχ---S n S n 卡方分布的分位点—样本方差—22/2αχS第2类取伪错误：原假设为假,但接受了原假设 单个正态总体的显着性检验单正态总体均值的检验大样本情形——Z 检验正态总体小样本、方差已知——Z 检验 正态总体小样本、方差未知—— t 检验 单正态总体方差的检验正态总体、均值未知——卡方检验单正态总体均值的显着性检验统计假设的形式双边检验 左边检验右边检验单正态总体均值的Z 检验拒绝域的代数表示 双边检验 0100::)1(μμμμ≠=H H 2/αZ Z ≥左边检验右边检验 比例——特殊的均值的Z 检验 单正态总体均值的 t 检验 单正态总体方差的卡方检验 拒绝域双边检验左边检验右边检验 αZ Z ≥22/1222/2ααχχχχ-≤≥或αZ Z -≤。
(完整版)概率论公式总结
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章 二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ))()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp ()对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤b adx x f b X a P )()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f )(1)(b x a a b x f ≤≤-=联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=kk k p x g X g E )())((方差定义式 常用计算式常用公式 当X 、Y 相互独立时： 方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)= abD(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差的性质∑∑=i j iji p x X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i j ij j i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =独立与相关独立必定不相关、相关必定不独立、不相关不一定独立第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P (1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P。
概率论公式总结
第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章)()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ)),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤ba dx x fb X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θθ)(1)(b x a a b x f ≤≤-=分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数联合密度与边缘密度⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )(⎰+∞∞-⋅=dx x f x X E )()(∑=k k k p x g X g E )())((∑∑=i j iji p x X E )(dxdy y x xf X E ⎰⎰=),()(方差定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=i j ijj i p y x XY E )(dxdy y x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差的性质独立与相关独立必定不相关相关必定不独立)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤ )(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥ )()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤ 1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P 一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P第五章卡方分布t 分布F 分布 正态总体条件下样本均值的分布：样本方差的分布：)()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P )(~)1,0(~212n X N X n i i χ∑=，则若())(~1),,(~21222n Y N Y n i i χμσσμ∑=-则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ),(~2n N X σμ)1,0(~/N n Xσμ-)1(~)1(222--n S n χσ)1(~/--n t n s X μ则若),(~),1,0(~2n Y N X χ)(~/n t n Y X两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计最大似然估计似然函数均值的区间估计——大样本结果)1,1(~//2122212221--n n F S S σσ);(1θi n i x f L ∏==);(1θi n i x p L ∏==⎪⎭⎫ ⎝⎛±n z x σα2/正态分布的分位点—大样本要求样本容量—代替准差通常未知，可用样本标标准差—样本均值—2/)50()(ασz n n s x >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n p p z p )1(2/α正态分布的分位点—大样本要求样本容量—样本比例—2/)50(αz n n p>正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间已知准差小样本、正态总体、标σ⎪⎭⎫ ⎝⎛±n z x σα2/未知准差小样本、正态总体、标σ⎪⎭⎫ ⎝⎛-±n s n t x )1(2/α分布的分位点的自由度为—t n n t 1)1(2/--α()22/1222/2)1()1(,ααχχ---S n S n 卡方分布的分位点—样本方差—22/2αχS ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±-2221212/21n n z x x σσα⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----)1,1(/,)1,1(/212/2221212/2221n n F S S n n F S S αα假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率知识点总结职高
概率知识点总结职高一、基本概率概念1. 随机事件及其概率在概率论中，随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。
而该事件发生的可能性大小即为概率。
概率通常用P(A)表示，表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，即0≤P(A)≤1。
2. 样本空间和事件在概率论中，样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合，通常用S表示。
而事件则是样本空间的子集，表示样本空间中满足某一特定条件的结果。
3. 事件的互斥和对立事件互斥事件指的是两个事件不可能同时发生的情况，即事件A和事件B互斥，发生A就不可能发生B，反之亦成立。
而对立事件是指两个事件互为补事件，即事件A发生的概率加上事件A不发生的概率等于1。
二、概率的计算方法1. 古典概率古典概率是指在一项随机试验中，所有可能事件出现的概率是相等的，即P(A) = n(A) /n(S)，其中n(A)表示事件A出现的结果数，n(S)表示样本空间的结果数。
2. 几何概率几何概率是指根据几何图形的特性来计算概率的方法。
比如将事件A发生的区域面积除以样本空间的面积。
3. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
表示为P(A|B)，计算方法为P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)代表事件B发生的概率。
4. 乘法定理乘法定理是指在一个随机试验中，多个事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的乘积。
比如P(AB) = P(A) * P(B|A)。
5. 加法定理加法定理是指在一个随机试验中，事件A和事件B至少有一个发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率减去两者同时发生的概率。
表示为P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)。
三、概率分布1. 随机变量随机变量是指对随机现象进行量化的一种方式，可以是离散型的也可以是连续型的。
2. 概率质量函数和概率密度函数对于离散型随机变量，其概率分布函数称为概率质量函数（PMF），而对于连续型随机变量，其概率分布函数称为概率密度函数（PDF）。
概率论公式总结
率。分布函数 F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
1. 0 F(x) 1, x ；2。 F(x) 是单调不减的函数，即 x1 x2 时，有
F(x1) F (x2) ； 3 。 F() lim F(x) 0 ， F() lim F(x) 1 ； 4 。
x
x
F(x 0) F(x) ，即 F(x) 是右连续的；5. P(X x) F(x) F(x 0) 。对于离散型
自由度为 n2 的 F 分布，记为 F～f(n1, n2).
F1
(n1 , n2 )
F
1 (n2 , n1 )
第四章 随机变量的数字特征
（1） 期望 一维 随 机 期望就是平均值 变量 的数 字特 征
函数的期望
离散型
连续型
设 X 是离散型随机变量，其分布 设 X 是连续型随机变
律 为 P( X xk ) ＝ pk ，
乘法公式： P(AB) P(A)P(B / A)
乘法公式
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
W
服从自由度为
n
的
2
分布记为
i 1
W～ 2 (n)
2 分布
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布 中的一个重要参数。
2 分 布 满 足 可 加 性 ： 设 Yi 2 (ni ), 则
概率论知识点总结
概率论知识点总结引言概率论是数学中的一个分支，研究随机事件的发生规律以及概率的计算与推理。
本文旨在对概率论的主要知识点进行总结。
基本概念1. 随机试验：具有相同的条件，可以重复进行，结果不确定的试验。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
3. 随机事件：样本空间的子集。
4. 事件的概率：事件发生的可能性大小。
5. 事件的互斥与独立：互斥事件指的是两个事件不能同时发生，独立事件指的是两个事件的发生不会相互影响。
6. 条件概率：在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
概率计算方法1. 古典概型：所有可能的结果都是等可能发生的。
2. 几何概型：通过几何形状的性质计算概率。
3. 组合分析：使用组合数学的方法计算概率。
4. 频率方法：根据大量实验结果的统计规律计算概率。
5. 条件概率计算：根据已知条件和基本概率计算条件概率。
概率分布1. 离散型随机变量：只能取到有限个或可列个数值的随机变量。
2. 连续型随机变量：在某一区间内可以取到任意值的随机变量。
3. 期望值和方差：用于衡量随机变量的平均值和离散程度。
4. 二项分布：描述了重复进行相同试验并且每次试验只有两个可能结果的概率分布。
5. 正态分布：在统计学和自然科学研究中广泛应用的分布。
统计推断1. 参数估计：根据样本数据估计总体分布的未知参数。
2. 假设检验：根据样本数据判断总体分布的某个假设是否成立。
应用领域概率论在各个领域都有广泛的应用，包括金融、保险、工程、生物学、医学等。
结论概率论作为一门基础数学学科，具有重要的理论和实践意义。
通过研究概率论可以更好地理解和应用随机事件的规律，为各行各业的决策提供支持。
以上是对概率论的一个简要总结，希望对您有所帮助。
概率论公式总结
概率论公式总结 Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ)分布函数对离散型随机变量 对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法)(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F联合密度函数 联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义E(a)=a ，其中a 为常数E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式方差定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数 ),(y x f ),(y x F ∑+∞-∞=⋅=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差的性质独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章 正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章卡方分布t 分布F 分布 正态总体条件下样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章 ),(~2σμN X )(~)1,0(~212n X N X n i i χ∑=，则若),(~//),(~),(~21212212n n F n V n U n V n U 则若χχ点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计似然函数 均值的区间估计——大样本结果正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
(完整版),概率论公式总结,推荐文档
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1 A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
3．条件概率 PB A P(AB) 乘法公式 P(AB) P(A)PB A (P(A) 0) P( A)
P( A1 A2 An ) P( A1 )P A2 A1 P An A1 A2 An1
(P( A1 A2 An1 ) 0)
n
全概率公式 P(A) P(ABi ) i 1
n
P(Bi ) P( A
i 1
Bi ) Bayes 公式 P(Bk
A) P( ABk ) P( A)
P(Bk )P( A Bk ) n P(Bi )P( A Bi ) i 1
4．随机变量及其分布
分布函数计算 P(a X b) P(X b) P(X a)
f (x, y)dx
fY X ( y x) f X (x)dx
fX Y (x y)
f (x, y) fY ( y)
fY X ( y x) fX (x) fY ( y)
fY X ( y x)
f (x, y) fX (x)
fX Y (x y) fY ( y) fX (x)
10. 随机变量的数字特征
E ( X E( X ))k (Y E(Y ))l
E(X kY l )
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
X ,Y 的 二阶混合原点矩 E(XY ) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E( X E( X ))(Y E(Y ))
X ,Y 的相关系数
E
(X
E( X ))(Y E(Y D( X ) D(Y )
f (x, v)dv
8. 连续型二维随机变量 (1) 区域 G 上的均匀分布，U ( G )
概率论重点总结
概率论重点总结概率论是数学的一个分支，研究随机试验的可能结果和概率规律。
在学习概率论过程中，我们会遇到许多重要的概念和定理。
本文将对概率论的重点内容进行总结，帮助读者更好地理解和掌握概率论的核心知识。
一、概率的基本概念1. 随机试验：指具有多个可能结果的试验。
2. 样本空间：代表随机试验所有可能结果的集合，记作S。
3. 事件：样本空间中的一个子集，表示随机试验的某个可能结果或者一类可能结果的集合。
4. 事件的概率：事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示，其中A为事件。
二、概率的性质和计算方法1. 事件的互斥：若两个事件A和B不可能同时发生，则称事件A和事件B互斥。
概率计算公式为：P(A∪B) = P(A) + P(B)。
2. 事件的独立：若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A和事件B独立。
概率计算公式为：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3. 事件的全概率公式：若对于事件B的一个划分{B₁,B₂,...,Bₙ}，则有P(A) = ΣP(A|Bᵢ) × P(Bᵢ)，其中P(A|Bᵢ)表示在事件Bᵢ发生的条件下，事件A发生的概率。
4. 贝叶斯定理：若对于事件B的一个划分{B₁,B₂,...,Bₙ}，且P(Bᵢ) > 0，则有P(Bᵢ|A) = [P(A|Bᵢ) × P(Bᵢ)] / Σ[P(A|Bₙ) × P(Bₙ)]，其中P(Bᵢ|A)表示在事件A发生的条件下，事件Bᵢ发生的概率。
三、随机变量及其分布1. 随机变量：将样本空间S中的每个元素与实数对应起来的函数X，记作X(ω)，其中ω属于S。
2. 离散型随机变量：其取值为有限或无限可数个的随机变量。
概率质量函数P(X = x)用来描述离散型随机变量X的取值概率分布。
3. 连续型随机变量：其取值为一个区间内的随机变量。
概率密度函数f(x)用来描述连续型随机变量X的取值概率分布。
4. 期望与方差：离散型随机变量X的期望值E(X) = Σ[xP(X = x)]，方差Var(X) = E[(X - E(X))²]；连续型随机变量X的期望值E(X) =∫[xf(x)dx]，方差Var(X) = E[(X - E(X))²]。
概率论公式总结
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：
态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：
分布
设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和
W～
我们称随机变量W服从自由度为n的 分布记为
所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n，
（要求绝对收敛）
设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，
（要求绝对收敛）
函数的期望
Y=g(X)
Y=g(X)
方差
D(X)=E[X-E(X)]2，
概率论知识点总结
概率论知识点总结概率论是数学中的重要分支，研究随机事件发生的可能性。
在现代生活和科学研究中，概率论起着关键的作用。
它被广泛应用于风险评估、统计分析和决策制定等领域。
本文将总结概率论的一些重要知识点，包括基本概念、概率模型、条件概率、随机变量和概率分布等。
概率的基本概念是指事件发生的可能性。
事件是指概率试验中的某一结果，可以是简单事件或复合事件。
概率的定义有多种形式，其中最常见的是频率定义和古典定义。
频率定义是指概率等于事件发生的相对频率，当试验次数趋于无穷大时，事件发生的频率趋于概率。
古典定义是指在等可能性的假设下，事件发生的概率等于有利结果的数目与可能结果的数目之比。
概率模型是描述随机事件的数学模型。
常用的概率模型有古典概型、频率概型和数学统计学。
古典概型是指在一定条件下，事件发生的可能性相同。
频率概型是基于试验结果的频率来计算概率。
数学统计学是用概率模型来描述总体，从样本中进行推断。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算利用了乘法法则。
例如，事件A和事件B的条件概率可以表示为P(A|B) =P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
随机变量是指能够取值于某个样本空间的变量。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量取有限或可数个值，其概率分布可以表示为概率质量函数。
连续随机变量取无限个值，其概率分布可以表示为概率密度函数。
随机变量的数学期望是指随机变量所有可能取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。
概率分布是指随机变量所有可能取值的概率情况。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布和泊松分布。
伯努利分布是指在一次试验中，事件发生与否的分布情况。
二项分布是指在多次独立重复的伯努利试验中，事件发生的次数的分布情况。
泊松分布是指在一段时间或空间中，事件发生的次数的分布情况。
除了上述知识点外，概率论还涉及大数定律和中心极限定理等重要概念。