15.2.2_分式的加减(1)
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分式的加减(1) 公开课精品课件
1 1 3 2 1. 23 66 6
异分母分数如何加减？
异分母 分数相加 减，先通 分,变为同 分母的分
数，再加
1 1 ?, 1 1 ?. 减。
x 2x
x 2x
异分母分式相加 减 ，先通分,变为同分 母的分式,再加减.
a c ad bc ad bc. b d bd bd bd
(3) 2ab2 1 1 2a 2b (4) a 2 2ab b2
(a b)2 (b a)2
a2 b2 b2 a2)如何把分母化为相同的？
小结：注意符号问题
1.先化简，再求值：
x2
1
, 其中x 1.5
x1 1 x
)
×
(
a 1 a
分子相加减
分母不变
把1看作a a
计算:
(1) 5x 3y 2x x2 y2 x2 y2
(2) a 3b a - b ab ab
ac bc
(3)
a2 b2 a2 b2
注意:当分子 是多项式时, 把分子看作一 个整体,先用 括号括起来！
结果要化为 最简分式或
分子相加
减。
1 2 ?, 1 2 ?.
aa
aa
同分母分式相加 减 ，分母不变,把分子 相加减.
ab ab cc c
ab ab cc c
下列运算对吗?如不对,请改正.
(1) 5 2 10 ( × ) xx x
7
x
94 5
(2) aa
(
2a
×
)
5 a
(3)1 1 2 aa
2003年的森林面积增长率是： 2002年的森林面积增长率是：
异分母分数如何加减？
异分母 分数相加 减，先通 分,变为同 分母的分
数，再加
1 1 ?, 1 1 ?. 减。
x 2x
x 2x
异分母分式相加 减 ，先通分,变为同分 母的分式,再加减.
a c ad bc ad bc. b d bd bd bd
(3) 2ab2 1 1 2a 2b (4) a 2 2ab b2
(a b)2 (b a)2
a2 b2 b2 a2)如何把分母化为相同的？
小结：注意符号问题
1.先化简，再求值：
x2
1
, 其中x 1.5
x1 1 x
)
×
(
a 1 a
分子相加减
分母不变
把1看作a a
计算:
(1) 5x 3y 2x x2 y2 x2 y2
(2) a 3b a - b ab ab
ac bc
(3)
a2 b2 a2 b2
注意:当分子 是多项式时, 把分子看作一 个整体,先用 括号括起来！
结果要化为 最简分式或
分子相加
减。
1 2 ?, 1 2 ?.
aa
aa
同分母分式相加 减 ，分母不变,把分子 相加减.
ab ab cc c
ab ab cc c
下列运算对吗?如不对,请改正.
(1) 5 2 10 ( × ) xx x
7
x
94 5
(2) aa
(
2a
×
)
5 a
(3)1 1 2 aa
2003年的森林面积增长率是： 2002年的森林面积增长率是：
15.2.2 分式的加减 第1课时
a b c c
和
1.上面计算运用的法则是什么？
2、如何类比分数的加减计算
a b . c c
3 1 ________ ______ ____. 5 2
3.想一想,同分母的分式应该如何加减?
二、异分母分式相加减 请计算： 2 1
______ _____ ___; 3 2
.
2.看谁算的又对又快：
x2 4 (1) x2 x2
(2)
x 2 x 1 x 3 x 1 x 1 x 1
【讲一讲】
例2
(1) 计算： 1 1 . x-3 x+3
解析： (1)
1 1 x 3 x 3 x+3 x-3 = (x-3)(x+3) (x-3)(x+3)
=
a+3 a+1 a-1
a 3 . 2 a 1
谈一谈
1.通过本节课的学习你有哪些收获？存在的有疑惑吗？
2、本节课你学习的数学思想是什么？ 3、应该注意哪些问题？ （１）异分母分式相加减，关键是先要找准最简公分 母转化为同分母分式相加减； （２）如果分子是多项式，在进行减法时要先把分子
x y.
1 2 （ 2） a 1 1 a2 1 2 2 解：原式 a1 a 1
1 2 a 1 ( a 1)( a 1)
a 1 2 ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
a 1 ( a 1)( a 1)
用括号括起来； （３）加减运算完成后，能化简的要化简，最后结果
化成最简分式.
作业
A级作业：P141练习1、2题 B级作业： P146第4、5题
和
1.上面计算运用的法则是什么？
2、如何类比分数的加减计算
a b . c c
3 1 ________ ______ ____. 5 2
3.想一想,同分母的分式应该如何加减?
二、异分母分式相加减 请计算： 2 1
______ _____ ___; 3 2
.
2.看谁算的又对又快：
x2 4 (1) x2 x2
(2)
x 2 x 1 x 3 x 1 x 1 x 1
【讲一讲】
例2
(1) 计算： 1 1 . x-3 x+3
解析： (1)
1 1 x 3 x 3 x+3 x-3 = (x-3)(x+3) (x-3)(x+3)
=
a+3 a+1 a-1
a 3 . 2 a 1
谈一谈
1.通过本节课的学习你有哪些收获？存在的有疑惑吗？
2、本节课你学习的数学思想是什么？ 3、应该注意哪些问题？ （１）异分母分式相加减，关键是先要找准最简公分 母转化为同分母分式相加减； （２）如果分子是多项式，在进行减法时要先把分子
x y.
1 2 （ 2） a 1 1 a2 1 2 2 解：原式 a1 a 1
1 2 a 1 ( a 1)( a 1)
a 1 2 ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
a 1 ( a 1)( a 1)
用括号括起来； （３）加减运算完成后，能化简的要化简，最后结果
化成最简分式.
作业
A级作业：P141练习1、2题 B级作业： P146第4、5题
第十五章 15.2 15.2.2 第1课时 分式的加减
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月30日星期一2021/8/302021/8/302021/8/30 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/302021/8/302021/8/308/30/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/302021/8/30August 30, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/302021/8/302021/8/302021/8/30
解：原式＝（x＋5）10（x x－5）－（x＋5）2（x x－5）＝
（x＋5）8（x x－5）， 解不等式得－5≤x＜6，取 x＝0， 则原式＝0.
9. 已知： （x2＋y2）－（x－y）2＋2y（x－y）÷4y＝1， 求4x24－x y2－2x＋1 y的值． 解：由已知得 x－12y＝1， 原式＝2x1－y＝12.
∴A－－3AB－＝B1， ＝5，解得
A＝－1， B＝－2.
1. (2017·滨州)观察下列各式：1×23＝11－13，2×24＝12－ 14，3×25＝13－15，
… 请利用你所得结论，化简代数式1×13＋2×14＋3×15＋… ＋n（n1＋2）(n≥3 且 n 为整数)，其结果为
3n2＋5n 4（n＋1）（n＋2） ．
．
知识点 同分母分式加减
解：原式＝（x＋5）10（x x－5）－（x＋5）2（x x－5）＝
（x＋5）8（x x－5）， 解不等式得－5≤x＜6，取 x＝0， 则原式＝0.
9. 已知： （x2＋y2）－（x－y）2＋2y（x－y）÷4y＝1， 求4x24－x y2－2x＋1 y的值． 解：由已知得 x－12y＝1， 原式＝2x1－y＝12.
∴A－－3AB－＝B1， ＝5，解得
A＝－1， B＝－2.
1. (2017·滨州)观察下列各式：1×23＝11－13，2×24＝12－ 14，3×25＝13－15，
… 请利用你所得结论，化简代数式1×13＋2×14＋3×15＋… ＋n（n1＋2）(n≥3 且 n 为整数)，其结果为
3n2＋5n 4（n＋1）（n＋2） ．
．
知识点 同分母分式加减
15.2.2分式的加减
例7
计算
解：原式
a b 2a 1 . a b b 4 b 4 a 1 a 4
b a b b b 4a 2 4a 2 2 b a b b
2 2
2
4a 2 4a a b b2 a b 4ab 2 b a b 4a . 2 ab b
x 2 x 1 x 4 （2） 2 . 2 x x 2x x 4x 4
x2 x 1 x 解：原式 2 x x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x x 1 x 2 x4 x x 2 x2 4 x2 x x x 2 1
比如 :
3 1 如何计算？ a 4a
2、异分母分式相加减的c
例 6：
1 1 2 p 3q 2 p 3q
2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 2 p 3q 4p 2 2 4 p 9q
2
x 2
2
.
x y x 2 y2 2 . 1. 即时练习：计算 x 2 y 2x y 2.计算：（1） 5 x 5
2
； x2 x 2 2x 4
2
（2 ） x 1 2 x 1 1 . x x 1 x 1 x 1
课堂小结
在本节课中我们学习了哪些知识？在解题 中应用了哪些数学思想方法？你对同学有哪些温 馨提示？
1.知识上：学习了分式的混合运算. 2.方法上：通过类比分数的混合运算的顺 序，得知分式的混合运算的顺序和分数 是一样的.
15.2.2分式的加减
【例1】计算 ： (1) x2 9
x3 x3
(2) x2 1 x 2 3x 2 x1 x1 x1
(3)
2
xy3 x2 y
2
4
xy3 x2 y
5
7
2 x2
xy y
3
解： (1) x2 9 x3 x3
x2 9 •
x3 ( x 3)( x 3)
x3 x3
(2) x2 1 x 2 3x 2 x1 x1 x1
a(a b) b(a b) (a b)(a b)
a2 a2
b2 b2
分母不同， 先化为同分
母．
异分母的分式相加减的步骤
1．找各分母的最简公分母； 2．通分：运用分式的基本性质把异分母的 化为同分母； 3．根据同分母的分式相加减的法则进行计 算．
小练习
计算．
（1）
7 6x2
y
2
先找出最7简y公分4母x ，再
A x1
B ，则A＝__－__2__， x 1
B＝___－__1__．
6．计算．
y2 3z (1) 4x2 x
(2)1 1 a2
y2 12xz 4x2
a 1 a2
（3）
3x x3
x
x
3
x x2
9
2x 12
7．计算
4 x2
4
2
1
x
，并求当 a = －4
时原式的值．
解：
4
1
x2 4 2 x
1200 x 14400 1200 x x( x 12)
14400 x( x 12)
因此 , 实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了 14400 天．
第1套人教初中数学八上 15.2.2 分式的加减课件 【通用,最新经典教案】
A.a4
2
3
4
5
6
).
B.a7
C.a6
D.a12
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
2.下列计算正确的是(
).
A.b4·
b2=b8
B.x3+x2=x6
C.a4+a2=a6
D.m3·
m=m4
关闭
选项 A 和 D 都是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;选项 B 和 D 的左边都不是同类项,
不能合并.
关闭
D
解析
答案
b
A.
a b
b a
÷
a-b
=( A
a
a-b
B.
b
).
a-b
a
C.
a+b
a
D.
一
二
1.分式的加减法
x+2y
y
2x
+ − ;
y-x
x-y
y-x
x
3
(2)先化简,再求值: −
-1,其中
x-1
(x-1)(x+2)
【例 1】 (1)化简:
2
x=-3.
关闭
x+2y
y
2x x+2y-y-2x y-x
(1)原式=
(3)底数是多项式,应把
x+y 看作一个整体当底数.
(1)a3·a2·a=a3+2+1=a6;
(2)(-x)2·x5=x2·x5=x2+5=x7;
(3)(x+y)2·(x+y)3=(x+y)2+3=(x+y)5.
2
3
4
5
6
).
B.a7
C.a6
D.a12
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
2.下列计算正确的是(
).
A.b4·
b2=b8
B.x3+x2=x6
C.a4+a2=a6
D.m3·
m=m4
关闭
选项 A 和 D 都是同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;选项 B 和 D 的左边都不是同类项,
不能合并.
关闭
D
解析
答案
b
A.
a b
b a
÷
a-b
=( A
a
a-b
B.
b
).
a-b
a
C.
a+b
a
D.
一
二
1.分式的加减法
x+2y
y
2x
+ − ;
y-x
x-y
y-x
x
3
(2)先化简,再求值: −
-1,其中
x-1
(x-1)(x+2)
【例 1】 (1)化简:
2
x=-3.
关闭
x+2y
y
2x x+2y-y-2x y-x
(1)原式=
(3)底数是多项式,应把
x+y 看作一个整体当底数.
(1)a3·a2·a=a3+2+1=a6;
(2)(-x)2·x5=x2·x5=x2+5=x7;
(3)(x+y)2·(x+y)3=(x+y)2+3=(x+y)5.
15.2.2分式的加减-1
a a
1 1
1 a
(6)
x2 x 1
x 1 x2
6、 计算
（1）
a2
4
2a
2
a
a
（2）
x2 x1 x2 2x x2 4x 4
（3）
3x x2
x
x
2
x x2 4
)
a 3a
15.2.2 分式的加减（1）
a b ab cc c a c ad bc ad bc b d bd bd bd
计算、观察、归纳
（1）1 2 3 aa a
（2）2 - 3 - 1 bb b
1
（3）
m
3 n
n 3m
mn mn
n
3m
d
（4）
问题一: 问题二:
甲施工队完成一项工程需要m天，乙
施工队完成这项工程比甲队少2天，
两队共同工作一天完成这项工程的
几分之几？ 1 1 (
)
m m2
某人用电脑录入汉字文稿的效率相 当于手抄的3倍，设她手抄的速度为 a字/时，那么他录入3000字文稿比手 抄少用多少时间？
3000 3000 (
2x 2 y x2 xy
2
2x x2 64 y2
1 x 8y
1.若x y xy，求 1 1 的值 xy
2. 先化简，再求值：
x2 -1 x2 - 2x
x -1 2x - x2
, 其中x
4
3、一项工程 , 甲单独做 a 天完成, 乙单独做 b 天
思创教育--15.2.2_分式的加减_第1课时
例2
(1) 计算： 1 1 . x-3 x+3
解析： (1)
=
1 1 x 3 x 3
x+3 x-3 (x-3)(x+3) (x-3)(x+3)
(x+3)-(x-3) = x+3 x-3 x+3-x+3 = x+3 x-3
6 = 2 ； x -9
分子相减时，“减 式”要添括号！
在-2<a<2中，a可取的整数为-1，0，1，而当b=-1时，
a 2 -b 2 ①若a=-1,分式 2 无意义； a -ab 2ab+b 2 无意义； ②若a=0,分式 a 1 ③若a=1,分式 无意义. a+b
所以a在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）
.
1.学习了分式的加减法法则. 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式， 再加减.
1 答:甲工程队一天完成这项工程的____, n 1 乙工程队一天完成这项工程的_______ , n 3
两队共同工作一天完成这项工程的
1 1 ( ) ____________. n n3
问题2：2010年,2011年,2012年某地的森林面积(单位： 公顷)分别是S1，S2，S3，2012年与2011年相比,森林面 积增长率提高了多少?
a b ab ( 3) x y xy xy y x ( 4) -1 . xy xy
.
2.计算：
x2 4 (1) x2 x2
x 2 4 x 2 x 2 x 2. 解：原式 x2 x2 x 2 x 1 x 3 (2) x 1 x 1 x 1
(1) 计算： 1 1 . x-3 x+3
解析： (1)
=
1 1 x 3 x 3
x+3 x-3 (x-3)(x+3) (x-3)(x+3)
(x+3)-(x-3) = x+3 x-3 x+3-x+3 = x+3 x-3
6 = 2 ； x -9
分子相减时，“减 式”要添括号！
在-2<a<2中，a可取的整数为-1，0，1，而当b=-1时，
a 2 -b 2 ①若a=-1,分式 2 无意义； a -ab 2ab+b 2 无意义； ②若a=0,分式 a 1 ③若a=1,分式 无意义. a+b
所以a在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）
.
1.学习了分式的加减法法则. 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式， 再加减.
1 答:甲工程队一天完成这项工程的____, n 1 乙工程队一天完成这项工程的_______ , n 3
两队共同工作一天完成这项工程的
1 1 ( ) ____________. n n3
问题2：2010年,2011年,2012年某地的森林面积(单位： 公顷)分别是S1，S2，S3，2012年与2011年相比,森林面 积增长率提高了多少?
a b ab ( 3) x y xy xy y x ( 4) -1 . xy xy
.
2.计算：
x2 4 (1) x2 x2
x 2 4 x 2 x 2 x 2. 解：原式 x2 x2 x 2 x 1 x 3 (2) x 1 x 1 x 1
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【例题】
例1 计算：
5x 3y 2x 2 . （1） 2 2 2 x y x y
5x 3y 2x 解：原式 = 2 2 x y 3 = . xy
(2)
5a b 3 3a b 5 8 a b . 2 2 2 ab ab ab
2 2 2
2 2 2
解：原式= (5a b 3) (3a b2 5) (8 a b)
=
a+3 a+1 a-1
a 3 . 2 a 1
1 a 1.（金华·中考）计算 的结果为（ a 1 a 1 a 1 a A. B． a 1 C．－1 D．2 a 1
)
1 a 1 a (a 1) = 1. 【解析】选C． a 1 a 1 a 1 a 1
确切地说：不积跬步，无以致千里。
ab
把分子看作一
个整体，先用
括号括起来！
=
=
5a 2b 3 3a 2b 5 8 a 2b ab 2
a 2b ab 2
注意：结果要化 为最简分式！
=
a . b
【跟踪训练】
1.直接说出运算结果.
m y c m y c (1) x . x x x
mnd m n d ( 2) 2abc 2abc 2bca 2cab .
x y.
1 2 （ 2） a 1 1 a2
1 2 2 解：原式 a1 a 1
1 2 a 1 ( a 1)( a 1)
a 1 2 ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
a 1 ( a 1)( a 1)
２.注意的几点：
（１）异分母分式相加减，关键是先要找准最简公分 母转化为同分母分式相加减； （２）如果分子是多项式，在进行减法时要先把分子 用括号括起来； （３）加减运算完成后，能化简的要化简，最后结果 化成最简分式.
涓滴之水终可磨损大石，不是由于它力量
大，而是由于昼夜不舍地滴坠。只有勤奋不懈
的努力才能够获得那些技巧，因此，我们可以
a b ab ( 3) x y xy xy y x ( 4) -1 . xy xy
.
2.计算：
x2 4 (1) x2 x2
x 2 4 x 2 x 2 x 2 . 解：原式 x2 x2 x 2 x 1 x 3 (2) x 1 x 1 x 1
3 1 3 1 比如: ？ ？ 4a a 4a a
【异分母的分数加减法的法则】 先通分，变，变为同分母的 分式，再加减. 符号表示：
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
【例题】
2a a 2 (a 2)( a 2) a2 (a 2)( a 2) 1 . a 2
【跟踪训练】
1.计算：
x2 y2 （ 1） xy yx
x2 y2 解：原式 xy xy
x2 y 2 xy
( x y )( x y ) xy
1 . a 1
b a 1 2 . 2.计算: (1) ; (2) 2 3a 2b a 1 1 a
2b 2 3a 2 2b 2 +3a 2 解 : 1 原式 = ; 6ab 6ab 6ab
1 2 1 2 2 2 原式 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a+1 2 = + a+1 a-1 a+1 a-1
2a 1 （2）a2 4 a 2
a2 -4 能分解： a2 -4 =(a+2)(a-2),
2a a 2 解：原式 ( a 2)( a 2) ( a 2)( a 2)
其中 (a-2)恰好为第
二个分式的分母， 所以 (a+2)(a-2) 即为最简公分母.
2a (a 2) (a 2)( a 2)
人教版数学教材八年级上
第15章 分式
15.2.2 分数的加减（1）
1.掌握同分母的分式加减法的法则，能熟练地进行同分 母的分式加减法的运算.
2.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.
3.在学习过程中体会类比思想的运用，学会知识的迁移.
问题1：甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲 工程队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完 成这项工程的几分之几?
1 x 1 .
④
（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的
a 2 -b 2 2ab+b 2 (a+ ), 当b=-1时，再从-2<a<2的 3.（贵阳·中考）先化简： 2 a -ab a
范围内选取一个合适的整数a代入求值.
(a+b)(a-b) a 2 +2ab+b 2 1 = . 【解析】原式= a(a-b) a a+b
在-2<a<2中，a可取的整数为-1，0，1，而当b=-1时，
a 2 -b 2 ①若a=-1,分式 2 无意义； a -ab 2ab+b 2 无意义； ②若a=0,分式 a 1 ③若a=1,分式 无意义. a+b
所以a在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）.
1.学习了分式的加减法法则. 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式， 再加减.
解：原式
x1 x 2 x 1 x 3 x 1 x . x 1
x 2 x 1 x 3
异分母的分数如何加减？
1 1 1 1 比如： ？ ？ 2 3 2 3
(通分,将异分母的分数化为同分母的分数)
你认为异分母分式的加减应该如何进行？
2. 阅读下面题目的计算过程.
2 x 1 x3 2 x3 2 x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
①
= x 3 2 x 1
= x 3 2x 2
②
③
= x 1
② 代号_______； 漏掉了分母 （2）错误原因___________； （3）本题的正确结果为：
1 答:甲工程队一天完成这项工程的____, n 1 乙工程队一天完成这项工程的_______ , n 3
两队共同工作一天完成这项工程的
1 1 ( ) ____________. n n3
问题2：2010年,2011年,2012年某地的森林面积(单位： 公顷)分别是S1，S2，S3，2012年与2011年相比,森林面 积增长率提高了多少?
s3 s 2 s2 答:2012年的森林面积增长率是___________,
s 2 s1 s1 2011年的森林面积增长率是__________,
2012年与2011年相比,森林面积增长率提高了
s3 s2 s2 s1 s2 s1 ______________.
1 2 1 2 请计算： ？ ？ 5 5 5 5
例2
(1) 计算： 1 1 . x-3 x+3
解析： (1)
1 1 x 3 x 3 x+3 x-3 = (x-3)(x+3) (x-3)(x+3)
(x+3)-(x-3) = x+3 x-3 x+3-x+3 = x+3 x-3
6 = 2 ； x -9
分子相减时，“减 式”要添括号！
1.同分母分数加减法的法则如何叙述？
2.你认为
a b a b ? ？ c c c c
3.猜一猜, 同分母的分式应该如何加减? 【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减， 分母不变,把分子相加
减.
【同分母的分式加减法的法则】 同分母分式相加减，
分母不变,把分子相加减.
a b ab 即： . c c c