高三基础知识天天练 数学7-3人教版
高三基础知识天天练 数学7-6人教版
第7模块 第6节[知能演练]一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④中(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→， 所以选A. 答案：A2．如右图，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2，给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0， 所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形， SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2， 所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确；其余三个都不正确，故选B. 答案：B3．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( )A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2D.34a 2 解析：AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14(a 2cos60°＋a 2cos60°)＝14a 2.答案：C4．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1→上且AM →＝121→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( )A.216aB.66aC.156aD.153a 解析：以D 为原点建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )， N (a ，a ，a2)．设M (x ，y ，z )∵点M 在AC 1→上且AM →＝12MC 1→，∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3得M (2a 3，a 3，a 3)，∴|MN →|＝(a －23a )2＋(a －a 3)2＋(a 2－a 3)2＝216a . 答案：A 二、填空题5．下列命题中不．正确的所有命题的序号是________． ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件； ③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z ∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．解析：①正确；②不正确，因为a ，b 共线，不一定有|a |－|b |＝|a ＋b |成立；③不正确，因为a 、b 共线，也可得a 与b 所在直线重合；④不正确；若O ∉平面ABC ，则OA →、OB →、OC →不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．答案：②③④6．已知三点A (1,0,0)，B (3,1,1)，C (2,0,1)，则 (1)CB →与CA →的夹角等于________； (2)CB →在CA →方向上的投影等于________． 解析：CB →＝(1,1,0)，CA →＝(－1,0，－1)． (1)cos 〈CB →，CA →〉＝CB →·CA →|CB →||CA →|＝－1＋0＋02·2＝－12，∴〈CB →，CA →〉＝2π3；(2)CB →在CA →方向上的投影＝CB →·CA →|CA →|＝－1＋0＋02＝－22.答案：(1)2π3 (2)－22三、解答题7．已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，O 为原点，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b? 解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)， 故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)假设存在一点E 满足题意OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2) ＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )， 若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95，因此存在点E ，使得OE →⊥b ， 此时点E 的坐标为(－65，－145，25)．8．如右图，在棱长为a 的正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE ＝BF ＝x ，其中0≤x ≤a ，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .(1)写出点E 、F 的坐标； (2)求证：A 1F →⊥C 1E →；(3)若A 1、E 、F 、C 1四点共面，求证：A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.解：(1)E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． (2)证明：∵A 1(a,0，a )、C 1(0，a ，a )，∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )，C 1E →＝(a ，x －a ，－a )． ∴A 1F →·C 1E →＝－ax ＋a (x －a )＋a 2＝0. ∴A 1F →⊥C 1E →.(3)证明：∵A 1、E 、F 、C 1四点共面， ∴A 1E →、A 1C 1→、A 1F →共面．视A 1E →与A 1C 1→为一组基向量，则存在唯一实数对λ1、λ2，使A 1F →＝λ1A 1C 1→＋λ2A 1E →， 即(－x ，a ，－a )＝λ1(－a ，a,0)＋λ2(0，x ，－a )＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－aλ1，a ＝aλ1＋xλ2，－a ＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A 1F →＝12A 1C 1→＋A 1E →.[高考·模拟·预测]1．如右图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解法一：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12＋12b ＋c ，∴选A.解法二：∵B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝(－a )＋c ＋a ＋b 2＝－12a ＋12b ＋c .答案：A2．已知直线AB 、CD 是异面直线，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：∵AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →2×1＝CD →22＝12.∴AB →与CD →所成角为60°.答案：C3．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝12(OD →＋OA →)＝12[12(OC →＋OB →)＋OA →]＝12a ＋14b ＋14c .答案：12a ＋12b ＋14c4．如右图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1为x 、y 、z 轴正半轴建立空间直角坐标系， 则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)， B 1(1,1,1)，B (1,1,0)，C (0,1,0)， ∴M (1，12，1)，N (1,1，12)，∴AM →＝(0，12，1)，CN →＝(1,0，12)，∴cos 〈AM →，CN →〉＝AM →·CN →|AM →|·|CN →|＝12(12)2＋12×12＋(12)2＝25. 答案：255．在▱ABCD 中，AB ＝AC ＝CD ＝a ，∠ACD ＝90°，现将它沿对角线AC 折成60°的二面角．(1)求B 、D 两点间的距离；(2)求异面直线AC 与BD 所成角的大小． 解：(1)∵AB ＝AC ＝CD ＝a ， ∴|AB →|＝|AC →|＝|CD →|＝a . ∵AB ∥CD ，∠ACD ＝90°. ∴∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AC ，AC ⊥CD .由于二面角B －AC －D 的度数为60°，∴〈AB →，CD →〉＝60°. ∴AB →·AC →＝0，AC →·CD →＝0， BA →·CD →＝a ·a ·cos120°＝－12a 2.∵BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝|BA →|2＋|AC →|2＋ |CD →|2＋2(BA →·AC →＋AC →·CD →＋CD →·BA →) ＝a 2＋a 2＋a 2＋2(0＋0－12a 2)＝2a 2.∴|BD →|＝2a .故B 、D 两点间的距离为2a . (2)设异面直线AC 与BD 所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈AC →，BD →〉|＝|AC →·BD →|AC →||BD →||.由于AC →·BD →＝AC →·(BA →＋AC →＋CD →)＝AC →·BA →＋AC →2＋AC →·CD →＝0＋a 2＋0＝a 2， ∴cos θ＝|AC →·BD →|AC →||BD →||＝|a 2a ·2a |＝22.由于0°<θ≤90°，∴θ＝45°.故异面直线AC 与BD 所成角的大小为45°.[备选精题]6．如右图所示，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (2)证明平面AMD ⊥平面CDE ； (3)求二面角A －CD －E 的余弦值．解：如题图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．(1)解：BF →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，－1,1)， 于是cos 〈BF →，DE →〉＝BF →·DE →|BF →||DE →|＝0＋0＋12·2＝12.所以异面直线BF 与DE 所成的角的大小为60°.(2)证明：由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD →＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊆平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)解：设平面CDE 的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧u ·CE →＝0，u ·DE →＝0.于是⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－y ＋z ＝0.令x ＝1，可得u ＝(1,1,1)．又由题设，平面ACD 的一个法向量为v ＝(0,0,1)． 所以，cos 〈u ，v 〉＝u ·v |u ||v |＝0＋0＋13·1＝33.因为二面角A －CD －E 为锐角，所以其余弦值为33.。
高考数学天天练带答案
高考数学天天练五1．若集合2{|90}A x x x =-<，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=*Z yZ y y B 4|且，则集合AB 的元素个数为 .2．已知a b ∈R 、，i 是虚数单位，若(2)a i i b i +=+，则a +b 的值是 . 3．某校高一、高二、高三共有3600名学生，其中高一学生1400名，高二学生1200名，高三学生1000名，现用分层抽样的方法抽取样本，已知抽取高一学生数为21，则每个学生被抽到的概率为 . 4．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1≠q ，且653,,a a a 成等差数列，则6453a a a a ++= ____. 5．若不等式102x m x m-+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是 .6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且tan B =则角B 的大小是 .7．已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为１，则=++acb a . 8（第8题图）9．在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于或等于a 的概率为 .10. 已知P 是△ABC 内任一点，且满足AP xAB yAC =+，x 、y R ∈，则2y x +的取值范围是 ．11.若过点(,)A a a 可作圆2222230x y ax a a +-++-=的两条切线，则实数a 的取值范围是 .12．设首项不为零的等差数列{}n a 前n 项之和是n S ，若不等式22212n n S a a nλ+≥对任意{}n a 和正整数n 恒成立，则实数λ的最大值为 .13．定义在R 上的函数f (x )的图象关于点（43-，0）对称，且满足f (x )= -f (x +23)，f (1)=1，f (0)=-2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2009)的值为 .14. 己知：函数()f x 满足()()()()f x y f x f y xy x y +=+++，又()'01f =．则函数()f x 的解析式为 .1．3； 2.1-； 3.3200; 4.3; 5.3441≤≤m ; 6.3π或32π; 7.35;8.（4,8）; 9.21; 10.6π; 11.（0,2）; 123312a a <-<<或.; 13. 15; 14.2.。
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第5模块 第3节[知能演练]一、选择题1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是( )A ．3B ．1C ．0D ．－1解析：可用特殊值法，由S n 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18，由等比数列的性质可知a ＝1.答案：B2．设a 1，a 2，a 3，a 4 成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.12C.18D ．1解析：由题意得a 2＝2a 1，a 3＝4a 1，a 4＝8a 1. ∴2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝14.答案：A3．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25解析：a 3a 6a 18＝a 31q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 39，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的两项积为定值，可知T 17为定值．答案：C4．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6等于( )A ．240B ．±240C ．480D ．±480解析：∵{a n }为等比数列，∴数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列，∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)，∴a 5＋a 6＝120230＝480.答案：C 二、填空题5．等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则数列{a n }的通项公式为________．解析：由a 4＝a 1q 3，a 6＝a 3q 3得 a 4＋a 6a 1＋a 3＝q 3＝54×110＝18，∴q ＝12，又a 1(1＋q 2)＝10，∴a 1＝8.∴a n ＝a 1q n －1＝8×(12)n －1＝24－n .答案：a n ＝24－n6．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 7＝4，数列{b n }是等比数列，已知b 2＝a 3，b 3＝1a 2，则满足b n <1a 80的最小自然数n 是________．解析：{a n }为等差数列a 1＝1，a 7＝4,6d ＝3，d ＝12.∴a n ＝n ＋12，{b n }为等比数列，b 2＝2，b 3＝23，q ＝13.∴b n ＝6×(13)n －1，b n <1a 80＝281，∴81<26×⎝⎛⎭⎫13n －1，即3n －2>81＝34.∴n >6，从而可得n min ＝7. 答案：7 三、解答题7．设数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n . (1)求a 3，a 4；(2)证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列； (3)求{a n }的通项公式． (1)解：因为a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2， 所以a 1＝2，S 1＝2. 由2a n ＝S n ＋2n 知2a n ＋1＝S n ＋1＋2n ＋1＝a n ＋1＋S n ＋2n ＋1，得a n ＋1＝S n ＋2n ＋1，①所以a 2＝S 1＋22＝2＋22＝6，S 2＝8， a 3＝S 2＋23＝8＋23＝16，S 3＝24. a 4＝S 3＋24＝40.(2)证明：由题设和①式知a n ＋1－2a n ＝(S n ＋2n ＋1)－(S n ＋2n )＝2n ＋1－2n ＝2n .所以{a n ＋1－2a n }是首项为2，公比为2的等比数列．(3)a n ＝(a n －2a n －1)＋2(a n －1－2a n －2)＋…＋2n －2(a 2－2a 1)＋2n －1a 1＝(n ＋1)·2n －1.8．设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5a n ，5b n ，5a n ＋1成等比数列，lg b n ，lg a n ＋1，lg b n ＋1成等差数列，且a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求通项a n 、b n .解：∵5a n ，5b n ，5a n ＋1成等比数列， ∴(5b n )2＝5a n ·5a n ＋1，即2b n ＝a n ＋a n ＋1.① 又∵lg b n ，lg a n ＋1，lg b n ＋1成等差数列， ∴2lg a n ＋1＝lg b n ＋lg b n ＋1，即a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1.② 由②及a i >0，b j >0(i 、j ∈N *)可得 a n ＋1＝b n b n ＋1.③ ∴a n ＝b n －1b n (n ≥2)．④将③④代入①可得2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1(n ≥2)， ∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)． ∴数列{b n }为等差数列．∵b 1＝2，a 2＝3，a 22＝b 1b 2，∴b 2＝92. ∴b n ＝2＋(n －1)( 92－2) ＝12(n ＋1)(n ＝1也成立)． ∴b n ＝(n ＋1)22.∴a n ＝b n －1·b n ＝n 22·(n ＋1)22＝n (n ＋1)2(n ≥2)． 又当n ＝1时，a 1＝1也成立．∴a n ＝n (n ＋1)2.[高考·模拟·预测]1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C. 2 D ．2解析：因为a 3·a 9＝2a 25，则由等比数列的性质有：a 3·a 9＝a 26＝2a 25，所以a 26a 25＝2，即(a 6a 5)2＝q 2＝2，因为公比为正数，故q ＝ 2.又因为a 2＝1，所以a 1＝a 2q ＝12＝22.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设等比数列{a n }的首项为a 1公比为q ，∵a 5·a 2n －5＝a 1q 4·a 1q 2n －6＝22n ，即a 21·q 2n －2＝22n ⇒(a 1·q n －1)2＝22n ⇒(a n )2＝(2n )2，∵a n >0，∴a n ＝2n ，∴a 2n －1＝22n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 22＋log 223＋…＋log 222n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝1＋(2n －1)2·n ＝n 2，故选C.答案：C3．已知数列{a n }共有m 项，定义{a n }的所有项和为S (1)，第二项及以后所有项和为S (2)，第三项及以后所有项和为S (3)，…，第n 项及以后所有项和为S (n )．若S (n )是首项为2，公比为12的等比数列的前n 项和，则当n <m 时，a n 等于( )A ．－12n －2B.12n －2 C ．－12n －1D.12n －1 解析：∵n <m ，∴m ≥n ＋1.又S (n )＝2(1－12n )1－12＝4－12n －2，∴S (n ＋1)＝4－12n －1，故a n ＝S (n )－S (n ＋1)＝12n －1－12n －2＝－12n －1.答案：C4．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.解析：由a n ＝b n －1，且数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中．经分析判断知{a n }的四项应为－24,36，－54,81.又|q |>1，所以数列{a n }的公比为q ＝－32，则6q ＝－9.答案：－95．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(Ⅰ)求r 的值；(Ⅱ)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(Ⅰ)由题意，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以当n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列， 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)， a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1，当b ＝2时，a n ＝2n －1，所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1. T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1.12T n ＝223＋324＋…＋n2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×(1－12n －1)1－12－n ＋12n ＋2 ＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1. [备选精题]6．已知数列{a n }满足a 1＝a (a ≠0且a ≠1)，前n 项和为S n ，且S n ＝a1－a (1－a n )．(1)求证：{a n }是等比数列；(2)记b n ＝a n lg|a n |(n ∈N *)，当a ＝－73时，是否存在正整数m ，使得对于任意正整数n ，都有b n ≥b m ？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由．解：(1)当n ≥2时，S n ＝a 1－a (1－a n )，S n －1＝a 1－a(1－a n －1)， a n ＝S n －S n －1＝a 1－a [(1－a n )－(1－a n －1)]＝a1－a (a n －1－a n )，即a n ＝aa n －1.又a 1＝a ≠0，所以a na n －1＝a ，所以{a n }是首项和公比都为a 的等比数列． (2)由(1)知，a n ＝a n ，则b n ＝a n lg|a n |＝na n lg|a |. 又a ＝－73∈(－1,0)，则lg|a |<0. 所以当n 为偶数时，b n ＝na n lg|a |<0；当n 为奇数时，b n >0. 可见，若存在满足条件的正整数m ，则m 为偶数． b 2k ＋2－b 2k ＝[(2k ＋2)a 2k＋2－2ka 2k ]lg|a |＝2a 2k [(k ＋1)a 2－k ]lg|a |＝2a 2k [k (a 2－1)＋a 2·a 2－1a 2－1]lg|a |＝2a 2k (a 2－1)(k －a 21－a2)lg|a |(k ∈N *)． 当a ＝－73时，a 2－1＝－29，∴2a 2k (a 2－1)lg|a |>0.又a 21－a 2＝72， 当k >72时，b 2k ＋2>b 2k ，即b 8<b 10<b 12<…；当k <72时，b 2k ＋2<b 2k ，即b 8<b 6<b 4<b 2.故存在正整数m ＝8使得对于任意正整数n ，都有b n ≥b m .。
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第2模块第3节[知能演练]一、选择题1．函数y＝－x2(x∈R)是() A．左减右增的偶函数B．左增右减的偶函数C．减函数、奇函数D．增函数、奇函数解析：∵y＝－x2是开口向下的一条抛物线，∴y＝－x2在(－∞，0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数，不妨设y＝f(x)＝－x2，则f(－x)＝－(－x)2＝－x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．答案：B2．已知函数f(x)在R上是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式是() A．f(x)＝x·(x－2)B．f(x)＝|x|(x－2)C．f(x)＝|x|(|x|－2)D．f(x)＝x(|x|－2)答案：D3．f(x)、g(x)都是定义在R上的奇函数，且F(x)＝3f(x)＋5g(x)＋2，若F(a)＝b，则F(－a)等于() A．－b＋4 B．－b＋2C．b－2 D．b＋2解析：依题设F(－x)＝3f(－x)＋5g(－x)＋2＝－3f(x)－5g(x)＋2，∴F(x)＋F(－x)＝4，则F(a)＋F(－a)＝4，F(－a)＝4－F(a)＝4－b.答案：A4．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，T是它的一个正周期．若将方程f(x)＝0在闭区间[－T，T]上的根的个数记为n，则n可能为() A．0 B．1C．3 D．5解析：定义在R上的函数f(x)是奇函数，则f(0)＝0，又f(x)是周期函数，T是它的一个正周期，∴f (T )＝f (－T )＝0，f (－T 2)＝－f (T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T2)．∴f (－T 2)＝f (T2)＝0，则n 可能为5，选D.答案：D 二、填空题5．设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 为奇函数，则a ＝________.解析：∵f (1)＋f (－1)＝0⇒2(1＋a )＋0＝0， ∴a ＝－1. 答案：－16．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于[－π2，π2]上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________．解析：函数f (x )＝x 2－cos x 显然是偶函数，其导数y ′＝2x ＋sin x 在0<x <π2时，显然也大于0，是增函数，想象其图象，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点．当x 1＝π2，x 2＝－π2时，①③均不成立．答案：② 三、解答题7．已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数p ，q 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1)上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即px 2＋2－3x ＋q ＝－px 2＋23x ＋q .从而q ＝0，因此f (x )＝px 2＋23x .又∵f (2)＝53，∴4p ＋26＝53.∴p ＝2.(2)f (x )＝2x 2＋23x，任取x 1<x 2<－1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 21＋23x 1－2x 22＋23x 2＝2(x 2－x 1)(1－x 1x 2)3x 1x 2.∵x 1<x 2<－1，∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2<0，x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(－∞，－1)上是单调增函数．8．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明f (x )在(0,1)上是减函数．(1)解：只需求出f (x )在x ∈(－1,0)和x ＝±1，x ＝0时的解析式即可，因此，要注意应用奇偶性和周期性，当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0. ∴在区间[－1,1]上有f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈(0，1)，－2x 4x＋1x ∈(－1，0)，0 x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝(2x 2－2x 1)(2x 1＋x 2－1)(4x 1＋1)(4x 2＋1).∵0<x 1<x 2<1.∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在(0,1)上单调递减．[高考·模拟·预测]1．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2008)＋f (2009)的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f (－2008)＋f (2009)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 22＝1.答案：C2．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )·f (x )，则f (52)的值是( )A ．0 B.12 C ．1D.52解析：令g (x )＝f (x )x ，则g (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )x ＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．又g (x ＋1)＝f (x ＋1)x ＋1＝f (x )x ＝g (x )．∴g (52)＝f (52)52＝g (12)＝g (－12)＝－g (12)，∴g (12)＝0，∴f (52)＝0.故选A. 答案：A3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝f (x )．∴f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)＝0.而f (x )在[0,2]上是增函数，∴f (1)≥f (0)＝0.∴f (－25)<f (80)<f (11)．故选D.答案：D4．函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )＝f (x ＋2) D ．f (x ＋3)是奇函数解析：由题意f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (x )＝－f (2－x )且f (x )＝－f (－2－x )．∴f (x )＝－f (2－x )＝f [－2－(2－x )]＝f (x －4)，∴f (－x ＋3)＝f (－x －1)＝－f [2－(－x －1)]＝－f (x ＋3)，故选D. 答案：D5．定义在R 上的增函数y ＝f (x )对任意x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )． (1)求f (0)；(2)求证：f (x )为奇函数；(3)若f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0. (2)令y ＝－x ，得f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有 0＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立， 所以f (x )是奇函数．(3)证法一：因为f (x )在R 上是增函数，又由(2)知f (x )是奇函数．f (k ·3x )<－f (3x －9x －2)＝f (－3x ＋9x ＋2)， 所以k ·3x <－3x ＋9x ＋2，32x －(1＋k )·3x ＋2>0对任意x ∈R 成立．令t ＝3x >0，问题等价于t 2－(1＋k )t ＋2>0对任意t >0恒成立． 令f (t )＝t 2－(1＋k )t ＋2，其对称轴为x ＝1＋k 2，当1＋k2<0即k <－1时，f (0)＝2>0，符合题意； 当1＋k2≥0即k ≥－1时，对任意t >0，f (t )>0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋k 2≥0，Δ＝(1＋k )2－4×2<0，解得－1≤k <－1＋2 2. 综上所述，当k <－1＋22时，f (k ·3x )＋f (3x －9x －2)<0对任意x ∈R 恒成立． 解法二：由k ·3x <－3x ＋9x ＋2， 得k <3x ＋23x －1.u ＝3x ＋23x －1≥22－1，即u 的最小值为22－1，要使对x ∈R 不等式k <3x ＋23x －1恒成立，只要使k <22－1.所以满足题意的k 的取值范围是(－∞，22－1)[备选精题]6．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax (a ≠0，x ≠0)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝ －2a ≠0.∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)．∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)解法一：要使函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数， 等价于f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即f ′(x )＝2x －ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，故a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min ＝16.∴a 的取值范围是(－∞，16]． 解法二：设2≤x 1<x 2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝(x1－x2)x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)<0恒成立，∵x1－x2<0，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立，又∵x1＋x2>4，x1x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16.∴a的取值范围是(－∞，16]．。
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第3模块 第3节[知能演练]一、选择题1．函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的()解析：∵y ＝xsin x 是偶函数，排除A ，当x ＝2时，y ＝2sin2>2，排除D. 当x ＝π6时，y ＝π6sin π6＝π3>1，排除B.答案：C2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)图象的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4解析：由题意知T ＝π4，由πω＝π4得ω＝4，∴f (x )＝tan4x ，∴f (π4)＝tan π＝0.答案：A3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0]解析：f (x )＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)∵－π≤x ≤0，∴－4π3≤x －π3≤－π3当－π2≤x －π3≤－π3时，即－π6≤x ≤0时，f (x )递增．答案：D4．对于函数f (x )＝sin x ＋1sin x(0<x <π)，下列结论中正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值解析：f (x )＝sin x ＋1sin x ＝1＋1sin x ，∵0<x <π，∴0<sin x ≤1，∴1sin x ≥1，∴1＋1sin x≥2.∴f (x )有最小值而无最大值． 答案：B 二、填空题 5．函数y ＝lgsin x ＋ cos x －12的定义域为____________，函数y ＝12sin(π4－23x )的单调递增区间为________．解析：(1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2kπ<x <π＋2kπ－π3＋2kπ≤x ≤π3＋2kπ(k ∈Z )， ∴2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z ，∴函数的定义域为{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }．(2)由y ＝12sin(π4－23x )得y ＝－12sin(23x －π4)，由π2＋2kπ≤23x －π4≤32π＋2kπ，得 98π＋3kπ≤x ≤21π8＋3kπ，k ∈Z ，故函数的单调递增区间为 [98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z )． 答案：{x |2kπ<x ≤π3＋2kπ，k ∈Z }[98π＋3kπ，21π8＋3kπ](k ∈Z ) 6．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos x cos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋kπ(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2kπ(k ∈Z )对称；④当且仅当2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.其中正确命题的序号是________．(请将所有正确命题的序号都填上) 解析：画出f (x )在一个周期[0,2π]上的图象．由图象知，函数f (x )的最小正周期为2π，在x ＝π＋2kπ(k ∈Z )和x ＝32π＋2kπ(x ∈Z )时，该函数都取得最小值－1，故①②错误，由图象知，函数图象关于直线x ＝54π＋2kπ(k ∈Z )对称，在2kπ<x <π2＋2kπ(k ∈Z )时，0<f (x )≤22.故③④正确．答案：③④ 三、解答题7．已知函数y ＝f (x )＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x.(1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调区间． 解：(1)∵f (x )＝2sin x 2cos 2x＝sin x|cos x |， ∴函数的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．(2)由(1)知f (－x )＝sin(－x )|cos(－x )|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (3)f (x )＝⎩⎨⎧tan x (－π2<x <π2)－tan x (－π≤x <－π2或π2<x ≤π)，y ＝f (x )(x ∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π，单调递增区间是(－π2＋2kπ，π2＋2kπ)(k ∈Z )，单调递减区间是(π2＋2kπ，3π2＋2kπ)(k ∈Z )．8．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg[g (x )]>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，∴－2a sin(2x ＋π6)∈[－2a ，a ]，∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又－5≤f (x )≤1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－53a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－5. (2)f (x )＝－4sin(2x ＋π6)－1，g (x )＝f (x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，又由lg[g (x )]>0，得g (x )>1， ∴4sin(2x ＋π6)－1>1，∴sin(2x ＋π6)>12，∴π6＋2kπ<2x ＋π6<56π＋2kπ，k ∈Z ，由π6＋2kπ<2x ＋π6≤2kπ＋π2，得 kπ<x ≤kπ＋π6，k ∈Z .由π2＋2kπ≤2x ＋π6<56π＋2kπ得 π6＋kπ≤x <π3＋kπ，k ∈Z . ∴函数g (x )的单调递增区间为(kπ，π6＋kπ](k ∈Z )，单调递减区间为[π6＋kπ，π3＋kπ)(k ∈Z )．[高考·模拟·预测]1．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos(x －π3)，当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B.答案：B2．若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，则ω的最小值为( )A.16 B.14 C.13D.12解析：将函数y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6个单位后，得到的函数为y ＝tan[ω(x －π6)＋π4]＝tan(ωx －πω6＋π4)，这个函数的图象与函数y ＝tan(ωx ＋π6)的图象重合，根据正切函数的周期是kπ，故其充要条件是－πω6＋π4＝kπ＋π6(k ∈Z )，即ω＝－6k ＋12(k ∈Z )，当k ＝0时，ω的最小值为12，故选D.答案：D3．已知函数f (x )＝sin(x －π2)(x ∈R )，下面结论中错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间[0，π2]上是增函数C ．函数f (x )在图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析：∵f (x )＝－cos x ，∴f (x )为偶函数，故选D. 答案：D4．已知α∈(0，π4)，a ＝(sin α)cos α，b ＝(sin α)sin α，c ＝(cos α)sin α，则a 、b 、c 的大小关系是________．解析：α∈(0，π4),1>cos α>sin α>0，y ＝(sin α)x 为减函数，∴a <b .而y ＝x sin α在(0，＋∞)上为增函数，∴c >b .故c >b >a .答案：a <b <c5．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x ＝－2sin(2x ＋π3)∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵x ∈[－π3，π3]，∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1. ∴f (x )的值域为[－2，3]．∵当y ＝sin(2x ＋π3)递减时，f (x )递增，令2kπ＋π2≤2x ＋π3≤2kπ＋3π2，则kπ＋π12≤x ≤kπ＋7π12，k ∈Z ，又x ∈[－π3，π3]，∴π12≤x ≤π3.故f (x )的递增区间为[π12，π3]．[备选精题]6．设函数f (x )＝sin(π4x －π6)－2cos 2π8x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时y ＝g (x )的最大值．解：(1)f (x )＝sin π4x cos π6－cos π4x sin π6－cos π4x ＝32sin π4x －32cos π4x ＝3sin(π4x －π3)，故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)解法一：在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点为(2－x ，g (x ))．由题设条件，点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，可知g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin(π2－π4x －π3)＝3cos(π4x ＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤π4x ＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.解法二：因区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于x＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值即为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(π4x －π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤π4x －π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。
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第8模块 第9节一、选择题1．若直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是( )A ．(－3，3)B ．(－3,3)C ．(－2,2)D ．(－4,4) 解析：如右图，作出图形，即可求出结果． 答案：C2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[－12，12] B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：设直线方程为y ＝k (x ＋2)，与抛物线联立方程组，整理得ky 2－8y ＋16k ＝0.当k ＝0时，直线与抛物线有一个交点．当k ≠0时，由Δ＝64－64k 2≥0，解得－1≤k ≤1且k ≠0.所以－1≤k ≤1.答案：C3．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 2＋4y 2＝λ所截得的线段AB 的中点，若AB ＝10，则λ等于( )A ．4B ．9C ．16D ．36 答案：D4．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455C.4105D.8105解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意得Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5.弦长|AB |＝2·4·5－t 25≤4105.答案：C 二、填空题5．如果过两点A (a,0)和B (0，a )的直线与抛物线y ＝x 2－2x －3没有交点，那么实数a的取值范围是__________．解析：过A 、B 两点的直线为：x ＋y ＝a 与抛物线y ＝x 2－2x －3联立得：x 2－x －a －3＝0，因为直线与抛物线没有交点，则方程无解．即Δ＝1＋4(a ＋3)<0，解之：a <－134.答案：(－∞，－134)6．过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．解析：易知直线AB 方程为y ＝2(x －1)，与椭圆方程联立解得A (0，－2)，B (53，43)，故S △ABC ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12×1×2＋12×1×43＝53.答案：53三、解答题7．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，求y 21＋y 22的最小值．解：(1)当过P 点的直线垂直于x 轴，即x ＝4时易得y 21＝16，y 22＝16，此时y 21＋y 22＝32. (2)当过P 点的直线与x 轴不垂直时，设其斜率为k ， 则直线方程为y ＝k (x －4)，代入抛物线方程y 2＝4x ， 消去y 整理得k 2x 2－(8k 2＋4)x ＋16k 2＝0. 由题意知x 1，x 2就是该方程的两根，∴x 1＋x 2＝8k 2＋4k 2，x 1·x 2＝16.于是y 21＋y 22＝[k (x 1－4)]2＋[k (x 2－4)]2. ＝k 2[(x 1＋x 2)2－8(x 1＋x 2)－2x 1x 2＋32] ＝16k2＋32>32，此时无最小值． 综上所述，y 21＋y 22的最小值为32.8．抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴．经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．解：如右图，依题意设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则直线方程为y ＝－x ＋12p .设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得 |AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2，即x 1＋x 2＋p ＝8.①又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋12p ，y 2＝2px ，消去y 得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p .将其代入①得p ＝2， ∴所求抛物线方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2＝－4x . ∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .[高考·模拟·预测]1．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115 D.3716解析：∵直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 的准线，∴P 到l 2的距离d 2＝|PF |(F (1,0)为抛物线焦点)，所以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离|4×1－3×0＋6|32＋42＝2，故选A.答案：A2．点P 在直线l ：y ＝x －1上，若存在过P 的直线交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，且|P A |＝|AB |，则称点P 为“A 点”．那么下列结论中正确的是( )A ．直线l 上的所有点都是“A 点”B ．直线l 上仅有有限个点是“A 点”C ．直线l 上的所有点都不是“A 点”D ．直线l 上有无穷多个点(但不是所有的点)“A 点”解析：分别作出直线l ：y ＝x －1及抛物线y ＝x 2.如右图，取直线l 上任一点P 都存在过点P 的直线(直线可绕P 点任意旋转)交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点，则|AB |的取值范围是(0，＋∞)，那么一定存在一个值，使得|P A |＝|AB |.故选A.答案：A3．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝( )A.45B.23C.47D.12解析：如右图过A 、B 作准线l ：x ＝－12的垂线，垂足分别为A 1、B 1，由于F 到直线AB的距离为定值．∴S △BCF S △ACF ＝|BC ||CA |.又∵△B 1BC ～△A 1AC .∴|BC ||CA |＝|BB 1||AA 1|，由抛物线定义|BB 1||AA 1|＝|BF ||AF |＝2|AF |. 由|BF |＝|BB 1|＝2知x B ＝32，y B ＝－3，∴l AB ：y －0＝33－32(x －3)．把x ＝y 22代入上式，求得y A ＝2，x A ＝2，∴|AF |＝|AA 1|＝52.故S △BCF S △ACF ＝|BF ||AF |＝252＝45.故选A. 答案：A4．已知，椭圆C 经过点A (1，32)，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值．解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)． 所以椭圆方程为x 24＋y23＝1.(2)设直线AE 方程为y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2＋4k (3－2k )x ＋4(32－k )2－12＝0.设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )．因为点A (1，32)在椭圆上，所以x E ＝4(32－k )2－123＋4k 2，y E ＝kx E ＋32－k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得x F ＝4(32＋k )2－123＋4k2，y F ＝－kx F ＋32＋k . 所以直线EF 的斜率k EF ＝y F －y Ex F －x E＝－k (x E ＋x F )＋2k x F －x E＝12.即直线EF 的斜率为定值，其值为12.[备选精题]5．已知动圆C 过点A (－2,0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切． (1)求动圆C 的圆心的轨迹方程．(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (其中k ，m ∈Z )与(1)所求轨迹交于不同两点B 、D ，与双曲线x 24－y 212＝1交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量DF →＋BE →＝0？若存在，指出这样的直线有多少条；若不存在，请说明理由．解：(1)圆M ：(x －2)2＋y 2＝64，圆心M 的坐标为(2,0)，半径R ＝8. ∵|AM |＝4<R ，∴点A (－2,0)在圆M 内．设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得r ＝|CA |，且 |CM |＝R －r ，即|CM |＋|CA |＝8>|AM |，∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以A ，M 两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则a ＝4，c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝12.∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 216＋y212＝1消去y 化简整理得： (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－48＝0，设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2.Δ1＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－48)>0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 212＝1消去y 化简整理得：(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0， 设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2km3－k 2.Δ2＝(－2km )2＋4(3－k )2(m 2＋12)>0.② ∵DF →＋BE →＝0，∴(x 4－x 2)＋(x 3－x 1)＝0，即x 1＋x 2＝x 3＋x 4，∴－8km 3＋4k 2＝2km 3－k 2. ∴2km ＝0或－43＋4k 2＝13－k 2， 解得k ＝0或m ＝0.当k ＝0时，由①②得－23<m <23， ∵m ∈Z ，∴m 的值为－3，－2，－1,0,1,2,3； 当m ＝0时，由①②得－3<k <3，∵k ∈Z ，∴k ＝－1,0,1.∴满足条件的直线共有9条．。
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单元质量检测(四)一、选择题1．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值是( )A ．1B ．3C ．1或3D ．－1解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0a －1≠0，解得a ＝3.答案：B2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A.15i B.15 C ．－15iD ．－15解析：∵1－2＋i ＋11－2i＝－2－i (－2＋i )(－2－i )＋1＋2i(1－2i )(1＋2i )＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ， ∴虚部为15.答案：B3．平面向量a ，b 共线的充要条件是( )A ．a ，b 方向相同B ．a ，b 两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b ＝λaD ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a ＋λ2b ＝0解析：A 中，a ，b 同向则a ，b 共线；但a ，b 共线则a ，b 不一定同向，因此A 不是充要条件．若a ，b 两向量中至少有一个为零向量，则a ，b 共线；但a ，b 共线时，a ，b 不一定是零向量，如a ＝(1,2)，b ＝(2,4)，从而B 不是充要条件．当b ＝λa 时，a ，b 一定共线；但a ，b 共线时，若b ≠0，a ＝0，则b ＝λa 就不成立，从而C 也不是充要条件．对于D ，假设λ1≠0，则a ＝－λ2λ1b ，因此a ，b 共线；反之，若a ，b 共线，则a ＝nm b ，即m a －n b ＝0.令λ1＝m ，λ2＝－n ，则λ1a ＋λ2b ＝0. 答案：D4．如下图所示，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝3CD ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，设AB →＝e 1，AD →＝e 2，MN →可表示为( )A ．e 2＋16e 1B ．e 2－12e 1C ．e 2－13e 1D ．e 2＋131解析：MN →＝12(MD →＋MC →)＝12(MD →＋MD →＋DC →)＝12[2(MA →＋AD →)＋DC →]＝12[2(－12e 1＋e 2)＋131]＝－12e 1＋e 2＋16e 1＝e 2－13e 1. 答案：C5．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，(a ＋b )⊥(2a －b )，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由(a ＋b )⊥(2a －b )得(a ＋b )·(2a －b )＝0， 即2|a |2＋|a |·|b |cos α－|b |2＝0，把|a |＝1，|b |＝2代入得cos α＝0，∴α＝90°(其中α为两向量的夹角)． 答案：C6．设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：∵DC →＝2BD →，∴BC →－BD →＝2BD →，∴BD →＝13→.∵CE →＝2EA →，∴BE →－BC →＝2BA →－2BE →， ∴BE →＝23BA →＋13BC →.∵AF →＝2FB →，∴BF →－BA →＝－2BF →，∴BF →＝13BA →.∴AD →＋BE →＋CF →＝BD →－BA →＋BE →＋BF →－BC → ＝13BC →－BA →＋23BA →＋13BC →＋13BA →－BC → ＝－13BC →.∴AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行． 答案：A7．已知非零向量a ，b ，若a ·b ＝0，则|a －2b ||a ＋2b |等于( )A.14 B ．2 C.12D ．1解析：|a －2b ||a ＋2b |＝(a －2b )2(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2a 2＋4b 2＝1.答案：D8．在△ABC 中，若BC →2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：因为AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA → ＝BC →·(AB →－CA →＋BA →)＝BC →·AC →，故BC →2－BC →·AC →＝BC →·(BC →－AC →)＝BC →·BA →＝0， 即∠B ＝π2.答案：B9．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：如图，F 3的大小等于F 1、F 2的合力的大小．由平面向量加法的三角形法则知，在△OAB 中OB 的长就是F 1、F 2的合力的大小，且在△OAB 中，∠OAB ＝120°，OB ＝F 21＋F 22－2F 1·F 2cos120°＝28＝27，即F 3为27.答案：D10．函数y ＝tan(π4－π2)的部分图象如下图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．－6B ．－4C ．4D ．6解析：函数y ＝tan(π4x －π2)的图象是由y ＝tan x 的图象向右平移π2坐标扩大为原来的4π倍得到，所以点A 的坐标为(2,0)，令tan(π4x －π2)＝1得π4x －π2＝π4，故可得B 点坐标为(3,1)，所以(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.答案：D11．设点P 为△ABC 的外心(三条边垂直平分线的交点)，若AB ＝2，AC ＝4，则AP →·BC →＝( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：我们可以采用特殊方法解答，设A (－1,0)，B (1,0)，C (－1,4)，则外心P 为(0,2)，故AP →＝(1,2)，BC →＝(－2,4)，故AP →·BC →＝6.答案：B12．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →(其中λ∈R )，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上解析：CB →＝PB →－PC →＝λPA →＋PB →化简即得－PC →＝λPA →，由共线向量的充要条件可知，点P ，A ，C 三点共线，所以答案选B.答案：B 二、填空题13．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝________.解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋65＋3－2a5i ， ∴⎩⎨⎧a ＋6503－2a 5≠0，∴a ＝－6.答案：－614．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 解析：|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－4(cos10°cos70°＋sin10°sin70°) ＝5－4cos60°＝ 3. 答案： 315．已知AD 是△ABC 的中线，AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，那么λ＋μ＝________；若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AD →|的最小值是________．解析：若AD 为△ABC 的中线，则有AD →＝12(AB →＋AC →)，∴λ＋μ＝1.|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →)＝14(|AB →|2＋|AC →|2－4)，∵|AB →|2＋|AC →|2≥2|AB →|·|AC →|＝2AB →·AC →cos120°8，所以|AD →|≥1.答案：1 116．给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为120°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．解析：以O 为坐标原点，OA 为x 轴建立平面直角坐标系，则可知A (1,0)，B (－12，32)，设C (cos α，sin α)(α∈[0，2π3])，则有x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin(α＋π6)，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值为2.答案：2 三、解答题17．如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.解法一：设AB →＝a ，AD →＝b ， 则a ＝AN →＋NB →＝d ＋(－12)①b ＝AM →＋MD →＝c ＋(－12a )②将②代入①得a ＝d ＋(－12)[c ＋(－12a )]⇒a ＝43d －23，代入②得b ＝c ＋(－12)(43d －23c )＝43c －23d .解法二：设AB →＝a ，AD →＝b . 因M ，N 分别为CD ，BC 中点， 所以BN →＝12b ，DM →＝12a .因而⎩⎨⎧c ＝b ＋12a d ＝a ＋12b ⇒⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )b ＝23(2c －d )，即AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．18．设a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，c ＝(5，－2)，(1)求证a 与b 不共线，并求a 与b 的夹角的余弦值； (2)求c 在a 方向上的投影； (3)求λ1和λ2，使c ＝λ1a ＋λ2b .解：(1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a 与b 不共线． 又a ·b ＝－1×4＋1×3＝－1，|a |＝2，|b |＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－152＝－210. (2)∵a ·c ＝－1×5＋1×(－2)＝－7， ∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |＝－72＝－72 2.(3)∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3)＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2，解得⎩⎨⎧λ1＝－237λ2＝37.19．设△ABC 的外心为O ，则圆O 为△ABC 的外接圆，垂心为H .求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.证明：延长BO 交圆O 于D 点，连AD 、DC ， 则BD 为圆O 的直径，故∠BCD ＝∠BAD ＝90°. 又∵AE ⊥BC ，DC ⊥BC ， 得AH ∥DC ，同理DA ∥CH . ∴四边形AHCD 为平行四边形， ∴AH →＝DC →.又∵DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →， ∴AH →＝OB →＋OC →. 又∵OH →＝OA →＋AH →， ∴OH →＝OA →＋OB →＋OC →.20．(1)如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，试用a ，b 表示OP →，OQ →，并判断OP →＋OQ →与OA →＋OB →的关系；(2)受(1)的启示，如果点A 1，A 2，A 3，…，A n －1是AB 的n (n ≥3)等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．解：(1)OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋13AB →＝OA →＋13OB →－OA →)＝13OB →＋23OA →＝23a ＋13.同理OQ →＝13a ＋23b ，∴OP →＋OQ →＝a ＋b ＝OA →＋OB →.(2)OA 1→＋OA n －1 ＝OA 2→＋OA n －2 ＝…＝OA →＋OB →. 证明如下：由(1)可推出OA 1→＝OA →＋AA 1→＝OA →＋1n AB →＝OA →＋1n OB →－OA →)＝n －1n OA →＋1n OB →，∴OA 1→＝n －1n a ＋1n b ，同理OA n －1＝1n a ＋n －1nb ，OA 2→＝n －2n a ＋2n b ，OA n －2＝2n a ＋n －2n b ，…因此有OA 1→＋OA n －1＝OA 2→＋OA n －2＝…＝OA →＋OB →.21．已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，AB →与BC →的夹角为θ. (1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值． 解：(1)由题意知： AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos θ＝6① S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝12|AB →|·|BC →|·sin θ② ②÷①得S 6＝12tan θ，即3tan θ＝S .由3≤S ≤3，得3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. ∵θ为AB →与BC →的夹角，∴θ∈(0，π)，∴θ∈[π6，π4]．(2)f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ ＝1＋sin2θ＋2cos 2θ＝2＋sin2θ＋cos2θ ＝2＋2sin(2θ＋π4)．∵θ∈[π6，π4]，∴2θ＋π4∈[7π12，3π4]．∴当2θ＋π4＝3π4，即θ＝π4时，f (θ)有最小值为3.22．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . 解：(1)因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0， 因此tan(α＋β)＝2.(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得 |b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin2β≤4 2.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a ∥b .。
高三基础知识天天练 数学8-8人教版
第8模块 第8节[知能演练]一、选择题1．若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y解析：由题意知P 到F (0,2)的距离比它到y ＋4＝0的距离小2，因此P 到F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0的距离相等，故P 的轨迹是以F 为焦点，y ＝－2为准线的抛物线，∴P 的轨迹方程为x 2＝8y . 答案：C2．设F 为抛物线y 2＝ax (a >0)的焦点，点P 在抛物线上，且其到y 轴的距离与到点F 的距离之比为1∶2，则|PF |等于( )A.a4 B ．a C.a 8 D.a 2解析：设P (x 0，y 0)，则y 20＝ax 0，由抛物线定义知|PF |＝x 0＋a4，由已知得x 0x 0＋a 4＝12，解得x 0＝a4，∴|PF |＝a 4＋a 4＝a2.答案：D3．已知抛物线y 2＝4x ，过焦点的弦AB 被焦点分成长为m 、n (m ≠n )的两段，那么( ) A ．m ＋n ＝mn B ．m －n ＝mn C ．m 2＋n 2＝mn D ．m 2－n 2＝mn 解析：由题意设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1， mn ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1 ＝x 1＋x 2＋2＝m ＋n . 答案：A4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：焦点F 坐标为(1,0)，准线方程x ＝－1，设A 、B 、C 坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，A 、B 、C 在准线上的射影分别为A ′，B ′，C ′.∴F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FC →＝(x 3－1，y 3) ∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴x 1－1＋x 2－1＋x 3－1＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3 ∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝|AA ′|＋|BB ′|＋|CC ′| ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＝6. 答案：B 二、填空题5．已知抛物线y ＝ax 2－1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________．解析：由抛物线y ＝ax 2－1的焦点坐标为(0，14a －1)为坐标原点，得a ＝14，则y ＝14x 2－1与坐标轴的交点为(0，－1)，(－2,0)，(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为12×4×1＝2.答案：26．点P 到A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线l ：y ＝x 的距离等于22，则这样的点P 的个数为__________．解析：由抛物线定义，知点P 的轨迹为抛物线，其方程为y 2＝4x ，设点P 的坐标为(y 204，y 0)，由点到直线的距离公式，知|y 204－y 0|2＝22，即y 20－4y 0±4＝0，易知y 0有三个解，故点P个数有三个．答案：3 三、解答题 7．已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y ＝2x ，求抛物线的方程．解：因为一直角边的方程是y ＝2x ，所以另一直角边的方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝p 2y ＝p，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x y 2＝2px，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8p y ＝－4p ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0(舍去)，∴三角形的另两个顶点为(p2，p )和(8p ，－4p )．∴(p2－8p )2＋(p ＋4p )2＝213.解得p ＝45，故所求抛物线的方程为y 2＝85x .8．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32，6)，求抛物线与双曲线方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p ＝2c .抛物线方程为y 2＝4cx .∵抛物线过点(32，6)，∴6＝4c ·32.∴c ＝1，故抛物线方程为y 2＝4x .又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1过点(32，6)，∴94a 2－6b 2＝1.又a 2＋b 2＝c 2＝1. ∴94a 2－61－a 2＝1.∴a 2＝14或a 2＝9(舍)． ∴b 2＝34，故双曲线方程为4x 2－4y 23＝1.[高考·模拟·预测]1．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析：如右图，过点N 向准线引垂线，垂足为P ，由抛物线的定义知|NF |＝|NP |，又|NF |＝32|MN |，即|NP |＝32|MN |，所以，在Rt △NMP 中， sin ∠NMP ＝|NP ||NM |＝32，即∠NMP ＝π3，故∠NMF ＝π6，答案为A.答案：A2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：不论a 值正负，抛物线的焦点坐标都是(a 4，0)，故直线l 的方程为y ＝2(x －a4)，令x ＝0得y ＝－a 2，故△OAF 的面积为12×|a 4|×|－a 2|＝a216＝4，故a ＝±8.答案：B3．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为__________．解析：设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax y ＝x 得交点坐标为A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)是AB 的中点，从而有a ＝4，故所求抛物线的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x4．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝__________.解析：设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －p 2，把x ＝y ＋p2代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，∴|AB |＝8，∴|y 1－y 2|＝42，∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(42)2，∴(2p )2－4×(－p 2)＝32，又p >0，∴p ＝2.答案：25．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．解：(1)由e ＝c a ＝1－b 2a 2＝33，得b a ＝63.又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于圆的半径，得b ＝2，a ＝ 3. (2)解法一：由c ＝a 2－b 2＝1得F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 设M (x ，y )，则P (1，y )．由|MF 1|＝|MP |，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，y 2＝ －4x ，此轨迹是抛物线．解法二：因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以 |MF 1|＝|MP |，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点、l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .[备选精题]6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1>x 2，y 1>0，y 2<0)在抛物线上，且存在实数λ，使AF →＋λBF →＝0，|AB →|＝254.(1)求直线AB 的方程；(2)求△AOB 的外接圆的方程．解：(1)抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，F (1,0)． ∵AF →＋λBF →＝0，∴A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB →|＝x 1＋x 2＋2.由题知，直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB ：y ＝k (x －1)，而k ＝y 1－y 2x 1－x 2，x 1>x 2，y 1>0，y 2<0，∴k >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2(k 2＋2)k 2x 1x 2＝1，|AB →|＝x 1＋x 2＋2＝2(k 2＋2)k 2＋2＝254，∴k 2＝169. 从而k ＝43，故直线AB 的方程为y ＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －4＝0y 2＝4x ，求得A (4,4)，B (14，－1)．设△AOB 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋H ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧H ＝016＋16＋4D ＋4E ＋H ＝0116＋1＋14D ＋(－E )＋H ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－294E ＝－34，H ＝0故△AOB 的外接圆的方程为x 2＋y 2－294x －34y ＝0.。
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第7模块 第3节[知能演练]一、选择题1．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线解析：a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a .因而cb ， 否则，若c ∥b ，则a ∥b 与已知矛盾，因而cb . 答案：C2．四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线( )A ．互不相交B ．至多有两条直线相交C ．三线相交于一点D ．两两相交有三个交点解析：利用三角形的中位线定理可知三线交于一点． 答案：C3．若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则( )A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面解析：对于选项A ，若过点P 有直线n 与l ，m 都平行，则l ∥m ，这与l ，m 异面矛盾； 对于选项B ，过点P 与l 、m 都垂直的直线，即过P 且与l 、m 的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C ，过点P 与l 、m 都相交的直线有一条或零条； 对于选项D ，过点P 与l 、m 都异面的直线可能有无数条． 答案：B4．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45解析：连接D 1C ，AC ，易证A 1B ∥D 1C ，∴∠AD 1C 即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．设AB ＝1，则AA 1＝2，AD 1＝D 1C ＝5，AC ＝2，∴cos ∠AD 1C ＝5＋5－22×5×5＝45.∴异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.答案：D 二、填空题5．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E 、F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是________．解析：取CB 中点G ，连接EG 、FG ， ∴EG ∥AB ，FG ∥CD .∴EF 与CD 所成的角为∠EFG . 又∵EF ⊥AB ，∴EF ⊥EG . 在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12，∴∠EFG＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.答案：30°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)．①矩形②不是矩形的平行四边形③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体④每个面都是等边三角形的四面体⑤每个面都是直角三角形的四面体解析：分两种情况：4个顶点共面时，几何体一定是矩形；4个顶点不共面时，③④⑤都有可能．答案：①③④⑤三、解答题7．有一矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝2，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝CF ＝1，如下图(1)．现在把纸片沿EF折成图(2)形状，且∠CFD＝90°.(1)求BD的距离；(2)求证：AC，BD交于一点且被该点平分．(1)解：将平面BF折起后，补成长方体AEFD－A1BCD1，则BD恰好是长方体的一条对角线．因为AE，EF，EB两两垂直，所以BD恰好是以AE、EF、EB为长、宽、高的长方体的对角线．所以BD＝AE2＋EF2＋EB2＝42＋22＋1＝21.(2)证明：因为AD綊EF，EF綊BC，所以AD綊BC.所以点A、C、B、D在同一平面内，且四边形ABCD为平行四边形．所以AC、BD交于一点且被该点平分．8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°，并加以证明．解：设AP ＝x (0≤x ≤2)，利用PF 与BC 所成的角是60°来构建以x 为元的方程，再解x 就确定了点P 的位置．如下图，∵ABCD 是边长为2的正方形，∴AC ＝2.设AP ＝x (0≤x ≤2)，作PQ ⊥AB 交AB 于Q ，则PQ ∥BC ，相交直线PF 与PQ 所成的角是异面直线PF 与BC 所成的角．∵平面ABCD ⊥平面ACEF ，∴AF ⊥AC ，AF ⊥平面ABCD ，AF ⊥PQ . ∵AB ∩AF ＝A ，∴PQ ⊥平面ABF ，PQ ⊥FQ . 要使PF 与BC 所成角是60°，只需使∠FPQ ＝60°，即只需使PF ＝2PQ ， ∵PQ ＝22AP ＝22x ， ∴只需使PF ＝2x .又在Rt △APF 中，PF ＝AP 2＋AF 2＝x 2＋1， ∴2x ＝x 2＋1. ∴x ＝1.∴当P 点是线段AC 的中点时PF 与BC 所成的角为60°.[高考·模拟·预测]1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱上到异面直线AB ，CC 1的距离相等的点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由下图观察可知，正方体棱上到异面直线AB 、CC 1的距离相等的点为点D ，B 1，线段BC 的中点E ，线段A 1D 1中点F ，总共4个，故选C.答案：C2．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与CC 1所成的角的余弦值为( )A.34 B.54C.74D.34解析：设棱长为2，BC 的中点为D ，由题意，得 AD ＝ 3.在Rt △A 1AD 中，A 1D ＝AA 21－AD 2＝22－(3)2＝1. 在Rt △A 1BD 中， A 1B ＝A 1D 2＋BD 2＝ 2. ∵AA 1∥CC 1，∴AB 与AA 1所成的角∠A 1AB 即为AB 与CC 1所成的角．在△A 1AB 中，由余弦定理，得cos ∠A 1AB ＝AA 21＋AB 2－A 1B22AA 1·AB ＝4＋4－22×2×2＝34.答案：D3．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.35解析：如下图所示，连接A 1B ，因A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1为平行四边形，所以A 1B ∥D 1C ，则异面直线BE 与CD 1所成的角即为BE 与BA 1所成的角． 不妨设AB ＝1，则AA 1＝2， 设∠ABE ＝α，∠ABA 1＝β，则sin α＝12，cos α＝12，sin β＝25，cos β＝15. ∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝12·15＋12·25＝310＝31010.故选C.答案：C4．在平面上，两条直线的位置关系有相交，平行，重合三种，已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l 1，l 2在α上的射影是直线s 1，s 2；l 1，l 2在β上的射影是直线t 1，t 2，利用s 1与s 2，t 1与t 2的位置关系写出一个总能确定l 1，l 2是异面直线的充分条件________．解析：当s 1∥s 2且t 1与t 2相交时，可推得l 1与l 2总是异面直线，当l 1，l 2在α内的射影s 1，s 2平行时，我们可断定l 1与l 2一定不相交，同理当l 1，l 2在β内的射影t 1，t 2相交时，也可推得l 1，l 2一定不平行，故l 1与l 2一定是异面直线．同理当t 1∥t 2且s 1与s 2相交时，也符合题意．答案：s 1∥s 2，且t 1与t 2相交；(t 1∥t 2，且s 1与s 2相交)5．空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若BD ＝1，则AC 的取值范围是________． 解析：如下图①所示，△ABD 与△BCD 均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD 重合时，AC ＝0，将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，如下图②，故AC 的取值范围是0<AC < 3.答案：(0，3)6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面A 1C 1上有一点P (如图所示，其中P 点不在对角线B 1D 1上)．(1)过P 点在空间中作一直线l ，使l ∥直线BD ，应该如何作图？并说明理由； (2)过P 点在平面A 1C 1内作一直线m ，使m 与直线BD 成α角，其中α∈(0，π2]，这样的直线有几条，应该如何作图？解：(1)连接B 1D 1，在平面A 1C 1内过P 作直线l ， 使l ∥B 1D 1，则l 即为所求作的直线． ∵B 1D 1∥BD ，l ∥B 1D 1，∴l ∥直线BD . (2)在平面A 1C 1内作直线m ， 使直线m 与B 1D 1相交成α角， ∵BD ∥B 1D 1，∴直线m 与直线BD 也成α角， 即直线m 为所求作的直线． 由图知m 与BD 是异面直线， 且m 与BD 所成的角α∈(0，π2]．当α＝π2时，这样的直线m 有且只有一条，当α≠π2时，这样的直线m 有两条．。