递归模型视角下数学概念理解的研究
数理逻辑中的递归论研究
数理逻辑中的递归论研究数理逻辑是研究符号形式系统的一门学科，而递归论则是其中重要的分支之一。
递归论研究的是递归函数和可计算性理论，它在计算机科学以及数学领域具有重要的地位。
本文将从递归论的基本概念、递归函数以及可计算性理论等方面进行论述，以展示数理逻辑中的递归论研究的重要性和深远影响。
一、递归论的基本概念递归论是数理逻辑中研究递归函数和可计算性理论的分支。
递归函数是一种可以通过有限步骤计算得到结果的函数。
而可计算性理论则探讨的是哪些函数是可计算的，也即存在一种算法可以计算出该函数的值。
递归论的基本概念包括递归函数、图灵机以及可计算函数等。
在递归论中，递归函数是一种可以通过无限步骤的重复计算得到结果的函数。
递归函数的定义采用了递归的方式，即函数的定义中包含对函数自身的引用。
而图灵机是递归论中的重要概念之一，它是一种抽象的计算模型，可以对递归函数的计算过程进行模拟和描述。
可计算函数则是指可以通过图灵机模拟计算的函数，也即存在一种算法可以计算出该函数的值。
二、递归函数的性质和应用递归函数在递归论中具有重要的性质和广泛的应用。
首先，递归函数具有封闭性，即如果一个函数在其定义中引用了自身，则称其为递归函数。
递归函数在数理逻辑和计算机科学中有着广泛的应用，例如在数学中的斐波那契数列、计算机编程中的递归调用等。
此外，递归函数还具有可计算性和不可计算性的性质。
在递归论中，可计算函数指的是可以通过图灵机计算的函数，它们可以由递归函数表示并进行计算。
而不可计算函数则是指无法通过图灵机计算的函数，例如停机问题。
递归论对于可计算函数和不可计算函数的研究，为计算机科学中的可计算性理论奠定了基础。
三、可计算性理论的研究可计算性理论是递归论中的重要内容之一，它研究的是可计算函数的性质和计算复杂性。
在可计算性理论中，人们提出了许多重要的概念和理论，如图灵机、可计算复杂性以及不可判定性等。
图灵机是可计算性理论中的重要工具，它是一种抽象的计算模型，可以模拟和描述递归函数的计算过程。
数理逻辑中的递归与不可判定性
数理逻辑中的递归与不可判定性数理逻辑是研究逻辑推理和证明的一门学科，它在数学、计算机科学以及哲学等领域中起着重要的作用。
在数理逻辑中，递归和不可判定性是两个重要的概念，它们对于理解和应用数理逻辑具有深远的影响。
递归是指通过将问题分解为更简单的形式来解决问题的一种方法。
在数理逻辑中，递归函数是一种能够通过自身的调用来定义的函数。
递归函数通常包括一个基本情况和一个递归情况，基本情况用于终止递归的过程，递归情况用于将问题规模减小并调用自身来解决问题。
递归在数理逻辑中的应用十分广泛，例如在证明定理和解决问题时，可以通过递归的方式将复杂的问题转化为更简单的形式并进行求解。
然而，递归并不是所有问题都能完美解决的方法。
在数理逻辑中存在一个重要的概念——不可判定性。
不可判定性是指某个命题无法通过逻辑规则或数学方法判定其真假。
哥德尔的不完备定理是数理逻辑中不可判定性的重要结果之一。
哥德尔的不完备定理表明，在某个一阶逻辑系统中，存在一个命题，无法通过该逻辑系统的规则进行证明或推翻。
这意味着在数理逻辑中，存在一些命题是无法通过逻辑推理来确定其真假的。
不可判定性的概念对数理逻辑和计算机科学产生了深远的影响。
在计算机科学中，不可判定性问题被广泛研究和应用。
一个典型的例子是停机问题。
停机问题是要判断一个给定的程序在输入有限时间内是否能够终止。
根据图灵的停机问题证明，停机问题是一个不可判定的问题，即无法通过计算机算法来确定一个程序是否终止。
这些概念和结果对于计算机科学领域中的编程语言设计、算法设计以及系统安全等方面有着重大的意义。
综上所述，递归和不可判定性是数理逻辑中的两个重要概念。
递归是一种通过将问题分解为更简单的形式来解决问题的方法，在数理逻辑中有广泛的应用。
而不可判定性则表明某些命题无法通过逻辑推理或数学方法来确定其真假，在数理逻辑和计算机科学中具有重要的研究价值和应用意义。
深入理解和应用递归和不可判定性的概念对于推动数理逻辑和计算机科学领域的发展具有重要作用。
从计算思维的视角辨析算法中的递归与迭代
从计算思维的视角辨析算法中的递归与迭代在计算思维中，算法是解决问题的方法，而递归和迭代则是算法中常用的两种重要思想。
递归是指在算法的执行过程中，将问题拆解成更小的同类型子问题，并通过调用自身的方式逐一解决子问题。
迭代则是在算法的执行过程中，通过重复执行相同的操作，逐步逼近答案。
本文将从计算思维的角度来辨析算法中的递归与迭代。
递归与迭代的概念举个例子，假设我们要计算阶乘，即n的阶乘为n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
我们可以使用递归或迭代的方法来求解。
递归的思路是：将问题拆解成为n-1的阶乘问题，直到n=1时，返回1。
而n的阶乘可以表示为n * (n-1)的阶乘。
因此，我们可以使用递归的方式来求解，代码如下：```int factorial(int n) {if (n == 1) {return 1;}return n * factorial(n-1);}```而迭代的思路则是：从1开始，逐步计算出n的阶乘，代码如下：递归与迭代都有各自的优缺点，在算法设计时需要根据具体问题来选择使用哪种方法。
递归的优点是思路简单，代码易于理解。
递归的缺点是执行效率较低，由于需要调用自身，所以需要额外的栈空间来存储每一次函数调用的信息。
如果递归层数过多，会导致栈溢出等问题。
而迭代的优点则是执行效率较高，不需要额外的空间来存储每一次函数调用的信息。
但是迭代的缺点是代码较难理解，需要更多的计算思维来解决问题。
递归和迭代在算法中都有着广泛的应用。
其中，递归常用于树形结构的遍历，例如二叉树的前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
另外，递归也可以用来实现分治法，例如归并排序和快速排序等。
而迭代则广泛应用于图形计算中的迭代算法，例如迭代法求解非线性方程、迭代法求解矩阵特征值等。
另外，在动态规划问题中，也可以使用迭代的方式来解决子问题，最终得到最优解。
总结。
高考数学中的无穷递归解析技巧
高考数学中的无穷递归解析技巧高考是每个中国学生都要经历的一场考试，而数学则是高考中最为重要的科目之一。
其中，无穷递归解析技巧是数学中一个相对较难但又十分重要的概念，也是很多学生感到困惑的部分。
本文将详细介绍无穷递归解析技巧，以帮助同学们更好地掌握这个知识点。
1. 什么是无穷递归解析在学习无穷递归解析之前，我们需要了解一下递归的定义。
“递归”是指一个过程或函数调用（或解决问题的方法）在其定义或描述中包含对本身的调用。
简单来说，就是一个函数可以通过直接或间接调用自己来解决一个问题。
然后，我们来了解一下无穷递归的概念。
所谓“无穷递归”，就是指函数没有结束条件，导致函数不断调用自身，最终无法得到结果的情况。
当一个函数无穷递归时，它将不断调用自身执行类似的操作，直到内存用完或计算机崩溃。
递归本身就是一种重要的数学思想，而无穷递归更是递归思想的极端体现。
在数学中，无穷递归一般用于定义序列或集合，它可以通过规则来定义序列或集合中的元素，从而让我们更容易地理解这些序列或集合。
2. 无穷递归解析的基本原理无穷递归解析的核心思想是基于一个递归公式，通过递推求得序列中每一项的值。
该递归公式需要定义出首项以及后面每一项与前面一项之间的关系，从而完成对序列的规定。
例如，斐波那契数列就是一个很好的无穷递归解析的例子。
斐波那契数列中的每一项都是前两项的和。
所以，我们可以定义斐波那契数列的递归公式为：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中 f(0)=0，f(1)=1。
通过这个递归公式，我们可以求出斐波那契数列中任意一项的值，而无需手动计算每一项。
3. 无穷递归解析的应用无穷递归解析常常出现在高数考试的数列与数学归纳证明题目中。
而数论中的一些问题也需要用到无穷递归解析技巧。
下面我们来看一个典型的例子：如果已知数列 {a_n} 的递推公式为a_n=2a_{n-1}+n，且a_1=1，那么该数列的通项公式是多少？我们可以将a_n代入递推公式中：a_n = 2a_{n-1}+n= 2(2a_{n-2}+(n-1)) + n= 2^2a_{n-2} + 2(n-1) + n= 2^2(2a_{n-3}+(n-2)) + 2(n-1) + n= 2^3a_{n-3} + 2^2(n-2) + 2(n-1) + n= ……= 2^{n-1}a_1 + 2^{n-2}\times2 + 2^{n-3}\times3 + …… +2\times(n-1)+n将a_1代入可得：a_1=2^0×a_1因此，通项公式为：a_n = 2^{n-1} + 2^{n-2}\times2 + 2^{n-3}\times3 + …… +2\times(n-1)+n通过这个例子，我们可以看到无穷递归解析技巧可以帮助我们快速求出类似的数列通项公式，而且求解过程简单明了，不需要过多计算。
数学中递归的定义
数学中递归的定义
递归是数学中一个重要的概念，它指的是在定义某个对象时，需要使用到自身的定义。
举个例子，斐波那契数列就是一个递归定义的数列，因为第 n 个数是由前两个数相加得到的，但前两个数本身也是由递归定义得到的。
递归的定义可以分为两种：直接递归和间接递归。
直接递归是指在对象的定义中直接使用了自身，而间接递归则是指使用了其他对象的定义，但这些对象的定义中又使用了当前对象的定义，最终形成了一个递归循环。
递归在数学中有广泛的应用，比如在图论中的深度优先搜索和拓扑排序中都使用了递归的思想。
递归的思想也被应用到算法设计中，比如分治法和动态规划都是基于递归思想设计的。
需要注意的是，递归在实现时可能会造成栈溢出的问题，因此在编写递归程序时需要注意递归深度的限制。
此外，递归的效率也比较低，因为它会涉及到大量的函数调用和栈的操作。
因此，在实际应用中，需要根据具体情况选择适合的算法设计方法，避免过度使用递归。
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关于原始递归函数的理解
关于原始递归函数的理解原始递归函数（PrimitiveRecursiveFunction）是一种无论多久都不会停止的数学函数。
它是指以某种可重复的步骤来表示的一种数学模型，其中每步都是由某种基本函数指定的。
原始递归函数一般用来定义某个具体的数学模型，它们延续在被有限次重复之后就可以达到最后结果。
原始递归函数是一种自上而下或自下而上的数学函数，它由构成它的基本函数和重复步骤组成。
在自上而下的递归定义中，原始递归函数由基本函数和一组以确定的顺序指定的组合构成，从而允许多个参数输入，并产生一个单一的结果输出。
自下而上的递归定义则更容易理解，其中原始递归函数由一组以一定顺序指定的基本函数组合构成，不断重复这些基本函数，直到函数的输出与输入相同为止。
原始递归函数的应用原始递归函数可以应用于非常丰富的数学和计算机科学中，其中一些最经典的应用包括：（1）求解数学问题：原始递归函数可以用来解决非常复杂的数学问题，从而获得一个有效和可靠的结果。
（2）编程：原始递归函数可以用来编写计算机代码，用来求解复杂问题，从而极大地提升编程的效率。
（3）机器学习：原始递归函数可以用来构建机器学习模型，用于解决复杂的机器学习问题，提高机器学习的准确性和效率。
（4）定理证明：原始递归函数可以用来自动证明数学定理，从而给出一个可靠的解决方案。
原始递归函数的性质原始递归函数具有多种独特的性质，其中一些最重要的性质包括：（1）可重复：原始递归函数是可重复的，可以按照一定顺序进行重复，直到达到某个结果。
（2）可复制：原始递归函数可以通过复制新函数来实现，从而使用较少的资源以达到更快的效果。
（3）可组合：原始递归函数可以组合使用，也就是说可以将几个不同的递归函数混合在一起，让它们协同工作，达到更好的效果。
（4）可变参：原始递归函数允许多个变量（如参数）输入，并产生单一的结果。
上述是关于原始递归函数的基本介绍，接下来将会从它的理解开始进一步的讨论。
递归论理论
递归论文章整理编辑：论文文库工作室（QQ1548927986）论文写作发表辅导递归论或可计算性理论，是一个数理逻辑分支。
它起源于可计算函数和图灵度的研究。
它的领域增长为包括一般性的可计算性和可定义性的研究。
在这些领域中，这门理论同证明论和能行描述集合论(effective descriptive set theory)有所重叠。
数理逻辑中的可计算性理论家经常研究相对可计算性、可归约性概念和程度结构的理论。
相对于计算机科学家，他们研究次递归层次，可行的计算和公用于可计算性理论研究的形式语言。
在这两个社区之间有着相当大的知识和方法上的重叠，而没有明显的界限。
概述：计算的概念递归论所考虑的基本问题是，给定一个从自然数到自然数的函数f，f是否是可以被计算的。
“可以被计算”，我们先将其当作一个直观的概念。
根据直觉，人们一般会认为，一个函数可以被计算是存在一个给定的过程，接受一个自然数n后，该过程进行一定的操作并给出f(n)作为输出。
将计算这一直观的概念上升到数学层面的形式化定义这一工作是递归论的根本，并由哥德尔、邱奇、图灵、克莱尼和Emil Post等人在1930年代奠定。
他们将图灵可计算性作为有效计算的形式化。
在递归论的基本概念被给定之后，一方面人们将该观念应用于数学中，从而证明了一系列自然的问题，如字问题，以及希尔伯特第十问题等问题是不可计算的。
另一方面，理论家们进一步拓展，开始了相对可计算性，图灵度等问题的研究。
如今，递归论仍是数理逻辑中活跃的领域。
历史递归论理论起源自哥德尔、邱奇、图灵、克莱尼和Emil Post在1930 年代的工作。
他们获得的基本结果建立了图灵可计算性作为有效计算的非正式想法的正确的形式化。
通过能行计算的严格定义带来了在数学中有些问题是不可有效判定的最初证明。
邱奇和图灵独立的证明了停机问题不能能行判定，而Post 证明了在Thue系统中确定一个字符串是否有规范形式(类似于在λ演算中一个项是否有规则形式)不能有效的确定。
数学中的递推关系探索递推公式和递归函数
数学中的递推关系探索递推公式和递归函数数学中的递推关系探索: 递推公式和递归函数数学是一门富有创造力和逻辑思维的学科，其中递推关系是一个重要的概念。
递推关系可以用递推公式或递归函数来表示，它们在数学、计算机科学和物理等领域中都有着广泛的应用。
本文将探索递推关系的概念，并介绍递推公式和递归函数的相关知识。
一、递推关系的定义和特点递推关系是指数列中的每一项与它前面的一些项之间的关系。
一般来说，递推关系具有以下特点：1. 递归性：递推关系式根据前面的项计算后面的项，这种递归性质使得数列的每一项都可以通过前面的项来计算得出。
2. 初始条件：递推关系需要指定数列的初始项，这些初始项是递推关系的起点。
3. 通项公式：递推关系可以通过通项公式来表示，该公式能够给出数列中任意项的值。
递推关系和递推公式是密切相关的概念，下面将详细介绍递推公式和递归函数。
二、递推公式的应用和示例递推公式是表示递推关系的一种方式，它可以用来计算数列中任意一项的值。
递推公式的形式通常是通过前面的项来计算当前项的表达式。
递推公式在数学和物理等领域中有着广泛的应用。
以斐波那契数列为例，它的递推公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(n)表示斐波那契数列的第n项，F(n-1)表示第n-1项，F(n-2)表示第n-2项。
通过递推公式，我们可以计算斐波那契数列中任意一项的值。
另一个著名的例子是阶乘函数的递推公式n! = n * (n-1)!，其中n!表示n的阶乘，(n-1)!表示n-1的阶乘。
递推公式可以用来计算阶乘函数中任意整数的阶乘值。
三、递归函数的定义和应用递归函数是一种通过函数调用自身的方式来解决问题的方法。
递归函数在计算机科学中有着重要的应用，尤其在算法和数据结构中。
递归函数与递推公式密切相关，它们都是通过前面的项来计算当前项的值。
递归函数的定义中包含了递归基和递归步骤两部分。
递归基是递归函数的边界条件，它表示递归的结束点。
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递归模型视角下数学概念理解的研究作者：方娜吴华来源：《小学教学参考(数学)》2020年第02期[摘要]数学概念理解是提升问题解决能力和高阶思维能力的基础，在数学教育领域至关重要。
数学理解的递归模型为揭示概念理解过程提供了新视角。
基于递归模型，遵循客观抽象与直观具体、历史顺序与“超回归”倒序、证伪与证实、行为实践与表达证明的设计准则，重构数学概念教学模型，促进数学概念理解。
[关键词]递归模型;数学概念理解;融通;分数概念教学[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）05-0024-03在数学研究或数学教育中，数学概念理解一直是国内外讨论的重要话题。
1989年全美数学教师理事会（National Council of Teachers of Mathematics，简称NCTM）明确提出：“数学课程的重点应该是‘数学概念和理解’，数学教育研究者和教学设计者要将数学理解作为数学研究的首要重点。
”《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“在教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学习者逐步加深理解。
”数学概念理解在数学学习活动中至关重要，但当前的概念教学却存在形式化的现象：引入概念时背景着墨不够，导致学习者对教学的内容、方法和意义知之甚少;以解题教学代替概念教学，本末倒置。
数学概念教学，关键是要细化数学概念的理解层级，揭示学习者对数学概念的理解进程，同时遵循客观抽象与直观具体、历史顺序与“超回归”倒序、证实与证伪、行为实践与表达证明有机融合的原则。
课程开发者和教师可以根据数学概念理解的层级与原则来设计课程或组织教学。
下面通过数学概念理解的递归模型和分数概念的实例分析，探索理解过程的新视角和概念教学的新策略。
一、数学概念理解及其递归模型1.数学概念理解的内涵在《辞海》中，“理解”是指了解、领会，深入解释为对新事物的认识是通过揭露事物间联系的过程。
《全日制义务教育阶段数学课程标准（实验稿）》将“理解”解释为“能描述对象的特征和由来;能明确地阐述此对象与有关对象之间的区别和联系”。
数学学习中的概念理解，应由学习者對已学东西的意义不断更新、改造、组织、整理，建构有序的整体，从整体内部进行正逆向、交叉、跳跃式的联系，从总体中认识局部的、孤立的概念之间的内部联系，以抓住本质属性。
数学概念理解的递归模型以崭新的视角，直观形象地揭示学习者进行数学概念理解的层次及条件。
2.数学概念理解的递归模型（1）数学概念理解的递归模型简介1989年，Pirie和Kieren结合认识与认识论障碍、概念定义与概念表象、多元表征、操作性概念与结构性概念等理论，提出了数学概念理解的递归模型。
数学概念理解分为八个水平，分别为：“Primitive Knowing（原始认知）”“Image Making（产生表象）”“Image Having（形成表象）”“Property Noticing（关注性质）”“Formalising（形式化）”“Observing（观察述评）”“Structuring（构造化）”“Inventing（发明创造）”（如图1）。
后继研究者又将八个理解水平精简为四个：数学活动、表象、形式化、构造化（如图2）。
模型各个水平间“超越回归式”的相互包含，从认知的观点认为数学概念理解的增长非直线式的发展，而是一种整体的、有层次的、超越回归的心理过程，在这个过程中获得并应用一个静态的数学概念。
（2）数学理解的递归模型特点超越性：外层理解水平包含和发展内层理解水平，并将内层理解水平协调统一。
内层理解是外层理解的基础，外层理解是内层理解的升华。
回归性：这是数学概念理解的关键组成部分和核心特征。
它揭示了理解过程的非线性，当在任何层级遇到不能立即解决的问题时，学习者需要返回到原有的、内在的层级，重建和完善对内在层级的理解，以支持、加深对外在层级的理解。
这种返回的认知活动与最初的认知活动不同，它的水平更高、更有效。
回归行为在深化数学概念理解的过程中并非都必要，回归的有效性取决于学习环境和学习者个人，特别是当学习者被鼓励折回内层收集特定的信息时，这种回归变得更有效，因为它带有目的性。
行为与表达的互补性：这是层次本身的结构特征，出现在“产生表象”“形成表象”“关注性质”三个层级中，超越原始认知的每一个层级都是由行动与表达的互补组成的。
“参与”“回顾”“观看”“表达”“预测”和“记录”是数学概念理解由内层向外层的发展和过渡。
（3）概念数学理解的递归模型误区学习者对某一个数学概念的原始认知并非是最低级认知。
在没有掌握基本概念之前积累的知识将被嵌入新的理解层次中。
如图3，学习者掌握分数概念后，会将对分数概念的高层次认知作为理解小数的原始认知。
数学概念理解的递归模型的最外层被称为“发明创造”，并非学习者在其他层面上无“发明创造”：在“产生表象”层级，学习者能够根据学习内容，建构具有数学意义的实际情境，并对实际情境有合理的考量，这种“发明创造”更符合学习者的心智与认知。
二、递归模型视角下数学概念教学模型的重构1.数学概念教学的策略（1）数学概念教学体现客观抽象与直观具体的融通数学概念从数量关系或空间形式来反映事物的本质特点，多以定义的形式表述，具有简洁性、概括性、抽象性。
学习者在接触某个新的概念时，最佳的学习方法是通过模型直观和实践参与，产生和形成相关知识的表象。
引入一个与原来概念相关的新概念时，灵活地把上一种概念的表征方式作为下一种概念呈现的表象，可提升对数学对象的关联性理解，实现概念不同表征方式间的融通，优化概念形成和概念同化过程。
（2）数学概念教学体现历史顺序与“超回归”倒序的融通历史发生原理指出，个体知识的发生过程遵循人类知识的发展过程。
近年来，将历史发生原理应用于数学教育，更是得到众多实证研究的肯定。
“超回归”倒序，是指每当引入新的概念意义时，都应“超回归”到已学习过的原有概念的意义。
为了使学习者理解数学概念的多种意义，教材编写和教学既要以数学知识发展为主线，将学科体系有机地融入教学设计中，又要兼顾个体对概念意义的理解具有“超回归”倒序的特点，允许存在学习上的反复，使学习者有时间、有机会对自己的思维活动进行反省，加深对新知识的理解。
在进行外层次教学时要为学习者设计折回的机会，凸显新旧知识间的联系，引导学习者获得对数学概念的正确理解。
（3）数学概念教学体现证实与证伪的融通证实就是证明一个问题的真实性。
证伪思想则来源于波普尔的证伪主义。
客观地说，证实只是部分解决了“是什么”和“为什么”，却不揭示“真”和“伪”之间的界限，而这一界限对学习者真正理解数学概念本质是十分必要的。
在概念教学中，如何兼顾证实与证伪是研究者应当慎重思考的问题，适度设置伪命题，能使学习者明确真假命题的界限，掌握概念的性质。
但过度设置伪命题，可能会诱导学习者的思维朝错误的方向发展。
证伪与证实的融通将促进学习者理解概念的本质，推动理解进程向更高层发展。
（4）数学概念教学体现行为实践和表达证明的融通理解和掌握数学概念需要花费大部分时间参与活动，发现、概括活动的规律，合作交流，解决相关问题。
欧内斯特曾说：“数学知识的基础是对话，数学证明是一种特殊的叙事……证明是用来说服数学共同体中其他成员接受一个陈述或一组陈述为数学知识的一个文本。
”根据数学概念理解的递归模型，“参与”“回顾”“观看”“表达”“预测”和“记录”是数学理解层级由内而外发展的过渡，在学习数学概念时，教师可给出数学表达式，由学习者设计具体情境下符合该数学表达式的问题并动手操作，实现数学意义与实际情境的双向建构，促进数学概念理解由最初的原始认知向最后的发明创造过渡。
2.数学概念教学模型的重构基于数学”理解的递归模型和数学概念教学的策略，重构数学概念教學进程（如图4），即数学活动阶段、表象阶段、形式化阶段、构造化阶段。
三、分数概念教学设计1.递归模型视角下分数概念教学模型的重构近20年，研究者对分数学习的关注点主要在分数基本概念的理解。
在目前的研究中，有的学者着眼于分数定义研究，有的学者从教学与数学两个层面来探讨分数本质。
不管从哪个角度展开研究，最终都要回到对分数意义理解这一基本问题上。
因此，就小学分数的理解与教学而言，首先应探讨其意义。
J.Pack等学者根据分数意义的历史演变，将分数分为“部分/整体”“测量”“除法” “集合论”这四种意义（“集合论”的意义在小学阶段几乎不提及）。
王光明等学者借鉴 Nurgul Duzenli-Gokalp和 Manjula Devi-Sharma 的思想，基于数学概念理解递归模型的内涵，构造出分数意义理解的数学概念理解模型（如图5），并指出分数的外层意义是建立在内层意义基础上的，综合与发展了内层意义，对内层意义的及时回顾，将有助于学习者学习新的分数意义。
借鉴上述学者观点，笔者建构了融通历史顺序和“超回归”倒序的分数教学模型，如图6。
2.分数概念教学的策略（1）创设数学与学习者生活结合点情境，感悟分数意义在北师大版教材中，分数的学习最早出现在三年级上册，通过对“平均分割月饼”的认识，让学习者体会“部分/整体”的意义;在五年级，利用“丈量物体”的方式，让学习者初步感知分数的“测量”意义;在六年级，通过对“乘法的逆运算”等内容的学习，让学习者建立乘法与除法之间的运算关系，从而引出分数的“除法”意义。
（2）融通历史顺序和“超回归”倒叙，内化分数概念分数意义演变的历史顺序，是指从低年级到高年级依次引入“部分/整体”“测量”“除法”三种分数意义。
分数意义的“超回归”倒序表现为，在引入“测量”意义时，又对“部分/整体”意义进行了严格定义和再学习。
在六年级引入“除法”意义时，又回归到了“部分/整体”与“测量”意义。
例如，对“部分/整体”意义的回顾，主要运用数学实践活动（把一张纸的4/5平均分成2份），有助于增强学习者对“除法”意义的理解。
这种顺序与倒序的融通，符合学习者对数学概念的理解进程与认知规律，从而更好地理解分数的概念。
（3）兼顾“证实”与“证伪”，凸显分数本质动态的数学观认为，数学教学应是由不确定知识到确定知识的渐进过程，在探寻结论的过程中，“证伪”起着非常重要的作用，在确定结论的时候，“证实”又发挥着不可替代的作用。
在分数概念教学中，可适度设置如图7所示的问题，融通“证实”与“证伪”，凸显分数本质。
（4）融通数学与生活，形成分数概念体系分数概念可以表征多种相关但不同的意义，掌握分数概念的重要标志是不同层级意义的融通。
在教学小数概念时，教师可引导学习者思考小数与分数的联系与区别，进行“超回归”倒序学习，更好地实现分数概念的高层次认知向小数概念认知的过渡，从而加深分数概念的理解，促进小数概念的获得。