高考立体几何题型与方法全归纳文科
立体几何高考题解析(文科)
《立体几何》高考题解析（文科）
一选择题
1把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的
三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（ C ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°（
2四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH
的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是（ C ）
A ．271
B ．161
C ．91
D ．81
3已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；
③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中真命题的个数是（ B ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是（ B ） A ．若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. B ．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. C ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. D ．若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. （04上海13）
6不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题
① ////m m αββα⎫
⇒⎬⊂⎭
② //////m n n m ββ⎫
⇒⎬⎭
③ ,m m n n αβ⊂⎫
⇒⎬⊂⎭
异面
④ //m m αββα⊥⎫
⇒⊥⎬⎭
其中假命题有：（ D ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 7 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长
为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是（ C ）
2020年高考文科数学大题篇立体几何提分分类解析(13页)
2020年高考文科数学大题篇立体几何提分分类解析
题型一平行、垂直关系的证明
【例】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
【证明】(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC.
∵AD⊂平面ABC，
∴AD⊥CC1.
又∵AD⊥DE，DE∩CC1＝E，DE，CC1⊂平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1.
∵AD⊂平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)∵△A1B1C1中，A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
∴A1F⊥B1C1.
∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，
∴A1F⊥CC1.
又∵B1C1∩CC1＝C1，B1C1，CC1⊂平面BCC1B1，
∴A1F⊥平面BCC1B1.
又∵AD⊥平面BCC1B1，
∴A1F∥AD.
∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，
∴直线A1F∥平面ADE.
【思维升华】(1)平行问题的转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．
(2)垂直问题的转化
在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．
全国高考文科数学立体几何综合题型汇总
新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形
（2） 若
BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
证明：在ABD ∆中，∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1
//,2
EH BD EH BD = 同理，1
//,2
FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 °
考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角
2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE;
（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭
同理，
AD BD DE AB AE BE =⎫
⇒⊥⎬=⎭
又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE
又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点：线面垂直，面面垂直的判定
A
H
G
F
E
D
C
B A
E
D
B
C
3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。
证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵E 为1AA 的中点，O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内，1A C 在平面BDE 外
各个题型文科立体几何高考真题
题型一：求体积
1，2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）
如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.
（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C 的体积．
2，2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点C到平面C1DE的距离．
3．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷）
如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，且90BAP CDP ∠=∠=︒.
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为83
，求该四棱锥的侧面积．
题型四：折叠图形
4．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）
图1是由矩形,ADEB Rt ABC ∆和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中
1,2AB BE BF ===， 60FBC ∠=，将其沿,AB BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.
（1）证明图2中的,,,A C G D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ；
（2）求图2中的四边形ACGD 的面积.
1【详解】（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11AA B B ； BE ⊂平面11AA B B ，所以11B C BE ⊥，
专题8.3 立体几何综合问题(原卷版)文科生
【考点1】空间角，距离的求法 【备考知识梳理】 1．空间的角
(1)异面直线所成的角：如图，已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线','a a b b .则把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是0,2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
. (2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0︒的角．直线与平面所成角的范围是0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
(3)二面角的平面角：如图在二面角l αβ--的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角．二面角的范围是[]0,π.
(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等. 3.空间距离:
（1）两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段AB 为异面直线b a ,的公垂线段，然后求出AB 的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线b a ,间的距离．③找或作出分别过b a ,且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线b a ,间的距离．
（2）点到平面的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线
高考文科立体几何
1
AB=BC=2AD
及
BC∥AD,∠ABC=90°得四边形
ABCM
为正方形,所以 CM⊥AD.
因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,平面 PAD∩
平面 ABCD=AD,所以 PM⊥AD,PM⊥底面 ABCD.因为 CM⊂底面 ABCD,所以 PM⊥CM.
设 BC=x,则 CM=x,CD= 2x,PM= 3x,PC=PD=2x.取 CD 的中点
BEF. (2)由题意知 ED∥BC,ED=BC, 所以四边形 BCDE 为平行四边形,所以 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD,所以 AP⊥CD,所以 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC⊂平面 PAC,所以 BE⊥平面 PAC.
刷最新模拟题
在 Rt△ DPF 中,可得 sin∠DFP=������������������������= 55. 所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 55.
方法技巧 证明线面垂直的关键是在平面内找两条相交直线与该直线垂直.
题型分析
13
分类透析四 立体几何中面面垂直的证明 例 4 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
文科立体几何知识点、方法总结材料高三复习
立体几何知识点整理
一．直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行
l
符号表示：
2. 线面相交
符号表示：
3. 线在面
符号表示：
二．平行关系：
1.线线平行：
方法一：用线面平行实现。
m
l
m
l
l
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
方法二：用面面平行实现。
m
l
m
l//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
β
γ
α
γ
β
α
方法三：用线面垂直实现。
若α
α⊥
⊥m
l,，则m
l//。
方法四：用向量方法：
若向量和向量共线且l、m不重合，则m
l//。
2.线面平行：
方法一：用线线平行实现。
α
α
α//
//
l
l
m
m
l
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊂
方法二：用面面平行实现。
α
β
β
α
//
//
l
l
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
方法三：用平面法向量实现。
若为平面α的一个法向量，⊥且
α
⊄
l,则α
//
l。
3.面面平行：
方法一：用线线平行实现。
β
α
α
β
//
'
,'
,
'
//
'
//
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊂
⊂
且相交
且相交
m
l
m
l
m
m
l
l
方法二：用
线面平行实现。
β
α
β
α
α
//
,
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊂且相交
m
l
m
l
三．垂直关系：
1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
α
α
⊥
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊂
=
⋂
⊥
⊥
l
AB
AC
A
AB
AC
AB
l
AC
l
,
方法二：用面面垂直实现。
α
β
β
α
β
α
⊥
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊂
⊥
=
⋂
⊥
l
l
m
l
m
,
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥l l
方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα
方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭
方法三：用向量方法：
若向量和向量的数量积为0，则m l ⊥。 三．夹角问题。 (一)
高中文科数学立体几何知识点总结只是分享
A ， B， C， D 四点共面 AB x AC y AD
(三 )空间向量的坐标运算 1. 已知空间中 A 、 B 两点的坐标分别为：
A( x1, y1, z1) ， B ( x2 , y2, z2) 则：
AB
;
d A,B
AB
2. 若空间中的向量 a ( x1, y1, z1 ) ， b ( x2 , y2 , z2 )
精品文档
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Ba
c b
C
A
m
dn
D
m'
五． 空间向量
(一 )空 间向量基本定理
如图， AD 是异面直线 m 和 n 的公垂线段，
m // m' ，则异面直线 m 和 n 之间的距离为： d c 2 a 2 b 2 2ab cos
A
A1
若向量 a, b, c 为空间中不共面的三个向量，则对空间中任意一个向量
l AC l AB
l AC AB A AC , AB
方法二：用面面垂直实现。
βl
m
l
m l m, l
α
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
βl
l
l
α
方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。
文科立体几何知识点、方法总结高三复习
文科立体几何知识点、方法总结高三复习
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
立体几何知识点整理（文科）
一．直线和平面的三种位置关系：
1. 线面平行
l
符号表示：
2. 线面相交
符号表示：
3. 线在面内
符号表示：
二．平行关系：
1.线线平行：
方法一：用线面平行实
现。
m
l
m
l
l
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
方法二：用面面平行实
m
l
m
l//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
β
γ
α
β
方法三：用线面垂直实现。
若α
α⊥
⊥m
l,，则m
l//。
方法四：用向量方法：
若向量l和向量m共线
且l、m不重合，则
m
l//。
2.线面平行：
方法一：用线线平行实
现。
α
α
α//
//
l
l
m
m
l
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊂
方法二：用面面平行实
现。
α
β
β
α
//
//
l
l
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，l
n⊥且α
⊄
l,
则α
//
l。
3.面面平行：
方法一：用线线平行实现。
β
α
α
β
//
'
,'
,
'
//
'
//
⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⊂
⊂
且相交
且相交
m
l
m
l
m
m
l
l
方法二：用线面平
行实现。
l
βαβαα
//,////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫⊂且相交m l m l 三．垂直关系： 1. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫
⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC
l ,
方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪
⎬⎫
⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫
⊂⊥l l
方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直：
方法一：用线面垂直实现。
高考文科立体几何题汇总（含答案）
19．（本小题满分12分）2008
如图，在四棱锥P ABCD -中，平面P
AD ^平面ABCD ，AB DC ∥，P AD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==．
（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ^平面P
AD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．的体积．
18.（本小题满分12分）分） 2009
如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点. （1） 设F 是棱AB 的中点,证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2） 证明:平面D 1AC ⊥平面BB 1C 1C.
2010 （20）（本小题满分12分）分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，
BCD A MA 平面^,PD ∥MA ,E G F 、、分别为
MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD AD ==．
（Ⅰ）求证：平面PDC EFG 平面^;
（Ⅱ）求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --．
A
B
C
M
P
D E
A
B
C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
2011 19．（本小题满分12分）分）
如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，1D D ^平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，AB=2AD ，11AD=A B ，BAD=Ð60° （Ⅰ）证明：1AA BD ^；
（Ⅱ）证明：11CC A BD ∥平面．
浙江高考历年真题之立体几何大题(文科)
A
浙江高考历年真题之立体几何大题
（教师版）
1、（2005年）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1
2PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，
OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)求证OD ∥平面PAB
(Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的大小；
解析： 方法一：
(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点，O D P A ∴ ∥
PA PAB ⊂又平面，OD PAB ∴ 平面∥
(Ⅱ)A B B C O A O C ⊥= ，，O A O B O C ∴== ，
O P ABC ⊥ 又 平面，.PA PB PC ∴== E PE BC PO E ⊥取BC 中点，连结，
则平面
OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角.
sin 30
O F R t O D F O D F O D
∆∠=
=
在中， arcsin
30
O D P B C ∴ 与平面所成的角为
方法二：
O P ABC O A O C AB BC ⊥== 平面，，，
.O A O B O A O P O B O P ∴⊥⊥⊥ ，，
()O O P
z O xyz -以
为原点，射线
为非负轴，建立空间直角坐标系如图，
,0,0,,0,,0,0222AB a A B C
⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
设
，则 ()0,
0,.OP h P h =设，则
()D PC 为的中点，Ⅰ1,0,,,0,422O D h PA ⎛⎫
⎛∴=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 又1 (2)
高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何含参考答案
高考文科数学总复习——真题汇编之立体几何
（含参考答案）
一、选择题
1.【2018全国一卷5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12
O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
2.【2018全国一卷9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172
B ．52
C ．3
D ．2
3.【2018全国一卷10】在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为 A ．8
B ．62
C ．82
D ．83
4.【2018全国二卷9】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A ．
B ．
C ．
D ．
5.【2018全国三卷3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
1111ABCD A B C D -E 1CC AE CD 2
35
7
6.【2018全国三卷12】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为
A ．
B ．
C ．
D ．
7.【2018北京卷6】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
立体几何近12年全国真题(及答案文科)
14.【解析】（Ⅰ）取 的中点 ，连结 ，因为 是等边三角形，
所以 ．
当平面 平面 时，
因为平面 平面 ，
所以 平面 ，可知 .
由已知可得 ，在 中， ．
（Ⅱ）当 以 为轴转动时，总有 ．
证明：（ⅰ）当 在平面 内时，因为 ，所以 都在线段 的垂直平分线上，即 ．
（ⅱ）当 不在平面 内时，由（Ⅰ）知 ．又因 ，所以 ．
又 , 平面 , 平面 ,且 .
所以 平面 ，而 平面 ，故平面 平面 .
(Ⅱ)因为四边形 为等腰梯形，
所以 , , ， .
因为 ，所以 , .可得 .
所以等腰梯形 的面积为 .
所以四棱锥的体积为 .
18.【解析】（Ⅰ）因为 ， ，
由余弦定理得 ，从而 ，故 .
又 平面 ， 平面 ，故 .
由 可得 平面 .
而 平面 ，故 .
（Ⅱ）如图，作 ，垂足为 .
已知 平面 ， 平面 ，故 .
由（Ⅰ）知 ，又 ，所以 .
由 可得 平面 .
而 平面 ，故 .
另由 ，得 平面 .
由题设知， ，则 ，
根据 ，得 ，
即棱锥 的高为
19.【解析】（Ⅰ）设 交 于点 ，连结 .
因为 为矩形，所以 为 的中点.
又 为 的中点，所以 .
（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
立体几何题型与方法(文科)
立体几何题型与方法
一、 考点回顾
1．平面
（1）平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （2）证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内 ，推出点在面内）， 这样，可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。
（3）证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。
（4）经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 2. 空间直线.
（1）空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内。
（2）异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）
（3）平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.
（5）空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.
21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与
21,l l 距离相等的点在同一平面内. （l 1或l 2在这个做出的平面内不能叫l 1与l 2平行的平面） 3. 直线与平面平行、直线与平面垂直.
（1）空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.
专题12 文科立体几何高考真题大题(全国卷)赏析(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题12：文科立体几何高考真题大题（全国卷）赏析（解析版） 题型一：求体积
1，2018年全国卷Ⅲ文数高考试题
如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）存在，理由见解析 【详解】
分析：（1）先证AD CM ⊥,再证CM MD ⊥，进而完成证明． （2）判断出P 为AM 中点，，证明MC ∥OP ，然后进行证明即可． 详解：（1）由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．
因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM ． 因为M 为CD 上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM ． 又BC ∩CM =C ，所以DM ⊥平面BMC ． 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC ． （2）当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD ．
证明如下：连结AC 交BD 于O ．因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点． 连结OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP ．
MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD ．
点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P 为AM 中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．
2，2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）
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2019高考立体几何题型与方法全归纳文科
配套练习
1、四棱锥中,⊥底面,,,
.
(Ⅰ)求证:⊥平面；
(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。
【答案】
(Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ∆为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥.
因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线AC PA ,都垂直， 故⊥平面。
(Ⅱ)解：33
2sin 2221sin 21=⨯⨯=∠••=∆πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233
131=⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC P . 由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8
1, 故：4
132813318131=⨯⨯⨯=⨯⨯=∆-PA S V BCD BDC F 4
7412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ∆为等腰三角形，90APD ︒∠=，平面PAD ⊥
平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD 的中点．
（Ⅰ）证明：EF P 平面PAD ；
（Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ；
（Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积．
【答案】
（Ⅰ）证明：如图，连结AC ．
∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点．
又E 是PC 的中点，EF AP P
∵EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以EF P 平面PAD ；
（Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD I 平面ABCD AD =，
所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA CD ⊥
又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD
又PA ⊂平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ；
（Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ∆为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥，
因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD I 面ABCD AD =，
所以，PO ⊥面ABCD ，
即PO 为四棱锥P ABCD -的高．
由2AD =得1PO =．又1AB =．
∴四棱锥P ABCD -的体积1233
V PO AB AD =⋅⋅= 考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.
3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，CD PA ⊥， DB ADC ∠平分，E PC 为的中点，45DAC ∠=o
，AC =
O
（Ⅰ）证明：PA ∥BDE 平面； （Ⅱ）若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积
【答案】（Ⅰ）设F BD AC =⋂，连接EF ，
CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴⊂⊥，平面，平面Θ
PAD PA PD P PA PD PA CD 平面，，，又⊂=⋂⊥Θ
AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴⊂⊥∴平面，平面Θ
∵,45︒=∠DAC ∴,DC DA =
∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点，E 为PC 中点，
∴EF 为CPA ∆的中位线.
∵EF ∥,PA EF BDE ⊂平面，PA BDE ⊄平面
∴PA ∥BDE 平面.
(Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;
ABC ADC S S S ∆∆+=222322122221=⨯⨯+⨯⨯=
． 的中点，为线段点PC E Θ
111122232323
E ABCD V S PD -∴=⋅=⨯⨯⨯=． 考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.
4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．
(1) 求证：AD PQB ⊥平面；
(2) 若平面平面ABCD ,且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD -的体积．
【答案】
（1）PA PD =Q ，Q 为中点，AD PQ ∴⊥
连DB ，在ADB ∆中，AD AB =，，
ABD ∴∆为等边三角形，为的中点，
AD BQ ∴⊥,
PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB ,
∴AD ⊥平面PQB .
（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H .
Q PQ AD ⊥,PQ ⊂平面PAD ,平面PAD ⋂平面ABCD AD =,平面平面ABCD ，
PQ ABCD ∴⊥平面 , QC ⊂ABCD 平面 ,
PQ QC ∴⊥
//PQ MH ∴.
∴MH ABCD ⊥平面,
又12PM PC =,1122222
MH PQ ∴==⨯=. 在菱形ABCD 中，2BD =,
01sin 602
ABD S AB AD Λ=⨯⨯⨯1=2222⨯⨯⨯
∴2ABD ABCD S S ∆==菱形
M ABCD V -13ABCD S MH =⨯⨯菱形13233=⨯⨯1=． 5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.
⑴ 求证：平面平面；
⑵ 求四棱锥的体积.
【答案】(1) 证明：由题可知，
(2) ，则
.
6、已知四棱锥中，是正方形，E 是的中点，
(1)若PD AD =，求 PC 与面AC 所成的角
(2) 求证：平面
(3) 求证：平面PBC ⊥平面PCD
【答案】平面，是直线在平面ABCD 上的射影，是直线PC 和平面ABCD 所成的角。又，四边形ABCD 是正方形，，；直线PC 和平面ABCD 所成的角为
（2）连接AC 交BD 与O,连接EO, ∵E 、O 分别为PA 、AC 的中点
∴EO ∥PC ∵PC 平面EBD,EO 平面EBD ∴PC ∥平面EBD
（3）∵PD 平面ABCD, BC 平面ABCD ，∴PD BC ，
E
D C
B
A P