江西省新余市第一中学2019_2020学年高二数学下学期第一次段考试题理

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江西省新余市第一中学高二数学下学期第一次月考试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1..设全集U R =，集合{}1|||2,|01A x x B x x ⎧⎫=≤=>⎨⎬-⎩⎭，则()U C A B =I （） A ．[]2,1- B ．()2，+∞ C ．(]1,2 D ．()-，-2∞ 【答案】B2．已知复数()1m iz m R i+=∈+纯虚数，则m = A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解：B ．设()(1)11222m i i m miz +-+-==+，1m ⇒=- 3.命题：“存在0x R ∈，使得00sin x x <”的否定为（） A ．存在0x R ∈，使得00sin x x > B ．存在0x R ∈，使得00sin x x ≥ C ．对任意x R ∈，使得sin x x > D ．对任意x R ∈，使得sin x x ≥ 【答案】D4.已知函数()sin cos ,(0,)f x x x x π=+∈，且'()0f x =，则x =（）（A ）4π （B ）34π （C ）3π （D ）6π【答案】A5.已知抛物线)0(2>=a ax y 的焦点到准线距离为1，则=a （） A.4 B.2 C.41 D.21【答案】D.6.下列命题是假命题的是（）A ．R ∈∀ϕ，函数)2sin()(ϕ+=x x f 都不是偶函数B ．α∃，R β∈，使cos()cos cos αβαβ+=+C ．向量(2,1)a =-r，)0,3(-=，则a 在b 方向上的投影为2D ．“1≤x ”是“1<x ”的既不充分又不必要条件【答案】A.7.已知双曲线12222=-b y a x 的离心率为332，则双曲线的两渐近线的夹角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】C.8.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ab C c b a =-+tan )(222，则角C 的值为（） A.6π或65π B.3π或32π C.6π D.32π 【答案】A.9.曲线()(,)nf x ax a n R =∈在点(1,2)处的切线方程是42y x =-，则下列说法正确的是（）（A ）函数()f x 是偶函数且有最大值（B ）函数()f x 是奇函数且有最大值（C ）函数()f x 是偶函数且有最小值（D ）函数()f x 是奇函数且有最小值【答案】C10.设a R ∈，函数()xxf x e ae -=-的导函数为()'f x ，且()'f x 是奇函数，则a =（）A ．0B ．1C ．2D ．-1 【答案】D 11、已知点F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，ABE ∆是直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ** ） A ．3B ．2C ．12D ．13【答案】B12.已知函数()()()11,14ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．114，e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．14，e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，3,30,60a A B ︒︒===，则ABC ∆的面积S = .14. 已知抛物线22(0)y px p =->的准线与圆22(5)25x y -+=相切，则p 的值为 ▲ 15.已知()()1:1,:102p x q x a x a ≤≤--->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 . 【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知函数()()()()3212f x x a x a a x a R =+--+∈在区间()2,2-上不单调，则a 的取值范围是 . 【答案】118,,422⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和)12(-=n n k S ，且83=a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】（1）2n n a =；（2）22)1(1+-=+n n n T ．18、在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知)(),,sin ,cos ,3m c n A C m n ===r r r r .（1）求C ；（2）求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（Ⅰ）3C π=92a b c <++≤19、已知函数()e cos xf x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）1y =；（Ⅱ）最大值为1；最小值为π2-.20、2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2017届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35．（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？附： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）见解析（2）有99.9%的把握【解析】（Ⅰ）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为35，所以喜欢游泳的学生人数为310060⨯=人．其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：（Ⅱ）因为()221004030201016.6710.82860405050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯．所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．21.（本小题满分12分）已知2M 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点，椭圆的离心率12e =. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点(0,3)P 的直线m 与椭圆交于,A B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的方程．【答案】（Ⅰ）13422=+y x ；（Ⅱ）323+±=x y . 22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()(1)1()f x x x g x ax a x a R ==-++∈. （Ⅰ）当0a =时,求()()f x g x +的单调区间；（Ⅱ）当1x ≥时，()()ln f x g x x ≤+,求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()()f x g x +的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1,)+∞；（Ⅱ）1a ≥.。

学2019-2020学年高二数学下学期第一次阶段考试试题(含解析)

学2019-2020学年高二数学下学期第一次阶段考试试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．【点睛】本题主要考查系统抽样.2. 甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为，所以甲队获胜的概率等于，故选A.考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.3. 已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设事件A表示“第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，分别求出及，代入条件概率公式即可得解.【详解】设事件A表示“第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，P（A），P（AB），则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是：P（B|A）.故选：C.【点睛】本题考查了条件概率及其运算，考查了计算能力，属于基础题.4. 在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”．已知如图所示的多边形镶嵌的图形，在内随机取一点，则此点取自正方形的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可.【详解】解：设小三角形的边长为，每个小三角形的面积为，个小三角形的面积之和为，又因长方形的长为，所以个正方形的面积为，所以此点取自正方形的概率是．故选：B.【点睛】本题考查几何概型概率计算问题，属于基础题.5. 设，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】由线性约束条件，画出可行域，结合直线的平移即可求得的最小值.【详解】根据线性约束条件，画出不等式组表示的可行域如图所示：由平移得到，由图可知当目标函数经过点处取得最小值，代入可得为．故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题.6. 2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）A. 150种B. 240种C. 300种D. 360种【答案】A【解析】【分析】根据题意，需要将5个安保小组分成三组，分析可得有2种分组方法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组，求出每一种情况的分组方法数目，由加法计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，有两种分法：按照1、1、3分组或按照1、2、2分组；若按照1、1、3分组,共有种分组方法；若按照1、2、2分组,共有种分组方法，根据分类计数原理知共有60+90=150种分组方法.故选：A.【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，本题属于分组再分配问题，根据题意分析可分组方法进行分组再分配，按照分类计数原理相加即可，属于简单题.7. 已知某市高三一次模拟考试数学成绩，且，则从该市任取名高三学生，恰有名学生成绩不低于分的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正态分布的对称性求解即可.【详解】由，且，可知成绩不低于分的概率是，则名高三学生，恰有名学生成绩不低于分的概率是.故选：C【点睛】本题考查的是正态分布及二项分布的知识，较简单.8. 若则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式得，再根据二倍角的余弦公式求解即可．【详解】解：∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式，属于基础题．9. 图中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据三视图可得，该几何体为半球和一个三棱锥的组合体，按照三视图对应的边长关系，即可求解.【详解】依题意，该几何体为一个三棱锥和一个半球拼接而成的组合体，其中半球的半径为，三棱锥底面为等腰三角形底边长为，底边的高为，三棱锥的高为，则该几何体的体积.故选：C.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.10. （）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】先通分,再利用正弦的二倍角公式,进而利用正弦的差角公式化简即可.故选:D【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查正弦的二倍角公式和差角公式的应用.11. 函数的图象为C，如下结论中正确的是（）①图象C关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③图象C关于点对称；④由的图象向右平移个单位长度可以得到图象CA. ①③B. ②③C. ①②③D. ①②【答案】C【解析】【分析】先通过三角公式将函数变形为的形式，①直接利用整体思想求出函数的对称轴方程，根据的取值求得结果.②直接利用整体思想求出函数的单调区间，根据的取值求得结果.③直接利用整体思想求出函数的对称中心，根据的取值求得结果.④直接利用函数的平移变换求得结果.【详解】解：①令：，解得：，当时，图象关于直线对称，所以①正确.②令：，解得：，当时，函数在区间内是增函数；所以②正确.③令：，解得：，当时，图象关于点对称.所以③正确.④将的图象向右平移个单位，得到的函数解析式为，所以④错误.故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：正弦型三角函数的图象的应用，函数的对称轴，对称中心，函数的单调区间，函数的图象的平移变换，属于基础题型.12. 已知函数的部分图象如图所示，下述四个结论：①；②；③是奇函数；④是偶函数中，所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①③④C. ②④D. ①②④【答案】D【解析】【分析】根据图像最值，周期，以及五点作图法，求得函数解析式，再对选项进行逐一分析即可.【详解】由图可知，，又函数周期，求得根据五点作图法：，解得故，所以①②正确；，此时函数不是奇函数，所以③错误；，故为偶函数，所以④正确.综上所述，正确的有①②④.故选：D.【点睛】本题考查由函数图像求三角函数解析式，以及三角函数的奇偶性；注意本题中求初相的方法.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在答题卡的相应位置.13. 已知，取值如表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________．【答案】【解析】分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．详解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，∴这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，∴=1×3+1，解得m=.故填.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．14. 已知函数是定义在R上的奇函数，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得，进而得到解析式，代入即可求得结果.【详解】，为上的奇函数，，解得：，又，，，.故答案为：.【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数.15. 若的展开式中的常数项为，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】求出的展开式的通项，令的指数为0，求出常数项，建立的方程，即可求解.【详解】依题意展开式的通项公式为.令，得，所以展开式中的常数项为，解得.故答案为：【点睛】本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.16. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）.【答案】420【解析】【分析】根据题意设五个区域分别为①②③④⑤，再分两步讨论①②③和④⑤的情况，最后由分步计数原理计算即可.【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有种情况；对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有种情况，所以④⑤共有种情况，则一共有种情况.故答案为：420【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：（1）3只全是红球概率；（2）3只颜色全相同的概率；（3）3只颜色不全相同的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】本题考查等可能事件的概率，相互独立事件同时发生的概率，本题解题的关键是看清条件中所给的是有放回的抽样，注意区别有放回和无放回两种不同的情况，本题是一个中档题目（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率，从袋中摸球，摸到红球的概率是1/2，三次有放回到摸球可以看做是三次独立重复试验，根据概率公式得到结果．（2）三只颜色全相同，则可能抽到红色和黄色两种情况，这两种情况是互斥的，根据做出的每个球被抽到的概率和相互独立事件同时发生的概率和互斥事件的概率，得到结果．（3）根据二问做出的结果，三只颜色不全相同，是三只颜色全部相同的对立事件，用对立事件的概率得到结果，或者是用树状图列出的结果求出比值．解：由于是有放回地取球，因此袋中每只球每次被取到的概率均为．Ⅰ、3只全是红球的概率为P1＝··＝．Ⅱ、3只颜色全相同的概率为P2＝2·P1＝2·＝．Ⅲ、3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－＝18. 袋中有个红球，个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得分，取到一个黑球得分，从袋中任取个球.（1）求得分的分布列；（2）求得分大于分的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）【解析】【分析】（1）首先根据题意得到可能取值为，分别计算其概率再求分布列即可.（2）利用即可得到答案.【详解】（1）由题知：可能取值为，,，,.故分布列为：（2）.故得分大于分的概率【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列，同时考查了古典概型，属于简单题.19. 已知，求下列式子的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简式子，然后利用，弦化切，将代入式子简单计算即可.（2）根据分母，将式子进行弦化切，将代入式子简单计算即可【详解】（1）由，所以原式（2）由，所以原式【点睛】本题考查诱导公式的应用以及齐次化化简计算，熟悉公式，掌握齐次化化简计算，考验观察能力，属基础题.20. 已知二项式的展开式中第五项为常数项.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中有理项的系数和.【答案】（1）；（2）121【解析】【分析】（1），为常数项，所以，可求出的值，进而求得二项式系数最大的项；（2）由题意为有理项，直接计算即可.【详解】（1），∵为常数项，∴，∴二项式系数最大的项为第3项和第4项.∴，.（2）由题意为有理项，有理项系数和为.【点睛】本题考查了二项式的展开式，需熟记二项式展开式的通项，属于基础题.21. 已知函数.（1）求函数周期及其单调递增区间；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）首先根据三角恒等变换可得，根据周期公式即可求出周期；然后再令，即可求出函数的单调递增区间；（2）由题意可知，进而，由此即可求出函数的最值.【详解】因为所以；所以的最小正周期为；令，所以所以的单调递增区间为；（2），所以所以，所以的最大值为，最小值为;【点睛】本题主要考查了三角恒等变换和正弦函数的相关性质，属于基础题.22. 某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点图(如下图).表中.（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；（3）若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比，那么为多少时，烧开一壶水最省煤气？附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）选；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据散点图的形状可选择合适的回归模型；（2）将数据代入最小二乘法公式求得，，求得和的值，进而可得出关于的回归方程；（3）设，可得关于的函数关系式，然后利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件．【详解】（1）选更适宜（2）由公式可得：，，所以所求回归方程为；（3）设，则煤气用量，当且仅当时，等号成立，即当时，煤气用量最小．【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解与应用问题，将问题转化为线性回归并利用最小二乘法求解模型是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.23. 某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在A，B实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗．为观测其生长情况，分别在A，B试验地随机抽选各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗．（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在A，B两块实验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（3）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关．附：下面的临界值表仅供参考．5272（参考公式：，其中．）【答案】（1），82.5；（2）分布列见解析，；（3）列联表见解析，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【解析】【分析】（1）根据各段的频率之和为1，可得，然后假设中位数，并根据在中位数的左右两边的频率均为，简单计算，可得结果.（2）假设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X，可知，然后计算相对应颗数的概率，画出分布列，最后根据期望的计算公式，可得结果.（3）先计算出优质花苗的频率，然后可得优质花苗的颗数，进一步得出其他的数据，最后计算，根据表格进行比较，可得结果.【详解】（1）由，解得．令得分中位数为x，由，解得．故综合评分的中位数为82.5．（2）由（1）与频率分布直方图，优质花苗的频率为，即概率为，设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为X，则，；；；．其分布列：所以，所抽取花苗为优质花苗的数学期望．（3）结合（1）与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本中，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示：可得．所以，有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查了分布列以及二项分布，还考查了统计量的计算，重在于掌握公式，考验对数据的处理，属基础题.24. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.【答案】（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,【解析】【分析】（1）依题知一个零件的尺寸在之内的概率，可知尺寸在之外的概率为0.0026，而，进而可以求出的数学期望.（2）（i）判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；（ii）计算，剔除之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差，即为的估计值.【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.因此.的数学期望为.（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii）由，得的估计值为，的估计值为，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除之外的数据，剩下数据的平均数为，因此的估计值为.，剔除之外的数据，剩下数据的样本方差为，因此的估计值为.【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态分布的原则，审清题意，细心计算，属中档题.学2019-2020学年高二数学下学期第一次阶段考试试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列，公差，所以，若，则，不合题意；若，则，不合题意；若，则，符合题意；若，则，不合题意．故选C．【点睛】本题主要考查系统抽样.2. 甲乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队获胜的概率是，没有平局．若采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲队获胜的概率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：“甲队获胜”包括两种情况，一是获胜，二是获胜.根据题意若是甲队获胜，则比赛只有局，其概率为；若是甲队获胜，则比赛局，其中第局甲队胜，前局甲队获胜任意一局，其概率为，所以甲队获胜的概率等于，故选A.考点：相互独立事件的概率及次独立重复试验.【方法点晴】本题主要考查了相互独立事件的概率及次独立重复试验，属于中档题.本题解答的关键是读懂比赛的规则，尤其是根据“采用三局两胜制比赛，即先胜两局者获胜且比赛结束”把整个比赛所有的可能情况分成两类，甲队以获胜或获胜，据此分析整个比赛过程中的每一局的比赛结果，根据相互独立事件的概率乘法公式及次独立重复试验概率公式求得每种情况的概率再由互斥事件的概率加法公式求得答案.3. 已知3件次品和2件正品混在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设事件A表示“第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，分别求出及，代入条件概率公式即可得解.【详解】设事件A表示“第一次取出次品”，事件B表示“第二次取出次品”，P（A），P（AB），则在第一次取出次品的条件下，第二次取出的也是次品的概率是：P（B|A）.故选：C.【点睛】本题考查了条件概率及其运算，考查了计算能力，属于基础题.4. 在正多边形中，只有三种形状能用来铺满一个平面图形而中间没有空隙，分别是正三角形、正方形、正六边形，称之为“正多边形的镶嵌规律”．已知如图所示的多边形镶嵌的图形，在内随机取一点，则此点取自正方形的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出整个的面积以及符合条件的面积，代入几何概型计算公式即可.【详解】解：设小三角形的边长为，每个小三角形的面积为，个小三角形的面积之和为，又因长方形的长为，所以个正方形的面积为，所以此点取自正方形的概率是．【点睛】本题考查几何概型概率计算问题，属于基础题.5. 设，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D. 5【答案】A【解析】【分析】由线性约束条件，画出可行域，结合直线的平移即可求得的最小值.【详解】根据线性约束条件，画出不等式组表示的可行域如图所示：由平移得到，由图可知当目标函数经过点处取得最小值，代入可得为．故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题.6. 2019年4月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（）A. 150种B. 240种C. 300种D. 360种。

2019-2020学年江西省新余市高二下学期期末考试数学(理)试题解析

2019-2020学年江西省新余市高二下学期期末考试数学（理）试题一、单选题 1．已知复数1i 1iz =++，则z =（）A ．12B C ．2D ．2答案：B先利用复数的除法，将1i 1i z =++化简为1122z i =+，再利用模的公式求解. 解：因为11i 11i=i=i 1i 222z -=++++，所以2z ==. 故选：B 点评：本题主要考查复数的运算及复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：A根据充分条件、必要条件的定义，结合双曲线的方程即可判定. 解：因为当3k >时，30k ->，30k +>，方程22133x y k k -=-+表示双曲线；当方程22133x y k k -=-+表示双曲线时，(3)(3)0k k -+>，即3k >或3k <-，不能推出3k >，所以“3k >”是“方程22133x y k k -=-+表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A 点评：本题主要考查了充分条件、必要条件，双曲线的标准方程，属于中档题.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60︒”时，应假设（） A ．三角形的三个内角都不大于60︒B ．三角形的三个内角都大于60︒C ．三角形的三个内角至多有一个大于60︒D ．三角形的三个内角至少有两个大于60︒答案：B根据反证法可知，假设应该否定结论，即可求解. 解：由反证法可知，只需要把结论否定即可，应该假设：三角形的三个内角都大于60︒ 故选：B 点评：本题主要考查了反证法，命题的否定，属于容易题.4．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，2AF p =,则p =（）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：A通过抛物线焦半径公式建立方程，求得结果. 解：根据抛物线焦半径公式可得：622pAF p =+= 所以4p = 本题正确选项：A 点评：本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.5．由y =x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是（）A ．43π B ．2π C ．πD ．2π答案：A将y =1的半圆，从而可得所得旋转体是一个半径为1的球，根据球的体积公式可得结果. 解：由()2y x x =-，得22(1)1(0)x y y -+=≥，此方程表示半径为1的半圆，所以所得旋转体是一个半径为1的球，其体积为334441333R πππ=⨯=. 故选：A. 点评：本题考查了圆的标准方程，考查了球的体积公式，属于基础题. 6．函数2ln x x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．答案：D根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 解：令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x xf x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D 点评：本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.7．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，.即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以x =确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（）A 12BC1 D．1答案：C本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 解：由题意，令12(0)122x x +=>++⋯，即12x x+=，即2210x x --=，解得1x =或1x =（舍去）121122∴+=++⋅⋅⋅，故选：C 点评：本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.8．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --答案：C由题意，依次求出1234(),(),(),()f x f x f x f x ，观察所求的结果，归纳出周期性规律，求解即可解：由题意得，()0sin cos f x x x =+，()10'()cos sin f x f x x x ==-， ()21'()sin cos f x f x x x ==--， ()32'()cos sin f x f x x x ==-+， ()43()sin cos f x f x x x ==+，以此类推，可得()4()n n f x f x +=，所以()20200()sin cos f x f x x x ==+，故选：C. 点评：此题考查三角函数的导数，关键是通过求导计算分析其变化的规律，属于中档题. 9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且()1'2f x >恒成立，则不等式()22122x f x<+的解集为( ) A ．(),1-∞- B ．()1,+∞C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()1,1-答案：D令2t x =，则()22122x f x <+，即为()122t f t <+，即()1022t f t --<设()()1122g x f x x =--，则()()12g x f x ''=-，因为对于任意的x ∈R ，都有()12f x '>成立，所以对任意x ∈R ，都有()0g x '>，所以()()1122g x f x x =--为单调递增函数，且()()1111022=--=g f ，所以()1022t f t --<的解集为1t <，即21x <，即11x -<< 所以不等式()22122x f x <+的解集为(1,1)-，故选D.点睛：本题考查了函数的综合应用问题，以及不等式的求解，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质——单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )A ．110B．25C．30D．22答案：C以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线1CC为z轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B，11(,,1)22M，A（1，0，0），1(,0,1)2N，故11(,,1)22BM=-，1(,0,1)2AN=-，所以cos,BM ANBM ANBM AN⋅〈〉==⋅3465=⋅3010，故选C.【考点】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.11．设双曲线()2222100x yC a ba b-=：＞，＞的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M为线段PQ的中点，若P，Q，F1都在以M为圆心的圆上，且1PQ MF⋅=，则双曲线C的离心率为（）A2B．2C3D．3答案：C判断PQ⊥MF1，则|PF1|＝QF1|，说明三角形PF1Q是等腰直角三角形，设|PF1|＝t，利用双曲线的定义求出|PF2|()222a=，在Rt△MF1F2中，结合勾股定理推出3＝2c，即可求解双曲线C的离心率．解：以PQ 为直径的圆经过点F 1，则12PF Q π∠=，又10PQ MF ⋅=，可知PQ ⊥MF 1，则|PF 1|＝|QF 1|，故三角形PF 1Q 是等腰直角三角形，设|PF 1|＝t ，则|PQ|=，由双曲线的定义可知：|PF 2|＝t +2a ，|QF 2|＝t ﹣2a ，可得|PQ |＝4a ，t ＝4a ，即t ＝a ，则：|PF 2|()2a =，在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|12PQ ==2a ，|MF 2|＝|PF 1|﹣|PM |＝a ，由勾股定理可知|F 1F 2|＝＝2c ，则双曲线C 的离心率为：e ca== 故选：C ．点评：本题考查双曲线的定义，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．12．若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为( ) A ．23e -B ．22e -C ．21e -D ．1e-答案：A122112x x x e x e a x x -<-恒成立等价于1212x x e a e a x x ++>恒成立，令()x e af x x+=，可得出(1)x a e x ≥-，再令(())1x g e x x -=，可得()max g x a ≥，然后利用导数求()max g x 即可.解：对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，可知120x x <<，则122112x x x e x e a x x -<-恒成立等价于211221()x xx e x e a x x >--，即1212x x e a e a x x ++>，令()x e a f x x +=，则函数()x e af x x+=在[)2,0-上为减函数，∴()21()0x e x af x x--'=≤，∴(1)x a e x ≥-，再令(())1xg e x x -=，[)2,0x ∈-，∴()0xg x xe '=<，∴()g x 在[)2,0-上为减函数， ∴23()(2)max g x g e=-=-， ∴a 23e≥-，故选：A . 点评：本题考查利用导数研究函数的恒成立求参问题，考查分析和转化能力，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.二、填空题13．函数()3f x x ax =+（R x ∈）在1x =处有极值，则曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________．答案：30x y += 解：2()3(1)303(0)3,3f x x a f a a k f y x =+⇒=+=⇒=-∴==-'=-'',则曲线()y f x =在原点处的切线方程是30x y +=.故答案为：30x y +=14．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为()1,3,u z →=，向量()3,2,1v →=-与平面α平行，则z =______. 答案：3根据向量的垂直关系计算即可. 解：因为直线l 与平面α垂直，()1,3,u z →=为直线l 的一个方向向量，向量()3,2,1v →=-与平面α平行，所以0u v →→⋅=，即()()1,3,3,2,13630z z z ⋅-=-+=-=，解得3z = 故答案为：3 点评：本题主要考查了向量垂直的坐标运算，考查了直线的方向向量，属于容易题. 15．已知()'f x 是函数()y f x =的导函数，定义()''f x 为()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的拐点，经研究发现，所有的三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设()325g x x ax bx =-+-，若点()1,3-是函数()y g x =的“拐点”也是函数()g x 图像上的点，则)3bx ae dx -=⎰______.答案：14e π+-根据新定义拐点可求出,a b ，利用定积分的几何意义及定积分的运算分别求出3⎰和433x e dx -⎰即可.解：()325g x x ax bx =-+-，()232g x x ax b '∴=-+，()62g x x a ''=-，由()620g x x a ''=-=，可得13ax ==，解得3a =，因为点()1,3-是函数()y g x =的“拐点”，所以(1)1353g b =-+-=-，解得4b =，所以))44333333bx x x aedx edx e dx---==+⎰⎰⎰⎰，由21(3)x y --=可得，22(3)1x y -+=，当34x ≤≤，0y ≥时，对应圆中的部分面积为4π，由定积分的意义可知，4321(3)4x dx π--=⎰，4433343331|1x x x e e dx e dx e e e -===-⎰⎰，()23431(3)14x x e dx e π-∴--+=+-⎰，故答案为：14e π+-点评：本题主要考查了函数的新定义，导数的运算，定积分的定义，运算，考查了转化思想，运算能力，属于难题.16．如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A ，B ，AC ，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD 的长为_________．答案：217解：∵在一个60°的二面角的棱上，有两个点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB=4cm ，AC=6cm ，BD=8cm ，()22222222CD CA AB BDCA AB BD CA AB CA BD AB BD ∴=++=+++⋅+⋅+⋅361664268cos12068=+++⨯⨯⨯︒=217CD ∴=故答案为17三、解答题17．已知实数0m >，p ：(2)(3)0x x +-≤，q ：22m x m -≤≤+ （1）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若2m =，p q ⌝∧为真命题，求实数x 的取值范围．答案：(1) 01m <<（2）(3,4][4,2)x ∈⋃--试题分析：（1）q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，转化为p 是q 的必要不充分条件，进而转化为集合的包含关系即可；（2）“p q ⌝∧”为真命题，则p ⌝为真，q 为真，分别求出满足条件的参数值，取交集即可．解析：（1）因为p ：23x -≤≤；又q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件，则23,22m m +≤⎧⎨-≥-⎩，得1m ≤，又1m =时p q ⇔，所以01m <<．（2）当2m =时，q ：44x -≤≤，p ⌝：3x >或2x <-．因为p q ⌝∧是真命题，所以44,32,x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或则][()3,44,2x ∈⋃--．18．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且22n a n n=+．（1）试求出1S ， 2S ， 3S ， 4S ，并猜想n S 的表达式．（2）用数学归纳法证明你的猜想．答案：(1) 11S =,243S =,332S =,485S =,21n n S n =+. （2）证明见解析. 试题分析：（1）根据22n a n n=+，求出1234,,,,a a a a ，从而可求出1S ，2S ，3S ，4S ，观察规律，可猜测21n nS n =+；（2）首先验证当1n =时，121111S ⨯==+，等式成立，然后假设当n k =时，等式成立，即21k k S k =+，只需证明当1n k =+时，()()112111k k k k S S a k +++=+=++即可.试题解析：（1）11212S a ===， 21224163S S a =+=+=， 323413362S S a =+=+=，4343282105S S a =+=+=，猜测21n nS n =+．（2）证明：当1n =时，121111S ⨯==+，等式成立，假设当n k =时，等式成立，即21k kS k =+，则当1n k =+时，11k k k S S a ++=+()()222111k k k k =+++++ ()()22112k k k k =++++ 222112k k k k =+-+++ 222222k k k +=-=++ ()()2111k k +=++，即当1n k =+时，等式也成立，故对一切*n N ∈，21n nS n =+． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.答案：（Ⅰ）见解析；分析：（1）先证明AB PD ⊥，PA PD ⊥，再证明PD ⊥平面PAB .(2)利用向量方法求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.详解：（Ⅰ）因为，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥，又因为PA PD ⊥，所以PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥.又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO CO ⊥. 因为AC CD =，所以CO AD ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0D -，()0,0,1P .设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则00n PD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020y z x z --=⎧⎨-=⎩，令2z =，则1x =，2y =-. 所以()1,2,2n =-.又()1,1,1PB =-，所以cos ,n PB n PB n PB⋅==-. 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.点睛：（1）本题主要考查线面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在,平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）•sin AB n AB nα=，其中AB 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.20．把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x ,容积为(x)V ．（1）写出函数(x)V 的解析式，并求出函数的定义域；（2）求当x 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.答案：（Ⅰ）23()23)V x a x x =-，定义域为3)．（Ⅱ3时，容器的容积最大为3154a . 试题分析：（Ⅰ）根据容器的高为x ，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V （x ）的解析式，函数的定义域；（Ⅱ）实际问题归结为求函数V （x ）在区间30,6a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上的最大值点，先求V （x ）的极值点，再确定极大值就是最大值即可试题解析：（Ⅰ）因为容器的高为x ，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(3)a x -则23()23)V x a x x =-.函数的定义域为3(0,)6a . （Ⅱ）实际问题归结为求函数(x)V 在区间3(0,)a 上的最大值点. 先求(x)V 的极值点.在开区间3(0,)a 内，223'()936V x x ax a =-+ 令'()0V x =，即令2239360x ax a -+=，解得1233,?()x a x a ==舍去. 因为13x a =在区间3(0,)a 内，1x 可能是极值点. 当10x x <<时，'()0V x >；当136x x a <<时，'()0V x <. 因此1x 是极大值点，且在区间3(0,)6a 内，1x 是唯一的极值点，所以13x x a ==是(x)V 的最大值点，并且最大值331()54f a a = 即当正三棱柱形容器高为3a 时，容器的容积最大为3154a .【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用21．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为6，A 为椭圆E 上位于第一象限上的点，B 为椭圆E 的上顶点，直线AB 与x 轴相交于点C ，AB AO =，BOC 的面积为6．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线l 过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于M 、N 两点（M 、N 在直线OA 的同侧），若CAM OAN ∠=∠，求直线l 的方程.答案：（Ⅰ）22124x y +=1；（Ⅱ）x ﹣y ﹣=0．（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和a 、b 、c 的关系，结合三角形的面积公式和线段的中点坐标公式，解方程可得a 、b ，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）求得A 的坐标和右焦点坐标，运用等腰三角形的性质，可得线AM 、AN 的斜率互为相反数，设直线():13AM y k x -=-，联立椭圆方程22312x y +=，运用韦达定理，求得1x ，同理可得2x ，再由直线的斜率公式，化简整理，即可得到k ，进而得到所求直线方程．解：（Ⅰ）椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，即3c e a ==，可得2a =，2b ==，由AB AO =，可得1,22A a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为BC 的中点，所以6ABCSb =⋅=，即ab =所以22c ⋅=c =a =2b =，所以椭圆E 的方程为22124x y +=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()3,1A ，右焦点为()，因为AB AO =，所以ABO AOB ∠=∠，所以AOC ACO ∠=∠，又CAM OAN ∠=∠，直线AM 、AN 的斜率互为相反数，设直线():13AM y k x -=-，联立椭圆方程22312x y +=，消去y ，可得()()22231613271890k x k k x k k ++-+--=，设()11,M x y 、()22,N x y ，则21227189313k k x k --=+，所以21296313k k x k--=+，将k 换为k -，同理可得22296313k k x k +-=+，212218613k x x k -+=+，2121213k x x k -=+， ()()()2221212121212121866313161311213MNk k k kx k kx k k x x k y y k k k x x x x x x k --⋅+-++--+-++-+=====---+，所以直线l的方程为0y x -=-0x y --=．点评：本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 22．已知()()21ln 112a x a x f x =+-+（a ∈R ）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()12211212x f x x f x mx x x x ->-，求实数m 的取值范围.答案：（1）见解析；（2）5112e m ≤-. （1）求出导函数，通过①当1a 时，②当01a <<时，③当0a 时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（2）当1a =-时，2()ln 1f x x x =--+，不妨设120x x <<，则12211212()()||x f x x f x mx x x x ->-等价于212121()()||()f x f x m x x x x ->-，考查函数()()f x g x x =，求出导函数，令22ln 2()x x h x x --=，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明()g x 在(0,)+∞上单调递减．得到1122()()g x mx g x mx +>+恒成立，设()()x g x mx ϕ=+，则()x ϕ在(0,)+∞上恒为单调递减函数，然后转化求解m 的范围即可．解：（1）()()()211a x a aa x x x xf -+='+-=（0x >）.①当1a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；②当01a <<时，()()1a x f xx x ⎛- ⎝⎭⎝⎭'=，所以当x >()0f x '<，当0x <<()0f x '>，所以()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫⎪+∞⎭⎪上单调递减； ③当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减.（2）当1a =-时，()2ln 1x x f x =--+，不妨设120x x <<，则()()12211212x f x x f x mx x x x ->-等价于()()()212121f x f x m x x x x ->-，考查函数()()f x g x x =，得()22ln 2x x x x g --'=，令()22ln 2x h x x x --=，()352ln x x x h -'=，则520,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，52e ,x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间520,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，在区间52,e ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减函数. 故()5251e 102eg g x ⎛⎫'=-< ⎪⎝'⎭≤，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.从而()()12g x g x >，即()()2121f x f x x x <，故()()()122112f x f x m x x x x ->-，所以()()121212f x f x mx mx x x +>+，即()()1122g x mx g x mx +>+恒成立，设()()x g x mx ϕ=+，则()x ϕ在()0,∞+上恒为单调递减函数，从而()()0x g x m ϕ''=+≤恒成立，故()()51102e x m g x m ϕ'≤-'++≤=，故5112em ≤-. 点评：本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查学生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查学生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力.。

江西省第一中学高二数学下学期第一次段考试题理

江西省新余市第一中学2021学年高二数学下学期第一次段考试题理一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知复数z 满足3(12)12i z i +=+（i 为虚数单位），则z 共轭复数z 等于（） A.3455i + B. 3455i -+ C. 3455i - D. 3455i --2．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是（） A ．OM OA OB OC =++ B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =++ D ．111333OM OA OB OC =++ 3．设,,0x y z >，1114,4,4a x b y c z y z x=+=+=+，则,,a b c 三个数（）A ．都小于4B ．至少有一个不大于4C ．都大于4D ．至少有一个不小于44．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞5．已知点(3,0)A -和(3,0)B ，动点M 满足4MA MB -=，则点M 的轨迹方程是（）A ．221(0)45x y x -=<B ．221(0)45x y x -=>C ．221(0)95x y x -=<D ．221(0)95x y x -=>6．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦,AB CD ,则11AB CD+=（） A ．2 B ．4 C ．12 D ．147．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：340x y -=交椭圆E 于A ，B 两点，若||||6AF BF +=，点M 与直线l 的距离不小于85，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ．22B ．5C ．6D ．22[8．已知()2e e xx f x x=-，()()0m g x mx m x =+>，对任意()0,x ∈+∞，不等式()()f xg x <恒成立，则m 的取值范围为（） A ．()1,+∞B ．e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭C ．2e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭D ．()4,+∞9．设点P 是曲线3335y x x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,,23πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上的三个点，AB 经过坐标原点O ，AC经过双曲线右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（） A ．53B 17C ．172D ．9411．下列命题中正确命题的个数是（）(1)若函数()y f x =的定义域D 最新原点对称,则()y f x =为偶函数的充要条件为对任意的()()x D f x f x ∈=-，都成立；(2)若函数()y f x =的定义域D 最新原点对称,则“()00f =”是“()f x 为奇函数”的必要条件；(3)函数()f x 对任意的实数x 都有()()1f x f x +＜，则()f x 在实数集R 上是增函数； (4)已知函数()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()tf x x x =+（x ＞0）过点(1,0)P y=()f x 作曲线的两条切线,PM PN ， ,M N 切点分别为，()g t MN =设， n 若对任意的正整数， 642n+n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在区间内，121121,,,(m 1)()()()m m m a a a g a g a g a g a ++++++使得不等在＜总个式存数，m 则的最大值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年高二下学期第一学段考试数学(理)试题含答案

2019-2020年高二下学期第一学段考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有四个选项，只有一个是正确的，把你认为正确的一个选项填入到答题卡上） 1.设集合，，则A. B. C. D.2.已知为虚数单位，则复数的实部与虚部的和是A. B. C. D.3.命题：“使”的否定是A.不存在B.C.D.4.的值是A. B. C. D.5.函数的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的单调递减区间是 A. B.C.D.6.在平行六面体中，若，则A. B.C.D.7. 函数A.是偶函数,且在上是减函数B.是偶函数,且在上是增函数C.是奇函数,且在上是减函数D.是奇函数,且在上是增函数A BCD11B 1C 1D8. 执行右图的程序框图，若输入的是，则输出的的值为A. B. C.D.9. 已经直线和平面则下面命题正确的是A.若则B.若则C.若则D. 若则10.曲线在处的切线的方程是A. B. C. D. 11.已知，是的导函数，若，则的值是A.B.C.D.12.在中，，、边上的高分别为、，则以、为焦点且过、的椭圆与双曲线的离心率之和为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请把你的答案填到答题卡上）13. 若函数,则14. 函数的单调递增区间是 15. 。

16.如图，满足条件的区域的面积是。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题12分）在中，角、、所对的边分别为、、并且满足。

（1）求的值；（2）求用角表示，并求它的最大值。

18.（本题10分）已知数列对任意都有，且。

（1）求，和的值；（2）求数列的通项公式。

19. （本题12分）一个盒子中装有大小和质感完全相同的两个红球和一个白球，某人从中随机摸取两个球。

在取得的两个球中，红球记一分，白球记两分。

（1）求此人恰好得2分的概率。

（2）这个人一次摸两球所得的分值是一个变量，用表示，显然这里所有可能的取值是和，记表示一次摸两个球得分的概率，，的值。

江西省新余市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次段考数学(理)试题 Word版含答案

2019-2020学年新余一中高二下学期第一次段考数学试卷一、选择题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知复数z 满足3(12)12i z i +=+（i 为虚数单位），则z 共轭复数z 等于（） A.3455i + B. 3455i -+ C. 3455i - D. 3455i --2．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是（）A ．OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rB ．23OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rC ．111222OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u rD ．111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r3．设,,0x y z >，1114,4,4a x b y c z y z x=+=+=+，则,,a b c 三个数（） A ．都小于4 B ．至少有一个不大于4 C ．都大于4 D ．至少有一个不小于4 4．若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞5．已知点(3,0)A -和(3,0)B ，动点M 满足4MA MB -=，则点M 的轨迹方程是（）A ．221(0)45x y x -=<B ．221(0)45x y x -=>C ．221(0)95x y x -=<D ．221(0)95x y x -=>6．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦,AB CD ,则11AB CD+=（） A ．2B ．4C ．12D ．147．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：340x y -=交椭圆E 于A ，B 两点，若||||6AF BF +=，点M 与直线l 的距离不小于85，则椭圆E 的离心率的取值范围是（）A ．(0,3B ．(0,3C ．[3D ．[,1)38．已知()2e e xx f x x=-，()()0m g x mx m x =+>，对任意()0,x ∈+∞，不等式()()f xg x <恒成立，则m 的取值范围为（） A ．()1,+∞B ．e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭C ．2e ,e 1⎛⎫+∞⎪-⎝⎭D ．()4,+∞9．设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α,则角α的取值范围是（）. A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．20,,23πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知,,A B C 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的三个点，AB 经过坐标原点O ，AC经过双曲线右焦点F ，若BF AC ⊥且2AF CF =，则该双曲线的离心率是（）A ．53B C ．2D ．9411．下列命题中正确命题的个数是（）(1)若函数()y f x =的定义域D 关于原点对称,则()y f x =为偶函数的充要条件为对任意的()()x D f x f x ∈=-，都成立；(2)若函数()y f x =的定义域D 关于原点对称,则“()00f =”是“()f x 为奇函数”的必要条件；(3)函数()f x 对任意的实数x 都有()()1f x f x +＜，则()f x 在实数集R 上是增函数； (4)已知函数()()2ln 2a f x x x x x a a R =--+∈在其定义域内有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．1B ．2C ．3D ．412．已知函数()tf x x x =+（x ＞0）过点(1,0)P y=()f x 作曲线的两条切线,PM PN ，,M N 切点分别为，()g t MN =设， n 若对任意的正整数， 642n+n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在区间内，121121,,,(m 1)()()()m m m a a a g a g a g a g a ++++++L L 使得不等在＜总个式存数，m 则的最大值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省新余市2019-2020学年高考第一次质量检测数学试题含解析

江西省新余市2019-2020学年高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =I （）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}- 【答案】A【解析】【分析】化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解.【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ， {|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =I .故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥，所以函数在[]0,2π上单调递增，令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-，根据三角函数的性质，当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小，当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥，所以函数在[]2,0π-上单调递增，令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大，当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 3．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（）A ．4a mB ．2a m +C ．2a m m +D ．42a m m+ 【答案】D【解析】【分析】由试验结果知m 对0～1之间的均匀随机数,x y ，满足0101x y <<⎧⎨<<⎩，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对(,)x y ，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计π的值．【详解】解：根据题意知，m 名同学取m 对都小于1的正实数对(),x y ，即0101x y <<⎧⎨<<⎩，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数,x y 能与1构成钝角三角形三边，则有22110101x y x y x y ⎧+<⎪+>⎪⎨<<⎪⎪<<⎩，其面积142S π=-；则有142a m π=-，解得42a m mπ+= 故选：D ．【点睛】本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.4．直三棱柱111ABC A B C -中，12CA CC CB ==，AC BC ⊥，则直线1BC 与1AB 所成的角的余弦值为（）AB．CD ．35【答案】A【解析】【分析】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，可证1//AB BD ，得到1C BD ∠（或补角）为所求的角，分别求出111,,BC AB C D ，解1C BD V 即可.【详解】设122CA CC CB ===，延长11A B 至D ，使得111A B B D =，连1,BD C D ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111//,AB A B AB A B =，11//,AB B D AB B D ∴=，四边形1ABDB 为平行四边形，1//AB BD ∴，1C BD ∴∠（或补角）为直线1BC 与1AB 所成的角，在1Rt BCC △中，1BC ==在111Rt A B C △中，11111A B B AC ==∠=，在11AC D V 中， 22211111111112cos 420168C D A C A D A C A D B A C =+-⋅∠=+-=，在11Rt AA B △中，113,3AB BD AB ==∴==，在1BC D V 中，22211115985cos 2565BC BD C D C BD BC BD +-+-∠===⋅. 故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题. 5．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2AB ，E 为AD 的中点，若(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则λ＋μ的值为（）A ．65B ．85C ．2D ．83【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示,,CA CE DB u u u r u u u r u u u r ，利用(,)CA CE DB R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB ＝1，则CD ＝AD ＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB ∴=-=-=u u u r u u u r u u u rCA CE DB λμ=+u u u r u u u r u u u r Q∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，2222λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6525λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则85λμ+=. 故选：B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.6．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（）A ．84B ．54C ．42D ．18【答案】C【解析】【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻，将2节语文课和2节数学课分别捆绑，然后在剩余3节课中选1节到上午，由于2节英语课不加以区分，此时，排法种数为1233232218C A A A =种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但2节语文课不加以区分，2节数学课不加以区分，2节英语课也不加以区分，此时，排法种数为14242224C A A =种. 综上所述，共有182442+=种不同的排法.故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．7．已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b-=>>的焦距为2c ，若M 的渐近线上存在点T ，使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直，则双曲线M 的离心率的取值范围是（）A ．(1,2]B ．(2,3]C ．(2,5]D ．(3,5] 【答案】B【解析】【分析】由b a >可得2e >；由过点T 所作的圆的两条切线互相垂直可得2TF a =,又焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,则2TF a b =≥,进而求解.【详解】 b a >Q ,所以离心率212c b e a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭, 又圆222()a c y x +=-是以(c,0)F 为圆心,半径r a =的圆,要使得经过点T 所作的圆的两条切线互相垂直,必有2TF a =,而焦点(c,0)F 到双曲线渐近线的距离为b ,所以2TF a b =≥,即2b a ≤, 所以213c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭≤,所以双曲线M 的离心率的取值范围是(2,3]. 故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.8．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.9．已知函数()x f x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（）A ．12e -B ．14e -C ．1e -D ．2e- 【答案】A【解析】【分析】求导得到'()x f x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=. 故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：A .【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】由图象可以求出周期，得到ω，根据图象过点3(,1)4-可求ϕ，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】由图象知51=1244T -=，所以2T =，22πωπ==，又图象过点3(,1)4-，所以31sin()4πϕ-=+，故ϕ可取34π，所以3()sin()4f x x ππ=+令322,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈，解得5122,44k x k k Z -≤≤-∈ 所以函数的单调递增区间为512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦ 故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.11．已知斜率为2的直线l 过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则p ＝（）A ．1B ．C ．2D ．4 【答案】C【解析】【分析】设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，与抛物线联立利用韦达定理可得p ．【详解】由已知得F （2p ，0），设直线l 的方程为x ＝12y 2p +，并与y 2＝2px 联立得y 2﹣py ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点C （x 0，y 0），∴y 1+y 2＝p ，又线段AB 的中点M 的纵坐标为1，则y 012=（y 1+y 2）＝12p =，所以p=2, 故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．12．复数5i 12i +的虚部是 ( ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i+的虚部是1 ，故选C. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江西省新余市第一中学2019-2020学年高二数学4月月考试题(PDF)(含答案)

3
1
B．向右平移 6 个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的 3 倍
1
C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
3
3
D．向左平移 6 个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的 3 倍
5．函数 f (x) 在定义域 R 内的导函数为 f (x) ，若 f (x) f (x), a e 4 f (2),b ef (1) ， c f (2) ，
13．点 P0 是曲线 y 3ln x x k （ k R ）图象上的一个定点，过点 P0 的切线方程为 4x y 1 0 ，
则实数 k 的值为______.
14．下列说法中正确的序号是__________．
①若 2x 1 i y 3 yi ，其中 x R ，
2x 1 y
y
CC
2．若 f x cos2 x sin2 x ，则 f x （）
2
2
A． sin x B． sin x
C． cos x D． cos x
3．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 F( 7,0) ，直线 y x 1与其相交于 M ，N 两点，若 MN 中
点的横坐标为 2 ，则此双曲线的方程是 3
最短距离为______.
16．点 P 在双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0) 的右支上，其左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，直线 PF1 与
以坐标原点 O 为圆心、 a 为半径的圆相切于点 A ，线段 PF1 的垂直平分线恰好过点 F2 ，则该双
曲线的渐近线的斜率为__________．
A． a c b
B． b a c
C． a b c
D． c b a
6．函数 f x mx3 2x 在 1, 4上单调递增的一个充分不必要条件是（）

【数学】江西省新余市第一中学2019-2020学年高二4月月考试题

参考答案第I 卷（选择题)一、单选题1．已知i 是虚数单位，a ，b R ∈，则“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算性质，分别判断“1a b ==” ⇒ “2(i)2i a b +=”与“1a b ==” ⇐ “2(i)2i a b +=”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．【详解】解：当“1a b ==”时，“22()(1)2a bi i i +=+=”成立，故“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分条件；当“222()22a bi a b abi i +=-+=”时，“1a b ==”或“1a b ==-”，故“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的不必要条件；综上所述，“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”的充分不必要条件；故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．2．若()22cos sin 22x x f x =-，则()f x '=（） A ．sin x - B ．sin xC ．cos x -D ．cos x 【答案】A【解析】【分析】整理函数为()22cos sin cos 22x x f x x =-=，由三角函数求导公式得答案. 【详解】因为()22cos sin cos 22x x f x x =-=，则()sin f x x '=- 故选：A【点睛】本题考查对函数求导，属于基础题.3．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A ．22134x y -= B ．22143x y -= C ．22152x y -= D ．22125x y -= 【答案】D【分析】根据点差法得2225a b=，再根据焦点坐标得227a b +=，解方程组得22a =，25b =，即得结果.【详解】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-= ()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（） 2523b ⨯-（），即2225a b =，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．【点睛】本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.4．要得到函数()sin(3)3f x x π=+的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像（）A ．向右平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍 B ．向右平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 C ．向左平移3π个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的13倍 D ．向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍【答案】D【分析】先求得()'f x ，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】依题意()'553cos 33cos 33sin 33626f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3sin 363x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以由()sin(3)3f x x π=+向左平移6π个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到()'fx 的图像. 故选：D【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题. 5．函数()f x 在定义域R 内的导函数为()f x '，若4()(),(2),(1)f x f x a e f b ef '>=-=，(2)c f =A ．a c b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >> 【答案】D【解析】【分析】由题得()[]0x f x e '>，设()()x f x g x e=，得函数g(x)在R 上是增函数，再利用函数的单调性分析得解.【详解】由题得()()0,f x f x '->所以()e ()e 0,x xf x f x '-> 所以()[]0x f x e '>，设()()xf xg x e =，所以函数g(x)在R 上是增函数，所以(2)(1)(2)g g g >>-，所以212(2)(1)(2)f f f e e e-->>，所以c b a >>.故选：D【点睛】本题主要考查导数的运算和性质，考查函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．函数()32f x mx x =+在[]1,4上单调递增的一个充分不必要条件是（） A ．23m ≤- B ．0m ≥ C ．23m ≥- D ．124m ≥- 【答案】B【解析】【分析】先根据解析式求得导函数，并分离参数后结合定义域内函数的单调性即可求得m 的取值范围，进而由充分不必要条件的性质即可得解.【详解】函数()32f x mx x =+，则()232f x mx '=+，故2320mx +≥在[]1,4上恒成立，故223m x≥-，因为223y x =-在[]1,4上单调递增，故124m ≥-，结合选项可知1024m m ≥⇒≥-，反之不成立，故选：B.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，充分必要关系的判断及参数求法，属于中档题. 7．已知函数2()ln(1)f x m x x mx =++-在(1,)+∞上不单调，则m 的取值范围是（） A ．(4,)+∞B ．(,4]-∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】A【解析】【分析】求导22()2()1m x x f x x '--=+，函数不单调，212m ->解得答案. 【详解】222()2(2)2()2111m x x m x m x f x x m x x x '--+-=+-==+++.因为()f x 在(1,)+∞上不单调，所以212m ->，故4m >. 故答案为A【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力.8．函数()xe f x x=的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9．过抛物线24y x =上的焦点F ，作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，已知32AF =，则BF =（）A ．2B ．3C ．13D ．12【答案】B【解析】【分析】()()1122,,,A x y B x y ，不仿设10y >，由131122x A ⎛+=⇒ ⎝，求出直线AF 的方程与抛物线方程联立可得B 坐标，结合抛物线定义可得结果.【详解】()()1122,,,A x y B x y ，不仿设10y >，因为32AF =，由抛物线的定义可知，AF 等于A 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离，即113111,,222x x A ⎛+== ⎝，直线AF：()1,112y x =--即为)1y x =--，与24y x =可得，22520x x -+=，解得22x =，BF =22132p x +=+=，故选B.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 10．双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作一条直线与两条渐近线分别相交于,A B 两点，若112F B F A =，122F F OB =，则双曲线的离心率为（）AB C ．2 D ．3【答案】C【解析】【分析】【详解】如图所示，连接2F B ，又由122F F OB =，且O 为12F F 的中点，所以01290F BF ∆=，因为112F B F A =，即112F B F A =，所以A 为线段1F B 的中点，又由于O 为12F F 的中点，所以2//OA F B ，所以1OA F B ⊥，所以1AOF AOB ∠=∠，又由直线OA 与OB 是双曲线的两条渐近线，则12AOF BOF ∠=∠，所以0260BOF ∠=，则2tan b BOF a=∠=，所以双曲线的离心率为2c e a ===，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到,a b 的关系式，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.11．设经过点(3,1)M 的等轴双曲线的焦点为1F ，2F ，此双曲线上一点N 满足12NF NF ⊥，则12NF F △的面积为（）A ．4B ．8C ．12D ．16【答案】B【解析】【分析】设双曲线方程为22x y λ-=,代点M 入方程即可求出双曲线方程,从而得到12NF NF -=128F F =,再结合勾股定理即可求出12NF NF ⋅,从而求出12NF F △的面积.【详解】设等轴双曲线方程为22x y λ-=,将点()3,1M 代入可得8λ=, ∴双曲线标准方程为22188x y -=,∴12NF NF -=128F F =,又12NF NF ⊥,所以2221212NF NF F F += ∴()2222121212121222NF NF NF NF NF NF F F NF NF -=+-=-, 即1232642NF NF =-⋅, ∴1216NF NF ⋅=,∴12NF F △的面积为12182S NF NF ==, 故选:B.【点睛】本题考查双曲线的标椎方程及其基本性质的应用,需要学生具备一定的计算推理能力. 12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在底面ABCD 内运动，使得△1ACM 的面积为13，则动点M 的轨迹为（） A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．一段圆弧D ．一条线段【答案】A【解析】【分析】分析可知动点M 到弦1A C 的距离为定值,再分析所有动点M 的轨迹与面ABCD 的交线形状即可.【详解】易得1AC =,又1ACM ∆的面积为13,设M 到弦1A C 的距离为h ,则1112233AC h h ⋅=⇒=为定值.故点M 在以1A C 为中轴线,底面半径为23的圆柱的侧面上. 故动点M 的轨迹是平面ABCD 截该圆柱所得的截痕,因为平面不垂直于1A C ,且该平面与圆柱的截痕为封闭图形,故平面ABCD 与该圆柱的截痕为椭圆,又点M 在底面ABCD 内运动,故截痕是椭圆的一部分.故选：A【点睛】本题主要考查了空间中动点的轨迹问题,需要根据题意求得动点的所有轨迹,再分析与平面的截痕,属于基础题.第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．点0P 是曲线3ln y x x k =++（k ∈R ）图象上的一个定点，过点0P 的切线方程为410x y --=，则实数k 的值为______.【答案】2【解析】【分析】求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点0P 横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得k ．【详解】设0(,)P x y ，由题意31y x '=+，∴314x+=，1x =，4113y =⨯-=，即0(1,3)P ， ∴33ln11k =++，2k =．故答案为：2．【点睛】本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．14．下列说法中正确的序号是__________．①若()()213x i y y i -+=--，其中x R ∈， C y C R ∈，则必有()221{13y x y-==--②21i i +>+③虚数上的点表示的数都是纯虚数④若一个数是实数，则其虚部不存在 ⑤若1z i =，则31z +对应的点在复平面内的第一象限．【答案】⑤【解析】①若()()21i 3i x y y -+=--,其中R,,C x y C R ∈∈令i y b =，则必有21{13x b b-=-=-，不是()21{13x y y -==--，所以①不正确；②2i 1i +>+，不正确，复数不能比较大小；③虚数上的点表示的数都是纯虚数，必须除去原点，所以③不正确；④若一个数是实数，则其虚部不存在，不正确，虚部为0，不是不存在；⑤若1z i=，则331i 111i+1i 1z +=+=+=， 31z +对应的点在复平面内的第一象限，⑤正确.故答案为⑤. 15．已知函数()()2x f x e x a =+的极小值点为12x =-，则()f x 的图像上的点到直线30x y --=的最短距离为______.【解析】【分析】因为()()2x f x e x a =+，可得()(2)2(22)x x x f x e x a e e x a '=++=++，当22a x +>-时，()0f x '>，当22a x +<-时，()0f x '<，根据函数()f x 的极小值点为2122a x +=-=-，结合已知，即可求得答案.【详解】()()2x f x e x a =+∴()(2)2(22)x x x f x e x a e e x a '=++=++ 当22a x +>-时，()0f x '> 当22a x +<-时，()0f x '<∴函数()f x 的极小值点为2122a x +=-=- 1a ∴=-作直线0x y m -+=与函数()f x 的图象相切设切点坐标为()00,x y()()000211x f x e x '=+=000,1x y ∴==-∴切点(0,1)-到直线30x y --==而图象的最低点121,22e -⎛⎫-- ⎪⎝⎭到直线30x y --=的距离为：=>∴()f x 的图象上的点到直线30x y --=的最短距离为切点(0,1)-到直线30x y --=【点睛】本题主要考查了求直线到曲线的最短距离，解题关键是掌握根据导数求极点的方法和求曲线到直线最短距离方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题．16．点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上，其左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、a 为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的渐近线的斜率为__________．【答案】43± 【解析】如图， A 是切点， B 是1PF 的中点，因为||OA a =，所以22BF a =，又122F F c =，所以12BF b =， 24PF b =，又2122PF F F c ==，根据双曲线的定义，有122PF PF a -=，即422b c aa -=，两边平方并化简得223250c ac a --=，所以53c a =，因此43b a ==.三、解答题17．已知函数()1f x x a x =++-.（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()5f x x ≤-的解集包含[]0,2，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),37,x ∈-∞-+∞（2）40a -≤≤ 【解析】【分析】（1）按21,21,x x x ≤-≥-<<进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，按[]0,1x ∈和(]1,2x ∈分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的a 的范围，再取交集，得到答案.【详解】解：（1）当2a =时，()218f x x x x =++-≥+等价于1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩，解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-，所以不等式的解集为：(][),37,x ∈-∞-+∞.（2）依题意即()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，当[]0,1x ∈时，15x a x x ++-≤-，即4x a +≤，所以44a x a --≤≤-对[]0,1x ∈恒成立 ∴4014a a --≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤；当(]1,2x ∈时，15x a x x ++-≤-，即62x a x +≤-，6226x a x x ≤+≤-- 所以636a x x a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(]1,2x ∈恒成立，∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩∴40a -≤≤，综上，40a -≤≤.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.18．如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且4||||5MD PD =.（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度. 【答案】（1）2212516x y +=.（2）415. 【解析】试题分析：（1）由题意可知：M 的坐标为（x ，y ），P 的坐标为（x'，y'），则45MD PD =，得'5'4x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，代入22''25x y +=，整理得：2212516x y +=. （2）设直线方程为：()435y x =-，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x 1+x 2=3，x 1•x 2=-8，弦长公式：丨AB 丨C 所截线段的长度．试题解析：（1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()','x y ，由已知得'5'4x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩. ∵P 在圆上，22''25x y +=，即225254x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，整理得2212516x y +=，即C 的方程为2212516x y +=. （2）过点()3,0且斜率为45的直线方程为()435y x =-，设直线与C 的交点为()12,A x y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=.∴x 1+x 2=3，x 1•x 2=-8∴线段AB 的长度为415AB ====. ∴直线被C 所截线段的长度为415. 19．已知函数f （x ）＝lnx +ax 2+ax ．（1）若曲线y ＝f （x ）在点P （1，f （1））处的切线与直线y ＝4x +1平行，求实数a 的值；（2）若14a =时，关于x 的方程()74f x x b =+在（0，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．【答案】（1）a ＝1．（2）[ln 2﹣5，54-）．【解析】【分析】（1）求导后()'14f =，进行求解a ；（2）分离参数通过画出新函数图象，根据直线和函数图象有两个交点求出实数b 的取值范围.【详解】（1）由题意，f ′（x ）1x=+2ax +a ，x ＞0．根据题意，有f ′（1）＝3a +1＝4，解得a ＝1．（2）由题意，f （x ）＝lnx 14+x 214+x ，则lnx 14+x 214+x 74=x +b ，即b ＝lnx 14+x 232-x ，令g （x ）＝lnx 14+x 232-x ，x ＞0．则 g ′（x ）112x =+x ()()212332222x x x x x x---+-==．令g ′（x ）＝0，解得x ＝1，或x ＝2；令g ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1，或x ＞2；令g ′（x ）＜0，解得1＜x ＜2．∴函数g （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，在x ＝1处取得极大值g （1）54=-，在x ＝2处取得极小值g （2）＝ln 2﹣5．故函数g （x ）在（0，2]上大致图象如下：根据题意及图，可知实数b 的取值范围为：[ln 2﹣5，54-）．【点睛】曲线在点处的导数值等于此点处切线方程的斜率，分离参数求解参数的取值范围，属于一般性题目.20．过函数22y x =的图象C 上一点()1,2M 作倾斜角互补的两条直线，分别与C 交与异于M 的A ，B 两点.（1）求证：直线AB 的斜率为定值；（2）如果A ，B 两点的横坐标均不大于0，求MAB ∆面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）由题意易知直线的斜率存在且不为0，则可表示出AM 的直线方程，与22y x =联立求得A 的坐标，同理可得B 的坐标，进而求得AB 的斜率；（2）设出直线AB 的方程与22y x =联立消去y ，利用判别式大于0求得b 的范围，进而表示出三角形AMB的面积为S =(]02t =，，利用导数判断单调性确定面积的最大值.【详解】（1）由题意易知直线的斜率存在且不为0，可设直线AM 方程为()21y k x -=-，即2y kx k =-+，由于两直线倾斜角互补，故直线BM 的方程为2y kx k =-++，设()11,A x y ，()22,B x y ，由222y kx k y x=-+⎧⎨=⎩得2220x kx k -+-=， ∵1212k x -⨯=，即122k x -=，则()2122k y -=，即()221,22k k A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得()221,22k k B ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴AB 的斜率为()()22222241122k k k k +--=-----，即直线AB 的斜率为定值.（2）设直线AB 的方程为4y x b =-+，由242y x b y x=-+⎧⎨=⎩得2240x x b +-=，由1680b ∆=+>得2b >-，又A 、B 的横坐标不大于零， ∴02b -≥，0b ≤，则20b -<≤，12x x -==，于是AB =M 到直线AB 的距离d =，则MAB △的面积1122S AB d ===，令(]02t =，，242t b -=，224166622t t b ---=-=， ∴()2216162,(0,2]24t t t t S MAB t -⨯-∆==∈，令()()23161444t t f t t t -==-+，(]0,2t ∈，求导可得()23404f t t '=-+>在(]0,2t ∈上恒成立， ∴()f t 在(]0,2t ∈上单调递增，则最大值为()26f =，故MAB △面积的最大值为6.【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.21．如图，已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆的短轴长为点P 是椭圆C 上的一点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆于另一点Q （PQ 不过点F ），且1F PQ 的周长的最大值为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若PQ 过焦点2F ，在椭圆上取两点,A B ，连接,PA PB ，与x 轴的交点分别为,M N ，过点Q 作椭圆的切线l ，当四边形PMQN 为菱形时，证明：直线//AB l .【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据短轴长求得b ，由周长最小值可求得a ，进而得椭圆的标准方程.（2）设31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，求得过点Q 的切线l 的方程，确定其斜率；而当四边形PMQN 为菱形时0PA PB k k +=，设直线PA 和PB 的方程，联立椭圆后由韦达定理表示出1122,,,x y x y .由斜率公式表示出直线AB 的斜率，即可证明直线//AB l .【详解】（1）由题意可得b =1F PQ ∆的周长11111224F PQ C F P F Q PQ F P F Q PF QF a ∆=++≤+++=，当且仅当PQ 经过点2F 时，等号成立，故48a =，即2a =，所以椭圆的标准方程为22143x y +=. （2）证明：不妨设31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，根据点斜式，可设过Q 的切线方程为()312l y k x =--，则()22312143l y k x x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化简可得()()22224381241230l l l l l k x k k x k k +-+++-=，因为相切，所以()()()222281244341230l l l l l k k k k k ∆=+-++-=，化简可得()236210l k -=，解得12l k =，由题意可知，,PA PB 的斜率均存在，故当四边形PMQN 为菱形时0PA PB k k +=. 设直线3:(1)2PA y k x -=-，联立223(1),23412,y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩化简得()()22223412841230k x k k x k k ++-+--=.由韦达定理有21124123134k k x x k --⋅==+，则2121263342k k y k --=++，同理可得222412334k k x k +-=+，2221263342k k y k -+=++，直线AB 的斜率2121AB y y k x x -=-，代入化简得2212121342424234AB k k k k k k k+===+，所以AB l k k =，又因为两直线不可能重合，所以直线//AB l .【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，韦达定理表示交点坐标关系，利用斜率关系证明两直线平行，属于中档题.22．已知：函数21()(1)2f x x ax ln x =--+，其中a R ∈．（Ⅰ）若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）13a =；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）[)1,a ∈+∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）由若2x =是()f x 的极值点，可得(2)0f '=，对()f x 求导，(1)()1x a ax f x x --'=+，将2x =代入就可求出13a =；（Ⅱ）根据(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+，进行讨论，首先讨论0a =时，()1xf x x =+'．故()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)-，再讨论0a ≠时，令()0f x '=，得10x =，或211x a =-，再比较0与11a-的大小关系，依次分01a <<，1a =，1a >，0a <几种情况进行讨论，从而得到函数的单调区间．（Ⅲ）由（Ⅱ）知0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，由(0)0f =，知不合题意．当01a <<时，()f x 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意．当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递减，可得()f x 在[)0,+∞上的最大值是(0)0f =，符合题意．本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查分类讨论思想在解题中应用．试题解析：（Ⅰ）(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+．依题意，令(2)0f '=，解得13a =．经检验，13a =时，符合题意．（Ⅱ）① 当0a =时，()1x f x x =+'．故()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)-．② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-．当01a <<时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(0,1)a -；单调减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞ 当1a =时，()f x 的单调减区间是(1,)-+∞．当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞． ③ 当0a <时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是(1,0)-．综上，当0a ≤时，()f x 的增区间是(0,)+∞，减区间是(1,0)-；当01a <<时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是(1,0)-和1(1,)a-+∞；当1a =时，()f x 的减区间是(1,)-+∞；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞．（Ⅲ）由（Ⅱ）知0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，由(0)0f =，知不合题意．当01a <<时，()f x 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-，由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意．当1a ≥时，()f x 在(0,)+∞单调递减，可得()f x 在[)0,+∞上的最大值是(0)0f =，符合题意．所以，()f x 在[)0,+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[)1,+∞．考点：1．利用导数研究函数的单调性；2．利用导数研究函数的极值．。

2019-2020学年高二数学下学期第一次质量检测试题理

2019-2020学年高二数学下学期第一次质量检测试题理(全卷150分时间120分钟)一、选择题(共60分，每小题5分.)1．已知向量，，则（）A．B．C．D．2．复数所对应的点在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列说法错误的是( )．A．向量与的长度相等B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同C．只有零向量的模等于0D．零向量没有方向4．分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（）A．必要条件B．必要条件C．充分条件D．必要条件或成分条件5．已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（）A．1 B．-1 C．D．6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．B．C．D．7．的展开式中的系数是（）A．B．C．D．8．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．32种B．25种C．20种D．10种9．已知且,则的值是（）A．3 B．4 C．5 D．610．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种11．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A．甲B．乙C．丙D．丁12．一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（）A．B．C．D．二、填空题(共20分，每小题5分.)13．已知向量，，若与共线，则__________．14．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是．15．设复数满足，则的最大值是_______.16．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.三、解答题(共70分，17题10分.18-22每题12分)17．已知长方体中, ，点是的中点，点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．18．已知复数（为正实数），且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模．19．设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2.20．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？21．已知空间三点，设 .1求和的夹角的余弦值；2若向量与相垂直，求实数k的值；3若向量与共线，求实数的值．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，点为的中点，作，交于点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值.2019-2020学年高二数学下学期第一次质量检测试题理(全卷150分时间120分钟)一、选择题(共60分，每小题5分.)1．已知向量，，则（）A．B．C．D．2．复数所对应的点在复平面的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列说法错误的是( )．A．向量与的长度相等B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同C．只有零向量的模等于0D．零向量没有方向4．分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（）A．必要条件B．必要条件C．充分条件D．必要条件或成分条件5．已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（）A．1 B．-1 C．D．6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．B．C．D．7．的展开式中的系数是（）A．B．C．D．8．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．32种B．25种C．20种D．10种9．已知且,则的值是（）A．3 B．4 C．5 D．610．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A．21种 B．315种 C．153种 D．143种11．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（）A．甲B．乙C．丙D．丁12．一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（）A．B．C．D．二、填空题(共20分，每小题5分.)13．已知向量，，若与共线，则__________．14．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是．15．设复数满足，则的最大值是_______.16．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.三、解答题(共70分，17题10分.18-22每题12分)17．已知长方体中, ，点是的中点，点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．18．已知复数（为正实数），且为纯虚数.（1）求复数；（2）若，求复数的模．19．设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2.20．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？21．已知空间三点，设 .1求和的夹角的余弦值；2若向量与相垂直，求实数k的值；3若向量与共线，求实数的值．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，点为的中点，作，交于点.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值.。

江西省新余市2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题含答案

新余市2019—2020学年度下学期期末质量检测高二数学试题卷（理科）说明：1．本卷共有三个大题，22个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟．2．．．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设，则( ▲)A. D.2.“”是“方程表示双曲线”的( ▲ )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于;”时,应假设( ▲)A.三角形的三个内角都不大于B.三角形的三个内角都大于C.三角形的三个内角至多有一个大于D.三角形的三个内角至少有两个大于4、抛物线:()的焦点为,点是上一点,,则( ▲ )A. B. C. D.5.由与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积是( ▲ )C. D.6.函数2lnx xyx的图象大致是（▲）A ．B ．C ．D ．7.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣,”其体现的是一种无限与有限的转化过程,比如在中“”.即代表无限次重复,但原式却是个定值,这可以通过方程确定出来,类似地不难得到( ▲ )8.已知函数，，，…，，，那么（ ▲ ） A.B. C. D. 9.已知函数满足,且的导数,则不等式的解集为( ▲ )A.B.C. 10.直三棱柱中,,,分别是,的中点,,则与所成角的余弦值为( ▲ )11. 设双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线分别交双曲线左、右两支于点P ，Q ，点M 为线段PQ 的中点，若P ，Q ，F 1都在以M 为圆心的圆上，且10PQ MF ⋅=，则双曲线C 的离心率为( ▲ )AB ．CD ．12. 若对任意的1x ，[)22,0x ∈-，12x x <，122112x x x e x e a x x -<-恒成立，则a 的最小值为( ▲ )A ．23e -B ．22e -C ．21e -D ．1e-二、填空题(每小题5分,共4小题20分) 13.函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是 ▲▲▲_.14.已知直线与平面垂直,直线的一个方向向量为(1,3,)u z=,向量(3,2,1)v =-与平面平行,则_▲▲▲.15．已知是函数y ＝f （x ）的导函数，定义()f x ''为()f x '的导函数，若方程()f x ''＝0有实数解x 0，则称点（x 0，f （x 0））为函数y ＝f （x ）的拐点，经研究发现，所有的三次函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ≠0）都有拐点，且都有对称中心，其拐点就是对称中心，设g （x ）＝x 3﹣ax 2+bx-5，若点（1，-3）是函数y=g （x ）的“拐点”也是函数g （x ）图像上的点，则dx e x x ba))3(1(32-+--⎰＝_▲▲▲_.16. 如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD 的长为_▲▲▲_.三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)17.已知实数，：，：．（1）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；（2）若，“”为真命题，求实数的取值范围．18.已知数列前项和为，且．(1)试求出，，，，并猜想的表达式．(2)用数学归纳法证明你的猜想．19.如图，在四棱锥中，平面平面，,,,,,. （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；20.把边长为6的等边三角形铁皮剪去三个相同的四边形（如图阴影部分）后,用剩余部分做成一个无盖的正三棱柱形容器(不计接缝)，设容器的高为x ,容积为(x)V ．（1）写出函数(x)V 的解析式，并求出函数的定义域；（2）求当x 为多少时，容器的容积最大？并求出最大容积.21．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为6，A 为椭圆E 上位于第一象限上的点，B 为椭圆E 的上顶点，直线AB 与x 轴相交于点C ，AB AO =，BOC 的面积为6．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线l 过椭圆E 的右焦点，且与椭圆E 相交于M 、N 两点（M 、N 在直线OA 的同侧），若CAM OAN ∠=∠，求直线l 的方程.22.已知()()21ln 112a x a x f x =+-+（a ∈R ）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =-时，对任意的1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()12211212x f x x f x mx x x x ->-，求实数m 的取值范围.新余市2019-2020学年度下学期期末质量检测高二数学（理）参考答案一、选择题（12×5=60分）二、填空题（5×4=20分）13、 14、3 15、 16、217三、简答题（17题10分，18——22题每题12分，共70分）第17题答案(1)（2）第17题解析（1）因为：；又是的必要不充分条件，所以是的必要不充分条件，则，得．又不能推出，所以，故，所以的取值范围是………5分（2）当时，：，：或．…………………………6分因为是真命题，所以…………………………8分则．…………………………10分第18题答案(1)；(2)证明见解析.第18题解析(1)，，，，…………………4分猜测．…………………6分(2)证明：当时，，等式成立，假设当时，等式成立，即，则当时，，…………………8分…………………10分，即当时，等式也成立，故对一切，．………………………12分第19题答案（1）证明：平面平面，，平面，，又，平面. ………………5分（2）取的中点，连接，，，，又平面，平面平面，平面，平面，,，，如图，建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，， (8)分设平面的法向量为，则，即令，则，，. ………………………10分又，， ……………12分直线与平面所成角的正弦值为.第20题答案【答案】（Ⅰ）2()(6)4V x x =-，定义域为．（Ⅰ）容器高为3时，容器的容积最大为4 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据容器的高为x ，求得做成的正三棱柱形容器的底边长，从而可得函数V （x ）的解析式，函数的定义域；（Ⅰ）实际问题归结为求函数V （x ）在区间上的最大值点，先求V （x ）的极值点，再确定极大值就是最大值即可试题解析：（Ⅰ）因为容器的高为x ，则做成的正三棱柱形容器的底边长为(6)-则23()(623)V x x x =-. 函数的定义域为(0,3). ……………5分（Ⅰ）实际问题归结为求函数(x)V 在区间(0,3)上的最大值点. 先求(x)V 的极值点.在开区间(0,3)内，2'()933693V x x x =-+ 令'()0V x =，即令29336930x x -+=，解得. ………………………………………………………………8分因为13x =在区间(0,3)内，1x 可能是极值点. 当10x x <<时，'()0V x >；当13x x <<时，'()0V x <.因此1x 是极大值点，且在区间(0,3)内，1x 是唯一的极值点，…………10分所以133x x ==是(x)V 的最大值点，并且最大值3()43f = 即当正三棱柱形容器高为3时，容器的容积最大为4 …………………12分考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用第21题答案【答案】（Ⅰ）22124x y +=1；（Ⅱ）x ﹣y ﹣=0．【详解】（Ⅰ）椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为3，即c e a ==，可得a =，2b c ==，由AB AO =，可得1,2A b ⎫⎪⎪⎝⎭为BC 的中点，所以6ABCSb =⋅=，即ab =所以22⋅=c =a =2b =，所以椭圆E 的方程为22124x y +=1； ……………5分（Ⅰ）由（Ⅰ）可得()3,1A，右焦点为()，因为AB AO =，所以ABO AOB ∠=∠，所以AOC ACO ∠=∠，又CAM OAN ∠=∠，直线AM 、AN 的斜率互为相反数，设直线():13AM y k x -=-，联立椭圆方程22312x y +=，消去y ，可得()()22231613271890k x k k x k k ++-+--=，设()11,M x y 、()22,N x y ，则21227189313k k x k --=+，所以21296313k k x k--=+，…………8分将k 换为k -，同理可得22296313k k x k +-=+，212218613k x x k-+=+，2121213k x x k -=+，…10分()()()2221212121212121866313161311213MNk k k kx k kx k k x x k y y k k k x x x x x x k --⋅+-++--+-++-+=====---+所以直线l的方程为0y x -=-0x y --=． ……………………………………………………12分第22题答案【详解】（1）()()()211a x a aa x x x xf -+='+-=（0x >）.①当1a ≥时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增；②当01a <<时，()()1a x f xx x ⎛-+- ⎝⎭⎝⎭'=，所以当x >时，()0f x '<，当0x <<()0f x '>，所以()f x在⎛ ⎝上单调递增，在⎫⎪+∞⎭⎪上单调递减； ③当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递减. ……………………………5分（2）当1a =-时，()2ln 1x x f x =--+，不妨设120x x <<，则()()12211212x f x x f x mx x x x ->-等价于()()()212121f x f x m x x x x ->-，考查函数()()f x g x x =，得()22ln 2x x x x g --'=，令()22ln 2x h x x x--=，()352ln x x x h -'=，则520,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，52e ,x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间520,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，在区间52,e ⎛+∞⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数. ………8分故()5251e 102eg g x ⎛⎫'=-< ⎪⎝'⎭≤，所以()g x 在()0,∞+上单调递减.从而()()12g x g x >，即()()2121f x f x x x <，故()()()122112f x f x m x x x x ->-，所以()()121212f x f x mx mx x x +>+，即()()1122g x mx g x mx +>+恒成立，…………10分设()()x g x mx ϕ=+，则()x ϕ在()0,∞+上恒为单调递减函数，从而()()0x g x m ϕ''=+≤恒成立，故()()51102ex m g x m ϕ'≤-'++≤=，故5112em ≤-.……………………………………………………12分。

2019-2020学年江西省新余市第一中学高二下学期第一次段考数学(文)试题 Word版

2019-2020学年新余一中高二下学期第一次段考文科数学试卷2020.5一、选择题 (共12小题，每小题5分，共60分)1、以为准线的抛物线的标准方程为（）ABCD2、若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为( )AB CD332 3、已知椭圆的两个焦点为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为( )．A 10B 20 CD4、对于参数方程6cos 16sin2{ππt x t y -=+=和6cos 16sin2{ππt x t y +=-=其中t 为参数，下列结论正确的是( )A 是倾斜角为30°的两平行直线B 是倾斜角为150°的两重合直线C 是两条垂直相交于点(1，2)的直线D 是两条不垂直相交于点(1，2)的直线5、已知命题：，若命题是假命题，则的取值范围为( )A 41<a B 41≥a C 41>a D 41>a 或6、设曲线 f ( x )＝ x n ＋ 1( n ∈N *)在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ，则 x 1· x 2· x 3· x 4·…· x 2 017＝( )A20172016 B 20171 C 20182017 D 201817、椭圆 E ： 14922=+y x 的焦点为 F 1， F 2，点 P 在 E 上，| PF 1|＝2| PF 2|，则△ PF 1 F 2的面积为（）A 2B 4C 6D 8 8、设为抛物线的焦点，、、为该抛物线上三点，、、三点坐标分别为、、.若，则( )A 9B 6C 4D 39、过双曲线的右焦点F ，作渐近线的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率的取值范围为( )ABCD10、方程表示的曲线为椭圆是的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件11、已知，直线与函数的图象在 4π-=x 处相切，设，若在区间[1，2]上，不等式恒成立．则实数 m（）A 有最大值B 有最大值eC 有最小值eD 有最小值12、已知方程有且仅有两个不同的实数解，则以下有关两根关系的结论正确的是( )ABC D二、填空题 (共4小题；每小题5分，共20分)13、设x ＝－2与x ＝4是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则常数a －b 的值为________．14、已知方程表示焦点在轴上的椭圆；在复平面内，复数对应的点在第四象限，若为真，则的取值范围是_____________15、已知点是椭圆上一点，分别为椭圆的左右焦点，过点作椭圆的切线和两轴分别交于点，当（为坐标原点）的面积最小时， 43cos 21=∠PF F ，则椭圆的离心率为_____. 16、以下四个命题中，正确的题号是__________． ①函数的最值一定是极值； ②设：实数，满足；：实数，满足则是的充分不必要条件； ③已知椭圆与双曲线的焦点重合，、分别为、的离心率，则，且； ④ 一动圆过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是112422=-y x 。

2019-2020学年江西省新余市第一中学高二下学期第一次段考数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年江西省新余市第一中学高二下学期第一次段考数学（文）试题一、单选题1．以1x =为准线的抛物线的标准方程为（） A ．22y x = B ．22y x =- C ．24y x = D ．24y x =-【答案】D【解析】确定抛物线的开口及p 的值即可得解. 【详解】易知以1x =为准线的抛物线焦点在x 轴的负半轴上，且p 2=，开口向右，所以24y x =-. 故选D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的方程的求解，属于基础题.2．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（） A ．2 BCD【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d =，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ．点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．3．已知椭圆2214125x y +=的两个焦点为F 1，F 2，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为( )． A ．10 B ．20C．D．【答案】D【解析】根据椭圆方程2214125x y +=可得a =运用定义整体求解2ABF ∆的周长为40，即可求解. 【详解】椭圆2214125x y +=的两个焦点为1F 、2F 弦AB 过点1F ，所以a =2211221212()()4AB BF AF AF BF BF AF AF AF BF BF a ++=+++=+++==，故选D.【点睛】椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点()00,P x y 和集点()1,0F c -，()2,0F c 为顶点的12PF F ∆中，12F PF α∠=，则当P 为短轴端点时α最大，且（1）122PF PF a +=；（2）222121242cos c PF PF PF PF α=+-；（3）122121sin tan 22PF F S PF PF b αα∆==⋅（b 为短轴长） 4．对于参数方程1cos 62sin 6x t y t ππ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩和1cos 62sin6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，其中t 为参数，下列结论正确的是（）A ．是倾斜角为30°的两平行直线B ．是倾斜角为150︒的两重合直线C ．是两条垂直相交于点()1,2的直线D ．是两条不垂直相交于点()1,2的直线【答案】B【解析】利用参数方程公式化简得到均为233y x =-++，得到答案. 【详解】1cos 62sin 6x t y t ππ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故12122x t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，故233y x =-++； 1cos 62sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故12122x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故233y x =-++. 故两条直线是倾斜角为150︒的重合直线. 故选：B . 【点睛】本题考查了参数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．已知命题ρ：2,10x R ax x ∃∈++≤，若命题ρ是假命题，则a 的取值范围为( ) A ．14a <B ．14a ≥C ．14a >D ．14a >或0a = 【答案】C【解析】将条件转化为ax 2+x +1＞0恒成立，检验a ＝0是否满足条件，当a ≠0 时，必须 00a ⎧⎨⎩V ＜＞，从而解出实数a 的取值范围．【详解】∃x ∈R ，ax 2+x +1≤0．若命题p 是假命题，即“ax 2+x +1＞0恒成立”是真命题 ①．当a ＝0 时，①不成立，当a ≠0 时，要使①成立，必须 00a ⎧⎨⎩V ＜＞即1400a a =-⎧⎨⎩V ＜＞，解得14＜a ，故选C. 【点睛】本题考查一元二次不等式的应用，注意对应二次函数的图象特征，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属中档题．6．设曲线f (x )＝x n ＋1(n ∈N)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017＝ A ．20162017B ．12017C ．20172018D ．12018【答案】D【解析】先根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，解得x n ，代入化简得结果. 【详解】由f (x )＝x n ＋1得f ′(x )＝(n ＋1)x n ，切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0得x n ＝1nn +，故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017＝12201712320182018⨯⨯⨯=L .选D. 【点睛】本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力.7．椭圆E ：22194x y +=的焦点为F 1，F 2，点P 在E 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则△PF 1F 2的面积为（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】由已知得|PF 2|＝2，判断三角形的形状，由此能求出△PF 1F 2的面积．【详解】∵椭圆E ：2294x y +=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|+|PF 2|＝6，|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴F 1（0），F 2，0），|F 1F 2|＝PF 1F 2是直角三角形． ∴△PF 1F 2的面积为S 1242=⨯⨯=4．故选B ．【点睛】本题考查三角形的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．8．设F 为抛物线24y x =的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，A 、B 、C 三点坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y .若9FA FB FC ++=u u u v u u u v u u u v，则123x x x ++=A ．9B ．6C ．4D ．3【答案】B【解析】由抛物线的定义可得FA FB FC u u u v u u u v u u u v 、、分别等于A B C 、、到准线1x =-的距离，从而可得结果. 【详解】根据抛物线的定义FA FB FC u u u v u u u v u u u v 、、分别等于A B C 、、到准线1x =-的距离，所以12312391113FA FB FC x x x x x x ++==+++++=+++u u u v u u u v u u u v.所以1236x x x ++=，故选B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.9．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，作渐近线b y x a =的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线离心率e 的取值范围为( ) A ．()1,2 B ．()1,2C ．()2,+∞D ．()2,+∞【答案】C【解析】设过双曲线的右焦点F 与渐近线by x a=垂直的直线为AF ,根据垂线与双曲线左右两支都相交，得AF 的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率 ,由此建立关于,a b 的不等式，解之可得22b a >，从而可得双曲线的离心率e 的取值范围 . 【详解】过双曲线的右焦点F 作渐近线by x a=垂线，设垂足为A ， Q 直线为AF 与双曲线左右两支都相交，∴直线AF 与渐近线by x a=-必定有交点B ，因此，直线by x a =-的斜率要小于直线AF 的斜率， Q 渐近线b y x a =的斜率为ba，∴直线AF 的斜率a k b =-，可得b aa b-<-，即22,b a b a a b>>，可得222c a >，两边都除以2a ，得22e >，解得e >双曲线离心率e的取值范围为)+∞，故选C.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的不等式，从而求出e 的范围.10．“方程22162x y m m +=--表示的曲线为椭圆”是“26m <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求出方程22162x y m m +=--为椭圆时m 的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可。