2017届人教A版函数的奇偶性与周期性精品演练(1)

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人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第五章三角函数第1课时周期性、奇偶性

解由1 − cos ≥ 0且cos − 1 ≥ 0,得cos = 1,从而 = 2 π, ∈ ,此时() = 0,
故该函数既是奇函数又是偶函数.
探究点三函数奇偶性与周期性的综合问题
【例3】定义在上的函数()既是偶函数,又是周期函数,若()的最小正周期为π,
π
5π
∵ (−) = |sin(−)| + cos(−) = |sin | + cos = (),∴函数()是偶函数.
（2）() =
解 () =
3
sin(
4
3
sin(
4
+
3
4
+
3π
);
2
3π
)
2
=
3
−cos ,
4
3
4
∈ .
∵ (−) = −cos(− ) = −cos = (),
第五章三角函数
5.4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时周期性、奇偶性
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
【课标要求】1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求正弦函数、余弦函数的
周期，并会应用.3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
1
3
（4） = |cos |, ∈ .
解函数 = |cos |的图象如图（实线部分）所示.
由图象可知, = |cos |的最小正周期为π.
规律方法求三角函数的最小正周期的常用方法
（1）公式法,即先将函数化为 = sin( + ) + 或 = cos( + ) +

高考数学(人教a版,理科)题库：函数的奇偶性与周期性(含答案)

第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3 解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x－1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．1解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 08．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案－19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－72＋⎝⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－8三、解答题11．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．(1)求f(1)，f(－1)的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性．解(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y ＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．(2)解任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f(x)＝12x(－1≤x≤1)．又设1<x<3，则－1<x－2<1，∴f(x－2)＝12(x－2)．又∵f(x)是以4为周期的周期函数∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝12(x－2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1. ∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154. 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。

人教A版必修第一册 3-2-2 第2课时函数奇偶性的应用(习题课) 课件(25张)

则f(-x)+g(-x)=(-x)2+(-x)-2=x2-x-2,
又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,
所以f(x)-g(x)=x2-x-2,②
联立①②可得f(x)=x2-2,g(x)=x.
[例3] 偶函数f(x)的定义域为R,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,则f(-π),
f(2),f(3)的大小关系是(
)
A.f(-π)>f(2)>f(3)
B.f(-π)>f(3)>f(2)
C.f(-π)<f(2)<f(3)
D.f(-π)<f(3)<f(2)
解析:因为f(x)是定义域为R的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)单调递增,
解析:(2)定义在R上的奇函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,且f(3)=0,
则f(x)在(0,+∞)上单调递增,
且f(-3)=-f(3)=0,
由f(x)>0得,-3<x<0或x>3.故选C.
当堂检测
1.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(
A
A.f(-1)>f(2)>f(-3)
所以函数的图象关于原点对称,且关于 x=1 对称,
( )-( )
当 x1,x2∈[0,1],且 x1≠x2 时,
f(-2)=0,
其大致图象如图所示,
-
>0,即函数在[0,1]上单调递增,f(2)=f(0)=
< ≤ , - ≤ < ,
则当-3≤x≤1 时,不等式 xf(x)>0 可转化为
意分类讨论.

针对训练 4:(1)设 f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且 f(x)在[0,1)上单调递减,f(- )=1,

2017-2018学年高中数学课时作业171.3.2.1函数的奇偶性(第1课时)新人教A版必修

C.f(x ) • f( — x) < 0D.f (x) • f( — x)>0答案 B解析 F( — x) = f( — x) + f(x) = F(x).又x € ( — a , a)关于原点对称，• F(x)是偶函数.答案由f(x)是偶函数，可得f( — x) = f(x).由g(x)是奇函数，可得 g( — x) =— g(x).T |g(x)|为偶函数，••• f(x) + |g(x)|为偶函数.6.对于定义域为R 的任意奇函数f(x)都恒成立的是()课时作业(十七)1.321函数的奇偶性(第1课时)1.下列函数中既是奇函数，又在定义域上是增函数的是 A.y = 3x + 1 B.f(x) 1 C.y = 1 — x D.f(x)答案 D 2.若函数 f(x) = J ，x>°， —1, x <0,则 f(x) A.偶函数 B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数答案 B 3.已知 y = f(x) , x € ( — a , a), F(x) = f(x) + f( — x)，则 F(x)是( ) 4 J JB.偶函数 A.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数4.(2015 •辽宁)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是① y = f(|x|) ② y = f( — x)③ y = xf(x)A.①③ C.①④④ y = f(x) + xB.②③ D.②④答案 D5.设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 (+ |g(x)|是偶函数B.f(x) — |g(x)|是奇函数 A.f(x)C.|f(x)| + g(x)是偶函数D.|f(x)|— g(x)是奇函数解析A. f( x) —B. f(x) —f( —x) <0C.f(x ) • f( —x) < 0D.f (x) • f( —x)>0--3 + a = — 5，…a = — 8. 10. 下列命题正确的是①对于函数y = f(x)，若f( — 1) =— f(1)，贝U f(x)是奇函数; ②若f(x)是奇函数，则f(0) = 0;③若函数f(x)的图像不关于y 轴对称，则f(x) 一定不是偶函数. 答案③11.设f(x)是定义在R 上的奇函数，当 x W0时，f(x) = 2x 2 — x ,贝U f(1)= 答案 —3答案 C解析由f( — X )=- f(x)知f( — x)与f(x)互为相反数，•••只有C 成立.7.若f(x)为R 上的奇函数，给出下列四个说法:① f(x) + f( — x) = 0; ② f(x) — f( — x) = 2f(x);③f (x) • f( — x)<0 ; =—1.其中一定正确的个数为(A.OB.1C.2D.3答案解析 ••• f(x)在R 上为奇函数，. ■- f( — x) =— f(x).•f(x)+ f( — x) = f(x) — f(x) = 0，故①正确.f(x) — f( — x) = f(x) + f(x) = 2f(x)，故②正确.当x = 0时, f(x) • f( — x) = 0,故③不正确. 当x = 0时,严)=0无意义，故④不正确.8.函数f(x) 的图像关于(A.y 轴对称 C.原点对称答案 D.直线y = x 对•••定乂域为(—m , 0) U (0 , +m )关于原点对称，f( — x) = — f(x) , • f(x) 的图像关于原点对称.9.如果定义在区间［3 + a , 5］上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为 __________________ .J r X I答案 —8解析 • f(x)定义域为［3 + a , 5］，且为奇函数，解析 •f(x)奇函数,12. _________________________________________________ 若函数f(x) = x2—|x + a|为偶函数，则实数a = ___________________________________________答案 013. 定义在R 上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0 ,+^)上的图像与f(x)的图像重合，设a>b>0,给出下列不等式： ①f(b) — f( — a)>g(a) — g( — b); ②f(b) — f( — a)<g(a) — g(b); ③f(a)— f( — b)>g(b) — g( — a);④f(a) — f( — b)<g(b) — g( — a).其中成立的是 ___________ .答案①③ 解析 —f( — a) = f(a) , g( — b) = g(b),•••a>b>0,「. f(a)>f(b) , g(a)>g(b). ••• f(b) — f( — a) = f(b) + f(a) = g(b) + g(a) >g(a) — g(b) = g(a) — g( — b)，•①成立.又••• g(b) — g( — a) = g(b) — g(a)，•③成立解析由条件知f( — x) + f(x) = 0,2 “ax +1=0, • c = 0. c — bx又 f(1) = 2,「. a + 1= 2b.4a + 1 4a +1 A H亠••• f(2)<3 ,•<3,「. <3，解得—1<a<2,「. a = 0 或 1. 2b a + 1b = j 或 1,由于 b € Z ,「. a = 1, b = 1,c = 0.1.已知f(x)是定义在［—2, 0) U (0 , 2］上的奇函数，f(x)的部分图像如图所示，那么f(x)的值域是 ___________答案 {y| — 3< y<— 2 或 2<y W 3}2.下面四个结论：①偶函数的图像一定与 y 轴相交；②奇函数的图像一定通过原点； ③偶函数的图像关于 y 轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f(x) = 0(x € R ).其中正确命题的个数是()B.2C.3答案 A14.设函数f(x) 2 “ax+1 是 bx + c奇函数(a , b , c € Z)，且 f(1) = 2, f(2)<3，求a , b , c 的值.2 “ax + 1bx + c A.1 D.43.若对一切实数 x , y 都有 f(x + y) = f(x) + f(y).⑴求f(0)，并证明：f(x)为奇函数； ⑵若 f(1) = 3,求 f( — 3).解析 ⑴令 x = y = 0 ,••• f(0) = 2f(0) ,••• f(0) = 0. 令 y =— x , f(0) = f(x) + f( — x) , • f( — x) =— f(x). • f(x)为奇函数.⑵•/f(1) = 3,令 x = y = 1，得 f(2) = 2f(1) = 6. • f(3) = f(1) + f(2) = 9.由①得f(x)为奇函数，• f( — 3) =— f(3) =— 9.24. 已知函数f(x) = p3x^是奇函数，且f(2) = 3,求实数p , q 的值.解析 ••• f(x)是奇函数，• f( — x) =— f(x),/ 、 2 2 2 2即p (— X )+ 2 = _ px + 2 即 px + 2 = px + 2 3 (— x ) + q 3x + q ' — 3x + q — 3x — q .…—3x + q = — 3x — q ，解得 q = 0，…f(x)又f(2) = |, 4p + 2 I 6 = 3 • 4p + 2= 10,得 p = 2. px 2+ 2 3x。

高中数学三角函数正弦函数余弦函数的周期性与奇偶性讲义新人教A版必修一第一册

第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性知识点一周期函数1．周期函数状元随笔关于最小正周期(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．(2)对于函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B，y＝A cos(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝2π|ω|求最小正周期．知识点二正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性状元随笔关于正、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴对称．(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．[教材解难]1．教材P202思考函数的周期性与解析式中x的系数有关．2．教材P202思考知道了一个函数的周期性和奇偶性能更容易画出函数的图象，从而得到函数的性质． [基础自测]1．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝sin x 2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝cos 4x解析：对于A ，T ＝2π12＝4π，对于B ，T ＝2π2＝π，对于C ，T ＝2π14＝8π，对于D ，T ＝2π4＝π2.答案：D2．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，故选A.答案：A3．下列函数中是偶函数的是( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝－sin x C ．y ＝sin|x | D ．y ＝sin x ＋1解析：A 、B 是奇函数，D 是非奇非偶函数，C 符合f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )，∴y ＝sin|x |是偶函数．答案：C 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x ＝π2对称解析：因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，又因为cos(－x )＝cos x ，为偶函数，所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y 轴对称．答案：B题型一求三角函数的周期[教材P 201例2] 例1 求下列函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x ∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R .【解析】 (1)∀x ∈R ，有3sin(x ＋2π)＝3sin x . 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.(2)令z ＝2x ，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝cos z 的周期为2π，即cos(z ＋2π)＝cos z ，于是cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，所以cos 2(x ＋π)＝cos 2x ，x ∈R .由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.(3)令z ＝12x －π6，由x ∈R 得z ∈R ，且y ＝2sin z 的周期为2π，即2sin(z ＋2π)＝2sinz ，于是2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋4π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.状元随笔通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x ＋T)＝f(x)而求出相应的周期．对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos 2(x ＋T)＝cos 2x ，x∈R ；对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋T )－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，x ∈R .教材反思求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω>0)，可利用T ＝2πω来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．跟踪训练1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( ) A.y ＝|cos x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝|sin x | D ．y ＝sin|x |(2)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的周期为________．解析：(1)画出y ＝sin|x |的图象，易知y ＝sin|x |不是周期函数．(2)方法一因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6，即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13(x ＋6π)－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.方法二函数的周期T ＝2π|ω|＝2π13＝6π.答案：(1)D (2)6π(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．(2)利用周期的定义，需要满足f(x ＋T)＝f(x) ；也可利用公式T ＝2π|ω|计算周期．题型二正、余弦函数的奇偶性问题[经典例题] 例2 判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2； (2)f (x )＝sin(cos x )．【解析】 (1)函数的定义域为R .且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x .因为f (－x )＝－sin(－2x )＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R .且f (－x )＝sin[cos(－x )]＝sin(cos x )＝f (x )，所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数.先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．方法归纳利用定义判断函数奇偶性的三个步骤注意：若函数f (x )的定义域不关于原点对称，无论f (－x )与f (x )有何关系，f (x )仍然是非奇非偶函数．跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 解析：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)由1－cos x ≥0且cos x －1≥0，得cos x ＝1，从而x ＝2k π，k ∈Z ，此时f (x )＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数． (1)利用定义法判断函数的奇偶性．(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cos x 的值以及x 的值，最后判断函数的奇偶性．题型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[经典例题]例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．【解析】因为f (x )的最小正周期是π，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，因为f (x )是R 上的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.利用周期性 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，再利用奇偶性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，最后代入求值．方法归纳三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，再利用公式求解．(2)判断函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y ＝A sin ωx (A ω≠0)或y ＝A cos ωx (A ω≠0)其中的一个．跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为π2，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π的值．解析：因为f (x )的最小正周期是π2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin π6＝12利用周期性f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6代入求值．课时作业 34一、选择题1．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( ) A.π3B ．3π C.2π3 D.3π2解析：该函数的最小正周期T ＝2πω＝2π3.答案：C2．函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数解析：因为f (x )的定义域是R ，且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．答案：A3．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 0112π－2 010x＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＋1 005π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2 010x ＝－cos 2 010x ， f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－cos(－2 010x )＝－cos 2010x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．答案：B4．函数f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (x )＝x sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝x cosx ，所以f (－x )＝(－x )·cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．答案：A 二、填空题5．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数．答案：奇6．函数y ＝cos (1－x )π2的最小正周期是________．解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4.答案：47．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (8)＝________. 解析：∵f (x )的周期为2， ∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (8)＝f (2＋3×2)＝f (2)＝3.答案：3 三、解答题8．求下列函数的最小正周期： (1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6；(2)y ＝|sin x 2|. 解析：(1)利用公式T ＝2π|ω|，可得函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6的最小正周期为T ＝2π|－2|＝π. (2)易知函数y ＝sin x 2的最小正周期为T ＝2π12＝4π，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的图象是由函数y ＝sin x 2的图象将在x 轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin x 2的最小正周期为2π.9．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝3cos 2x ；(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(3)f (x )＝x ·cos x . 解析：(1)因为x ∈R ，f (－x )＝3cos(－2x )＝3cos 2x ＝f (x )，所以f (x )＝3cos 2x 是偶函数． (2)因为x ∈R ，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x 4，所以f (－x )＝－cos 3(－x )4＝－cos 3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(3)因为x ∈R ，f (－x )＝－x ·cos(－x )＝－x ·cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝x cos x 是奇函数． [尖子生题库]10．已知函数y ＝12cos x ＋12|cos x |.(1)画出函数的图象；(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．解析：(1)y ＝12cos x ＋12|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，x ∈⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，0，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，函数图象如图所示．(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.。

最新人教A版高中数学必修一课件：5.4.2 第一课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

(3)由11－＋ssiinn
x＞0， x＞0，
得－1＜sin x＜1，
解得定义域为xx∈R
且x≠kπ＋π2
，k∈Z ，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自人教B版新教材]若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位： cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
()
[解析] (1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos 2x 是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
(2)f53π＝f53π－π＝f23π
＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
由图象可知 T＝π.
[方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式，再利用 T＝|2ωπ|求得．

人教A版必修时函数奇偶性的定义及判定课件1

(
)
A.y=-f(x)
B.y=f(3x)
C.y=f(-x)
D.y=f(x2)
解析:由偶函数的定义知,函数的定义域一定关于原点对称,
因为 y=f(x)的定义域为[0,1],所以 y=-f(x)的定义域是[0,1],故不是偶函数;

y=f(3x)的定义域是[0, ],不是偶函数;y=f(-x)的定义域是[-1,0],不是偶函数;由

所以只要将 y=f(2x+1)的图象向右平移个单位长度即可得到 y=f(2x)的图象,

因为 y=f(2x+1)是偶函数,

所以其图象关于 y 轴对称,而 y=f(2x)的图象则关于直线 x= 对称.

故选 C.
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1.函数 f(x)= +2x 的图象(

C
)
A.关于 y 轴对称
B.关于直线 x=1 对称
[例3] 已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m].
(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值.

2
解:(2)由(1)得 f(x)=x +1,

定义域为[-,],

其图象是开口方向向上,且以 y 轴为对称轴的抛物线,当 x=±时,f(x)取最大

值.
+
-
解得 p=2,
所以所求解析式为 f(x)=
+
-
.

=-,
法二

因为奇函数 f(x)的定义域为 I={x|x≠ }关于原点对称,故 =0,所以 q=0.

2016-2017学年人教A版必修一单调性与奇偶性的综合应用习题课课件(17张)

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1.函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判断函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间. 2.在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(n∈Z)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(n∈Z)型函数及常数函数都是偶函数. 3.如果f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们定义域中的公共区间上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇×奇=偶,奇×偶=奇,偶×偶=偶. 4.若f(x)为奇函数,且在区间[a,b](a<b)上是增(减)函数,则f(x)在区间[b,-a]上是增(减)函数;若f(x)为偶函数,且在区间[a,b](a<b)上是增(减) 函数,则f(x)在区间[-b,-a]上是减(增)函数,即奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反. 5.若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则 f(x)=f(-x)=f(|x|).
习题课——单调性与奇偶性的综合应用
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学习目标思维脉络 1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法. 2.理解并运用函数的单调性与奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.
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(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册全册综合测试卷三(附答案)

（人教版A 版2017课标）高中数学必修第一册全册综合测试卷三（附答案）第一章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，则下列关系正确的是（）A .AB =B .A B ⊆C .B A ⊆D .A B =∅∩2.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值集合是（）A .98⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C .{}0D .203⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 3.已知函数()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩，＞，，≤，则()2f 的值等于（）A .4B .3C .2D .无意义4.已知函数()f x 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（）A .()()00-∞+∞，∪，B .[]04，C .[)04，D .()04，5.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}123，，，其定义如表所示，则()()f g x 对应的三个值依次为（）A .2，1，3B .1，2，3C .3，2，1D .1，3，26.已知函数()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A .3B .4C .72D .927.设全集为R ，函数()01x f x +=定义域为M ，则M =R ð（）A .{}|2x x ≥B .{}|21x x x -＜且≠C .{}|21x x x -≥或=D .{}|21x x x -＞或=8.若函数()()221341x x x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩，＜，，≥满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，则实数a 的取值范围是（）A .()1+∞，B .[)13，C .233⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， D .()3-∞，9.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（） A .4B .3C .2D .110.已知()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]12，上都是减函数，则a 的取值范围为（）A .()01，B .(]01，C .()()1001-，∪， D .[)(]1001-，∪， 11.已知(){}2min 26f x x x x x =--，，，则()f x 的值域是（）A .(]2-∞，B .(]3-∞，C .[]02，D .[)2+∞，12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（） A .()()23f f ＞B .()()25f f ＞C .()()35f f ＞D .()()36f f ＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合{}24A t =-，，集合{}591B t t =--，，，若9A B ∈∩，则实数t =________.14.)13fx =+，则()f x =________.15.若函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 16.已知函数()y f x =在()()00-∞+∞，∪，上为奇函数，且在()0+∞，上为增函数，()20f -=，则不等式()x f x ⋅＜0的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()mf x x x=+，且()13f =. （1）求m ；（2）判断函数()f x 的奇偶性.18.（本小题满分12分）设全集U =R ，{}|13A x x =≤≤，{}|23B x a x a =+＜＜. （1）当1a =时，求()U A B ∩ð；（2）若()U A B B =∩ð，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()()21f x ax bx a b =++，为实数，()()()00.f x x F x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞，，＜（1）若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]22x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x ＜≤时，v 的值为2千克/年；当420x ＜≤时，v 是x 的一次函数；当20x ＞时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. （1）当020x ＜≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21.（本小题满分12分）定义在()11-，上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()1120f a f a -+-＜.若()f x 是()11-，上的减函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，()()050f f ==，且()112f -=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0m ，上的最小值()g m ；（3）对（2）中的()g m ，求不等式()()21g t g t -＜的解集.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】由集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，得{}101B =-，，.又因为集合{}21,0,1,2A =--，，所以B A ⊆，故选C .2.【答案】B【解析】Q 集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，0a ∴=或0980a a ⎧⎨∆=-=⎩≠，，解得0a =或98a =，∴实数a 的取值集合是908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. 3.【答案】C【解析】()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩Q ，＞，，≤，()()5125252f f +∴===-.故选C .4.【答案】B【解析】()f x Q 的定义域为R ，∴不等式210kx kx ++≥的解集为R .①当0k =时，10≥恒成立，满足题意；②当0k ≠时，2040k k k ⎧⎨∆=-⎩＞，≤，解得04k ＜≤.综上，04k ≤≤.故选B . 5.【答案】A【解析】当1x =时，()11g =，()()()112f g f ==；当2x =时，()23g =，()()()231f g f ==；当3x =时，()32g =，()()()323f g f ==，故选A . 6.【答案】C【解析】因为()221x f x x =+，所以222111111x f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故()()()()1111712343234112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C . 7.【答案】C【解析】要使函数有意义，则120x x +⎧⎨-⎩≠0，＞，得2x ＜且1x -≠，所以{}|21M x x x =＜且≠-，所以{}|2M x x x ==R ≥或-1ð.故选C . 8.【答案】C【解析】Q 对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，()f x ∴在R 上是增函数，()230314121a a a -⎧⎪∴⎨-⨯+-+⨯⎪⎩＞，≥，解得233a -≤＜.故选C . 9.【答案】B【解析】()f x Q 是奇函数，()()11f f -=-. 又()g x Q 是偶函数，()()11g g ∴-=.()()()()112112f g g f -+=∴-=Q ，.① ()()()()114114f g f g +-=∴+=Q ，.②由①②，得()13g =. 10.【答案】B【解析】()()2222f x x ax x a a =-+=--+，其单调递减区间为()a ∞，+，()f x 在区间[]12，上是减函数，则1a ≤.又()ag x x=在区间[]12，上是减函数，则0a ＞.01a ∴＜≤.11.【答案】B【解析】(){}2min 26f x x x x x =--Q ，，，的同一平面直角坐标系中分别作出22y x x =-，6y x =-，y x =的图像，并取其函数值较小的部分，如图所示.则由图像可知函数(){}2min 26f x x x x x =--，，的值域为(]3-∞，，故选B . 12.【答案】D【解析】()4y f x =+Q 为偶函数，()()44f x f x ∴-+=+.令2x =，得()()()()224246f f f f =-+=+=，同理，()()35f f =.又知()f x 在()4+∞，上为减函数，56Q ＜，()()56f f ∴＞.()()23f f ∴＜，()()()265f f f =＜，()()()356f f f =＞.故选D . 二、13.【答案】3-【解析】{}24A t =-Q ，，{}591B t t =--，，，且9A B ∈∩，29t ∴=，解得3t =或3t =-，当3t =时，根据集合元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意.14.【答案】()()2131x x -+≥【解析】由题设1t =，()21x t ∴=-，1t ≥，()()213f t t ∴=-+，()()()2131f x x x ∴=-+≥. 15.【答案】[]19，【解析】Q函数y =的定义域为R ，()()2221101a x a x a ∴-+-++≥恒成立. 当210a -=时，1a =±，当1a =时，不等式恒成立，当1a =-时，无意义；当210a -≠时，()()22210214101a a a a ⎧-⎪⎨∆=---⋅⎪+⎩＞，≤，解得19a ＜≤.综上所述，a 的取值范围为[]19，. 16.【答案】()()2002-，∪，【解析】根据题意画出()f x 的大致图像，如图所示.由图像可知当20x -＜＜或02x ＜＜时，()0x f x ⋅＜. 三、17.【答案】解（1）()13f =Q ，13m ∴+=，2m ∴=. （2）由（1）知，()2f x x x=+，其定义域是{}|0x x x ∈R ≠，，关于原点对称. 又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭Q ，∴函数()f x 是奇函数. 18.【答案】解（1）当1a =时，{}|24B x x =＜＜.{}|13A x x =Q ≤≤，{}|13U A xx x ∴=＜或＞ð，(){}|34U A B x x ∴=∩＜＜ð.（2）若()U A B B =∩ð，则U B A ⊆ð. ①B =∅时，23a a +≥，则3a ≥；②B ∅≠时，2331a a a +⎧⎨+⎩＜，≤或2323a a a +⎧⎨⎩＜，≥，则2a -≤或332a ≤＜.综上，实数a 的取值范围是(]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，∪，. 19.【答案】解（1）()10f -=Q ，1b a ∴=+，由()0f x ≥恒成立，知0a ＞且()()22241410b a a a a ∆=-=+-=-≤，1a ∴=，从而()221f x x x =++，()()()221010.x x F x x x ⎧+⎪∴=⎨-+⎪⎩，＞，，＜（2）由（1）可知()221f x x x =++，()()()221g x f x kx x k x ∴=-=+-+. ()g x Q 在[]22-，上是单调函数， 222k -∴--≤或222k--≥，解得2k -≤或6k ≥. 即实数k 的取值范围是(][)26-∞-+∞，∪，. 20.【答案】解（1）由题意得当04x ＜≤时，2v =. 设当420x ＜≤时，v ax b =+，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以1582v x =-+.故函数20415420.82x v x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得()220415420.82x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤当04x ＜≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=；当420x ＜≤时，()()2215125108282f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==.所以当020x ＜≤时，()f x 的最大值为12.5，即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 21.【答案】解：由()()1120f a f a -+-＜，得()()112f a f a ---＜.()()f x f x -=-Q ，()11x ∈-，， ()()121f a f a ∴--＜. 又()f x Q 是()11-，上的减函数， 1111211121,a a a a --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩＜＜，＜＜，＞解得203a ＜＜. 故实数a 的取值范围是203⎛⎫⎪⎝⎭，.22.【答案】解（1）因为()f x 是二次函数，且()()050f f ==，所以设()()()50f x ax x a =-≠. 又因为()1612f a -==，所以2a =，所以()()225210f x x x x x =-=-.（2）由（1）知()f x 的对称轴为52x =，当502m ＜≤时，()f x 在区间[]0m ，上单调递减，所以()f x 的最小值为()2210f m m m =-；当52m ＞时，()f x 在区间502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在区间52m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()f x 的最小值为52522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.综上所述，()()2min521002255.22m m m f x g m m ⎧-⎪⎪==⎨⎪-⎪⎩，＜≤，，＞（3）因为()()21g t g t -＜，所以210215212t t t t ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩＞，＜，＜，解得112t ＜＜，即不等式()()21g t g t -＜的解集为1|12t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.第二章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列等式一定正确的是（） A .()lg lg lg xy x y =+B .222m n m n ++=C .222m n m n +⋅=D .2ln 2ln x x =2.若函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =（）A .1B .3-C .3-或1D .23.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（） A .y x x =B .x y e =C .1y x=-D .2log y x =4.函数()ln 3y x =- ）A .[)23，B .[)2+∞，C .()3-∞，D .()23，5.下列各函数中，值域为()0∞，+的是（） A .22xy -= B.y C .21y x x =++D .113x y +=6.已知()x f x a =，()()log 01a g x x a a =＞，且≠，若()()330f g ＜，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（）ABCD7.已知0.2log 2.1a =， 2.10.2b =，0.22.1c =则（） A .c b a ＜＜B .c a b ＜＜C .a b c ＜＜D .a c b ＜＜8.已知()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A .()2-∞，B .138⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C .()02，D .1328⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 9.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x e x =+，则()ln 2f -=（） A .12ln 22- B .12ln 22+ C .22ln2-D .22ln2+10.已知函数()()()x xf x x e ae x -=+∈R ，若()f x 是偶函数，记a m =；若()f x 是奇函数，记a n =.则2m n +的值为（） A .0B .1C .2D .1-11.已知实数a ，b 满足等式20172018a b =，则下列关系式不可能成立的是（） A .0a b ＜＜ B .0a b ＜＜ C .0b a ＜＜D .a b =12.已知函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，其中01m ＜＜，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（）A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .114⎛⎫ ⎪⎝⎭，D .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足31164x -⎛⎫⎪⎝⎭＞的x 的取值范围是________.14.若函数()212log 35y x ax =-+在[)1-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围是________.15.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.16.定义新运算⊗：当m n ≥时，m n m ⊗=；当m n ＜时，m n n ⊗=.设函数()()()2221log 2xx f x x ⎡⎤⊗-⊗⋅⎣⎦，则函数()f x 在()02，上的值域为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）计算下列各式的值：（1）7015log 243210.06470.250.58--⎛⎫--++⨯ ⎪⎝⎭；（2）()2235lg5lg2lg5lg20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯.18.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x ＞时，()23x xf x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知实数x 满足9123270x x -⋅+≤，函数()2log 2xf x =⋅. （1）求实数x 的取值范围；（2）求函数()f x 的最值，并求此时x 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()x f x a =，()2x g x a m =+，其中0m ＞，0a ＞且1a ≠.当[]11x ∈-，时，()y f x =的最大值与最小值之和为52. （1）求a 的值；（2）若1a ＞，记函数()()()2h x g x mf x =-，求当[]0x ∈，1时，()h x 的最小值()H m .21.（本小题满分12分）以德国数学家狄利克雷（l805-1859）命名的狄利克雷函数定义如下：对任意的x ∈R ，()10.x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，，为无理数研究这个函数，并回答如下问题：（1）写出函数()D x 的值域；（2）讨论函数()D x 的奇偶性；（3）若()()()212xx D x x f x D x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩+，为有理数，+，为无理数，，求()f x 的值域.22.（本小题满分12分）若函数()f x 满足()()21log 011a a f x x a a a x ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭＞，且≠. （1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当()2x ∈-∞，时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】对于A ，D ，若x ，y 为非正数，则不正确；对于B ，C ，根据指数幂的运算性质知C 正确，B 错误.故选C . 2.【答案】B【解析】因为函数()12122m y m n x -=+-是幂函数，所以22211m m m +-=且≠，解得3m =-. 3.【答案】A【解析】2200x x y x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩，≥，，＜为奇函数且是R 上的增函数，图像关于原点对称；x y e =是R上的增函数，无奇偶性；1y x=-为奇函数且在()0-∞，和()0+∞，上单调递增，图像关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；2log y x =在()0+∞，上为增函数，无奇偶性.故选A . 4.【答案】A【解析】函数()ln 3y x =-x 满足条件30240x x -⎧⎨-⎩＞，≥，解得32x x ⎧⎨⎩＜，≥，即23x ≤＜，所以函数的定义域为[)23，，故选A . 5.【答案】A【解析】对于A，222xxy -⎛== ⎝⎭的值域为()0+∞，；对于B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y (]0-∞，，所以021x ＜≤，所以0121x -≤＜，所以y 的值域是[)01，；对于C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；对于D ，因为()()1001x ∈-∞+∞+，∪，，所以113x y +=的值域是()()011+∞，∪，. 6.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数()x f x a =与()()log 01a g x x a a =＞，且≠在()0+∞，上的单调性相同，可排除B ，D .再由关系式()()330f g ⋅＜可排除A ，故选C . 7.【答案】C【解析】 2.100.200.20.2log 2.1log 1000.20.21 2.1 2.1 1.a b c a b c ======∴Q ＜，＜＜，＞＜＜.故选C . 8.【答案】B【解析】由题意得，函数()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则()2201122,2a a -⎧⎪⎨⎛⎫--⨯⎪⎪⎝⎭⎩＜，≥解得138a ≤，故选B .9.【答案】D【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x e x =+，()()ln 2ln 2ln 22ln 222ln 2f f e ∴-==+=+.故选D .10.【答案】B【解析】当()f x 是偶函数时，()()f x f x =-，即()()x x x x x e ae x e ae --+=-⋅+，即()()10x x a e e x -++=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =-，即1m =-.当()f x 是奇函数时，()()f x f x =--，即()()x x x xx e ae x e ae --+=+，即()()10x x a e e x ---=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =，即1n =.所以21m n +=.11.【答案】A【解析】分别画出2017x y =，2018x y =的图像如图所示，实数a ，b 满足等式20172018a b =，由图可得0a b ＞＞或0a b ＜＜或0a b ==，而0a b ＜＜不成立.故选A .12.【答案】A【解析】当01m ＜＜时，函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=≤⎨⎪⎩，≤，，＞，的大致图像如图所示.Q 当x m ≤时，()()2222222f x x mx m x m =-++=-+≥，∴要使得关于x 的方程()f x a =有三个不同的根，则12log 2m ＞.又01m ＜＜，解得104m ＜＜.故选A .二、13.【答案】()1-∞，【解析】由题可得，321144x --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＞，则32x --＜，解得1x ＜.14.【答案】(]86--，【解析】令()235g x x ax =-+，其图像的对称轴为直线6a x =.依题意，有()1610ag ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，＞，即68.a a -⎧⎨-⎩≤，＞故(]86a ∈--，. 15.【答案】1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由图像可知，点()2A A x ，在函数y x =的图像上，所以2A x =，2122A x ⎛== ⎝⎭.点()2B B x ，在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4B x =.点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ==⎝⎭.又因为12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 16.【答案】()112，【解析】根据题意，当22x ≥，即1x ≥时，222x x ⊗=；当22x ＜，即1x ＜时，222x ⊗=.当2log 1x ≤，即02x ＜≤时，21log 1x ⊗=；当21log x ＜，即2x ＞时，221log log x x ⊗=. ()()2220122122log 2 2.x x x x xx f x x x x ⎧⎪⎪∴=-⎨⎪-⋅⎪⎩，＜＜，，≤≤，，＞ ∴①当01x ＜＜时，()2x f x =是增函数，()12f x ∴＜＜； ②当12x ≤＜，()221122224xxx f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1222 4.x x ∴Q ≤＜，≤＜()221111242424f x ⎛⎫⎛⎫∴---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤＜，即()212f x ≤＜.综上，()f x 在()02，上的值域为()112，. 三、17.【答案】解（1）70515log 244321510.06470.250.51224822--⎛⎫⎛⎫--++⨯=-++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()()22352lg52lg 22lg3lg5lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9lg5lg5lg 2lg 21lg 2lg3lg5+⨯++⨯⨯=++++⨯⨯11810=++=.18.【答案】解（1）Q 定义域为R 的函数()f x 是奇函数，()00f ∴=.Q 当0x ＜时，0x -＞，()23x xf x --∴-=-. 又Q 函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，()23x xf x -∴=+. 综上所述，()2030020.3xx x x f x x xx -⎧-⎪⎪==⎨⎪⎪+⎩，＞，，，，＜（2）()()51003f f -==Q ＞，且()f x 为R 上的单调函数，()f x ∴在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜得()()2222f t t f t k ---＜. ()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t ∴--＜.又()f x Q 是减函数，2222t t k t ∴--＞，即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，4120k ∴∆=+＜，解得13k -＜，即实数k 的取值范围为13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 19.【答案】解（1）由9123270x x -⋅+≤，得()23123270xx -⋅+≤，即()()33390x x --≤，所以339x ≤≤，所以12x ≤≤，满足02x＞0.所以实数x 的取值范围为[]12，.（2）()()()()2222222231log log 1log 2log 3log 2log 224x f x x x x x x ⎛⎫=⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭.因为12x ≤≤，所以20log 1x ≤≤.所以2log 1x =，即2x =时，()min 0f x =；当2log 0x =，即1x =时，()max 2f x =.故函数()f x 的最小值为0，此时2x =，最大值为2，此时1x =.20.【答案】解（1）()f x Q 在[]11-，上为单调函数，()f x ∴的最大值与最小值之和为152a a -+=，2a ∴=或12a =. （2）1a Q ＞，2a ∴=.()2222x x h x m m =+-⋅，即()()2222xx h x m m =-⋅+.令2x t =，则()h x 可转化为()22k t t mt m =-+，其图像对称轴为直线t m =. []01x ∈Q ，，[]12t ∴∈，，∴当01m ＜＜时，()()11H m k m ==-+；当12m ≤≤时，()()2H m k m m m ==-+；当2m ＞时，()()234H m k m ==-+.综上所述，()21011234 2.m m H m m m m m m -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩，＜＜，，≤≤，，＞21.【答案】解（1）函数()D x 的值域为{}01，.（2）当x 为有理数时，则x -为无理数，则()()1D x D x -==；当x 为无理数时，则为x -为无理数，则()()0D x D x -==. 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数.（3）由()D x 的定义知，()22xx x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩，为有理数，，为无理数.即当x ∈R 时，()2x f x =.故()f x 的值域为()0+∞，.22.【答案】解（1）令log a x t =，则t x a =，()()21t t af t a a a -∴=--. ()()()21x x af x a a x a -∴=-∈-R .()()()()2211x x x x a af x a a a a f x a a ---=-=--=---Q ，()f x ∴为奇函数.当1a ＞时，xy a =为增函数，xy a -=-为增函数，且2201a a -＞，()f x ∴为增函数.当01a ＜＜时，x y a =为减函数，xy a -=-为减函数，且2201a a -＜，()f x ∴为增函数.()f x ∴在R 上为增函数.（2）()f x Q 是R 上的增函数，()4y f x ∴=-也是R 上的增函数.由2x ＜，得()()2f x f ＜，要使()4f x -在()2-∞，上恒为负数，只需()240f -≤，即()22241a a a a ---≤. 422141a a a a-∴⋅-≤，214a a ∴+≤，2410a a ∴-+≤，22a ∴≤.又1a Q ≠，a ∴的取值范围为)(21,2⎡⎣.第三章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学用二分法求方程338=0x x +-在()12x ∈，内近似解的过程中，设()=338x f x x +-，且计算()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，则该同学在第二次应计算的函数值为（） A .()0.5fB .()1.125fC .()1.25fD .()1.75f2.函数()22=log f x x x +的零点所在的区间为（）A .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .(D .)3.有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是（） A .()=log 1a y x a ＞B .()=1y ax b a +＞C .()2=0y ax b a +＞D .()=log 1a y x b a +＞4.根据表中的数据，可以判定方程x 的一个根所在的区间为（）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，5.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对进货价），则该家具的进货价是（） A .108元B .105元C .106元D .118元6.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满.在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的（）AB CD7.已知()()()=2f x x a x b ---，并且α，β是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（）A .a b αβ＜＜＜B .a b αβ＜＜＜C .a b αβ＜＜＜D .a b αβ＜＜＜8.函数()2230=2ln 0x x x f x x x ⎧+-⎨-+⎩，≤，，＞的零点个数为（）A .0B .1C .2D .39.已知函数()231=24log f x x x x-+++，若()113x ∈，，()23x ∈+∞，，则（） A.()10f x ＞，()20f x ＜ B.()10f x ＜，()20f x ＞ C.()10f x ＜，()20f x ＜D.()10f x ＞，()20f x ＞10.如图所示，ABC △为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l AB ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则()=y f x 的图像大致为四个选项中的（）AB CD11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）.公司决定从原有员工中分流()0100x x ＜＜人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x ％.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（）A .15 B .16 C .17 D .18 12.已知函数()2=e x xf x --（e 为自然对数的底数），则方程()21=0f x -的实数根的个数为（） A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用二分法求图像连续不断的函数()f x 在区间[]15，上的近似解，验证()()150f f ⋅＜，给定精确度=0.01ε，取区间()15，的中点115==32x +，计算得()()110f f x ⋅＜，()()150f x f ⋅＞，则此时零点0x ∈________.（填区间）14.已知函数()2=log 2x f x x m +-有唯一的零点，若它的零点在区间()12，内，则实数m 的取值范围是________.15.已知关于x 的方程210=x a -有两个不同的实根1x ，2x ，且21=2x x ，则实数=a ________. 16.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按()52log 1A +万元进行奖励.记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）.（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？18.（本小题满分12分）已知函数()=211f x x x --+. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.（2）根据函数()f x 的图像回答下列问题：（回答下述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）①求函数()f x 的单调区间；②求函数()f x 的值域；③求关于x 的方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数.19.（本小题满分12分）已知函数()=e 1x f x -，()3=1exg x +.（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()=0f x g x -的x 的值.20.（本小题满分12分）《污水综合排放标准》规定：污水排放企业进排污口的污水pH 值正常范围为[)69，.某化工企业对本单位污水出水口的pH 值进行全天24小时检测，根据统计资料发现pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数图像如图所示，AB ，CD 为两条直线段，曲线BC 为函数y b 图像的一部分，其中()08A ，，()46B ，，()2010C ，，()248D ，.（1）请写出pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数解析式；（2）试求该化工企业在一天内排放pH 值超标污水的时长.21.（本小题满分12分）已知函数()2=283f x x x m -++为R 上的连续函数.（1）若=4m -，试判断()=0f x 在()11-，上是否有根存在.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2=log 421x x f x a a +⋅++，x ∈R . （1）若=1a ，求方程()=3f x 的解集；（2）若方程()=f x x 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】()10f Q ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，∴在区间()11.5，内函数()=338x f x x +-存在一个零点，因此在第二次应计算的函数值所对应的x 值为1 1.5=1.252+，故选C . 2.【答案】B【解析】Q 函数()22=log f x x x +在0x ＞时是连续单调递增函数，且()21=1log 1=10f +＞，21113=log =02424f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜，()1102ff ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭＜.∴函数()22=log f x x x +的零点所的在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 3.【答案】C【解析】由所给数据可知y 随x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C . 4.【答案】C【解析】设()()=2xf x e x -+，则由题设知()1=0.280f -＜，()2=3.390f ＞，故方程2=0x e x --的一个根在区间()12，内.故选C . 5.【答案】A【解析】由题意，132元打9折，售价为()1320.9=118.8⨯元.因为这个价格相对进货价，获利10％，也就是说它是进货价的110％，所以进货价为()110118.8=108÷％元，故选A . 6.【答案】B【解析】由题中函数图像知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B . 7.【答案】C【解析】αQ ，β是函数()f x 的两个零点，()()==0f f αβ∴.又()()==20f a f b -Q ＜，结合二次函数的图像（如图所示）可知a ，b 必在α，β之间.故选C .8.【答案】C【解析】当0x ≤时，令223=0x x +-，得=3x -；当0x ＞时，令2ln =0x -+，得2=e x .所以函数有2个零点.故选C . 9.【答案】A【解析】()()23=15log f x x x --+-Q 在()1+∞，上单调递减，且()3=0f ，()10f x ∴＞，()20f x ＜，故选A .10.【答案】C【解析】设=AB a ，则22221111==2222y a x x a --+，其图像为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方.故选C . 11.【答案】B【解析】由题意，分流前产品A 的年产值为100t 万元，分流x 人后，产品A 的年产值为()()1001 1.2x x t -+％万元.由题意，得()()01001001 1.2100x x x x t t ∈⎧⎪⎨-+⎪⎩N ＜＜，≥，，％解得5003x ＜≤，x ∈N ，所以x 的最大值为16.故选B . 12.【答案】B【解析】由函数()2=ex xf x --，可知方程()21=0f x -，即()1=2f x ，即21e =2x x --，整理可得2=ln2x x ---，即2ln 2=0x x -+或2ln 2=0x x --.在方程2ln 2=0x x -+中，1=14ln 20∆-＜，方程无实数解；在方程2ln 2=0x x --中，2=14ln 20∆+＞，方程有2个不等的实数解.综上可得，方程()21=0f x -的实数根的个数为2.故选B .二、13.【答案】()13，【解析】由()()150f f ⋅＜，()()110f f x ⋅＜及()()150f x f ⋅＞可知()1f 与()1f x 异号，()1f x 与()5f 同号，则()011x x ∈，即()013x ∈，. 14.【答案】()25，【解析】由题意得()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()120f f ⋅＜，即()()250m m --＜，解得25m ＜＜. 15.【答案】6【解析】由210=x a -得2=10x a ±，由题设知12=10x a -，22=10x a +.因为21=2x x ，所以()211222=2=2x x x ，所以()210=10a a -+，解得=15a 或=6a .因为100a -＞，所以=15a 不合题意，舍去，所以=6a . 16.【答案】9【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为()f x 元，则由题意得()(]()(]()()8103=93 2.153895 2.158 2.858.x f x x x x x ⎧+∈⎪+-∈⎨⎪++-∈+∞⎩⨯⨯⨯，，，，，，，，令()=22.6f x ，显然()()95 2.158 2.85=22.68x x ⨯⨯++-＞，解得=9x . 三、17.【答案】（1）由题意得()50.16010=1.62log 910.x x y x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩，＜≤，，＞（2）由(]010x ∈，，0.16 1.6x ≤，而=5.6y 可知，10x ＞. ()51.62log 9=5.6x ∴+-，解得=34x .∴老张的销售利润是34万元.18.【答案】（1）当10x -≥，即1x ≥时，()()=211=1f x x x x --+-；当10x -＜，即1x ＜时，()()=211=33f x x x x --+-.()f x 的图像如图所示.（2）①函数()f x 的单调递增区间为[)1+∞，；函数()f x 的单调递减区间为(]1-∞，. ②函数()f x 的值域为[)0+∞，. ③方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数为1. 19.【答案】（1）()31=1=31e e x x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，e 1x≥，所以101e x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，1033e x⎛⎫⎪⎝⎭＜≤，即()14g x ＜≤，故()g x 的值域是(]14，. （2）由()()=0f x g x -，得3e 2=0ex x--.当0x ≤时，方程无解；当0x ＞时，3e 2=0ex x--，整理得()2e 2e 3=0x x --，即()()e 1e 3=0x x+-.因为e 0x ＞，所以e =3x ，即=ln3x . 故满足方程()()=0f x g x -的x 的值为ln3.20.【答案】（1）()08A Q ，，()46B ，，∴线段AB 的方程是()1=8042y x x -+≤≤.将()46B ，，()2010C ，的坐标代入y b ，得b b ⎧⎪⎨⎪⎩，，解得=4=6.a b -⎧⎨⎩，故()6420y x +≤≤.()2010C Q ，，()248D ，，∴线段CD 的方程是()1=2020242y x x -+≤≤.综上，y 与x之间的函数解析式为18042=642012020242.x x y x x x ⎧-+⎪⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤，，≤≤（2）由()08A ，，()46B ，知在AB 段排放污水的pH 值不超标；在BC6=9，解得=13x ，故[)1320x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2013=7-小时；在CD 段，令120=92x -+，解得=22x ，故[]2022x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2220=2-小时.因此该化工企业在一天内排放pH 值超标污水9小时.21.【答案】（1）当=4m -时，()=0f x ，即()2=281=0f x x x --. 可以求出()1=9f -，()1=7f -，则()()110f f -⋅＜.又()f x 为R 上的连续函数，()=0f x ∴在()11-，上必有根存在.取中点0，计算得()0=10f -＜，()()100f f -⋅＜，∴根()010x ∈-，，取其中点12-，计算得17=022f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，∴根0102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点14-，计算得19=048f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0104x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点18-，计算得11=0832f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0108x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，区间长度11=0.285＜，符合要求.故符合要求的根0x 存在的区间为108⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）()2=283f x x x m -++为开口向上的抛物线，对称轴为8==222x ⨯--， ∴在区间[]11-，上，函数()f x 单调递减.又()f x 在区间[]11-，上存在零点，只可能()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≥，≤，即 28302830m m +++⎧⎨-++⎩≥，≤，解得133m -≤≤. 故所求实数m 的取值范围是133m -≤≤.22.【答案】（1）当=1a 时，()()2=log 422x xf x ++.由()=3f x ，得3422=2x x ++，所以426=0x x +-，因此()()2322=0x x +-，解得=1x .所以方程()=3f x 的解集为{}1.（2）方程()2log 421=x xa a x +⋅++有两个不同的实数根，即421=2x x x a a +⋅++有两个不同的实数根.设=2x t ，则()211=0t a t a +-++在()0+∞，上有两个不同的解.令()()2=11g t t a t a +-++，由已知可得()()()200102=1410g a a a ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪∆--+⎩＞，＞，＞，解得13a --＜＜故实数a 的取值范围为(13--，.第四章综合测试一、单项选择题1.式子）ABC .D .2.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（） A .(2,3)B .(3,4)C .(1,2)D .(0,1)3.设lg 2a =，lg3b =，则12log 5=（） A .12aa b -+ B .12aa b-+ C .12aa b++ D .12aa b++ 4. 已知2log 0.1a =，0.12b =，110.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A .a b c ＜＜B .b c a ＜＜C .c a b ＜＜D .a cb ＜＜5.函数1()(0,1)x f x a a a a=-≠＞的图象可能是（）A .B .C .D .6.已知函数2,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（） A .(,1)-∞-B .(,1]-∞-C .[1,0)-D .(0,1]7.若()2()lg 21f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（）A .[1,2)B .[1,2]C .[1,)+∞D .[2,)+∞8.已知函数()|lg |f x x =。

人教A版必修一1.3.2函数的奇偶性

1.3.2 函数的奇偶性
链接一：轴对称图形：一个图形绕一条直线翻转180°后，能与原图形重合，则这个图形称为轴对称图形，这条直线称为这个图形的对称轴. 中心对称图形：一个图形绕一个点旋转180°后，能与原图形重合，则这个图形称为中心对称图形，这个点称为这个图形的对称中心. 链接二：抛物线双曲线直线y=2x的图象（如图所示）都具有对称性.
3.既奇又偶函数的表达式是
定义域A是关于原点对称的非空数集.
4.若奇函数在原点处有定义，则有f（0）=0. 探究要点二：利用定义判断函数奇偶性的步骤 1.求函数f（x）的定义域； 2.判断函数f（x）的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； 3.结合函数f（x）的定义域，化简函数f（x）的解析式； 4.求f（－x）； 5.根据f（－x）与f（x）之间的关系，判断函数f（x）的奇偶性. 判断函数奇偶性时要注意： 1.{0}是关于原点对称的，如函数定义域是{0}，f（x）=0，所以该函数既是奇函数又是偶函数. 2.函数根据奇偶性分为：奇函数，偶函数，既奇又偶函数，非奇非偶函数. 3.有时也根据下面的式子判断函数f（x）的奇偶性：对于定义域内的任意一个x，若有f（x）－f（－x）=0成立，则f（x）为偶函数；对于定义域内的任意一个x，若有f（x）+f（－x）=0成立，则f（x）为奇函数.
变式训练2－1：已知f（x）是定义在上的奇函数，且x>0时，求x＜0时，f（x）的解析式. 解：当x＜0时，－x＞0，
类型三：利用函数奇偶性作函数图象已知函数
（1）如图，已知f（x）在区间
上的图象，请据此在该坐标系中
补全函数f（x）在定义域内的图象，请说明你的作图依据；（2）求证：f（x）+g（x）=1（x≠0）.

高中数学专题17函数奇偶性的图象和性质课件新人教A版必修1

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f (－x)±f (x)=0或f (x) ÷f (－x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
1）若函数 f（x）是定义在区间D的奇函数，则具备以下性质： a.定义域关于原点对称，即：若定义域为[a,b]，则a+b=0; b.对于定义域内任意x ，都有 f(x)f(x) ； c.奇函数的图像关于原点（0, 0）对称； d.若0∈D，则 f（0）= 0; e.奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性.
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(3－4)＝－f(1)＝－1.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝ f(1－x)．故知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．
函数奇偶性的图象和性质
1.具有奇偶性的函数的图象的特征：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
2.应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
得f (x) x2x2 2x2,xx,x0,0，, 画出函数f(x)的图像，如图：
观察图像可知，函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．故选C.

人教a版高考数学(理)一轮课件：2.3函数的奇偶性及周期性

2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”或“相反”). (2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数; ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数; ③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数. (3)若 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则 f(0)=0.
a+b 对称. 2
(4)y=f(x)的图象关于直线 x=a 及 x=b 对称,则 y=f(x)的周期为 2|a-b|. (5)y=f(x)的图象关于直线 x=a 及点(b,0)对称,则 y=f(x)的周期为 4|a-b|. (6)y=f(x)的图象关于点(a,0)及点(b,0)对称,则 y=f(x)的周期为 2|a-b|. 其中最后三条可以通过类比正弦函数的图象来记忆.
2.(2012·广东卷,4)下列函数为偶函数的是( A.y=sin x C.y=ex 【答案】D B.y=x3 D.y=ln x 2 + 1
)
【解析】∵ 函数 f(x)=ln x 2 + 1的定义域是 R 且 f(x)=ln (-x)2 + 1=ln x 2 + 1=f(x),∴ f(x)是偶函数. 3.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( A.1 3
5.对称性若函数 f(x)满足 f(a-x)=f(a+x)或 f(x)=f(2a-x),则函数 f(x)关于直线 x=a 对称.
1.对任意实数 x,下列函数为奇函数的是( A.y=2x-3 C.y=ln 5x 【答案】C B.y=-3x2 D.y=-|x|cos x
)
【解析】A 为非奇非偶函数,B,D 为偶函数,C 为奇函数. 设 y=f(x)=ln 5x=xln 5, 则 f(-x)=-xln 5=-f(x).

(完整版)函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于（）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是（）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有（）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是（） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的是（） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

人教A版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷含答案解析(60)

人教A 版高一数学必修第一册《函数的概念与性质》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 已知不等式 ax 2−x +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，则函数 y =ax 2+x +c 的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．2. 已知函数 f (x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x <0 时，f (x )=x (x −1)，则 f (2)= ( ) A ． −6 B ． 6 C ． −2 D ． 23. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 a,b,c ∈R ，则下列命题正确的是 ( ) A ．若 ab ≠0 且 a <b ，则 1a >1b B ．若 a >b >0，则b+1a+1>baC ．若 a +b =2，则 ab <1D ．若 c <b <a 且 ac <0，则 cb 2<ab 24. 定义全集 U 的子集 A 的特征函数 f A (x )={1,x ∈A0,x ∉A ，对于任意的集合 A,B ⊆U ，下列说法错误的是 ( )A ．若 A ⊆B ，则 f A (x )≤f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立B ． f A∩B (x )=f A (x )f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立C ． f A∪B (x )=f A (x )+f B (x )，对于任意的 x ∈U 成立D ．若 A =∁U B ，则 f A (x )+f B (x )=1，对于任意的 x ∈U 成立5. 已知 −π2<α<0，sinα+cosα=15，则 1cos 2α−sin 2α= ( )A ． 75B ．257C ．725D ．24256. 若不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，则m 的取值范围是( ) A ．RB ．(−2，2)C ．(−∞，−2)∪(2，+∞)D ．[−2，2]7. 设 a ，b ，c 是实数，下列条件中可以推出“a =b ”的是 ( ) A ．1a=1bB ． a 2=b 2C ． ac =bcD ． a −c =c −b8. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：f (x −2) 的对称轴为 x =2，f (x +1)=4f (x )(f (x )≠0)，且 f (x ) 在区间 (1,2) 上单调递增，已知 α，β 是钝角三角形中的两锐角，则 f (sinα) 和 f (cosβ) 的大小关系是 ( ) A ． f (sinα)>f (cosβ) B ． f (sinα)<f (cosβ) C ． f (sinα)=f (cosβ)D ．以上情况均有可能9. 若函数 f (x ) 为定义在 D 上的单调函数，且存在区间 [a,b ]⊆D ，使得当 x ∈[a,b ] 时，f (x ) 的取值范围恰为 [a,b ]，则称函数 f (x ) 是 D 上的正函数．若函数 g (x )=x 2+m 是定义在 (−∞,0) 上的正函数，则实数 m 的取值范围为 ( ) A ． (−54,−1) B ． (−54,−34) C ． (−1,−34)D ． (−34,0)10. 定义函数 [x ] 为不大于 x 的最大整数，对于函数 f (x )=x −[x ] 有以下四个结论：① f (2019.67)=0.67；②在每一个区间 [k,k +1)，k ∈Z 上，f (x ) 都是增函数； ③ f (−15)<f (15)；④ y =f (x ) 的定义域是 R ，值域是 [0,1)．其中正确的个数是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4二、填空题（共6题）11. 关于函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣，给出以下四个命题：（1）当 x >0 时，y =f (x ) 单调递减且没有最值；（2）方程 f (x )=kx +b (k ≠0) 一定有实数解；（3）如果方程 f (x )=m ，（m 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；（4）y =f (x ) 是偶函数且有最小值．其中假命题的序号是．12. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是．13. 给出下列四个命题：① f (x )=sin (2x −π4) 的对称轴为 x =kπ2+3π8，k ∈Z ；②函数 f (x )=sinx +√3cosx 的最大值为 2； ③ ∀x ∈(0,π)，sinx >cosx ；④函数 f (x )=sin (π3−2x) 在区间 [0,π3] 上单调递增．其中正确命题的序号为．14. 设函数 f (x )=sin2x +2cos 2x ，则函数 f (x ) 的最小正周期为；若对于任意 x ∈R ，都有f (x )≤m 成立，则实数 m 的最小值为．15. 若对任意 x >3，x >a 恒成立，则 a 的取值范围是．16. 若 log a (a +1)<log a (2√a)<0（a >0 且 a ≠1），则实数 a 的取值范围是．三、解答题（共6题）17. 求下列函数的定义域与值域．(1) y =21x−1；(2) y =3√5x−1； (3) y =(12)x−1．18. 已知函数 f (x )=2x +2−x ．(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 设a∈R，求关于x的函数y=22x+2−2x−2af(x)在x∈[0,+∞)时的值域g(a)的表达式；(3) 若关于x的不等式mf(x)≤2−x+m−1在x∈(0,+∞)时恒成立，求实数m的取值范围．19.定义：若函数f(x)的定义域为R，且存在实数a和非零实数k（a，k都是常数），使得f(2a−x)=k⋅f(x)对x∈R都成立，则称函数f(x)是具有“理想数对(a,k)”的函数．比如，函数f(x)有理想数对(2,−1)，即f(4−x)=−f(x)，f(4−x)+f(x)=0，可知函数图象关于点(2,0)成中心对称图形．设集合M是具有理想数对(a,k)的函数的全体．(1) 已知函数f(x)=2x−1，x∈R，试判断函数f(x)是否为集合M的元素，并说明理由；(2) 已知函数g(x)=2x，x∈R，证明：g(x)∉M；(3) 数对(2,1)和(1,−1)都是函数ℎ(x)的理想数对，且当−1≤x≤1时，ℎ(x)=1−x2．若正比例函数y=mx(m>0)的图象与函数ℎ(x)的图象在区间[0,12]上有且仅有5个交点，求实数m的取值范围．20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，∣φ∣<π2）的部分图象如图所示．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 设π12<x<11π12，且方程f(x)=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围和这两个根的和．21.某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？22.化简1−cos4α−sin4α．1−cos6α−sin6α答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】因为不等式 ax 2−x +c >0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，所以 a <0，故 x 2−1ax +ca<0 的解集为 {x∣ −2<x <1}，所以 −2 和 1 是方程 x 2−1ax +c a=0 的两个根，故 −2+1=1a，−2×1=ca，解得 a =−1，c =2．故函数 y =ax 2+x +c =−x 2+x +2=−(x +1)(x −2)，其图象大致为 C ．【知识点】二次函数的性质与图像2. 【答案】A【知识点】函数的奇偶性3. 【答案】B【解析】对于A ，取 a =−2，b =1，可知1a>1b不成立，因此选项A 不正确；对于B ，因为 a >b >0，所以 b+1a+1−ba =a−ba (a+1)>0，所以 b+1a+1>ba ，因此选项B 正确；对于C ，取 a =b =1 时，ab =1，因此选项C 不正确；对于D ，取 b =0 时，cb 2<ab 2 不正确，因此选项D 不正确．【知识点】不等式的性质4. 【答案】C【知识点】函数的表示方法5. 【答案】B【解析】因为 sinα+cosα=15，所以 1+2sinαcosα=125，所以 2sinαcosα=−2425，(cosα−sinα)2=1+2425=4925，又因为 −π2<α<0，所以 cosα>0>sinα，所以 cosα−sinα=75，所以1cos 2α−sin 2α=1(cosα+sinα)(cosα−sinα)=115×75=257.故选B ．【知识点】同角三角函数的基本关系6. 【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法即可得出．【解析】解：∵不等式x 2+mx +1>0的解集为R ，∴△=m 2−4<0，解得−2<m <2． ∴m 的取值范围是(−2，2)．故选：B ．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．7. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件8. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性9. 【答案】C【解析】因为函数 g (x )=x 2+m 是定义在 (−∞,0) 上的正函数，所以存在 a <b <0，使得当 x ∈[a,b ] 时，g (x )∈[a,b ]，且函数单调递减，则 g (a )=b ，g (b )=a ，即 a 2+m =b ，b 2+m =a ，两式左右分别相减得 a 2−b 2=b −a ，即 b =−(a +1)，代入 a 2+m =b 得 a 2+a +m +1=0，因为 a <b <0，且 b =−(a +1)，所以 a <−(a +1)<0，解得 −1<a <−12．故关于 a 的方程 a 2+a +m +1=0 在区间 (−1,−12) 内有实数根，把新定义的正函数问题转化为方程有解问题，采用了转化与化归思想．记 ℎ(a )=a 2+a +m +1，则 ℎ(−1)=1−1+m +1>0 且 ℎ(−12)=14−12+m +1<0，解得 m >−1 且 m <−34，即 −1<m <−34．【知识点】函数的单调性、抽象函数10. 【答案】C【解析】 f (2019.67)=2019.67−2019=0.67，故①正确；设 k ≤x 1≤x 2<k +1，则 f (x 1)−f (x 2)=x 1−k −x 2+k =x 1−x 2<0，所以 f (x 1)<f (x 2)，所以 f (x ) 在 [k,k +1)，k ∈Z 上是增函数，故②正确；因为 f (−15)=−15−(−1)=45，f (15)=15−0=15，所以 f (−15)>f (15)，故③错误；因为 x −[x ]∈[0,1)，所以④正确．故选C ．【知识点】函数的值域的概念与求法、函数的单调性二、填空题（共6题） 11. 【答案】（1）、（3）【解析】（1）当 x >1 时，y =f (x )=xx−1=1+1x−1 在区间 (1,+∞) 上是单调递减函数，当 0<x <1 时，y =f (x )=−xx−1=−1−1x−1 在区间 (0,1) 上是单调增函数．所以（1）是假命题．（2）函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，当 x >0 时，y =f (x ) 在区间 (0,1) 上单调递增，在 (1,+∞) 上单调递减．当 k >0 时，函数 y =f (x ) 与 y =kx 的图象在第一象限内有交点，由对称性可知，当 x <0 且 k <0 时，函数 y =f (x ) 与 y =kx 的图象在第二象限内有交点．所以，方程 f (x )=kx +b (k ≠0) 一定有解．所以（2）是真命题．（3）因为函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，且最小值 f (0)=0，举例：当 m =0 时，函数 y =f (x ) 与 y =m 的图象只有一个交点．此时方程 f (x )=m 的解是奇数．所以（3）是假命题．（4）函数 f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 是偶函数，y =f (x )=∣x∣∣∣x∣−1∣ 在区间 (0,1) 上单调递增，(1,+∞) 上单调递减．且 f (0)=0,x >0 时，f (x )>0 恒成立，由对称性可知，函数 f (x ) 有最小值 f (0)=0．所以( 4 )是真命题．【知识点】函数的零点分布、函数的最大（小）值、函数的单调性12. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1，当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点，若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞)上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10，此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点，所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时，只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点，因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点，所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点； ② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点，所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点，综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布13. 【答案】①②【解析】① y =sinx 的对称轴为 x =kπ+π2(k ∈Z )，故 f (x )=sin (2x −π4) 的对称轴由 2x −π4=kπ+π2(k ∈Z )，解得 x =kπ2+3π8(k ∈Z )，故①正确；②函数f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，故该函数的最大值为2，故②正确；③ ∀x∈(0,π)，sinx>cosx；当x=π4时，sinx=cosx，故③错误；④函数f(x)=sin(π3−2x)在区间[0,π3]上单调递减，故④错误．故答案为：①②．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质14. 【答案】π；√2+1【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】a≤3【知识点】恒成立问题16. 【答案】(14,1)【解析】当0<a<1时，函数y=log a x单调递减，由题意得{a+1>2√a,2√a>1,解得a>14，所以14<a<1；当a>1时，函数y=log a x单调递增，由题意得{a+1<2√a,2√a<1,无解．综上可知，实数a的取值范围是(14,1)．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由x−1≠0，得x≠1．所以函数的定义域为{x∣ x∈R且x≠1}．又1x−1≠0，所以21x−1>0，且21x−1≠1．所以函数的值域为{y∣ y>0且,y≠1}．(2) 由5x−1≥0，得x≥15．所以函数的定义域为{x∣ x≥15}．因为 5x −1≥0，所以 3√5x−1≥1．所以函数的值域为 {y∣ y ≥1}．(3) y =(12)x−1 的定义域是 R ，值域是 {y∣ y >−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法、函数的值域的概念与求法18. 【答案】(1) 函数 f (x ) 的定义域为 R ，对任意 x ∈R ，f (−x )=2−x +2x =f (x )，所以函数 f (x ) 是偶函数．(2) y =22x +2−2x −2a (2x +2−x )=(2x +2−x )2−2a (2x +2−x )−2，令 2x +2−x =t ，因为 x ≥0，所以 2x ≥1，故 t ≥2，原函数可化为 y =t 2−2at −2，t ∈[2,+∞)，y =t 2−2at −2=(t −a )2−a 2−2 图象的对称轴为直线 t =a ，当 a ≤2 时，函数 y =t 2−2at −2 在 t ∈[2,+∞) 时是增函数，值域为 [2−4a,+∞)；当 a >2 时，函数 y =t 2−2at −2 在 t ∈[2,a ] 时是减函数，在 t ∈[a,+∞) 时是增函数，值域为 [−a 2−2,+∞)．综上，g (a )={[2−4a,+∞),a ≤2[−a 2−2,+∞),a >2．(3) 由 mf (x )≤2−x +m −1 得 m [f (x )−1]≤2−x −1，当 x >0 时，2x >1，所以 f (x )=2x +2−x >2，所以 f (x )−1>1>0，所以 m ≤2−x −1f (x )−1=2−x −12x +2−x −1=1−2x 22x +1−2x恒成立．令 t =1−2x ，则 t <0，1−2x 22x +1−2x=t (1−t )2+t=t t 2−t+1=1t+1t−1，由 t <0 得 t +1t≤−2，所以 t +1t−1≤−3，−13≤1t+1t−1<0．所以 m ≤−13，即 m 的取值范围为 (−∞,−13]．【知识点】函数的奇偶性、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法19. 【答案】(1) 依据题意，知 f (x )=2x −1，若 f (2a −x )=k ⋅f (x )，即 2(2a −x )−1=k (2x −1)．化简得 −2x +4a −1=2kx −k ，此等式对 x ∈R 都成立，则 {2k =−2,4a −1=−k,解得 {k =−1,a =12.于是，函数 f (x )=2x −1 有理想数对 (12,−1)．所以，函数 f (x )∈M ． (2) 用反证法证明 g (x )∉M ．假设 g (x )∈M ，则存在实数对 (a,k )(k ≠0) 使得 g (2a −x )=k ⋅g (x ) 成立．又 g (x )=2x ，于是，22a−x =k ⋅2x ，即 22a =k ⋅22x ．一方面，此等式对 x ∈R 都成立；另一方面，该等式左边是正的常数，右边是随 x 变化而变化的实数．两方面互相矛盾，故假设不成立．因此，函数 g (x ) 不存在理想数对 (a,k )(k ≠0) 使 g (x )∈M ，即 g (x )∉M ．(3) 因为数对 (2,1) 和 (1,−1) 都是函数 ℎ(x ) 的理想数对，所以 ℎ(4−x )=ℎ(x )，ℎ(2−x )=−ℎ(x )，x ∈R ，所以ℎ(4+x )=ℎ(4−(4+x ))=ℎ(2−(2+x ))=−ℎ(2+x )=−ℎ(4−(2−x ))=−ℎ(2−x )=ℎ(x ).所以函数 ℎ(x ) 是以 4 为周期的周期函数．由 ℎ(2−x )=−ℎ(x )，ℎ(2−x )+ℎ(x )=0，x ∈R ，可知函数 ℎ(x ) 的图象关于点 (1,0) 成中心对称图形．又 −1≤x ≤1 时，ℎ(x )=1−x 2，所以 1<x ≤3 时，−1≤2−x <1，则 ℎ(x )=−ℎ(2−x )=(2−x )2−1．先画出函数 ℎ(x ) 在 [−1,3] 上的图象，再根据周期性，可得到函数 ℎ(x ) 的图象如图：所以 ℎ(x )={1−(x −2k )2,k 为偶数,2k −1≤x <2k +1(x −2k )2−1,k 为奇数,2k −1≤x <2k +1，所以 ℎ(x )=1−(x −8)2，7≤x ≤9；ℎ(x )=1−(x −12)2，11≤x ≤13．由 {ℎ(x )=1−(x −8)2,y =mx (7≤x ≤9) 有且仅有一个交点，解得 m =16−6√7（m =16+6√7，舍去）．由 {ℎ(x )=1−(x −12)2,y =mx (11≤x ≤13) 有且仅有一个交点，解得 m =24−2√143（m =24+2√143，舍去）．所以函数 y =mx (m >0) 的图象与函数 ℎ(x ) 的图象在区间 [0,12] 上有且仅有 5 个交点时，实数 m 的取值范围是 24−2√143<m <16−6√7．【知识点】恒成立问题、函数的零点分布、反证法、函数的周期性20. 【答案】(1) 由函数图象知，A =2．因为图象过点 (0,1)，所以 f (0)=1，所以 sinφ=12．又因为 ∣φ∣<π2，所以 φ=π6．由函数图象知T 2=2π3−π6=π2，所以 T =π，得 ω=2．所以函数 f (x ) 的解析式为 f (x )=2sin (2x +π6)．(2) 由（1）知，函数 y =2sin (2x +π6)，若 π12<x <11π12，在原图中标出 (π12,√3) 和 (11π12,0)，如图所示：当 −2<m <0 或 √3<m <2 时，直线 y =m 与曲线 y =2sin (2x +π6) 有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．所以 m 的取值范围为 (−2,0)∪(√3,2)．由对称性可知，当 −2<m <0 时，两根和为 4π3；当 √3<m <2 时，两根和为 π3．【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质21. 【答案】设矩形的一边长为 x ，广告牌面积为 S ，则 S =−(x −l 4)2+l 216，x ∈(0,l 2)．当 x =l4 时，S 取得最大值，且 S max =l 216，所以当广告牌是边长为 l4 的正方形时，广告牌的面积最大．【知识点】函数模型的综合应用22. 【答案】 1−cos 4α−sin 4α1−cos 6α−sin 6α=(sin 2α+cos 2α)2−cos 4α−sin 4α(sin 2α+cos 2α)3−cos 6α−sin 6α=2sin 2αcos 2α3sin 4αcos 2α+3sin 2αcos 4α=2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α=23.【知识点】同角三角函数的基本关系。

人教A版高中数学必修第一册第5章5-4-2第1课时周期性与奇偶性课件

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3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？ [提示] 正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
√
√
[跟进训练] 3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y ＝f (x)的图象是( )
A
√B
C
D
B 由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．
【例1】求下列函数的周期： (2)f (x)＝|sin x|． [解] 法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|， ∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)， ∴f (x)的最小正周期为π．法二(图象法)：作出函数y＝|sin x|的图象如图所示．由图象可知T＝π．
第五章三角函数
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时周期性与奇偶性
学 1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周习期．(数学抽象、逻辑推理) 任 2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能务正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)
1．求下列函数的最小正周期： (3)y＝|cos x|，x∈R． [解] y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示．
由图象可知，y＝|cos x|的周期为π．
反思领悟 1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称．二看f (x)与f (－x)的关系． 2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．