2015年荆楚理工学院普通专升本《数学分析》考试大纲

2015年荆楚理工学院普通专升本《数学分析》考试大纲一、课程名称：数学分析二、适用专业: 数学与应用数学三、考试方法：闭卷考试四、考试时间：100分钟五、试卷结构：总分：150分，选择题30分，填空题30分，计算题50分，证明题40分。

六、参考书目：1、华东师范大学数学系编著，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社，2010年第4版。

2、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著，《数学分析教程》（上、下册），高等教育出版社，2003年第1版。

七、考试的基本要求：数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容，考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。

应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力，能运用所学知识正确拙推理证明，准确、简捷地计算。

能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。

八、考试范围第一章实数集与函数（一）考核内容实数及其性质,绝对值与不等式。

区间与邻域，有界集与确界原理。

函数概念,函数的表示法。

函数的四则运算,复合函数,反函数,初等函数。

具有某些特性的函数：有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。

（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式；2、数集、确界原理：区间与邻域，有界集与无界集，上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表示法(解析法、列表法、和图象法)，分段函数；4、具有某些特征的函数：有界函数，单调函数，奇函数与偶函数，周期函数。

（三）考核要求1、了解实数域及性质；2、掌握几种不等式及应用；3、熟练掌握数域，上确界，下确界，确界原理；4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。

第二章数列极限（一）考核内容数列。

数列极限的定义,无穷小数列。

收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。

子列及子列定理。

数列极限存在的条件：数列极限的单调有界定理、柯西收敛准则。

（二）考核知识点1、极限概念；2、收敛数列的性质：唯一性，有界性，保号性，单调性；3、数列极限存在的条件：单调有界准则，迫敛性法则，柯西准则。

（三）考核要求1、熟练掌握数列极限定义；2、掌握收敛数列的若干性质；3、掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。

第三章函数极限（一）考核内容求函数的极限，单侧极限。

函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性和四则运算法则。

函数极限存在的条件：归结原则、函数极限的单调有界定理和柯西准则。

两个重要极限。

无穷小量及其阶的比较,无穷大量，曲线的渐近线。

（二）考核知识点1、函数极限的概念，单侧极限的概念；2、函数极限的性质：唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性；3、函数极限存在的条件：归结原则（Heine定理），柯西准则；4、两个重要极限；5、无穷小量与无穷大量，阶的比较。

（三）考核要求1、熟练掌握使用语言，熟练叙述各类型函数极限；2、掌握函数极限的若干性质；3、掌握函数极限存在的条件。

（归结原则，柯西准则，左、右极限,单调有界等）；4、熟练应用两个特殊极限；5、牢固掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。

第四章函数连续性（一）考核内容函数在一点的连续性,左、右连续,间断点及其分类，区间上的连续函数。

连续函数的局部性质：局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函数的连续性,一致连续与一致连续性定理。

指数函数的连续性，初等函数连续性。

（二）考核知识点1、函数连续的概念：一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类；2、连续函数的性质：局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性；3、初等函数的连续性。

（三）考核要求1、熟练掌握在点连续的定义,等价定义；2、掌握间断点及其类型；3、了解在区间上连续的定义；4、掌握在一点连续的性质及闭区间上连续函数的性质；5、了解初等函数的连续性。

第五章导数与微分（一）考核内容导数的定义，导函数，导数的几何意义，极值，费马定理。

导数的四则运算法则，反函数的导数, 复合函数的导数，基本求导法则与公式。

参变量函数的导数,隐函数的导数，初等函数的导数。

高阶导数。

微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，高阶微分，微分在近似计算中的应用。

（二）考核知识点1、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义；2、求导法则：导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）；3、微分：微分的定义，微分的运算法则，微分的应用；4、高阶导数与高阶微分。

（三）考核要求1、熟练掌握导数的定义及其几何意义；2、牢固记住求导法则、求导公式；3、会求各类函数的导数（复合函数、含参变量函数、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式））；4、掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算；5、理解连续、可导、可微的关系。

第六章微分中值定量、不定式极限（一）考核内容罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，单调函数。

柯西中值定理。

不定式极限，罗比塔法则。

带有皮亚诺型余项、拉格朗日型余项的泰勒公式，泰勒公式在近似计算上的应用（二）考核知识点1、中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；2、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；3、泰勒公式。

（三）考核要求1、牢固掌握微分中值定理及应用（包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理）；2、会用洛比达法则求极限（将其他类型的不定型转化为等类型）。

第七章导数的应用（一）考核内容函数单调性与极值。

最大值与最小值。

函数的凸性与曲线的拐点。

函数图象的讨论。

方程的近似解。

极值的判别法；函数的升降、凸性讨论的有关理论及结果；画函数草图的基本要素和方法。

（二）考核知识点1、函数的单调性与极值；2、函数凹凸性与拐点.（三）考核要求1、掌握单调与导数符号的关系，并用它证明单调，不等式、求单调区间、极值等；2、利用的二阶导数判定凹凸性及拐点;3、了解凸函数及性质;4、会求曲线各种类型的渐近线性.第八章极限与连续（续）（一）考核内容关于实数集完备性的基本定理：闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理与致密性定理，实数完备性基本定理的等价性。

闭区间上连续函数性质的证明。

（二）考核知识点1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理；2、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明，介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；（三）考核要求1、掌握下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列；2、了解刻划实数完备性的六个定理的等价性，并掌握各定理的条件与结论；3、学会用六个定理证明其他问题，如连续函数性质定理等.第九章不定积分（一）考核内容原函数与不定积分概念,基本积分表,线性运算法则。

换元积分法，分部积分法。

有理函数的不定积分,三角函数有理式的不定积分,某些无理函数的不定积分。

（二）考核知识点1、不定积分概念；2、换元积分法与分部积分法；3、几类可化为有理函数的积分；（三）考核要求1、掌握原函数与不定积分的概念；2、记住基本积分公式；3、熟练掌握换元法、分部积分法；4、了解有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。

第十章定积分（一）考核内容概念引入（曲边梯形面积与变力作功），定积分定义，定积分的几何意义。

牛顿－莱布尼兹公式。

可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类：闭区间上的连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函数。

定积分的基本性质，积分中值定理。

变限积分与原函数的存在性，微积分学基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法。

可积性理论补叙.（二）考核知识点1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义，函数可积的必要条件；2、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数，只有有限个间断点的有界函数，单调函数)；3、微积分学基本定理：可变上限积分，牛顿-莱布尼兹公式；4、非正常积分：无穷积分收敛与发散的概念，审敛法（柯西准则，比较法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。

（三）考核要求1、掌握定积分定义、性质；2、了解可积条件，可积函数类；3、深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用；4、熟练计算定积分；5、掌握广义积分收敛定义及判别法，会计算广义积分。

第十一章定积分应用（一）考核内容微元法。

平面图形的面积。

由平行截面面积求体积，旋转体体积。

平面曲线的弧长、曲率。

旋转曲面的面积。

定积分的近似计算.（二）考核知识点1、定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率；（三）考核要求1、熟练计算各种平面图形面积；2、会求旋转体或已知截面面积的体积；3、会利用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积.第十二章数项级数（一）考核内容数项级数极其收敛与和的定义，柯西收敛准则，收敛级数的基本性质。

正顶级数收敛性的一般判别原则（比较原则），比式判别法与根式判别法，积分判别法。

拉贝判别法。

交错级数，莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与性质，条件收敛，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

（二）考核知识点1、级数的敛散性：无穷级数收敛，发散等概念，柯西准则，收敛级数的基本性质；2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法；3、一般项级数：交错级数与莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

（三）考核要求1、掌握数项级数敛散的定义、性质；2、熟练掌握正项级数的敛、散判别法；3、掌握条件、绝对收敛及莱布尼兹定理。

第十三章函数列与函数项级数（一）考核内容函数列与函数项级数的收敛、一致收敛性以及一致收敛的柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯优级数判别法（M判别法），阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性与可微性。

（二）考核知识点1、一致收敛性及一致收敛判别法（柯西准则，优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法）；2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）。

（三）考核要求1、掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义；2、掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法；;3、函数列的极限函数，函数项级数的和函数的性质。

第十四章幂级数（一）考核内容阿贝尔第一定理, 幂级数的收敛半径与收敛区间,内闭一致收敛性，幂级数的性质，幂级数的四则运算。