专题二平行四边形常用辅助线的作法精排版

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与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析(总9页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线,供同学们借鉴: 第一类:连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1,在平行四边形ABCD 中,点F E ,在对角线AC 上,且CF AE =,请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)⑴连结BF ⑵DE BF =⑶证明:连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==,∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =图2图1ECAAB第二类:平移对角线,把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,如果12=AC ,10=BD ,m AB =,那么m 的取值范围是( )A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m 解:将线段DB 沿DC 方向平移,使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<-m ,即2222<<m 解得111<<m 故选A 第三类:过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3已知:如左下图3,四边形ABCD 为平行四边形求证:222222DA CD BC AB BD AC +++=+证明:过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ,BC DF ⊥的延长线于点F ∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222 CFBC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ⋅++=++-=+=2)()(22222222则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+22222222 ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD = ∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB ∴DCF ABE ∆≅∆ ∴CF BE = ∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+图4图3KDCFBB第四类:延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。

专题二:平行四边形常用辅助线的作法(精排版)

专题二:平行四边形常用辅助线的作法(精排版)

平行四边形几何辅助线的作法补充中位线定理、三角形相似的性质及判定第一类:连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1,在平行四边形ABCD 中,点F E ,在对角线AC 上,且CF AE =,请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可) ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明:连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==,∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =图2图1OOECCDDEF练习1:如图1,E 是平行四边形ABCD 中AD 延长线上一点,ED 交BC 于F ,求证:。

简证:连BD ,由图易得(同底等高),(同底等高)所以,所以,即。

第二类:平移对角线,把平行四边形转化为梯形。

例2 如图2,平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于O ,AC=a+b ,BD=a+c (),AB=m ,求m 的取值范围。

简解:要求AB 的值,需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中,过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于E ,由图易得DBEC 是平行四边形,所以,,即,在△ACE 中,,即。

练习2:如右图2,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,如果12=AC ,10=BD ,m AB =,那么m 的取值范围是( )A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m 解:将线段DB 沿DC 方向平移,使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中,12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<-m ,即2222<<m 解得111<<m 故选A第三类:过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

常见四边形辅助线

常见四边形辅助线

常见四边形辅助线做法一.和平行四边形有关的辅助线作法1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2.利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图,在△ABC中,E、F为AB上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求证:ED+FG=AC.3.利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF//BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱形.例5如图,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证EF+BF的最小值等于DE长.(3)与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种:(1)计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;(2)证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图,已知矩形ABCD内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求 PD的长.例7如图,过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ,且AE=AC ,又CF//AE.求证:∠BCF=21∠AEB.5.与梯形有关的辅助线的作法和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型: (1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形; (2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形;(3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形; (4) 延长两腰构成三角形; (5)作两腰的平行线等.例8 已知,如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,AB=AC ,∠BAC=90°,BD=BC ,BD 交AC 于点0.求证:CO=CD.例9 如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于E.求DE的长.6.和中位线有关辅助线的作法例10 如图11,在四边形ABCD中,AC于BD交于点0,AC=BD,E、F分别是AB、CD中点,EF分别交AC、BD于点H、G.求证:OG=OH.综合练习1. (1)如图1所示,在四边形ABCD 中,AC =BD ,AC 与BD 相交于点O ,E F 、分别是AD BC 、的中点,联结EF ,分别交AC 、BD 于点M N 、,试判断OMN △的形状,并加以证明;(2)如图2,在四边形ABCD 中,若AB CD ,E F 、分别是AD BC 、的中点,联结FE 并延长,分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、,请在图2中画图并观察,图中是否有相等的角,若有,请直接写出结论: ;练习 1、为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方,政府又新建了几处广场,工人师傅在铺设地面时,准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形地砖,其中不能..进行平面镶嵌的是( )A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形2、如图,矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,折痕为DG ,则AG 的长为( )A .1B .34C .23D .2图 1 图2 图3BFBACD EFMNO3、把正方形ABCD 绕着点A ,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ,边FG 与BC 交于点H (如图).试问线段HG 与线段HB 相等吗?请先观察猜想,然后再证明你的猜想.4、如图,在矩形ABCD 中,BC =20cm ,P ,Q ,M ,N 分别从A ,B ,C ,D 出发沿AD ,BC ,CB ,DA 方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ =x cm(0x ≠),则AP =2x cm ,CM =3x cm ,DN =x 2cm .(1)当x 为何值时,以PQ ,MN 为两边,以矩形的边(AD 或BC )的一部分为第三边构成一个三角形;(2)当x 为何值时,以P ,Q ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形;(3)以P ,Q ,M ,N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能,求x 的值;如果不能,请说明理由.5.如图,在四边形ABCD 中,E 是BC 边的中点,连结DE 并延长,交AB 的延长线于F 点,AB BF =.添加一个条件,使四边形ABCD 是平行四边形.你认为下面四个条件中可选择的是( )A .AD BC =B .CD BF =C .A C ∠=∠D .F CDE ∠=∠6.如图,矩形ABCD 中,AB =3,BC =5.过对角线交点O作OE ⊥AC 交AD 于E ,则AE 的长是( ) A .1.6 B .2.5 C .3 D .3.47. 如图所示,菱形ABCD 中,对角线AC BD 、相交于点O ,H 为AD 边中点,菱形ABCD 的周长为24,则OH 的长等于 .D C A BGHFE A B D C P Q MN 题48. 如图所示,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D ,C 分别落在D ′,C ′的位置.若∠EFB =65°,则∠AED ′等于A . 70° B.65° C. 50° D. 25°作业1.如图所示,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,下列式子中一定成立的是 A .AC ⊥BD B .OA=OC C .AC=BD D .AO=OD ( )2.如图,平行四边形的周长为cm 28,∆ABC 的周长是cm 22,则AC 的长为( )A .cm 6B .cm 12C .cm 4D .cm 83.如图,在平行四边形ABCD 中,AD=5,AB=3,AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ,则线段BE 、EC 的长度分别为A .2和3B .3和2C .4和1D .1和44.将一张平行四边形的纸片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积,则这样的折纸方法共有A .1种B .2种C第1题O DB AC第2DBAC第3题EDBAEDBC′FCD ′A 第8题图EBAFCD第5题图第6题图第7题图C .3种D .无数种 ( )5.平行四边形ABCD 中,∠A :∠B :∠C :∠D 的值可以是( )A .4:3:3:4B .7:5:5:7C .4:3:2:1D .7:5:7:56.如图,在平行四边形ABCD 中,延长BA 至E , 下列各式不一定成立的是( )A .∠1+∠2=1800B .∠2+∠3=1800C .∠3+∠4=1800D .∠2+∠4=18007.两个全等的不等边三角形,可以拼成(不许重叠)形状不同的平行四边形的个数最多为A .2B .3C .4D .58.已知平行四边形的一条边长为14,下列各组数中能分别作为它的两条对角线长的是A . 10与16B .12与16C .20与22D .10与40 ( )9.如图,EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ,并交AD 于E ,交BC 与F ,若AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形EFCD 的周长是( )A .16B .14C .12D .1010.如图,在平行四边形ABCD 中,EF ∥BC ,GH ∥AB ,EF 、GH 的交点O 在BD 上,则图中面积相等的平行四边形有( )A .1对B .2对C .3对D .4对11.在平行四边形ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,AF ⊥CD 于F ,若AE=4,AF=6,平行四边形ABCD 的周长为40,则S 平行四边形ABCD .GC第10题O DB A EF C第11题 DBAEFE C第9题 ODBAFE C第6题1DA 243B12.自平行四边形65角的顶点作平行四边形的两条高,则这两条高的夹角为 .13.O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点,∆ABO 的面积为52cm ,则这个平行四边形的面积为 .14.如图,等腰∆ABC 中,AB=AC ,AB=8cm ,D 为BC 上任意一点,DE ∥AC ,DF ∥AB ,则平行四边 形AEDF 的周长为 .15.在平行四边形ABCD 中,M 是BC 的中点,AB :BC=1:2,则∠AMD=16.平行四边形ABCD 一个内角平分线把一条边分成cm 4和cm 5两段,则平行四边形ABCD 的周长为 .C第14题D BA EF。

初二数学专题 四边形辅助线

初二数学专题 四边形辅助线

初二数学专题:四边形辅助线做法总结(一)辅助线类型1.平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种:(1)连对角线或平移对角线:(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。

(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.2.和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定理解决问题:(1)作菱形的高;(2)连接菱形的对角线3.与矩形有关的辅助线的作法:(1)计算题型,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理、锐角三角函数或相似解决问题(2)证明或探索问题,一般连接矩形的对角线,借助于对角线相等且平分这一性质解决问题4.与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线或过对角线上的点向边作垂线、平行线是解决正方形问题的常用辅助线.(二)例题分析1.如图,E是正方形ABCD的边BC上的一个动点(E与B、C两点不重合),过点E作射线EP⊥AE,在射线EP上截取线段EF,使得EF=AE,过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G.(1)求证:FG=BE;(2)探索点F是否在∠DCG的平分线上,并说明你的理由.2. 已知□ABCD,对角线AC与BD相交于点O,点P在边AD上,过点P分别作PE⊥AC、PF⊥BD,垂足分别为E、F,PE=PF.(1)如图,若PE=3,EO=1,求∠EPF的度数;(2)若点P是AD的中点,点F是DO的中点,BF =BC+32-4,求BC的长.3. 如图,在菱形ABCD中,M,N分别是边AB,BC的中点,MP⊥AB交边CD于点P,连接NM,NP.(1)若∠B=60°,这时点P与点C重合,则∠NMP= 度;(2)求证:NM=NP;(3)当△NPC为等腰三角形时,求∠B的度数.4.(2015年辽宁葫芦岛)在△ABC中,AB=AC,点F是BC延长线上一点,以CF为边,作菱形CDEF,使菱形CDEF与点A在BC的同侧,连接BE,点G是BE的中点,连接AG、DG.(1)如图①,当∠BAC=∠DCF=90°时,直接写出AG与DG的位置和数量关系;(2)如图②,当∠BAC=∠DCF=60°时,试探究AG与DG的位置和数量关系,(3)当∠BAC=∠DCF=α时,直接写出AG与DG的数量关系.5.如图,点O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点,四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.6. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,且AE∥CD,CE∥AB.(1)证明:四边形ADCE是菱形;(2)若∠B=60°,BC=6,求菱形ADCE的高.(计算结果保留根号)7 如图,四边形ABCD为矩形,DE∥AC,且DE=AB,过点E作AD的垂线交AC于点F.(1)依题意补全图,并证明四边形EFCD是菱形;(2)若AB=3,BC=3,求平行线DE与AC间的距离.8. 如图,在▱ABCD中,E是AD上一点,连接BE,F为BE中点,且AF=BF,(1)求证:四边形ABCD为矩形;(2)过点F作FG⊥BE,垂足为F,交BC于点G,若BE=BC,S△BFG=5,CD=4,求CG.9. 如图,四边形ABCD是矩形,E为AD上一点,且∠CBD=∠EBD,P为对角线BD上一点,PN⊥BE于点N,PM⊥AD于点M.(1)求证:BE=DE;(2)试判断AB和PM,PN的数量关系并说明理由.10. 如图,点F在▱ABCD的对角线AC上,过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E,连接BF,∠ABF=∠FBC+∠FCB.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若BE=5,AD=8,sin∠CBE=,求AC的长.11. (2015年广西玉林)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,B重合),连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长;(2)取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长.。

平行四边形题型和辅助线(完美打印版)

平行四边形题型和辅助线(完美打印版)

平行四边形题型和辅助线(完美打印版)平行四边形是一种特殊的四边形,具有以下性质:两组对边分别平行,两组对边分别相等,两组对角分别相等,对角线互相平分,邻角互补。

在判定平行四边形时,可以选择不同的方法。

常见的考点包括利用平行四边形的性质求解角度、线段长和周长,求解某边的取值范围,以及综合计算问题。

另外,还可以利用平行四边形的性质证明角相等、线段相等和直线平行,或利用判定定理证明四边形是平行四边形。

在解决平行四边形问题时,常用的辅助线方法包括:连对角线或平移对角线,过顶点作对边的垂线构造直角三角形,连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线,连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形,以及过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。

平行四边形包括矩形、正方形和菱形,它们的两组对边、对角和对角线都具有相同的性质。

因此,在处理平行四边形问题时,可以将其转化为常见的三角形、正方形等问题处理,以达到更好的解决效果。

例如,在证明平行四边形的性质时,可以连对角线或平移对角线,或通过构造直角三角形和线段平行或中位线等方法,将问题简化为常见的三角形或线段问题。

这样可以更加方便地解决问题,提高解题效率。

四、构造相似或等积三角形例7:在正方形ABCD中,E、F分别为CD、DA的中点,BE、CF交于P,证明AP=AB。

证明:连接AP、BP,由于BE=EF,CF=DF,所以三角形BEP和CFP相似,即EP/FP=BE/CF=1,所以EP=FP,又因为EP=AB/2,所以AP=AB。

例8:在平行四边形ABCD中,E、F分别是DC、DA上一点,AE=CF,AE与CF交于P,证明PB平分∠APC。

证明:连接AP、BP、CP,由于AE=CF,所以△AEP和△CFP全等,即∠APE=∠CPF,又因为AB∥CD,所以∠APE=∠BPC,所以∠XXX∠XXX,即PB平分∠APC。

四边形辅助线常用做法

四边形辅助线常用做法

四边形常用的辅助线做法作辅助线的方法一:中点、中位线,延线,平行线。

如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二:垂线、分角线,翻转全等连。

如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转 180 度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三:边边若相等,旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心,因题而异,有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四 :造角、平、相似,和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。

”五:面积找底高,多边变三边。

如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积),往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形,想法割补成三角形;反之,亦成立。

四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形问题巧转换,变为△和□。

平移腰,移对角,两腰延长作出高。

如果出现腰中点,细心连上中位线。

上述方法不奏效,过腰中点全等造。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

添加辅助线解特殊四边形题特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.和平行四边形有关的辅助线作法平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形 .平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:(1)连对角线或平移对角线:(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。

专题二:平行四边形常用辅助线的作法(精排版)

专题二:平行四边形常用辅助线的作法(精排版)

专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法、知识点1 •四边形的内角和与外角和定理:(1)四边形的内角和等于360 ° ; (2)四边形的外角和等于360 ° 2 .多边形的内角和与外角和定理:(1) n 边形的内角和等于(n-2)180 (2)任意多边形的外角和等于360 ° 3 .平行四边形的性质:4、平行四边形判定方法的选择例1、如图,已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点,四边形OCDE 是平行四 边形.求证:OE 与AD 互相平分.说明:当已知条件中涉及到平行,且要求 证的结论中和平行四边形的性质有关, 可 试通过添性质四边形ABCD 是平行四边形 —判定(1)两组对边分别平行;⑵两组对边分别相等; (3) 两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分; (5) 邻角互补.已知条件选择的力定方法*边I 一绢对边相等 L .. 比⑵•方迭⑶ 一组对边平行 定文(方法1),方袪⑶一綁对弟相警 1 方法《5〉£ 苗亍四边形有关的辅」方法(4〉和平 助线作法 5、 (1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形加辅助线构造平行四边形~~:(2)利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图,在厶ABC中,E、F为AB上两点,AE=BF, ED//AC , FG//AC交BC分别为D,G.求证:ED+FG=AC.说明:当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行,得到平行四边形解决问例3、如图,已知AD是厶ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.说明:本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法•(4) 连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。

例4、如图,在平行四边形ABCD 中,点E,F 在对角线AC 上,且AE CF ,请你以F 为一 个端点,相等(只需证明一条线段即可)(5) 平移对角线,把平行四边形转化为梯形例5、如右图2,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点0,如果AC 12,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段DC图3C 、10 m 12(6) 过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

与平行四边形有关地常用辅助线作法归类解析汇报

与平行四边形有关地常用辅助线作法归类解析汇报

与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线,供同学们借鉴:第一类:连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE CF ,请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)⑴连结BF ⑵BF⑶证明:连结DB,DF ,设DB,AC交于点•••四边形ABCD为平行四边形•/ AE FC ••• AO AE•••四边形EBFD为平行四边形DEO• AO OC,DO OBOC FC 即OE OF• BF DE第二类:平移对角线,把平行四边形转化为梯形。

例2如右图2,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD 相交于点O,如果AC 12,BD 10, AB m,那么m的取值范围是()A1 m 11 B 2 m 22 C 10 m 12 D 5 m 6解:将线段DB沿DC方向平移,使得DB CE, DC BE,则有四边形CDBE为平行四边形,•••在ACE 中,AC 12, CE BD 10, AE 2AB 2m• 12 10 2m 12 10,即2 2m 22 解得1 m 11 故选A第三类:过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例3已知:如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证:AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2证明:过A,D分别作AE BC于点E , DF BC的延长线于点F• AB // CD 且AB CD , AD BCAC2AE2CE2AB2BE2(BC BE)2AB2BC2 2BE BC BD2DF 2BF 2(CD2CF2) (BC CF)2CD 2 BC2 2BC CF 则AC2BD2AB2BC2CD2DA22BC CF 2BC BE •••四边形ABCD为平行四边形ABE DCF2 2 2 2 2 2••• AC BD AB BC CD DA例4 :已知:如右上图4,在正方形ABCD 中,E,F 分别是CD 、DA 的中点,BE 与CF 交于P 点,求证:AP AB证明:延长CF 交BA 的延长线于点 K •••四边形 ABCD 为正方形AB // CD 且 AB CD ,CD AD , BADBCDD 9001 K 又•••DDAK 900, DF AF• CDF 也 KAF AK CDAB1 •/ CE CD,DF 212ADCE DFBCDD 900• BCE 也 CDF121 3 90° 23 900• CPB900 ,则KPB 900AP AB第五类:延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三角形。

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专题讲义 平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点1.四边形的内角和与外角和定理:(1)四边形的内角和等于360°;(2)四边形的外角和等于360°.2.多边形的内角和与外角和定理: (1)n 边形的内角和等于(n-2)180°;(2)任意多边形的外角和等于360°.3.平行四边形的性质:四边形ABCD 是平行四边形 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321)邻角互补()对角线互相平分;()两组对角分别相等;()两组对边分别相等;()两组对边分别平行;( 4、平行四边形判定方法的选择 5、和平行四边形有关的辅助线作法(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图,已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点,四边形OCDE 是平行四边形 求证: OE 与AD 互相平分.(2)利用两组对边平行构造平行四边形 例2、如图,在△ABC 中,E 、F 为AB 上两点,AE=BF ,ED//AC ,FG//AC 交BC 分别为D ,G. 求证: ED+FG=AC.(3)利用对角线互相平分构造平行四边形 例3、如图,已知AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于E ,交AD 于F ,且AE=EF.求证BF=AC.A BC D 1234A B C D A B D O C 性质 判定 说明:当已知条件中涉及到平行,且要求证的结论中和平行四边形的性质有关,可说明:当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组说明:本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.(4)连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。

例4、如图,在平行四边形ABCD 中,点F E ,在对角线AC 上,且CF AE =,请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)(5)平移对角线,把平行四边形转化为梯形。

例5、如右图2,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 和BD 相交于点O ,如果12=AC , 10=BD ,m AB =,那么m 的取值范围是( )A 、111<<mB 、222<<mC 、1210<<mD 、65<<m(6)过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。

例6、已知:如图,四边形ABCD 为平行四边形求证:222222DA CD BC AB BD AC +++=+ (7)延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。

例7、已知:如右上图4,在正方形ABCD 中,F E ,分别是CD 、DA 的中点,BE 与CF 交于P 点,求证:AB AP =二、课堂练习: 1、如图,E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点,AC 与DE 相交于点F ,若平行四边形ABCD 的面积为S ,则图中面积为S 21的三角形有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点,得到一个 ___________四边形.3、如图,AD ,BC 垂直相交于点O ,AB ∥CD ,BC=8,AD=6,则AB+CD 的长=___________。

图2O EC A BD 321图图3P E DCE D A B4、已知等边三角形ABC 的边长为a , P 是△ABC 内一点,PD ∥AB ,PE ∥BC ,PF ∥AC ,点D 、E 、F 分别在 BC 、AC 、AB 上,猜想:PD +PE+PF=______,并证明你的猜想.5、平行四边形ABCD 中,H F G E ,,,分别是四条边上的点,且DH BC CF AE ==,, 试说明:EF 与GH 相互平分.6、如图,平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O ,E 、F 分别为OB 、OD 的中点,过O 任作一直线分别交AB 、CD 于G 、H .试说明:GF ∥EH .7、如图,已知AC AB =,B 是AD 的中点,E 是AB 的中点.试说明:CE CD 2=8、如图,E 是梯形ABCD 腰DC 的中点.试说明:ABCD ABE S S 梯形21=∆ 9、已知六边形ABCDEF 的6个内角均为120°,CD =2cm ,BC =8cm ,AB =8cm ,AF=5cm ,试求此六边形的周长.10、已知ABC ∆是等腰三角形,AB=AC ,D 是BC 边上的任一点,且,AB DE ⊥AB CH AC DF ⊥⊥,,垂足分别为E 、F 、H ,求 证:CH DF DE =+11、已知:在ABC Rt ∆中,BC AB =;在ADE Rt ∆中,DE AD =;连结EC ,取EC 的中点M ,连结DM 和BM .(1)若点D 在边AC 上,点E 在边AB 上且与点B 不重合,如图①,BD E求证:DM BM =且DM BM ⊥;(2)如果将图8-①中的ADE ∆绕点A 逆时针旋转小于45°的角,如图②,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.答案:例OF 例为平行 例∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD =∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB∴DCF ABE ∆≅∆ ∴CF BE =∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+例7、证明:延长CF 交BA 的延长线于点K 图①图-②∵四边形ABCD 为正方形∴AB ∥CD 且CD AB =,AD CD =,090=∠=∠=∠D BCD BAD∴K ∠=∠1 又∵090=∠=∠DAK D ,AF DF = ∴CDF ∆≌KAF ∆∴AB CD AK == ∵AD DF CD CE 21,21== ∴DF CE = ∵090=∠=∠D BCD ∴BCE ∆≌CDF ∆ ∴21∠=∠∵09031=∠+∠09032=∠+∠090=∠CPB 090=∠KPB ∴AB AP =二、课堂练习1、 C2、平行3、104、a5、分析:观察图形,EF 与HG 为四边形HEGF 的对角线,若能说明四边形HEGF 是平行四边形,根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF 与GH 相互平分。

6、分析:观察图形,GF 与EH 为四边形GEHF 的对边,若能说明四边形EHFG 是平行四边形,平行四边形具有对边平行的性质可得GF ∥EH .7、分析:延长CE 至F ,使EF =CE ,连结AF 、BF ,得四边形AFBC 是平行四边形,利用平行四边形的性质证明△DBC ≌△FBC 即可。

8、分析:过点E 作MN ∥AB ,交BC 于N ,交AD 的延长线于M ,则四边形ABNM 是平行四边形,△ABE 与四边形ABNM 等底等高,所以S △ABE =21S 平行四边形ABNM ,接下来说明 S 梯形ABCD =S 平行四边形ABNM 即可。

9、10、证明:过D点作DG⊥CH于G又DE⊥AB于E,CH⊥AB于H∴四边形DGHE为矩形∴DE=GH EH∥DG∴∠B=∠GDC又AB=AC ∴∠B=∠ACB∴∠GDC=∠ACB又∠DGC=∠DFC=90°CD=DC(公共边)11(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。

(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.第一类:连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。

例1如左下图1,在平行四边形ABCD 中,点F E ,在对角线AC 上,且CF AE =,请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)⑴连结BF ⑵DE BF =⑶证明:连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==,12=, BD 求证:222222DA CD BC AB BD AC +++=+证明:过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ,BC DF ⊥的延长线于点F∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+22222222∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD =∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB∴DCF ABE ∆≅∆ ∴CF BE =∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+第四类:延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。

例4:已知:如右上图4,在正方形ABCD 中,F E ,分别是CD 、DA 的中点,BE 与CF 交于P 点,求证:AB AP =证明:延长CF 交BA 的延长线于点KFAB ∆第六类:把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线例6已知:如右上图6,在平行四边形ABCD 中,BN AN =,BC BE 31=,NE 交BD 于F ,求BD BF :解:连结AC 交BD 于点O ,连结ON∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴2,BD OD OB OC OA ===∵BN AN = ∴ON ∥BC 21且BC ON 21= ∴FO BF ON BE = ∵BC BE 31= ∴3:2:=ON BE ∴32=FO BF ∴52=BO BF ∴5:1:=BD BF 综上所述,平行四边形中常添加辅助线是:连对角线,平移对角线,延长一边中点与顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形)、矩形(梯形)等图形,。

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