矩形的翻折问题 2

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初中数学-矩形翻折问题小专题

矩形翻折问题小专题【知识方法总结】1．联系实际，内容丰富，具有开放性，有利于考查学生的动手能力，空间观念和几何变换的思想。

2.图形的折叠就是对称变换，即翻折。

3.其解法看似灵活，抓住翻折前后的图形是全等图形这一关键，“边相等，角相等，折线为角平分线”再利用勾股定理或比例关系或线段的相等关系列方程，即可求解。

4.注意点：（1）折叠就是轴对称（2）其中蕴含着全等图形;即边和角的相等关系。

【经典例题】例1．已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF （如图）．（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想；（2）求折痕EF的长．【解答】解：（1）菱形，理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∠AFE＝∠CEF．∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合，∴∠CEF＝∠AEF，AE＝CE∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．∴AF＝CE，又∵AF∥CE，∴AECF为平行四边形，∵AE＝EC，即四边形AECF的四边相等．∴四边形AECF为菱形．例2．已知：长方形纸片ABCD中，AB＝10cm，AD＜AB．（1）当AD＝6.5cm时，如图①，将长方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边上，记作点D′，折痕为AE，如图②．此时，图②中线段D′B长是cm．（2）若AD＝xcm，先将长方形纸片ABCD按问题（1）的方法折叠，再将三角形AED′沿D′E向右翻折，使点A落在射线D′B上，记作点A′．若翻折后的图形中，线段BD′＝2BA′，请根据题意重新画出图形（草图），并求出x的值．【解答】解：（1）由题意知AD′＝AD＝6.5cm，∴D′B＝AB﹣AD′＝10﹣6.5＝3.5（cm），故答案为：3.5；（2）如图所示，由题意知，AD＝AD′＝A′D′＝xcm，∵AB＝10cm，∴BD′＝10﹣x，A′B＝2x﹣10，由BD′＝2BA′得10﹣x＝2（2x﹣10），解得：x＝6．例3．如图，在矩形纸片ABCD中，BC=a，将矩形纸片翻折，使点C恰好落在对角线交点O处，折痕为BE，点E在边CD上，则CE的长为（）a；A. 12a；B. 25a；C. √33a．D. √32【答案】C例4．（1）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G 点在边BC上，BG＝10．①当折痕的另一端点F在AB边上时，如图①，求△EFG的面积；②当折痕的另一端点F在AD边上时，如图②，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．（2）在矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．【解答】例5．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为=．DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则ADAB【答案】3+4√313例6．在学习完特殊的平行四边形之后，某学习小组针对矩形中的折叠问题进行了研究．问题背景：在矩形ABCD中，点E、F分别是BC、AD 上的动点，且BE＝DF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点C′处，点D落在点D′处，射线EC′与射线DA相交于点M．猜想与证明：（1）如图1，当EC′与线段AD交于点M时，判断△MEF的形状并证明你的结论；操作与画图：（2）当点M与点A重合时，请在图2中作出此时的折痕EF和折叠后的图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）；操作与探究：（3）如图3，当点M在线段DA延长线上时，线段C′D'分别与AD，AB交于P，N两点时，C′E与AB交于点Q，连接MN 并延长MN交EF于点O．求证：MO⊥EF 且MO平分EF；【解答】解：（1）△MEF是等腰三角形．理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MFE＝∠CEF，由折叠可得，∠MEF＝∠CEF，∴∠MFE＝∠MEF，∴ME＝MF，∴△MEF是等腰三角形．（2）折痕EF和折叠后的图形如图2所示：7．如图1，矩形纸片ABCD的边长AB＝4cm，AD＝2cm．同学小明现将该矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：（1）GF FD（直接填写＝、＞、＜）；（2）判断△CEF的形状，并说明理由；（3）运用所学知识，请计算着色部分多边形BCHFE的面积．【解答】解：（1）由翻折的性质，可得GD＝FD；故答案为：＝；（2）△CEF是等腰三角形．∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∴∠AEF＝∠CFE，由翻折的性质，∠AEF＝∠FEC，∴∠CFE＝∠FEC，∴CF＝CE，故△CEF为等腰三角形；8．如图，已知矩形纸片ABCD，AB=4，BC=10，M是BC的中点，点P沿折线BA﹣AD运动，以MP为折痕将矩形纸片向右翻折，使点B落在矩形的边上，则折痕MP的长．√5或2√5或4【答案】529．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．【解答】（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形；（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC，由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF，∴CF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AFCE为菱形；（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．理由：由折叠的性质，得：CE=AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a，在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．10．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB=4，则FM的长为（）A. 4B. 2√3C. 2√2D. 2【答案】B11．在一张长方形ABCD纸张中，AB＝25cm，AD＝20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题（1）如图1，折痕为DE，点A的对应点F在CD上，则折痕DE的长为cm；（2）如图2，H、G分别为BC、AD的中点，点A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分（△DEF）的面积；（3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着HG剪开，变成两张长方形纸片，将这两张纸按图形位置任意叠合后，发现重叠部分都是菱形，显然，这些菱形中周长最短是40cm．是否存在叠后周长最大的菱形？若存在，请求出叠合后周长最大的菱形的周长和面积；若不存在，请说明理由．【解答】12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点E在AD边上，已知B、E两点关于直线l对称，直线l 分别交AD、BC边于点M、N，连接BM、NE．（1）求证：四边形BMEN是菱形；（2）若DE=2，求NC的长．【解答】（1）证明：∵B、E两点关于直线l对称，∴BM=ME，BN=NE，∠BMN=∠EMN，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EMN=∠MNB，∴∠BMN=∠MNB，∴BM=BN，∴BM=ME=BN=NE，∴四边形BMEN是菱形；（2）解：设菱形边长为x，则AM=8−x，在Rt△ABM中，42+(8−x)2=x2，解得：x=5，∴NC=5．【答案】（1）略；（2）5．。

矩形的折叠问题(专题)

→ Bx
D
，故OE= 。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， C ∠C=90º ，沿着B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合。当∠A满足什么条件时，点D恰好是AB的中点？写出一个你 B 认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB中点。条件：∠A=30º
E D A
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ，在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º， ∴ BC= ∴ BD =
答案：矩形的长为10，宽为8。
D F E A
C
B
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x. (1)用x表示△AMN的面积SΔ AMN。 (2)Δ AMN沿MN折叠，设点A关于Δ AMN对称的点为A¹ ， Δ A¹ MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多少？
矩形的折叠问题
（复习课）
练习1 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE 重合，求CD
A E C B D
如图，折叠矩形的一边AD，点D 落在BC边上点F处，已知AB=8， BC=10，求EC的长 D A
E B F C
练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、 C分别落在AB上的D¹ 、C¹ 处，折痕为EF。若CD=3，EF=4，则AD¹ +BC¹ = 。

中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题(距离问题)

中考数学折叠问题专项突破2—矩形的折叠问题（距离问题）专题二矩形的折叠中的距离或线段长度问题【典例】在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为.图例1-1 图例1-2 图例1-3【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得，A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'P A的角平分线，与AD的交点即为点Q. 由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形. 所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.故答案为：2.【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。

作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A 的落点A '，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ 的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.1、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A ′处，当△A ′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（）A ．2B ．3C ．2或3D ．2 【分析】根据△A ′DC 为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A 'D =A 'C ，②A 'D =DC ，③CA '=CD ，分别求得AP 的长，并判断是否符合题意．【解析】①如图，当A ′D =A ′C 时，过A ′作EF ⊥AD ，交DC 于E ，交AB 于F ，则EF 垂直平分CD ，EF 垂直平分AB∴A 'A =A 'B ，由折叠得，AB =A 'B ，∠ABP =∠A 'BP ，∴△ABA '是等边三角形，∴∠ABP =30°，∴AP =2 3333==； ②如图，当A 'D =DC 时，A 'D =2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'D =2+2=4连接BD ，则R t △ABD 中，BD =2222 2425AB AD +=+= ，∴A 'B +A 'D ＜BD （不合题意）故这种情况不存在；③如图，当CD =CA '时，CA '=2由折叠得，A 'B =AB =2，∴A 'B +A 'C =2+2=4，∴点A '落在BC 上的中点处此时，∠ABP =12∠ABA '=45°，∴AP =AB =2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为或2．故选C.【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、．矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3 B．32C．2或3 D．3或32【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在R t△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在R t△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在R t△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP 与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )A．PGCG =13B．△PBC是等边三角形C．AC＝2AP D．S△B G C＝3S△A G P【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段C G、A G之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，AC，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝√3，BC＝3，∴AC＝2√3，AB＝12∴∠ACB＝30°；由翻折变换的性质得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，B G＝P G，∴G C＝√3B G＝√3P G，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；B G，C G＝3A G，∴S△BC G＝3S△AB G；由射影定理得：B G2＝C G•A G，∴A G＝√33由题意得：S△AB G＝S△A G P，∴S△B G C＝3S△A G P，故选项D正确；故选：A．【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．4、如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．【分析】由矩形的性质和已知条件OP OF =，可判定OEF OBP ∆≅∆,设EF x =，根据全等三角形的性质及矩形的性质可用含x 的式子表示出DF 和AF 的长，在Rt ADF ∆根据勾股定理可求出x 的值，即可确定AF 的值. 【解析】四边形ABCD 是矩形, ∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠= DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的，∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=B E ∴∠=∠，又,FOE POB OP OF ∠=∠= ，∴OEF OBP ∆≅∆（AA S ）,EF BP OE OB ∴==，BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==- ，5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=- 解得67x = 620277AF ∴=+= 故答案为：207【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.5、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为__．【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】设BE=x，则：EF=x，AE=3-x在R t△ABC中，由勾股定理得：AC在R t△EBC中，由勾股定理得:EC由折叠可知CF=CB=2，所以：AF=AC-CF-2.【小结】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.6、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A ′，当点E ，A ′，C 三点在一条直线上时，DF 的长为_____．【分析】利用勾股定理求出CE ，再证明CF =CE 即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA ＝∠FEA ′，∵CD ∥AB ，∴∠CFE ＝∠AEF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，在R t △BCE 中，EC，∴CF ＝CE＝，∵AB ＝CD ＝6，∴DF＝CD ﹣CF ＝6﹣，当点F在DC 的延长线上时，易知EF ⊥EF′，CF ＝CF ′＝，∴DF ＝CD +CF ′＝，故答案为6﹣或．【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE 的等腰三角形，属于中考常考题型．==7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在R t△A′CD与R t△DBA中，，∴R t△A′CD≌R t△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【解析】连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB=5．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在R t△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5，故答案为：510、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在R t△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在R t△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD=2，⊙O半径=．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中，∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在R t△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在R t△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．13、在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18°．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠F AE，∴∠DAE=∠DAC=18°；故答案为：18；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠性质：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在R t△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在R t△CEG和△FEG中，，∴R t△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在R t△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为．。

2023年中考数学【选择题】讲练必考重点03 几何变换之翻折问题

【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。

几何的翻折问题，本质上考查的是轴对称的性质，常和矩形相结合。

在解题时，首先要明确折叠前后的图形全等，折叠前后的对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点之间的连线，在结合矩形、菱形、三角形等的性质，运用勾股定理，列出方程，求出相应的线段长度。

【2022·江苏连云港·中考母题】如图，将矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF ∥EC ；②AB ；③GE DF ；④OC ；⑤△COF ∽△CEG ．其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①④⑤D ．②③④【考点分析】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．【思路分析】由折叠的性质知∠FGE =90°，∠GEC =90°，点G 为AD 的中点，点E 为AB 的中点，设AD =BC =2a ，AB =CD =2b ，在Rt △CDG 中，由勾股定理求得b ，然后利用勾股定理再求得DF =FO =【2021·江苏苏州·中考母题】如图，在平行四边形ABCD 中，将ABC 沿着AC 所在的直线翻折得到AB C '，B C '交AD 于点E ，连接B D '，若60B ∠=︒，45ACB ∠=︒，AC =B D '的长是（）A．1BC D 【考点分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【思路分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC 为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE 得长，进而得出ED 的长，再根据勾股定理可得出B D '；1．（2022·江苏苏州·二模）如图把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 的对应点为B ′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是（）A ．BC ＝12ACB ．AE ＝CEC ．AD ＝DE D ．∠DAE ＝∠CAB2．（2022·江苏南京·二模）如图，矩形ABCO ，点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标为()2,4-．将△ABC 沿AC 翻折，得到△ADC ，则点D 的坐标是（）A．612,55⎛⎫⎪⎝⎭B．65,52⎛⎫⎪⎝⎭C．312,25⎛⎫⎪⎝⎭D．35,22⎛⎫⎪⎝⎭3．（2022·江苏泰州·一模）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝11，EN＝2，则FO的长为（）A B C D4．（2022·江苏宿迁·三模）已知长方形纸条ABCD，点E、G在AD边上，点F、H在BC边上．将纸条分别沿着EF、GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，1∠与2∠的数量关系是（）A．12135∠+∠=︒B．2115∠-∠=︒C．1290∠+∠=︒D．22190∠-∠=︒5．（2022·江苏苏州·二模）如图①，②，③，④，两次折叠等腰三角形纸片ABC，先使AB与AC重合，折痕为AD，展平纸片：再使点A与点C重合，折痕为EF，展平纸片，AD、EF交于点G．若5cmAB AC==，6cmBC，则DG的长为（）A．3cm4B．7cm8C．1cm D．7cm66．（2022·江苏·苏州中学二模）如图，菱形ABCD中，点E在AD上，将△ABE沿着BE翻折，点A恰好落在CD上的点F处．若∠A=65°，则∠DFE的度数为（）A．85︒B．82.5︒C．65︒D．50︒7．（2022·江苏扬州·二模）如图，在矩形ABCD中，2AB=，BC=E是BC的中点，将ABE△沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则tan ECF∠的值为（）A B C．23D8．（2022·江苏苏州·模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC 边上的点F处，若3AB=，5BC=，则tan FEC∠的值为（）．A．12B．35C．34D．459．（2022·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点．DE与BC交于点F．若y＝kx（k≠0）图象经过点C．且S△BEF＝1，则k的值为（）A．18B．20C．24D．2810．（2022·江苏·江阴市第一初级中学一模）如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE外部时，则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A=∠1-∠2B．3∠A=2（∠1-∠2）C．3∠A=2∠1-∠2D．∠A=∠1-∠211．（2022·江苏·无锡市天一实验学校二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，tan∠ABC=32，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN 翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（）A B C D12．（2022·江苏省南菁高级中学实验学校九年级）如图，在ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将BDE 沿DE 翻折，得到B DE '，若点C 恰好在线段B D '上，若90BCD ∠=︒，DC ：3CB '=：2，AB =CE 的长度为（）A．B C ．D 13．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在△ABC 中，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，将△ACD 沿CD 对折得△A ′CD ．连接BA '，连接AA ′交CD 于点E ，若14cm AB =，4cm BA '=，则CE 的长为（）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm14．（2022·江苏·宜兴市树人中学九年级）如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上的一点，过点D 作DE ∥AC 交BC 于点E ，将△BDE 沿翻折，得到△B 'DE ，若点C 恰好在线段B 'D 上，若∠BCD ＝90°，DC ：CB '＝3：2，AB ＝CE 的长度为（）A．B ．4C ．D ．615．（2022·江苏·九年级专题练习）如图①，AB ＝5，射线AM ∥BN ，点C 在射线BN 上，将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 的对应点D 落在射线BN 上，点P ，Q 分别在射线AM 、BN 上，PQ ∥AB ．设AP ＝x ，QD ＝y ．若y 关于x 的函数图象（如图②）经过点E (9，2)，则cos B 的值等于（）A．25B．12C．35D．71016．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学九年级期中）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（）A B C D17．（2022·江苏南通·九年级）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB 翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°18．（2022·江苏南京·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD 上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A ．2B ．74C D ．319．（2022·江苏·宿迁青华中学九年级期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AD =，3BC =．劣弧BC 沿弦BC 翻折，刚好经过圆心O ．当对角线BD 最大时，则弦AB 的长为（）A B ．C ．32D ．【选择题】必考重点03 几何变换之翻折问题几何变换中的折叠问题，是江苏各地中考中常考的题型，难度多为一般或者较难。

矩形的翻折问题

是．Leabharlann 12 或2712..如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE与AB、AG与CD的交点．（1）试说明四边形AECG的形状，并说明理由；（2）若矩形的边AD=3cm，AB=4cm，求△AGC的面积；（3）当四边形AECG是菱形时，求∠AGC的度数。
答案3
10.(09内江)如图12所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1＋
∠2 =800，则∠B= 答案400
11.(09德州) 将三角形纸片(△ABC)按如图14所示的方式折叠，使
点B落在边AC上，记为点B/，折痕为EF.已知AB = AC=3，BC=4，
若以点B/，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度
若∠A=75°，则∠1+∠2=
（A）
A．150° B．210° C．105° D．75°
8.（2008·郴州）如图1所示，D是AB边上的中点，将△ABC沿
过D的直线折叠，使点A落在BC上的F处，若DE为折痕，∠B
=500，则∠BDF =
( 800 )
9.(09河北) 如图8，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC 上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A/处，且点A/在 △ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm.
3
6.(2012上海)如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如
果AD⊥ED，那么线段DE的长为
．
7.（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，
点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，

《勾股定理》模型(二)——矩形翻折模型

《勾股定理》模型（二）——矩形翻折模型模型讲解一、折在外【结论1】如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B和点D重合，则（1）∠1=∠2=∠3（2）DE=DF=BE，（3）FC=FH【证明】如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点B与点D重合，∴∠1=∠2，DE＝BE, FC＝FH∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠2＝∠3，∴∠1=∠2=∠3 ，∴DE=DF，∴DE=DF=BE【结论2】如图，矩形ABCD，将△ACD沿对角线AC折叠，D点对应点为F 则（1）△AFE≌△CBE（2）AE=CE（3）∠EAC=∠ECA【证明】如图，△ACF由△ACD沿AC折叠而得，∴∠F＝∠D＝90º，AF=AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠F＝∠D＝90º，CB＝AD＝AF，AB∥CD，在△AFE和△CBE中，∠F＝∠B＝90º，AF＝CB，∠FEA＝∠BEC，∴△AFE≌△CBE∴AE=CE ，∴∠EAC=∠ECA二、折在里【结论3】如图，矩形ABCD，将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上，则CE=AC －AD，CF=CD－EF【证明】∵△AFD沿AF折叠得△AFE，∴△AFD≌△AFE∴AE＝AD，EF＝DF，∴CE=AC－AD＝AC－AE，CF=CD－DF＝CD－EF【结论4】如图，将矩形ABCD对折，折痕EF，再将△ADH沿AH折叠，使点G落在EF上，则（1）AG=2AE（2）∠1=∠2=∠3=30°【证明】∵△ADH 沿AH 折叠得△AGH ，E 是AD 的中点，∴AG ＝AD ＝2AE ，∠1＝∠2，在Rt △AEG 中，AG ＝2AE ，∴Rt △AEG 是含30º角的直角三角形∴∠3＝∠1＝∠2＝30º.典例1☆☆☆☆☆如图所示，沿着AE 折叠长方形，使点D 落在边BC 上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，则 EC 的长为（） A.3 cmB. 4 cmC.5 cm D.6 cm【答案】A【解析】根据折叠的性质得△ADE ≌△AFE ，∴AF=AD=10 cm,EF=DE,∴BF ＝22AB AF ＝6（cm ）. ∴CF ＝BC －BF ＝10-6＝4(cm).设EC ＝x cm ，则 EF ＝（8-x ）cm.在Rt △EFC 中，CF ²＋CE2＝EF2，即42＋x2=（8-x ）2解得 x ＝3.∴EC 的长为 3 cm.故选 A.典例2 ☆☆☆☆☆如图所示，在矩形纸片ABCD 中，AB= 6 cm ，BC=8 cm ，现将其沿 EF 对折，使得点C 与点A 重合，则 AF 的长为（）.典例秒杀A.825cmB.425cmC.225cmD.8 cm【答案】B【解析】设 AF ＝x cm ，则 DF ＝（8-x ）cm.在矩形纸片ABCD 中，AB=6cm ，BC=8 cm ，将其沿EF 折叠后，点C 与点A 重合，DF=D ´F.在 Rt △AD ´F 中，AF2=AD ´2＋D ´F2，即 2²＝6²＋（8－x ）2，解得 x ＝425,∴AF ＝425cm,故选B典例3 ☆☆☆☆☆如图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 落在 AD 边的中点 C ´处，点 B 落在点B ´处，其中 AB=9，BC=6，则 FC ´的长为（)A.310B.4C.4.5D.5【答案】D【解析】由题意，设 FC ＝FC ´＝x ，则 FD ＝9－x.∵BC ＝6，四边形 ABCD 为矩形，点 C ´为AD 的中点，∴AD=BC=6,C ´D=3.在 Rt △FC ´D 中，FC ´2＝FD2＋C ´D2，即x2=（9-x ）2+32，解得 x=5.故 FC ´的长为 5.故选 D.1.（★★★☆☆）如图，已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点C 落在C ´处，BC ´交AD 于点E ，AD=8，AB=4，则 DE 的长为( ). 小试牛刀A.3B.4C.5D.62.（★★★☆☆）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合.已知AB=3，AD=9，则折痕EF 的长为（）.A.3B.10C.5D.4直击中考1.如图，将长方形ABCD沿EF 折叠，使顶点C恰好落在AB 边的中点C´上.若AB=6，BC=9，则BF 的长为（)A.4B.32C.4.5D.52.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE 折叠，点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为_________.矩形的折叠，注意折叠前后的边角对应关系，计算时联想到利用勾股定理对新形成的直角三角形进行求解。

矩形的五种折叠方法

矩形的五种折叠方法折叠问题的实质是轴对称问题，折叠原理实际上是图形的全等问题，对应角相等，对应线段相等。

对应点的连线被折痕垂直平分。

矩形在日常生活中随处可见，矩形的性质又具有平行四边形的所有性质，并且具有对角线互相平分且相等的特有性质，它不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形.所以矩形的折叠问题是中考热点问题，并且折叠的方法不同，问题不同，给参加中考的考生带来各种各样的困境，为了让参加中考的孩子们轻松应考，先把矩形的折叠问题进行总结一下.一.沿对角线折叠例1.在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。

如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M。

（1）判断△OBM是什么三角形，并说明理由，并求出△OBM的面积（2）求MN的长.【分析】由矩形性质可知，AB=OC=3,BC=OA=4,∠COA=∠OAB=90°OA∥BC 所以∠AOB=∠MBO根据折叠原理得∠AOB=∠MOB，所以∠MBO=∠MOB，∴MB=MO所以△OBM是等腰三角形，二．折一角，使直角顶点到对边例2.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC ＝4.在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．则点D 的坐标是．【分析】折叠原理知，AE=AO=5，AB=OC=4，OD=ED 由勾股先求得BE=3，∴CE=2，然后设OD=x ，则CD=4-x在Rt △DCE 中由勾股定理即可求得OD 的长，然后就得到点D 的坐标。

练习：如图，折叠矩形的一边AD ，点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC 的长是。

（这道题目先求BF 的长，再求CF 的长，然后再勾股定理）练习2.如图，矩形纸片ABCD ，若把△ABE 沿折痕BE 上折叠，使A 点恰好落在CD 上，此时，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的长和宽。

矩形翻折问题

矩形翻折问题二、方法剖析与提炼例1.如图,折叠矩形的一边AD,使点D 落在BC 边上的点F 处.已知AB=8cm,BC= 10cm.则折痕AE 的长是____________cm.【解答】55【解析】△AEF 由△AED 翻折而成，得AF=AD=10cm ，在Rt △ABF 中，利用勾股定理可得BF=6cm, CF=4cm.设DE=EF=x,EC=8-x, 在Rt △ECF 中， 2224)8(x x =+-,解得DE=5cm. 再在Rt △ADE 中，利用勾股定理得AE=55cm.【解法】这是一个矩形翻折的边长问题，由翻折得到对应线段相等，设元利用勾股定理构造一元二次方程可解线段长度。

【解释】此题涵盖了三角形全等，勾股定理，一元二次方程求边长等知识，意在培养学生翻折找对应边。

例2：将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O （0，0），A （8，0），C （0，4）。

动点Q 从点C 出发以每秒1个单位长的速度沿CB 向终点B 运动，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动。

当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）。

如图，将矩形OABC 沿PQ 翻折，当A 与C 重合时，求另一落点M 的坐标及折痕PQ【解答】62,532,516-=⎪⎭⎫⎝⎛x y M【解析】过M 点作MN ⊥y 轴，垂足为N ，由翻折得Rt ∠A=Rt ∠MCP,所以△OPC ≈△NMC,由例1可知△OPC 是3,4,5的直角三角形，利用相似比分别求得FMN=516,CN=512，所以62,532,516-=⎪⎭⎫⎝⎛x y M 【解法】这是与一个矩形翻折有关的动点问题。

利用Rt ∠A 翻折到y 轴，构造K 字相似三角形。

利用对应边成比例，可求得CN,MN 的长度，继而求得M 的坐标及折痕PQ 的解析式。

【解释】此题是将矩形翻折到一个固定状态，利用特殊位置求对应的量，而下面变式题则变为一个不确定的状态。

八年级下册数学矩形翻折专题

矩形翻折专题
矩形的翻折一直是中考的重点，关于矩形的翻折通常有以下几种情况下面举几例，大家互相讨论交流，体验数学中美的存在。

一、将一边折到对角线上
1、矩形ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD
与对角线BD重合，折痕为DG，则AG长
二、将一个顶点折到一边上
2、折叠矩形，使点D落在点F处，已知AB=8
BC=10，求EC的长
三、一边沿对角线翻折
3、矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将
矩形沿对角线AC折叠，点D落在
E处，求重叠部分△AFC的面积
四、一条对角线的顶点折叠重合
4、矩形ABCD中，AB=6，BC=8将矩形
折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长度。

矩形折叠问题(解析版)-中考数学训练

矩形折叠问题模型的概述：已知矩形的长与宽，利用勾股定理、相似三角形及翻折的性质，求各线段边长。

解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解。

问题：根据已知信息，求翻折后各边长。

模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M ,点N 分别为DC ，AB 中点思路：模型七：点A '为BC 中点思路：过点F 作FH ⊥AE ，垂足为点H设AE =A 'E =x ，则BE =8-x 由勾股定理解得x =174∴BE=154由于△EBA '∽△A 'CG ∽△FD 'G ∴A 'G =3415CG =1615GD '=2615DF =D 'F =AH =134HE =1EF =17【培优过关练】1.(2022秋·山东青岛·九年级统考期末)如图，在正方形ABCD 中，AB =9，点E 、F 分别在边AB 、CD上，∠FEB =120°.若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点C 恰好落在AD 边C 上，则C D 的长度为()A.3B.33C.32D.3【答案】B 【分析】根据翻折的性质和正方形及勾股定理的有关性质求解．【详解】解：在正方形ABCD 中，CD =AB =9，CD ∥AB ，∠D =90°，∴∠FEB +∠EFC =180°，∴∠EFC =∠C FE =60°，∴∠C FD =180°-∠EFC -∠C FE =60°，∴∠DC F =30°，∴C F =2DF ，又∵C F =CF ，CF +DF =9，∴DF =3，C F =6，∴C D =62-32=33，故选：B ．【点睛】本题考查了翻折及正方形的性质，勾股定理的应用是解题的关键．2.(2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，沿着BE 折叠使点A 落在边CD 上的点F 处，若tan ∠ABE =13，AD =3，则DF 的长为()A.1B.2C.43D.32【答案】A 【分析】先根据折叠的性质和正切的定义得出EF BF=13，再证明△DEF ∽△CFB ，最后利用相似三角形的性质得出结论．【详解】解：由折叠可知，∠ABE =∠FBE ，∴tan ∠ABE =tan ∠FBE =13，∴EF BF =13，∵∠EFB =∠C =∠D =90°，∴∠DFE +∠DEF =90°，∠DFE +∠BFC =90°，∴∠DEF =∠BFC ，∴△DEF ∽△CFB ，∴EF FB =DF CB=13，∵BC =AD =3，∴DF =1，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，涉及三角函数，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是证明△DEF ∽△CFB ．3.(2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为1,3 ，将矩形沿对角线AC 折叠，使点B 落在D 点的位置，且交y 轴交于点E ，则点D 的坐标是()A.-35，83B.-35，2C.-45，145D.-45,125【答案】D【分析】过D 作DF ⊥AO 于F ，根据折叠可以证明△CDE ≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE =DE ,OA =CD =1，设OE =m ，那么CE =3-m ，DE =m ，利用勾股定理即可求出m ，然后利用已知条件可以证明△AEO ∽△ADF ，而AD =AB =3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了点D 的坐标．【详解】如图，过D 作DF ⊥AO 于F ，∵点B 的坐标为1,3 ，∴AO =1，AB =3，根据折叠可知CD =BC =OA ，而∠ADC =∠AOE =90°，∠DEC =∠AEO∴△CDE ≌△AOE ，∴OE =DE ,OA =CD =1，设OE =m ，那么CE =3-m ，DE =m ，在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴3-m 2=m 2+12，解得m =43，∵DF ⊥AF ，∴DF ∥EO ，∴△AEO ∽△ADF而AD =AB =3，∴AE =CE =3-43=53，∴AE AD =EO DF =AO AF ，即533=43DF =1AF，∴DF =125,AF =95，∴OF =95-1=45，∴D 的坐标为-45,125，故选：D ．【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．4.(2023春·广东广州·九年级专题练习)如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 落在对角线BD 上，折痕为DG ，点A 的对应点为A ，那么AG 的长为()A.1B.43C.32D.2【答案】C【分析】首先设AG=x，由矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22=4-x2，解此方程即可解决问题．【详解】解：设AG=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=4，AD=3，∴BD=AD2+AB2=5，由折叠的性质可得：A D=AD=3，A G=AG=x，∠DA G=∠A=90°，∴∠BA G=90°，BG=AB-AG=4-x，A B=BD-A D=5-3=2，∵在Rt△A BG中，A G2+A B2=BG2，∴x2+22=4-x2，解得：x=3 2，∴AG=32．故选：C．【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．5.(2022秋·湖南邵阳·九年级校联考期中)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A 恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△HFG；③四边形BGDE的面积等于35；④AG+DF=FG．其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=12∠ABC，于是可对①进行判断；在Rt△ABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，利用勾股定理得到x2+42=(8-x)2，得到AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明△DEF∽△HFG，于是可对②进行判断；根据S四边形BGDE=S矩形ABCD -S△ABG-S△EBC可对③进行判断．【详解】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，，∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=12∠CBF+12∠ABF=12∠ABC=45°，所以①正确；在Rt△ABF中，AF=BF2-AB2=102-62=8，∴DF=AD-AF=10-8=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4，在Rt△GFH中，∵GH2+HF2=GF2，∴x2+42=(8-x)2，解得x=3，∴GF=5，∴AG+DF=FG=5，所以④正确；在△DEF中，DF=2，设DE=a，则CE=EF=6-a∴6-a2=a2+22解得a=8 3∴EC=6-83=103∵SΔABG=12×6×3=9，S△BCE=12×10×103=503，∴S四边形BGDE =S矩形ABCD-S△ABG-S△EBC=6×10-9-503=1033≠35．所以③不正确．∵DF=2,DE=83,EF=103，GH=3,HF=4,GF=5∴DF GH =DEHF=EFFG∴△DEF∽△HFG故②正确故选：C．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．6.(2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习)如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E为BC的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为()A.185B.6C.325D.365【答案】D【分析】连接BF ，根据三角形的面积公式求出BH ，得到BF ，根据直角三角形的判定得到∠BFC =90°，根据勾股定理求出答案．【详解】解：连接BF ，交AE 于H ，∵BC =12，点E 为BC 的中点，∴BE =6，又∵AB =8，∴AE =AB 2+BE 2=36+64=10，由折叠知，BF ⊥AE (对应点的连线必垂直于对称轴)，∴BH =AB ×BE AE=245，则BF =485，∵FE =BE =EC ，∴∠EFB =∠EBF ，∠EFC =∠ECF ，∵∠EFB +∠EBF +∠EFC +∠ECF =180°，∴∠BFC =90°，∴CF =BC 2-BF 2=122-485 2=365，故选：D ．【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．7.(2022秋·广西贵港·九年级统考期中)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =11，M 是BC 上的点，且CM =3，将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C 处，折痕为MN ，当PC 与线段BC 交于点H 时，则线段BH 的长是()A.3B.5516C.4D.7316【答案】B 【分析】连接PM ，证明△PBM ≌△PC M 即可得到CM =C M =PB =3，证明△PBH ≌△C MH ，得出BH =HC =x ，然后列出关于x 的方程，解方程即可．【详解】解：连接PM ，如图所示：∵矩形纸片ABCD 中，AB =8，BC =11，∴CD =AB =8，∠A =∠B =∠C =∠D =90°，∵CM =3，∴BM =11-3=8，根据折叠可知，CD =PC =8，∠C =∠C =90°，C M =CM =3，∴∠B =∠C ，∴BM =PC =8，∵PM =PM ，∴Rt △PBM ≌Rt △PC M HL ，∴C M =PB =3，∵∠PHB =∠C HM ，∠B =∠C ，∴△PBH ≌△C MH ，∴BH =HC ，设BH =HC =x ，则HM =8-x ，∵HM 2=HC 2+C M 2，∴8-x 2=x 2+32，解得：x =5516，∴BH =5516，故B 正确．故选：B ．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件BM =PC =8，证明三角形全等，学会利用翻折不变性解决问题．8.(2022秋·山东枣庄·九年级校考期中)如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM =()A.12B.2-2C.3-1D.2-1【答案】B【分析】根据题意先求BD =2AB =22，OD =2，再求BE =EF =CF =BD -DE =BD -CD =22-2，进而根据△ODM ∽△CDF 的线段比例关系，即可求出OM 的长．【详解】解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =AD =BC =CD =2，∠BCD =∠COD =∠BOC =90°，OD =OC ，∴BD =2AB =22，OD =2，由折叠的性质可知，∠OEF =∠DCB =90°，∠EDF =∠CDF ，DE =CD ，∴∠BEF =90°，∴∠BFE =∠FBE =45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴BE =EF =CF =BD -DE =BD -CD =22-2，∵∠DCB =∠COD =90°，∠EDF =∠CDF ，∴△ODM ∽△CDF ，∴OM CF =OD CD ，即OM 22-2=22，∴OM =2-2．故选：B ．【点睛】本题主要考查图形的翻折，熟练掌握图形翻折的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．9.(2022·辽宁营口·统考中考真题)如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把△BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF ⊥EC ，垂足为F ，若CD =1,CF =2，则线段AE 的长为()A.5-2B.3-1C.13D.12【答案】A【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=5，从而可得AD= BC=5，最后求得AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵BF⊥EC，∴∠BFC=∠CDE，∵把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∠DEC=∠FCB ∠BFC=∠CDE BC=EC∴△BFC≌△CDE(AAS)，∴DE=CF=2，∴CE=CD2+DE2=12+22=5，∴AD=BC=CE=5，∴AE=AD-DE=5-2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．10.(2022·贵州毕节·统考中考真题)矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4，BC=6，则CF的长是()525【答案】D【分析】连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数(或相似)求出BF，则根据FC=BC2-BF2计算即可．【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将△ABE沿AE折叠得到△AFE∴△ABE与△AFE关于AE对称∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=12BC=3∴AE=AB2+BE2=42+32=5∵sin∠BAE=BEAE =BG AB∴BG=BE⋅ABAE =3×45=125∴BF=2BG=2×122=245∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=180°2=90°∴FC=BC2-BF2=62-2452=185故选D【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．11.(2022·四川宜宾·统考中考真题)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为()17151715【答案】C【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF，DF= BF，设AF=EF=x，则BF=5-x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，根据折叠可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∠C=90°，∴在△AFD和△EFB中∠A=∠E=90°∠AFD=∠EFB AD=BE=3 ，∴ΔAFD≌ΔEFB(AAS)，∴AF=EF，DF=BF，设AF=EF=x，则BF=5-x，在RtΔBEF中，BF2=EF2+BE2，即5-x2=x2+32，解得：x=85，则DF=BF=5-85=175，∴cos∠ADF=ADDF =3175=1517，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明ΔAFD≌ΔEFB，是解题的关键．12.(2022·浙江湖州·统考中考真题)如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是()A.BD=10B.HG=2C.EG∥FHD.GF⊥BC 【答案】D【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得HD,BG，进而判断B，根据折叠的性质可得∠EGB=∠FHD=90°，进而判断C选项，根据勾股定理求得CF的长，根据平行线线段成比例，可判断D选项【详解】∵BD是矩形ABCD的对角线，AB=6，BC=8，∴BC=AD=8,AB=CD=6∴BD=BC2+CD2=10故A选项正确，∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，∴BG=AB=6，DH=CD=6∴DG=4,BH=BD-HD=4∴HG=10-BH-DG=10-4-4=2故B选项正确，∵EG⊥BD,HF⊥DB,∴EG∥HF，故C正确设AE=a，则EG=a，∴ED=AD-AE=8-a，∵∠EDG=∠ADB∴tan∠EDG=tan∠ADB即EGDG=ABAD=68=34∴a 4=34∴AE=3，同理可得CF=3若FG∥CD则CFBF=GDBG∵CF BF =35,GDBG=46=23，∴CF BF ≠GD BG，∴FG不平行CD，即GF不垂直BC，故D不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．13.(2022·江苏连云港·统考中考真题)如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=435AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是()A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④【答案】B【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD =BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=2a，然后利用勾股定理再求得DF=FO=a2，据此求解即可．【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO)=90°，同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正确；根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=2a，∴AB=22a=2AD，故②不正确；设DF=FO=x，则FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x =b 2-a 2b =a 2，即DF =FO =a 2，GE =a 2+b 2=3a ，∴GE DF =3aa 2=6，∴GE =6DF ；故③正确；∴OC OF =2a a 2=22，∴OC =22OF ；故④正确；∵∠FCO 与∠GCE 不一定相等，∴△COF ∽△CEG 不成立，故⑤不正确；综上，正确的有①③④，故选：B ．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．14.(2021·广西来宾·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD ，AD :AB =2:1，点E ，F 分别在AD ，BC 上，把纸片如图沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA 并延长交线段CD 于点G ，则EF AG的值为()A.22B.23C.12D.53【答案】A【分析】根据折叠性质则可得出EF 是AA 的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO =∠AGD ，∠FHE =∠D =90°，根据相似三角形判定推出△EFH ∽△GAD ，再利用矩形判定及性质证得FH =AB ，即可求得结果．【详解】解：如图，过点F 作FH ⊥AD 于点H ，∵点A ，B 的对应点分别为A ，B ，∴EA =EA ，FB =FB ，∴EF是AA＇的垂直平分线．∴∠AOE=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠D=90°．∴∠OAE+∠AEO=∠OAE+∠AGD，∴∠AEO=∠AGD．∵FH⊥AD，∴∠FHE=∠D=90°．∴△EFH∽△GAD．∴EF AG =FH AD．∵∠AHF=∠BAD=∠B=90°，∴四边形ABFH是矩形．∴FH=AB．∴EF AG =FHAD=ABAD=12=22；故选：A．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．15.(2011·吉林长春·中考真题)如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】D【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，CF=CE2-EF2=52-32=4，设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+4)2=x2+82，解得x=6，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立等式求解．16.(2020·广东深圳·统考中考真题)如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75°．其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理即可判断DG≠GH,由此推出③错误;根据F、C重合时的性质,可得∠AEB=30°,进而算出④正确．【详解】连接BE,由折叠可知BO=GO，∵EG⎳BF，∴∠EGO=∠FBO，又∵∠EOG=∠FOB，∴△EOG≌△FOB(ASA)，∴EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，由折叠可知BE=EG，则四边形EBFG为菱形，故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；∵四边形EBFG为菱形，∴KG平分∠DGH，∴,DG≠GH，∴S△GDK≠S△GKH,故③错误；当点F与点C重合时，BE=BF=BC=12=2AB，∴∠AEB=30°，∠DEF=12∠DEB=75°，故④正确．综合，正确的为①②④．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质,菱形的判断,折叠的性质,关键在于结合图形对线段和角度进行转换．17.(2020·内蒙古呼和浩特·中考真题)如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E、H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A 、D点的对称点为D ，若∠FPG=90°，△A EP的面积为8，△D PH的面积为2，则矩形ABCD的长为()A.65+10B.610+52C.35+10D.310+52【答案】D【分析】设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出D′H=12x，由S△D′PH=12D′P·D′H=12A′P·D′H，可解得x=22，分别求出PE和PH，从而得出AD的长.【详解】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，又∵∠FPG=90°，∠A′PF=∠D′PG=90°，∴∠A′PD′=90°，则∠A′PE+∠D′PH=90°，∴∠A′PE=∠D′HP，∴△A′EP∽△D′PH，∴A′P2：D′H2=8：2，∴A′P：D′H=2：1，∵A′P=x，∴D ′H =12x ，∵S △D ′PH =12D ′P ·D ′H =12A ′P ·D ′H ，即12⋅x ⋅12x =2，∴x =22(负根舍弃)，∴AB =CD =22，D ′H =DH =2，D ′P =A ′P =CD =22，A ′E =2D ′P =42，∴PE =42 2+22 2=210，PH =22 2+2 2=10，∴AD =42+210+10+2=52+310，故选D .【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18.如图，矩形纸片ABCD ，AB =4，BC =3，点P 在BC 边上，将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP =OF ，则cos ∠ADF 的值为()A.1113B.1315C.1517D.1719【答案】C【分析】根据折叠的性质可得出DC =DE 、CP =EP ，由∠EOF =∠BOP 、∠B =∠E 、OP =OF 可得出△OEF ≌△OBP (AAS )，根据全等三角形的性质可得出OE =OB 、EF =BP ，设EF =x ，则BP =x 、DF =4-x 、BF =PC =3-x ，进而可得出AF =1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．【详解】根据折叠，可知：△DCP ≌△DEP ，∴DC =DE =4，CP =EP ．在△OEF 和△OBP 中，∠EOF =∠BOP∠E =∠B =90°OF =OP，∴△OEF ≌△OBP (AAS )，∴OE =OB ，EF =BP ．设EF =x ，则BP =x ，DF =DE -EF =4-x ，又∵BF =OB +OF =OE +OP =PE =PC ，PC =BC -BP =3-x ，∴AF =AB -BF =1+x ．在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，即(1+x )2+32=(4-x )2，解得：x =35，∴DF =4-x =175，∴cos ∠ADF =AD DF =1517，故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF =1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．19.(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为正方形，点E 是BC 的中点，将正方形ABCD沿AE 折叠，得到点B 的对应点为点F ，延长EF 交线段DC 于点P ，若AB =6，则DP 的长度为___________．【答案】2【分析】连接AP ，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt △AFP ≌Rt △ADP (HL )，可得PF =PD ，设PF =PD =x ，则CP =CD -PD =6-x ，EP =EF +FP =3+x ，然后根据勾股定理即可解决问题．【详解】解：连接AP ，如图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =AD =6，∠B =∠C =∠D =90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE =CE =12AB =3，由翻折可知：AF =AB ，EF =BE =3，∠AFE =∠B =90°，∴AD =AF ，∠AFP =∠D =90°，在Rt △AFP 和Rt △ADP 中，AP =AP AF =AD ，∴Rt △AFP ≌Rt △ADP (HL )，∴PF =PD ，设PF =PD =x ，则CP =CD -PD =6-x ，EP =EF +FP =3+x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得：EP 2=EC 2+CP 2，∴(3+x )2=32+(6-x )2，解得x =2，则DP 的长度为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．20.(2022·贵州黔东南·统考中考真题)如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME 、DE 交AB 于点F 、G ，若点M 是BC 边的中点，则FG =______cm ．【答案】53##123【分析】根据折叠的性质可得DE =DC =4，EM =CM =2，连接DF ，设FE =x ，由勾股定理得BF ，DF ，从而求出x 的值，得出FB ，再证明ΔFEG ∼ΔFBM ，利用相似三角形对应边成比例可求出FG ．【详解】解：连接DF ,如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =DA =4,∠A =∠B =∠C =∠CDA =90°.∵点M 为BC 的中点，∴BM =CM =12BC =12×4=2由折叠得，ME =CM =2,DE =DC =4,∠DEM =∠C =90°,∴∠DEF =90°，∠FEG =90°,设FE =x ,则有DF 2=DE 2+EF 2∴DF 2=42+x 2又在Rt ΔFMB 中，FM =2+x ,BM =2，∵FM 2=FB 2+BM 2∴FB =FM 2-BM 2=(2+x )2-22∴AF =AB -FB =4-(2+x )2-22在Rt ΔDAF 中，DA 2+AF 2=DF 2,∴42+4-2+x 2-22 2=42+x 2,解得，x 1=43,x 2=-8(舍去)∴FE =43,∴FM =FE +ME =43+2=103∴FB =2+43 2-22=83∵∠DEM =90°∴∠FEG =90°∴∠FEG =∠B ,又∠GFE =∠MFB .∴△FEG ∼ΔFBM∴FG FM =FE FB ,即FG 103=4383∴FG =53,故答案为：53【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．21.(2022·浙江丽水·统考中考真题)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P处，折痕为EF ．(1)求证：△PDE ≌△CDF ；(2)若CD =4cm ,EF =5cm ，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)163cm 【分析】(1)利用ASA 证明即可；(2)过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =xcm ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF=∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，∠P =∠CPD =CD ∠PDE =∠CDF,∴△PDE≌△CDF(ASA)；(2)如图，过点E作EG⊥BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴GF=EF2-EG2=3cm,设AE=xcm，∴EP=xcm，由△PDE≌△CDF知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，PE2+PD2=DE2,即x2+42=3+x2，解得，x=7 6，∴BC=BG+GC=76+3+76=163(cm)．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．22.(2022·河南·统考中考真题)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ=______°，∠CBQ=______°；②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ=1cm时，直接写出AP的长．【答案】(1)∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC(2)①15，15；②∠MBQ=∠CBQ，理由见解析(3)AP=4011cm或2413cm【分析】(1)根据折叠的性质，得BE=12BM，结合矩形的性质得∠BME=30°，进而可得∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°；(2)根据折叠的性质，可证RtΔBQM≅RtΔBQC HL，即可求解；(3)由(2)可得QM=QC，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设AP= PM=x，分别表示出PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解．(1)解：∵AE=BE=12AB，AB=BM∴BE=12BM∵∠BEM=90°，sin∠BME=BEBM =12∴∠BME=30°∴∠MBE=60°∵∠ABP=∠PBM∴∠ABP=∠PBM=∠MBC=30°(2)∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∵BM=BC，BQ=BQ∴RtΔBQM≅RtΔBQC HL∴∠MBQ=∠CBQ∵∠MBC=30°∴∠MBQ=∠CBQ=15°②∵BM=BC，BQ=BQ∴RtΔBQM≅RtΔBQC HL∴∠MBQ =∠CBQ(3)当点Q 在点F 的下方时，如图，∵FQ =1cm ，DF =FC =4cm ，AB =8cm∴QC =CD -DF -FQ =8-4-1=3(cm )，DQ =DF +FQ =4+1=5(cm )由(2)可知，QM =QC设AP =PM =x ，PD =8-x ，∴PD 2+DQ 2=PQ 2，即8-x 2+52=x +3 2解得：x =4011∴AP =4011cm ；当点Q 在点F 的上方时，如图，∵FQ =1cm ，DF =FC =4cm ，AB =8cm∴QC =5cm ，DQ =3cm ，由(2)可知，QM =QC设AP =PM =x ，PD =8-x ，∴PD 2+DQ 2=PQ 2，即8-x 2+32=x +5 2解得：x =2413∴AP =2413cm ．【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．23.(2022·吉林长春·统考中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A 4纸，如图①，矩形ABCD 为它的示意图．他查找了A 4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD =2AB ．他先将A 4纸沿过点A 的直线折叠，使点B 落在AD 上，点B 的对应点为点E ，折痕为AF ；再沿过点F 的直线折叠，使点C 落在EF 上，点C 的对应点为点H ，折痕为FG ；然后连结AG ，沿AG 所在的直线再次折叠，发现点D 与点F 重合，进而猜想△ADG ≌△AFG ．【问题解决】(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB=a，则FQ+PQ的最小值为_________．(用含a的代数式表示)【答案】(1)见解析(2)22.5°，2-1.(3)52a【分析】(1)根据折叠的性质可得AD=AF，∠AFG=∠D=90°，由HL可证明结论；(2)根据折叠的性质可得∠DAG=12∠DAF=22.5°;证明ΔGCF是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论；(3)根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=24a，求出DR，根据勾腰定理可得结论．【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．由折叠得，∠CFG=∠GFH=45°，∴∠AFG=∠AFE+∠GFE=45°+45°=90°∴∠AFG=∠D=90°又AD=AF，AG=AG∴△ADG≌△AFG(2)由折叠得，∠BAF=∠EAF,又∠BAF+∠EAF=90°∴∠EAF=12∠BAE=12×90°=45°,由△ADG≌△AFG得，∠DAG=∠FAG=12∠FAD=12×45°=22.5°,∠AFG=∠ADG=90°,又∠AFB=45°∴∠GFC=45°,∴∠FGC=45°,∴GC=FC.设AB=x,则BF=x,AF=2x=AD=BC,∴FC=BC-BF=2x-x=(2-1)x∴GF=2FC=(2-2)x∴GF AF =(2-2)x2x=2-1.(3)如图，连接FD,∵DG=FG∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；过点P作PR⊥AD交AD于点R，∵∠DAF=∠BAF=45°∴∠APR=45°.∴AR=PR又AR2+PR2=AP2=a22=a24∴AR=PR=24a,∴DR=AD-AR=2a-24a=342a在RtΔDPR中，DP2=AR2+PR2∴DP =AR 2+PR 2=24a 2+324a 2=52a ∴PQ +FQ 的最小值为52a 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．24.(2021·湖北荆州·统考中考真题)在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4，F 是对角线AC 上不与点A ，C重合的一点，过F 作FE ⊥AD 于E ，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，点G 在射线AD 上，连接CG ．(1)如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，∠FGC =90°，延长GF 交AB 于H ，连接CH ．①求证：△CDG ∽△GAH ；②求tan ∠GHC ．(2)如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，∠GCF =90°，判断△GCF 与△AEF 是否全等，并说明理由．【答案】(1)①见解析；②23；(2)不全等，理由见解析【分析】(1)①先根据同角的余角相等得出∠DCG =∠AGH ，再根据两角对应相等，两三角形相似即可得出结论；②设EF =x ，先证得△AEF ~△ADC ，得出EF AE =CD AD=24=12，再结合折叠的性质得出AE =EG =2x ，AG =4x ，AH =2EF =2x ，再由△CDG ~△GAH ，得出比例式AG DC =AH DG =HG CG ，求出EF 的长，从而得出HGCG的值，即可得出答案；(2)先根据两角对应相等，两三角形相似得出△AEF~△ACG，得出比例式AEAC =AFAG，得出EF=5 4，AE=52，AF=545，从而判定△GCF与△AEF是否全等．【详解】(1)①在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=90°∴∠DCG+∠DGC=90°又∵∠FGC=90°∴∠AGH+∠DGC=90°∴∠DCG=∠AGH∴△CDG~△GAH②设EF=x∵△AEF沿EF折叠得到△GEF∴AE=EG∵EF⊥AD∴∠AEF=90°=∠D∴EF⎳CD⎳AB∴△AEF~△ADC∴EF CD =AE AD∴EF AE =CDAD=24=12∴AE=EG=2x∴AG=4x∵AE=EG，EF⎳AB∴EF AH =EGAG=12∴AH=2EF=2x ∵△CDG~△GAH∴AG DC =AHDG=HGCG∴4x2=2x4-4x=HGCG∴x=34∴4x2=32=HGCG∵∠FCG=90°∴tan∠GHC=CGHG =23(2)不全等理由如下：在矩形ABCD中，AC=AB2+AD2=22+42=25由②可知：AE=2EF∴AF=AE2+EF2=5EF由折叠可知，AG=2AE=4EF，AF=GF∵∠AEF=∠GCF，∠FAE=∠GAC∴△AEF~△ACG∴AE AC =AF AG∴2EF 25=54∴EF=54∴AE=52，AF=545∴FC=AC-AF=25-545=345∴AE≠FC，EF≠FC∴不全等【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，三角函数等知识，得出AE= 2EF是解题的关键．。

2021重庆中考数学复习翻折变换专题训练二

中考翻折变换专题训练二一、典型例题分析例1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（）16.5A 18.5B 24.5C 36.5D例2、如图，已知在△ABC 中，∠BAC>90°，13AB =，BC=10，点D 为BC 的中点，点E 在AC 上,将△CDE 沿着DE 翻折,使得点C 恰好落在BA 延长线上的点F 处，连接AD, 52EDFs =，则AD 的长度为（） 52A 、 2B 、2 73C 、 413D 、例3、如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝10，AD ＝BC ＝12，点E 是CD 的中点，连结AE ，将△ADE 沿指向AE 折叠，是使点E 落在点F 处，则线段CF 的长度是（） A ．4B ．C ．D ．例4、如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ＝30°，且BC ＝CA ，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，AB ′交CD 于点E ，连接B ′D ．若AB ＝3，则B ′D 的长度为( ).5A .6B 13.2C 15.2D例5、如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，将菱形沿EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上的点G 处，若045,32,2,B AB BE AE ∠===则GF 的长为（）.274A - .272B - .272C + .274D +例6、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝8，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、O 分别在边A ，AD 上，则EG 的长为（） A ．B ．C ．4D ．4例7、如图,正方形纸片ABCD的边长为4,B是边AD的中点,连接BE,折叠该纸片,点A落在A′处,连接A′C,则A′C的长为( )410 .A310.B210.C710.D例8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A．B．C．D．二、作业巩固练习1．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD的长为（）A．B．C． D．2、如图，在平行四边形纸片ABCD 中、AB ＝AD ＝4，∠A ＝60°，将该纸片翻折使点A 落在CD 边的中点E 处，折为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，则GE 的长为（） A ．2B ．2﹣1C ．2.8D ．2.2E ABCDB3、如图，正方形ABCD 的边长为2，点E为AD 的中点，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠，点A 的对应点为F ．连接CF ，则CF 的长为（） A ．B ．C ．D ．一、典型例题分析例1、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝12，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为（）16.5A 18.5B 24.5C 36.5D解：连接BF ，∵BC ＝12，点E 为BC 的中点，∴BE ＝6，又∵AB ＝8， ∴AE ＝＝＝10，由折叠知，BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴）∴BH ＝＝，则BF ＝，∵FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°， ∴CF ＝＝＝，故选：D ．例2、如图，已知在△ABC中，∠BAC>90°，13AB=，BC=10，点D为BC的中点，点E在AC上,将△CDE沿着DE翻折,使得点C恰好落在BA延长线上的点F处，连接AD,52EDFs=，则AD的长度为（）52A、2B、273C、413D、MN解：过点A作AM⊥CB于M,，连接CF，延长DE 交CF 于点N,如图所示，则有N为CF中点，∵D为CB中点，∴ND ∥AB，∴E为CA中点, ∵52EDFs=，∴5ACDs=，∴2AM=，∵13AB=，3,2,DB DM==∴2 2.AD=例3、如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝12，点E是CD的中点，连结AE，将△ADE 沿指向AE折叠，是使点E落在点F处，则线段CF的长度是（）A．4 B．C．D．解：过点E作EM⊥CF于点M，如图所示．在Rt△ADE中，AD＝12，DE＝AB＝5，∴AE＝＝13．根据折叠的性质可知：ED＝EF，∠AED＝∠AEF．∵点E是CD的中点，∴CE＝DE＝FE＝5，∴∠FEM＝∠CEM，CM＝FM．∵∠DEA+∠AEF+∠FEM+∠MEC＝180°，∴∠AEF+∠FEM＝×180°＝90°．又∵∠EAF+∠AEF＝90°，∴∠EAF＝∠FEM．∵∠AFE＝∠EMF＝90°，∴△AFE∽△EMF，∴＝，即＝，∴MF＝，CF＝2MF＝．故选：B．例4、如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝30°，且BC＝CA，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，AB′交CD于点E，连接B′D．若AB＝3，则B′D的长度为( B).5A.6B13.2C15.2D解：作CM ⊥AB 于M ，由折叠的性质得：B 'C ＝BC ＝AC ，∠AB 'C ＝∠B ＝∠CAB '＝30°，AB '＝AB ＝CD ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝30°，∠BAD ＝∠BCD ＝180°﹣∠B ＝150°， ∴∠B 'AD ＝150°﹣30°﹣30°＝90°， ∵BC ＝AC ，∴AM ＝BM ＝AB ＝，∠BAC ＝∠B ＝30°，∴CM ＝，∴AD ＝BC ＝2CM ＝3，在Rt △AB 'D 中，由勾股定理得：B 'D ＝＝＝6；故答案为：6．例5、如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，将菱形沿EF 折叠，点B 恰好落在边AD 上的点G 处，若045,32,2,B AB BE AE ∠===则GF 的长为（）.274A - .272B - .272C + .274D +例6、如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝8，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F 、O 分别在边A ，AD 上，则EG 的长为（） A ．B ．C ．4D ．4解：作EM⊥AD于M，如图所示,∵四边形ABCD是菱形，AB＝8，∴CD＝AD＝AB＝8，AB∥DC，∵AB∥CD，∴∠A＝∠MDC＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝4，∵ME⊥AD，∠DMC＝60°，∴∠MED＝30°，且ME⊥AD，∴DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，由折叠的性质得：AG＝EG，∠AFG＝∠EFG，在Rt△GME中，EG2＝GM2+ME2．∴EG2＝（8﹣EG+2）2+（2）2，解得：EG＝，故选：A．例7、如图,正方形纸片ABCD的边长为4,B是边AD的中点,连接BE,折叠该纸片,点A落在A′处,连接A′C,则A′C的长为( )410 .A310.B210.C710.D解：如图，过点A′作A′M⊥BC于M交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AB＝AD＝BC＝4，AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，由翻折可知，AE＝EA′，∠A＝∠EA′B＝90°，AB＝BA′＝4，∵AE＝ED＝2，∴EA′＝AE＝2，∴∠BA′E＝∠ENA′＝∠A′MB＝90°，∴∠BA′M+∠EA′N＝90°，∠EA′N+∠A′EN＝90°，∴∠BA′M＝∠A′EN，∴△A′NE∽△BMA′，∴＝＝＝，设EN＝x，则A′M＝2x，A′N＝4﹣2x．BM＝8﹣4x，∵BM＝AN，∴8﹣4x＝2+x，∴x＝，∴BM＝，A′M＝，CM＝4﹣BM＝，在Rt△A′CM中，CA′＝＝＝，例8、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A．B．C．D．解：过点D作DE⊥A′C于E，过A'作A'F⊥CD于F，如图所示：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠ADC+∠BCD＝180°，∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝6，AD＝AB＝3，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣30°＝90°，∠DBC＝30°，∴CD＝tan∠DBC•BD＝tan30°×6＝×6＝2，由折叠的性质得：∠A'DB＝∠ADB＝30°，A'D＝AD＝3，∴∠A'DC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∵A'F⊥CD，∴∠DA'F＝30°，∴DF＝A'D＝，A'F＝DF＝，∴CF＝CD﹣DF＝2﹣＝，∴A'C＝＝＝，∵△A'CD的面积＝A'C×DE＝CD×A'F，∴DE＝＝＝，即D到直线A′C的距离为；故选：C．二、作业巩固练习1．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则BD 的长为（）A．B．C．D．解：∵把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，∴AB＝AE＝5，BD＝DE，AD⊥EF，∴EF＝＝＝3，∵DG＝EG，△AEG的面积为，∴S△ADE＝2×S△AEG＝9＝×EF×AD，∴AD＝6，∴DF＝2，∴BD＝DE＝＝＝，故选：A．2、如图，在平行四边形纸片ABCD中、AB＝AD＝4，∠A＝60°，将该纸片翻折使点A落在CD边的中点E处，折为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（）A．2B．2﹣1 C．2.8 D．2.2解：过点E作EH⊥AD于H，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD＝AB＝CD＝AB＝4，∴∠A＝∠HDE＝60°，∵E是CD中点，∴DE＝CD＝2，在Rt△DHE中，DE＝2，HE⊥DH，∠HDE＝60°，∴DH ＝DE＝1，HE ＝DH ＝，由折叠的性质得：AG＝GE，在Rt△HGE中，GH＝AD﹣AG+DH＝4﹣GE+1＝5﹣GE，由勾股定理得：GE2＝GH2+HE2∴GE2＝（5﹣GE）2+3，解得：GE＝2.8；故选：C．BE答案A4、如图，正方形ABCD的边长为2，点E为AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F．连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．解法一：如图，连接AF交BE于点O，过点F作MN⊥AB，∵AB∥CD，MN⊥AB ∴MN⊥CD，∵AB＝2＝AD，点E是AD中点∴AE＝1，∴EB＝＝∵S△ABE＝×AB×AE＝×BE×AO∴2×1＝AO∴AO＝∵将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F∴AO＝OH＝，AB＝BF＝2，∴AF＝∵AF2﹣AN2＝FN2，BF2﹣BN2＝FN2，∴AF2﹣AN2＝BF2﹣BN2，∴﹣（2﹣BN）2＝4﹣BN2，∴BN＝∴FN＝∵MN⊥AB，MN⊥CD，∠DCB＝90°∴四边形MNBC是矩形∴BN＝MC＝，BC＝MN＝2∴MF＝∴CF＝＝故选：D．解法二：M N。

人教版八年级数学下册-思想方法专题：矩形中的折叠问题

思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为()A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC 重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是()A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为()A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( )A ．3 B.245 C ．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E .(1)求证：△AFE ≌△CDE ；(2)若AB ＝4，BC ＝8，求图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF ＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5. 185解析：如图，连接BF 交AE 于H ，由折叠的性质可知BE ＝FE ，AB ＝AF ，∠BAE ＝∠F AE ，∴AH ⊥BF ，BH ＝FH .∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝3.又∵AB ＝4，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得AE ＝AB 2＋BE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB ·BE ＝12AE ·BH ，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245.∵E 是BC 的中点，∴FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°.在Rt △BFC 中，由勾股定理得CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝⎛⎭⎫2452＝185.6．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ＝90°.∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F ＝∠B ，AB ＝AF ，∴AF ＝CD ，∠F ＝∠D .在△AFE与△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠D ，∠AEF ＝∠CED ，AF ＝CD ，∴△AFE ≌△CDE .(2)解：∵AB ＝4，BC ＝8，∴CF ＝AD ＝8，AF ＝CD ＝AB ＝4.∵△AFE ≌△CDE ，∴EF ＝DE .在Rt △CED 中，由勾股定理得DE 2＋CD 2＝CE 2，即DE 2＋42＝(8－DE )2，∴DE ＝3，∴AE ＝8－3＝5，∴S 阴影＝12×4×5＝10. 7．解：(1)由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠MAN ＝∠DAM .∵AN 平分∠MAB ，∴∠MAN ＝∠NAB ，∴∠DAM ＝∠MAN ＝∠NAB .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAM ＝30°，∴AM ＝2DM .在Rt △ADM 中，∵AD ＝3，∴由勾股定理得AM 2－DM 2＝AD 2，即(2DM )2－DM 2＝32，解得DM ＝ 3.(2)延长MN 交AB 的延长线于点Q ，如图所示．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠DMA ＝∠MAQ ，由折叠性质得△ANM ≌△ADM ，∴∠ANM ＝∠D ＝90°，∠DMA ＝∠AMQ ，AN ＝AD ＝3，MN ＝MD ＝1，∴∠MAQ ＝∠AMQ ，∴MQ ＝AQ .设NQ ＝x ，则AQ ＝MQ ＝MN ＋NQ ＝1＋x .∵∠ANM ＝90°，∴∠ANQ ＝90°.在Rt △ANQ 中，由勾股定理得AQ 2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝45S△NAQ＝45×12×AN·NQ＝45×12×3×4＝245.19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。

(完整版)四边形题型归纳

四边形题型归纳题型一：翻折问题（特殊四边形的折叠问题）1沿特殊四边形的对角线折叠【例1】如图，矩形纸片ABCD，AB=2， / ADB=30，沿对角线BD折叠（使△ ABD和2、沿特殊四边形的对称轴折叠【例2】如图，已知矩形ABCD的边AB=2 , AB^ BC ,矩形ABCD的面积为S,沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为3•使特殊四边形的对角顶点重合折叠【例3】如图，梯形纸片ABCD , / B=60 , AD // BC, AB=AD=2 , BC=6，将纸片折叠,使点B与点D重合，折痕为AE，贝U CE= ___________ .4•使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠【例4】如图，折叠矩形的一边CD，使点C落在AB上的点F处，已知AB=10cm , BC=8cm ,贝U EC 的长为______ •D] ] CE、百fA F B△ EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为_______________D F C D CA B2B E C5•使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠【例5】如图，在梯形ABCD中，DC // AB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的D、C处，折痕为EF，若CD=3cm , EF=4cm，则AD +BC = ________ cm.6•使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠（1）EF上的G点处，则/ DKG= _____7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠（2）点折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ，连结PQ.（1）求MP的长度；⑵求证：以PQ为边长的正方形的面积等于I .8.两次不同方式的折叠【例8】如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后AB与EB在同一条直线上，则/ CBD的度数为（）A.大于90 °B.等于90 °C.小于90 °D.不能确定【例6】如图，已知EF为正方形ABCD的对称轴，将/ A沿DK折叠，使它的顶点A落在【例7】如图，有一块面积为1的正方形ABCD , M、N分别为AD、BC边的中点，将CDIAC E<\JA BD【变式1】在矩形ABCD中AB=4, BC=3按下列要求折叠，试求出所要求结果（1）如图，把矩形ABCD沿着对角线BD折叠得△ EBD BE交CD于点F,求出BFD；（2）如图，折叠矩形ABCD使AD与对角线BD重合，求折痕DE的长；（3）如图，折叠矩形ABCD使点D与点B重合，求折痕EF的长；（4）如图，E是AD上一点，把矩形ABCD沿着BE折叠，若点A恰好落在CD上的点F处, 求AE的长。

矩形中的翻折问题教学探析

矩形中的翻折问题教学探析图形的平移、翻折、旋转是几何图形中的三种基本运动，而在图形的翻折运动中，矩形的翻折问题是一类比较常见的问题。

矩形翻折后的图形形态各异，而往往又融入了丰富的数学知识和数学思想，不仅考察了学生的基础知识、基本技能，而且考察了学生的探究能力、空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力等等。

这类问题往往综合性比较强，时常需要综合运用轴对称、全等、勾股定理、相似等知识通过转化、方程等数学思想进行解决，它对学生的综合数学能力的要求比较高。

本文是对初中阶段矩形中的各类翻折问题的教学进行初探，希望能帮助学生能找到解决此类问题的有效途径和方法。

一、折痕经过矩形的两个顶点可利用直角三角形的勾股定理加以解决。

例题1：如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D ′处，求重叠部分△AFC 的面积。

解：设CF=x ，则BF=8-x ，∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC ∴∠DAC=∠ACF∵△ACD ′是△ACD 翻折得到， ∴∠DAC=∠FAC ∴∠ACF=∠FAC ∴FA=FC=x 在Rt △ABF 中，AB 2+BF 2=AF 2∴42+(8-x)2=x 2∴x=5∴S △ACF =21CF ·AB=21×5×4=10 【分析】：此题是矩形翻折问题中的特殊情况，也就是折痕为矩形的对角线。

在此题中，利用翻折的轴对称以及平行线的内错角进行转化，得到等腰三角形△AFC ，进而利用线段的转化，将已知与未知的线段统一到直角三角形△ABF ，从而利用直角三角形的勾股定理和方程思想建立方程加以解决。

实际上，当矩形在翻折过程中，有部分翻折到矩形外部的时候，经常会出现等腰三角形等的图形，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形，也要充分加以利用。

二、折痕经过矩形的一个顶点可利用直角三角形的勾股定理或相似三角形加以解决。

1、翻折的一个顶点落在矩形的一条边上例题2：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点E在CD边上。

初中数学《翻折专题》经典题型50例

翻折练习1一．选择题（共37小题）1．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝2．以上结论中，你认为正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF＝FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．【解答】解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，（故①正确）；∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，（故②错误）；点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，（故③正确）；过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝＝2，（故④正确）；综上所述，结论正确的有①③④共3个．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于③判断出BF最小和最大时的两种情况．2．如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，AC＝4，，点D在AB上，将△ACD沿CD折叠，点A落在点A1处，A1C与AB相交于点E，若A1D∥BC，则A1E的长为（）A．B．C．D．【分析】利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠A1+∠A1DB＝90°，即AB⊥CE，再根据勾股定理可得AB＝＝3，最后利用面积法得出AB×CE＝BC×AC，可得CE＝＝，进而依据A1C ＝AC＝4，即可得到A1E＝．【解答】解：∵A1D∥BC，∴∠B＝∠A1DB，由折叠可得，∠A1＝∠A，又∵∠A+∠B＝90°，∴∠A1+∠A1DB＝90°，∴AB⊥CE，∵∠ACB＝90°，AC＝4，，∴AB＝＝3，∵AB×CE＝BC×AC，∴CE＝＝，又∵A1C＝AC＝4，∴A1E＝4﹣＝，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是得到CE⊥AB以及面积法的运用．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）A．1B．C．D．【分析】先根据勾股定理计算出AB＝2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠BAC＝30°，在根据折叠的性质得BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，由于AD⊥ED得BC∥DE，所以∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中可计算出CF＝，BF＝2CF＝，则EF＝2﹣，在Rt△DEF中计算出FD＝1﹣，ED＝﹣1，然后利用S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝，BC＝1，∴AB＝＝2，∴∠BAC＝30°，∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF＝∠BED＝30°，在Rt△BCF中，CF＝＝，BF＝2CF＝，∴EF＝2﹣，在Rt△DEF中，FD＝EF＝1﹣，ED＝FD＝﹣1，∴S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE＝2S△ABD+S△ADE＝2×BC•AD+AD•ED＝2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）＝1．故选：A．【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．4．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG＝GC；通过证明∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC＝S△GCE﹣S，求得面积比较即可．△FEC【解答】解：①正确．理由：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由：EF＝DE＝CD＝2，设BG＝FG＝x，则CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝GC；③正确．理由：∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；④错误．理由：∵S△GCE＝GC•CE＝×3×4＝6∵GF＝3，EF＝2，△GFC和△FCE等高，∴S△GFC：S△FCE＝3：2，∴S△GFC＝×6＝≠3．故④不正确．∴正确的个数有3个．故选：C．【点评】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．5．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP 并延长AP交CD于F点，连结CP并延长CP交AD于Q点．给出以下结论：①四边形AECF为平行四边形；②∠PBA＝∠APQ；③△FPC为等腰三角形；④△APB≌△EPC．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】①根据三角形内角和为180°易证∠P AB+∠PBA＝90°，易证四边形AECF是平行四边形，即可解题；②根据平角定义得：∠APQ+∠BPC＝90°，由矩形可知每个内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题；③根据平行线和翻折的性质得：∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∠FPC≠∠FCP，且∠PFC是钝角，△FPC不一定为等腰三角形；④当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，即可解题．【解答】解：①如图，EC，BP交于点G；∵点P是点B关于直线EC的对称点，∴EC垂直平分BP，∴EP＝EB，∴∠EBP＝∠EPB，∵点E为AB中点，∴AE＝EB，∴AE＝EP，∴∠P AB＝∠APE，∵∠P AB+∠PBA+∠APB＝180°，即∠P AB+∠PBA+∠APE+∠BPE＝2（∠P AB+∠PBA）＝180°，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∴AP⊥BP，∴AF∥EC；∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，故①正确；②∵∠APB＝90°，∴∠APQ+∠BPC＝90°，由折叠得：BC＝PC，∴∠BPC＝∠PBC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∴∠ABP＝∠APQ，故②正确；③∵AF∥EC，∴∠FPC＝∠PCE＝∠BCE，∵∠PFC是钝角，当△BPC是等边三角形，即∠BCE＝30°时，才有∠FPC＝∠FCP，如右图，△PCF不一定是等腰三角形，故③不正确；④∵AF＝EC，AD＝BC＝PC，∠ADF＝∠EPC＝90°，∴Rt△EPC≌△FDA（HL），∵∠ADF＝∠APB＝90°，∠F AD＝∠ABP，当BP＝AD或△BPC是等边三角形时，△APB≌△FDA，∴△APB≌△EPC，故④不正确；其中正确结论有①②，2个，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质，翻折变换，平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为（）A．13B．C．D．12【分析】利用三线合一得到G为BC的中点，求出GC的长，过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形AGC中，利用锐角三角函数定义求出AG的长，再由E为AC中点，求出EC的长，进而求出FC的长，利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形DEF中，利用勾股定理求出x的值，即可确定出BD的长．【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，BC＝24，tan C＝2，∴＝2，GC＝BG＝12，∴AG＝24，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过E点作EF⊥BC于点F，∴EF＝AG＝12，∴＝2，∴FC＝6，设BD＝x，则DE＝x，∴DF＝24﹣x﹣6＝18﹣x，∴x2＝（18﹣x）2+122，解得：x＝13，则BD＝13．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．7．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG 的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+2【分析】先证△BDG≌△ADE，得出AE＝BG＝1，再证△DGE与△EDF是等腰直角三角形，在直角△AEB中利用勾股定理求出BE的长，进一步求出GE的长，可通过解直角三角形分别求出GD，DE，EF，DF的长，即可求出四边形DFEG的周长．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE＝＝＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故选：D．【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够灵活运用等腰直角三角形的判定与性质．8．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点O是正方形OABC的一个顶点，已知点B坐标为（1，7），过点P（a，0）（a＞0）作PE⊥x轴，与边OA交于点E（异于点O、A），将四边形ABCE沿CE翻折，点A′、B′分别是点A、B的对应点，若点A′恰好落在直线PE上，则a的值等于（）A．B．C．2D．3【分析】作辅助线，根据点B的坐标，求出OB和正方形的边长，由正方形的对角线互相垂直平分得：DQ是梯形CMNA的中位线，则CM+AN＝2DQ＝7，证明△CMO≌△ONA，则ON＝CM，所以ON+AN＝7，设AN＝x，则ON＝7﹣x，根据勾股定理列方程求出x的值，并取舍，再根据正方形的边长求出OP的长．【解答】解：当点A′恰好落在直线PE上，如图所示，连接OB、AC，交于点D，过点D、A作x轴的垂线，垂足分别为Q、N，设CB′交x轴于M，则CM∥QD∥AN，∵四边形OABC是正方形，∴OD＝BD，OB⊥AC，∵O（0，0），B（1，7），∴D（，），即DQ＝由勾股定理得：OB＝＝＝5，∵△ABO是等腰直角三角形，∴AB＝AO＝5，∵DQ是梯形CMNA的中位线，∴CM+AN＝2DQ＝7，∵∠COA＝90°，∴∠COM+∠AON＝90°，∵∠CMO＝90°，∴∠COM+∠MCO＝90°，∴∠AON＝∠MCO，∵四边形OABC是正方形，∴OA＝OC，∵∠CMO＝∠ONA＝90°，∴△CMO≌△ONA，∴ON＝CM，∴ON+AN＝7，设AN＝x，则ON＝7﹣x，在Rt△AON中，由勾股定理得：x2+（7﹣x）2＝52，解得：x＝3或4，当x＝4时，CM＝3，此时点B在第二象限，不符合题意，∴x＝3，∴OM＝3，∵A′B′＝PM＝5，∴OP＝a＝2，故选：C．【点评】本题是翻折变换问题，考查了翻折的性质和正方形及坐标与图形的性质，首先明确翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；利用三角形全等和梯形中位线的性质，得出直角三角形两直角边的和为7，设未知数，根据勾股定理列方程得出结论．9．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF＝AB；②∠BAF ＝∠CAF；③S四边形ADFE＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据对折的性质可得AE＝EF，∠DAF＝∠DF A，∠EAF＝∠AFE，∠BAC＝∠DFE，据此和已知条件判断图中的相等关系．【解答】解：①由题意得AE＝EF，BF＝FC，但并不能说明AE＝EC，∴不能说明EF是△ABC的中位线，故①错；②题中没有说AB＝AC，那么中线AF也就不可能是顶角的平分线，故②错；③易知A，F关于D，E对称．那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故③对；④∠BDF＝∠BAF+∠DF A，∠FEC＝∠EAF+∠AFE，∴∠BDF+∠FEC＝∠BAC+∠DFE＝2∠BAC，故④对．正确的有两个，故选B．【点评】翻折前后对应线段相等，对应角相等．10．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN 的面积与△CMN的面积比为1：4，则的值为（）A．2B．4C．D．【分析】首先过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM＝1：4，然后设DN＝x，由勾股定理可求得MN的长，继而求得答案．【解答】解：过点N作NG⊥BC于G，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC，∴CD＝NG，CG＝DN，∠ANM＝∠CMN，由折叠的性质可得：AM＝CM，∠AMN＝∠CMN，∴∠ANM＝∠AMN，∴AM＝AN，∴四边形AMCN是平行四边形，∵AM＝CM，∴四边形AMCN是菱形，∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM＝1：4，设DN＝x，则AN＝AM＝CM＝CN＝4x，AD＝BC＝5x，CG＝x，∴BM＝x，GM＝3x，在Rt△CGN中，NG＝＝x，在Rt△MNG中，MN＝＝2x，∴＝2．故选：D．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．11．如图，将边长为3的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N，那么折痕GH的长为（）A．B．C．D．【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长，得出△EDM∽△MCH，进而求出MC的长，依据△GPH≌△BCM，可得GH＝BM，再利用勾股定理得出BM，即可得到GH的长．【解答】解：设CM＝x，设HC＝y，则BH＝HM＝3﹣y，故y2+x2＝（3﹣y）2，整理得：y＝﹣x2+，即CH＝﹣x2+，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由题意可得：ED＝1.5，DM＝3﹣x，∠EMH＝∠B＝90°，故∠HMC+∠EMD＝90°，∵∠HMC+∠MHC＝90°，∴∠EMD＝∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴＝，即＝，解得：x1＝1，x2＝3（不合题意），∴CM＝1，如图，连接BM，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BM⊥GH，∴∠PGH＝∠HBM，在△GPH和△BCM中，∴△GPH≌△BCM（SAS），∴GH＝BM，∴GH＝BM＝＝．故选：A．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合运用，作辅助线构造全等三角形，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．12．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B 落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用翻折不变性可得AE＝AB＝10，推出DE＝8，EC＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中，x2＝22+（6﹣x）2，可得x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，可得y＝3，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，由翻折不变性可知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG，∴EG＝4，在Rt△ADER中，DE＝＝＝8，∴EC＝10﹣8＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中有：x2＝22+（6﹣x）2，∴x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，∴y＝3，∴EH＝5，∴＝＝，故选：A．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．13．矩形纸片ABCD中，AB＝5，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（）个①∠M＝∠DAB′；②PB＝PB′；；④MB′＝CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′＝B′P．A．2B．3C．4D．5【分析】根据∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°可判断①；利用折叠的性质可判断出△B'AP≌△BAP，继而可判断出②；设AE＝x，表示出EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中利用勾股定理可求出AE的长度，继而可判断出③；利用反证法判断④，最后看得出的结果能证明出来；根据B′P⊥CD，判断出B'P∥BC，从而有∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，从而可判断出⑤．综合起来即可得出最终的答案．【解答】解：连接AB'，①由题意得∠M＝∠CB'E，而∠CB'E+∠DB'A＝∠DAB'+∠DB'A＝90°，∴∠M＝∠CB'E＝∠DAB'，故可得①正确；②根据折叠的性质可得AB'＝AB，AP＝AP，∠B'AP＝∠BAP，从而利用SAS可判定△B'AP≌△BAP，∴PB＝PB'，故可得②正确；③在Rt△ADB'可得，B'D＝＝3，从而可得CB'＝5﹣3＝2，设AE＝x，则EB'＝EB＝，在Rt△CEB'中，CE2+CB'2＝EB'2，即（4﹣）2+4＝x2﹣25，解得：x＝，即AE＝．故可得③正确；④假如MB′＝CD，则可得MB'＝AB＝AB'，∴∠M＝∠BAB'，由①得∠M＝∠DAB′，故有∠BAB'＝∠DAB'，而本题不能判定∠BAB'＝∠DAB'，即假设不成立．故可得④错误．⑤若B′P⊥CD，则B'P∥BC，∴∠B'PE＝∠BEP＝∠B'EP，∴EB'＝B'P，故可得⑤正确．综上可得①②③⑤正确，共四个．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了平行四边形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．14．如图，已知△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．【分析】首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′＝90°，∠B′＝30°，B′C＝AB′﹣AC＝2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°，AB＝2，∴AC＝BC，∴AF＝AB＝，∴AC＝＝＝2，由折叠的性质得：AB′＝AB＝2，∠B′＝∠B＝30°，∵∠B′CD＝∠CAB+∠B＝60°，∴∠CDB′＝90°，∵B′C＝AB′﹣AC＝2﹣2，∴CD＝B′C＝﹣1，B′D＝B′C•cos∠B′＝（2﹣2）×＝3﹣，∴DE＝＝＝，∴S阴影＝AC•DE＝×2×＝．故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．15．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据中点定义可得DE＝CE，再根据翻折的性质可得DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，从而得到CE＝EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG＝FG，设CG＝a，表示出GB，然后求出BC，再根据矩形的对边相等可得AD＝BC，从而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．【解答】解：连接EG，∵点E是边CD的中点，∴DE＝CE，∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，∴DE＝EF，AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，∴CE＝EF，在Rt△ECG和Rt△EFG中，，∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），∴CG＝FG，设CG＝a，∵＝，∴GB＝4a，∴BC＝CG+BG＝a+4a＝5a，在矩形ABCD中，AD＝BC＝5a，∴AF＝5a，AG＝AF+FG＝5a+a＝6a，在Rt△ABG中，AB＝＝＝2a，∴＝＝．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为（）A．15B．20C．25D．30【分析】根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．【解答】解：根据折叠的性质，得A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF．则阴影部分的周长＝矩形的周长＝2（10+5）＝30．故选：D．【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，EC＝2cm，AD上有一点P，P A＝6cm，过点P作PF⊥AD交BC于点F，将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，则线段PQ的长是（）cm．A．4B．4.5C．4D．4【分析】首先过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，由矩形ABCD与PF⊥AD，易证得四边形PQHD是矩形，即可求得DH＝PQ，DH＝PD，又由折叠的性质，可得QE＝PQ，然后设PQ＝xcm，在Rt△EQH中，利用勾股定理即可得方程，解此方程即可求得答案．【解答】解：过点Q作QH⊥CD于H，连接EQ，∴∠DHQ＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝5cm，∴DE＝CD﹣EC＝5﹣2＝3（cm），∵PF⊥AD，∴∠FPD＝90°，∴四边形PQHD是矩形，∴QH＝PD＝AB﹣P A＝10﹣6＝4（cm），DH＝PQ，∵将纸片折叠，使P和E重合，折痕交PF于Q，∴PQ＝EQ，设PQ＝xcm，则QE＝DH＝xcm，∴EH＝DH﹣DE＝x﹣3（cm），在Rt△EQH中，QE2＝QH2+EH2，即x2＝42+（x﹣3）2，解得：x＝4．∴PQ＝4cm．故选：D．【点评】此题考查了折叠性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合与方程思想的应用．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E为AC、BC上两个动点，若将∠C沿DE折叠，使点C的对应点C′落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为（）A．B．C．或D．或【分析】依据△ADC′恰好为直角三角形，分两种情况进行讨论：当∠ADC'＝90°时，当∠DC'A＝90°时，分别依据相似三角形的对应边成比例，列方程求解，即可得到CD的长．【解答】解：①如图，当∠ADC'＝90°时，∠ADC'＝∠C，∴DC'∥CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴＝，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴＝，解得x＝，经检验：x＝是所列方程的解，∴CD＝；②如图，当∠DC'A＝90°时，∠DCB＝90°，由折叠可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B与CE重合，由∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝5，∴＝＝，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴＝，解得x＝，∴CD＝；综上所述，CD的长为或．故选：C．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．19．将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G 在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，根据Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，可得即a2+（2b）2＝（3a）2，进而得出的值．【解答】解：由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．20．如图，在直角△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为（）A．6B．5C．4D．3【分析】设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：设AN＝x，由翻折的性质可知DN＝AN＝x，则BN＝9﹣x．∵D是BC的中点，∴BD＝＝3．在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2＝NB2+BD2，即x2＝（9﹣x）2+33，解得：x＝5．AN＝5．故选：B．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到DN＝AN＝x，BN＝9﹣x，从而列出关于x的方程是解题的关键．21．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（）A．B．C．D．【分析】设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a＝2，再证明CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH＝4，进而求出＝＝．【解答】解：如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，∴△ABE、△CDE都是等边三角形，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．∵矩形ABCD中，BC∥AD，∴△ADM∽△GBM，∴＝，即＝，∴a＝2，∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．易证∠BAF＝∠F AC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，∴△ADF是等边三角形，∵AC平分∠DAF，∴AC垂直平分DF，∴CF＝CD＝2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，∴H（1，0），∴BH＝＝4，∴＝＝．故选：B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称﹣最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．22．一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1）；再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．2B．C．D．【分析】在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN﹣MN＝EM．设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解方程即可得到EM的长．【解答】解：∵点D与点A重合，得折痕EN，∴DM＝4cm，∵AD＝8cm，AB＝6cm，在Rt△ABD中，BD＝＝10cm，∵EN⊥AD，AB⊥AD，∴EN∥AB，∴MN是△ABD的中位线，∴DN＝BD＝5cm，在Rt△MND中，∴MN＝＝3（cm），由折叠的性质可知∠NDE＝∠NDC，∵EN∥CD，∴∠END＝∠NDC，∴∠END＝∠NDE，∴EN＝ED，设EM＝x，则ED＝EN＝x+3，由勾股定理得ED2＝EM2+DM2，即（x+3）2＝x2+42，解得x＝，即EM＝cm．故选：D．【点评】本题考查折叠问题，应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．解决问题的关键是设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．23．如图，折叠菱形纸片ABCD，使得AD的对应边A1D1过点C，EF为折痕，若∠B＝60°，当A1E⊥AB时，的值等于（）A．B．C．D．【分析】先延长AB，D1A1交于点G，根据三角形三角形外角性质以及等腰三角形的判定，即可得到BC＝BG＝BA，设BE＝1，AE＝x＝A1E，则AB＝1+x＝BC＝BG，A1G＝2x，在Rt△A1GE中，依据勾股定理可得A1E2+GE2＝A1G2，进而得出方程x2+（x+2）2＝（2x）2，据此可得AE＝1+，即可得出的值．【解答】解：如图所示，延长AB，D1A1交于点G，∵A1E⊥AB，∠EA1C＝∠A＝120°，∴∠G＝120°﹣90°＝30°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BCG＝60°﹣30°＝30°，∴∠G＝∠BCG＝30°，∴BC＝BG＝BA，设BE＝1，AE＝x＝A1E，则AB＝1+x＝BC＝BG，A1G＝2x，∴GE＝1+x+1＝x+2，∵Rt△A1GE中，A1E2+GE2＝A1G2，∴x2+（x+2）2＝（2x）2，解得x＝1+，（负值已舍去）∴AE＝1+，∴＝＝，故选：D．【点评】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的判定，解一元二次方程以及勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，依据勾股定理列方程求解．解题时注意方程思想的运用．24．如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上．将菱形沿EF折叠，点B恰好落在边AD上的点G处．若∠B＝45°，AE＝，BE＝2，则tan∠EFG的值是（）A．B．C．2D．【分析】过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，由平行线的性质得出HAE＝∠B＝45°，得出△BPE 和△AEH是等腰直角三角形，得出BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1，GM＝HP＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理求出GH＝，得出PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得出方程，解方程求出PF＝2﹣4，再由三角函数定义即可得出结果．【解答】解：过E作PH⊥BC于P，交DA延长线于H，作GM⊥BC于M，如图所示：则PH⊥AH，GM＝PH，GH＝PM，由折叠的性质得：GE＝AE＝2，GF＝BF，∠EFG＝∠EFB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠HAE＝∠B＝45°，∴△BPE和△AEH是等腰直角三角形，∴BP＝EP＝BE＝2，AH＝EH＝AE＝1，∴GM＝HP＝2+1＝3，在Rt△GEH中，由勾股定理得：12+GH2＝（2）2，解得：GH＝±（负值舍去），∴GH＝，∴PM＝GH＝，设PF＝x，则FM＝﹣x，GF＝BF＝x+2，在Rt△GFM中，由勾股定理得：32+（﹣x）2＝（x+2）2，解得：x＝2﹣4，∴PF＝2﹣4，∴tan∠EFG＝tan∠EFB＝＝＝；故选：B．【点评】本题考查了翻折变换的性质、菱形的性质．等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．25．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN过点G．若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为（）A．B．C．D．2【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG＝OM＝CM＝OG＝，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN＝2GP，即可得出答案．【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：则CP＝DP＝CD＝，△GCP为直角三角形，∵四边形EFGH是菱形，∠EHG＝120°，∴GH＝EF＝2，∠OHG＝60°，EG⊥FH，∴OG＝GH•sin60°＝2×＝，由折叠的性质得：CG＝OG＝，OM＝CM，∠MOG＝∠MCG，∴PG＝＝，∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC＝180°，∴∠MCG+∠OMC＝180°，∴OM∥CG，∴四边形OGCM为平行四边形，∵OM＝CM，∴四边形OGCM为菱形，∴CM＝OG＝，根据题意得：PG是梯形MCDN的中位线，∴DN+CM＝2PG＝，∴DN＝﹣；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．26．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A 恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G．连接GF．下列结论：①∠AGD＝112.5°；②tan∠AED＝2；③S△AGD＝S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG．其中正确结论的序号是（）A．①②③④⑤B．①②③④C．①③④⑤D．①④⑤【分析】①根据折叠的性质我们能得出∠ADG＝∠ODG，也就求出了∠ADG的度数，那么在三角形AGD中用三角形的内角和即可求出∠AGD的度数；②由tan∠AED＝，AE＝EF＜BE，即可求得tan∠AED＝＞2，即可得②错误；③由AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，根据同高三角形面积的比等于对应底的比，即可求得即可求得S△AGD＞S△OGD；④我们根据折叠的性质就能得出AE＝EF，AG＝GF，只要再证出AE＝AG就能得出AEFG是菱形，可用角的度数进行求解，①中应经求出了∠AGD的度数，那么就能求出∠AGE的度数，在直角三角形AED中，有了∠ADE 的度数，就能求出∠AED的度数，这样得出AE＝AG后就能证出AEFG是菱形了．⑤我们可通过相似三角形DEF和DOG得出EF和OG的比例关系，然后再在直角三角形BEF中求出BE和EF的关系，进而求出BE和OG的关系．【解答】解：∵在正方形纸片ABCD中，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F 重合，∴∠GAD＝45°，∠ADG＝∠ADO＝22.5°，∴∠AGD＝112.5°，∴①正确．∵tan∠AED＝，AE＝EF＜BE，∴AE＜AB，∴tan∠AED＝＞2，∴②错误．∵AG＝FG＞OG，△AGD与△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，∴③错误．根据题意可得：AE＝EF，AG＝FG，又∵EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，又∵∠AEG＝∠FEG，。

矩形的翻折问题课件

创新思考
鼓励学生发挥想象力，探索翻折问题的创新应用，培养他们的创新思维和实践能力。
THANKS
感谢观看
02
矩形翻折问题的基本解法
翻折线段的长度计算
总结词
翻折线段的长度计算是解决矩形翻折问题的关键步骤之一，需要利用几何知识来求解。
详细描述
在矩形翻折问题中，我们需要计算翻折后的线段长度。这通常涉及到利用勾股定理、相似三角形等几何知识来求解。具体计算方法包括通过已知的边长和角度，或者通过设定的变量来表示未知的边长，然后建立方程求解。
，理解空间关系和几何变换。
探索几何性质
矩形翻折问题涉及到几何图形的性质和特点，如对称性、角度、边长等，通过解决这类问题可以深入了解几何学的基本概念和性
质。
应用实际生活
矩形翻折问题在日常生活中有广泛的应用，如包装、折纸艺术、建筑设计等领域，通过解决这类问题可以帮助学生理解数学与实
际生活的联系。
在包装设计中的应用
包装设计中的矩形翻折问题主要涉及包装盒的结构设计和折叠工艺。
通过解决矩形翻折问题，包装设计师可以设计出结构稳定、易于生产和折叠的包装盒，同时保证其美观性和保护性。
例如，在食品包装设计中，包装设计师可能会遇到需要将矩形纸板翻折成特定形状的问题，以实现包装盒的结构稳定性和生产效率。
03
矩形翻折问题的实际应用
在建筑设计中的应用
建筑设计中的矩形翻折问题主要涉及建筑结构的稳定性、美观性和功能性。
例如，在建筑设计过程中，建筑师可能会遇到需要将矩形板材翻折成特定形状的问题，以实现建筑外观的独特性和功能性。
通过解决矩形翻折问题，建筑师可以设计出具有独特造型和优雅线条的建筑结构，同时保证其稳定性和安全性。