内容提要数系基本概念向量线性运算共-辽宁师范大学

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沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第六章§2 线性空间的定义与简单性质公开课教学课件

在V 中都存在唯一的一个元素与它们对应，称为与的和，记为；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k P ,
在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与的数量乘积，记为 k. 如果加法和数量乘
法还满足下述规则，则称V 为数域P上的线性空间：
§2 线性空间的定义与简单性质
§2 线性空间的定义与简单性质
证：设 V,且 0
k 1 ,k 2 P ,k 1 k 2 ,有 k 1,k 2 V
又 k 1－ k 2 (k 1 k 2 ) 0
k1k2.
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限多个不同的向量.
注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
§2 线性空间的定义与简单性质
③ 1 R＋，a 1a1a, a R＋，即1是零元；
④
a
R＋，1
a
R＋，且a
1 a
a
1 a
1
§2 线性空间的定义与简单性质
1
即 a 的负元素是 a ；
⑤ 1 aa1 a; a R＋； ⑥k ( la ) k a l ( a l) k a lk a k l ( k l )a ; ⑦( k l )a a k l a k a l a k a l ( k a ) ( la ) ⑧k ( a b ) k ( a b ) ( a b ) k a k b k a k b k
空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： ( a 1 , a 2 ,, a n ) ( b 1 , b 2 ,, b n ) ( a 1 b 1 , a 2 b 2 ,, a n b n )
k ( a 1 ,a 2 ,,a n ) ( k a 1 ,k a 2 ,,k a n ) ,k P

辽宁师范大学《数学与应用数学专业》专升本考试大纲

４２017年高职高专应届毕业生升入本科学习辽宁师范大学数学与应用数学专业综合课（理论）考试大纲说明:该门课程共计15０分钟，试卷满分200分.试题内容涵盖《高等代数》、《数学分析》和《解析几何》三门数学课程内容．其中，《高等代数》课程内容占８0分、《数学分析》课程内容占 80分、《解析几何》课程内容占４0分。

具体如下：《高等代数》考试大纲第一章行列式ﻫ1。

行列式的定义２。

行列式的计算3.二阶、三阶行列式的几何意义第二章矩阵ﻫ１．矩阵的运算ﻫ２.初等矩阵ﻫ３。

矩阵的秩ﻫ４.求可逆矩阵的逆矩阵第三章线性方程组ﻫ1.向量空间ﻫ2．向量组的线性相关性ﻫ3。

线性方程组求解及解的结构第四章欧式空间与二次型ﻫ1.矩阵的特征根与特征向量ﻫ2．矩阵的对角化ﻫ３。

欧氏空间的正交基及标准正交基ﻫ4．用非退化线性变换和正交变换方法化二次型为标准形《数学分析》考试大纲第一章一元函数的极限与连续ﻫ1.函数的定义域及其求法ﻫ２。

数列与函数的极限ﻫ3。

函数的连续性第二章一元函数的导数与微分ﻫ1。

函数导数的定义及导数求法ﻫ2.函数微分的求法ﻫ３.微分中值定理及其应用(包括：1．罗尔中值定理及其应用;2。

拉格朗日中值定理及其应用）ﻫ4．用洛必达法则求函数的极限第三章一元函数的积分1.不定积分的概念ﻫ2。

换元积分法与分部积分法ﻫ３．定积分及其应用４。

广义积分第四章多元函数微积分1．二元函数的连续性2.二元函数的偏导数与全微分3。

泰勒公式与极值问题ﻫ４.级数收敛性的判别5。

幂级数ﻫ6.二重积分与三重积分的计算ﻫ《解析几何》考试大纲第一章向量代数ﻫ1.向量的线性运算ﻫ2。

向量的共线与共面３．向量的坐标表示ﻫ4。

向量的内积、外积及混合积ﻫ第二章平面与空间直线ﻫ1.求平面方程ﻫ2.求空间直线方程ﻫ3。

讨论平面与平面、直线与直线、直线与平面的位置关系及点到平面、点到直线的距离第三章曲面论1．柱面２。

锥面3．旋转曲面。

大一下学期高数向量知识点

大一下学期高数向量知识点在大一下学期高数课程中，向量是一个非常重要的知识点。

学习向量不仅有助于我们更好地理解数学概念，还有助于我们解决实际问题。

下面将介绍一些关于向量的重要知识点。

一、向量的概念向量是有大小和方向的量，它可以表示空间中的一个点或者一个物体的位移。

向量通常用一个有方向的箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在数学中，向量通常用字母加上一箭头来表示，例如"A→"。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

如果两个向量的方向相同，那么它们的和向量的长度就等于两个向量长度之和，方向与原来的向量相同。

如果两个向量的方向相反，那么它们的和向量的长度就等于两个向量长度之差，方向与较长的那个向量相同。

2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。

与向量的加法不同，向量的减法没有直接的几何意义，但在数学计算中非常常见。

向量的减法可以通过将减数取负，然后进行向量的加法来计算。

3. 向量的数量积向量的数量积也叫点乘，是指将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个数。

向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角，并且有以下性质：A⋅A=|A||A|cos A其中，A和A分别是两个向量，|A|和|A|分别是它们的长度，A是两个向量之间的夹角。

4. 向量的向量积向量的向量积也叫叉乘，是指将两个向量的对应分量进行运算得到一个新的向量。

向量的向量积的大小等于两个向量的长度乘以它们之间夹角的正弦值，它的方向垂直于两个向量所在的平面，方向满足右手定则。

三、向量的应用向量在物理学和工程学中有广泛的应用。

例如，在力学中，力可以用向量表示，通过对力的合成和分解可以解决物体平衡和运动的问题。

在电磁学中，电场和磁场也可以用向量表示，通过对向量场的运算可以解决电磁感应和电路的分析问题。

此外，向量还可以应用于几何学中的空间几何和解析几何。

在空间几何中，向量可以用来表示线段、直线和平面。

大一向量数学知识点总结

大一向量数学知识点总结向量是数学中重要的概念，它在几何学、物理学和工程学等领域起着重要作用。

本文将对大一学习的向量相关知识点进行总结。

一、向量的定义和表示方式向量可以理解为有大小和方向的量，常用符号为箭头上方带有一个字母，如a、b等。

向量有多种表示方式，包括坐标表示、分量表示和矩阵表示。

1. 坐标表示：在坐标系中，向量的表示可以用有序数对表示，如(a, b)，其中a为横坐标分量，b为纵坐标分量。

2. 分量表示：向量可以表示为各个方向上的分量的数值构成的序列，如(a1, a2, a3, ..., an)，其中ai为向量在每个方向上的分量。

3. 矩阵表示：向量可以表示为一个行向量或列向量的矩阵形式，如[a1, a2, a3, ..., an]或[a1; a2; a3; ...; an]。

二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

若向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的和a + b = (a1+b1, a2+b2, ..., an+bn)。

2. 向量的数乘：向量的数乘指将向量的每个分量与一个实数相乘。

若向量a = (a1, a2, ..., an)，实数k，则其数乘ka = (ka1, ka2, ..., kan)。

3. 内积：向量的内积又称为点积，表示两个向量之间的夹角和向量长度的乘积。

内积的计算方式有两种。

a. 几何定义：设向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的内积为a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。

b. 分量定义：设向量a = (a1, a2, ..., an)和向量b = (b1, b2, ..., bn)，则它们的内积为a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。

4. 外积：向量的外积又称为叉积，其结果是一个向量。

向量的线性运算.doc

向量的线性运算知识点：1．向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，AB→零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0.a0＝a|a|共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作a∥b相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如AB→＝a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作－a2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 课堂练习：2． (2012·四川)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b|b|成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析a |a|表示案 C 与a 同向的单位向量，b |b|表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a|＝b|b|，观察选项易知C 满足题意． 3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD →D ．2AO →＝OD →解析由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →. 4．已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD →，则实数λ的值为________．解析如图所示，由AP →＝λPD →，且PA →＋BP →＋CP →＝0，则P 是以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →，则λ＝－2. 5．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λp ＝－λ，∴p ＝－1.典型例题：平面向量的概念辨析例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中正确命题的序号是________．解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.故“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a|的关系：a|a|是a 方向上的单位向量．平面向量的线性运算例2 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA → D.12AB →－23AD → (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 思维启迪结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键．解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. (2)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →， ∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．共线向量定理及应用例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．思维启迪解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a 、b 不共线．方程思想在平面向量的线性运算中的应用例4：(12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b .(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解．规范解答解设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝t AD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .[5分]∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．[10分]∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t1n ＝t1，消去t 1得，4m ＋n ＝1. ②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[12分]温馨提醒(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．课后训练一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行答案 C解析由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C.2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D答案 B解析 BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →⇒BD →∥AB →⇒A 、B 、D 三点共线．3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝m AM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →.如图，因此延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E 、F 分别为AC 、AB 的中点，即M 为△ABC 的重心． AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB→＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1 B.12 C.13 D.23答案 D解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.二、填空题 6．设向量e 1，e 2不共线，AB→＝3(e 1＋e 2)，CB→＝e 2－e 1，CD→＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．答案 ④解析 AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2，BD →＝CD →－CB →＝3e 1，由向量共线的充要条件b ＝λa (a ≠0)可得A ，C ，D 共线，而其他λ无解．7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示)答案－14a ＋14b解析由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析由图知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，② 且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →， ∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.三、解答题9．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ，即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线． 10. 如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． (1)解延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b ， AD →＝12AG →＝12(a ＋b )，AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )．BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明由(1)可知BE →＝23BF →，因为有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。

向量的线性运算及其性质

向量的线性运算及其性质向量是线性代数中的重要概念，是指由一组数按照一定规律排列而成的有序数列。

向量的线性运算是指在向量空间中，对两个或多个向量进行数学运算的过程，其中包括向量加法和数量乘法等两种基本运算。

一、向量加法向量加法是向量运算中最基本的一种运算方式。

在向量空间中，向量加法的定义是两个向量相同位置上的数值相加。

例如，对于向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，它们的加法定义为：a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)在向量加法中，满足加法交换律和结合律。

即对于任意向量a,b,c，有：a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)此外，零向量也是一个特殊的向量，它的各个分量都为0，记为0。

对于任意向量a，都有：a+0=a二、数量乘法数量乘法是指一个向量乘以一个常数。

常数也称为标量，表示为k。

例如，对于向量a=(a1,a2,a3)，其数量乘法定义为：ka=(ka1,ka2,ka3)在数量乘法中，也满足交换律和结合律。

即对于任意向量a，b 和任意实数k，有：k(a+b)=ka+kb(k1k2)a=k1(k2a)此外，特别地，当k=0时，有：0a=0这个公式表示了任何向量与零向量相乘结果都是零向量。

三、线性组合如果给定一个向量集合，可以通过线性组合的方式来构造出一个新的向量。

线性组合的形式是将每个向量分别与对应的系数相乘后相加，例如：k1a1+k2a2+k3a3其中k1，k2，k3为实数，a1，a2，a3为向量。

线性组合可以看作是向量加法和数量乘法的叠加，它有着很多重要的性质。

线性组合是向量空间中的重要概念，它可以用于描述向量之间的关系。

四、向量空间向量空间是指一组向量所组成的空间，其中的向量可以进行向量加法和数量乘法等线性运算。

向量空间必须满足以下条件：1. 零向量存在并唯一。

2. 加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。

3. 对于任意向量a，都有它的相反向量-b，使得a+b=0。

线性代数知识点全面总结

线性代数知识点全面总结线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组及其解的一门数学学科。

它是高等数学的基础课程之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。

下面将全面总结线性代数的知识点。

1.向量向量是线性代数的基本概念之一，它表示有方向和大小的物理量。

向量可以表示为一个有序的元素集合，也可以表示为一个列向量或行向量。

向量的加法、减法、数乘等运算满足一定的性质。

2.向量空间向量空间是一组向量的集合，其中的向量满足一定的性质。

向量空间中的向量可以进行线性组合、线性相关、线性无关等运算。

向量空间的维数是指向量空间中线性无关向量的个数，也称为向量空间的基的个数。

3.矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由若干个数排成的矩形阵列。

矩阵可以表示线性方程组、线性变换等。

矩阵的加法、数乘运算满足一定的性质，矩阵的乘法满足结合律但不满足交换律。

4.线性方程组线性方程组是由线性方程组成的方程组。

线性方程组可以表示为矩阵乘法的形式，其中未知数对应为向量。

线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法求解。

5.行列式行列式是一个包含数字的方阵。

行列式的值可以通过一系列的数学运算求得，它可以表示方阵的一些性质，例如可逆性、行列式的大小等。

6.矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质。

特征值表示线性变换后的方向，特征向量表示与特征值对应的方向。

通过求解特征值和特征向量可以分析矩阵的性质，例如对角化、矩阵的相似等。

7.线性变换线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，它满足线性性质。

线性变换可以通过矩阵的乘法表示，矩阵中的元素代表了向量的变换规则。

8.最小二乘法最小二乘法是一种通过最小化误差的平方和来求解线性方程组的方法。

最小二乘法可以用于求解多项式拟合、数据拟合等问题，它可以通过求矩阵的伪逆来得到解。

9.正交性与正交变换正交性是指向量或函数满足内积为零的性质。

正交变换是一种保持向量长度和夹角不变的线性变换。

大一上线性代数知识点总结

大一上线性代数知识点总结线性代数是数学的一个重要分支，也是大一上学期的一门重要课程。

通过学习线性代数，我们可以掌握向量、矩阵、线性方程组等基本概念和运算，为后续数学和工程学科的学习奠定了坚实基础。

在本文中，我将对大一上线性代数的知识点进行总结和归纳。

一、向量及其运算在线性代数中，向量是最基础的概念之一。

向量是有大小和方向的量，通常用有序数对来表示。

在向量的运算中，主要包括向量的加法、减法、数乘等。

1. 向量的定义：向量是一种有大小和方向的量。

2. 向量的表示：通常使用有序数对来表示一个向量，如(a, b)。

3. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即（a, b）+（c, d）=（a + c, b + d）。

4. 向量的减法：向量的减法可以转化为加上相反向量，即（a, b）-（c, d）=（a - c, b - d）。

5. 向量的数乘：数乘是指一个向量与一个实数的乘积，即k（a, b）=（ka, kb）。

二、矩阵及其运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念，它是一个由数构成的矩形阵列。

矩阵可以进行加法、减法、数乘以及矩阵乘法等运算。

1. 矩阵的定义：矩阵是由数构成的矩形阵列。

2. 矩阵的表示：通常用大写字母加粗表示一个矩阵，例如A。

3. 矩阵的加法：矩阵的加法满足交换律和结合律，即A + B =B + A。

4. 矩阵的减法：矩阵的减法可以转化为加上相反矩阵，即A -B = A + (-B)。

5. 矩阵的数乘：数乘是指一个矩阵与一个实数的乘积，即kA。

6. 矩阵的乘法：矩阵的乘法是指按照一定规则进行的运算，结果是一个新的矩阵。

两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

三、线性方程组线性方程组是线性代数中的重要应用之一，它由一系列线性方程组成。

解线性方程组等价于求出使方程组成立的变量值。

1. 线性方程组的定义：线性方程组是由一系列线性方程组成的方程组。

2. 线性方程组的解：线性方程组的解是指使方程组成立的变量值集合。

向量的线性运算ppt课件

• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
高等数学（ZYH）
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
高等数学（ZYH）
二、向量的线性运算
1. 向量的加法
平行四边形法则: b
（平行时不可用）
a
三角形法则:
（平行时可用）
ab a
ab
(a b) c
c
bc
a (b c)
)
得定比分点公式:
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
高等数学（ZYH）
的坐标为 M (x , y , z), 则 OM ON NM OA OB OC
r
x
i
y
j
z
k （i
,
j
,
k
分解式）
z C
ko i
j
r
M B y
A
x
N
(x , y , z )（坐标表示式）
沿三个坐标轴方向的分向量.
高等数学（ZYH）
四、利用坐标作向量的线性运算
设
a
(aax ,ba
§8.1 向量及其线性运算

高中数学向量的线性运算知识点总结

高中数学向量的线性运算知识点总结高中数学向量的线性运算知识点总结导语：线性运算是加法和数量乘法，对于不同向量空间线性运算一般有不同的形式，它们必须满足交换律，结合律，数量加法的分配律，向量加法的分配律。

下面是小编总结的高中数学向量的线性运算知识点，供参考。

1.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的.起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.3.向量的运算律(1)交换律：α+β=β+α(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ。

大一向量知识点与公式总结

大一向量知识点与公式总结向量是在物理学和数学中常见的概念，它具有方向和大小的特点。

在大一的数学课程中，学生需要学习一些基本的向量知识点和公式。

本文将对这些知识点和公式进行总结和归纳。

1. 向量的定义和表示方法向量可以用有序的数对表示，也可以用坐标表示。

在二维平面中，向量通常表示为（x，y），其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的分量。

在三维空间中，向量可以表示为（x，y，z）。

向量的长度称为模，常用符号||A||表示，可以通过勾股定理计算得到。

2. 向量的运算2.1 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

对于同维度的向量A（x1，y1）和B（x2，y2），它们的和向量C可以表示为C（x1+x2，y1+y2）。

2.2 向量的减法：向量的减法可以看作是加上一个相反向量。

即A减去B可以表示为A加上-B，其中-B表示与向量B大小相等但方向相反的向量。

2.3 向量的数乘：向量的数乘是指向量与一个标量的乘法，可以通过分别乘以该标量对向量的分量进行计算得到。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为点乘，表示为A·B或者AB。

对于二维向量A（x1，y1）和B（x2，y2），其数量积计算公式为A·B=x1*x2+y1*y2。

数量积具有交换律和分配律的性质。

4. 向量的叉积向量的叉积又称为向量积或叉乘，表示为A×B或者AB。

对于三维向量A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），其叉积计算公式为：A×B=(y1*z2-y2*z1)i-(x1*z2-x2*z1)j+(x1*y2-x2*y1)k。

叉积的结果是一个新的向量，方向垂直于A和B所在的平面。

5. 常用向量公式和定理5.1 向量的模公式：||A||^2=x^2+y^2（二维平面）或||A||^2=x^2+y^2+z^2（三维空间）。

5.2 向量的夹角公式：A·B=||A||*||B||*cosθ，其中θ为A和B 的夹角。

线性代数的基本概念与运算

线性代数的基本概念与运算线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换。

它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

本文将介绍线性代数的基本概念与运算，包括向量、矩阵、线性变换等内容。

一、向量的基本概念与运算向量是线性代数中的基本概念之一。

它可以用有序的数对或数列表示，常用箭头表示。

向量有大小和方向两个特征，可以进行加法和数乘运算。

向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个数。

向量的加法和数乘运算满足一些基本性质，如交换律、结合律和分配律。

这些性质使得向量的运算更加方便和灵活。

通过向量的运算，我们可以描述和计算许多实际问题，如力的合成、位移的计算等。

二、矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中另一个重要的概念。

它是一个按照长方阵列排列的数表，由行和列组成。

矩阵可以表示向量、线性方程组和线性变换等。

矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。

矩阵的加法是指将两个矩阵的对应元素相加，数乘是指将一个矩阵的每个元素乘以一个数，矩阵的乘法是指按照一定规则将两个矩阵相乘。

矩阵的乘法是线性代数中的核心运算之一。

它不仅可以用来解决线性方程组，还可以用来描述线性变换。

矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律。

这一点与普通的数乘运算不同，需要注意。

三、线性变换的基本概念与运算线性变换是线性代数中的重要概念之一，它是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，保持向量加法和数乘运算。

线性变换可以用矩阵表示，通过矩阵乘法来描述其作用。

线性变换有许多重要的性质，如保持向量加法和数乘运算、保持零向量、保持线性组合等。

这些性质使得线性变换在实际问题中有广泛的应用，如图像处理、信号处理等。

线性变换的逆变换和复合变换也是线性代数中的重要概念。

逆变换是指将一个向量空间映射回原来的向量空间，复合变换是指将一个线性变换和另一个线性变换相结合。

总结：线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其上的线性变换。

高等数学中的向量计算

高等数学中的向量计算引言：高等数学是大学数学中的一门重要课程，其中向量计算是其中的一部分。

向量是数学中的重要概念，具有广泛的应用。

本教案将围绕高等数学中的向量计算展开论述，包括向量的定义、向量的基本运算、向量的线性相关与线性无关、向量的内积与外积等内容。

通过学习本教案，学生将深入理解向量的概念和运算规则，为进一步学习和应用数学打下坚实的基础。

一、向量的定义与表示1. 向量的概念：向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。

向量在物理、几何和工程等领域有着广泛的应用。

2. 向量的表示：向量可以用有序数对、有向线段、列向量等形式表示。

不同的表示形式在不同的问题中有着不同的应用。

3. 向量的运算：向量的运算包括加法、减法、数乘等。

这些运算满足一定的运算规则，如交换律、结合律等。

二、向量的基本运算1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的终点相连，新向量的起点即为原向量的起点，终点即为原向量的终点。

2. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算，即将减去的向量取反后与被减向量相加。

3. 向量的数乘：向量的数乘是将向量的每个分量与一个实数相乘，改变向量的大小和方向。

三、向量的线性相关与线性无关1. 向量的线性组合：给定一组向量，通过对向量的加法和数乘运算，可以得到新的向量，称为这组向量的线性组合。

2. 向量的线性相关：如果存在不全为零的实数使得向量组的线性组合等于零向量，则称这组向量线性相关。

3. 向量的线性无关：如果向量组的线性组合只有零向量时，称这组向量线性无关。

四、向量的内积与外积1. 向量的内积：向量的内积又称点积，是两个向量之间的一种运算。

内积的结果是一个实数，表示两个向量之间的夹角和向量长度的乘积。

2. 向量的外积：向量的外积又称叉积，是两个向量之间的一种运算。

外积的结果是一个向量，垂直于原来两个向量所在的平面。

结语：通过本教案的学习，学生将对高等数学中的向量计算有更深入的理解。

高考数学一轮总复习课件：向量的概念及线性运算

第1课时向量的概念及线性运算
[复习要求] 1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.2.理解向量的几何表示.3.掌握向量加法、减法的运算并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.5.了解向量线性运算的性质及其几何意义．
课前自助餐
向量的有关概念 (1)向量的定义：既有_大_小___又有_方__向___的量叫做向量． (2)向量的长度：表示A→B的_有__向__线_段__的长度，即A→B的大小叫做A→B的长度或称为A→B的模，__长__度_为__0_的向量叫做零向量，记作 0，_长__度_等__于__1个__单__位_的向量，叫做单位向量．
(3)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形
ABCD所在平面内的任意一点，则 O→A ＋ O→B ＋ O→C ＋ O→D 等于
( D) A.O→M
B．2O→M
C．3O→M
D．4O→M
【解析】因为M是平行四边形ABCD对角线AC，BD的交
点，所以O→A＋O→C＝2O→M，O→B＋O→D＝2O→M.所以O→A＋O→B＋O→C＋
(5)若向量A→B与向量C→D是共线向量，则点 A，B，C，D 必在同一条直线上．
答案 (5)× 解析 (5)错误．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．
2．(课本习题改编)化简：(1)A→B＋C→A－C→B＝____0______； (2)A→B－C→D＋B→D－A→C＝____0 ______； (3)O→A－O→B＋A→B＝____0______； (4)N→Q＋M→N－M→P＋Q→P＝____0 ______．
3．如图所示，向量a－b等于( C )
A．－4e1－2e2 C．e1－3e2

大一线性代数知识点纲要

大一线性代数知识点纲要线性代数是大一学生所学习的重要数学课程之一，它是现代数学中的一个基础学科，对于后续的学习和应用都具有重要的意义。

在线性代数的学习过程中，有一些关键的知识点需要我们深入理解和掌握。

本文将对大一线性代数的知识点进行总结和归纳，帮助读者进行系统的复习和回顾。

一、向量与向量运算1. 向量的定义及表示方法2. 向量的线性运算（加法、数乘）3. 向量的数量积和向量积4. 向量空间的概念及性质二、矩阵及其运算1. 矩阵的定义及表示方法2. 矩阵的加法和数乘运算3. 矩阵的乘法运算及其性质4. 矩阵的转置和逆的概念及计算方法5. 矩阵的秩与方阵的行列式三、特殊矩阵与矩阵的分解1. 单位矩阵和零矩阵的性质2. 对角矩阵和对称矩阵的性质3. 矩阵的相似与对角化4. 特征值与特征向量的计算四、线性方程组1. 线性方程组的概念及解的存在唯一性2. 线性方程组的矩阵形式3. 线性方程组的解的性质（齐次解与非齐次解）4. 线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵的初等变换）五、线性相关和线性无关1. 向量的线性相关和线性无关的概念2. 向量组的线性相关性3. 向量组的极大无关组与向量组的秩六、线性变换与矩阵表示1. 线性变换的概念及性质2. 线性变换的矩阵表示3. 矩阵的相似性质对线性变换的影响七、内积空间与正交性1. 内积的定义及性质2. 内积空间的概念及性质3. 正交向量与正交子空间4. 施密特正交化过程八、特征值与特征向量1. 特征值和特征向量的定义2. 特征值与特征向量的性质3. 对称矩阵的特征值与特征向量的性质九、二次型1. 二次型的定义及性质2. 矩阵的合同与二次型的化简3. 二次型的规范形以上是大一线性代数的主要知识点纲要，通过对这些知识点的掌握和理解，可以为后续的高等数学、计算机科学等学科奠定坚实的数学基础。

在学习过程中，要多做习题，加强对概念和公式的运用，同时也要注重理论与实际问题的联系，提高数学建模和解决实际问题的能力。

沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第六章§1 集合

应的充要条件是它们所含元素的个数相同；
②
对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A
的真子集），则 A、B之间不可能存在1—1对应；但
是对于无限集未必如此.
如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集．
M=Z，M´＝2Z， σ：σ(n)＝2n,
第六章线性空间 §1 集合映射
4、可逆映射
定义：设映射 : M M ', 若有映射 : M ' M , 使得
定义为： (a)＝τ(σ(a))
即相继施行σ和τ的结果，映射．注： ①对于任意映射
a M
M 到 M" 的一个是
: M M ' ，有 1M 1M
②设映射 : M M ', : M ' M '', : M '' M ''' ，
6）M＝M´＝P[x]，P为数域 σ：σ(f (x))＝f ´(x)， f ( x) P[ x] （是满射，但不是单射）
7）M是一个集合，定义1M： 1M(a)＝a， a M 8）M=Z，M´＝2Z， σ：σ(n)＝2n,
第六章线性空间 §1 集合映射
（双射）
（双射）
注：
① 对于有限集来说，两集合之间存在1—1对
则 ( x) ( ( x)) ( y) x 1M ( x), 即 1M ； y M , 若y = ( x ), 有(y )=x
则 ( y) ( ( y)) ( x) y 1M ( y), 即 1M
例7
判断下列映射的性质
（既不单射，也不是满射）

《24.7向量的线性运算》讲义

《24.7向量的线性运算》讲义同学们好，咱们现在已经到了九年级啦，在沪教版（上海）的数学教材里，今天咱们要一起学习第二十四章相似三角形里的第四节内容，也就是向量的线性运算。

这部分知识呀，就像打开数学世界里一个新的小宝藏箱，里面有很多有趣的东西等着咱们去发现呢。

那什么是向量呢？我给大家讲个事儿啊。

有一次我去公园遛弯儿，看到一个小朋友在放风筝。

那风筝线就好像是一个向量。

风筝线有长度吧，这就相当于向量的大小；风筝线还有方向，是朝着天上风筝的方向，这就是向量的方向。

所以说向量这个东西啊，就是既有大小又有方向的量。

咱们再来说说向量的表示方法。

通常呢，我们可以用有向线段来表示向量。

就像刚刚说的风筝线，我们可以把它看成是一条有方向的线段。

在纸上画的时候，我们用一个箭头来表示方向，线段的长度就表示向量的大小。

比如说，我们画一个小箭头从点A指向点B，这个就可以表示一个向量，我们可以写成向量AB，这个箭头可不能丢哦，丢了就不知道方向啦。

一、向量的加法运算1、三角形法则咱们先来讲向量加法的三角形法则。

还是拿刚刚放风筝的事儿来说，假如这个小朋友先往东走了一段距离，这可以看成是一个向量，我们就叫向量a吧。

然后呢，他又往北走了一段距离，这就是另一个向量，叫向量b。

那他从最开始的位置到最后的位置这个总的位移呢，就是向量a和向量b的和。

咱们在图上画的时候，就把向量a的终点和向量b的起点连起来，然后从向量a的起点指向向量b的终点的这个向量，就是向量a加向量b。

这就像你要去一个地方，先走了一段路，接着又走了另一段路，总的路程就是这两段路的合成。

2、平行四边形法则除了三角形法则，向量加法还有平行四边形法则呢。

想象一下，你和你的小伙伴一起推一个箱子。

你从箱子的左边往右边用力，这是一个向量，你的小伙伴从箱子的前面往后面用力，这是另一个向量。

那箱子最终移动的方向和距离呢，就是这两个向量的和。

在图上怎么画呢？我们把这两个向量的起点放在一起，然后以这两个向量为邻边作一个平行四边形，那从这两个向量共同的起点指向平行四边形对角顶点的这个向量，就是这两个向量的和。

辽宁师范大学2024年硕士研究生招生考试参考大纲 601高等代数

数学学院2024年研究生考试大纲601《高等代数》考试大纲注意：本大纲为参考性考试大纲，是考生需要掌握的基本内容。

第一部分一元多项式理论一、考核知识点（一）一元多项式（二）整除性与最大公因式（三）因式分解（四）复系数、实系数、有理系数多项式二、考核要求（一）一元多项式1、一元多项式及相关概念；2、多项式的运算与次数的关系；3、一元多项式的运算。

（二）整除性与最大公因式1、多项式的整除及相关概念，最大公因式及相关概念；2、整除的性质，带余除法，辗转相除法，最大公因式的性质，互素的性质；3、计算最大公因式，使用整除性质、最大公因式的性质、互素的性质处理多项式问题。

（三）因式分解1、不可约多项式概念，最小公倍式概念，重因式、根、重根等概念；2、不可约多项式的性质，导数与重因式的关系，次数与根的个数的关系；3、唯一分解定理，利用因式分解理论处理多项式的相关问题。

（四）复系数、实系数、有理系数多项式1、复系数、实系数不可约多项式及因式分解定理，实系数多项式虚根特征；2、本原多项式性质，有理系数多项式与整系数多项式在可约性上的关系，艾森斯坦因判别法，综合除法，有理系数多项式的有理根的判定；3、应用复系数、实系数、有理系数多项式理论处理相关问题。

第二部分行列式一、考核知识点（一）映射与变换（二）置换的奇偶性（三）行列式（四）克拉默法则二、考核要求（一）映射与变换1、映射、变换及相关概念；2、映射的合成及运算律；3、映射的可逆性。

（二）置换的奇偶性1、置换奇偶性概念及其性质；2、置换的表示方法；3、置换的运算、分解。

（三）行列式1、行列式的定义及相关概念；2、行列式的性质及其计算；3、行列式的几何意义。

（四）克拉默法则1、克拉默法则内容及其证明；2、利用克拉默法则解线性方程组。

第三部分线性方程组与线性子空间一、考核知识点（一）消元法（二）向量组的线性相关性（三）线性子空间二、考核要求（一）消元法1、矩阵、初等变换、线性方程组的有关概念；2、消元法的思想；3、解线性方程组及其解的结构。

高等数学教案：向量及其线性运算

高等数学教案：向量及其线性运算第一节向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算本授课单元教学目标或要求：理解向量的概念及其表示，会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：向量的定义，向量的线性运算及其基本性质重点：向量的定义，向量的线性运算及其基本性质难点：向量线性运算基本性质的证明和理解对学生的引导及重点难点的解决方法：从中学平面解析几何中代数与几何的关系入手，指出可以用代数方法帮助研究几何问题，从而提出建立空间坐标系的重要性；引入向量的相关概念，定义向量的线性运算并给出其几何解释。

本节的难点为向量运算基本性质的证明与理解问题，首先应该通过力学实例给出向量加法的物理学实例，从而引入向量加法的定义，完成从实例到抽象定义的转化；然后在几何上给出向量加法的平行四边形法则和三角形法则，说明其等价性，完成从抽象到具体几何解释的转化，为后续证明打好基础；接着定义向量与数的乘法，并给出几何解释；最后利用向量运算的几何解释证明向量线性运算的结合律与分配律。

例题：例1 化简例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.其他例题见PPT本授课单元教学手段与方法：讲授教学与多媒体教学相结合本授课单元思考题、讨论题、作业：高等数学（同济五版）P301 5.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）高等数学（同济五版）P289---P294注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。