2013年中考数学复习分式

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中考数学复习第五节因式分解与分式

第五节因式分解与分式本节知识导图河北中考命题规律考什么怎么考考点年份题号题型考查方式考频命题趋势因式分解2019 13 选择题分式化简与求值，涉及完全平方公式5年4考因式分解常与分式化简结合考查，多为选择题，2019年首次分式化简及求值与数轴相结合，形式新颖，预计2020年仍会考查2018 14 选择题分式化简，涉及提公因式2016 4 选择题分式化简，涉及平方差公式、完全平方公式2015 18 填空题分式化简与求值，涉及平方差公式和提公因式分式的运算2019 13 选择题分式化简，判断结果在数轴上的位5年4考2018 14 选择题四名同学接力完成分式化简2017 13 选择题两项分式减法2016 4 选择题两项的分式减法、乘法、除法运算2015 18 填空题涉及平方差公式和提公因式，化简并求值5年1考河北中考考题试做因式分解1．(2013·河北中考)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(D)A．a(x－y)＝ax－ayB．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)分式化简及求值2．(2019·河北中考)如图，若x为正整数，则表示（x＋2）2x2＋4x＋4－1x＋1的值的点落在(B)A．段①B．段②C．段③D．段④3．(2018·河北中考)老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是(D ) A ．只有乙 B ．甲和丁 C ．乙和丙 D ．乙和丁4．(2016·河北中考)下列运算结果为x －1的是( B ) A ．1－1x B .x 2－1x ·x x ＋1C .x ＋1x ÷1x －1D .x 2＋2x ＋1x ＋15．(2017·河北中考)若3－2x x －1＝( )＋1x －1，则( )中的数是(B )A ．－1B ．－2C ．－3D ．任意实数6．(2015·河北中考)若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2a 2－ab 的值为__32__.中考考点清单因式分解及其基本方法1．因式分解：把一个多项式分解成几个__整式乘积__的形式，叫做多项式的因式分解． 2．因式分解与整式乘法的关系多项式因式分解整式乘法整式的积．3．提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝__m(a ＋b ＋c)__．【方法点拨】公因式的确定：(1)系数：取各项系数的最大公约数；(2)字母：取各项相同的字母；(3)指数：取各项相同字母的最低次数．4．运用公式法(1)平方差公式：a 2－b 2＝__(a ＋b)(a －b)__． (2)完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝__(a±b)2__．【方法点拨】因式分解的一般步骤例如，分解因式：3x －6＝3(x －2)，a 3－4a ＝a(a ＋2)(a －2)，4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2.分式的有关概念5．分式：一般地，我们把形如__AB__的代数式叫做分式，其中，A ，B 都是整式，且B 含有字母．A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母．6．与分式有关的“五个条件” (1)分式AB 没有意义时，B__＝0__；(2)分式AB有意义时，B__≠0__；(3)分式AB的值为零时，A__＝0__且B__≠0__；(4)分式AB 的值为正时，A ，B__同号__，即⎩⎪⎨⎪⎧A>0，B ＞ 0或⎩⎪⎨⎪⎧A<0，B ＜ 0；(5)分式AB 的值为负时，A ，B__异号__，即⎩⎪⎨⎪⎧A>0，B ＜ 0或⎩⎪⎨⎪⎧A<0，B ＞ 0.7．最简分式：分子和分母没有__公因式__的分式．分式的基本性质及运用8．分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为AB＝A ×MB ×M ，A B ＝A÷MB÷M .其中，M 是不等于0的整式．9．约分与通分(1)约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式．【方法点拨】确定最大公因式的方法 (1)分子、分母能因式分解的先因式分解；(2)取分子、分母中相同因式的最低次幂(数字因式取最大公约数)．(2)通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式的值相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．【方法点拨】确定最简公分母的方法(1)先观察各分母，能因式分解的先因式分解；(2)取各分母公有因式的最高次幂(数字因式取最小倍数)；(3)对于只在一个分母中含有的因式，则连同它的指数作为最简公分母的因式．分式运算10．分式的加减运算法则：同分母的两个分式相加(减)，分母不变，把分子相加(减)；异分母的两个分式相加(减)，先通分，化为同分母的分式，再相加(减)，即A B ±C B ＝A±C B ；A B ＋D C ＝AC ＋BD BC. 11．分式的乘除运算法则：分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，即A B ·C D ＝A·C B·D ；A B ÷C D ＝A B ·D C ＝A·D B·C. 12．分式乘方的运算法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方，即⎝⎛⎭⎫A B n＝A nB n (n 为整数)．13．分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇到括号，先算__括号里面的__．分式运算的结果要化成整式或最简分式．【方法点拨】分式化简求值的一般步骤：(1)若有括号的，先计算括号内的分式运算，括号内如果是异分母加减运算时，需将异分母分式通分化为同分母分式运算，然后将分子合并同类项，把括号去掉，简称：去括号；(2)若有除法运算的，将分式中除号(÷)后面的式子分子分母颠倒，并把这个式子前的“÷”变为“×”，保证几个分式之间除了“＋”“－”就只有“×”或“·”，简称：除法变乘法；(3)利用因式分解、约分进行分式乘法运算；(4)最后按照式子顺序，从左到右计算分式加减运算，直到化为最简形式；(5)将所给数值代入求值，代入数值时要注意使原分式有意义(即使原分式的分母不为0)．例如，化简：x ＋1x －1x ＝1，(a －1)÷(1a －1)·a ＝－a 2，1x ＋1＋2x 2－1＝1x －1.典题精讲精练因式分解【例1】(2019·哈尔滨中考)把多项式a 3－6a 2b ＋9ab 2分解因式的结果是a(a －3b)2. 【解析】本题考查因式分解，涉及提公因式和完全平方公式． a 3－6a 2b ＋9ab 2＝a(a 2－6ab ＋9b 2)＝a(a －3b)2.【方法点拨】有公因式的先提公因式，然后再考虑套公式，最后注意要分解到不能再分解为止．1．(2019·贺州中考)把多项式4a 2－1分解因式，结果正确的是(B ) A ．(4a ＋1)(4a －1) B ．(2a ＋1)(2a －1) C ．(2a －1)2 D ．(2a ＋1)22．(2019·绥化中考)下列因式分解正确的是(D )A ．x 2－x ＝x(x ＋1)B ．a 2－3a －4＝(a ＋4)(a －1)C ．a 2＋2ab －b 2＝(a －b)2D ．x 2－y 2＝(x ＋y)(x －y)分式的概念及其基本性质【例2】下列分式的变形中不一定成立的是(C ) A .y x ＝xy x 2 B .y x ＝πy πxC .y x ＝y （x －y ）x （x －y ）D .y x ＝y （y 2＋1）x （y 2＋1）【解析】A 选项从左边变化到右边是将分子、分母同乘x ，依题意知x ≠0，故A 选项成立；B 选项从左边变化到右边是将分子、分母同乘π，又π≠0，故B 选项成立；C 选项从左边变化到右边是将分子、分母同乘(x －y)，(x －y)是否等于0不能确定，故C 选项不一定成立；D 选项从左边变化到右边是将分子、分母同乘(y 2＋1)，且y 2＋1≠0，故D 选项成立．,【例3】(2019·贵港中考)若分式x 2－1x ＋1的值等于0，则x 的值为(D )A ．±1B ．0C ．－1D ．1【解析】分式的值为零时，分子为零且分母不为零需满足x 2－1＝0且x ＋1≠0，故x ＝1.3．若x ，y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是(A ) A .3x 2y B .3x 2y 2 C .3x 22y D .3x 32y2 4．(2019·北京中考)若分式 x －1x的值为0，则x 的值为1.分式化简求值【例4】(2019·广东中考)先化简，再求值： ⎝⎛⎭⎫x x －2－1x －2÷x 2－x x 2－4，其中x ＝ 2.【解析】本题考查分式化简求值．先计算括号内的同分母分式减法，再分解因式，同时将分式的除法改为乘法，分子分母进行约分，将分式化为最简分式，再将字母x 的值代入最简分式，从而求出原式的值．【解答】解：原式＝x －1x －2·（x ＋2）（x －2）x （x －1）＝x ＋2x. 当x ＝2时，原式＝2＋22＝2（2＋2）2＝1＋ 2.5．(2019·河南中考)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －2－1÷x 2－2x x 2－4x ＋4，其中x ＝ 3.解：原式＝x ＋1－x ＋2x －2÷x （x －2）（x －2）2＝3x －2·x －2x ＝3x .当x ＝3时，原式＝33＝ 3. 请完成限时训练A 本P A 7～A 8，选做B 本P B 7本章复习完毕后，请完成限时训练A 本“阶段测评(一)”。

2013年中考数学专题复习第5讲：分式(含详细参考答案)

2013年中考数学专题复习第五讲：分式【基础知识回顾】一、分式的概念若A，B表示两个整式，且B中含有那么式子就叫做公式【名师提醒：①：若则分式AB无意义②：若分式AB=0，则应且】二、分式的基本性质分式的分子分母都乘以（或除以）同一个的整式，分式的值不变。

1、a ma m⋅⋅=a mb m÷÷= （m≠0）2、分式的变号法则ba-=b3、约分：根据把一个分式分子和分母的约去叫做分式的约分。

约分的关键是确保分式的分子和分母中的约分的结果必须是分式4、通分：根据把几个异分母的分式化为分母分式的过程叫做分式的通分通分的关键是确定各分母的【名师提醒：①最简分式是指②约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的应用字母的当分母、分母是多项式时应先再进行约分③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的相同字母分母中有多项式时仍然要先通分中有整式的应将整式看成是分母为的式子④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】三、分式的运算：1、分式的乘除①分式的乘法：ba.dc=②分式的除法：ba÷dc= =2、分式的加减①用分母分式相加减：ba±ca=②异分母分式相加减：ba±dc= =【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为法来做，其实质是的过程②异分母分式加减过程的关键是】3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即(ba)m =1、分式的混合运算：应先算再算最后算有括号的先算括号里面的。

2、分式求值：①先化简，再求值。

②由值的形式直接化成所求整式的值③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式②分式运算的结果，一定要化成③分式求值不管哪种情况必须先此类题目解决过程中要注意整体代入】【重点考点例析】考点一：分式有意义的条件例1 （2012•宜昌）若分式21a +有意义，则a 的取值范围是（） A ．a=0 B ．a=1 C ．a≠-1 D ．a≠0点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．对应训练1．（2012•湖州）要使分式1x有意义，x 的取值范围满足（） A ．x=0 B ．x≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜0考点二：分式的基本性质运用例2 （2012•杭州）化简216312m m --得；当m=-1时，原式的值为．对应训练2．（2011•遂宁）下列分式是最简分式的（）A ．223a a bB ．23a a a -C ．22 a b a b ++D ．222a ab a b -- 考点三：分式的化简与求值例3 （2012•南昌）化简：2211a a a a a --÷+．点评：本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．例4 （2012•安徽）化简211x x x x+-- 的结果是（） A ．x+1 B ．x-1 C ．-x D ．x点评：本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．例5 （2012•天门）化简221(1)11x x -÷+- 的结果是（） A ．21(1)x + B ．21(1)x - C ．2(1)x + D ．2(1)x - 点评：此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．例6 （2012•遵义）化简分式222()1121x x x x x x x x --÷---+，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x 代入求值．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．对应训练3．（2012•河北）化简22111x x ÷--的结果是（） A ．21x - B ．321x - C ．21x - D ．2（x+1） 4．（2012•绍兴）化简111x x --可得（） A ．21x x - B ．21x x -- C ．221x x x +- D ．221x x x-- 5．（2012•泰安）化简22()2-24m m m m m m -÷+-= ． 6．（2012•资阳）先化简，再求值：2221(1)11a a a a a --÷---+，其中a 是方程x 2-x=6的根．考点四：分式创新型题目例7 （2012•凉山州）对于正数x ，规定1()1f x x =+，例如：11(4)145f ==+，114()14514f ==+，则 111(2012)(2011)(2)(1)()()()220112012f f f f f f f ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++= ．对应训练7．（2012•临沂）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算201211(1)n n n ==+∑ ．【聚焦山东中考】一、选择题1．（2012•潍坊）计算：2-2=（）A ．14B ．2C ．14- D ．4 2．（2012•德州）下列运算正确的是（） A ．42= B ．（-3）2=-9C ．2-3=8D ．20=0 3．（2012•临沂）化简4(1)22a a a +÷--的结果是（） A ．2a a + B ．2a a + C ．2a a - D ．2a a - 4．（2012•威海）化简的结果是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题 5．（2012•聊城）计算：24(1)42a a a +÷=-- ． 6．（2011•泰安）化简：22()224x x x x x x -÷+--的结果为．三、解答题7．（2012·济南）化简：2121224a a a a a --+÷--．8．（2012•烟台）化简：222844(1)442a a a a a a+--÷+++．9．（2012•青岛）化简：2211(1)12a a a a -+++。

2013届中考数学分式复习

A．x≠5 B．x≠－5 C．x>5 D．x>－5 a－2ab－b 1 1 (2)已知－＝4，则的值等于( ) a b 2a－2b＋7ab 2 2 A．6 B．－6 C. D．－ 15 7 －ab 2 (3)计算 2 的结果是( ) ab A．a B．b C．1 D．－b x＋1 (4)已知分式的值为0，那么x的值为________． x－1
1 1 解：(1) －1 n － 1 解：(1) n＋1 n＋1－n 1n1 n＋1 n＋1 1 n 1 (2)证明：－1 1＝－＝ n＋1－n ＝ n＋1 n 1 解：(1) － 1 nn － (2)证明： n＋1 nn＋1 nn＋1 nn＋1 nn＋1 －＝＝ n＋1 ＝ n n＋1 nn＋1 nn＋1 1 nn＋1 1 nn＋1 1 1 1 1 n＋1 1 2 009 n＋1－n 1 1 －1 ＋1 －„＋ 1 n 1 (3)原式＝1－＋－＝1－＝ 2 009 . 2 2 2 010 2＝ 010 010 . (2)证明：－＋ 3－ 3＋1－„＋ 1 2－ 1 ＝1－ 1 2＝＝－009 ＝ (3)原式＝1－ n＋1 nn＋1 nn＋1 nn＋1 nn＋1 n 2 2 3 3 2 009 2 010 2 010 2 010 1 1 1 1 1 1 1 2 009 (3)原式＝1－＋－＋－„＋－＝1－＝ . 2 2 3 3 2 009 2 010 2 010 2 010
1 有意义, 则x的取值 x 5
4、（2012 广东 9 分）有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1 的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为 x 的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为 y 的值，两次结果记为（x，y）．（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；（2）求使分式（3）化简分式 + + 有意义的（x，y）出现的概率；，并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率．

中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤解释去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数去括号先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号．【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3．【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．（9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度．【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

(中考数学真题复习)第7讲一元一次方程及分式方程基础例题附答案解析

中考数学复习一元一次方程及分式方程【基础演练】1．(2013·滨州)把方程12x＝1变形为x＝2，其依据是() A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质1解析把方程12x＝1变形为x＝2，其依据是等式的性质2.答案B2．(2013·泰安)某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为()A.2300x＋23001.3x＝33 B.2300x＋2300x＋1.3x＝33C.2300x＋4600x＋1.3x＝33 D.4600x＋2300x＋1.3x＝33解析设甲车间每天能加工x个，则乙车间每天能加工1.3x个，根据题意可得：2300 x＋2300x＋1.3x＝33.答案B3．(2013·丽水)分式方程1x－2＝0的解是________．解析方程两边同乘以x，得1－2x＝0，解得x＝12.检验：当x＝12时，x＝12≠0，所以，原方程的解为x ＝12.答案x ＝124．(2012·宁波)分式方程x －2x ＋4＝12的解是________．解析方程的两边同乘2(x ＋4)，得2(x －2)＝x ＋4，2x －4＝x ＋4，解得x ＝8.检验：把x ＝8代入x ＋4＝12≠0.故原方程的解为x ＝8.答案x ＝85．(2013·绍兴)分式方程2xx －1＝3的解是________．解析方程两边同乘以x －1，得2x ＝3(x －1)，解得x ＝3.检验：当x ＝3时，x －1＝3－1＝2≠0，所以，原方程的解为x ＝3.答案x ＝36．(2013·滨州)解方程：3x ＋52＝2x －13.解去分母得：3(3x ＋5)＝2(2x －1)，去括号得：9x ＋15＝4x －2，移项合并得：5x ＝－17，解得：x ＝－175.7．(2010·台州)解方程：3x ＝2x －1.解方程两边同乘以x (x －1)，得3(x －1)＝2x ，解得x ＝3.经检验：x ＝3是原方程的解，所以原方程的解是x ＝3.8．(2010·义乌市)解分式方程：2x2＋1x＋2＝2x.解方程的两边同乘x＋2，得2x2＋1＝2x2＋4x，∴4x＝1，∴x＝1 4 .经检验，x＝14是原方程的解．9．(2012·北京)列方程或方程组解应用题：据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．解设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x－4)毫克，由题意得：10002x－4＝550x，解得：x＝22.经检验：x＝22是所列方程的解．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．【能力提升】10．(2013·台湾)附表为服饰店贩卖的服饰与原价对照表．某日服饰店举办大拍卖，外套依原价打六折出售，衬衫和裤子依原价打八折出售，服饰共卖出200件，共得24000元．若外套卖出x件，则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式？()服饰原价(元)外套250衬衫125裤子125A．0.6×250x＋0.8×125(200＋x)＝24000B．0.6×250x＋0.8×125(200－x)＝24000C．0.8×125x＋0.6×250(200＋x)＝24000D．0.8×125x＋0.6×250(200－x)＝24000解析若外套卖出x 件，则衬衫和裤子卖出(200－x )件，由题意得：0．6×250x ＋0.8×125(200－x )＝24000，答案B11．(2012·山西)图1是边长为30cm 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________cm 3.解析长方体的高为x cm ，然后表示出其宽为30－4x ，根据题意得：30－4x ＝2x ，解得：x ＝5.故长方体的宽为10cm ，长为20cm 则长方体的体积为5×10×20＝1000cm 3.答案100012．(2012·攀枝花)若分式方程：2＋1－kx x －2＝12－x有增根，则k ＝________.解析∵2＋1－kx x －2＝12－x，去分母得：2(x －2)＋1－kx ＝－1，整理得：(2－k )x ＝2，当2－k ＝0时，此方程无解，不符合题意．∵分式方程2＋1－kx x －2＝12－x 有增根，∴x －2＝0，2－x ＝0，解得：x ＝2，把x ＝2代入(2－k )x ＝2得：k ＝1.答案113．(2010·嘉兴)解方程：x x ＋1＋x ＋1x＝2.解设x x ＋1＝y ，则原方程化为y ＋1y ＝2.整理得，y 2－2y ＋1＝0，解之得，y ＝1.当y ＝1时，xx ＋1＝1，此方程无解．故原方程无解．14．(2010·义乌市)我市举办的“义博会”是国内第三大展会，从1995年以来已成功举办了15届．(1)1995年“义博会”成交金额为1.01亿元，1999年“义博会”成交金额为35.2亿元，求1999年的成交金额比1995年的增加了几倍？(结果精确到整数)(2)2000年“义博会”的成交金额与2009年的成交金额的总和是153.99亿元，且2009年的成交金额是2000年的3倍少0.25亿元，问2009年“义博会”的成交金额是否突破了百亿元大关？解(1)(35.2－1.01)÷1.01≈34.答：1999年的成交金额比1995年约增加了34倍；(2)设2000年成交金额为x 亿元，则2009年成交金额为(3x －0.25)亿元．由题意得x ＋3x －0.25＝153.99，解得x ＝38.56，∴3x －0.25＝115.43＞100，∴2009年“义博会”的成交金额突破了百亿元大关．。

2013年秋八年级上数学分式复习题及答案解析(2013年中考题)

八年级数学《分式》练习题一．选择题（共10小题）．2．（2013•重庆）分式方程﹣=0的根是（）3．（2013•漳州）若分式有意义，则x的取值范围是（）4．（2013•湛江）计算的结果是（）=±3 6．（2013•岳阳）关于x的分式方程+3=有增根，则增根为（）7．（2013•厦门）方程的解是（）= 9．（2013•温州）若分式的值为0，则x的值是（）．B C．D二．填空题（共10小题）11．（2013•遵义）计算：20130﹣2﹣1=_________．12．（2013•株洲）计算：=_________．13．（2013•宜宾）分式方程的解为_________．14．（2013•盐城）使分式的值为零的条件是x=_________．15．（2013•新疆）化简=_________．16．（2013•潍坊）方程的根是_________．17．（2013•天水）已知分式的值为零，那么x的值是_________．18．（2013•常州）函数y=中自变量x的取值范围是_________；若分式的值为0，则x=_________．19．（2012•黔南州）若分式的值为零，则x的值为_________．20．（2013•南京）使式子1+有意义的x的取值范围是_________．三．解答题（共8小题）21．（2013•自贡）先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．22．（2013•重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．23．（2013•张家界）先简化，再求值：，其中x=．24．（2013•烟台）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣2=0．25．（2013•威海）先化简，再求值：，其中x=﹣1．26．（2013•汕头）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．27．（2013•宁德）（1）计算：•﹣b（2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上；．28．（2013•鄂尔多斯）（1）计算：﹣22++（3﹣π）0﹣|﹣3|（2）先化简（）÷（1﹣），然后从﹣＜x＜范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．八年级数学《分式》练习题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）．====，故本选项正确；=，故本选项错误；2．（2013•重庆）分式方程﹣=0的根是（）3．（2013•漳州）若分式有意义，则x的取值范围是（）时，分式4．（2013•湛江）计算的结果是（）﹣=±3==36．（2013•岳阳）关于x的分式方程+3=有增根，则增根为（）7．（2013•厦门）方程的解是（）=故本选项正确；9．（2013•温州）若分式的值为0，则x的值是（）10．（2013•威海）下列各式化简结果为无理数的是（）．B C．D﹣=2，是无理数，故本选项正确；=2二．填空题（共10小题）11．（2013•遵义）计算：20130﹣2﹣1=．，故答案为：12．（2013•株洲）计算：=2．13．（2013•宜宾）分式方程的解为x=1．14．（2013•盐城）使分式的值为零的条件是x=﹣1．时，15．（2013•新疆）化简=．•．故答案为：16．（2013•潍坊）方程的根是x=0．17．（2013•天水）已知分式的值为零，那么x的值是1．18．（2013•常州）函数y=中自变量x的取值范围是x≥3；若分式的值为0，则x=．且x=；19．（2012•黔南州）若分式的值为零，则x的值为1．，故若分式20．（2013•南京）使式子1+有意义的x的取值范围是x≠1．有意义．三．解答题（共8小题）21．（2013•自贡）先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．×﹣=22．（2013•重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式3x+7＞1的负整数解．﹣]×××代入中得：23．（2013•张家界）先简化，再求值：，其中x=．+1．24．（2013•烟台）先化简，再求值：，其中x满足x2+x﹣2=0．•=25．（2013•威海）先化简，再求值：，其中x=﹣1．﹣÷•﹣=26．（2013•汕头）从三个代数式：①a2﹣2ab+b2，②3a﹣3b，③a2﹣b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a=6，b=3时该分式的值．=，=27．（2013•宁德）（1）计算：•﹣b（2）解不等式组，并把它的解集表示在数轴上；．••28．（2013•鄂尔多斯）（1）计算：﹣22++（3﹣π）0﹣|﹣3|（2）先化简（）÷（1﹣），然后从﹣＜x＜范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．÷＜，。

2013-2014中考数学复习第九讲分式方程(含详细参考答案)

2013－2014学年度数学中考二轮复习专题卷－分式方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．方程2x 40x 2-=-的解为A ．2-B ．2C ．2±D ．12- 2．解分式方程2x 23x 11x++=--时，去分母后变形为 A ．()()2x 23x 1++=- B ．()2x 23x 1-+=- C ．()()2x 231 x -+=- D ．()()2x 23x 1-+=-3．某种商品每件的标价是330元，按标价的八折销售时，仍可获利10％，则这种商品每件的进价为A.240元B.250元C.280元D.300元 4．甲、乙两人同时分别从A 、B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地，已知A 、C 两地间的距离为110千米，B 、C 两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C 地，求两人的平均速度。

为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x 千米/时，由题意列出方程，其中正确．．的是【】 A ．110100x 2x =+ B ．110100x x 2=+ C ．110100x 2x =- D ．110100x x 2=- 5．分式方程12x x 3=+的解是【】A ．x =﹣2B ．x =1C ．x =2D ．x =3 6．某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x 个，根据题意可得方程为A ．2300230033x 1.3x += B ．2300230033x x 1.3x +=+ C ．2300460033x x 1.3x +=+ D ．4600230033x x 1.3x+=+7．分式方程210x 2x-=-的根是【】A ．x 1=B ．x 1=-C ．x 2=D ．x 2=-8．分式方程12x x 1=+的解为 A ．x =3 B ．x =2 C ．x =1 D ．x =﹣1 9．关于x 的分式方程7m3x 1x 1+=--有增根，则增根为【】 A ．x =1 B ．x =－1 C ．x =3 D ．x =－3 10．分式方程53x 2x=-的解是【】 A ．x=3 B ．x=﹣3 C ．3x 4= D ．3x 4=- 11．解分式方程x 213x 2x-=++时，去分母后可得到 A ．()()x 2x 23x 1+-+= B ．()x 2x 22x +-=+ C ．()()()()x 2x 23x 2x 3x ++=++- D ．()x 23x 3x -+=+ 12．关于x 的分式方程m1x 1=-+的解是负数，则m 的取值范围是 A ．m ＞﹣1 B ．m ＞﹣1且m ≠0 C ．m ≥﹣1 D ．m ≥﹣1且m ≠0 13．已知关于x 的方程的解为x =1，则a 等于（） A ． 0.5 B ．2 C ．﹣2D ． ﹣0.514．方程23x 1x=-的解是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 15．方程130x 2x-=-的解为 A ．x =2 B ．x =－2C ．x =3D ．x =－316．方程111-=-x x x （） A 、解为x=1 B 、无解C 、解为任何实数D 、解为x ≠1的任何实数17．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm .依题意，下面所列方程正确的是 A ．120100x x 10=- B ．120100x x 10=+ C ．120100x 10x =- D ．120100x 10x=+ 18．周末，几名同学包租一辆面包车前往“黄岗山”游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费，设原来参加游玩的同学为x 人，则可得方程（）A 、180x －1802x +=3 B 、1802x +－180x =3 C 、180x －1802x -=3 D 、1802x -－180x =319．方程1712112-=-++x x x 的根是（） A.x =1 B.x =－1 C.x =83D.x =220．已知1O ⊙的半径1r =2，2O ⊙的半径2r 是方程32x x 1=-的根，1O ⊙与1O ⊙的圆心距为1，那么两圆的位置关系为 A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切二、填空题21．方程15x 12x 1=-+的解为． 22．分式方程120x-=的解不。

中考数学复习课《分式方程》说课稿

中考数学复习课《分式方程》说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好!我今天说课的内容是《分式方程》，下面我将从说教材、说学情分析、说教学策略、说教学过程这四个方面对本节课的教学设计进行说明.一、说教材1.教材的地位和作用本节课复习的主要内容是分式方程的概念、解法及应用，是对分式方程单元学习的梳理、归纳、深化和巩固.解分式方程的基本思想是通过“转化”，将分式方程转化为整式方程. 通过复习强化数学与生活的密切关系，因此本节复习可起到巩固基础，提升认识的作用.2.教学目标（1）知识目标：①理解分式方程的概念、会解分式方程，能列分式方程解决实际问题.②掌握解分式方程的验根方法.（2）能力目标：会用去分母法解分式方程，体会化归思想.（3）情感目标：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成就感，树立学好数学的自信心.3.教学重点：分式方程的解法和列分式方程解决实际问题.4.教学难点：列分式方程解决实际问题以及解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根．二、学情分析学生是在前面复习分式的意义、分式的混合运算和熟练解一元一次方程的基础上复习本节内容的.但对于解分式方程过程中会出现增根，部分同学理解起来较为困难，因此在教学过程中应重点强调如何把分式方程转化为整式方程和解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.三、教学策略1、说教法教法：本节课采用启发式、引导式教学方法．特别注重“精讲多练”，真正体现以学生为主体．针对学生的回答所出现的一些问题给出及时的纠正，在上课做练习时，除了让尽可能多的学生板演以外，自己还在下面及时的发现学生所出现的问题，比较典型的则全班讲评，个别小问题，个别解决．教学手段：为了更有效地突出重点，突破难点，提高课堂效率，本节课采用多媒体辅助教学.2.说学法本节课里我主要指导学生采用了自主探索、合作交流、自我反思的学习方法，使学生积极主动地参与到教学过程，通过合作交流，激发学生的学习兴趣，体现探索的快乐，使学生的主体地位得到充分的发挥．四、说教学过程。

2013年中考数学一轮复习第4课分式及其运算课件

x－2 2 (2)(2011·泉州) 当 x＝________时，分式的值为 0. x＋2
解析
当 x－2＝0，x＝2 时，分母 x＋2＝4，分式的值为 0.
探究提高
(1)首先求出使分母等于0的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义； (2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．
要点梳理
(3)分式的乘除法： a c ac a c · ＝ b d bd · ＝___________； b d b
a c ad ÷ ＝ a c b d bc ÷ ＝___________．
d
(4)分式的乘方：
a a (n为正整数) n bn ＝__________________．
x－a 3 (2)(2012·荆门东宝区模拟) 若关于 x 的分式方程－＝1 x－1 x 1或－2 无解，则 a＝________．
题型分类
题型四分式方程的解法
4 x＋2 知能迁移 4 (1)(2012·梅州) 解方程： 2 ＋＝－1. x －1 1－x
解方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，得 2 4－(x＋1)(x＋2)＝－(x －1)， 1 整理得 3x＝1，解得 x＝ . 3 1 经检验，x＝是原方程的解． 3 1 故原方程的解是 x＝ . 3
题型分类
题型一分式的概念,求字母的取值范围
x 知能迁移 1 (1)使分式有意义的 x 的取值范围是 2x－4 x≠2 ________． x 知能迁移 1 (1)使分式有意义的 x 的取 2x－4 解析当 2x－4≠0，x≠2 时，分式有意义，故 x 的取值范围是________．值范围是 x≠2. x －3 －3 (2)当 x＝________时，分式的值为 0. x－3

2013年中考数学复习分级训练5 分式(含答案)

第3课时分式A 级基础题1．(2012年浙江湖州)要使分式1x有意义，x 的取值范围满足( ) A ．x ＝0 B ．x ≠0 C ．x ＞0 D ．x ＜02．(2012年四川德阳)使代数式x 2x －1有意义的x 的取值范围是( ) A ．x ≥0 B ．x ≠12 C ．x ≥0且x ≠12D ．一切实数 3．在括号内填入适当的代数式，是下列等式成立：(1)2ab ＝( )2xa 2b 2 ; (2)a 3－ab 2(a －b )2＝a ( )a －b4．约分：56x 3yz 448x 5y 2z ＝____________； x 2－9x 2－2x －3＝____________. 5．已知a －b a ＋b ＝15，则a b＝__________. 6．当x ＝______时，分式x 2－2x －3x －3的值为零． 7．(2012年福建漳州)化简：x 2－1x ＋1÷x 2－2x ＋1x 2－x.8．(2012年浙江衢州)先化简x 2x －1＋11－x，再选取一个你喜欢的数代入求值．9．先化简，再求值：x －2x 2－4－x x ＋2，其中x ＝2.10．(2012年山东泰安)化简：222mm m m ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭÷m m 2－4＝____________________.B 级中等题11．若分式x －1(x －1)(x －2)有意义，则x 应满足的条件是( ) A ．x ≠1 B ．x ≠2 C ．x ≠1且x ≠2 D ．以上结果都不对12．先化简，再求值：234211x x x +⎛⎫-⎪--⎝⎭÷x ＋2x 2－2x ＋1.13．(2011年湖南常德)先化简，再求值:2212111x xx x⎛⎫-++⎪+-⎝⎭÷x－1x＋1，其中x＝2.14．(2012年四川资阳)先化简，再求值：a－2a2－1÷2111aaa-⎛⎫--⎪+⎝⎭，其中a是方程x2－x＝6的根．C 级拔尖题15．先化简再求值：ab ＋a b 2－1＋b －1b 2－2b ＋1，其中b －2＋36a 2＋b 2－12ab ＝0.选做题16．已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x 2的值．17．(2012年四川内江)已知三个数x ，y ，z 满足xy x ＋y ＝－2，yz z ＋y ＝34，zx z ＋x ＝－34，则xyz xy ＋yz ＋zx的值为____________．参考答案1．B 2.C 3.(1)4xab (2)a ＋b4.7z 36x 2y x ＋3x ＋15.326.－1 7．解：x 2－1x ＋1÷x 2－2x ＋1x 2－x ＝(x ＋1)(x －1)x ＋1÷(x －1)2x (x －1)＝x . 8．解：x 2x －1＋11－x ＝x 2－1x －1＝x ＋1，代入求值(除x ＝1外的任何实数都可以)． 9．－1410．m －6 11.C12．解：234211x x x +⎛⎫- ⎪--⎝⎭÷x ＋2x 2－2x ＋1＝3x ＋4－2x －2(x ＋1)(x －1)·(x －1)2x ＋2＝x ＋2(x ＋1)(x －1)·(x －1)2x ＋2＝x －1x ＋1. 13．解：原式＝2111(11)x x x x ⎛⎫-+ ⎪++-⎝⎭（）)(·x ＋1x －1＝x x ＋1·x ＋1x －1＝x x －1. 当x ＝2时，原式＝2.14．解：原式＝a －2a 2－1÷(a ＋1)(a －1)－2a ＋1a ＋1＝a －2a 2－1÷a 2－2a a ＋1＝a －2(a ＋1)(a －1)×a ＋1a (a －2)＝1a 2－a. ∵a 是方程x 2－x ＝6的根，∴a 2－a ＝6.∴原式＝16. 15．解：原式＝a (b ＋1)(b ＋1)(b －1)＋b －1(b －1)2＝a b －1＋1b －1＝a ＋1b －1. 由b －2＋36a 2＋b 2－12ab ＝0，得b －2＋(6a －b )2＝0，∴b ＝2,6a ＝b ，即a ＝13，b ＝2. ∴a ＋1b －1＝13＋12－1＝43. 16．解：由x 2－3x －1＝0知x ≠0，则x 2－1＝3x ，两边同除以x 得x －1x＝3. 原式＝21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋2＝11 17．－4 解析：由xy x ＋y ＝－2，得x ＋y xy ＝－12，裂项得1y ＋1x ＝－12.同理1z ＋1y ＝43，1x ＋1z ＝－43.所以，1y ＋1x ＋1z ＋1y ＋1x ＋1z ＝－12＋43－43＝－12，1z ＋1y ＋1x ＝－14. 于是xy ＋yz ＋zx xyz ＝1z ＋1y ＋1x ＝－14，所以xyz xy ＋yz ＋zx＝－4.。

2013届中考数学试题分类汇编：分式与分式方程(含解析)

（2013•郴州）函数y=中自变量x的取值范围是（）（2013•郴州）化简的结果为（）﹣2013•郴州）乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40% 的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．）•（2013•衡阳）计算：= a﹣1 ．（2013•湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．，﹣=（2013•益阳）化简：= 1 ．（2013，永州）已知0a b a b +=,则abab的值为（2013•株洲）计算：= 2 ．=（2013•巴中）先化简，然后a 在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．×++=（2013，成都）要使分式1-x 有意义，则x 的取值范围是（）（A ）x ≠1 （B ）x>1 （C ）x<1 （D ）x ≠-1（2013，成都）化简112)(22-+-÷-a a a a a a（2013•达州）如果实数x 满足2230x x +-=，那么代数式21211x x x ⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭的值为_ _. 答案：5解析：由知，得22x x +＝3，原式＝2222(1)221x x x x x x ++⨯+=+++＝5。

（2013•德州）先化简，再求值：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中12-=a . （2013•德州）某地计划用120～180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．（1）写出运输公司完成任务所需的时间y （单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x 的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？（2013•广安）解方程：﹣1=，则方程的解是 x=﹣ ．，（2013•广安）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=4．﹣）÷×，﹣．（2013•乐山）甲、乙两人同时分别从A 、B 两地沿同一条公路骑自行车到C 地，已知A 、C 两地间的距离为110千米，B 、C 两地间的距离为100千米。

2013届全国中考数学3年中考2年模拟之专题突破：1.4分式pdf版

最后，在巴黎科学院一个房间的天棚上，他们才找到了阿贝尔那份满是灰尘的论文，使阿贝尔的论文得到了应有的评价．阿贝尔于１而他的系列研究成果还没来得及全部发表．他的家人才相继收到８２９年４月６日因贫病交迫逝世．４月８日，柏林大学和瑞典教育部邀请阿贝尔任职的聘书．法国数学家埃尔米特曾感叹地说： “ 阿贝尔所留下的思想，可供数学家们工作１年 ” 可见，不足岁的年轻数学家阿贝尔英年早逝是数学界的一个多么大的损失！５０．２７
１．４分式
内容清单分式的概念分式的基本性质分式的约分与通分分式的加、减、乘、除、乘方运算
能力要求能利用分式的概念判断分式．能用分式的性质进行分式的计算．会利用最大公约数进行分式的约分，用最小公倍数进行分式的通分．能利用分式的性质进行分式的混合运算．
|}~（）
２ ·安徽）化简狓＋狓的结果是（１．（２０１２．）狓－１１－狓狓＋１Ｂ．狓－１Ａ．
一、选择题
（）
（）
（）
（
）
（
）
（
）（
）
（
）
（
）
（
）
（
）
QRS
吴文俊（，著名数学家，中国科学院院士，第三世界科学院院士．吴文俊主要成就表现在拓扑学和数学机械化方１９１９～）面．他的示性类和示嵌类研究被国际数学界称为“ 吴公式” “ 吴示性类 ” “ 吴示嵌类 ” ，影响深远．在计算机技术大７０年代后期，发展的背景下，他继承中国古代数学的传统（即算法化思想），转而研究几何定理的机器证明，彻底改变了这个领域的面貌，是国际自动推理界先驱性的工作，被称为“ 吴方法” 吴文俊和杂交水稻专家袁隆平院士获２．００１年中国第一届国际最高科学技术奖．江泽民亲自为他们若分式狓－３．（２０１２０则狓＝．狓＋２１， ·福建莆田）已知犳（其中犳（表示当狓＝４．（２０１１＝狓）犪）犪１狓１＋１，则犳１＋时对应的代数式的值，如犳（）Ｃ．－狓Ｄ．狓＝１０＝１＋０２０１１ ·浙江）下列计算错误的是（２．（２０１２．）１１））））３２１＋犳（０＋犳（１＋犳（２＋…＋＋… 犳２犳２＋犳（犪＋犫２犪＋犫狓０．２狔＝狓０１０＝Ｂ．２Ａ．３０．７犪－犫７犪－犫狓狔狔））２０１０＋２０１１＝．犳（犳（１２３犪－犫Ｃ．＝－１Ｄ．＋＝狓狓狓的结果为 · 山东泰安）化简２犫－犪犮犮犮５．（２０１１ ÷ ２－１狓＋２狓－２狓－４４犪的结果是（ ·山东临沂）化简１３．（２０１２ ÷ ．＋）．犪－２犪－２２２２ ·四川达州）若槡，则犪６．（２０１１犫＋２犫＋１＝０＋犪－３犪＋１＋１犪＋２犪Ｂ．Ａ．犪２犪＋１犫＝．｜｜２－犪犪－２犪Ｃ．Ｄ．２犪２犪－狓－２７的值为， ·四川内江）如果分式３７．（２０１１０则狓的值应１狓－３１１ ·浙江绍兴）化简－可得（）４．（２０１２．狓狓－１为．１１１Ａ．２Ｂ．－２ ·湖南永州）化简犪＋１＝．８．（２０１１狓－狓狓－狓犪－－１１犪２２狓＋１狓－１１Ｃ．２Ｄ．２有意义，则实数狓的取值范 ·广东广州）若分式９．（２０１０狓－狓狓－狓１狓－５狓－１１的结果是围是．化简狓－２５．（２０１１· 山东临沂） ÷ １－狓狓２狓狓２ ·广西梧州）计算：０．（２０１０－＝．（．）狓狔狔１三、解答题Ｂ．狓－１Ａ．狓２犿－１１ ·江苏连云港）化简：１．２１．（２０１２ ÷ ２＋狓－１狓犿犿－２犿＋１Ｃ．Ｄ．狓１狓－２２狀２２ ·江苏南通）设犿＞则犿－的值，６．（２０１１狀＞犿＋狀＝４犿狀，０犿狀等于（．）Ｂ．Ａ．２３３槡槡Ｃ．Ｄ．３６槡已知１＋１＝槡），求犪－２．（２０１２· 广东广州）犪≠ 犫５（＋１ ·（） ·湖北黄冈）化简：１－狓）的结果是２犫（犪犫犪－犫７．（２０１０狓－３２狓－３狓－１犫的值（．．））犪（犪－犫２Ａ．２Ｂ．狓－１狓－４２Ｃ．Ｄ．狓－３狓－１二、填空题２狓－１狓－１２ ·山西）化简：２ ·２８．（２０１２＋的结果是．狓－２狓＋１狓＋狓狓２２１４狓＋４４， ·湖北潜江）化简：１ ·河南）先化简狓－然后从－槡＝．２９．（２０１２ ÷ ２－３．（２０１２ ÷ 狓－５＜２狓＋１狓－１狓狓－２狓２１狓＜槡５的范围内选取一个合适的整数作为狓的值代入求值． ·河南）化简：２１０．（２０１２＝． ÷ １狓－１狓－２犿－１６ ·浙江杭州）化简：１１．（２０１２＝．３犿－１２１犿 ·福建泉州）计算：－＝．１２．（２０１２１犿－１犿－

中考数学专题复习题：分式的基本性质

中考数学专题复习题：分式的基本性质一、单项选择题（共7小题）1．下列各式是最简分式的是（）A．13B．1x−2C．x2y2xD．2a82．下列各分式的化简正确的是（）A．x6x3=x3B．a+xb+x=abC．x2x2=0D．a2−1a−1=a−13．若分式2aba+b 中a，b都扩大到原来的3倍，则分式2aba+b的值是（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．扩大6倍4．下列各式中，正确的是（）A．a+12a+3=25B．ab=a2abC．−a+1a=−a+1aD．a2−4(a−2)2=a+2a−25．下列等式成立的是（）A．1a +2b=3a+bB．abab−b2=aa−bC．22a+b=1a+bD．a−a+b=−aa+b6．若代数式a+1a−1在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（）A．a≥1B．a≠1C．a<1D．a=−17．如果把分式x−2y+zxyz中的正数x，y，z都扩大2倍，则分式的值（）A．不变B．扩大为原来的两倍C．缩小为原来的14D．缩小为原来的18二、填空题（共4小题）8．分式14x2yz 和16xy2的最简公分母是________．9．不改变分式的值，化简：−0.03x+0.1−0.04x−0.03＝________．10．已知y>3，则y2−6y+93−y=________．11．把分式2xx+y中的x、y都扩大两倍，则分式的值________．三、解答题（共4小题）12．不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：（1）x−0.2y0.8x−5y；（2）m2+n32m 5−2n3．13．根据分式的基本性质填空：(1)x+32x =( )2x2；(2)−am−n=a( )．14．已知a,b实数满足ab=1，若M=11+a +11+b，N=a1+a+b1+b，请你猜想M与N的数量关系，并证明．15．写出下列等式中所缺的分子或分母：（1）1ab =( )ab2c(c≠0)括号内应填入__________；（2）ma−b =( )a2−b2（a≠−b）括号内应填入__________；（3）xx(x−y)=1( )括号内应填入__________．。

2013年中考数学考前热点拨《分式方程及其应用》

2x 3 6．解分式方程：－＝2. x＋ 2 x－ 2
解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，得 2x(x－2)－3(x＋2)＝2(x2－4)， 2 解得x＝ . 7 2 检验：当x＝时，(x＋2)(x－2)≠0. 7 2 ∴x＝是原方程的解． 7
考点3
分式方程的应用
列分式步骤审、设、列、解、验、答方程关键找出等量关系解应用在解所列分式方程时，必易错点题须验根
考点2
分式方程的解法
解分式方程 ①去分母化成整式方程；②解整式方程求出增根的步骤未知数的值；③检验根是否是______ 去分母时两边乘最简公分母，会出现使原因分式方程分式分母为零的根的增根将解整式方程所得根代入验根最简公分母或原方程检验 _____________
3.要把分式方程可同时乘( D ) A．2x＋4 C．x＋2
[解析] (1)求的是工效，工作时间较明显，一定是根据工作总量来列等量关系，本题的关键描述语是：甲、乙两队合作，则 12 天可以完成．等量关系为：甲 12 天的工作量＋乙 12 天的工作量＝1；(2)按甲独做，乙独做，甲、乙合作所需工程费比较．
解： (1)设甲队单独完成这项工程需要 x 天，则乙队单独完成此项工程需要 2x 天． 12 12 由题意得＋＝1，解得 x＝18. x 2x 经检验，x＝18 是原方程的解且符合题意.2x＝36. 答：甲队单独完成这项工程需要 18 天，乙队单独完成此项工程需要 36 天．
解：(1)李明同学的解答过程中第③步不正确，应为：甲每分 3000 3000 钟打字 x ＝＝60(个)，乙每分钟打字60－12＝48(个)． 50 答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个． (2)设乙每分钟打字为x个，则甲每分钟打字为(x＋12)个．根 3000 2400 据题意得＝ x ，解得x＝48.经检验x＝48是原方程的 x＋12 解．且符号实际意义甲每分钟打字x＋12＝48＋12＝60(个)．答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为48个.

中考数学精讲篇考点系统复习第二章方程(组)与不等式(组) 第三节分式方程及其应用

确的是
( A)
800 600 A.x＋50＝ x
800 600 800 600 B.x－50＝ x C. x ＝x＋50
800 600 D. x ＝x－50
6．(2013·天水第 15 题 4 分)有两块面积相同的小麦试验田，分别收获
小麦 9 000 kg 和 15 000 kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块
3．(RJ 八上 P155 习题 T4 改编)甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测 20 个，甲检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少 10%.若设甲每小时检测 x 个，则根据题意，可列出方程为__3x00＝x2－＝0200××((11－－1100%%))__．
4．(RJ 八上 P151 例 2 改编)解方程：
第三节分式方程及其应用
1．已知关于 x 的分式方程mx－－31＝1. (1)若此分式方程的解为 x＝2，则 m 的值为 4 4； (2)若此分式方程有增根，则 m 的值是 3 3 ； (3)若此分式方程的解是正数，则 m 的取值范围是 m>m2>且2且m ≠3.
m≠3
2．(RJ 八上 P153 例 4 改编)甲、乙两地相距 1 000 km，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 3 h，已知高铁列车的平均速度是特快列车的 1.6 倍．若设特快列车的平均速度为 x km/h，则根据题意，可列方程为－1 3x0＝00－3＝11.060x0 .
命题点 2：由分式方程解的情况求字母的取值范围(省卷近 5 年未考查，
兰州近 5 年考查 1 次)
2x＋a 3．(2018·兰州第 10 题 4 分)关于 x 的分式方程 x＋1 ＝1 的解为负数，
则 a 的取值范围为

2013届全国中考数学3年中考2年模拟之专题突破：2.2分式方程pdf版

２．２分式方程内容清单分式方程的概念程．
能力要求会利用分式方程的定义判断分式方能利用最简公分母将分式方程化为
用去分母法或换元法解简单的分式方程
整式方程，会利用换元思想解分式方程．会利用检验思想判断分式是否存在增根．会利用分式方程解决实际问题，并且注意求出的方程的解是否存在实际意义．
犪－１比原计划每天的运煤量多０结果提前２天完成了任９．４万吨，已知关于狓的分式方程＝１有增．（２０１２· 黑龙江龙东）狓＋２务，问实际每天运煤多少万吨？若设实际每天运煤狓万吨，则则犪＝．根，依据题意列出的方程为（．） ·广东广州）方程１＝３的解是．０．（２０１１１１６１６１６１６狓狓＋２＝２Ｂ．－＝Ａ．－２狓狓＋０．４狓－０．４狓３的值分式狓＋ ·内蒙古呼和浩特）当狓＝时，１１．（２０１１１６１６１６１６狓－１－＝＝２２Ｄ．－Ｃ．狓＋０．４狓狓狓－０．４等于２． ·四川内江）甲车行驶３２．（２０１２０千米与乙车行驶４０千米所用１ ·山东青岛）某市为治理污水，需要铺设一段全长为２．（２０１０时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶１设甲车的５千米，铺设１为了尽量减少施工３００ｍ的污水排放管道．２０ｍ后，速度为狓千米／小时，依据题意列方程正确的是（．）后来每天的工效比原计划增加对城市交通所造成的影响，３０４００３０４Ｂ．＝Ａ．＝，结果共用３天完成这一任务．求原计划每天铺设管道２０％０狓狓－１５狓－１５狓的长度．如果设原计划每天铺设狓ｍ管道，那么根据题意，可３０４０３０４０Ｃ．＝Ｄ．＝得方程．狓狓＋１５狓＋１５狓

中考数学复习指导：解答分式问题的若干技巧

分式运算中的四个技巧分式运算是遵循一定法则的，比如先做乘除运算，再算加减运算，同级运算按照从左到右的顺序做；若有括号先算括号里面的.但在某些运算上却存在一定的灵活性，若能掌握一些方法技巧则能更简便的进行运算.下面举例说明分式运算中的一些技巧:1.先约分后通分例如:计算：3223222()2x x y x x y xy x y y xy x x y +----+- 如果先对分母进行分解因式，得出最简公分母xy (x +y )(x -y )，直接通分，分子间的运算就变得相对繁琐而且容易出现错误，从而使解题失败.如果根据分式的特点把分子、分母先约分变为22()()()x x y x y y x y x y x y x y----++-,显然，通分后分子的运算就变得相对简单一些.所以在运算中要尽量使分子变得简单.2.拆项例如:化简123(1)(1)(3)(3)(6)x x x x x x +++++++ 如果直接通分，运算非常复杂.观察到分母中两因式之差等于分子，可逆用分式的通分法则，把每个分式拆成两分式之差，消去一些项使分式运算变简单.解:原式＝111111()()()11336x x x x x x -+-+-+++++ ＝116x x -+ ＝6(6)x x + 3.巧用公式例如:计算221111[]()()()a b a b a b a b-÷-+-+- 若先算括号里面的，运算就比较复杂，考虑到后面除以11a b a b -+-，可以用平方差公式分解因式后化简.解:原式＝111111()()()a b a b a b a b a b a b+-÷-+-+-+- ＝11a b a b ++-＝222a a b - 4.巧用乘法分配律例如:计算22[()]33x y x y x y x x y x x+----÷+ 如果按照法则进行，先算括号里面的，过程就比较繁琐，而用乘法分配律进行计算.运算就简单多了. 原式=222[()]33x y x x y x x y x x y x y+-∙++∙++- ＝22(2)33x x x x y -+∙- ＝2x x y- 所以当碰到有括号的运算时，要根据具体的式子，观察分析是先算括号里面的还是使用乘法分配律.分式加减运算的几种技巧分式加减运算是分式的重点和难点，尤其是导分母分式的加减运算更需要具备扎实的基础知识和解题技巧，下面例谈几种运算技巧。

初中数学中考总复习：分式与二次根式---知识讲解(提高)

中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高）【考纲要求】1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．【知识网络】【考点梳理】考点一、分式的有关概念及性质1．分式设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.2.分式的基本性质（M为不等于零的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点诠释：分式的概念需注意的问题：(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．（4）分式有无意义的条件：在分式中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．考点二、分式的运算1．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算错误!未找到引用源。

±错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.；异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.（2）乘法运算两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（4）乘方运算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分别乘方．2．零指数.3．负整数指数4．分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．5．约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．约分需明确的问题：(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．6．通分根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．通分注意事项：(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．(3)确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.要点诠释：分式运算的常用技巧（1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便.(2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便.(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式111(1)1n n n n=-++进行裂项.(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便.(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.（6）倒数法求值（取倒数法）.（7）活用分式变形求值.(8)设k求值法(参数法)(9)整体代换法.(10)消元代入法.考点三、分式方程及其应用1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根；(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．要点诠释：解分式方程注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审——仔细审题，找出等量关系；(2)设——合理设未知数；(3)列——根据等量关系列出方程；(4)解——解出方程；(5)验——检验增根；(6)答——答题．考点四、二次根式的主要性质0(0)a ≥≥；2.2(0)a a =≥；(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩；4. 00)a b =≥≥，；5. 00)a b=≥>，.6.若0a b >≥，则a b >.要点诠释：与的异同点：（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a 可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的，，而（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 考点五、二次根式的运算1．二次根式的乘除运算(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2)注意知道每一步运算的算理；(3)乘法公式的推广：123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅≥≥≥≥L L L L L L ，，，，2．二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3．二次根式的混合运算(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.例如82627⎛⎫+⨯ ⎪ ⎪⎝，没有必要先对827进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，884266262327273⎛⎫+⨯=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝，通过约分达到化简目的； (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：()()()()223232321+-=-=，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.4．分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a a 与互为有理化因式；（2）a b a b +-与互为有理化因式；一般地a c b a c b +-与互为有理化因式；（3）a b a b +-与互为有理化因式；一般地c a d b a d b +-与c 互为有理化因式.【典型例题】类型一、分式的意义1．若分式211x x -+的值为0，则x 的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值为零的条件得2x ﹣1=0，x +1≠0，由2x ﹣1=0，得x =﹣1或x =1，由x +1≠0，得x ≠﹣1，∴x =1，故答案为1．【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．举一反三：【变式1】如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 . 【答案】由分式的值为零的条件得3x 2-27=0且x-3≠0，由3x 2-27=0，得3（x+3）（x-3）=0，∴x=-3或x=3，由x-3≠0，得x≠3．综上，得x=-3，分式23273x x --的值为0．故答案为：-3．【高清课程名称：分式与二次根式高清ID 号：399347关联的位置名称（播放点名称）：例1】【变式2】若分式mx x +-212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是．【答案】若分式m x x +-212不论x 取何实数总有意义，则分母22x x m -+≠0，设22y x x m =-+，当△＜0即可，440,1m m -＜＞.答案m ＞1.类型二、分式的性质2．已知,b c c a a b a b c +++==求()()()abc a b b c c a +++的值. 【答案与解析】设b c c a a b k a b c+++===, 所以,,b c ak c a bk a b ck +=+=+=所以,b c c a a b ak bk ck +++++=++所以2()(),()(2)0,a b c k a b c a b c k ++=++++-=即2k =或()0,a b c ++= 当2k =,所求代数式33118abc abck k ===, 当0a b c ++=,所求代数式1=-. 即所求代数式等于18或1-. 【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k 法求解.举一反三：【变式】已知111111111,,,6915a b b c a c +=+=+=求abc ab bc ac ++的值. 【答案】因为 111111111,,,6915a b b c a c +=+=+= 各式可加得1111112,6915a b c ⎛⎫++⨯=++⎪⎝⎭所以11131180a b c ++=，所以()1180.111()()31abc abc abc ab bc ac ab bc ac abc c a b ÷===++++÷++类型三、分式的运算3．已知1,x y z y z z x x y++=+++且0x y z ++≠,求222x y z y z x z x y +++++的值. 【答案与解析】因为0x y z ++≠,所以原等式两边同时乘以x y z ++,得:()(().x x y z y x y z z x y z x y z y z z x x y++++++++=+++++）即222()()(),x x y z y y z x z z x y x y z y z y z z x z x x y x y++++++++=++++++++ 所以222(),x y z x y z x y z y z z x x y+++++=+++++ 所以2220.x y z y z z x x y++=+++ 【总结升华】条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想.举一反三：【变式1】已知,,,x y z a b c y z x z x y ===+++且abc o ≠,求111a b c a b c +++++的值. 【答案】由已知得1,y z a x+= 所以111,y z x y z a x x ++++=+=即1a x y z a x +++=, 所以1a x a x y z=+++, 同理,,11b y c z b x y z c x y z ==++++++所以1111a b c x y z x y z a b c x y z x y z x y z x y z++++=++==+++++++++++. 【高清课程名称：分式与二次根式高清ID 号：399347关联的位置名称（播放点名称）：例2】【变式2】已知x ＋y=－4，xy=－12，求+++11x y 11++y x 的值．【答案】原式)1)(1()1()1(22+++++=y x x y =1121222++++++++y x xy x x y y 1)(2)(22)(2++++++-+=y x xy y x xy y x 将x ＋y ＝－4，xy ＝－12代入上式，∴原式⋅-=+--+-⨯++-=153414122)4(224)4(2类型四、分式方程及应用4．a 何值时,关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根? 【答案与解析】方程两边都乘以(2)(2)x x +-,得2(2)3(2).x ax x ++=-整理得(1)10a x -=-.当a = 1 时,方程无解.当1a ≠时,101x a =--. 如果方程有增根,那么(2)(2)0x x +-=,即2x =或2x =-.当2x =时,1021a -=-,所以4a =-; 当2x =-时,1021a -=--,所以a = 6 . 所以当4a =-或a = 6原方程会产生增根.【总结升华】因为所给方程的增根只能是2x =或2x =-，所以应先解所给的关于x 的分式方程，求出其根，然后求a 的值.5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工．（1）问乙单独整理多少分钟完工？（2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？【答案与解析】（1）设乙单独整理x 分钟完工，根据题意得：120204020=++x 解得x ＝80，经检验x ＝80是原分式方程的解．答：乙单独整理80分钟完工．（2）设甲整理y 分钟完工，根据题意，得1408030≥+y 解得：y ≥25答：甲至少整理25分钟完工．【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间．（1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可；（2）设甲整理y 分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可．举一反三：【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，根据题意，得（）A ．00253010(18060x x -=+）B ．00253010(180x x -=+）C ．00302510(18060x x -=+）D ．00302510(180x x -=+）【答案】设走路线一时的平均速度为x 千米/小时，00253010(18060x x -=+）故选A ．类型五、二次根式的定义及性质6．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为．【答案】a≥－2且a≠0．【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0，解得：a≥－2且a≠0．故答案为：a≥－2且a≠0．【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出x 的范围．类型六、二次根式的运算【高清课程名称：分式与二次根式高清ID 号：399347 关联的位置名称（播放点名称）：例3】7．22019(2332)(526)(526)-+-⋅+【答案与解析】原式＝19(12618)(56)(5+26⎡⎤-+-⋅⎣⎦）(56)- 66 .61435-=【总结升华】此题关键是2019(56)(56)-⋅+变为19(56)(5+26⎡⎤-⋅⎣⎦）(56)-6.。