2020版导与练一轮复习理科数学习题：第五篇 数列(必修5) 第1节 数列的概念与简单表示法 Word版含解析

数列的概念与简单表示法
【选题明细表】
知识点、方法题号
观察法求通项公式1,2,7
递推公式的应用5,10,14
a n与S n的关系3,6,8,11,12
数列的单调性、最值、周期性4,9,13
基础巩固(时间:30分钟)
1.数列,,,,…的一个通项公式为(　C　)
(A)a n= (B)a n=
(C)a n=(D)a n=
解析:观察知a n==.
2.数列,-,,-,…的第10项是(　C　)
(A)-(B)-(C)-(D)-
解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n}的通项公式a n=(-1)n+1·,故a10=-.
3.(2018·济宁模拟)若S n为数列{a n}的前n项和,且S n=,则等于(　D　)
(A)(B)(C)(D)30
解析:因为当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=,所以
=5×(5+1)=30.
4.若数列{a n}满足a1=2,a n+1a n=a n-1,则a2 018的值为(　B　)
(A)-1(B)(C)2(D)3
解析:因为数列{a n}满足a1=2,a n+1a n=a n-1,
所以a n+1=1-,
所以a2=,a3=1-2=-1,a4=1+1=2,
可知数列{a n}的周期为3.而2 018=3×672+2,
所以a2 018=a2=.故选B.
5.数列{a n}满足a n+1+a n=2n-3,若a1=2,则a8-a4等于(　D　)
(A)7(B)6(C)5(D)4
解析:依题意得(a n+2+a n+1)-(a n+1+a n)=[2(n+1)-3]-(2n-3),即a n+2-a n=2,所以a8-a4=(a8-a6)+(a6-a4)=2+2=4.
6.(2018·辽宁省实验中学月考)设数列{a n}的前n项和为S n,且
S n=2(a n-1),则a n等于(　C　)
(A)2n(B)2n-1(C)2n(D)2n-1
解析:当n=1时,a1=S1=2(a1-1),可得a1=2;
当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,
所以a n=2a n-1,
所以数列{a n}为等比数列,公比为2,首项为2,
所以通项公式为a n=2n.故选C.
7.用火柴棒按如图的方法搭三角形:
按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是 .
解析:由题意,三角形的个数增加一个,火柴棒个数就增加2个.火柴棒的个数依次为3,3+2=2×2+1,5+2=2×3+1,7+2=2×4+1,…所以第n个三角形的火柴棒个数a n=2×n+1=2n+1.
答案:a n=2n+1
8.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+1(n∈N*),则a n= .
解析:当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n+1,
当n=1时,a1=S1=4≠2×1+1,
因此a n=
答案:
能力提升(时间:15分钟)
9.设函数f(x)=-x2+14x+15,数列{a n}满足a n=f(n),n∈N+,数列{a n}的前n项和S n最大时,n等于(　C　)
(A)14(B)15
(C)14或15(D)15或16
解析:由题意,a n=-n2+14n+15,令-n2+14n+15≥0,
所以-1≤n≤15,
所以数列{a n}的前n项和S n最大时,n=14或15.
10.已知数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2.若a k·a k+1<0,则正整数k 等于(　C　)
(A)21(B)22(C)23(D)24
解析:由3a n+1=3a n-2得a n+1=a n-,
所以a n=a1-(n-1),又a1=15,
所以a n=-n.
因为a k·a k+1<0,
即(-k)·(15-k)<0,
所以<k<,
又k∈N*,所以k=23.故选C.
11.已知S n是各项均为正数的数列{a n}的前n项和,S n>1且S n=
(n∈N*),则a n等于(　A　)
(A)4n-1 (B)4n-3
(C)4n-3或4n-1 (D)n+2
解析:当n=1时,a1=S1=,
解得a1=1或a1=3,
因为S n>1,所以a1=3,
当n≥2时,a n=S n-S n-1=-,
即(a n+a n-1)(a n-a n-1-4)=0,
因为a n>0,故a n-a n-1=4,
所以{a n}是首项为3,公差为4的等差数列,
所以a n=3+4(n-1)=4n-1.
12.(2017·河北唐山三模)数列{a n}的前n项和为S n,若S n+a n=4-(n ∈N*),则a n= .
解析:因为S n+a n=4-,
所以S n-1+a n-1=4-,
两式相减得,2a n-a n-1=-=,
两边同乘以2n-1得2n a n-2n-1a n-1=2,
所以{2n a n}是等差数列,
又令n=1,得a1=1,
所以2n a n=2+2(n-1)=2n.
所以a n=(a1=1也符合此式).
答案:
13.已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,a n有最小值?并求出最小值;
(2)对于n∈N*,都有a n+1>a n,求实数k的取值范围.
解:(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.
因为n∈N*,所以n=2,3,
所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.
因为a n=n2-5n+4=(n-)2-,
由二次函数性质,得当n=2或n=3时,a n有最小值,其最小值为a2=a3=-2.
(2)由对于n∈N*,都有a n+1>a n知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-<,即得k>-3.
所以实数k的取值范围为(-3,+∞).
14.(2018·全国Ⅰ卷)已知数列{a n}满足a1=1,na n+1=2(n+1)a n,设b n=.
(1)求b1,b2,b3;
(2)判断数列{b n}是否为等比数列,并说明理由;
(3)求{a n}的通项公式.
解:(1)由条件可得=a n.
将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.
将n=2代入得,a3=3a2,
所以a3=12.
从而b1=1,b2=2,b3=4.
(2){b n}是首项为1,公比为2的等比数列.
由条件可得=,
即=2b n,又b1=1,
所以{b n}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)由(2)可得=2n-1,
所以a n=n·2n-1.。