导数定积分几何意义实例教学的分析_吴亚敏

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导数的几何意义及运用解密

导数的几何意义及运用解密导数作为高等数学中的一个重要概念，在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

它既是一个数学工具，也是一种具有丰富几何意义的概念。

本文将从导数的几何意义和运用两个方面对导数进行深入解析，以便更好地理解这一重要概念。

一、导数的几何意义导数在几何学中有着直观的几何意义，可以反映出函数曲线在某一点的切线斜率。

以二次函数y=x^2为例，在任意一点(x0,y0)处的切线斜率为y'=2x0。

因此，当x0=1时，切线斜率为2，当x0=-2时，切线斜率为-4。

从几何意义上来说，导数就是函数曲线在某一点的切线斜率。

通过导数这个工具，我们可以更好地理解各种函数曲线的特征。

例如，曲线函数y=x^3呈现上升趋势，斜率也在不断增长，因此导数y'=3x^2也在不断增长，说明曲线的增长速度在逐渐加快。

而曲线函数y=sin(x)的导数y'=cos(x)呈现周期性变化，反映出曲线函数的特殊周期性。

此外，导数还可以告诉我们函数曲线的局部凸凹性质。

在导数为正的区域里，函数曲线呈现向上凸的形态；反之在导数为负的区域里，函数曲线呈现向下凸的形态；而切线斜率为0时，则表示函数曲线处于转折点上。

由此可见，导数的几何意义在分析函数曲线的形态和特点方面有着重要的作用。

二、导数的运用解密导数在实际应用中被广泛运用，尤其在物理、工程等领域中有着广泛应用。

例如，通过导数我们可以求出物理系统中的速度和加速度，以及电路中的电流和电压。

以下将介绍导数在实际应用中的几个典型案例。

1. 物理中的速度和加速度物理中的运动，通常需要用速度和加速度来描述。

而这些运动的变化可以通过计算导数的方式来进行描述。

例如，当对于绕圆心旋转的物体而言，它的速度在变化的同时也在改变方向。

此时，我们可以通过计算该物体的速度矢量在时间上的导数来求取该物体的加速度。

2. 经济中的边际效用经济学中，经济学家会关注某一特定产量水平下的增益变化。

由于边际效用是一种导数，因此可以通过计算导数的方式来描述增益变化的相关性质。

从导数与定积分部分看高中数学教学

从导数与定积分部分看高中数学教学摘要：基于对新型人才培养理念，高中数学老师，要注重学思结合，注重知行统一，注重因材施教，强调中学生自主学习，不要采用题海方式，因为比知识更重要的是能力及渗透在能力中的解题策略，只有注重能力的培养才是真正的培养新型人才的途径.关键词：导数概念极限微积分十年前的新课程改革就提出我国数学教育存在的问题要正视，数学教学不自然，强加于学生，缺乏问题意识，重结果轻过程，重解题技能技巧普遍性思考方法的概括，轻能力的培养，论层次的内容渗透不够，机械模仿多，独立思考少，数学思维层次不够高，讲逻辑而不讲思想，等等，造成的后果是学生讲过的不一定会，没讲过的一定不会.尽管通过种种尝试，加强概念的理解，注重三维目标的构建，以及学生基本技能的培养，可高考看分数的杠依然在那，因此为提高学生的高考分数，题海战术依然是首选，不离不弃。

2016年3月我有幸参加了中国大学先修课程《微积分》的培训，听了东北师范大学、清华大学、北京大学教授的讲座，我感受颇深：有些学生高中数学考得非常好，进了大学却一塌糊涂.用定理结论都会，用定理手法证明的不会.高校数学系、物理系喜欢学习能力强的，而不一定要高考成绩高的，甚至高考数学140多分的，在高校老师看来是否有能力他们第一节课就见分晓.的确，高中数学老师为了学生在高考中尽可能多地得到分数，将题目归纳为类型题，什么类型什么类型讲得很详细，讲完学生反复练习，练到差不多就可以进去考试，只要听话又勤奋的学生总能考个百来分，可是这样的学生将来进入大学或是走向社会又会有多少作为，我们的确担心.而大学老师则从不会归纳什么类型，还不会讲太细，太细学生就没有自己的思考空间了，这能说大学老师就不够尽责吗？这值得我们思考.我认为可以借鉴美国中学成功经验放手让我们的学生去做、去探索，这样才能适应未来新型的社会需求.那么如何培养新型的高中生，适应现代化科技的发展？根据高中生的认知特点，要注重学思结合，注重知行统一，注重因材施教.我就高二数学人教A版第二章导数及其应用谈谈看法.1.突出实际背景培养认知能力教材直接通过实际背景和具体应用实例──速度p膨胀率p效率p增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念.而教材对微积分的定位，考虑到学生的实际水平，略去函数的连续性和极限.但由于教学实际，我认为在授课之前应用适当的形式让学生感知函数的连续性和极限.例如：如果函数是连续的，那么它的图像是一条连绵不断的曲线；在一定条件下极限与某个常数A的差的绝对值越来越小，可以小于预先给定的任意正数，可以通过表格定性分析和定量分析，把“无限趋近”给予确切的描述，或者举例说明求函数的极限，这样学生就不会在诸如“的求法”，又如“a≤，x∈恒成立，求a的取值范围”等问题上存在的困惑.教材用极限理论阐述导数定义之后，给出了几个基本初等函数的导数公式，学生在此时会长叹：导数定义好麻烦，有公式真好。

人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件第5章一元函数的导数及其应用第2课时导数的几何意义

即所求点的坐标为(2,9).
反思感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0,y0).
(2)求导函数f'(x).
(3)求切线的斜率f'(x0).
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0.
(5)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将x0代入曲线方程求出y0得切点坐标.
【变式训练3】设P0为曲线f(x)=x3+x-2上一点,且曲线在点P0处的切线平
=
=
1
22 得
- 3 - 9 ,
所以直线 l1,l2 的交点坐标为
1 5
,6 2
1
,
6
5
-2.
.
22
直线 l1,l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0), - ,0
3
1
25
5
125
故所求三角形的面积 S= × × - =
.
2
3
2
12
.
本课结束
设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点B(b,b2+b-2),
则l2的方程为y-(b2+b-2)=(2b+1)(x-b).
因为 l1⊥l2,所以直线 l2 的斜率
所以直线 l2 的方程为
1
k2=2b+1=- ,解得
3
1 22
y=- x- .
3 9
2
b=- ,
3
(2)解方程组
= 3-3,
=
∴所求切线方程为y-3=3(x-1),即3x-y=0.
答案:3x-y=0
.
探究三
求切点的坐标
【例4】已知抛物线y=2x2+1.

导数的几何意义与应用

导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。

本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。

一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。

考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。

换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。

如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。

基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。

例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。

此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。

曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。

二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。

我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。

这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。

例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。

2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。

最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。

通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。

进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。

这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。

3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。

例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。

这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。

这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。

4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。

例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。

高一数学导数的运算及其几何意义分析总结归纳

信号处理：导数在信号处理中用于提取信号特征，提高信号处理效果
力学分析：导数在力学分析中用于描述物体运动状态，分析力学问题
导数在科学计算中的应用
物理中的运动学：描述物体运动的速度、加速度等化学中的反应速率：描述化学反应的速度和反应程度生物学中的生长曲线：描述生物体生长过程中的变化规律经济学中的边际分析：描述经济活动中的边际成本、边际收益等
弹性分析：通过导数计算价格弹性、需求弹性等，分析市场供需关系经济增长模型：通过导数建立经济增长模型，分析经济增长速度、趋势等投资决策：通过导数计算投资回报率、风险等，分析投资决策合理性
导数在工程学中的应用
优化设计：通过导数计算，优化工程设计参数，提高效
率和性能
控制理论：导数在控制理论中用于描述系统动态响应，实现精确控制
导数等于无穷大的点表示函数图像的尖点
导数正负决定函数图像的增减性
导数是函数在某一点的切线斜率
导数等于零且二阶导数大于零的点表示函数图像的极小
值
导数等于零且二阶导数小于零的点表示函数图像的极大
值
导数的运算总结归纳
导数的四则运算法则
加法法则：导数相加等于导数之和
减法法则：导数相减等于导数之差
高一数学导数的运算及其几何意义分析总结归纳
WPS,a click to unlimited possibilities
汇报人：WPS
导数的概念和运算
导数的几何意义分析
导数的运算总结归纳
导数的应用实例分析
导数的综合练习题解析
导数的概念和运算
导数的定义
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的变化率

导数的概念及运算、定积分倒数及其应用教学PPT课件

7．定积分的性质 (1)∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx(k 为常数)； (2)∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx； (3)∫baf(x)dx＝∫acf(x)dx＋∫bcf(x)dx(其中 a＜c＜b)．
8．微积分基本定理一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么∫ baf(x)dx＝F(b)－F(a)，常把 F(b)－F(a)记作 F(x)|ba，即∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝ F(b)－F(a)．
答案：B
3．曲线 f(x)＝x3－x 在点(－1，f(－1))处的切线方程为
A．2x＋y＋2＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x－y＋2＝0
D．2x－y－2＝0
()
解析：∵f(x)＝x3－x，则 f′(x)＝3x2－1， ∴f′(－1)＝2，f(－1)＝0，因此，曲线 y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线方程为 y＝2(x＋1)，即 2x－y ＋2＝0. 答案：C
2．函数 f(x)的导函数
函数
f′(x)＝li m
Δx→0
fx＋Δx－fx
Δx
为 f(x)的导函数．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q *)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f′(x)＝ cos x f′(x)＝－sin x
4．∫212－xx＋x2dx＝ A．2ln 2＋12 C．ln 2＋1
B．2ln 2－12 D．ln 2－1
()
解析：∫212－xx＋x2dx＝∫212x－1＋xdx＝2ln x－x＋x22 |21＝2ln 2＋12. 答案：A

导数的几何意义定积分与微积分基本定理

导数的几何意义定积分与微积分基本定理导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在其中一点的变化率。

在几何上，导数可以理解为函数图像上一点处的切线斜率。

考虑函数y=f(x)，如果在其中一点x=a处导数存在，则导数f'(a)表示该点处函数的变化率。

具体而言，对于非常小的增量Δx，函数在x=a处的导数f'(a)表示了函数在x=a处的切线的斜率，即切线与x轴正方向的夹角。

换句话说，导数可以理解为函数在其中一点的瞬时变化率。

例如，对于一条直线函数y=ax+b，其导数恒等于a，表示了该直线斜率的恒定性。

导数的几何意义不仅仅局限于切线的斜率，它还可以用来描述函数的凸凹性质。

当函数在其中一点的导数为正时，说明函数图像在该点处上升；当导数为负时，说明函数图像在该点处下降。

通过导数，我们可以了解到函数的变化趋势以及临界点的存在与性质。

定积分与微积分基本定理：定积分是微积分中的另一个重要概念，它表示了函数在一个区间上的累积变化量。

几何上，定积分可以理解为函数图像下方面积的计算。

考虑函数y=f(x)，如果在区间[a,b]上存在一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，则称函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。

根据微积分基本定理，函数f(x)在区间[a,b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)简单来说，定积分就是原函数在区间上的差值。

通过定积分，我们可以计算函数在其中一区间上的变化量，并得到一个具体的数值结果。

几何上，定积分表示了函数图像在区间[a,b]上的下方面积。

当函数f(x)表示为正值时，定积分计算的是图像在区间上的面积；当函数f(x)表示为负值时，定积分计算的是图像下方的面积。

通过定积分，我们可以计算复杂函数图像的面积，并应用于曲线的长度、体积以及其他几何问题的求解。

综上所述，导数和定积分是微积分学中两个核心概念。

导数描述了函数在其中一点的变化率，可以理解为函数图像在该点的切线斜率；定积分表示了函数在一个区间上的累积变化量，可以理解为函数图像在该区间上的下方面积。

新人教版高中数学选择性必修第二册第五章导数的几何意义

即4x－y－4＝0.
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5.已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x) 的图象大致是
√
解析由f′(x1)>0，f′(x2)<0可知，f(x)的图象在x1处切线的斜率为正，在x2处切线的斜率为负.
解 ∵P(2,4)在曲线 y＝13x3＋43上，
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k＝ lim Δx→0
132＋Δx3＋43－13×23＋43 Δx
＝ lim Δx→0
4＋2Δx＋31Δx2
＝4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程.
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6.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角
为π 的是 4
A.(0,0)
√B.(1，－1)
√C.(－1,1)
D.(1,1)
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例2 已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是
A.f′(xA)>f′(xB)
√B.f′(xA)<f′(xB)
C.f′(xA)＝f′(xB)
D.不能确定
解析由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).
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导数及其应用定积分与微积分基本定理课件理ppt

求法
求函数的导数有多种方法，例如，利用求导公式求导；利用求导法则求导；利用复合函数求导法则求复合函数的导数；利用微分学基本定理求高阶导数等。
02
定积分
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是函数在区间[a,b]上的积分，表示为∫abf(x)dx，其中f(x)是待积函数，a和b 是积分的下限和上限。
定积分的性质
定积分具有一些基本性质，如线性性质、可加性、可减性、可正可负性等。这些性质在解决定积分问题时非常重要。
定积分的几何与物理应用
定积分的几何应用
定积分可以用于计算曲线下面积、旋转体体积等问题。例如，计算圆、椭圆等图形的面积，或求圆柱、圆锥等旋转体的体积。
定积分的物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，如计算变力沿直线所做的功、计算液体对平面所施加的力等。
最优问题求解
导数可以用于求解最优问题，例如在投资组合理论中，通过求解收益率关于资产配置的导数，可以找到最优的资产配置比例。
动态最优化
导数可以用于建立动态最优化模型，例如在宏观经济学中，通过求解一阶导数和二阶导数，可以研究经济的稳定性和增长问题。
定积分在物理学中的应用案例
面积和体积计算
定积分可以用于计算曲线下包围的面积和曲线的长度，以及计算立体的体积。例如，在计算旋转体的体积时，可以将旋转体表面展开成一系列的小圆环，然后利用定积分计算每个小圆环的面积并求和得到总体积。
微积分基本定理可以用于求解一些方程，例如在求解一些涉及到多个变量的方程时，可以通过微积分基本定理将方程转化为一个易于求解的方程并求解。
THANKS
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物理应用
导数可以描述物理量随时间的变化率，例如速度是位移对时间的导数。导数在物理中有广泛的应用，例如牛顿第二定律、欧姆定律等。

人教版高中数学选择性必修第二册5.1.2.1导数的几何意义【同步教学课件】

x0
有关，与
Δx
无关，因此使用导数的定义时
要明确公式的形式，当分子为 f(1－Δx)－f(1)时，分母也应该是(1－Δx)－1，要注
意公式的变形.
索引
【训练 3】
(1)若函数
f(x)可导，则
lim
x0
f（1－Δx2）Δx－f（1）等于(
C
)
A.－2f′(1)
B.12f′(1)
C.－12f′(1)
D.f′12
＝
lim
x0
Δx[
（Δx）2＋2Δx （Δx）2＋2Δx＋2＋
2]
＝
lim
x0
Δx＋2 （Δx）2＋2Δx＋2＋
＝ 2
2 2.
求一个函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）；
∴
lim
x0
f（x0＋Δx）2－Δxf（x0－Δx）＝k，
∴
lim
x0
f（x0＋Δx）－Δxf（x0－Δx）＝2k.
索引
思维升华
由导数的定义可知，若函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处可导，则 f′(x0) ＝
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0），它仅与
(3)取极限，得导数
f′(x0)＝
lim
x0
ΔΔxy.
思维升华
索引
【训练 2】求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数. 解因为 Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔxΔx，
所以ΔΔxy＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx.

高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义教案省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件

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探究点求曲线过某点切线方程探究 1 曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点．【答案】不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．
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探究 2 曲线过点 P 的切线是否一定以点 P 为切点？【答案】当点 P 在曲线上时，点 P 可能是切点，也可能不是切点；当点 P 不在曲线上时，点 P 一定不是切点．
1.1.3 导数几何意义
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学习目标 1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义． 2．会求导函数．(重点、难点) 3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． (重点) 4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)
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基础·初探教材整理 1 导数的几何意义 1．切线的概念：如图，对于割线 PPn(n＝1,2,3,4)，当点 Pn 趋近于点 P 时，割线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线__P_T____称为点 P 处的切线．
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【解析】根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在 (x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故(1)对，(2)错，(3)对，又根据切线的定义知直线与曲线相切时其交点可能有多个，故(4)错．【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
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2．已知函数 y＝f(x)在点(2,1)处的切线与直线 3x－y－2＝0
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(3)求切线的斜率 f′(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程求 x0； (5)x0 代入 f(x)求 y0 得切点坐标．
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跟踪训练 2．上例中条件不变，求抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x＋8y－3＝0? 解：∵抛物线的切线与直线 x＋8y－3＝0 垂直， ∴抛物线的切线的斜率为 8. 由上例知 f′(x0)＝4x0＝8，∴x0＝2，y0＝9. 即所求点的坐标为(2,9)．

导数的几何意义与应用

导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念之一，它不仅有着深刻的几何意义，还在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。

本文将深入探讨导数的几何意义以及其在实际问题中的应用。

导数的几何意义导数的几何意义可以从两个方面来理解，即斜率和切线。

首先，导数可以被解释为函数图像上某一点的切线斜率。

具体而言，对于函数y=f（x），如果在某一点x=a处的导数存在，则导数f’(a)即为函数图像在该点的切线的斜率。

这意味着，通过求导，我们能够得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而更加准确地描述函数的变化趋势。

其次，导数还可以被解释为函数的变化率。

导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化速率，进而揭示函数的增减性和凸凹性质。

具体而言，如果导数f’(a)在某一点x=a处为正，那么函数在该点上是递增的；如果导数f’(a)在某一点x=a处为负，那么函数在该点上是递减的；如果导数f’(a)在某一点x=a处等于零，那么函数在该点上可能存在极值点。

导数的应用导数作为微积分的基本工具，在数学和实际问题的求解中有着广泛的应用。

以下将介绍导数在不同领域的具体应用。

1. 极值问题导数在求解函数的极值问题中起着重要作用。

对于一个可导函数，可以通过求导将极值问题转化为寻找导数为零的点或者导数不存在的点。

通过求解导数为零或导数不存在的方程，可以找到函数的可能极值点，进而得到函数的最大值或最小值。

2. 凸凹性分析凸凹性分析是导数在物理学、经济学等领域中的重要应用之一。

通过函数的二阶导数信息，可以判断函数的凸凹性质。

具体而言，如果函数的二阶导数大于零，那么函数是凸函数；如果函数的二阶导数小于零，那么函数是凹函数。

3. 曲线绘制与图像分析导数在曲线绘制与图像分析中也扮演着关键的角色。

通过求导，可以得到函数图像上每一点处的切线斜率，从而帮助我们绘制更加准确的曲线。

同时，导数还可以帮助我们分析函数的拐点、极值点和最值点，进而对函数的整体形态进行深入理解。

导数的几何意义74592-PPT精品文档

导数的几何意义
创设情境探索求知知识运用
教学程序小结作业
问题五:研究导数的几何意义有什么作用？
P P P
结论：以直代曲是微积分中的重要的思想方法，即以
简单的对象（切线）来刻画复杂的对象（曲线）。大多数的曲线就一小范围来看，大致可看成直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即以直代曲。
教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价
知识与技能 :
通过实验探求和理解导数的几何意义；体会导数在刻画函数性质中的作用；
过程与方法：
培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，了解科学的思维方法。
情感态度与价值观：
渗透逼近和以直代曲思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。
导数的几何意义
重点难点
教材分析教学目标方法手段教学程序教学评价
教学重点：导数的几何意义以及“数形结合，以直代曲” 的思想方法。教学难点： 1) 发现和理解导数的几何意义； 2) 运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。关键：师生一同探究和理解导数的几何意义
导数的几何意义
导数的几何意义
创设情境探索求知知识运用
教学程序
小结作业
x0 问题四:你能从上述过程中概括出函数 f ( x 在 ) x 处的
导数
f ( x 的几何意义吗？ 0)
x 0 设计意图:引导学生发现并说出：，割线 PQ
切线PT，所以割线PQ的斜率切线PT 的斜率。
f ( x x ) f ( x ) 0 0 f ( x ) lim 因此，＝切线PT的斜率。 0 x 0 x

导数的几何意义教案后附教学反思

海口市2009年高中数学课堂教学优质课评比教学实录1.1.3导数的几何意义李明（湖南师大附中海口中学）12月4日于海南华侨中学一、创设情境、导入新课师：上节课我们学习了导数的概念，请回答：函数在0xx =处的导数0'()f x 的含义？生：函数在0x x =处的瞬时变化率.()()00/000()lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆师：那么，用定义求导数分哪几个步骤？同学们可参考教材第6页例1.生：第一步：求平均变化率()00()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆；第二步：求瞬时变化率，即()/00lim x y f x x ∆→∆=∆师：非常好，并且我们从求导数的步骤中发现：导数就是求平均变化率y x∆∆当x ∆趋近于O 时的极限.明确了导数的概念之后，今天我们来学习导数的几何意义.二、引导探究、获得新知师：观察函数y=f(x)的图象，平均变化率y x∆∆在图中有什么几何意义？生：平均变化率表示的是割线AB 的斜率.师：是的，平均变化率y x∆∆的几何意义就是割线的斜率.师：请看教材第7页图1.1-2：P 是一定点，当动点n P 沿着曲线y=f(x)趋近于点P 时，观察割线n PP 的变化趋势图.（多媒体显示【动画1】）生：当点n P 沿着曲线y=f(x)趋近于点P 时，割线n PP 趋近于在P 处的切线PT.师：看来这位同学已经预习了，他说的很对，“当点n P 沿着曲线y=f(x)逼近点P 时，即0x ∆→，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.”这就是切线的概念.师：观察图①，曲线y=f(x)与它的割线有2个交点，与它的切线PT 有1个交点.那么，能否根据直线与曲线交点个数来判断直线与曲线的位置关系？生：若曲线与直线有2个公共点，则它们相交；若曲线与直线有1个公共点，则它们相切.①②师：观察图②，请指出（1）直线l 1与曲线L 是什么位置关系？（2）直线l 2与曲线L 是什么位置关系？生：直线l 1与曲线L 相交，直线l 2与曲线L 相切.师：直线l 1与曲线L 有唯一公共点但它不是曲线的切线，l 2与曲线L 不只一个公共点，但它是曲线在A 处的切线.所以，今后我们不能用曲线与直线公共点的个数来判断它们的位置关系，应该从定义出发.师：由切线的定义可知，当0x ∆→时，割线n PP 趋近于切线PT .那么，割线n PP 的斜率趋近于……？生：切线PT 的斜率.师：割线n PP 的斜率n y k x∆=∆，当0x ∆→时，切线PT 的斜率k 就是……？生：0lim x yk x∆→∆=∆师：即()()00/00()lim x f x x f x k f x x∆→+∆-==∆.至此，请同学们总结，导数()/0f x 有什么几何意义？生：()/0f x 是PT 的斜率.师：直线PT 是曲线()y f x =的……？生：直线PT 是曲线()y f x =在0x x =处的斜率.师：同学们说的非常好！（教师板书）导数的几何意义：函数在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即()()00/000()lim lim x x f x x f x y k f x x x∆→∆→+∆-∆===∆∆师：那么，通过导数的几何意义，我们可以通过函数在某点处的导数，来得到其图像在该点处切线的斜率.师：说出曲线()y f x =在1,2,3x =处的切线的倾斜角.（1）()/11f =；（2）()/20f =（3）()/3f =生：045、00、0120四、知识应用、巩固理解师：例1：求出曲线2()f x x =在1x =处的切线方程.你们想怎样求切线方程呢?生：求出函数在1x =处的导数()/1f ，就知道了所求切线的斜率.师：求切线的斜率之后呢？生：（摇头，回答不出）师：好，那我们不妨先求出斜率（教师板书）2000(1)(1)()211'(1)lim lim lim (2)2x x x f x f x x k f x x x∆→∆→∆→+∆-∆+∆+-====∆+=∆∆那么，关于直线我们还知道哪些信息？生：1x =是切点的坐标师：是切点的横坐标，那纵坐标呢？也是1生：也是1，切点的坐标为（1，1）师：知道直线上一点的坐标和斜率，那么直线方程……？生：点斜式12(1)y x -=-，即210x y --=（学生回答，教师板书）师：今后我们如何求曲线()yf x =在0x x =处的切线方程？生：（1）求出0'()f x ，则0'()f x 就是曲线在0x x =切线的斜率；（2）求切点；(3)写出切线的点斜式方程，000()'()()y f x f x x x -=-师：同学们很棒！例2.如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像.据图回答问题.请描述、比较曲线()h t 在0t ，1t ，2t 附近的变化情况.生：作出曲线在这些点处的切线.师：曲线在0t 处有怎样的变化趋势？生：不知道怎么表达.师：我们观察在0t 处附近曲线几乎与切线0l 重合，所以，我们可以用切线的变化趋势刻画曲线在该点附近的变化情况，这种思想方法叫“以直代曲”.那么，0l 平行于x 轴，即0'()0h t =，说明曲线在0t 附近曲线比较平坦，几乎没有升降.师：在1t ，2t 处呢？生：在1t ，2t 切线斜率1'()0h t <，2'()0h t <，所以，在1t ，2t 附近曲线下降，即函数()h t 在1tt =，2t 附近单调递减.师：曲线在1t ，2t 处都是下降的，下降的速率一样吗？生：不一样，在2t 处都是下降的快.师：你们如何得知的？生：图像在1t 处的切线倾斜程度小于在2t 处切线的倾斜程度，说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降得缓慢.五、分层练习、提升能力（看学案）师：曲线2y x =上有一点P，过P 的切线平行于直线y=4x-5，求P 的坐标.生：设P 的坐标为200,)x x (，()()()2200000000000()'()lim lim lim lim 224x x x x f x x f x x x x y f x x x x x x x∆→∆→∆→∆→+∆-+∆-∆====∆+==∆∆∆即02x =所以，P 的坐标为2,4)(六、课堂小结师：非常好！这节课我们学习了哪些内容？生：（齐声回答）一、切线的定义：当点n P 沿着曲线()y f x =逼近点P 时，即0x ∆→，割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT 称为点P 处的切线.二、导数的几何意义：导数0'()f x 就是函数()f x 的图象在0x 处的切线的斜率，即()()00/000()lim lim x x f x x f x y k f x x x∆→∆→+∆-∆===∆∆三、导数几何意义的应用.（1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程；（2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.（“以直代曲”）七、作业布置完成学案！附：板书设计1.1.3导数的几何意义一、切线的定义二、导数的几何意义导数0'()f x 就是函数()f x 的图象在0x 处的切线的斜率，即()()00/000()lim lim x x f x x f x y k f x x x∆→∆→+∆-∆===∆∆三、导数几何意义的应用.（1）用导数求切线斜率，进而求出切线方程；（2）利用切线判断曲线在某点附近的变化趋势.例1：求出曲线2()f x x =在1x =处的切线方程.解：曲线2()f x x =在1x =处的切线斜率2000(1)(1)()211'(1)lim lim lim (2)2x x x f x f x x k f x x x∆→∆→∆→+∆-∆+∆+-====∆+=∆∆因为(1)1f =，即切点的坐标为（1，1），所以切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=学案一.例题部分例1.求曲线2()f x x =在1x =处的切线方程.例2.如图，它表示跳水运动中高度随着时间的变化的函数的图像，请描述、比较曲线()h t 在0t ，1t ，2t附近的变化情况.二.练习（A 组）1.曲线2()f x x =上有一点P，过P 的切线平行于直线45y x =-，求P 的坐标.2.若曲线224y x x p =-+与直线1y =相切，则p =（B 组）1.求曲线3()f x x =在1x =处的切线方程.2.如图，请描述()y f x =在5,42,0,1x =---附近的变化情况.三.小结这节课我学到了：。

剖析导数几何意义在几个方面的运用

'(
x)
=e - ,
'(
x0 )
=e f
x
x0
x
0
x
x
0
则切线方程为 y - (
e
x
1
0
(
。
x-x0 )
e x0
-l
n x0 ) =
2
x-y+1=0。
故答案为 2
x-y+1=0。
二、利用导数的几何意义解决公切线问
题
x
1
(
。
= e0 -x0 )
x0
x
0
-l
nx0 )
x
0
x )=l
nx +
mx
2
与 g(
x)
=x +1 有公切线 y=ax(
a>
x+1
,
,
。
设切点分别为 F(
0)
x1 ,
G(
x2 ,
y1 )
y2 )
1
m
,'(
则f
'(
x)
= +
x)
=2
x。
2 g
x (
x+1)
x2 +1
所以 a=2
x2 >0 且
=2
x2 ⇒x2 =
x2
2
1,
a=2。

mx1

2,
m )代入得方程可得
,即 2
m -(
x0 -x0 )
=(
3
x0 -1)(
2-x0 )
x0 2

导数及其应用定积分在几何中的应用

2023
《导数及其应用定积分在几何中的应用》
目录
• 导数及其应用 • 微分学与不定积分 • 定积分在几何中的应用 • 导数与定积分在物理中的应用
01
导数及其应用
导数的定义
函数在某一点的导数
函数在某一点的导数定义为该点的切线斜率，表示函数在该点的变化率。
导数的几何意义
导数的几何意义是函数图像在某一点的切线斜率，表示函数图像在该点的变化趋势。
导数可以用于求解函数的最值问题，从而解决物理中的极值问题，例如在力学、电学等领域。
曲线切线斜率
热力学中温度变化
导数可以用于求曲线的切线斜率，从而得到曲线在某一点的切线方程。
导数可以用于求解热力学中温度随时间的变化率，从而得到物体内部温度分布情况。
定积分在物理中的应用
面积与体积的求解
定积分可以用于求解曲线下方的面积和封闭图形的体积，从而得到物体在空间中所占的体积。
定积分的计算
确定被积函数和积分区间
首先需要确定被积函数和积分区间。被积函数是我们要积分的函数，而积分区间是函数值的取值范围。
求和
将每个小区间的被积函数值乘以小区间的宽度，并将所有小区间的结果相加。
划分区间
将积分区间划分为若干个小区间，小区间的宽度要足够小，以便在近似计算时误差可以忽略不计。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数曲线在某一点处的切线斜率，切线斜率越大，函数曲线在该点处的变化率就越大。
不定积分的计算
要点一
不定积分的定义与性质
不定积分是微分的逆运算，即求出原函数的运算。不定积分具有线性性质、积分常数性质和积分区间可加性等。
要点二
不定积分的计算方法

极限_导数_定积分概念所蕴涵的数学思想方法剖析

如果这样的 N 确实存在 ,我们才能说数列{ an } 的极
限是 a ,否则 ,不能称 a 是{ an } 的极限 (注这里 N 不
唯一) 。由此分析下面给出数列极限的精确定义 :
Πε > 0 ϖ N 当 n > N 时有 | an - a | < ε则称数
列{ an }
的极限是
a
,记为limn来自∞个相对固定性表示出来的 , 的任意性和相对固定性深刻反映了极限概念中的精确与近似之间的辩证
关系。ε的任意性 ,表明极限是人们从近似中认识精确的数学方法。例如 , 人们通过圆的内接正多边形的周长 cn (圆的周长近似值) 认识了该圆的周长 c 。 2. 2 导数概念及其数学思想剖析
例题 :设作直线运动的质点 ,它的运动规律是 s = s ( t) ,则它在 t 时刻的速度 v = v ( t) 是什么 ?
C(当 n ϖ ∞) [2] 。 ·92 ·
在刘徽的“割圆术中”,当 n 是个有限的自然数
时 ,要求圆的周长 , 先用圆内接正多边形的周长近
似代替。但若对圆周仅进行有限次的分割 , 当 n 不
断增大时 , 圆的内接正多边形周长的变化是量变。
则无论分割多少次 ,得到的圆内接正多边形的周长
都只能是圆周长的近似值。只有无限地分割下去 ,
收稿日期 :2005 - 09 - 12 作者简介 :傅苇 (1956 - ) ,女 ,湖南省长沙市人 ,重庆科技学院数理系 ,讲师 ,从事数学教育研究。
·91 ·
傅苇 :极限、导数、定积分概念所蕴涵的数学思想方法剖析
2 极限、导数、定积分概念的数学思想方法分析
数学的许多概念都来源于生产实际中 ,让学生了解这些概念的产生过程 ,特别是概念形成过程中所蕴涵的数学思想方法 ,对培养学生的学习兴趣和创造能力 ,提高学生的数学素质 ,都有不可低估的作用。高等数学教学中 ,特别要注意的是有些简单朴素但很重要的数学思想贯穿整个课程的始终。比如近似代替的思想 , 反映在几何上就是以直代曲 ,反映在代数上就是以常代变。这一思想在微分、泰勒公式、定积分、无穷级数等问题的处理中都有体现 ,而这一数学思想方法往往通过无限变化的过程来体现。因此 ,在讲这些内容时 ,可适当强调该思想的重要性 ,通过反复强化使学生理解掌握这一思想方法。下面就高等数学的几个重要概念所蕴涵的数学思想方法作一些简要的分析。 2. 1 极限概念及其数学思想剖析

定积分的概念教学设计吴树恒教学目的掌握定积分的概念理解定

2、通过对两个式子进行整理得到满足定积分概念中的式子结构，为定积分概念的提出做铺垫。
老师提问后稍作停顿给出式子。
在解决问1中两问题时得到了两个式子。不要求记。
3、对2中两式的积分区间和函数表达式进行推广可以得到什么样的式子？
3、进一步做出接近定积分概念式的式子结构
老师问学生答。
4、定积分的概念什么？
12、变式训练1，将上例中的积分区间改成[0,2]求定积分。变式训练2，把被积函数改成f(x)=2.
12、目的是让学生认识到积分区间可以影响定积分的值。
学生思考，找区别，老师思考。
过程只有四个步骤要求学生理解，具体的求解过程用下一节的公式求解更简单，在此不强调，另外指导学生找出积分区间改变之后，原题的求解过程中哪些地方做相应改变。
定积分概念中的式子结构为定积分概念的提出做铺3进一步做出接近老师问学生lim分区间和函数表达定积分概念式的式式进行推广可以得子结构4定积分的概念什4让学生认识定积学生自学简单来讲定积分就是一个常数
定积分的概念教学设计
吴树恒
教学目的：掌握定积分的概念，理解定积分的几何意义。
重点难点：定积分念。
学生自学，老师点拨。
简单来讲，定积分就是一个常数。
5、在计算定积分时应该注意些什么问题？
5、让学生深入理解定义，弄清楚定义的使用过程中应该注意的问题。
学生思考，老师个别提问。
归纳概念中应该注意的问题。（1）函数的应是连续的；（2）定积分的值只跟被积函数和积分区间有关。
6、练习1：把问2中得到的两个式子写成积分形式。
教学方式：启发式，自学辅导式
教学情境设计
问题
设计意图
师生活动
备注
1、求曲边梯形面积和变速运动路程时的步骤是什么？

人教b版高中数学-选修22：-导数及其应用-5.3《定积分的概念》省公开课一等奖全国示范课微课金奖P

n
a
(2)以直代曲:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形面积用高为
f(xi), 宽为Dx小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.
(3) 作和:取n个小矩形面积和作为曲 y
边梯形面积S近似值：
n
S f (xi )x i1
y=f(x)
(4)迫近:所求曲边梯形面积S为
n
x 0, f (xi )x S i 1
第8页
定积分定义
普通地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等
分成n个小区间,每个小区长度为
,在每个
小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和
假如 x 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称
常数S为函数f(x)在区间[a,b]上定积分,
记作:
.
第9页
b
曲线？
第4页
用 “以直代曲”处理问题思想和详细操作过程：
分割
以曲代直
作和
迫近
第5页
求由连续曲线yf(x)对应曲边梯形面积方法:
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小
区间: a, x1, x1, x2 ,
xi1, xi ,
,
xn1, b ,
每个小区间宽度⊿x
b
b
即
f(x)dx
a
S1 S2
S3
y
S1 O S3
S2
X
第18页
定积分几何意义：
在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积代数和( 即x轴上方面积减去x轴下方面积).
y 6
OB -4
A 5
x
第19页
例1：计算以下定积分.

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