高中数学导学案导数的几何意义

导数的几何意义 课前预习学案

预习目标：导数的几何意义是什么？

（预习教材P 78~ P 80，找出疑惑之处）

复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率y

k x

∆==∆ 复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.

记作：当x ∆ 时， →l 上课学案

学习目标：

通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.

学习重难点： 导数的几何意义 学习过程：

学习探究

探究任务：导数的几何意义

问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？

新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限

位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线 割线的斜率是：n k =

当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导

数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()

lim ()x f x x f x k f x x

∆→+∆-'==∆

新知：

函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.

即k =000

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

典型例题

例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图

象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.

例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)

有效训练

练1. 求双曲线1y x =

在点1

(,2)2

处的切线的斜率,并写出切线方程. 练2. 求2y x =在点1x =处的导数. 反思总结

函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

其切线方程为

当堂检测

1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 2

2. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+

3. ()f x 在0x x =可导，则000()()

lim h f x h f x h

→+-（ ）

A ．与0x 、h 都有关

B ．仅与0x 有关而与h 无关

C ．仅与h 有关而与0x 无关

D ．与0x 、h 都无关

4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为

5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则

000()()

lim

x f x x f x x

∆→-∆-∆= 课后练习与提高

1. 如图,试描述函数()f x 在x =5,4,2,0,1---附近的变化情况.

2．已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状

.

学校： 一中 学科：数学 编写人：由召栋 审稿人：张林

3.1.3导数的几何意义教案

教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知

道导数的概念并会运用概念求导数.

教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学过程：

情景导入：如图,曲线C 是函数y=f(x)的图象,P(x 0,y0)是曲线C 上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P 邻近一点,PQ 为C 的割线,PM//x 轴,QM//y 轴,β为PQ 的倾斜角.

.tan ,,:β=∆∆∆=∆=x

y

y MQ x MP 则

y

x

∆∆请问：是割线PQ 的什么?

展示目标：见学案 检查预习：见学案

合作探究：探究任务：导数的几何意义

问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？

新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线

割线的斜率是：n k =

当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导

数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()

lim ()x f x x f x k f x x

∆→+∆-'==∆

新知：

函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.