高中数学导学案导数的几何意义
高考复习-导数的概念及几何意义
导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数作为微积分中的重要概念，不仅在数学理论研究中有着重要地位，还在实际问题的求解中起到了至关重要的作用。
导数的几何意义是指在几何上，导数代表了函数曲线在某一点处的切线斜率。
它使我们能够通过函数图像来理解函数的变化规律及其在特定点的切线性质。
本文将重点论述导数的几何意义以及相应的应用。
一、导数的定义及计算在开始讨论导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义及计算方法。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过下式计算得出：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]根据这一定义，我们可以求得函数在任意一点处的导数值。
导数的计算可以采用一些常用的方法，如基本函数求导法则、链式法则、乘积法则和商法则等。
二、导数的几何意义1. 切线斜率导数的最直观的几何意义就是切线斜率。
当我们计算出函数在某一点的导数后，这个导数值便代表了函数曲线在该点处的切线斜率。
对于一个凸函数而言，导数可以告诉我们曲线在该点是上升还是下降，以及上升或下降的速度有多快。
2. 极值点导数在几何中还有一个重要的意义是寻找函数的极值点。
当函数在某一点的导数为0时，这一点可能是函数的极大值点或极小值点。
通过求导，我们可以找到函数在哪些点处可能存在极值，并进一步帮助我们寻找函数图像上的极值点，从而得出函数的极值。
3. 凹凸性函数图像的凹凸性也可以通过导数来判断。
当函数的导数在某一区间内始终大于0时，函数图像在该区间内是上凸的；而当导数在某一区间内始终小于0时，函数图像在该区间内是下凸的。
这种通过导数判断凹凸性的方法在优化问题中具有重要应用。
三、导数的应用导数的几何意义不仅在数学理论研究中起到关键作用，也在实际问题的求解中发挥了巨大的作用。
1. 最优化问题在经济学、物理学等领域中，最优化问题是非常常见的。
通过求解函数的导数，我们可以确定函数的最大值和最小值，从而帮助解决各种最优化问题。
导数的几何意义
导数的几何意义导数是微积分中的一个重要概念，它表示了函数的变化率。
导数的几何意义可以从两个方面来理解：一是导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率，二是导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
首先，我们来看导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率。
对于一条曲线上的任意一点P(x,y)，求该点处的导数，即可得到曲线在该点的切线斜率。
具体来说，如果一个函数f(x)在特定点x0处可导，那么它在该点的导数f'(x0)就是该点处曲线的切线斜率。
换言之，导数给出了函数在任意一点的变化速率。
对于单调递增的函数而言，导数始终为正；而对于单调递减的函数而言，导数始终为负。
当导数为零时，函数在该点处可能存在极值。
其次，导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
这可以通过导数定义中的极限来理解。
如果在其中一点x0处，函数f(x)的导数存在，那么可以用一个线性函数y=kx+b来近似描述原函数在该点的附近情况。
其中k为导数f'(x0)，b为函数曲线在该点处的切线与y轴的交点（截距）。
这个线性函数就称为原函数在x0附近的局部线性逼近。
这种线性逼近的好处是使得函数在其中一点的局部性质更加直观可见。
通过这两个几何意义的理解，我们可以得出导数在几何上的重要性。
首先，导数可以帮助我们了解函数在特定点的斜率，从而判断函数局部的增减变化规律，甚至找到函数的极值点，这对于解决很多实际问题具有重要意义。
其次，导数能够提供函数在其中一点附近的线性逼近，使得我们能够直观地了解函数的局部情况，进而推断函数在整个定义域上的特性。
这对于研究函数的全局性质也是至关重要的。
除了以上的几何意义，导数还有一些重要的应用。
例如，在物理学中，速度的导数就是加速度，加速度的导数就是速度的变化率。
在经济学中，导数可以表示商品的边际效用，即单位商品消费增加所带来的满足感的变化。
在工程学中，导数可以用来优化控制系统设计，通过最小化出错率来提高系统的性能。
导数的几何意义与应用
导数的几何意义与应用导数是微积分中的重要概念，它具有丰富的几何意义和广泛的应用。
本文将详细阐述导数的几何意义以及在实际问题中的应用。
一、导数的几何意义导数的几何意义是切线的斜率。
考虑函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)，这个导数值代表函数曲线在该点处的斜率。
换言之，导数告诉我们曲线在特定点的变化速率。
如果导数为正，表示曲线在该点处是上升的；如果导数为负，表示曲线在该点处是下降的；如果导数为零，表示曲线在该点处有极值（最大值或最小值）。
基于这个几何意义，我们可以通过导数来研究曲线的特性。
例如，我们可以通过导数的正负来确定函数的增减性，也可以通过导数的零点来确定函数的极值点。
此外，导数还可以帮助我们理解曲线的弯曲程度。
曲线的弯曲程度与导数的变化率有关，较大的导数变化率表示曲线弯曲较陡峭，较小的导数变化率表示曲线弯曲相对平缓。
二、导数的应用1. 线性逼近导数的几何意义使得它在线性逼近问题中非常有用。
我们可以利用导数来构造一个称为切线的线性函数，用来近似曲线在该点的行为。
这种线性逼近方法在很多实际问题中被广泛应用。
例如，当我们需要确定一条曲线在某点的近似切线时，可以使用导数来计算该点处的切线斜率，并进一步确定切线方程。
2. 最优化问题导数在最优化问题中有重要的应用。
最优化问题涉及如何找到一个函数的最大值或最小值。
通过对函数求导，我们可以找到导数为零的点，即函数的极值点。
进一步分析导数的符号，可以确定函数的最大值或最小值。
这一方法在经济学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
3. 运动学问题导数在运动学中也有广泛的应用。
例如，我们可以通过对位移函数求导来得到速度函数，通过对速度函数再次求导得到加速度函数。
这种将导数应用于运动学问题的方法使得我们能够研究物体的速度和加速度变化。
这在物理学和工程学中对于研究物体的运动非常有用。
4. 统计学在统计学中，导数被用于估计和分析数据。
例如，在回归分析中，我们可以通过对观测数据进行拟合来得到一个最佳的函数。
提问，导数的几何意义是什么？
提问，导数的几何意义是什么？一·问题简述：1.导数的概念与几何意义是导数最基本的内容，导数产生的几何背景即是研究曲线的切线问题，因此导数的几何意义便是与切线相关的问题。
2.切线的概念我们并不陌生，早在初中我们就学会了求圆的切线。
然而圆毕竟是一种特殊的曲线，求解圆的切线采用的方法也是一种特殊的方法，而这种方法对一般的函数曲线并不通用，因此，探求一种更为一般的求切线方法便极为必要，这便为导数的诞生提供了需求的土壤。
3.函数在某点处的导数的几何意义是曲线在该点处切线的斜率，而我们探究的方式是通过割线的斜率进行无限逼近得到的，这里面蕴含了极限的思想。
4.导数的几何意义是高考必考的内容之一，主要涉及以下几种题型：（1）求函数在某点处的切线的斜率；（2）求在某点或者过某点处的切线方程；（3）已知切线方程，求参数的值或者求切点的坐标；（4）通过切线方程或者法线方程求函数的解析式等。
考查主要以选择题或填空题的形式出现，其难度一般在中档及以下。
二·函数的切线：下面通过极线的思想来定义一般函数曲线的切线。
三·导数的几何意义：对于可导函数，利用割线无限逼近切线，而割线斜率的极线即为切线的斜率。
数学上常常用简单的对象来刻画复杂的对象，比如我们用3.14来近似代替圆周率。
这里我们用曲线上某点处的切线来近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲。
四·与导数几何意义相关的高考试题：1·求切线的斜率：2·求切线的方程：3·求参数的值：4·求切点的坐标：值得说明的是，导数除了几何意义之外，还有物理意义，当然这也是源自于导数产生的物理背景，感兴趣的可以自行查阅相关资料，在此不作赘述。
以上，祝你好运。
导数的几何意义解析与归纳
导数的几何意义解析与归纳导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在几何学中也有着重要的几何意义。
本文将对导数的几何意义进行解析与归纳，以帮助读者更好地理解这一概念。
1. 导数的定义与几何意义首先，我们来回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下极限来定义：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h直观上，这个定义可以理解为函数f(x)在点x处的切线的斜率。
这意味着导数可以描述函数在某一点的变化趋势。
2. 导数与函数的递增与递减性根据导数的定义，我们可以得出以下结论：如果函数f(x)在某个区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，那么函数是递减的。
这是因为导数描述了函数的变化率，正值表示函数在该点上升，负值表示函数在该点下降。
3. 导数与函数的极值点导数还可以帮助我们找到函数的极值点。
如果函数f(x)在某一点x处的导数为零，那么这个点可能是一个极值点。
具体而言，如果导数由正变负，那么这个点是极大值点；如果导数由负变正，那么这个点是极小值点。
这是因为导数为零表示函数的变化率为零，也就是函数在该点存在水平切线，可能对应着极值点。
4. 导数与函数的拐点除了极值点，导数还能帮助我们找到函数的拐点。
拐点是函数曲线由凸变凹或由凹变凸的点。
我们可以通过导数的变化来判断函数的拐点。
如果函数f(x)在某一点x处的导数由正变负或由负变正，那么这个点可能是一个拐点。
5. 导数与函数的图像在坐标平面上，函数的导数可以帮助我们画出函数的图像。
我们可以通过导数的正负性来确定函数曲线的大致形状。
例如，如果导数在某一区间内始终为正，则函数在该区间上是递增的，曲线会向上凸起；如果导数在某一区间内始终为负，则函数在该区间上是递减的，曲线会向下凸起。
同样地，我们还可以根据导数为零或无定义的点来确定函数图像的特殊点，如极值点、拐点等。
导数的概念和几何意义
导数的概念和几何意义导数是数学分析中的一个重要概念，广泛应用于各个学科领域中。
它不仅有着重要的理论意义，也具有丰富的几何意义。
首先，我们来了解导数的概念。
在数学上，导数可以理解为函数在其中一点上的变化率。
具体而言，设函数$y=f(x)$在其中一点$x_0$的邻近有定义，那么函数在此点的导数可以定义为：$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$ 表示自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量。
这个极限值即为导数。
在几何意义上，导数可以理解为函数图像上其中一点切线的斜率。
具体而言，设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数为$k$，那么在点$(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率为$k$。
这意味着，切线的斜率描述了函数在该点的变化趋势。
如果导数为正，代表函数在该点上升；如果导数为负，代表函数在该点下降；如果导数为零，代表函数在该点取得极值。
以一个简单的例子来说明导数的几何意义。
考虑函数$y=x^2$，我们可以求得其在点$x_0$处的导数为$2x_0$。
这个导数可以看做是函数$y=x^2$在点$x_0$处的切线的斜率。
比如，在点$(1,1)$处，导数为$2$，那么切线的斜率为$2$。
我们可以绘制出函数曲线$y=x^2$，并在点$(1,1)$处绘制出斜率为$2$的切线。
通过这条切线，我们可以近似描述函数$y=x^2$在点$(1,1)$处的局部行为。
导数的几何意义还可以通过函数图像的凹凸性来解释。
如果函数在其中一区间上的导数始终为正（或始终为负），则函数在该区间上单调递增（或单调递减）。
如果函数在其中一区间上的导数变号，则函数在该区间上存在极值点。
此外，如果函数在其中一点的导数为$0$，则函数在该点可能存在极值点，或者函数在该点处具有水平切线。
另外，导数还可以用于判断函数的连续性。
导数的几何意义的理解与应用
导数的几何意义的理解与应用1、几何意义:)(x f 在0x x =处导数)(0'x f 即为)(x f 所表示曲线在0x x =处切线的斜率,即)(0'x f k =,也就是xx f x x f ∆-∆+)()(00当x ∆无限趋近于0时,比值接近某个常数. 切线方程为:))(()(00'0x x x f x f y -=-.2、作用:确定0x x =处切线的斜率(在已知)(x f 表达式的情况下),从而确定切线方程.3、理解导数的几何意义应注意（1）利用导数求曲线的切线方程：①求出y f (x)=在0x 处的导数0f '(x )；②利用直线方程的点斜式得切线方程000y y f '(x )(x x )-=-（2）若曲线y f (x)=在点00P(x ,f (x ))处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直。
（3）显然0f '(x )0>时，切线的倾斜角为锐角；0f '(x )0<时，切线的倾斜角为钝角；0f '(x )0=，切线与x 轴平行。
（4）求曲线的切线方程时要注意“过点P 的切线”与“点P 处的切线”的差异：在求过点P 的切线时，点P 不一定是切点，点P 也不一定在曲线上，这时需要设切点。
4、应用举例例1、求曲线2y x =在点(1,1)处的切线方程。
分析：要求在点(1,1)处的切线方程，只需求出切线的斜率。
由导数的几何意义知，其斜率为f '(1)，为此只需求出曲线在点(1,1)处的导数。
解：因为2y f (1x)f (1)(1x)12x x x x∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆，当x ∆无限趋近于0时，2x +∆无限趋近于2，即f '(1)2=，所以所求切线的斜率为2，故所求切线方程为y 12(x 1)-=-，即y 2x 1=-。
点评：利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤；（1）求出函数y f (x)=在点0x 处的导数0f '(x )；（2）根据直线的点斜式方程，得切线方程为000y y f '(x )(x x )-=-。
导数的几何意义及导数公式
导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。
导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。
本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。
一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。
而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。
导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。
如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。
导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。
2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。
如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。
导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。
通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。
二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。
下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。
2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
这是指数函数的导数公式。
3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。
- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。
-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。
- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
导数的几何意义与计算
导数的几何意义与计算导数是微积分中的重要概念，它既有几何意义，也有计算方法。
在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率，而在计算上，导数代表了函数的变化率。
一、导数的几何意义：在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处可导。
则函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数图像在点(x=a,f(a))处的切线的斜率。
这也可以理解为函数f(x)在点x=a处的瞬时变化率。
对于曲线上的任意一点，导数给出了曲线在该点处的瞬时变化情况。
以函数y=x^2为例，我们可以计算出其在点(1,1)处的导数。
首先，我们求得函数在该点的切线方程，即y-1=2(x-1)，然后求出斜率为2，表示函数在该点附近变化的速率。
在图像上，可以看到切线的斜率为正，说明函数在该点的右侧局部增加。
二、导数的计算：导数的计算方法有很多种，下面介绍两种常见的计算方法：导数定义和导数的基本公式。
1.导数定义：导数的定义是通过函数的极限来计算的。
设函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在点x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x)-f(a)] / (x-a)也就是说，导数f'(a)是函数f(x)在x=a处的极限值。
以函数y=x^2为例，我们来计算其在点x=1处的导数。
根据导数定义，我们有：f'(1) = lim(x->1) [x^2-1] / (x-1)= lim(x->1) (x+1)=2所以函数y=x^2在点x=1处的导数为22.导数的基本公式：导数的基本公式可以通过一些公式和规则直接计算导数，而不需要通过极限的定义。
下面是几个常用的导数公式：(1)常数规则：若c是一个常数，则导数f(x)=c的结果为0。
(2)幂规则：若f(x)=x^n，其中n是一个非零常数，则导数f'(x)=n*x^(n-1)。
导数的几何意义和物理意义
导数的几何意义和物理意义导数是微积分学中的重要概念，它具有丰富的几何意义和物理意义。
本文将分别从几何和物理两个角度，详细探讨导数的几何意义和物理意义。
一、导数的几何意义导数在几何中有着重要的意义。
在几何上，导数表示了函数曲线在某一点上的切线斜率。
具体来说，对于函数f(x)，如果在点x=a处存在导数，那么导数f'(a)就是函数曲线在该点上的切线的斜率。
切线斜率的意义在于它反映了函数曲线的变化速率。
当函数的导数为正时，表示函数在该点上递增；当函数的导数为负时，表示函数在该点上递减；而导数等于零时，表示函数在该点上取得极值。
利用导数，我们可以精确地描述函数曲线的变化趋势。
此外，导数还可以用来计算函数曲线在某一点的局部变化率。
例如，当我们求解速度函数的导数时，得到的导数表示了物体在该时刻的瞬时加速度。
这就引出了导数在物理意义方面的应用。
二、导数的物理意义导数在物理学中有着广泛的应用，其中最为常见的是它对位移、速度和加速度的描述。
1. 位移：对于一维运动而言，物体在某一时刻的位移可以表示为位移函数的导数。
例如，当我们求解位移函数的导数时，得到的导数就表示了物体在该时刻的瞬时速度。
2. 速度：速度是指物体在单位时间内所改变的位移，它是位移关于时间的导数。
具体而言，速度函数的导数表示了物体在某一时刻的瞬时加速度。
3. 加速度：加速度是指物体在单位时间内所改变的速度，它是速度关于时间的导数。
当我们求解速度函数的导数时，得到的导数表示了物体在该时刻的瞬时加速度。
通过上述例子可以看出，导数在物理学中的应用十分广泛。
它不仅可以描述物体的运动状态，还可以帮助我们分析运动规律，解决各种与运动相关的问题。
结论综上所述，导数具有重要的几何意义和物理意义。
从几何上看，导数表示了函数曲线在某一点上的切线斜率，反映了函数曲线的变化速率；从物理上看，导数用于描述位移、速度和加速度等与运动相关的概念。
通过对导数的研究和应用，我们可以深入理解函数的特性和物体的运动规律，为实际问题的解决提供了有力的工具和方法。
导数的几何意义
导数的几何意义导数，这个看似抽象的数学概念，实际上具有非常具体的几何意义。
了解导数的几何意义，对于我们理解函数的变化趋势、速度以及切线的斜率等问题具有极大的帮助。
让我们了解一下导数的基本定义。
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的斜率。
在几何上，斜率是描述直线与x轴夹角的一种方式，它表示直线上升或下降的速度。
因此，导数的几何意义可以看作是函数图像在某一点的切线斜率。
然而，导数并不仅仅表示斜率。
它还可以描述函数在某一点的变化趋势。
例如，如果一个函数在某一点的导数为正，那么函数在该点附近的图像将向上倾斜，表明函数值将增加；反之，如果导数为负，函数值将减少。
导数还可以用来解决实际生活中的问题。
例如，我们可以使用导数来研究物体的运动规律。
在物理学中，速度是位移对时间的导数，加速度则是速度对时间的导数。
通过研究物体的加速度和速度的变化，我们可以预测物体的运动轨迹。
导数是数学中一个非常重要的概念，它具有丰富的几何意义。
通过理解导数的几何意义，我们可以更好地理解函数的变化趋势、速度以及切线的斜率等问题，从而更好地解决实际生活中的问题。
HPM视角下“导数几何意义”的教学一、引言在数学教学过程中，如何帮助学生理解导数的几何意义是教师面临的一个重要任务。
HPM（History and Problem of Mathematics，数学的历史与问题）视角为这一任务提供了新的思路和方法。
本文旨在探讨如何利用HPM视角来优化“导数几何意义”的教学。
二、HPM视角下的导数教学1、追溯历史：从微积分的发展史中，我们可以看到导数的出现是数学发展的必然结果。
教师可以通过讲述微积分的历史背景，帮助学生理解导数的重要性和必要性。
2、问题导向：通过提出与导数相关的问题，如“导数描述了什么现象？”、“导数在几何上的表现是什么？”等，引导学生主动思考，探索问题的答案。
3、几何解释：导数的几何意义在于描述函数在某一点处的切线斜率。
教师可以通过绘制函数图像，帮助学生直观地理解这一点。
导数的几何意义及常用函数的导数
上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为
－()＝′()(－)；若已知点不在切线上,则设出切
点(, ()),表示出切线方程,然后求出切点.
学习目标
常见函数的导数
1.掌握常见函数的导数公式.
2.灵活运用公式求某些函数的导数.
要点二
利用导数公式求函数的导数
= ;
解
′＝(－)′＝－－；
=
解
′
=
;
′
=
′
=
−
()＝log.
解
′ = ′ =
;
=
;
跟踪演练
跟踪演练2 求下列函数的导数：
= ; = () ;
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,
二是注意函数符号的变化.
下节课再见 谢谢！
两点,求与直线平行的曲线＝的切线方程.
解
∵ ′＝()′＝,设切点为(, ),
则′|＝＝,
−
又∵的斜率为 = +=1,而切线平行于
∴ = = ,即 = ,
所以切点为
,
.
∴所求的切线方程为 − = − ,即 − − = .
fx0＋Δx－fx0
＝f′(x0),物理意义是运动
Δx
物体在某一时刻的瞬时速度.
的斜率,即 k＝Δx
lim
→0
课堂小结
2.“ 函 数 () 在 点 处 的 导 数 ” 是 一 个 数 值 , 不 是 变
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数是微积分中的一个重要概念，它不仅在数学中有着重要的作用，同时也具有丰富的几何意义。
本文将探讨导数的几何意义，并从几何的角度解释导数的概念及其应用。
一、导数的定义及其几何意义导数可以用极限的方法定义为函数在某一点处的斜率。
具体来说，对于函数f(x)，如果在点x处的导数存在，则导数可以表示为：f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h从几何的角度来解释，导数代表了函数在该点处的切线斜率。
函数的图像在任意一点处的斜率可以用导数来计算。
二、导数与函数图像之间的关系1. 导数与函数的增减性给定一个函数f(x)，如果在某一区间内导数为正，说明函数在该区间内是递增的；若导数为负，则函数在该区间内是递减的。
当导数为零时，函数存在极值点。
2. 导数与函数的凸凹性函数的图像在某一点处凸起（开口向上）时，该点的导数为正；反之，函数在某一点处凹陷（开口向下），该点的导数为负。
3. 导数与函数的位置和曲线的切线通过导数的值和符号，可以确定函数图像在某一点的位置和该点处的切线的斜率。
当导数为零时，函数图像相对于x轴达到极值，切线斜率为零；当导数不存在时，函数图像在该点处出现尖点或间断，不存在切线。
三、导数的应用场景1. 切线方程导数可以帮助我们确定函数图像上任意一点处的切线方程。
通过求解导数，可以得到切线的斜率，再结合给定点的坐标，可以得到切线的方程。
2. 曲线的拐点导数的零点可以帮助我们找到函数图像上的拐点。
当导数在某一点处从正变为负或者从负变为正时，说明函数图像在该点存在拐点。
3. 函数的极值问题通过求导数，我们可以得到函数的极值点。
导数为零的点可能是函数的极大值点或者极小值点，通过二阶导数的符号可以帮助我们判断。
四、总结导数在几何中的意义非常重要，它不仅可以帮助我们理解函数图像的性质，还可以应用于求解切线方程、拐点和极值等问题。
通过几何的角度理解导数，我们可以更深入地掌握微积分知识，并将其应用于实际问题解决中。
导数的概念几何意义与运算
导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。
对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。
导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。
导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。
二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。
特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。
2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。
导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。
3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。
导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。
三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。
2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。
四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。
二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。
导数的几何意义与像解析
导数的几何意义与像解析导数是微积分中的重要概念之一，它不仅在数学中有着重要的应用，也在几何学中具有重要的意义。
本文将探讨导数的几何意义以及如何通过像解析来理解导数。
一、导数的几何意义导数可以理解为函数在某一点上的斜率或者切线的斜率。
具体而言，函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数在该点处的切线的斜率。
通过几何意义来理解导数，我们可以将导数看作是函数曲线在某一点处的切线的斜率。
这表示了函数在该点的变化率，即函数在该点附近的局部斜率。
当导数为正时，表示函数逐渐增加；当导数为负时，表示函数逐渐减少；当导数为零时，表示函数的变化趋于平缓。
例如，考虑函数f(x) = x^2，在x=1处的导数f'(1)为2。
这意味着函数在x=1处的切线的斜率为2，即切线与x轴的夹角为45度。
可以想象，随着x的增加，函数的值以一个较大的斜率逐渐增加。
二、像解析像解析是一种将几何图形转化为代数表达式的方法，通过像解析，我们可以将几何问题转化为代数问题，从而更好地理解导数的几何意义。
像解析的主要思想是将几何图形中的点的坐标表示为代数形式。
在几何问题中，点的坐标通常采用(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
而在导数的几何意义中，我们需要将点的坐标表示为函数的表达式。
举例说明，考虑函数f(x) = x^2，在点x=a处的导数f'(a)表示函数在该点处的切线的斜率。
通过像解析，我们可以将切线的斜率表示为函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的表达式。
具体操作如下：首先，我们需要计算导数f'(x)的表达式，对于函数f(x) = x^2，导数f'(x) = 2x。
然后，将x的值替换为a，即得到导数f'(a)的表达式，即f'(a) = 2a。
因此，函数f(x) = x^2在点x=a处的切线的斜率为2a。
像解析的方法可以帮助我们更好地理解导数的几何意义，将几何问题转化为代数问题，从而更加灵活地应用导数的概念。
导数的几何意义
导数的几何意义导数是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理领域中有着广泛的应用。
导数的几何意义是指导数在几何学中的解释和应用。
本文将从几何的角度解释导数的意义，并探讨它在几何领域中的应用。
一、导数的定义在探讨导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义。
在微积分中，导数代表了函数在某一点上的变化率。
对于函数 f(x)，它的导数可以表示为 f'(x)或者 dy/dx。
导数的定义是函数在某一点上的极限值，即：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)] / h这个定义告诉我们，导数是函数在某一点上的瞬时变化率。
接下来，我们将从几何的角度来解释导数的几何意义。
二、几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。
具体来说，如果函数 f(x) 在点 P 上的导数为 f'(x)，那么这意味着函数曲线在点 P 上的切线的斜率为 f'(x)。
根据这一几何意义，我们可以得出一些结论。
首先，如果函数在某一点上导数为正，那么函数曲线在该点上是向上的；如果导数为负，曲线则向下。
其次，导数为零的点则代表函数曲线上的极值点，可能是极大值或者极小值。
最后，如果导数不存在，意味着函数曲线在该点上有垂直切线。
三、导数的应用导数的几何意义不仅仅是理论上的解释，它在几何领域中有着广泛的应用。
以下是一些导数的具体应用示例：1. 曲线的切线和法线：通过导数可以得出函数曲线在某点上的切线斜率，从而求得切线方程。
同时，切线的斜率的相反数就是法线的斜率，可以进一步求得法线方程。
2. 极值点与拐点：导数为零的点代表函数曲线上的可能极值点，通过求解导函数为零的方程可以找到极值点。
同时，通过导数的变化情况可以判断函数曲线上的拐点。
3. 函数图形的草图绘制：通过分析导数的正负和零点，可以画出函数图形的大致形态，包括增减性、极值和拐点等信息。
4. 空间曲面的切平面：对于二元函数，通过求偏导数可以得到切平面的方程，从而进一步研究空间曲面的性质。
高中数学《导数的几何意义》导学案
第一章 导数及其应用 1.3导数的几何意义一、【学习目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；并会用导数的几何意义解题；【重点、难点】教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．二、学习过程【情景创设】我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？【导入新课】（1）曲线的切线及切线的斜率：当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.（2）导数的几何意义：(1)切线的概念:对于割线PPn,当点Pn 趋近于点P 时,割线PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置的_______称为点P 处的切线.(2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x 0处的导数就是切线PT 的斜率k,即k= =f ′(x 0).说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.【典例分析】例1.求函数f (x )=x x +-2在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例2.求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.解：例3．求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.解：【变式拓展】1.若曲线f(x)=x 2的一条切线l 与直线x+4y-8=0垂直,求切线l 的方程解:2.求抛物线y=f(x)=2x 2-x 在(1,1)点处的切线斜率.解:三、学习总结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义四、随堂检测1.已知抛物线y=f(x)=x 2+3与直线y=2x+2相交,求它们交点处的切线方程.解:2.设P 为曲线C:y=x 2+2x+3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]2,4[ππ,求点P 横坐标的取值范围。
导学案：导数的几何意义
导数的几何意义学习目标：（1）理解导数的几何意义；（2）会求曲线在某点的切线斜率及切线方程。
（3）会求过某点的切线方程旧知识复习：导数：函数()x f y =在点的瞬时变化率，通常称为在点处的 ，并记作 。
这时又称在点处是 。
记作当 时， 或 。
如果在开区间内 都是可导的，则称在区间 。
这样，对开区间内每个值x ，都对应一个 的导数。
于是，在区间内，构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()x f y =的 。
记为 或 （或 ）。
导函数通常简称为导数。
基本概念：导数的几何意义：曲线()x f y =在点()()00,x f x 的切线的斜率等于 。
基本练习：1、求抛物线2x y =在点的切线的斜率。
2、求双曲线在点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,2的切线方程。
3、求抛物线2x y =过点⎪⎭⎫ ⎝⎛6,25的切线方程。
问题讨论：问题：如何理解导数的几何意义？课后作业：1、已知曲线2x y =，分别求出曲线在点()09.0,3.0，，的切线的斜率。
2、求下列曲线在给定点的切线的斜率：（1）22x y =，；（2）12+=x y ，；（3）53-=x y ，；（4），。
3、已知曲线12-=x y 和其上一点，这点的横坐标为，求曲线在这点的切线方程。
4、设点()00,y x 是抛物线432++=x x y 上一点，求抛物线在点()00,y x 的切线方程。
高考原题：1、与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方是 。
2、已知直线01=--y x 与抛物线2ax y =相切，则 。
3、曲线和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 。
4、函数()x f y =的图象在点()()1,1f M 处的切线方程是221+=x y ，则()()=+1'1f f 。
高中数学《导数的几何意义》导学案
1．1.3导数的几何意义1．割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝□01f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的□02切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝□03limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的□04斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是□05 f′(x0)．相应地，切线方程为□06y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．3．函数的导数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的□07导函数(简称□08导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝□09lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．(2)导函数：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.(3)导函数也简称导数．(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相同．()(2)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)函数f(x)＝0没有导函数．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为________．(2)若函数f(x)在点A(1,2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．(3)函数f(x)＝x2＋1的导数f′(x)＝________.答案(1)45°(2)x＋y－3＝0(3)2x探究1求切线方程例1求曲线y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．[解]易证得点P(1,2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3.ΔyΔx＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2.当Δx无限趋近于0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2无限趋近于3x2＋2，即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5.故点P处的切线斜率为k＝5.所以点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.[条件探究]将本例中的在点P(1,2)改为过点Q(0,1)，结果会怎样？[解]∵点Q不在曲线上，∴设切点坐标为(x0，y0)．由本例知k＝f′(x0)＝3x20＋2，切线方程为y－y0＝(3x20＋2)(x－x0)．又∵切线过点Q(0,1)，∴1－y0＝(3x20＋2)(0－x0)．又∵y0＝x30＋2x0－1得x30＝－1，即x0＝－1，∴切线方程为5x－y＋1＝0.拓展提升利用导数的几何意义求切线方程的分类(1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程．(2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程．【跟踪训练1】已知曲线C：f(x)＝x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；(2)求过点(1,1)与f(x)＝x3相切的直线．解(1)∵f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0(Δx)3＋3x2·Δx＋3x·(Δx)2Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.(2)设切点为P(x0，x30)，由(1)知切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20， 故切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)．又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1－x 30＝3x 20(1－x 0)，即2x 30－3x 20＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴k ＝3或k ＝34. 故所求的切线方程为y －1＝3(x －1)或y －1＝34(x －1)， 即3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0. 探究2 利用导数求切点坐标例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2上哪一点的切线． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0. [解] 因为f (x )＝x 2，所以f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点． (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝4，即P (2,4)是满足条件的点． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直， 所以2x 0·13＝－1，得x 0＝－32，y 0＝94， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94是满足条件的点．[结论探究] 在本例中，过曲线上哪一点的切线倾斜角为135°. [解] 由例题解析过程知f ′(x )＝2x ， 因为倾斜角为135°，所以其斜率为－1. 即2x 0＝－1，得x 0＝－12，y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14是满足条件的点．拓展提升利用导数求切点坐标的解题步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0；(5)由于点(x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，将x 0代入求y 0得切点坐标．【跟踪训练2】 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°； (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0； (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0. 解 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4x 0＋2Δx .当Δx 无限趋近于零时，ΔyΔx 无限趋近于4x 0，即f ′(x 0)＝4x 0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直，∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)． 探究3 导数几何意义的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值．[解] 因为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3，所以Δy Δx ＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 所以f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝3x 20＋2ax 0－9，所以f ′(x 0)＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 32－9－a 23.因为斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行， 所以该切线斜率为－12.所以－9－a 23＝－12， 解得a ＝±3，又a <0，所以a ＝－3. 拓展提升(1)导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，利用题目所给的斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等已知条件求解题目．此处常与函数、不等式等知识点结合．(2)本题需要根据已知条件求出原函数在x 0处的导数f ′(x 0)并求出其最小值，建立等量关系求出a 的值，再根据a <0这一条件对结果进行取舍．【跟踪训练3】 已知点M (0，－1)，F (0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线C 的方程． 解 (1)因为y ′＝lim Δx →0ΔyΔx＝13(x ＋Δx )3－4(x ＋Δx )＋4－13x 3＋4x －4Δx ＝x 2－4，所以y ′|x ＝2＝0，所以直线l 的斜率为0，其直线方程为y ＝－1.(2)因为抛物线以点F (0,1)为焦点，以直线y ＝－1为准线，所以设抛物线方程为x 2＝2py ，则p2＝1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y .1.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： 第一步：求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)；第二步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 注意：若在点(x 0，f (x 0))处切线l 的倾斜角为π2，此时切线平行于y 轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x ＝x 0.2.函数的导数，是对某一区间内任意一点x 而言的，就是函数f (x )的导数f ′(x )．函数y ＝f (x )在x 0处的导数，就是导函数f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值.1．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x －y ＋1＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)<0 C ．f ′(x 0)>0 D ．f ′(x 0)不确定答案 C解析 因为曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的导数就是切线的斜率，又切线2x －y ＋1＝0的斜率为2，所以f ′(x 0)>0.2．某堆雪在融化过程中，其体积V (单位：m 3)与融化时间t (单位：h)近似满足函数关系：V (t )＝H ⎝ ⎛⎭⎪⎫10－110t 3(H 为常数)，其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v －(m 3/h)，观察图象可知瞬时融化速度等于v －(m 3/h)的时刻是图中的( )A ．t 1B ．t 2C ．t 3D ．t 4 答案 C解析 如图所示，平均融化速度实际上是点A 与点B 连线的斜率k ； 瞬时融化速度的几何意义就是曲线V (t )在某时刻的切线斜率，通过对比，t 3时刻曲线的切线斜率与k 相等，故瞬时融化速度等于v －(m 3/h)的时刻是t 3.3．曲线y ＝x 2在x ＝0处的切线方程为________． 答案 y ＝0解析 f ′(x )＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x 2Δx＝lim Δx →02x ·Δx ＋Δx 2Δx＝2x ，所以f ′(0)＝0，故切线方程为y ＝0.4．设函数f (x )＝ax ＋3，若f ′(1)＝3，则a 等于________． 答案 3解析 ∵f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ，∴f ′(1)＝a ＝3.5．已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3,9)的切线方程． 解 y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →02(x ＋Δx )2－7－(2x 2－7)Δx＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x .因为2×32－7＝11≠9，所以点P (3,9)不在曲线上． 设所求切线的切点为A (x 0,2x 20－7)，则切线的斜率k＝4x0.又因为点P(3,9)，A(x0,2x20－7)都是切线上的点，所以k＝2x20－7－9x0－3＝4x0，解得x0＝2或x0＝4.当x0＝2时，k＝8，切点为(2,1)，切线方程为y－1＝8(x－2)，即8x－y－15＝0；当x0＝4时，k＝16，切点为(4,25)，切线方程为y－25＝16(x－4)，即16x－y－39＝0.故所求的切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.A级：基础巩固练一、选择题1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A．f′(x0)>0 B．f′(x0)＝0C．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在答案 C解析根据导数的几何意义f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点x0处切线的斜率，由于切线斜率k＝－2<0，所以f′(x0)<0.2．已知曲线y＝12x2－2上一点P⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，则过点P的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°答案 B解析因为y＝12x2－2，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫x＋12Δx＝x，所以过点P的切线的斜率为1，所以过点P的切线的倾斜角为45°.3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是() A．(1,1) B．(－1,1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8)答案 C解析因为y＝x3，所以y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0答案 D解析由导数定义可得y′＝2x.∵抛物线y＝x2的切线与直线2x－y＋4＝0平行，∴y′＝2x＝2，∴x＝1，即切点为(1,1)，∴所求切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.5．函数f(x)的图象如图所示，下列排序正确的是()A．0<f′(2)<f′(3)<f′(4)B．0<f′(3)<f′(4)<f′(2)C．0<f′(4)<f′(3)<f′(2)D．0<f′(2)<f′(4)<f′(3)答案 C解析由导数的几何意义可知，函数f(x)在点x0处的导数即为曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，又由图象可知曲线f(x)在x＝2,3,4处的切线的斜率逐渐减小，所以f′(2)>f′(3)>f′(4)，故选C．6．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则b的值为() A．3 B．－3 C．5 D．－5答案 A解析注意点(1,3)既在直线上，又在曲线上．由于y′＝limΔx→0 (x＋Δx)3＋a(x＋Δx)＋b－(x3＋ax＋b)Δx＝3x2＋a，所以y′|x＝1＝3＋a＝k，将(1,3)代入y＝kx＋1，得k＝2，所以a＝－1，又点(1,3)在曲线y＝x3＋ax＋b上，故1＋a ＋b＝3，又由a＝－1，可得b＝3，故选A．二、填空题7．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，则f(4)＋f′(4)＝________.答案－1解析由题意，f′(4)＝－2，f(4)＝－2×4＋9＝1，因此，f(4)＋f′(4)＝－2＋1＝－1.8．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________.答案 2解析limΔx→0a(1＋Δx)2－aΔx＝limΔx→0(a·Δx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1.又3＝a×12＋b，∴b＝2，即ba＝2.9．y＝f(x)，y＝g(x)，y＝α(x)的图象如图所示：而如图是其对应导数的图象：则y＝f(x)对应________；y＝g(x)对应________；y＝α(x)对应________．答案B C A解析由导数的几何意义，y＝f(x)上任一点处的切线斜率均小于零且保持不变，则y＝f(x)对应B．y＝g(x)上任一点处的切线斜率均小于零，且在起始部分斜率值趋近负无限，故y＝g(x)对应C．y＝α(x)图象上任一点处的切线斜率都大于零，且先小后大，故y＝α(x)对应A．三、解答题10．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．解设曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)处的斜率为k，则k＝y′|x＝1＝limΔx→03(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2Δx＝limΔx→0(3Δx＋2)＝2.设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式得l的方程为y－2＝2(x＋1)，化为一般式为2x－y＋4＝0，所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.B级：能力提升练11．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a>0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．解因为ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝a(1＋Δx)＋1a(1＋Δx)＋b－⎝⎛⎭⎪⎫a＋1a＋bΔx＝a2(1＋Δx)－1 a(1＋Δx)，所以limΔx→0a2(1＋Δx)－1a(1＋Δx)＝a2－1a＝32，解得a＝2或a＝－12(不符合题意，舍去)．将a＝2代入f(1)＝a＋1a ＋b＝32，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.12．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形面积．解(1)y′|x＝1＝limΔx→0(1＋Δx)2＋(1＋Δx)－2－(12＋1－2)Δx＝3，所以l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，y′|x＝b＝limΔx→0(b＋Δx)2＋(b＋Δx)－2－(b2＋b－2)Δx＝2b＋1，所以l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)·(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以3×(2b＋1)＝－1，所以b＝－23，所以l2的方程为y＝－13x－229.(2)由⎩⎨⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52，即l 1与l 2的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16，－52，l 1，l 2与x 轴交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0，所以所求三角形面积S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512.。
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导数的几何意义 课前预习学案
预习目标：导数的几何意义是什么？
（预习教材P 78~ P 80，找出疑惑之处）
复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率y
k x
∆==∆ 复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.
记作：当x ∆ 时， →l 上课学案
学习目标：
通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知道导数的概念并会运用概念求导数.
学习重难点： 导数的几何意义 学习过程：
学习探究
探究任务：导数的几何意义
问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？
新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限
位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线 割线的斜率是：n k =
当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导
数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()
lim ()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆
新知：
函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.
即k =000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
典型例题
例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图
象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.
例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
有效训练
练1. 求双曲线1y x =
在点1
(,2)2
处的切线的斜率,并写出切线方程. 练2. 求2y x =在点1x =处的导数. 反思总结
函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
其切线方程为
当堂检测
1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 2
2. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+
3. ()f x 在0x x =可导，则000()()
lim h f x h f x h
→+-（ ）
A ．与0x 、h 都有关
B ．仅与0x 有关而与h 无关
C ．仅与h 有关而与0x 无关
D ．与0x 、h 都无关
4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为
5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则
000()()
lim
x f x x f x x
∆→-∆-∆= 课后练习与提高
1. 如图,试描述函数()f x 在x =5,4,2,0,1---附近的变化情况.
2．已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状
.
学校： 一中 学科：数学 编写人：由召栋 审稿人：张林
3.1.3导数的几何意义教案
教学目标：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，知
道导数的概念并会运用概念求导数.
教学重难点：函数切线的概念，切线的斜率，导数的几何意义 教学过程：
情景导入：如图,曲线C 是函数y=f(x)的图象,P(x 0,y0)是曲线C 上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P 邻近一点,PQ 为C 的割线,PM//x 轴,QM//y 轴,β为PQ 的倾斜角.
.tan ,,:β=∆∆∆=∆=x
y
y MQ x MP 则
y
x
∆∆请问：是割线PQ 的什么?
展示目标：见学案 检查预习：见学案
合作探究：探究任务：导数的几何意义
问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？
新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线
割线的斜率是：n k =
当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导
数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()
lim ()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆
新知：
函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.
即k =000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
精讲精练：
例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.
解:可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1) 当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降.
(2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) <0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减.
(3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) <0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减.
从图可以看出，直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在 l1 附近比在 l2 附近下降得缓慢。
例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)
有效训练
练1. 求双曲线1y x =
在点1
(,2)2
处的切线的斜率,并写出切线方程. 练2. 求2y x =在点1x =处的导数. 反思总结
函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
当堂检测
1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 2
2. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ） A ．41y x =-- B ．47y x =-- C ．41y x =- D ．47y x =+
3. ()f x 在0x x =可导，则000()()
lim h f x h f x h
→+-（ ）
A ．与0x 、h 都有关
B ．仅与0x 有关而与h 无关
C ．仅与h 有关而与0x 无关
D ．与0x 、h 都无关
4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为
5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则
000()()
lim
x f x x f x x
∆→-∆-∆= 其切线方程为
板书设计;略 作业布置：略。