高考数学一轮复习 20函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用限时检测新人教A版

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高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

/目录
01
目录
⁠
1.函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）
（A＞0，ω＞0）
振幅
周期
频率
A
2
T＝
ω
1
ω
f＝＝
T 2
相位
初相
ωx＋φ
φ
⁠
目录
2.用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图
用“五点法”画y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）一个周期内的简图时，要找
区间.如果已知图象上有最值点，最好代入最值点求解.
目录
⁠
1.如图，函数y＝ 3tan 2 +
△DEF的面积为
（
π
A.
4
π
B.
2
C.π
D.2π
π
6
的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则
）
解析：A 在y＝ 3tan 2 +
π
6
中，令x＝0，可得y＝1，所以D（0，1）；令y＝
π
π
0，解得x＝－（k∈Z），故E
,0
6
2
12
12
D. −
5π
,0
12
.
A.8π
π
−
2 6
1
图象上所有点的横坐标缩小到原来的，则所得函数的最
2
）
B.4π
C.2π
解析：C 所得函数解析式为y＝sin
π
−
6
D.π
，周期为2π.
目录
1
3
4.函数y＝ sin
3
2
1
答案：

高三数学一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用》

[第20讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用](时间：45分钟分值：100分)基础热身1．[2013·天津质检] 给定性质：a ：最小正周期为π；b ：图象关于直线x ＝π3对称．则下列四个函数中，同时具有性质ab 的是________．①y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6；②y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6； ③y ＝sin|x |；④y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 2．[2013·长春检测] 若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为________．3．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是________．4．已知函数f (x )＝a sin2x ＋cos2x (a ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝π12，则a 的值为________．能力提升5．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移23π个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．96．[2013·唐山一模] 函数y ＝sin3x 的图象可以由函数y ＝cos3x 的图象( )A ．向左平移π2个单位得到B ．向右平移π2个单位得到C ．向左平移π3个单位得到D ．向右平移π3个单位得到7．[2013·保定联考] 如果函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π28．[2013·课程标准卷] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0，2]9．[2013·黄冈高三期末] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，|φ|<π2的部分图象如图K20－1所示，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π12个单位长度10．[2013·郑州模拟] 已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图K20－2所示，则φ＝________.11．[2013·全国卷] 当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝________．12．若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，则ω的最小值为________． 13．[2013·云南检测] 若π4<x <π2，则函数y ＝tan2x tan 3x 的最大值为________．14．(10分)如图K20－3是某简谐运动的一段图象，它的函数模型是f (x )＝A sin(ωx＋φ)(x ≥0)，其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2.(1)根据图象求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的最大值和最小值．15．(13分)[2013·沈阳检测] 设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x ，1)，b ＝(cos x ，3sin2x ＋m )．(1)求函数f (x )的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为4，求m 的值．难点突破16．(12分)[2013·东北模拟] 如图K20－4是某简谐运动的一段图象，其函数模型是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ≥0)，其中A >0，ω>0，－π2<φ<π2.(1)根据图象求函数y ＝f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，实数α满足0<α<π，且⎠⎛απg(x)d x ＝3，求α的值．图20－4课时作业(二十)【基础热身】1．④ [解析] ④中，∵T ＝2π2＝π，又2×π3－π6＝π2，所以x ＝π3为其对称轴． 2.34 [解析] 由题意，得43π≤T 2，即43π≤πω，∴0<ω≤34，则ω的最大值为34. 3．5 [解析] 函数y ＝sin π2x 的周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少出现两个波峰，则t ≥54T ＝5.4.33 [解析] ∵x ＝π12是对称轴，∴f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，即cos0＝a sin π3＋cos π3，∴a ＝33. 【能力提升】5．B [解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)向右平移23π个单位长度得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －2πω3＋π3，所以－2πω3＝2k π，ωmin ＝3.选B. 6．A [解析] 本题主要考查三角函数图象的变换．属于基础知识、基本运算的考查．y ＝sin3x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋3x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，故函数y ＝cos3x 的图象向左平移π2个单位得到y ＝sin3x .7．A [解析] 由对称中心可知4π3×2＋φ＝π2＋k π，即φ＝π2＋k π－8π3＝(k －2)π－π6，显然当k ＝2时，|φ|min ＝π6，选A.8．A [解析] 因为当ω＝1时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是单调递减的，故排除B ，C 项；当ω＝2时，函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上不是单调递减的，故排除D 项．故选A.9．A [解析] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，为了得到g (x )＝sin2x 的图象，则只要将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，故选A.10.9π10 [解析] 由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为2⎝⎛⎭⎪⎫2π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，因此45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )．∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.11.5π6[解析] 本小题主要考查利用三角函数的两角和与差公式变形求最值，解题的突破口为化为振幅式并注意定义域．函数可化为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，由x ∈[0，2π)得x －π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π3，5π3，∴x －π3＝π2时，即x ＝5π6时，函数有最大值2，故填5π6.12.74[解析] 依题意，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所对应的函数是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋5π6－π3ω(ω>0)，它的图象与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象重合，所以5π6－π3ω＝π4＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝74－6k (k ∈Z )．因为ω>0，所以ωmin ＝74.13．－8 [解析] π4<x <π2，tan x >1，令tan 2x －1＝t >0，则y ＝tan2x tan 3x ＝2tan 4x 1－tan 2x＝2（t ＋1）2－t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2≤－8，当且仅当t ＝1t ，即t ＝1，即tan x ＝2时取等号，故填－8.14．解：(1)由函数图象及函数模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)知A ＝2；由2πω＝T ＝13π3－π3＝4π，得ω＝12，由最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫43π，2得，12×4π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， ∴φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，∴φ＝－π6.∴所求函数解析式为y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6(x ≥0)．(2)方法一：将y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到y ＝g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，∵π2≤x ≤π，∴π3≤x －π6≤5π6，当x －π6＝π2，即x ＝2π3时，g (x )有最大值2；当x －π6＝5π6，即x ＝π时，g (x )有最小值1.方法二：将y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到y ＝g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，令t ＝x －π6，∵函数y ＝2sin t 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，则A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3，∴函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上单调递增，同理可得，函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π上单调递减．又∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2，g (π)＝1， ∴函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上的最大值为2，最小值为1. 15．解：(1)∵f (x )＝a·b ＝2cos 2x ＋3sin2x ＋m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，故f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .因此f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，∵f (x )单调递增，∴当x ＝π6时，f (x )取得最大值为m ＋3，即m＋3＝4，解之得m ＝1，∴m 的值为1.【难点突破】16．解：(1)由函数图象及函数模型f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，知A ＝2；由12T ＝7π6－π6＝π，得T ＝2π， ∴ω＝2πT＝1，即f (x )＝2sin(x ＋φ)，把(0，－1)代入上式，得sin φ＝－12，∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π6，∴所求函数的解析式为y ＝f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.(2)由(1)知g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin x ，∵⎠⎛απg(x)d x ＝3，∴⎠⎛απ2sin x d x ＝－2cos x⎪⎪⎪ )πα＝－2cos π－(－2cos α)＝3，解得cos α＝12，又实数α满足0<α<π，则所求α的值为π3.。

高考一轮复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用

正确“列表、描点、连线”;(3)按照图象变换规律进行即可.
解析

(1)y=2sin(2x+)的振幅 A=2,周期 T= =π,初相φ=.

(2)令 X=2x+ ,则 y=2sin(2x+ )=2sin X.
高考总复习·数学（理科）
列表如下:
x

-
X
0
y=sin X
0

解析

数 f(x)的图象向左平移个长度单位后得到 g(x)=2cos[ω

(+)
]的图象,且

(x+ )+]=2cos[ωx+
(+)
=kπ,k∈Z,所以ω的最小值是

答案
1
1.
g(x)为偶函数,所以
高考总复习·数学（理科）
见《自学听讲》P74

已知函数 f(x)=5sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)满足
解析

+

由图象可以得出当 x=

= ,把 x= ,代入

f(x)=2sin(2x+φ)+1=1,得 sin(2× +φ)=0,从图象可以看出在该
点处图象往下走.

∴ +φ=π+2kπ,k∈Z,φ=2kπ+,又∵|φ|<,

∴φ= ,∴f(x)=2sin(2x+ )+1.

∞)
初相
φ
高考总复习·数学（理科）

19课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 (1)

课题：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用一、考点梳理：1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)， x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像的两种方法二、基础自测：1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82．把y ＝sin 12x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14D ．23．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位三、考点突破：考点一、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例1】 1.(2018·四川高考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π32．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2考点二、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像【例2】已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R . (1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？[类题通法] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．(2)图像变换法：由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．提醒：五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平移时两种平移的长度不同．考点三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用【例3】如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点， MD ·MN＝π218.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间．四、当堂检测1．(2018·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π42．(2018·全国卷Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________3.函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图像如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为五、课后巩固：1．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 2．(2018·全国大纲卷)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．23．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12D.324．(2018·福建)将函数f (x )＝sin (2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π65．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3， (12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．7.将函数y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍．这样得到函数f (x )的图像．若g (x )＝f (x )cos x ＋ 3.(1)将函数g (x )化成g (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 其中A ，ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的形式； (2)若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，θ0上的最大值为2，试求θ0的最小值．课题：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用一、考点梳理：1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像的两种方法二、基础自测：1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8 答案：A2．把y ＝sin 12x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14D ．2 答案：C3．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋12，∴只要将函数y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位即可． 4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0三、考点突破：考点一、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例1】 1.(2018·四川高考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：选A 由图知最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2，将图像最高点的坐标⎝⎛⎭⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，φ＝－π3，选A. 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 解析：选D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－56π，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2. [类题通法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.考点二、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像【例2】已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] (1)列表取值：描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像．x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3本例第(2)问变为：由函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像？解：把y ＝sin x 的图像上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像． [类题通法] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．(2)图像变换法：由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．提醒：五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平移时两种平移的长度不同． [针对训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________.解析：y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图像，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．∵其图像与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，∴φ－π＝π3－π2＋2k π，∴φ＝π3＋π－π2＋2k π.即φ＝5π6＋2k π.又∵－π≤φ<π，∴φ＝5π6.答案：5π62．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图像．解：(1)最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∴sin φ＝－32. ∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表：图像如图所示．考点三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用x 0 π6 512π 23π 1112π π 2x －π3－π3 0 π2 π 32π 53π f (x )121－112【例3】如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点， MD ·MN ＝π218. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)由已知F (0,1)是线段MD 的中点，可知A ＝2，∵MD ·MN ＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，∴T ＝2π3，ω＝3，∴f (x )＝2sin(3x ＋φ)，设D 点的坐标为(x D,2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D ，0)，∴x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－π12，0，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝0.∵0<φ<π2，∴φ＝π4， ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )． [类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x . 利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．[针对训练] 将函数y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍．这样得到函数f (x )的图像．若g (x )＝f (x )cos x ＋ 3.(1)将函数g (x )化成g (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 其中A ，ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的形式； (2)若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，θ0上的最大值为2，试求θ0的最小值．解：(1)由题意可得f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，∴g (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3cos x ＋3＝4⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x cos x ＋ 3 ＝2(sin x cos x －3cos 2x )＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，θ0，∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π2，2θ0－π3，要使函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π12，θ0上的最大值为2，当且仅当2θ0－π3≥π2，解得θ0≥512π.故θ0的最小值为512π.四、当堂检测1．(2018·浙江高考)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 解析：选A 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1. 2．(2018·山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4解析：选B 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.3.函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图像如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )A.π2B.π4C.π3D ．π解析：选A 由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠C ＝90°，∴12|AB |＝y max －y min ＝1－(－1)＝2，即|AB |＝4，而T ＝|AB |＝2πω＝4，解得ω＝π2，故选A. 4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可知：T 2＝⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－23π＝π3，则T ＝23π.∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.答案：35．(2018·安徽高考)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以当x ＋π6＝2k π－π2，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取最小值－ 3.此时x 的取值集合为xx ＝2k π－2π3，k ∈Z .(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f (x )的图像．五、课后巩固：1．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4解析：选A 由y ＝sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x . 2．(2018·全国大纲卷)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 由函数的图像可得T 2＝12·2πω＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，解得ω＝4. 3．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C.12D.32解析：选A 由函数f (x )的图像向左平移π6个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图像，因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 4．(2018·福建)将函数f (x )＝sin (2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6解析：选B 因为函数f (x )的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；又函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32，所以φ可以为5π6. 5.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图像经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案：626．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时， y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5.答案：20.57．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4. (2)图像如图所示．8．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.9.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．解：(1)由题中图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 2．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式．(2)在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不正在，请说明理由．解：(1)由T ＝2知2πω＝2得ω＝π.又因为当x ＝13时f (x )max ＝2，知A ＝2.且13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. (2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234.得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5. 故在⎣⎡⎦⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.。

高考数学函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的应用

例3 已知函数f(x)=sin+4cos2x,将函数f(x)的图像先向右平移个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到函数g(x)的图像.(2)求函数g(x)在区间上的单调递减区间及取值范围.
课堂考点探究
[思路点拨]根据≤x≤可得≤2x-≤,由此讨论函数g(x)的单调区间和取值范围.
例3 已知函数f(x)=sin+4cos2x,将函数f(x)的图像先向右平移个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到函数g(x)的图像.(2)求函数g(x)在区间上的单调递减区间及取值范围.
课堂考点探究
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变式题 (1)(多选题)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图4-25-4所示,则下列结论正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)图像的一条对称轴为直线x=C.函数f(x)的单调递减区间为,k∈ZD.当x∈时,函数f(x)的取值范围为
课前基础巩固
[解析]将(0,1)代入函数f(x)的解析式,可得2sin φ=1,即sin φ=.因为|φ|<,所以φ=.
例1 (1)(多选题)为得到函数y=cos的图像,只需将y=cos 2x的图像上所有的点( ) A.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位长度C.向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)D.向右平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
图4-25-4
课堂考点探究
(2)[2021·全国甲卷] 已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图像如图4-25-5所示,则满足条件>0的最小正整数x为 .

2020高考数学(文)新一轮复习：第四章第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用含答案

第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲要求]1．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．突破点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象[基本知识]1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：φπφπ－φ3πφ2π－φ3.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( ) (2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.( ) 答案：(1)× (2)× 二、填空题1．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：13 4π3 π42．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是________．答案：y ＝1＋cos 2x3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图，则点(ω，φ)的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎫4，2π3[全析考法]考法一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)． (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换： (1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． [例1] (2019·大庆实验中学期初)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到[解析] 由已知得，ω＝2ππ＝2，则f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到，故选D.[答案] D[例2] (2019·景德镇测试)已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象． [解] (1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ·⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋a ， ∵f (x )的最大值为2， ∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，列表：[方法技巧] 三角函数图象变换的两个要点考法二由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式[例3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )(2)(2019·武邑中学调研)已知函数f (x )＝A sin (π3x ＋φ )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( ) A.12 B.32 C.34D.24[解析] (1)由图象可知，函数的周期为4[ 2π3－⎝⎛⎭⎫－π3 ]＝4π，所以ω＝2π4π＝12，将⎝⎛⎭⎫2π3，1代入y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －φ，又|φ|≤π2，得φ＝－π6，故选D.(2)过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z.又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B. [答案] (1)D (2)B [方法技巧]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．[集训冲关]1.[考法一]将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－ 2D ．F (x )是偶函数，最小值是－ 2解析：选C f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则F (x )＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－2sin 2x ，故选C.2.[考法一]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9 B.2π9 C.π6D.π3解析：选B 由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的函数图象的解析式为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π9.故选B. 3.[考法一、二]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选C 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图知，34T ＝1112π－π6，得T ＝π＝2πω，∴ω＝2；由f (x )的最大值为1，得A ＝1，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，将⎝⎛⎭⎫π6，1的坐标代入可得sin ( π3＋φ )＝1，又∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.f (x )的图象向左平移π3个单位长度，可得g (x )＝sin [ 2( x ＋π3 )＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6的图象．故选C. 突破点二三角函数模型的简单应用三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则．(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[典例感悟]塔斯马尼亚·琼斯试图寻回丢失的Zambeji 钻石．钻石是埋在死亡峡谷内4公里的一个地方，这里被野蛮的昆虫所侵扰．为了寻回钻石，塔斯马尼亚将要闯入这个峡谷，挖取钻石，并从原路返回．在这个峡谷中，昆虫密度是时间的一个连续函数．密度记为C ，是指每平方米的昆虫数量，这个C 的函数表达式为C (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000⎣⎡⎦⎤cos π(t －8)2＋22－1 000，8≤t ≤16，m ，0≤t <8或16<t ≤24，这里的t 是午夜后的小时数，m 是一个实常数． (1)求m 的值；(2)求出昆虫密度的最小值和出现最小值时的时间t ；(3)如果昆虫密度超过1 250只/平方米，那么昆虫的侵扰将是致命性的，午夜后几点，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰．解：(1)因为C (t )是一个连续的函数，所以当t ＝8时，得到C (8)＝1 000×(1＋2)2－1 000＝8 000＝m ，即m ＝8 000. (2)当cosπ(t －8)2＝－1时，C 达到最小值．即π(t －8)2＝(2k ＋1)π，k ∈Z ，解得t ＝10,14.所以在10：00和14：00时，昆虫密度达到最小值，最小值为0.(3)令1 000⎣⎡⎦⎤cosπ(t －8)2＋22－1 000≤1 250，则⎣⎡⎦⎤cosπ(t －8)2＋22≤2.25，∴cos π(t －8)2≤－0.5. 即2k π＋23π≤π(t －8)2≤2k π＋43π，k ∈Z ，4k ＋283≤t ≤4k ＋323，k ∈Z. 又8≤t ≤16，∴t min ＝283，即上午9：20，昆虫的密度首次出现非致命性的侵扰． [方法技巧]解决三角函数实际应用题的4个注意点(1)活用辅助角公式准确化简；(2)准确理解题意，实际问题数学化； (3)“ωx ＋φ”整体处理；(4)活用函数图象性质，数形结合．[针对训练]1．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ( π6×4 )＝20.5.答案：20.52.如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h ，最小用电量为30万kW·h.(2)由图象可知，8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象， ∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40.∵12×2πω＝14－8，∴ω＝π6. ∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40. 将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．[课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4. 2．(2019·七台河联考)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到 D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到解析：选A 因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－3 B.33C ．1D. 3解析：选D 由题意可知该函数的周期为π2，∴πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 4.(2019·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3B.π3 C ．－π6D.π6解析：选B 由题意，得T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2πω，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3.5.(2019·武汉一中模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )A ．1 B.32 C.12D.34解析：选C 由函数图象可知最小正周期T ＝4，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，观察图象可知f (3)＝12，所以f (2 019)＝12.故选C.6．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ( A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．解析：作出函数简图如图：三角函数模型为：y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知：A ＝2000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．答案：6 000[B 级保分题——准做快做达标]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A 令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B 、D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C ，故选A. 2．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，一个单调递减区间为⎣⎡⎦⎤5π4，7π4.由此可判断选项A 正确． 3．(2019·大同一中质检)将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．8解析：选B 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f (x )＝tan ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.4.(2019·日照一模)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度解析：选B 由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝⎛⎭⎫π3，2代入得cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象．5．(2019·郑州一中入学测试)定义运算：⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14B.54C.74D.34解析：选B 依题意得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＝2cos [ ω⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π6 ]＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝⎛⎭⎫k －16，k ∈Z.又ω>0，所以ω的最小值是32⎝⎛⎭⎫1－16＝54，选B. 6．(2019·绵阳一诊)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56B ．x ＝13C ．x ＝12D ．x ＝0解析：选B 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最大值为2，由(17)2－42＝1可得函数f (x )的周期T ＝2×1＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π⎝⎛⎭⎫x －16＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，当x ＝13时，g ⎝⎛⎭⎫13＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2，为函数的最大值，故直线x ＝13为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴．故选B.7.(2019·涞水波峰中学期中)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋2π3 C ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π3D ．g (x )＝－2cos π3x解析：选A 设函数f (x )的最小正周期为T .由题图及|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π3.又由f (0)＝1，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π得sin φ＝12，φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ( π3x ＋5π6 ).则g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤π3(x －1)＋5π6＝2cos π3x .故选A. 8.(2019·北京东城期中)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点间距离为5，则ω＋φ＝________.解析：∵AB ＝5＝T 24＋16，∴T ＝6＝2πω，∴ω＝π3.∵f (2)＝－2，∴23π＋φ＝2k π＋32π，k ∈Z.又∵0<φ<π，∴φ＝56π，∴φ＋ω＝76π.答案：76π9．(2019·临沂重点中学质量调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝____________. 解析：依题意得22＋⎝⎛⎭⎫πω2＝22，ω>0，所以ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，所以sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12.因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6. 答案：sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π610．已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A ·1＋cos (2ωx ＋2φ)2＋1＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，∴A 2＋1＋A 2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ( π2x ＋π2 )＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－( sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2 )＋2×2 018＝－504×0－sin π2－sin π＋4 036＝－1＋4 036＝4 035. 答案：4 03511.(2019·天津新四区示范校期末联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若α为第二象限角且sin α＝35，求f (α)的值．解：(1)由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2. 又∵函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，0，且点⎝⎛⎭⎫5π12，0处于函数图象下降部分， ∴2×5π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π6＋2k π，k ∈Z.∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∵函数图象过点(0,1)，∴A sin π6＝1，∴A ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－45，∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725，∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2( sin 2αcos π6＋cos 2αsin π6 )＝2⎝⎛⎭⎫－2425×32＋725×12＝7－24325. 12．(2019·西安长安区质检)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2π6x . (1)试说明y ＝f (x )的图象由函数y ＝3sin π3x 的图象经过怎样的变化得到；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最值．解：(1)∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6＝sin π3x cos π6－cos π3x sin π6－cos π3x －1＝32sin π3x －32cos π3x －1＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3－1，∴把函数y ＝3sin πx3的图象向先右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象．(2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (x )＝f (4－x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π3(4－x )－π3－1＝3sin π3x －1. 当x ∈[0,1]时，π3x ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故当x ＝0时，函数y ＝g (x )取得最小值－1；当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最大值12. [C 级难度题——适情自主选做]1．(2019·惠州调研)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )A.25π6 B.49π12 C.35π6D.17π4解析：选B 由题意可得，g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)·g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π12＋k π(k ∈Z)，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 1－x 2)max ＝2×⎝⎛⎭⎫π12＋π－⎝⎛⎭⎫π12－2π＝49π12，故选B.2．设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π12<φ<π2 )，给出以下四个论断：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，0上是增函数；③f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称；④f (x )的图象关于直线x ＝π12对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ⇒q ”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示)解析：若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时若f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，则sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝±1，又－π12<φ<π2，∴2×π12＋φ＝π2， ∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②③成立，故①④⇒②③.若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，同时若f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π12<φ<π2，∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，②④成立，故①③⇒②④.答案：①④⇒②③或①③⇒②④3.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫t ≥0，ω>0，|φ|<π2. 则下列叙述正确的是________． ①R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6；②当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6； ③当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减； ④当t ＝20时，|PA |＝6 3.解析：①由点A (33，－3)，可得R ＝6，由旋转一周用时60秒，可得T ＝2πω＝60，则ω＝π30，由点A (33，－3)，可得∠AOx ＝π6，则φ＝－π6，故①正确；②由①知，f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π6，当t ∈[35,55]时，π30t －π6∈⎣⎡⎦⎤π，5π3，即当π30t －π6＝3π2时，点P (0，－6)，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故②正确； ③当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，由正弦函数的单调性可知，函数y ＝f (t )在[10,25]上有增有减，故③错误；④f (t )＝6sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π6，当t ＝20时，水车旋转了三分之一周期，则∠AOP ＝2π3，所以|PA |＝63，故④正确．答案：①②④。

2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第六讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件

答案：C
【题后反思】函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的作法
(1)五点法：用“五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，令 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相的 x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象.
(2)图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
第六讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标要求
考情分析
结合具体实例，了解y ＝A sin (ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响
1.从近几年的高考试题来看，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定A，ω，φ的值等问题是高考的热点，复习时，应抓住“五点法”作图和图象的变换以及性质的应用，通过适量的训练，掌握解决问题的通法. 2.题型一般是选择题或填空题
故 f(x)的单调递增区间为－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z).
答案：－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z)
2.已知函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图 3-6-4 所示，则 y＝fx＋π6取得最小值时 x 的集合为__________.
图 3-6-4
解析：根据题干所给图象，周期 T＝4×172π－π3＝π，故 π＝2ωπ，∴ω＝2，因此 f(x)＝sin (2x＋φ)，另外图象经过点
图 3-6-6
由图象得，当 22≤a<1 时，方程 cos 2x－π4＝a 恰好有三个不同的实数根.

函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用

三角函数y=Asin(ωx+φ)图像1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点,如下表所示2．当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．3．函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的步骤.平移法过程：两种方法殊途同归相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换(1) y=sinx )sin(ϕ+ω=x A y（2）y=sinx 周期变换 y=sin ωx 相位变换y=sin(ωx+φ)振幅变换 )sin(ϕ+ω=x A y 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中ωx k ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z )成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z )成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，k ＝M ＋m2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定．一个区别由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．两个注意作正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时应注意： (1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象． 1.将函数y=3sinx 的图象向右平移3π个单位长度，得到函数的解析式为: 2.将函数y=2sin （x+3π）的图象上所有点的横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为: 3.为得到ｙ＝４sin(2x+3π )，x ∈ R ，的图象，只需将函数ｙ＝2sin(2x+3π)，x ∈ R 的图象上所有点( )(A)横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变(B)横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 (C)纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变(D)纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 4.为得到ｙ＝２sin(x-3π)，x ∈ R ，的图象，只需将函数ｙ＝２sin(x －3π)，x ∈ R 的图象上所有点( )(A)横坐标变为原来的２倍，纵坐标不变(B)横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 (C)纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变（D)纵坐标变为原来的倍，横坐标不变 5.为得到函数ｙ＝sin(2x-3π),x ∈ R ，的图象，只需将函数ｙ＝sin2x, x ∈ R ，的图象上所有点( )(A)向左平移个单位长度 (B)向右平移个单位长度 (C)向左平移个单位长度 (D)向右平移个单位长度6.将函数y=sinx 的图象上所有点的横坐标变为原来的３倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向左平移 3π个单位长度，得到的函数的解析式为:例1.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为(A )． A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π8例2.已知简谐运动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( C)．A ．T ＝6π，φ＝π6B ．T ＝6π，φ＝π3C ．T ＝6，φ＝π6D ．T ＝6，φ＝π3例3．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( A)．A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos x例4．设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( C)． A.23 B.43C.32D ．3例5已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝32例6已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？练习题1设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．3已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．(1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．4已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．。

高考理科数学一轮函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

1.已知函数 y=sin2x + 3cos2x(x∈R).
(1)作出此函数在一个周期上的简图; (2)写出该函数的振幅、周期、初相、最值.
【解】(1)y=sin2x +
3cos2x=2
1 2
��
�� 2
+
3 2
��
x 2
=2sin
第 4 讲函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
考纲展示
考纲解读
1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象;了解参数 A,ω,φ 对函数图象变化的影响. 2.会用三角函数解决一些简单实际问题 ,了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
振幅 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞) 表示一个振动量时 A
周期频率
初相位
相
2��
T= ω
f=
1 T
=
ω
ωx+φ
φ
2��
2.用五点法画函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图时,要找
五个特征点.如下表所示.
x
0-φ ω
�� 2
π 6
,因此选 D.
5.(2013 届·重庆摸底考试)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,
则 ω=
.
【答案】3
2
【解析】由题意设函数周期为

高考数学(理科)第一轮复习课件和练习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

课时提升作业(二十)一、选择题1.要得到函数y=sinx的图像,只需将函数y=cos(x-)的图像( )(A)向右平移个单位(B)向右平移个单位(C)向左平移个单位(D)向左平移个单位2.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像( )(A)关于直线x=对称(B)关于点(,0)对称(C)关于直线x=-对称(D)关于点(,0)对称3.(2018·上饶模拟)已知函数f(x)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式可能为( )(A)f(x)=2cos(-)(B)f(x)=cos(4x+)(C)f(x)=2sin(-)(D)f(x)=2sin(4x+)4.(2018·新余模拟)已知函数f(x)=sin(2x+),其中x∈R,则下列结论中正确的是( )(A)f(x)是最小正周期为π的偶函数(B)f(x)的一条对称轴是x=(C)f(x)的最大值为2(D)将函数y=sin2x的图像左移个单位得到函数f(x)的图像5.(2018·咸阳模拟)设函数f(x)=sin(ωx+φ+)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )(A)y=f(x)在(0,)是减少的(B)y=f(x)在(,)是减少的(C)y=f(x)在(0,)是增加的(D)y=f(x)在(,)是增加的二、填空题6.在函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期内,当x=时,有最大值,当x=时,有最小值-,若φ∈(0,),则函数解析式f(x)= .7.(2018·宜春模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示,则ω·φ= .8.(能力挑战题)设函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(-,))的最小正周期为π,且其图像关于直线x=对称,则在下面四个结论中:①图像关于点(,0)对称;②图像关于点(,0)对称;③在[0,]上是增加的;④在[-,0]上是增加的.正确结论的编号为.三、解答题9.(2018·安庆模拟)已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b为常数)的一段图像(如图所示).(1)求函数的解析式.(2)求这个函数的单调区间.10.(能力挑战题)已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为2,且当x=时,f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式.(2)在闭区间[,]上是否存在f(x)的对称轴?如果存在求出其对称轴.若不存在,请说明理由.答案解析1. 【解析】选A.y=sinx=cos(-x)=cos(x-)=cos(x--),故只需将y=cos(x-)的图像向右平移个单位即得.2.【解析】选B.由T=π,∴=π,得ω=2.故f(x)=sin(2x+).当x=时,2×+=π,此时sinπ=0,故f(x)=sin(2x+)的图像关于点(,0)对称.【变式备选】(2018·赣州模拟)为得到函数y=cos(2x+)的图像,只需将函数y=sin2x的图像( )(A)向左平移个长度单位(B)向右平移个长度单位(C)向左平移个长度单位(D)向右平移个长度单位【思路点拨】先将两函数化为同名函数,再判断平移方向及平移的长度单位.【解析】选A.y=cos(2x+)=sin[+(2x+)]=sin(2x+)=sin2(x+)故将函数y=sin2x的图像向左平移个单位可得函数y=cos(2x+)的图像.3.【思路点拨】将图中特殊点的坐标代入解析式中验证即可.【解析】选A.对于选项C,D,点B(0,1)的坐标不满足;对于选项B,点A(,2)的坐标不满足;对于选项A,点A,B,C的坐标都满足,故选A.4.【解析】选D.f(x)=sin(2x+)=sin 2(x+),故A错,不是偶函数;B错,x=不是对称轴;C错,最大值为.D正确.5.【思路点拨】先确定y=f(x)的解析式,再判断.【解析】选A.由周期为π知ω==2;又f(-x)=f(x),故函数为偶函数,所以φ+=kπ+(k∈Z).又|φ|<,所以φ=.从而f(x)=sin(2x+)=cos2x.所以f(x)在(0,)是减少的.6.【解析】由最大值,最小值得A=,且T=-=,故T=,∴ω=3.由sin(3×+φ)=得,sin(+φ)=1,又∵0<φ<,故φ=,所以f(x)=sin(3x+).答案:sin(3x+)7.【解析】由图形知=-=,∴T=π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ).方法一:由五点作图法知,2×+φ=,∴φ=-,∴ω·φ=2×(-)=-.方法二:把点(,1)的坐标代入f(x)=sin(2x+φ)得, sin(+φ)=1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=-,∴ω·φ=2×(-)=-.答案:-8.【解析】∵y=sin(ωx+φ)最小正周期为π,∴ω==2.又其图像关于直线x=对称,∴2×+φ=kπ+(k∈Z).∴φ=kπ+,k∈Z.由φ∈(-,),得φ=,∴y=sin(2x+).令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z).∴y=sin(2x+)关于点(,0)对称,故②正确.令2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数y=sin(2x+)的递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).∵[-,0][kπ-,kπ+](k∈Z),∴④正确.答案:②④9.【解析】(1)由条件知解得A=b=,又==-(-)=,∴ω=.∴y=sin(x+φ)+,将点(,0)坐标代入上式,得sin(+φ)=-1,∴+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z).又|φ|<π,∴φ=π,∴y=sin(x+)+.(2)由2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-≤x≤-(k∈Z).由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z),得-≤x≤+(k∈Z).∴所求递增区间为[-,-](k∈Z),递减区间为[-,+](k∈Z).【方法技巧】由图像求解析式和性质的方法和技巧(1)给出图像求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的难点在于ω,φ的确定,本质为待定系数,基本方法是①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图像变换法,即考察已知图像可由哪个函数的图像经过变换得到,通常可由平衡点或最值点确定周期T,进而确定ω.(2)由图像求性质的时候,首先确定解析式,再根据解析式求其性质,要紧扣基本三角函数的性质.例如,单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点.【变式备选】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图像如图所示.(1)求f(x)的最小正周期及解析式.(2)设g(x)=f(x)-cos2x,求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. 【解析】(1)由图可得A=1,=-=,所以T=π,所以ω=2.当x=时,f(x)=1,可得sin(2×+φ)=1,因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).(2)g(x)=f(x)-cos2x=sin(2x+)-cos2x=sin2xcos+cos2xsin-cos2x=sin2x-cos2x=sin(2x-).因为0≤x≤,所以-≤2x-≤.当2x-=,即x=时,g(x)取最大值为1;当2x-=-,即x=0时,g(x)取最小值为-.10.【解析】(1)由T=2知=2得ω=π.又因为当x=时f(x)的最大值为2,所以A=2.且π+φ=2kπ+(k∈Z),故φ=2kπ+(k∈Z).∴f(x)=2sin(πx+2kπ+)=2sin(πx+),k∈Z,故f(x)=2sin(πx+).(2)令πx+=kπ+(k∈Z),得x=k+(k∈Z).由≤k+≤.得≤k≤,又k∈=5.故在[,]上存在f(x)的对称轴, 其方程为x=.。

2020年高考文科数学一轮总复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

2020年高考文科数学一轮总复习：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用第6讲函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .( )(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×(教材习题改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π8答案：A函数y ＝cos x |tan x |⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π且x ≠π2的图象为( )解析：选C.因为|tan x |≥0，所以当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，cos x ≥0，y ≥0，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，cos x ≤0，y ≤0.由图可知，故选C.若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝________．解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________．解析：由题图可知，T 4＝2π3－π3＝π3，即T ＝4π3，所以2πω＝4π3，故ω＝32.答案：32五点法作图及图象变换(典例迁移)(2019·济南高三模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．【解】 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6，列表如下：[迁移探究1] (变结论)在本例条件下，函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移________个单位得到y ＝f (x )的图象．解析：将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y ＝2sin 2x 的图象，再将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝2sin(2x ＋π6)的图象，综上可得，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到．答案：π6[迁移探究2] (变问法)在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解：由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin[2(x －m )＋π6]＝2sin ⎣⎡⎦⎤2x －⎝⎛⎭⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法加减多少值．1．(2018·高考天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，5π4上单调递增B ．在区间⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤5π4，3π2上单调递增 D ．在区间⎣⎡⎦⎤3π2，2π上单调递减解析：选 A.把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3π4，5π4，故选A.2．(2019·河南周口模拟)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π12 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋5π24解析：选 B.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋5π12的图象，故选B.由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式(师生共研)(2019·重庆六校联考)函数f (x )＝A sin(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎫A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＝________．【解析】由函数的图象可得A ＝2，14×2πω＝7π12－π3，可得ω＝2，则2×π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－62.【答案】－62确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ ＝π2＋2k π(k ∈Z )；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )．1．(2019·兰州实战考试)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________．解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3. 答案：－ 32．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象上有一个最高点的坐标为(2，2)，由这个最高点到其右侧相邻最低点间的图象与x 轴交于点(6，0)，则此解析式为________________．解析：由题意得：A ＝2，T 4＝6－2，T ＝16，ω＝2πT ＝π8，又sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝1，π4＋φ＝π2＋2kπ(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4三角函数模型的简单应用(师生共研)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)，则实验室这一天的最大温差为________℃.【解析】因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 【答案】 4三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，4]的部分图象，且图象的最高点为S (3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：连接MP (图略)．依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x .当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3，所以M (4，3)．又P (8，0)，所以|MP |＝（－4）2＋32＝5. 即M ，P 两点相距5 km.函数与方程思想在三角函数中的应用已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．【解析】方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0⇔m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，要使原方程在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同实根，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6与y ＝m 在⎣⎡⎦⎤0，π2上有两个不同交点，如图，需满足1≤m <2.【答案】 [1，2)本题是将方程根的问题转化为函数y ＝m 和y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6图象的交点，再利用数形结合进行求解，充分体现数学思想．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D.函数f (x )零点个数即为y ＝3sin π2x 与y ＝log 12x 交点个数，如图，函数y ＝3sinπ2x 与y ＝log 12x 有5个交点．[基础题组练]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝0，f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，排除C.2．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( )A ．－3B ．33C ．1D ． 3解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f (x )＝tan 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 3．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析：选B.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象经伸长变换得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，再将所得图象作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象，故选B. 4．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列为f (x )的单调递减区间的是( )A.⎣⎡⎦⎤－5π3，－7π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3C.⎣⎡⎦⎤5π6，πD.⎣⎡⎦⎤π，4π3 解析：选 B.由12T ＝2π3－π6＝π2，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2.当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1.因为|φ|<π2，所以φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由图象可得f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z ，结合选项可知⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3为f (x )的单调递减区间，选B. 5．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2 π36．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 答案：y ＝6－cos π2x7．(2019·河北石家庄毕业班模拟)函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(A >0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f ⎝⎛⎭⎫α2＝2，求α的值．解：(1)因为函数f (x )的最小值为－1，所以－A ＋1＝－1，即A ＝2.因为函数f (x )的图象的相邻两个最高点之间的距离为π，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π，所以ω＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＋1.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＋1＝2，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝12. 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以α－π6＝π6，得α＝π3.8．(2019·湖北八校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．解：(1)T 2＝1112π－512π＝12π，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×5π12＋φ＝1， |φ|<π2，所以φ＝－π3，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由正弦函数的性质可得，g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π12上为增函数，在⎣⎡⎦⎤π12，π4上为减函数，所以g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫π12＝1. 又g (0)＝12，g ⎝⎛⎭⎫π4＝－12，所以g (x )min ＝－12，故函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值分别为1和－12. [综合题组练]1．(2019·潍坊统一考试)函数y ＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选B.由题意知y ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ－π6的图象，因为g (x )为偶函数，所以2φ＋π6＝π2＋kπ，k ∈Z ，所以φ＝π6＋k π2，k ∈Z ，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6.2．(2019·惠州第二次调研)函数f (x )＝A sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫|θ|≤π2，A >0的部分图象如图所示，且f (a )＝f (b )＝0，对不同的x 1，x 2∈[a ，b ]，若f (x 1)＝f (x 2)，有f (x 1＋x 2)＝3，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是减函数B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上是增函数C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是减函数D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π3，5π6上是增函数解析：选B.由题图知A ＝2，设m ∈[a ，b ]，且f (0)＝f (m )，则f (0＋m )＝f (m )＝f (0)＝3，所以2sin θ＝3，sin θ＝32，又|θ|≤π2，所以θ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，此时f (x )单调递增，所以选项B 正确．3．(创新型)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N (x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. 答案：34．(2019·武汉部分学校调研)已知函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫a ≠0，ω>0，|φ|≤π2，直线y ＝a 与f (x )的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[2，4]上的值域是[a ，2a ]；②在[2，4]上，当且仅当x ＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是8.其中是真命题的为________(写出序号即可)．解析：对于①，因为直线y ＝a 与函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别为2和4，所以结合图象可以看出，当a >0时，f (x )在[2，4]上的值域为[a ，2a ]，当a <0时，f (x )在[2，4]上的值域为[2a ，a ]，①错误；对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x ＝2和x ＝4的中点是x ＝3，即当a >0时，f (x )在x ＝3处有最大值f (3)＝2a ，当a <0时，f (x )在x ＝3处有最小值f (3)＝2a ，②错误；对于③，因为函数f (x )＝2a sin(πωx ＋φ)的最小正周期T ＝2ππω＝2ω，当ω＝14时，T＝8，此时f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ，由⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝a ，f （4）＝a ，解得cos φ＝22，sin φ＝－22，满足|φ|≤π2，故f (x )的最小正周期可以是8，③正确．答案：③5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z ，因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得：ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，令2k π－π2<x ＋π6<2k π＋π2，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x <2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]，列表如下：6．(应用型)如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫πt8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20. 当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]．(2)由题意得，20－52≤10sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52，即－22≤sin ⎝⎛⎭⎫π8t ＋3π4≤22，所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k －8≤t ≤8k －4，k ∈Z ，因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12，所以最佳营业时间为12－8＝4小时．。

高考函数y=Asin (ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用详解

函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用A 组基础必做1．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4解析由y ＝sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2x ＋π4，即y ＝cos 2x 。

答案 A2．(2016·上饶模拟)已知函数y ＝A cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A >0)在一个周期内的图像如图所示，其中P ，Q 分别是这段图像的最高点和最低点，M ，N 是图像与x 轴的交点，且∠PMQ ＝90°，则A 的值为()A. 3B. 2 C ．1D ．2解析依题意QM ＝QN ＝12PQ ，又∠PMQ ＝90°，可得△MNQ 是等边三角形，又由于MN 等于半个周期长，MN ＝12×2ππ2＝2。

所以A＝32×2＝3。

答案 A3．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π4个单位 B ．向左平移π4个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位解析 y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，因此需将函数y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位。

故选C 。

答案 C4．(2016·青岛模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中A >0，|φ|<π2的图像如图所示，为了得到g (x )＝sin 2x 的图像，则只需将f (x )的图像( )A ．向右平移π6个长度单位 B ．向左平移π6个长度单位 C ．向右平移π3个长度单位 D ．向左平移π3个长度单位解析由已知中函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1，易得：A ＝1，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，即ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－1代入可得，7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z 。

高考数学一轮复习课时规范练20函数y=Asin(ωxφ)的图像及应用(文含解析)北师大版

课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用基础巩固组1.将函数y=sin x的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再把所得各点向右平行移动π10个单位长度,所得图像的函数解析式是()A.y=sin2x-π10B.y=sin12x-π20C.y=sin2x-π5D.y=sin12x-π102.(2020安徽安庆二模,理8)已知函数f(x)=2sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π,若将其图像沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度,所得图像关于x=π3对称,则实数m的最小值为()A.π4B.π3C.3π4D.π3.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示,则f(x)的解析式为()A.f(x)=2√3sinπx8+π4B.f(x)=2√3sinπx8+3π4C.f(x)=2√3sinπx8−π4D.f(x)=2√3sinπx8−3π44.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()5.右图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)=( )(x +π3)(π3-2x) (2x +π3)(5π6-2x) 6.(2019全国3,理12)设函数f (x )=sin (ωx +π5)(ω>0),已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点,下述四个结论:①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f (x )在(0,π10)递增 ④ω的取值范围是[125,2910)其中所有正确结论的编号是( ) A.①④B.②③C.①②③D.①③④7.已知简谐运动f (x )=2sin π3x+φ|φ|<π2的图像经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为 , . 8.如图所示,某地夏天8~14时用电量变化曲线近似满足函数式y=A sin(ωx+φ)+b ,A>0,ω>0,φ∈(0,π),则这期间的最大用电量为万千瓦时;这段曲线的函数解析式为 . 9.已知函数y=3sin12x-π4. (1)用五点法作出函数的图像;(2)说明此图像是由y=sin x 的图像经过怎么样的变化得到的.综合提升组10.已知函数f (x )=a sin x+b cos x (x ∈R ),若x=x 0是函数f (x )图像的一条对称轴,且tan x 0=3,则a ,b 应满足的表达式是( ) A.a=-3b B.b=-3a C.a=3bD.b=3a11.(2019天津,理7)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,将y=f (x )的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π,且g π4=√2,则f 3π8=( )A.-2B.-√2C.√212.(2020山东潍坊一模,15)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,将y=f (x )的图像沿x 轴向左平移π6个单位长度,再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为y=g (x ).已知y=g (x )的图像的相邻对称中心之间的距离为2π.则ω= .若y=g (x )的图像在其某对称轴处对应的函数值为-2,则g (x )在[0,π]上的最大值为 .创新应用组13.(2020安徽合肥一中模拟,理6)如图所示,秒针尖的位置为M (x ,y ),若初始位置为M 0-12,-√32,当秒针从M 0(此时t=0)正常开始走时,那么点M 的横坐标与时间t 的函数关系为( ) A.x=sin π30t-π6 B.x=sin π30t-π3 C.x=cosπ30t+2π3 D.x=cosπ30t-2π3参考答案课时规范练20 函数y= A sin (ωx+φ)的图像及应用1.B 由题意,将y=sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍后得到y=sin 12x 的图像,再把所有点向右平行移动π10个单位长度后所得图像的函数为y=sin12x-π10=sin12x-π20.故选B . 2.B f (x )=-cos2ωx+1,T=2π2ω=π,则ω=1,所以f (x )=-cos2x+1,将其图像沿x 轴向右平移m (m>0)个单位长度,所得图像对应函数为y=-cos(2x-2m )+1.所得图像关于x=π3对称,则有cos2π3-2m =±1,所以2π3-2m=k π,k ∈Z ,解得m=π3−kπ2,k ∈Z ,由m>0,得实数m 的最小值为π3.故选B . 3.D 由图得,A=2√3,T=2×[6-(-2)]=16,所以ω=2πT=2π16=π8.所以f (x )=2√3sinπ8x+φ.由函数的对称性得f (2)=-2√3,即f (2)=2√3sin π8×2+φ=-2√3,即sinπ4+φ=-1,所以π4+φ=2k π-π2(k∈Z ),解得φ=2k π-3π4(k ∈Z ).因为|φ|<π,所以k=0,φ=-3π4.故函数的解析式为f (x )=2√3sinπx 8−3π4.4.C 设水深的最大值为M ,由题意并结合函数图像可得{3+k =M ,k -3=2,解得M=8.5.B 由题图可知,T2=2π3−π6=π2,∴T=π.∴2πω=π,∴ω=2,故A 错误;∴y=sin(2x+φ).∵过点(2π3,0),∴sin (2×2π3+φ)=0,即4π3+φ=2π,∴φ=2π3.∴y=sin (2x +2π3)=sin π-2x+2π3=sin (π3-2x),故B 正确;∵y=sinπ3-2x =sin π2−(π6+2x)=cos 2x+π6,故C 错误;∵cos (5π6-2x)=cos π-2x+π6=-cos2x+π6,故D 错误,故选B .6.D ∵f (x )=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有5个零点,∴5π≤2πω+π5<6π,解得125≤ω<2910,故④正确.画出f (x )的图像(图略),由图易知①正确,②不正确. 当0<x<π10时,π5<ωx+π5<ωπ10+π5,又125≤ω<2910,∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2,∴③正确.综上可知①③④正确.故选D .7.6 π6 由题意知1=2sin φ,得sin φ=12,又|φ|<π2,得φ=π6,函数的最小正周期为T=2πω=6. 8.50 y=10sin π6x+π6+40,x ∈[8,14] 由图像知这期间的最大用电量为50万千瓦时,最小用电量为30万千瓦时.A=12(50-30)=10, b=12(50+30)=40, T=2πω=2×(14-8)=12,所以ω=π6,所以y=10sinπ6x+φ+40.因为函数图像过点(8,30),且φ∈(0,π),解得φ=π6. 故所求解析式为y=10sin π6x+π6+40,x ∈[8,14].9.解(1)列表,243sin12x-π4描点画图如图所示,(2)(方法1)“先平移,后伸缩”先把y=sin x 的图像上所有点向右平移π4个单位长度,得到y=sin x-π4的图像;再把y=sin x-π4的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin12x-π4的图像,最后将y=sin 12x-π4的图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin12x-π4的图像. (方法2)“先伸缩,后平移”先把y=sin x 的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin 12x 的图像;再把y=sin 12x 图像上所有的点向右平移π2个单位长度,得到y=sin 12x-π2=sinx2−π4的图像,最后将y=sin x2−π4的图像上所有点的纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin 12x-π4的图像. 10.C f (x )=a sin x+b cos x=√a 2+b 2a √a 2+b 2sin x+b√a 2+b 2cos x .令cos α=√a 2+b2,sin α=√a 2+b2,则tan α=ba , 则f (x )=√a 2+b 2sin(x+α).因为x=x 0是函数f (x )图像的一条对称轴,则x 0+α=π2+k π,k ∈Z ,x 0=π2-α+k π,k ∈Z . tan x 0=tanπ2-α+k π=tan π2-α=1tanα=ab =3,k ∈Z ,则a=3b.故选C . 11.C 已知函数为奇函数,且|φ|<π,故φ=0.则f (x )=A sin ωx.∴g (x )=A sinω2x .∵g (x )的最小正周期为2π,而2πω2=2π,∴ω=2.则g (x )=A sin x. 由gπ4=√2,得A sin π4=√2,解得A=2.则f (x )=2sin2x. ∴f3π8=2sin3π4=√2.故选C .12.1 √3 ∵f (x )是偶函数,且0<φ<π,∴φ=π2.∴f (x )=A sin (ωx +π2)=A cos ωx.由已知将y=f (x )的图像沿x 轴向左平移π6个单位长度,可得y=A cos ωx+π6的图像.再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),可得y=A cos ω2x+π6ω的图像.∴g (x )=A cosω2x+π6ω.∵y=g (x )的图像的相邻对称中心之间的距离为2π, ∴T 2=2π,∴T=4π,2πω2=4π,∴ω=1.∵y=g (x )的图像在其某对称轴处对应的函数值为-2,∴A=2. ∴g (x )=2cos (12x +π6).∵0≤x ≤π,∴π6≤12x+π6≤2π3,∴当12x+π6=π6,即x=0时,g (x )在[0,π]上的最大值为g (x )max =2×√32=√3.13.C 当t=0时,点M 0-12,-√32,则初始角为-2π3,由于秒针每60秒顺时针转一周,故转速ω=-2π60=-π30,当秒针运动t 秒到M 点时,秒针与x 正半轴的夹角为-π30t-2π3,所以x 与时间t 的函数关系式x=cos -π30t-2π3=cos π30t+2π3.故选C .。

高考数学大一轮复习 4.4 函数yasin(ωxφ)的图象及三角函数模型的简单应用课件理

sin (2 x则下2 面)，结论正确的是
(
)
3
第二十五页，共一百页。
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移个单位(dānwèi)长度,得到曲线C2
6
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
3
__2 _
-A
2___ __
_2_π__
0
3.函数y=sin x的图象经变换得到(dé dào)y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) 的图象的两种途径
第五页，共一百页。
【常用结论】
1.两种图象变换的区别
由y=sin x的图象变换到y=Asin(ωx+φ)的图象,两种
变换的区别:①先相位变换再周期变换(伸缩(shēn suō)变换),平
B.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
(3x ) 8
)
第十七页，共一百页。
C.纵坐标缩短(suōduǎn)到原来的1 ,横坐标不变
3
D.横坐标缩短到原来的 ,1纵坐标不变
3
第十八页，共一百页。
【解析】选D.因为变换前后,两个函数(hánshù)的初相相同,所以只需把y=3cos ( x 图 )象上的所有点的纵坐标不变,
(2)由(1)知 f(x)= 5sin(2x )，
6
得g(x)=
5sin(2x2 ).
6
因为(yīn wèi)y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ- =kπ,k∈Z,解得x=
6
-kθ,k∈Z. 2 12
第四十页，共一百页。

2020届高三一轮复习理科数学课件函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

解析由图可知
2π T＝4× 3
4π 2π 3 π －＝ 3 ，则 ω＝ T ＝2. 3
π π 6．把函数 y＝sin5x－2的图象向右平移个单位，再把所得函数图象 4 7π 1 y＝sin10x－ 4 上各点的横坐标缩短为原来的，所得的函数解析式为 y＝sin ．
夯实双击自主梳理
1．函数 y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如表：
简谐振动 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0， ω＞0)，x∈[0，＋∞)
振幅 A
周期
频率 1 f＝ T
相位
初相
2π T＝ ω
2．要得到函数
π y＝sin2x－只需将函数的图象， 3
y＝sin 2x 的图象( B )
π A．向左平移个单位长度 6 π B．向右平移个单位长度 6 π C．向左平移个单位长度 3 π D．向右平移个单位长度 3
π 解析将函数 y＝sin 2x 的图象向右平移个单位长度，可得函数 y＝ 6
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)作函数
π y＝sinx－在一个周期内的图象时，确定的五点是(0，0)， 6
π 3π ，－1 ，1，(π，0)，，(2π，0)这五个点．( 2 2
× )
解析
3π －φ 2 ω
2π－φ ω
00 0
π 2
π
π 0
3π 2
2π π 2
A
－A
0
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到 y ＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得 y＝Asin(ωx＋φ)在 R 上的图象．

2020年高考数学一轮总复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件理

[答案] D
方法2 数形结合法求解三角不等式、三角方程【例4】设f(x)＝sin x(sin x＋cos x)＋2cos2x. (1)求函数f(x)的最大值与最小正周期； (2)求使不等式f(x)≥32成立的x的取值集合．
[解析] f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋2cos2x ＝32＋12sin 2x＋12cos 2x ＝ 22sin2x＋π4＋32，
[答案] (1)C (2)C
名师点拨确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的思维和步骤 (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－2 m，b＝M＋2 m. (2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝2Tπ.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b
3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(
)
A．5 C．8
B．6 D．10
(2)(2018·咸阳期末)如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数T＝ Asin(ωt＋φ)＋20(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，那么该函数的解析式是( ) A．T＝20sinπ4t＋34π＋20 B．T＝10sinπ4t＋34π＋20 C．T＝10sinπ8t＋34π＋20 D．T＝20sinπ8t＋π4＋20
第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
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1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意
以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图的五点法画图、图象之间的平移伸缩变

通用版2020版高考数学大一轮复习第20讲函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用(解析版)

第20讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:3.函数y=sin x的图像经变换得到y=A sin(ωx+φ)的图像的步骤图3-20-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin,则原函数的解析式是.3.[教材改编]函数y=cos-的周期为,单调递增区间为.4.[教材改编]已知简谐运动f(x)=2sin x+φ的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为.题组二常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向平移个单位长度.6.设ω>0,若函数f(x)=sin ωx在区间-上单调递增,则ω的取值范围是.7.若f(x)=2sin(ωx+φ)+m对任意实数t都有f=f-,且f=-3,则实数m= .图3-20-28.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的部分图像如图3-20-2所示,则φ= .探究点一函数y=A sin(ωx+φ)的图像变换例1 (1)将函数f (x )=sin的图像沿x 轴向左平移个单位长度后所得图像对应的函数解析式为 ( )A .y=cos 2xB .y=-cos 2xC .y=sinD .y=sin -(2)若由函数y=sin的图像变换得到y=sin2x +的图像,则可以通过以下两个步骤完成:第一步,把y=sin 2x+图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,纵坐标不变;第二步,把所得图像沿x 轴 ( ) A .向右平移个单位长度 B .向右平移个单位长度 C .向左平移个单位长度 D .向左平移个单位长度[总结反思] 由y=sin x 的图像变换到y=A sin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x 而言,即x 本身加减多少值,而不是依赖于ωx 加减多少值.变式题 (1)[2018·江西八所重点中学联考] 将函数y=sin x-的图像上所有的点向右平移个单位长度,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像对应的函数解析式为 ( ) A .y=sin -B .y=sin 2xC .y=sin2x - D .y=sin 2x - (2)为了得到函数y=sin 3x 的图像,可以将y=cos 3x 的图像 ( )A .向右平移个单位长度B .向左平移个单位长度C .向右平移个单位长度 D .向左平移个单位长度探究点二函数y=A sin(ωx+φ)的图像与解析式例2 (1)已知函数f (x )=A sin(ωx+θ)(A>0,|θ|<π)的部分图像如图3-20-3所示,将函数y=f (x )的图像向右平移个单位长度得到函数y=g (x )的图像,则函数g (x )的解析式为( )A .g (x )=2sin 2xB .g (x )=2sinC .g (x )=2sinD .g (x )=2sin -图3-20-3(2)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的部分图像如图3-20-4所示,则φ= .图3-20-4[总结反思] 利用图像求函数y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)求φ的常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.图3-20-5变式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-20-5所示,且A,1,B(π,-1),则φ的值为.探究点三函数y=A sin(ωx+φ)的图像与性质例3 [2018·湖北八市联考]函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<在它的某一个周期内的单调递减区间是.将y=f(x)的图像先向左平移个单位长度,再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),所得到的图像对应的函数记为g(x).(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)在区间上的最大值和最小值.[总结反思] 三角函数图像与性质综合问题的求解思路:(1)将函数整理成y=A sin(ωx+φ)+B(ω>0)的形式;(2)把ωx+φ看成一个整体;(3)借助正弦函数y=sin x的图像与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.变式题 (1)[2018·益阳调研]将函数f(x)=cos(2x+θ)的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像,若g(x)的图像关于直线x=对称,则θ=()A.B.C.-D.-(2)[2018·葫芦岛二模]已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,<φ<π的部分图像如图3-20-6所示,则下列说法正确的是()图3-20-6A.函数f(x)的周期为πB.函数y=f(x-π)为奇函数C.函数f(x)在-上单调递增D.函数f(x)的图像关于点,0对称探究点四三角函数模型的简单应用例4 如图3-20-7所示,制图工程师要用两个同中心且边长均为4的正方形合成一个八角形图形,由对称性知,图中8个三角形都是全等的三角形,设∠AA1H1=α.图3-20-7(1)试用α表示△AA1H1的面积;(2)求八角形所覆盖面积的最大值,并指出此时α的大小.[总结反思] 三角函数模型在实际问题中的应用体现在两个方面:(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的含义及自变量与函数之间的对应法则;(2)把实际问题抽象转化成三角函数模型问题,关键是利用三角函数表示实际问题中的有关量,建立模型.变式题某城市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+A cos(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的平均气温最高,为28 ℃ 月份的平均气温最低,为18 ℃ 则10月份的平均气温为℃.第20讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用考试说明 1.了解函数y=A sin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数y=A sin(ωx+φ)的图像,了解参数A,ω,φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.【课前双基巩固】知识聚焦1.ωx+φφ2.-----0π2π3.|φ|对点演练1.y=2sin x [解析] 根据函数图像变换法则可得.2.y=sin[解析] 函数y=sin的图像向左平移个单位长度后得到y=sin=sin的图像,即原函数的解析式为y=sin x+.3.π-(k∈Z)[解析] y=cos-=sin 2x,所以函数的周期T==π.由-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),故函数的单调递增区间为-(k∈Z).4.[解析] 将点(0,1)代入函数解析式,可得2sin φ=1,即sin φ=.∵ φ|<,∴φ=.5.左[解析] y=cos=sin+=sin.故要得到y=sin=sin 2的图像,只需将函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度.6.(0,1][解析] 因为函数f(x)=sin ωx在区间-上单调递增,所以=≥+=π,所以ω≤1,又因为ω>0,所以ω∈(0,1].7.-5或-1[解析] 由f=f-得,函数f(x)的图像的对称轴为直线x=.故当x=时,函数取得最大值或最小值,于是有-2+m=-3或2+m=-3,即m=-1或m=-5.8.-[解析] 由图像可知,T=4×-=π,所以ω==2.因为f=sin+φ=1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=-.【课堂考点探究】例1[思路点拨] 根据图像平移“左加右减”的规则以及平移量确定结果.(1)A (2)A [解析] (1)由题意知,将f (x )=sin 的图像向左平移个单位长度后,得到y=sin=sin=cos 2x 的图像,故选A .(2)把y=sin 图像上所有点的横坐标变为原来的4倍,得到函数y=sin2x的图像,再把所得图像沿x 轴向右平移个单位长度,可以得到y=sin-=sin的图像.故选A .变式题 (1)C (2)A [解析] (1)将函数y=sin -的图像向右平移个单位长度,得到y=sin -的图像,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin2x -的图像,故选C . (2)由题意知,y=cos 3x=sin=sin 3,将函数y=sin 3的图像向右平移个单位长度,得到y=sin 3-=sin 3x 的图像,故选A .例2 [思路点拨] (1)先根据图像确定A ,T ,ω,θ,再根据平移得函数g (x )的解析式;(2)结合函数的图像首先确定ω的值,然后确定φ的值即可. (1)D (2)[解析] (1)由题图得,A=2,T=- - =π,∴ω==2.∵当x=-= 时,y=2,∴2× +θ=+2k π(k ∈Z),∴θ=+2k π(k ∈Z),又∵ θ|<π,∴θ=,∴f (x )=2sin, ∴g (x )=2sin -=2sin -,故选D .(2)由题意可知,函数的最小正周期T=2× -=π,则ω===.当x=2π时,ωx+φ= ×2π+φ=2k π+(k ∈Z), 则φ=2k π-π(k ∈Z),由于-π≤φ<π,故φ=. 变式题 -[解析] 根据函数f (x )=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图像,且A,1,B (π,-1),可得从点A 到点B 正好经过了半个周期,即×=π-,∴ω=2.再把点A ,B 的坐标代入函数解析式,可得2sin 2×+φ=-2sin φ=1,2sin(2×π+φ )=2sinφ=-1,∴sin φ=-,∴φ=2k π-或φ=2k π-,k ∈Z .再结合“五点作图法”,可得φ=-.例3 [思路点拨] (1)根据已知求得ω的值,然后求出φ的值,从而可求出f (x )的解析式,进而得到g (x )的解析式;(2)确定g (x )的单调性,然后求出最值. 解:(1)由题意可知,2x = - = ,∴ω=2,又sin =1,|φ|< ,∴φ=-, ∴f (x )=sin -,∴g (x )=sin.(2)由(1)可知,g (x )在上为增函数,在上为减函数,∴g (x )max =g=1,又∵g (0)= ,g =- ,∴g (x )min =g =- ,故函数g (x )在上的最大值和最小值分别为1和-.变式题 (1)A (2)B [解析] (1)由题意知,g (x )=cos 2x -+θ=cos 2x-+θ,令2x-+θ=k π(k ∈Z),则函数g (x )的图像的对称轴为直线x= - +(k ∈Z),令 - + =(k ∈Z),则θ=+k π(k ∈Z),又|θ|<,所以θ=.故选A .(2)观察图像可得,函数的最小值为-2,所以A=2.由图像可知函数过点(0, ), 所以 =2sin φ,又因为<φ<π,所以φ=.由图像可知,·ω+=+2k π,k ∈Z,解得ω= +k ,k ∈Z,又 = >,所以0<ω< ,所以ω=,则f (x )=2sin.显然A 选项错误;对于B,f (x-π)=2sin(x-π)+=2sinx ,是奇函数,故B 选项正确;对于C,观察图像可知,f (x )在 -上不单调,故C 选项错误; 对于D,f=2sin×+=2sin≠0,故D 选项错误.故选B .例4 [思路点拨] (1)注意到BA 1=AA 1,AH 1=H 1H ,从而知△AA 1H 1的周长为4,设AH 1=x ,从而可求得 △ ;(2)令t=sin α+cos α,用t 表示 △ ,根据t ∈(1, ]可求得最大值. 解:(1)设AH 1=x ,由题意知,x++=4,∴ =,∴ △=·=,α∈.(2)令t=sin α+cos α,∵α∈,∴ ∈(1,].当八角形所覆盖的面积最大时,△取得最大值.由(1)可知,△=-=4-,∴当t=,即α=时,△取得最大值,此时八角形所覆盖的面积最大,设为S,则S=16+4×=64-32,∴八角形所覆盖面积的最大值为64-32.变式题20.5[解析] 因为当x=6时,y=a+A=28,当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5, 所以y=23+5cos(x-6),所以当x=10时,y=23+5cos=23-5×=20.5.【备选理由】例1考查正切函数的图像,是对例题中正弦、余弦函数图像问题的补充;例2重点考查函数的对称性,对正弦函数图像的对称轴与对称中心加深理解;例3主要考查了三角函数图像与性质的综合应用问题,着重考查了推理与运算能力;例4是实际应用题目,要根据条件转化为数学中的知识.例1[配合例2使用] 已知函数f(x)=A tan(ωx+φ)x x的部分图像如图所示,则f= ()A.3B.C.1D.[解析] A由题可知,=-=,∴ =,∴ω==2.由图像可知,×2+φ=kπ(k∈Z),得φ=-+kπ(k∈Z),又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=A tan.又f(0)=A tan=1,∴A=,∴f(x)=tan,∴f=tan=tan=3.故选A.例2[配合例3使用] [2018·长沙长郡中学二模]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<,其图像相邻两条对称轴之间的距离为,将函数y=f(x)的图像向左平移个单位长度后,得到的图像关于y轴对称,那么函数y=f(x)的图像()A.关于点-对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=-对称[解析] B∵函数y=f(x)的图像相邻两条对称轴之间的距离为,∴函数的周期T=,∴ω==4,∴f(x)=sin(4x+φ).将函数y=f(x)的图像向左平移个单位长度后,得到函数y=sin的图像,∵所得图像关于y轴对称,∴4×+φ=kπ+,k∈Z,即φ=kπ-,k∈Z,又|φ|<,∴φ=-,∴f(x)=sin-.令4x-=kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,令k=0,得f(x)的图像关于点对称.故选B.例3[配合例3使用] 已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)若x∈-,求函数f(x)的值域.解:(1)由图像可知,=--=,∴ =π,∴ω==2.又函数的最大值为2,且A>0,∴A=2.∵f-=2,∴2×-+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=+2kπ,k∈Z,又∵ φ|<π,∴φ=,∴f(x)=2sin.由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,∴函数f(x)的单调递增区间为--,k∈Z.(2)∵ ∈-,∴2x+∈,∴当2x+=,即x=时,f(x)min=-,当2x+=,即x=-时,f(x)max=2,∴函数f(x)在-上的值域为[-,2].例4[配合例4使用] 一根长a cm的线一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s=3cos x,t∈[0,+∞),则小球摆动的周期为s.[答案][解析] ∵小球的位移s与时间t的函数关系式为s=3cos,t∈[0,+∞),∴小球摆动的周期T==.。

2020年高考理科数学一轮总复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

2020年高考理科数学一轮总复习函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[基础梳理]1．五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)列表：(2)描点：⎝ ⎛⎭⎪⎫－ω，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω－ω，A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω－ω，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫2ω－ω，－A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω－ω，0.(3)连线：把这5个点用光滑曲线顺次连接，就得到y ＝A sin(ωx ＋φ)在区间长度为一个周期内的图象．2．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤12个小环节构成6条路线：(以③⑨○12线路为例) ③把y ＝sin x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到y ＝sin(x ＋φ)的图象； ⑨再把所得图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到y＝sin(ωx ＋φ)；○12最后把所有点的纵坐标变为原来的A (A >0)倍，横坐标不变，就得到y ＝A sin(ωx＋φ)的图象．3．y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义ωT 2π1．平移变换的两种单位长度由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度． 2．y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 与最值的关系 A ＝y max －y min 2，b ＝y max ＋y min 2.[四基自测]1．(教材改编)电流i (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系是i ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流i 变化的初相、周期分别是( ) A.π3，150 B.π6，1100 C.π3，1100 D.π6，150答案：A2．(教材改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )答案：B3．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( ) A ．y ＝cos 2x B ．y ＝－sin 2x C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4答案：A4．(教材改编)由y ＝sin x ______得到y ＝sin 13x ，________得到y ＝2sin 13x ，________得到y ＝2sin(13x －π6)．答案：横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变向右平移π2个单位长度5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)由曲线C 1：y ＝cos x ，向左平移__________个单位长度，再将横坐标缩小到原来的__________倍，得到曲线C 2：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.答案：23π 12考点一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换◄考能力——知法[例1] (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D.答案：D(2)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω＞0.①若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；②令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．求函数y ＝g (x )的解析式，并用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象．解析：①∵f (x )＝sin x 的增区间为[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ∈Z ， ∴－π2＋2k π≤ωx ≤π2＋2k π(ω＞0)，k ∈Z ， ∴－π2ω＋2k ωπ≤x ≤π2ω＋2kωπ，k ∈Z . 由于f (x )＝2sin(ωx )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，23π上递增，∴[－π4，23⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω＋2k πω，π2ω＋2k ωπ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≥23π－π2ω＋2k ωπ≤－π4，∴0＜ω≤34(1＋4k )(k ∈Z )．②当ω＝2时，f (x )＝2 sin(2x )向左平移π6个单位长度，可得y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的图象．即函数y ＝g (x )的解析式为y ＝g (x ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.列表：作图：作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只需将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：因为T ＝π，故ω＝2πT ＝2，因此g (x )＝cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.答案：A2．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象；(3)由y ＝sin x 经过怎样的变换得到f (x )＝cos(ωx ＋φ)的图象(x ∈R )．解析：(1)最小正周期T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∴sin φ＝－32.∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎛⎪⎫2x －π，列表：图象如图所示．(3)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴由y ＝sin x 向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再将图象的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，即f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．考点二由函数图象求解析式◄考能力——知法 [例2] (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到的函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3 D ．y ＝cos 2x解析：由题图知，A ＝1， 34T ＝11π12－π6＝912π＝34π，所以T ＝π＝2πω，所以ω＝2.所以2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的图象向右平移π6个单位长度得 g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选B. 答案：B(2)已知函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为________．解析：由图可知T 4＝π3－π12＝π4，A ＝2，即T ＝π，A ＝2，故ω＝2πT ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2，故φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )1．求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . 2．求φ，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝2π.1．函数y ＝f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则A ，ω，φ的值分别为( )A ．1，π，π4 B ．－1，π，π4 C ．1,2，π4D ．1，π，－π4解析：由题图知，周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，A ＝1，所以2πω＝2，所以ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4. 答案：A2．(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，其部分图象如图所示，将f (x )的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位长度得到g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝sin π2(x ＋1) B ．g (x )＝sin π8(x ＋1) C ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋1D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋1解析：由题图可得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，横坐标变为原来的2倍得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，再向右平移1个单位长度，得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8(x －1)＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π8＝sin π8(x ＋1)．答案：B考点三函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象性质的综合应用◄考素养——懂理角度1 三角函数图象变换与性质综合问题[例3] (1)(2019·洛阳高三期中测试)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2的图象沿x轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( )A ．－3π4B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＝12·sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位长度后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，当k ＝－1,0,1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4.故选B. 答案：B(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，点P 、Q 、R 在f (x )的图象上，坐标分别为(－1，－A )、(1,0)、(x 0,0)，△PQR 是以PR 为底边的等腰三角形，将函数f (x )的图象向右平移5个单位长度后得到函数g (x )的图象，则关于g (x )的说法中不正确的是( ) A ．g (x )是偶函数B ．g (x )在区间[0,4]上是减函数C ．g (x )的图象关于直线x ＝2对称D ．g (x )在[－1,3]上的最小值为－ 6。