【湘教版】九年级数学上册：2.3《一元二次方程根的判别式》教案(含答案)
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》教学设计1
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册第2.3节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的根的判别式（(= b^2 - 4ac)），并能运用判别式判断方程的根的情况。
教材通过引入判别式，让学生体会数学的逻辑推理和几何直观，培养学生的数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本概念，对解一元二次方程有一定的了解。
但在求解方程的根的过程中，对判别式的理解和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，探究判别式的含义和运用方法。
三. 教学目标1.理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握判别式的计算方法。
2.能够运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
3.培养学生的数学逻辑思维和几何直观能力。
四. 教学重难点1.重难点：一元二次方程根的判别式的概念和计算方法。
2.难点：如何引导学生从已有知识出发，理解和掌握判别式的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出判别式的概念。
2.运用几何直观，帮助学生理解判别式的意义。
3.通过例题和练习，巩固判别式的计算和运用。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备判别式的几何直观教具。
3.准备一些练习题，用于课堂巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何判断一元二次方程的根的情况。
例如，提问：“已知一元二次方程(x^2 - 5x + 6 = 0)，求该方程的根的情况。
”2.呈现（10分钟）通过PPT展示判别式的定义和计算方法，同时结合几何直观教具，帮助学生理解判别式的意义。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用判别式判断一些一元二次方程的根的情况。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些判断题，检验学生对判别式的理解和掌握程度。
教师及时批改，给予反馈。
九年级数学上册湘教版习题课件：2.3 一元二次方程根的判别式
16．下面是小敏同学做的题目： 关于 x 的方程 2kx2＋(8k＋1)x＋8k＝0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范 围． 解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴b2－4ac＞0，∴(8k＋1)2－4×2k×8k ＞0，∴k＞－116，∴当 k＞－116时，原方程有两个不相等的实数根． 以上解法对吗？若有错误，请你写出正确的过程． 解：以上解答不正确．正确过程如下：原方程有两个不相等的实数根．∴a≠0 且 b2－4ac＞0，∴2k≠0 且(8k＋1)2－4×2k×8k＞0，∴k＞－116且 k≠0 时原 方程有两个不相等的实数根．
第2章 一元二次方程
2.3 一元二次方程根的判别式
1
会用一元二次方程根的判别式判断根的情况． 【例 1】已知 a、b、c 是△ABC 的三边，则方程(a＋b)x2＋2cx＋a＋b＝0 根的 情况是________． 【思路分析】 因为 a、b、c 是△ABC 的三边，所以 a、b、c 均为正数，此 方程一定是一元二次方程，由 Δ＝(2c)2－4(a＋b)2＝4(a＋b＋c)(c－a－b)，由 三边关系得 a＋b＋c＞0，c－a－b＜0，∴Δ＜0. 【规范解答】 没有实数根
解：(1)把 x＝－1 代入方程得 2a－2b＝0，即 a＝b，∴△ABC 是等腰三角形．
(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，即 b2＋c2＝
a2，∴△ABC 是直角三角形．
(3)∵△ABC 是等边三角形，∴a＝b＝c，∴原方程变为：2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，
B．m＝1
C．m＜1
D．m≤1
5
9．一元二次方程 2x2－3x＋1＝0 的根的情况是( B )
A．有两个相等的实数根
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对一元二次方程根的判别式的好奇心，培养他们主动学习、乐于探究的良好习惯。
2.引导学生认识数学在现实生活中的广泛应用，增强他们学习数学的信心和责任感。
3.培养学生面对问题时的积极态度，使他们学会在困难面前不退缩，勇于挑战，形成正确的价值观。
4.成果展示：每组选派一名代表展示讨论成果，其他组员进行补充。
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生进行即时巩固。
2.练习过程：学生在规定时间内独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
3.反馈与评价：学生互相批改练习题，教师对共性问题进行讲解，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课的重点知识点进行回顾，如判别式的定义、性质和应用。
2.方法总结：引导学生总结运用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
3.情感态度与价值观：强调数学在现实生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和责任感。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的方法。
1.采用问题驱动的教学策略，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探究一元二次方程根的判别式的规律。
2.通过举例、练习和讨论，帮助学生掌握判别式的应用方法，培养他们分析问题、解决问题的能力。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解一元二次方程的一般形式，理解判别式的定义及其数学意义。
湘教版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》精品教案
3. 情感态度与价值观：过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严
谨的治学态度。
重点
用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根或没有实根。
难点
在具体题目中，能用一元二次方程根的判别式判别方程实根个数的情况。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动 设计意图
①当△
时，方程有两个不等的实根：
②当△
时，方程有两个相等实根：
=－ 结 合 导 入 的 思考和老师
讲授新课 +
例题讲解
③当△
时，所以原方程无实根.
我们看一个具体的例子：
【例 1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-3=0；
（2）4x2=12x-9；
（3）7y=5（y2+1）．
分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确
讲解的时候， 道 本 节 课
∴不论 m 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根 自己先思考， 的 学 习 内
【 例 4 】 已 知 ： a 、 b 、 c 是 △ ABC 的 三 边 ， 若 方 程 然 后 再 听 老 容和重点。
ax²+2 △ABC 的形状.
师讲解。 有两个等根，试判断
解：对于原方程Δ ＝0，即
∵△=（-12）2-4×4×9=144-144=0，
∴原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得
5y2-7y+5=0.
∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0，
∴原方程没有实数根.
【例 2】当 k 取什么值时，关于 x 的方程 2x2-（4k+1）
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿1
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是湘教版数学九年级上册第2.3节的内容。
本节主要让学生掌握一元二次方程的根的判别式（()），并能够应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
这一节内容是整个一元二次方程部分的核心，对于学生理解和掌握一元二次方程的解法具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次方程和一元二次方程的基本概念，对代数运算有一定的掌握。
但是，对于一元二次方程的根的判别式的推导和应用，还需要进一步引导和启发。
此外，学生可能对于抽象的数学概念和证明过程感到困惑，需要通过具体的例子和实际操作来加深理解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程根的判别式的定义和意义，掌握判别式的计算方法，并能够应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：学生通过观察、实验、推理和证明等数学活动，培养逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，对数学产生兴趣和自信心，培养合作和交流的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的定义和意义，判别式的计算方法。
2.教学难点：判别式的推导过程，以及如何应用判别式判断一元二次方程的根的情况。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、实验、推理和证明等数学活动，主动探索和发现一元二次方程根的判别式的性质和规律。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型等辅助教学手段，生动形象地展示一元二次方程根的判别式的概念和应用。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出一元二次方程根的判别式的概念，激发学生的兴趣和思考。
2.新课导入：介绍一元二次方程根的判别式的定义和意义，引导学生理解判别式的作用。
3.案例分析：通过具体的例子，讲解判别式的计算方法，让学生通过实际操作来加深理解。
4.性质探索：引导学生观察和分析判别式的性质，让学生通过推理和证明来发现规律。
2.3 一元二次方程根的判别式(课件)2024-2025学年湘教版数学九年级上册
2.3 一元二次方程根的判别式
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 一元二次方程根的判别式
知1－讲
1. 定义：我们把b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0)的根的判别式，记作“Δ”，即Δ＝b2－4ac.
确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别 式的前提是二次项系数不为0.
知1－练
例1 [中考·河南] 关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0 的根 的情况是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
知1－练
解题秘方：由根的判别式与 0 的大小关系判断一元二次方 程根的情况.
感悟新知
知1－练
例2 [中考·锦州] 若关于 x 的一元二次方程 kx2－2x＋3 ＝ 0
有两个实数根，则 k 的取值范围是( )
A．
k
＜
1 3
C． k ＜ 13且 k ≠ 0
B．
kHale Waihona Puke ≤1 3D．
k
≤
1 3
且
k
≠
0
感悟新知
解题秘方：根据根的情况与根的判别式的关系， 知1－练 列等式或不等式进行求解 .
解：∵ 关于 x 的一元二次方程 kx2 － 2x ＋ 3 ＝ 0， ∴ k ≠ 0. ∵方程有两个实数根，
∴
Δ
＝(－
2)
2
－
4k×
3
≥
0，解得
k
≤
1 3
，
∴ k 的取值范围是 答案：D
九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式导学课件新版湘教版
➢ 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向； 分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些 都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解 法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
2020/1/1
精品课件
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2.3 一元二次方程的判别式
目标二 会根据一元二次方程根的情况求未知字母的值或取值范围
例2 高频考题 当m为何值时，一元二次方程(2m＋1)x2＋4mx＋ 2m－3＝0的根满足下列情况：
(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．
[解析] 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根的条件是b2－ 4ac≥0且a≠0.
(1)根据判别式b2－4ac建立不等式或方程；
(2)一元二次方程的二次项系数不等于0.
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精品课件
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2.3 一元二次方程的判别式
2．若条件中是“方程有实数根”，要考虑方程有两种可 能：(1)方程为一元二次方程，(2)方程是一元一次方 程．若条件中指出方程是一元二次方程，则求得的未知字 母必须满足二次项系数不等于0；若条件中没有肯定是一 元二次方程，则要考虑方程是一元一次方程的情况．
➢ 优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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2.3一元二次方程根的判别式++课件 2024—2025学年湘教版数学九年级上册
板书设计
2.3一元二次方程根的判别式
根的判别式∆：
∆>0：
∆=0：
∆<0：
习题讲解书写部分
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.对于一元二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 , 下列说法：①当 =
+ 时，则方程 2 + + = 0一定有一根为 = −1；②若 > 0
B． 2 + 3 + 6 = 0
C． 2 + 8 + 16 = 0
D．( − 1)2 = 9
3.已知关于x 的一元二次方程 2 − = 2 有两个不相等的实数根，
则m的取值范围是（ A ）
A．m＞－1 B．m＜－2 C．m ≥0 D．m＜0
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.已知关于 的方程 2 + (1 − ) − 1 = 0 ，下列说法正确的是( C )
2 − 4 − 2 + 4 = 0
( − 1) 2 − 4 + 4 = 0
∵方程有两个不相等的实数根，
∴k−1≠0，即k≠1，且△＞0，即（-4）2−4×（k−1）×4＞0，
解得k＜2，则k＜2且k≠1，
∴k＜2且k≠1；
作业布置
【综合拓展类作业】
已知关于x的方程 ( − 4) − 2 + 4 = 0
新知导入
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.二次项系数化为1：左右俩边同时除以二次项系数;
2.移项：将常数项移至右边，含未知数的项移至左边;
3.配方：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方;
《2.3一元二次方程根的判别式》作业设计方案-初中数学湘教版12九年级上册
《一元二次方程根的判别式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本节作业设计的目标是让学生掌握一元二次方程根的判别式的基本概念和运用方法，理解判别式与方程根的关系，能够根据给定的一元二次方程利用判别式判断根的情况，并掌握相关的基础练习题。
二、作业内容本节作业主要包括以下内容：1. 判别式的基本概念：介绍判别式的定义，让学生了解判别式在一元二次方程解的判断中的作用。
2. 判别式的计算方法：通过例题，让学生掌握如何计算一元二次方程的判别式。
3. 判别式与方程根的关系：通过实例分析，让学生理解判别式的大小与方程根的关系，即当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于零时，方程无实数根。
4. 基础练习题：设计一系列一元二次方程的判别式计算题和判断题，让学生进行练习。
三、作业要求本节作业要求学生：1. 理解并掌握判别式的基本概念及计算方法；2. 准确判断一元二次方程的根的情况；3. 独立完成基础练习题，并理解解题过程；4. 遇到问题及时查阅资料或向老师请教；5. 作业需按时提交，字迹工整，步骤清晰。
四、作业评价1. 对学生的判别式基本概念的理解和计算能力进行评价；2. 评价学生对一元二次方程根的判断能力；3. 评估学生的练习题完成情况，包括解题的正确性、解题思路的清晰度以及解题步骤的完整性；4. 对学生的自主学习能力和问题解决能力进行评价。
五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改，对错误的地方进行标注并给出相应的指导；2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行讲解和答疑；3. 对优秀的学生给予表扬和鼓励，对需要帮助的学生提供指导和支持；4. 将学生的作业情况及时反馈给学生，让学生了解自己的学习情况，以便进行针对性的复习和提高。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本节课的作业设计旨在帮助学生深入理解一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握根据判别式确定方程的根的情况，提升学生在实际问题中运用数学知识的能力。
湘教版-数学-九年级上册-2.3一元二次方程根的判别式 教案
一元二次方程根的判别式教案教学目标1、 了解什么是一元二次方程根的判别式；2、 知道一元二次方程根的判别式的应用。
重点：如何应用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况；难点：根的判别式的变式应用。
导学流程复习引入复习一元二次方程求根公式。
用公式法解下列方程，看公式中的哪一部分能判别根的情况。
根据以上解方程的过程总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）只有当系数a 、b 、c 满足条件b 2－4ac___0时才有实数根观察上式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况：① 当b 2－4ac ＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等） ②当b 2－4ac ＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根 x 1＝x 2＝＿＿＿＿＿＿＿＿③当b 2－4ac ＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根.精讲点拨这里的b 2－4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根，如对方程x 2－x ＋1＝0，可由b 2－4ac ＝＿＿＿＿＿0直接判断它＿＿＿＿实数根；合作交流方程根的判别式应用例题：1、不解方程，判断以上方程根的情况。
2.在一元二次方程)0a 0ax 2≠=++（c bx 中， ()()()222153202254203210x x y yx --=+=++=A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法确定1.不解方程，判别下列方程的根的情况。
例2：已知关于 x 的方程 ，问 x 取何值时，这个方程：⑴有两个不相等的实数根？⑵有两个相等的实数根？⑶没有实数根？学生练习：1、 方程 有等根时,实数a 的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)大于22、关于x 的一元二次方程 有两个实数根，则m 的取值范围为 .2、 说明不论ｋ取何值，关于x 的方程x 2＋(2ｋ＋１)x ＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根4、课本P45,练习题1、2.课堂小结：② 本节课你学到了什么知识？掌握了什么方法？③ 本节课你有什么收获？还有什么疑问?作业：课本P45 习题2. 3 230x x k -+=2x a ax+=2(1)20m x mx m --+=()()()()22212540275203(1)34325x x t t x x y --=-+=+=+=。
《2.3一元二次方程根的判别式》作业设计方案-初中数学湘教版12九年级上册
《一元二次方程根的判别式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对一元二次方程根的判别式的理解，掌握其应用方法，并能够通过实践操作加深对判别式在解决实际问题中作用的认识。
二、作业内容1. 理论知识巩固：（1）复习一元二次方程的标准形式，并强调根的判别式的重要性。
（2）详细解释判别式的计算过程及其与方程根的关系。
（3）通过例题讲解，使学生掌握判别式在判断方程实根和虚根的应用。
2. 实践操作练习：（1）布置适量习题，包括计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况。
（2）设计应用题，让学生运用判别式解决实际问题，如根据条件判断物体运动轨迹等。
（3）设置开放性问题，鼓励学生自主探索判别式在其他领域的应用。
3. 拓展延伸学习：（1）引导学生阅读相关数学资料，了解判别式在数学其他领域的应用。
（2）鼓励学生通过小组合作，探讨判别式在实际生活中的应用案例。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 计算过程需详细，每一步计算都应有明确的解释或推导。
3. 作业中应包含足够的例题和练习题，并附有详细的解题步骤和答案。
4. 拓展延伸部分需有记录和总结，体现学生的自主学习和探索过程。
四、作业评价1. 教师将根据学生作业的完成情况、计算过程的正确性、解题思路的清晰度等方面进行评价。
2. 对于优秀作业，将在课堂上进行展示和表扬，鼓励其他学生向其学习。
3. 对于存在问题的作业，教师将进行个别指导，帮助学生找出问题所在，并指导其改正。
五、作业反馈1. 教师将根据学生作业中普遍存在的问题，在课堂上进行重点讲解和答疑。
2. 对于学生在拓展延伸部分的表现，教师将给予鼓励和建议，帮助学生进一步提高自主学习能力。
3. 定期收集学生对于作业设计的反馈意见，以便于教师调整教学策略，更好地满足学生的学习需求。
通过本次作业的精心设计，以期能让学生在巩固一元二次方程根的判别式理论知识的同时，通过实践操作和拓展延伸学习，加深对判别式应用的理解和掌握，提高其解决实际问题的能力。
第17课时2.3 一元二次方程根的判别式(九年级上册数学集体备课)
我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，总是要求
b2-4ac≥0,这是为什么？
3、观察求根公式 回答下列问题：
（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？
（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？
教
学
过
程
一、情景导入，初步认知
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我.
二、思考探究，获取新知
1、问题：什么是求根公式？它有什么作用？
布置作业：教材P45“习题2.3”中第1、2、3题.
板
书
设
计
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况：
(1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当Δ＜0时，方程无实数根.
2、求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
3、应用判别式解决有关问题时，前提条件为：“方程是一二次方程”，即二次项系数不为0.
文明铺镇中学九年级数学集体备课教案
备课序号：17授课班级：二次备课教师：教研组长审批：授课日期：
课题
2.3一元二次方程根的判别式
课型
新授
课时
安排
1课时
集备人
主备人
桂芳林
审核
桂芳林
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿2
湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》说课稿2一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.3《一元二次方程根的判别式》是本册教材中的一个重要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次方程的解法以及二次函数的图像的基础上进行讲解的。
通过学习这部分内容，学生能够理解一元二次方程的根的判别式的含义，掌握求解一元二次方程根的判别式的方法，并能够应用判别式解决实际问题。
本节课的主要内容是让学生学习一元二次方程的根的判别式，并能够运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握判别式的求法和应用。
二. 学情分析在进入九年级的学生中，大部分学生已经掌握了二次方程的解法以及二次函数的图像。
他们对这些概念和知识点有了一定的理解，但可能在应用上还存在一些困难。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生将理论知识应用到实际问题中，提高他们的解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的根的判别式的含义，掌握求解一元二次方程根的判别式的方法，并能够应用判别式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过小组合作和讨论，学生能够培养团队合作的能力，提高解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，培养积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解一元二次方程的根的判别式的含义，掌握求解一元二次方程根的判别式的方法。
2.教学难点：学生能够将判别式应用到实际问题中，解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和实践活动法相结合的方法。
首先，我会通过讲解和举例的方式，向学生解释一元二次方程的根的判别式的概念和方法。
然后，我会学生进行小组合作和讨论，让他们通过实践活动来应用判别式解决实际问题。
此外，我还会利用多媒体教学手段，如PPT和数学软件，来辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入：通过复习二次方程的解法以及二次函数的图像，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》优秀教学案例
在教学过程中，我将采用问题导向的教学方法，引导学生主动发现、提出和解决问题。针对一元二次方程的根的判别式，我会设计一系列具有启发性的问题，如：“什么情况下方程有两个不相等的实数根？”“如何判断一个一元二次方程没有实数根？”等。通过这些问题，引导学生进行思考、探索，培养他们的逻辑思维能力入新课的环节，我将利用学生已有的知识经验，通过提出一个简单的问题来引起学生的思考：“我们已经学过的一元二次方程有哪些解法？”学生可能会提到因式分解、配方法等。接着我会追问：“那么，我们如何快速判断一个一元二次方程有几个实数根，它们是相等还是不等呢？”这样的导入既复习了旧知识，又为新课的学习埋下了伏笔，激发了学生的探究欲望。
为了让学生更好地理解一元二次方程的根的判别式的概念，我将创设贴近学生生活的教学情景。例如，可以引入一个关于掷骰子游戏的情景，让学生思考如何通过数学方法来判断游戏双方的胜负。在这个情景中，一元二次方程的根的判别式成为了解决问题的钥匙，激发了学生的好奇心和探索欲望。通过这种情景创设，学生能够更加直观地感受到数学知识在实际生活中的应用，从而提高他们的学习兴趣。
在作业小结环节，我会提醒学生在完成作业时要注意的问题，比如计算过程中的细节、解题思路的清晰性等。同时，我也会鼓励学生遇到问题时积极思考、主动求解，培养他们独立解决问题的能力。通过这样的教学内容与过程设计，我相信学生能够在一元二次方程的根的判别式这一章节中学有所得，学有所成。
五、案例亮点
1.创设生活化教学情景，提高学生的学习兴趣
3.小组合作学习，提高学生的团队协作能力
案例中，小组合作成为学生学习的重要途径。通过分组讨论、共同解决问题，学生能够在互动交流中互补优势，共同进步。同时，小组合作还有助于培养学生的团队协作能力和沟通能力，为他们的未来成长奠定基础。
九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》教案、教学设计
（1）通过分类讨论，让学生明确判别式的符号与方程根的关系，降低判断错误的可能性。
（2）利用数形结合的方法，将判别式与一元二次方程的图像相结合，帮助学生形象地理解判别式的符号意义。
（3）对学生在运用判别式时出现的常见错误进行剖析，引导学生总结经验，提高解题能力。
3.教学过程设想：
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成。这些题目会涵盖判别式的计算、应用以及一元二次方程根的判断等各个方面。我会要求学生在规定时间内完成练习，并及时批改和反馈。
针对学生在练习中出现的典型错误，我会进行集中讲解，分析错误原因，并指导学生如何避免类似错误。这样的练习有助于巩固学生对判别式知识的掌握，并提高他们解决实际问题的能力。
（2）当判别式大于0、等于0和小于0时，分别对应方程的哪些根的情况？
（3）请举例说明在实际问题中如何运用判别式求解一元二次方程的根。
3.请同学们尝试解决以下拓展题目：
（1）已知一元二次方程的判别式，如何求解该方程的根？
（2）已知一元二次方程的根，如何反推判别式的值？
4.针对本节课的内容，请同学们撰写学习心得，内容包括：
4.设计分层练习，使学生在巩固基础知识的同时，提高解决问题的能力。
5.引导学生总结学习过程中的经验与教训，培养学生的自我反思和自我调整能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对方程根的判别式的兴趣，激发学生学习数学的热情。
2.培养学生勇于探索、积极思考的良好习惯，增强学生的自信心和自我效能感。
3.培养学生团结协作、互帮互助的精神，提高学生的沟通能力。
2.知识难点：理解判别式的符号意义，正确运用判别式判断方程根的情况。
湘教版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式 》知识全解
《一元二次方程根的判别式》知识全解课标要求会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等.知识结构内容解析1.求根公式的推导：解：20ax bx c ++=方程两边都除以a ，得:20b c x x a a ++= 配方，得：222()()22b b c b x x a a a a ++=-+ 即：2224()24b b ac x a a -+= 当24b ac -≥0时，开平方得：2422b b ac x a a ±-+= 所以方程的解是：242b b ac x a-±-= 当24b ac -<0时，方程无实数根.2.一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的情况由24b ac -来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“△”表示，即△＝24b ac -.一般地，方程20ax bx c ++=（a ≠0）.当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程没有实数根.反过来，有当方程有两个不相等的实数根时，△>0；当方程有两个相等的实数根时，△＝0；当方程没有实数根时，△<0.注意：一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程判别根的情况；②根据方程解的情况确定系数的取值范围.重点难点教学重点：能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理。
教学难点： 从具体题目来推出一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的24b ac -的情况与根的情况的关系教法导引采用启发式、自主探究式的教学方法.本节课借助多媒体辅助教学，由特殊到一般指导学生通过观察与演示，总结配方规律，从而突破难点.同时学生经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力，发挥学生的自觉性、活动性和创造性.通过复习回顾，用公式法解一元二次方程的一般步骤，并通过纠正板演同学的解题过程，加深学生的印象；进而学习运用根的判别式判别方程根的情况和进行有关的推理.学法建议依照学生的认知规律引导学生从简单的问题中发现规律，在训练内容的选择上考虑到学生接受新旧知识结合的能力：一是以方法为主，采用层层递进的方式，由公式法过渡到根的判别式.二是以基本技能为主，运用实际例题培养学生独立分析、理解能力和思考解决问题的能力，提高解题技巧.。
湘教版九年级数学上：2.3《一元二次方程根的判别式》课件(共15张PPT)共17页
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
END
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
湘教版九上数学2.3 一元二次方程根的判别式
例1.不解方程,判别方程 5 x2 1 x 0
的根的情况______________
方程要先化
解:5x2 x 5 0
为一般形式
Δ
1
2
4
5
5
再求判别式 101 0
原方程有两个不相等的实数根
例2.在一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)中
若a与c异号,则方程 ( A )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法
C. 1/4 D.- 1/4
课堂小结
通过这节课的学习活动， 你有什么收获？
课后作业
• 1.从课后习题中选取； • 2.完成练习册本课时的习题。
4.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论 正确的是 ( D )
A.当k=1/2时，方程两根互为相反数 B.当k=0时，方程的根是x=-1 C.当k=±1时，方程两根互为倒数 D.当k≤1/4时，方程有实数根
5那.若么一n元二的次值方为程x2 A.m-4 B.4
mx n 0有两个相等的实数根， ( C)
（3）当b2
4ac＜0时，b2
4ac 4a2
＜0，
由于负数在实数范围内没有平方根，
所以原方程没有2 4ac
当Δ 0时 方程有两个不相等的实数根 当Δ 0时 方程有两个相等的实数根 当Δ 0时 方程没有实数根
主要应用: 1.不解方程判断一元二次方程根的情况 2.已知方程根的情况确定字母的取值范围
2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式.
2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
【教学课件】《一元二次方程根的判别式》(湘教版)
则m2≠0 ① ∆=[-(2m-1)]2≥0 ②
1 解得m≤ 4 且 m≠0
而题中要求m为非负整数，因此这样的非负整数m不存在
例4：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BD=b，BC=c,且关于x的 一元二次方程ax2-2bx+c=0有两个相等的实数根，求证：∠BDC=∠A
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.1821.9.18Saturday, September 18, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。14:40:3314:40:3314:409/18/2021 2:40:33 PM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1814:40:3314:40Sep-2118-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。14:40:3314:40:3314:40Saturday, September 18, 2021
填空题
1、关于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情况是有_两__个__不_相__等__的__实_数__根
2 关于的一元二次方程（a+c）x2+bx+ 根，则∆ABC为—直—角——三角形
a
4
c
=0有两个相等的实数
二、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有两个不相等 的实数根.
•
优秀教案2018-2019学年最新湘教版九年级上学期数学《一元二次方程根的判别式》教学设计
2.3 一元二次方程根的判别式教学目标：1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．3. 通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．教学重点: 一元二次方程根的判别式的内容及应用．教学难点: 1.一元二次方程根的判别式的推导．2.利用根的判别式进行有关证明教学过程：复习提问1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？2．用公式法求出下列方程的解：(1)3x2＋x－10＝0；(2)x2－8x＋16＝0；(3)2x2－6x＋5＝0．引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)新课先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为∵a≠0，∴4a2＞0．由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．(2)当b2－4ac＝0时，方程右边是0．通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定．故称b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．例1.不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x2＋3x－4＝0； (2)16y2＋9＝24y； (3)5(x2＋1)－7x＝0．分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可．例2．当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．例3. 求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根.归纳总结应用判别式解题应注意以下几点：1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．2．一元二次方程根的判别式的逆命题也是成立的．布置作业：习题2.2 4题达标测试：1.证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根．2.a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根．3.若m≠n，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根．4.已知，关于x的方程（a-2）x2-2（a-1）x+（a+1）＝0，当a为何非负整数时；①.方程只有一个实数根.②方程有两个相等的实数根.③方程没有实数根.。
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2.3一元二次方程根的判别式
教学目标
【知识与技能】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.
【过程与方法】
经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
【情感态度】
积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲.
【教学重点】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证.
【教学难点】
从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系.
教学过程
一、情景导入，初步认知
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我.
【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.
二、思考探究，获取新知
1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？
2.观察求根公式x=回答下列问题：
（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？
（2）当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？
（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有几个根？
3.综上所知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况是由b2-4ac来判断的.
【归纳结论】我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.
即：Δ=b 2
-4ac
⑴当Δ=b 2-4ac>0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等实数根即
12b x a =－，22b x a
=－. ⑵当Δ=b 2-4ac=0时，一元二次方程ax 2
+bx+c=0（a ≠0）有两个相等实数根.
⑶当Δ=b 2-4ac<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）没有实数根.
4.不解方程判定下列方程的根的情况.
(1)3x 2+4x-3=0
(2)4x 2=12x-9
(3)7y=5(y 2+1)
解：(1)因为Δ=b 2-4ac=42-4×3×（-3）
=52>0
所以，原方程有两个不相等的实数根.
（2）将原方程化为一般形式，得
4x 2-12x+9=0
因为Δ=b 2-4ac=(-12)2-4×4×9
=0
所以，原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得
5y 2-7y+5=0
因为Δ=b 2-4ac=(-7)2-4×5×5
=-51<0
所以，原方程没有实数根.
【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣.
三、运用新知，深化理解
1.已知方程x 2+px+q=0有两个相等的实根，则p 与q 的关系是．
【答案】 p 2-4q=0
2.若方程x 2+px+q=0的两个根是-2和3，则p ，q 的值分别为.
【答案】 -1，-6
3.判断下列方程是否有解：
（1）5x2-2=6x（2）3x2+2x+1=0
解析：演算或口算出b2－4ac，从而判断是否有根
解：（1）有（2）没有
4.不解方程，判定方程根的情况.
（1）16x2+8x=-3（2）9x2+6x+1=0
（3）2x2-9x+8=0（4）x2-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：（1）化为16x2+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0
所以，方程没有实数根．
（2）a=9，b=6，c=1，
b2-4ac=36-36=0，
∴方程有两个相等的实数根．
（3）a=2，b=-9，c=8
b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0
∴方程有两个不相等的实根．
（4）a=1，b=-7，c=-18
b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0
∴方程有两个不相等的实根．
5.若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．
∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0
∴a<-2
∵ax+3>0即ax>-3,∴x<-3/a
∴所求不等式的解集为x<-3/a
6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=-3时，求方程的根．
分析：（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式Δ=b2－4ac的值的符号即可判断：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根.
（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可.
解：（1）∵当m=3时，Δ=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，
∴原方程无实数根.
（2）当m=-3时，原方程变为x2+2x-3=0，
∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0.
∴x1=1，x2=-3.
7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
(1)求q关于p的关系式；
(2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；
（2）由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
解：（1）∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2，
∴4+2p+q+1=0，
即q=-2p-5；
（2）证明：令x2+px+q=0．则Δ=p2-4q=p2-4（-2p-5）=（p+4）2+4＞0，即Δ＞0，所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点．
【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题.
教学反思
本节课的教学坚持从学生实际出发，以学生为主体，注重对新理念的贯彻和教学方法的使用；在突破难点时，多种方法并用，注意培养自学能力；坚持当堂训练，例题、练习的设计针对性强，重点突出，对方法的总结言简意赅；学生能够积极、主动的参与，充分经历了知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握了知识，形成了技能，发展了思维；教学效果很好！。