涂色问题(计数原理)

计数原理之涂色问题

湖北省天门中学薛德斌2020年9月

方法：分步中分类，列举

1. [2007年江西省高中数学竞赛T4] 用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A、B、C、D四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方法共有________种．

C，D的顺序涂色，则A有4种涂法，B有3种涂法，C可分两类进行：

①当C与A的颜色相同时，D有3种涂法；

②当C与A的颜色不同时，C有2种涂法，D有2种涂法．

根据两个基本原理可得，不同的涂色方法共有4×3×(1×3＋2×2)＝84种．

2.用3种不同颜色给五边形的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条边的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有________种．

解：按A，B，C，D，E的顺序涂色，则A有3种涂法，B有2种涂法，涂C的涂法可分两类进行：

①当C与A的颜色相同时，D，E的涂法有2种；

②当C与A的颜色不同时，D，E的涂法有3种．

根据两个基本原理可得，共有不同的涂色方法3×2×(1×2＋1×3)＝30(种)．

3.如图，用4种不同的颜色给图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法种数为________．

解法一：按1，2，3，4，5的顺序涂色，4×3×(1×2＋2×3)＝96．

解法二：按1，2，4，3，5的顺序涂色，4×3×2 ×4＝96．（列举）

4.[2010年高考天津卷理T10/10]如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六

个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（）

A．288种B．264种C．240种D．168种

解：先考虑给A ， D ，E 涂色，有34A 种不同的涂色方法，再列举可知B ，C ，F 有2×4＋1×3

种不同的涂色方法，不同的涂色方法共有3

4A ×(2×4＋1×3)＝264种．

5.如图为我国数学家赵爽在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有________种．

解：3

5(1322)420A ⨯+⨯=．

6.用5种不同颜色给四棱锥P ABCD -的5个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有________种．

解：35(1322)420A ⨯+⨯=．

7.用四种不同颜色给三棱柱111ABC A B C -的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有________种．

34A ×(2×4＋1×3)＝264

8.用4种不同的颜色给正方体的六个面染色，要求相邻两个面染不同的颜色，则不同的染色方法共有______种．

解：按前后左右四个面染2种颜色和3种颜色分类，共有不同的染色方法共有

2232442322196A C ⨯+⨯⨯⨯⨯=种．

9．[2008年四川省高中数学竞赛T11] 用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,,9的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有____种．

F

E

D C B

A

解：12232(22)108C A ⨯⨯+=．

10.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为1、2、3、4的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为______．

解：相当于用4种颜色给四棱锥的8条棱涂色，且有公共顶点的棱涂色不同，先给4条侧棱

涂色，再给底边涂色，共有不同的涂色方法44248A ⨯=种．

11．一条走廊宽2m ，长8m ，用6种边长为1m 的整块地砖来铺设（每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多），要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同的拚色方法有______种．（只要求填写算式，不要求计算结果）

277

6(1544)30

21A ⨯⨯+⨯=⨯．

12．直线,x m y x

==将圆面22

4x y +≤分成若干块，现在用5种不同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有涂法120种，则m 的取值范围是______． ( 解：45120A =，圆面被分成四块，(m ∈．

13．[2001年全国数学联赛T12] 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有______种栽种方案．

解：A 有4种选法，B 有3种选法，先按A ，C 相同与不同分成两类，A ，C 相同时再按D ，F 相同与不同分类，A ，C 不同时再按A ，D 相同与不同分类，不同的栽种方案共有

{}2233431(332)2[12(1

322)]732A A ⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=种．

14．[2008年湖南省高中数学竞赛T13] 将一个44⨯棋盘中的8个小格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有_______不同的染法．

解：第一行染2个黑格有2

4C 种染法.第一行染好后，有如下三种情况：

（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；

（2）第二行染的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有24C 种染法，第四行的染法随之确定；

（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定．

因此，共有染法为()2411164290C ⨯⨯+⨯+⨯=种．

15．[2007年全国数学联赛T12] 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种．

解法一：先填a 使2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，再填b ，按2个b 和2

个a 有2个、1 个、0个同行分类，符合题设条件的填法共有2472(766)3960A ⨯+⨯+=种．

解法二：先填a 使2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，再填b ，使2个b 既不

同行也不同列的填法也有224472C A =种，其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格

内都填有b 的情况有1种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有2816⨯=种， 所以，符合题设条件的填法共有72(72116)3960⨯--=种．