计数原理(公开课)

分类加法计数原理与分步乘法计数原理
熊向前208班
【教材分析】“分类加法计数原理和分步乘法计数原理”是人教A版高中数学课标教材选修2-3“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学需要安排4个课时，本节课为第1课时．两个计数原理不仅是继续学习排列、组合和二项式定理的理论依据，更是处理计数问题的两种基本思想方法，在本章中是奠基性的知识．两个计数原理的灵魂是划归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身．从数学本质的角度看，以退为进，以简驭繁，是理解和掌握两个计数原理的关键，运用两个计数原理是知识转化为能力的催化剂．
【学情分析】在高中数学《必修2》中学习“古典概型”时，已学会了用列举法解决最简单的计数问题；同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题，这些都是学生学习两个计数原理的认知基础．两个计数原理虽简单朴素，易学好懂，但如何让学生借助已有的数学活动经验，抽象概括出两个计数原理，并领悟其中重要的数学思想方法，则是本课必须要突破的难点．为此，抓住以下两个要点尤为重要：一是要通过典型丰富的实例来帮助学生完成归纳提炼的过程，加强学生应用两个计数原理解决问题的意识——这是有效提升学生抽象概括能力的契机；二是要在解决问题的过程中，始终突出两个计数原理的核心要素，即弄清“完成一件事”的含义和区分“分步”与“分类”的特征——这是如何选择两个计数原理的关键．
【教学目标】知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题．过程与方法：通过诱导，探索得出结论，培养学生的理解能力和抽象概括能力；通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力．情感、态度与价值观：通过实例引入体会数学来源生活，并为生活服务，激发学生学习本章的兴趣；通过探索与发现的过程，使学生体会数学研究的成功与快乐，学会提出问题、分析问题、解决问题，激发学生勇于探索，敢于创新的精神，优化学生的思维品质．
【教学重点】归纳出两个计数原理，并能初步用其解决一些简单的实际问题．
【教学难点】准确区分“分类”和“分步”．
【教学方法】本节课是概念原理课的教学典范．采用问题式教学为主，辅以启发式、探究式、自助式、讨论式的教学方式．
【教学用具】粉笔、多媒体等．
【教学过程】
1．创设情境，提出问题
“日”字加一笔能够组成多少个常见的汉字？（田、申、甲、由、电、旧、旦、白、目共9个．）我们将这种方法数的计算问题都称之为计数问题．生活中还有很多计数问题，如：（1）座子上有多少本书？（2）教室里面坐了多少个人？（3）从甲、乙、丙中选一个人当班
长，有多少种？（4）某地区的车牌号为“鄂A+2个大写字母+3个数学”（其中字母不能为O 或I ），问这样的车牌号有多少种？
【设计意图】以一个有趣的语文问题引出计数问题，激发学生的求知欲，前三个可以直接数或者用列举法，最后一个无法用已有的知识来解决，从而让学生认识到学习计数原理的重要性，提高学生主动参与学习的积极性，并感受到数学来源于生活并服务于生活．
2．实例探究，归纳原理
探究一
问题1：(1)小明要从佛山到北京，一天中飞机有3班，火车有2班，一天中乘坐这些交通工具从佛山到北京共有多少种不同的方法？（3+2=5种）
(2)用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？（阿拉伯数字为0、1、2……9）（26+10=36种）．
问题2：这两个计数问题有什么共同特征呢？你能根据这些特征概括出一个规律吗？ 分类加法计数原理：如果完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有N m n =+种不同的方法．
注意：这里的关键词是“完成一件事”、“分类”、“加法”，每类中的任一种方法都能独立完成这件事．
【设计意图】通过两个典型的实例概括获得分类计数问题的特征，从中抽象出分类加法计数原理．学生回答，教师注意引导学生概括得到“分类”“加法”上，要让学生独立思考、自主探究，使他们体会到知识获得的过程，体会从从特殊到一般地数学思想．
例1 在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A ，B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：
A 大学
B 大学
生物学 数 学
化 学 会计学
医 学 信息技术学
物理学 法 学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
变式：上述问题中，再增加一所C 大学：新闻学、金融学、人力资源学，如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？
推广：如果完成一件事情有3类不同方案，第1类方案中有m 1种不同方法，第2类方案中有m 2种不同方法，第3类方案中有m 3种不同方法，那么完成这件事情有
m 1+ m 2+ m 3种不同的方法。

一般地，如果完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m 1种不同的方法，在第2类中有m 2种不同的方法…，在第类中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有种12n N m m m =+++ 不同方法． 【设计意图】巩固概念，学会运用原理解决简单的问题，例1给生成加法原理的一般形式搭建一个脚手架，从例题到变式再到推广由浅入深，循序渐进．
探究二
问题3：（1）小明先从佛山到上海，火车有3班，一天后再从上海到北京，飞机有2班。

小明乘坐这些交通工具从佛山经上海到北京共有多少种不同的走法？
（2）用大写英文字母A 、B 、C 、D 、E 、F 中的一个和1～9九个阿拉伯数字中的一个，组成形如A1，B2的方式给宿舍编号，总共能编出多少个不同的号码?
问题4：类比加法计数原理，归纳问题3和问题4的共同特点，我们可以得出什么结论？ 分步乘法计数原理：如果完成一件事需要两个步骤，第一步有m 种不同的方法，第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N m n =⨯种不同的方法．
这里的关键词是完成一件事，分步，乘法，每步中的任一种方法都不能独立的完成这件事，只有各个步骤都完成才算做完这件事情．
【设计意图】从加法原理过渡到乘法原理，让学生检验分步相乘的合理性与简洁性．让学生从感性体验上升到理性认识，通过独立思考、自主探究归纳出原理．
例2 某班有男生30名，女生24名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，共有多少种不同的选法？
变式：某班有男生30名，女生24名，任课老师10名，现要从中选出男、女生各一名代表班级参加公益活动，还要从中选派1名老师作领队，组成代表队，共有多少种不同选法？ 推广：一般地，如果完成一件事要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有种12n N m m m =⨯⨯⨯ 不同方法．
【设计意图】由于有了加法原理的一般形式的研究过程，这里可以直接引导学生运用类比得到乘法原理的一般形式．
问题5：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和不同点是什么?
3．演练反馈，巩固提升
例3 书架第1层放有4本不同的数学书,第2层放有3本不同的语文书,第3层放有2本不同的化学书．
（1）从书架的第1，2，3层各取一本书，有多少种不同取法？
（2）从书架中任取1本书，有多少种不同的取法？
变式：从书架中取2本不同种类的书，有多少种不同的取法？
解题关键：①完成一件什么事情？②完成这件事有什么要求？③如何完成这件事，是“分类”还是“分步”？
【设计意图】设问循序渐进，突出强调解题时，弄清完成一件事的要求至关重要，只有这样才能正确区分“分类”和“分步”（区分的关键是对“完成一件事”的理解）．针对性练习：如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路可以走，从丙地到丁地有2条路。

从甲地到丁地共有多少种不同地走法？
【学以致用】某地区的车牌号为“鄂A+2个大写字母+3个数学”（其中字母不能为O或I），问这样的车牌号有多少种？
【设计意图】运用乘法原理解决生活中的实际问题，同时与课前提出的问题相呼应．4、归纳小结，认知升华
你在本节课学到了什么？1.解决计数问题的基本方法：列举法、两个计数原理;2.选择两个原理解题的关键是：根据题目，弄清完成一件事的要求至关重要，只有这样才能正确区分“分类”和“分步”．
【设计意图】学生在谈收获的同时，就是学生主动建构知识的过程，加深了对本章知识的理解和思想方法的掌握．
5．随堂检测
1、某校高一有6个班，高二有8个班，从中选择1个班级担任周一早晨的升旗任务，一共有多少种不同选法？
2、某商场有6个门，某人从其中的任意一个门进入商场，再从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？
3. 【2016全国卷2】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（A）24 （B）18 （C）12 （D）9
6．课后检测，拓展铺垫
（1）阅读作业：阅读教材第6页至第10页；
（2）书面作业：教材第6页练习1，2，教材第10页练
习1
（3）（思考题）2014高考改革方案——改革考试科目设置：“考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试中的3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物等6个科目中自主选择．”如果按照这样的报考要求，某位考生可以有多少种不同的选择？
附：板书设计（略）。