第五章 弯曲变形
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第五章弯曲
L = l1 + l 2 + x / t
第三节 弯曲力的计算
一、弯曲力的计算 1．自由弯曲 V 形件
0.6kBt 2σ b F= r +t 0.7kBt 2σ b F= r +t
U 形件
B―――弯曲件的宽度； r―――弯曲件的内弯曲半径； k―――安全系数，k=1.3. 2.校正弯曲
F = Ap
A―――校正部分投影面积； P―――单位校正力，
横断面变化
宽向：
外区收缩 内区伸长
a.窄板（B＜3t）—变成扇形内区 宽度增加，外区宽度减小 b.宽板（B＞3t）—保持矩形断面
四、弯曲变形程度及其极限 1．变形程度的表达 弹性弯曲时，距中性层y处切向应变 切向应力
t 2 r+ t 2
ε θ = ln
( ρ + y )α
σ θ = Eε θ = E
第五章 内容简介： 内容简介： 弯曲是冲压基本工序。
弯曲成形技术
本章在分析弯曲变形过程及弯曲件质量影响因素的基 础上，介绍弯曲工艺计算、工艺方案制定和弯曲模设计。 涉及弯曲变形过程分析、弯曲半径及最小弯曲半径影响因 素、弯曲卸载后的回弹及影响因素、减少回弹的措施、坯 料尺寸计算、工艺性分析与工艺方案确定、弯曲模典型结 构、弯曲模工作零件设计等。
端部加压（镦整），使内、外层都受压应力，回弹一致
软凹模弯曲，使凹模产生拉伸变形
五、弯曲时的偏移
（1）原因：受力不对称。 （2）影响因素：毛坯形状不对称； 工件结构不对称； 模具结构不合理； 模具圆角、间隙、粗糙度不对称。
（3）克服偏移措施 a.压料（打顶板） ； b.定位（开定位孔） ； c.不对称件→成对弯曲→剖切， d.模具制造对称：Z/Ra/r。
第五章薄板弯曲
M ym 1 4
Zn b 12
M xn a 12
M yn
T
1 b 4 pab 4 12
a 12
(5.17)
其中Zi和Mxi、Myi为i节点沿z向的力和绕x、y轴的力偶。
由上式可见，单元在均布的横向载荷p作用下，每个 节点不但分配有全部单元横向力4pab的1/4，而且对 各节点还分配有绕x、y轴的力偶。
式中的[B]也可称为单元的应变矩阵，按 节点分块表示，有
B Bk
Bl
Bm
Bn
而对任一节点i的应变矩阵，按图5-4所示的 坐标轴，有(5.14)(p81)
单元的内力
如已解出板结构的全部节点位移{δ}，则 对任意的e单元都可以找出相应的单元节 点位移{δ} e ，再应用应变矩阵[B]和薄板 弯曲的弹性矩阵[D]，即可得到单元的内 力 e {M } [ D][ B]
(5.2)
应力与应变的关系为
x 1 y Dp Dp z xy
(5.3)
其中[Dp]即平面应力问题的弹性系数矩阵
板的中面处z=0，有
0
0
即中曲面内没有面内应变，也没有面内应力。
第五章
薄板弯曲
5.1 薄板的弯曲变形
如h以表示板厚，以l表示其他方向的尺寸， 当h/l<15时，可认为是薄板。 板内厚度中点构成的平面称中面。 板件一般常驻有垂直于中面的载荷（横 向载荷），在载荷作用下，板面发生弯 曲，中面由平面变为曲面，称为挠曲面。
以未变形的中面为xy坐标面，中面各点 沿z轴的横向位移以w表示，称为挠度， 如图5-1所示。 一般挠度为中面各点坐标的函数，即 w=w(x,y) 称为挠曲面方程。
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
第5章 弯曲应力分析
中
来的横截面仍为平面,只是绕中
z性
性轴转动,且距中性轴等高处变
轴
形相等。
⑶ 几何方程
y(对称轴)
纵向纤维AB的纵向线应变
O
（
（（
A1B1 AB A1B1（ O1O2
AB
O1O2
(ρ y)dθ ρdθ y
ρdθ
ρ
ac
d
O1
O2 O1 O2 x
A
y B
A1
B1
bd y
— 纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
中性层是梁内一层既不 伸长也不缩短,不受拉应力和 压应力的纤维层。中性层与 横截面的交线为中性轴。
Northeastern University
纵向对称面 中 性 轴
中性层
ac
bd
M ac
M
bd
PAG 6
§5-2 纯弯曲时的正应力
Northeastern University
⑵ 平面假设:梁弯曲变形后,原
Aρ
z
σdA
x
σdA
y
E y2dA
ρA
Iz
y2dA
A
—
横截面对中性轴的惯性矩
EIz M 中性层的曲率 1 M z
ρ
ρ E—Iz 梁的弯曲刚度
PAG 12
§5-2 纯弯曲时的正应力
Northeastern University
等直梁纯弯曲时横截 面上任一点的正应力
σ Ey M z y
y
yC
x dA
a r
bC y
xC
x
典型应用：求组合截面的惯性矩
Ix ( Ii )x ( Ixci ai2 Ai )
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第五章弯曲内力
2、判断各段Q、M图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第5章弯曲应力
Iz
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
M
M
中性轴
z
m
n
y
o
o
dA
z
mn
y
dx
Mzy
Iz
max
Mz Wz
M
MZ:横截面上的弯矩
y:到中性轴的距离
IZ:截面对中性轴的惯性矩
M
中性轴
§5-2 惯性矩的计算
一、静矩 P319
y
Sz ydA
A
z dA
zc
c y
S y zdA
yc
A
o
z
分别为平面图形对z 轴和 y 轴的静矩。
ySc Az ydA
F M
F
a
B
F
Fa
5.3 梁弯曲时的正应力
若梁在某段内各横截
面上的弯矩为常量, F
F
a
a
剪力为零, 则该段梁 A 的弯曲就称为纯弯曲。
B
Fs
在 AC 和 DB 段 内 横 截 面上既有弯矩又有剪 M 力, 这种情况称为横 力弯曲或剪切弯曲。
F F
Fa
平面假设
变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为 平面, 并绕垂直于纵对称面的某一轴旋转, 且仍 然垂直于变形后的梁轴线。这就是弯曲变形的 平面假设。
C y'
a
x'
xc
b
注意！C点必须为截面形心。
六、组合截面的惯性矩
Iy Iyi
Iz Izi
例2：求对倒T字型形心 轴yC和zC的惯性矩。
解：1. 取参考轴yOz 2. 求形心
2cm y（yc）
1 c1
6 cm
yc
Ai yi A
y
c 1
材料力学 第5章 弯曲变形-2
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
如何提高梁的承载能力
目标： 降低
降低
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
合理布置载荷和支座
F
M
L/2
L/2
F
M
L/4
3L/4
F
对称 M
L/5
4L/5
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
工程实例
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
合理布置载荷和支座
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
(a) (b)
材料 力学
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
C
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用教材附录C表 中第五种情况下的公式有
材料 力学
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
均布荷载:反对称均布荷载
C
挠曲线:与跨中截面反对称
在反对称荷载作用下，跨中截面不仅挠度为零，弯矩亦为零，但 转角不等于零，因此，可将左半跨梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为 受集度为 q/2 的均布荷载作用而跨长为 l/2 的简支梁。
A
D
B
F2=2kN C
C F2=2kN
=
+
A
D
F2 a
B
C
F2
F2 M
B
C
材料 力学
第五章 弯曲变形：梁的刚度计算
L=400mm a=0.1mF
A
D
B
C
A
200mm F1=1kN F2=2kN
解：❶结构变换
A
D
B
C
F1=1kN
a
材料力学弯曲变形
材料力学弯曲变形
材料力学中的弯曲变形是指物体在受到外力作用下发生的一种变形形式。
当材料受到垂直于其长度方向的外力时，会产生弯矩，使得物体产生弯曲变形。
弯曲变形的原理可以通过材料力学中的悬臂梁模型进行解释。
在悬臂梁中，一个固定的端点支撑着一根梁，梁的另一端受到外力作用，使得梁产生弯曲。
在悬臂梁的弯曲变形中，梁上部的纤维受到拉力，而下部的纤维受到压力。
由于力的作用，纤维之间会相互滑动，从而产生弯曲变形。
弯曲变形可以通过材料的弹性性质进行描述。
弯曲变形的程度取决于材料的弯曲刚度，即弹性模量，以及外力的大小和作用点的位置。
与拉伸变形不同，弯曲变形的应变分布不是均匀的，而是随着离中轴线的距离而变化。
中轴线上的纤维经历的应变为零，而离中轴线较远的纤维经历的应变较大。
弯曲变形是材料工程中常见的一种变形形式，它在很多结构中都会发挥作用。
例如，在桥梁和楼板等结构中，弯曲变形可以帮助承受外部荷载并保持结构的稳定性。
在材料设计和工程应用中，科学家和工程师常常要考虑材料的弯曲性能，以确保结构的强度和稳定性。
第五章 弯曲应力知识讲解
第五章弯曲应力第五章 弯曲应力内容提要一、梁的正应力Ⅰ、纯弯曲和横力弯曲纯弯曲：梁横截面上的剪力为零，弯矩为常量，这种弯曲称为纯弯曲。
横力弯曲：梁横截面上同时有剪力和弯矩，且弯矩为横截面位置x 的函数，这种弯曲称为横力弯曲。
Ⅱ、纯弯曲梁正应力的分析方法：1. 观察表面变形情况，作出平面假设，由此导出变形的几何方程；2. 在线弹性范围内，利用胡克定律，得到正应力的分布规律；3. 由静力学关系得出正应力公式。
Ⅲ、中性层和中性轴中性层：梁变形时，其中间有一层纵向线段的长度不变，这一层称为中性层。
中性轴：中性层和横截面的交线称为中性轴，梁发生弯曲变形时横截面就是绕中性轴转动的，在线弹性范围内，中性轴通过横截面的形心。
中性层的曲率，平面弯曲时中性层的曲率为()()1zM x x EI ρ=(5-1) 式中：()x ρ为变形后中性层的曲率半径，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度。
(5-1)式表示梁弯曲变形的程度。
Ⅳ、梁的正应力公式1. 横截面上任一点的正应力为zMyI σ=(5-2)正应力的大小与该点到中性轴z 的距离y 成正比，试中M 和y 均取其绝对值，可根据梁的变形情况判断σ是拉应力或压应力。
2. 横截面上的最大正应力，为maxmax z My I σ=(5-3) maxzz I W y =(5-4) z W 为弯曲截面系数，对于矩形、圆形和弯环截面等，z W 的公式应熟记。
3. 弯曲正应力公式的适用范围：1)在线弹性范围内()p σσ≤，在小变形条件下的平面弯曲弯。
2)纯弯曲时，平面假设成立，公式为精确公式。
横力弯曲时，平面假设不成立，公式为近似公式，当梁的跨高比5lh≥时，误差2%≤。
Ⅴ、梁的正应力强度条件 拉、压强度相等的等截面梁[]maxmax zM W σσ=≤ (5-5) 式中，[]σ为料的许用正应力。
当梁内,max ,max t c σσ≠，且材料的[][]t c σσ≠时，强度条件应为[],max t t σσ≤，[],max c σσ≤Ⅵ、提高梁正应力强度的措施1)设法降低最大弯矩值，而提高横截面的弯曲截面系数。
材料力学第五章 梁的变形
连续条件
xa
wB1 wB2
例题 画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
解： 边界条件
A
C
F
B
wA 0 qA 0
wB 0
两根梁由中间铰连接，挠
曲线在中间铰处，挠度连
续，但转角不连续。
wC左 wC右
qC左 qC右
A
挠曲线的凸向由弯矩的正
负号决定，正弯矩向下凸，
负弯矩向上凸。
例 图示等截面梁，弯曲刚度EI。设梁下有一曲面 y Ax3 ，欲
)
6l
bF l
F
b
C
Bx
x l
aF FRB l
AC段 (0 x a)
EIw1
bF l
x
EIw1
bF 2l
x2
C1
EIw1
bF 6l
x3
C1 x
D1
CB段 (a x l)
EIw2
bF l
x
F(x a)
EIw2
bF 2l
x2
F ( x a)2 2
C2
EIw2
bF 6l
x3
F ( x a)3 6
转角方程，挠度方程
EIw M ( x)
q w m 6lx 3x2 2l 2 6EIl A
m
l
C
w mx 3lx x2 2l 2 6EIl
2 m
y FRA l
l
x B
m FRB l
求 wmax w q 0
3 x0 1 3 l 0.423l
wmax
w
x0
F2 60kN
C
A
F1 200kN
F2
D
第五章弯曲变形
w1
Fbx1 6lEI
[l 2
b2
x12
]
w2
Fb 6lEI
[l(x2 b
a)3
x23
(l 2
b2 )x2 ]
材料力学
中南大学土木建筑学院
16
最大转角及最大挠度
左、右支座转角
A
Fab(l b) 6lEI
B
Fab(l 6lEI
a)
若a >b，则右支座转角绝对值最大，即离力近的支座转角大。
最大挠度发生在转角为零处，即
B： w B
wB
C：w C
w C
，
C
C
D： wD 0
材料力学
中南大学土木建筑学院
7
那一个是正确的？
材料力学
中南大学土木建筑学院
8
那一个是正确的？
材料力学
中南大学土木建筑学院
9
弯矩叠加得
Fl Fl
集中力引 起的弯矩
材料力学
Fl 2
中南大学土木建筑学院
端力偶引 起的弯矩
10
那一个是正确的？
材料力学
中南大学土木建筑学院
11
求下列等截面直梁的挠曲线方程和最大挠度及最大转角。
解：建立坐标系并写出弯矩方程
l
F
M (x) F(x l)
x
x
写出微分方程并积分
y
EIw M (x) F(l x) 应用位移边界条件求积分常数
EIw 1 F(l x)2 C 2
EIw(0) 1 Fl3 D 0 6
(a x2 l)
写出微分方程并积分
材料力学
中南大学土木建筑学院
15
AC段
材料力学 第5章 弯曲变形-1
第五章 弯曲变形：积分法求梁的挠度和转角 挠曲线:
梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程
曲率:
y
M>0
小变形
y M<0
x
挠曲线近似微分方程
x
适用：线弹性、小变形、平面弯曲
材料 力学
第五章 弯曲变形：积分法求梁的挠度和转角
挠曲线方程的其它形式 等截面直梁 EI = 常数
梁的（2阶）弯矩方程
y
a
F
xห้องสมุดไป่ตู้
L
材料 力学
第五章 弯曲变形：积分法求梁的挠度和转角
例：求均布载荷作用下简支梁的挠度和转角。
❶写出微分方程的积分并积分
材料 力学
第五章 弯曲变形：积分法求梁的挠度和转角
❷由边界条件求积分常数
令
得
即
材料 力学
第五章 弯曲变形：积分法求梁的挠度和转角 例 集中力作用下梁的变形分析
材料 力学
逐段刚化法－－应用于弹性支承与简单刚架 求梁AB中点E 的挠度
E处的挠度与下列各部分变形 有关：
•梁AB自身的变形；
•刚架横梁BC的变形；
•立柱CD的压缩变形和弯曲变 形。
材料 力学
第五章 弯曲变形：叠加原理求梁的挠度和转角
逐段刚化法－－应用于弹性支承与简单刚架
采用逐段刚化法，确定上述三种变形对E 点挠度的贡献
材料 力学
第五章 弯曲变形：积分法求梁的挠度和转角
挠度和转角 挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用 y 表示。
与 y 轴同向为正，反之为负。
y
F
C
y
C1 挠曲线： y = y(x)
转角与挠曲线的关系：
材料力学课件第五章 弯曲应力
三、作心轴弯矩图： 作心轴弯矩图：
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
MI = RA ×200×10 = 23.6×200×10 = 4.72kN⋅ m= Mm ax
−3 −3
MIV = RB ×115×10−3 = 27×115×10−3 = 3.11kN⋅ m
可能的危险截面： 截面， 截面， 可能的危险截面： I-I截面，II-II截面，III-III截面 截面 截面 截面
※一般实心截面细长梁： 最大正应力强度是梁强度的控制因素 一般实心截面细长梁：
Mm ax ≤[σ] W z
※如下情况，需特别校核剪应力： 如下情况，需特别校核剪应力： a） 自制薄壁截面（组合截面）梁： ） 自制薄壁截面（组合截面） b）梁跨度较小 ） c）支座附近有较大集中力 ）
简支梁L=2m,a=0.2m。梁上载荷为 例 5.5：图示 简支梁 ： 。 q=10kN/m,P=200kN。材料许用应力为 。材料许用应力为[σ]=160MPa， ， [τ]=100MPa 。试选择适用的工字钢型号。 试选择适用的工字钢型号。 解： 一、作Q、M图 、 图
m m m m
(三）梁横截面上各点变形规律 三 ①中性层 ②中性轴 ③变形规律
m b x
y b dx
m z y
∵b b′ = ( ρ + y)dθ = ρdθ + ydθ
'
b'b′ − dx = ydθ ∴ε x = dx dx
=
y
b dx
b
dθ
ρ y b’
ρ
b’
∴ε x =
y
ρ
(1)
m b x
例5.2 卷扬机卷筒心轴的材料 为45钢，弯曲许用应力 = 钢 弯曲许用应力[σ] 100MPa，心轴的结构和受力 ， 情如图所示。 情如图所示。P = 25.3kN。试 。 校核心轴的强度。 校核心轴的强度。 画心轴计算简图： 解： 一、画心轴计算简图： 求支反力： 二、求支反力：由整体平衡
建筑力学第五章梁弯曲时位移课件
24 EI
ql3 48 EI
q B1
q / 2l3
24 EI
ql3 48 EI
建筑力学
在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨
C
中截面反对称的，故有
wC 2 0 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该 截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨 梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作 用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中的公式有
S* z,max
73
mm
100
mm
50
mm
100
11
mm
73
7
mm
100
11
2
mm
104 000 mm 3
建筑力学
当然， Sz*,max的值也可按下式得出：
S
* z,m
ax
73
mm
11
mm
100
11 2
mm
100
11
mm
7
mm
100
2
11
mm
104000 mm3
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4
ql3 384 EI
7ql3 384 EI
建筑力学
§5-4 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施
一. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满
足刚度条件：
wm a x l
Байду номын сангаас
w l
qmax [q ]
式中，l为跨长，
ql3 48 EI
q B1
q / 2l3
24 EI
ql3 48 EI
建筑力学
在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨
C
中截面反对称的，故有
wC 2 0 注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该 截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨 梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作 用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录表中的公式有
S* z,max
73
mm
100
mm
50
mm
100
11
mm
73
7
mm
100
11
2
mm
104 000 mm 3
建筑力学
当然， Sz*,max的值也可按下式得出：
S
* z,m
ax
73
mm
11
mm
100
11 2
mm
100
11
mm
7
mm
100
2
11
mm
104000 mm3
每根20a号槽钢对中性轴的惯性矩由型钢表查得为 Iz =1780 cm4
ql3 384 EI
7ql3 384 EI
建筑力学
§5-4 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施
一. 梁的刚度校核
对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满
足刚度条件：
wm a x l
Байду номын сангаас
w l
qmax [q ]
式中，l为跨长，
05第05章弯曲内力
x
–FL
25
解：1、支反力（省略） 2、写出内力方程
Fs (x) qx (0 x l)
M (x) 1 qx2 (0 x l) 2
3、根据方程画内力图
q
A
L
x
Fs(x)
M(x)
B
x – qL
x
qL2 226
A FAY Fs(x)
M(x)
a X1 l
F Cb
B
解：1、支反力
Fs2 12001.5 2900 1100(N )
M2
12001.5
1.5 2
FBY
1.5
12001.51.5 29001.5 3000(N.m)
2
21
五、剪力方程、弯矩方程：把剪力、弯矩表达为截面位置x的 函数式。
Fs=Fs(x）————剪力方程 M=M(x) ————弯矩方程 q
M (x2 ) FAY x2 2(x2 1) 2(kN.m)(1 x2 2)
BD : F (x3 ) FBY 1 x3 2 x3 (0 x3 2)
M (x3 )
FBY x3
1 x3
x3 2
2 x3
x32 2
(0
x3
2)
1、建立直角坐标系， 2、取比例尺， 3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。
Fs X
M X
23
八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图 步骤：1、利用静力方程确定支座反力。
2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。 3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状
描点绘出剪力图、弯矩图。 4、确定最大的剪力值、弯矩值。
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一、推导公式
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响, 则
2.由数学得到平面曲线的曲率
在规定的坐标系中, x 轴水平向右
为正, w轴竖直向上为正.
w
曲线向下凸时:
曲线向上凸时:
w
因此,
w与 M 的正负号相同
O
x
x
O
w 2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
l
解： （1） 弯矩方程为
w
F
A B x
M ( x ) F (l x )
（2） 挠曲线的近似微分方程为
(1)
x
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
l
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
）
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的均布荷载作
用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max和 wmax
q A l B
q 解:由对称性可知,梁的两个支 反力为 A B x l
FRA FRB
ql 2
FRA
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q M ( x) x x2 2 2
作业：5-2(c) 5-7Βιβλιοθήκη A 1 | x 0
Fab( l b) 6lEI
Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
max B
Fab( l a ) 6lEI
简支梁的最大挠度应在 先研究第一段梁,令
w' 0 处
料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关.所以,要想减小梁的位移, 提高弯曲刚度, 就应从上述各种因素入手.
EIw M ( x )
EIw M ( x )d x C1
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
（1）增大梁的抗弯刚度EI 由于各类钢材的E数值非常接近，故采用优质高强度钢材对 提高梁的刚度意义不大。 工程中常采用工字形,箱形等空心截面。 （2）减小梁的跨度或增加支承约束 设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角.这是提高梁的刚度的 一个很又效的措施.
M 1 F b x EIw 1 l
转角方程
b x2 EIw1 F C1 l 2 b x3 EIw1 F C1 x D1 l 6
挠度方程
（b）（ a x l ）
挠曲线方程
M 2 F b x F ( x a ) EIw 2 l
B
边界条件 在 x = 0 处, 在 x = l 处,
a
b
w1 0 w2 0
l
代入方程可解得:
D1 D 2 0
Fb 2 2 (l b ) C1 C 2 6l
（a）（0 x a）
Fb 2 2 w 1 (l b 3 x 2) 1 6lEI
Fbx 2 2 [ l b x 2] w1 6lEI
（b）（ a x l ）
2 w 2'
Fb l 1 [ ( x a )2 x 2 ( l 2 b 2)] 2lEI b 3
Fb l [ ( x a )3 x 3 ( l 2 b 2 ) x ] w2 6lEI b
将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角
梁中点 C 处的挠度为
Fb Fbl 2 2 2 wC (3l 4b ) 0.0625 48 EI EI
Fb Fbl 2 ( l 2 b 2 )3 0.0642 w max y |x x1 EI 9 3lEI
结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足 工程要求的.
w挠度（
B
转角
4.挠度与转角的关系
tan w ' w '( x )
w
A
C
B
x
C'
挠曲线
w挠度
转角
B
5.挠度和转角符号的规定
挠度向上为正,向下为负.
转角自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
w
A C B x
挠曲线
C'
w挠度
转角
B
§5-2 挠曲线的微分方程· 积分法求弯曲变形
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
ql 3 A B 24 EI
wmax w
x l 2
在梁跨中点处有最大挠度值
5ql 4 384 EI
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作用.试求 此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.
，
解：（1）当起重机位于梁中央时，梁变形最大； （2）梁的最大挠度发生在跨度中点C截面，应用叠加原理可求 得C截面的挠度。梁的最大挠度等于由P和q单独作用所引起的C 截面的挠度之和，即
wmax wC wC ( P ) wC ( q )
Pl 3 5ql 4 48EI 384 EI
wmax wC wC ( P ) wC ( q )
M ( x) w" EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
(6.5)
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3）
二、 用积分法求弯曲变形
Ⅰ、微分方程的积分
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
1.积分一次得转角方程
2.再积分一次,得挠度方程
Ⅱ、积分常数的确定 1.边界条件 2.连续条件
（3）查表得（32a工字钢）
Pl 3 5ql 4 48EI 384 EI
I 11100cm2
（4）刚度计算
q 52.717 kg m1 516.6 N m1
20 103 8.73 5 516.6 8.7 4 wmax 9 8 48 210 10 11100 10 384 210 109 11100 108 l 0.012 0.0017 0.0137 m [ w] 0.0175 m 500
在简支梁中, 左右两铰支座处的
A
挠度
B
w A 和 w B 都等于0. wA
A B
在悬臂梁中,固定端处的挠度 和转角
A 都应等于0.
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求 梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度
wmax 和最大转角 max
F w
A B x
转角方程
F b x F ( x a) C 2 EIw 2 l 2 2
2 2
挠度方程
b x 3 F ( x a )3 C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
D点的连续光滑条件
在x=a处
w1 w2 w1 w2
F
FRA
A 1 D 2
FRB
和 是构件的许可挠度和转角.
二、 刚度条件的应用
1.校核刚度 2.设计截面尺寸 3.求许可载荷
例7 桥式起重机如图4-7（a）所示，最大载荷为 P =20kN ,起重 机大梁为32a工字钢， E =210GPa, l =8.7m 规定 [w]= l /500 。试校 核大梁刚度。
q A P l B A C l/2 P l/2 B
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql q 2 EIw x x 2 2
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
边界条件
x l ,时 w 0
A
q
wmax
梁的转角方程和挠曲线方程分别 为
A
x l
B
B
q (6lx 2 4 x 3 l 3 ) 24 EI qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
如 梁受集中力作用时，梁的挠度与跨度l的三次方成正比，
即跨度减小一半，变形将减小到只是原有的1/8
在长度不能缩短的情况下，可采取增加支承的方法提高梁的刚度。
如镗刀杆，若外伸部分过长，可在端部加装尾架，以减小镗刀杆的变
形，提高加工精度。
q
q
A
B
A
B
L
L
加固支座，同样也能减小梁的变形。图示简支梁，若将 其中固定铰支座改为固定端，则其最大挠度可降低约60％。
F
A a l D B
b
解: 梁的两个支反力为
x
F
FRA F FRB b l a F l
FRA
A
1 a
D b l
2
FRB
B
x
两段梁的弯矩方程分别为
b M1 FRA x F x l
(0 x a )
b M2 F x F ( x a) l
(a x l )
两段梁的挠曲线方程分别为 （a）（0 x a） 挠曲线方程
w1 0 得
1 w1'
Fb 2 2 (l b 3 x 2) 0 6lEI
l 2 b2 a(a 2b) x1 3 3
当 a > b时, x1 < a 最大挠度确实在第一段梁中
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响, 则
2.由数学得到平面曲线的曲率
在规定的坐标系中, x 轴水平向右
为正, w轴竖直向上为正.
w
曲线向下凸时:
曲线向上凸时:
w
因此,
w与 M 的正负号相同
O
x
x
O
w 2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
l
解： （1） 弯矩方程为
w
F
A B x
M ( x ) F (l x )
（2） 挠曲线的近似微分方程为
(1)
x
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
l
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2 2 3 Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6
）
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的均布荷载作
用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max和 wmax
q A l B
q 解:由对称性可知,梁的两个支 反力为 A B x l
FRA FRB
ql 2
FRA
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql q M ( x) x x2 2 2
作业：5-2(c) 5-7Βιβλιοθήκη A 1 | x 0
Fab( l b) 6lEI
Fab( l a ) B 2 | x l 6lEI
当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
max B
Fab( l a ) 6lEI
简支梁的最大挠度应在 先研究第一段梁,令
w' 0 处
料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关.所以,要想减小梁的位移, 提高弯曲刚度, 就应从上述各种因素入手.
EIw M ( x )
EIw M ( x )d x C1
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
（1）增大梁的抗弯刚度EI 由于各类钢材的E数值非常接近，故采用优质高强度钢材对 提高梁的刚度意义不大。 工程中常采用工字形,箱形等空心截面。 （2）减小梁的跨度或增加支承约束 设法缩短梁的跨长,将能显著地减小其挠度和转角.这是提高梁的刚度的 一个很又效的措施.
M 1 F b x EIw 1 l
转角方程
b x2 EIw1 F C1 l 2 b x3 EIw1 F C1 x D1 l 6
挠度方程
（b）（ a x l ）
挠曲线方程
M 2 F b x F ( x a ) EIw 2 l
B
边界条件 在 x = 0 处, 在 x = l 处,
a
b
w1 0 w2 0
l
代入方程可解得:
D1 D 2 0
Fb 2 2 (l b ) C1 C 2 6l
（a）（0 x a）
Fb 2 2 w 1 (l b 3 x 2) 1 6lEI
Fbx 2 2 [ l b x 2] w1 6lEI
（b）（ a x l ）
2 w 2'
Fb l 1 [ ( x a )2 x 2 ( l 2 b 2)] 2lEI b 3
Fb l [ ( x a )3 x 3 ( l 2 b 2 ) x ] w2 6lEI b
将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角
梁中点 C 处的挠度为
Fb Fbl 2 2 2 wC (3l 4b ) 0.0625 48 EI EI
Fb Fbl 2 ( l 2 b 2 )3 0.0642 w max y |x x1 EI 9 3lEI
结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度是能满足 工程要求的.
w挠度（
B
转角
4.挠度与转角的关系
tan w ' w '( x )
w
A
C
B
x
C'
挠曲线
w挠度
转角
B
5.挠度和转角符号的规定
挠度向上为正,向下为负.
转角自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
w
A C B x
挠曲线
C'
w挠度
转角
B
§5-2 挠曲线的微分方程· 积分法求弯曲变形
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
ql 3 A B 24 EI
wmax w
x l 2
在梁跨中点处有最大挠度值
5ql 4 384 EI
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作用.试求 此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.
，
解：（1）当起重机位于梁中央时，梁变形最大； （2）梁的最大挠度发生在跨度中点C截面，应用叠加原理可求 得C截面的挠度。梁的最大挠度等于由P和q单独作用所引起的C 截面的挠度之和，即
wmax wC wC ( P ) wC ( q )
Pl 3 5ql 4 48EI 384 EI
wmax wC wC ( P ) wC ( q )
M ( x) w" EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程
(6.5)
近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项;
（3）
二、 用积分法求弯曲变形
Ⅰ、微分方程的积分
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
1.积分一次得转角方程
2.再积分一次,得挠度方程
Ⅱ、积分常数的确定 1.边界条件 2.连续条件
（3）查表得（32a工字钢）
Pl 3 5ql 4 48EI 384 EI
I 11100cm2
（4）刚度计算
q 52.717 kg m1 516.6 N m1
20 103 8.73 5 516.6 8.7 4 wmax 9 8 48 210 10 11100 10 384 210 109 11100 108 l 0.012 0.0017 0.0137 m [ w] 0.0175 m 500
在简支梁中, 左右两铰支座处的
A
挠度
B
w A 和 w B 都等于0. wA
A B
在悬臂梁中,固定端处的挠度 和转角
A 都应等于0.
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作用.试求 梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度
wmax 和最大转角 max
F w
A B x
转角方程
F b x F ( x a) C 2 EIw 2 l 2 2
2 2
挠度方程
b x 3 F ( x a )3 C 2x D 2 EIw 2 F l 6 6
D点的连续光滑条件
在x=a处
w1 w2 w1 w2
F
FRA
A 1 D 2
FRB
和 是构件的许可挠度和转角.
二、 刚度条件的应用
1.校核刚度 2.设计截面尺寸 3.求许可载荷
例7 桥式起重机如图4-7（a）所示，最大载荷为 P =20kN ,起重 机大梁为32a工字钢， E =210GPa, l =8.7m 规定 [w]= l /500 。试校 核大梁刚度。
q A P l B A C l/2 P l/2 B
ql 2 q 3 EIw x x C 4 6
ql q 2 EIw x x 2 2
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
边界条件
x l ,时 w 0
A
q
wmax
梁的转角方程和挠曲线方程分别 为
A
x l
B
B
q (6lx 2 4 x 3 l 3 ) 24 EI qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
如 梁受集中力作用时，梁的挠度与跨度l的三次方成正比，
即跨度减小一半，变形将减小到只是原有的1/8
在长度不能缩短的情况下，可采取增加支承的方法提高梁的刚度。
如镗刀杆，若外伸部分过长，可在端部加装尾架，以减小镗刀杆的变
形，提高加工精度。
q
q
A
B
A
B
L
L
加固支座，同样也能减小梁的变形。图示简支梁，若将 其中固定铰支座改为固定端，则其最大挠度可降低约60％。
F
A a l D B
b
解: 梁的两个支反力为
x
F
FRA F FRB b l a F l
FRA
A
1 a
D b l
2
FRB
B
x
两段梁的弯矩方程分别为
b M1 FRA x F x l
(0 x a )
b M2 F x F ( x a) l
(a x l )
两段梁的挠曲线方程分别为 （a）（0 x a） 挠曲线方程
w1 0 得
1 w1'
Fb 2 2 (l b 3 x 2) 0 6lEI
l 2 b2 a(a 2b) x1 3 3
当 a > b时, x1 < a 最大挠度确实在第一段梁中