_学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程高效测评新人教A版选修2_1

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2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案含解析新人教A版选

2．3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程内容标准学科素养1.掌握双曲线的定义．2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.应用直观想象提升逻辑推理及数学运算授课提示：对应学生用书第33页[基础认识]知识点一双曲线的定义预习教材P52－53，思考并完成以下问题我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆．那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线．这条曲线是满足下面条件的点的集合：P＝{M||MF1|－|MF2|＝常数}．如果使点M到点F2的距离减去到点F1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线(图中左边的曲线)．这条曲线是满足下面条件的点的集合：P＝{M||MF2|－|MF1|＝常数}．这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．知识梳理双曲线的定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考若常数＝|F1F2|，则满足条件的点的轨迹是什么？若常数>|F1F2|，则满足条件的点是否存在？提示：两条射线不存在知识点二双曲线的标准方程思考并完成以下问题类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说应怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？提示：建立如图直角坐标系，设M(x，y)是双曲线上任一点，|F1F2|＝2c，||MF1|－|MF2||＝2a，则|x＋c2＋y2－x－c2＋y2|＝2a，整理得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)，令b2＝c2－a2(b>0)，则b2x2－a2y2＝a2b2，即x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)——双曲线的标准方程．知识梳理双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距|F1F2|＝2c，c2＝a2＋b21．动点P到点M(1,0)，N(－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线答案：C2．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，0B.⎝⎛⎭⎪⎪⎫52，0C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫62，0D．(3，0)答案：C授课提示：对应学生用书第34页探究一双曲线定义的应用[教材P61习题2.3A组1题]双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于________．解析：双曲线4x2－y2＋64＝0可化为y264－x216＝1，∴a ＝8.由定义知|PF 1|－|PF 2|＝16，|PF 2|＝±16＋|PF 1|，|PF 2|＝17或|PF 2|＝－15(舍去)．答案：17[例1] (1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3(2)设F 1、F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．42B ．83C ．24D ．48[解析](1)由题意得||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴|PF 2|＝|PF 1|±6，∴|PF 2|＝9或－3(舍去) 故选B.(2)⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝23|PF 1|＝4|PF 2|，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝10 ∴△PF 1F 2为直角三角形，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24.故选C.[答案](1)B (2)C方法技巧 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．跟踪探究 1.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2.若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解析：由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.探究二求双曲线的标准方程[阅读教材P 54例1]已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，双曲线上一点P 到F 1、F 2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．题型：待定系数法求双曲线的标准方程．方法步骤：(1)根据条件设出所求方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．(2)根据双曲线的定义得2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝6， ∴a ＝3.又∵c ＝5，从而求出b . (3)写出所求的标准方程．[例2]求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M (0,12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5.[解析](1)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.方法技巧待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)． ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k－y 2b 2＋k＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪探究 2.(1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程．解析：(1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线方程为y 2a2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.探究三与双曲线有关的轨迹问题[阅读教材P 54例2]已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．题型：求动点的轨迹方程．方法步骤：(1)建立直角坐标系，使A 、B 在x 轴上，坐标原点为AB 的中点，设爆炸点P (x ，y )．(2)建立P 的几何性质，|PA |－|PB |＝680. (AB ＝800>600)故P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线一支．从而写出所求轨迹方程．[例3]如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．[解析]以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．方法技巧 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪探究 3．如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解析：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1；圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32.授课提示：对应学生用书第35页[课后小结](1)理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中的动点与定点在同一平面内；②距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；③距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹．(2)利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量”两步．[素养培优]1．忽视双曲线上的点到焦点距离的X围致误双曲线x225－y224＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )A．1或21 B．14或36C．2 D．21易错分析由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝10，不妨设F1、F2分别为左、右焦点．若|PF2|＝11，∴|PF1|＝1或21，故选A，忽视了|PF1|的取值X围．考查直观想象、逻辑推理的学科素养．自我纠正由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝10(F1、F2为左、右焦点)．又∵|PF1|＝1或21，当P在左支上时，|PF1|>c－a＝2，故|PF1|＝1舍去；当P在右支上时，|PF1|>c＋a＝12，故|PF1|＝21，故选D.答案：D2．混淆a，b，c的关系致误双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，求k的值．易错分析由8kx 2－ky 2＝8，得x 21k －y 28k＝1. ∵焦点在y 轴上，∴a 2＝8－k ，b 2＝－1k，又∵c 2＝a 2－b 2，故3＝－7k ，∴k ＝－73. 混淆了椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系导致结果错误．考查直观想象、数学运算的学科素养．自我纠正将双曲线的方程化成kx 2－k 8y 2＝1.因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y 轴上，且c ＝3.所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k .所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1. 3．忽视对双曲线焦点位置的讨论致误若双曲线x 2m －2－y 2m －7＝1的焦距等于6，某某数m 的值．易错分析解答本题时，容易将m －2看作a 2，将m －7看作b 2，而造成漏解．考查逻辑推理及数学运算．自我纠正因为双曲线的焦距等于6，即2c ＝6，所以c ＝3，即a 2＋b 2＝c 2＝9.(1)当双曲线焦点在x 轴上时，方程为x 2m －2－y 2m －7＝1，a 2＝m －2，b 2＝m －7，所以m －2＋m －7＝9，解得m ＝9，即实数m 的值为9.(2)当双曲线焦点在y 轴上时，方程为y 27－m －x 22－m＝1，a 2＝7－m ，b 2＝2－m ，所以7－m ＋2－m ＝9，解得m ＝0，即实数m 的值为0.综上可知，实数m 的值为0或9.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程新人教A版选修2-

『规律总结』 1.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线．
2．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．
3．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．
〔跟踪练习1〕
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
4．已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线2x52的－2y标42 ＝准1 或方2y52程－为2x42 ＝1 __[解__析_]__∵__a_＝_5_，_c_＝_7_，_.∴b＝ c2－a2＝ 24＝2 6
当焦点在 x 轴上时双曲线方程为2x52 －2y42 ＝1 当焦点在 y 轴上时双曲线方程为2y52 －2x42 ＝1
5．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，－则8 |PF1|－|PF2|＝________.
[解析] 双曲线方程为1x62 －1y62 ＝1
∴a＝4
∴||PF1|－|PF2||＝2a＝8 又∵P 在左支上，F1 为左焦点， ∴|PF1|－|PF2|＝－8．
互动探究学案
B．||PF1|－|PF2||＝6
C．||PF1|－|PF2||＝7
D．||PF1|－|PF2||＝0
[解析] A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴ 动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中， ∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中， ∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程新人教A版选修

4．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝2 5，经过点 A(2，－5)，焦点在 y 轴上； (2)过点 A(3,2)和 B(17,12)．
解析： (1)因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．由题设知，a＝2 5，
a＝2 5 且点 A(2，－5)在双曲线上，所以2a52－b42＝1 ，解得 a2＝20， b2＝16.
故所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62 ＝1.
(2)若焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程为ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)，
由已知条件得a19a272－2－b421b＝2221＝1
，解得 a12＝1 b12＝2
.
则双曲线的标准方程为 x2－y12＝1. 2
若焦点在 y 轴上，设双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a>0， b>0)，
由已知条件得a14a222－2－b921b＝7221＝1
，解得a12＝－2 b12＝－1
，不符
合题意，舍去．
综上知，所求双曲线的标准方程为 x2－y12＝1. 2
合作探究课堂互动
求双曲线的标准方程
根据下列条件求双曲线的标准方程． (1)求以椭圆1x62 ＋y92＝1 的短轴的两个端点为焦点，且过点 A(4，－5)的双曲线的标准方程；
4 2)代入方程，联立解方程组得 a2＝16，b2＝9.
答案： A
3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析：与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程讲义新人教A版选修

2．3.1 双曲线及其标准方程1．双曲线 (1)定义□01平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)双曲线的集合描述设点M 是双曲线上任意一点，点F 1，F 2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合□02P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,0<2a <|F 1F 2|}． 2．双曲线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax 2＋By 2＝1(其中AB <0)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线x 24－y 216＝1上一点M 到左焦点的距离为8，则点M 到右焦点的距离为________．(2)双曲线x 2－4y 2＝1的焦距为________．(3)(教材改编P 55T 1)已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________． (4)下列方程表示焦点在y 轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x 2－y 22＝1；②x 2a ＋y 22＝1(a <0)；③y 2－3x 2＝1；④x 2cos α＋y 2sin α＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.答案 (1)4或12 (2) 5 (3)x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1(4)②③④解析 (3)∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝2 6. 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1.探究1 双曲线标准方程的认识例1 若θ是第三象限角，则方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆[解析] 曲线方程可化为x 2cos θ＋y 2cos θsin θ＝1，θ是第三象限角，则cos θ<0，cos θsin θ>0，所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线．故选A.[答案] A 拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．【跟踪训练1】若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线答案 C 解析原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．探究2 双曲线的标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点；(2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2. [解] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3522b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4732a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． ∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3522a 2－4b 2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4732b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)由已知可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，代入点P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2可得454a 2－4b 2＝1，①又a 2＋b 2＝25，②由①②联立可得a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1. [解法探究] 例2(1)有没有其他解法呢？解 ∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵M ，N 在双曲线上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.探究3 双曲线定义的应用例3 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有①定义：|r 1－r 2|＝2a .②余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ. ③面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】 (1)已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．解由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图象可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2，因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)或|PF 2|＝33.(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.探究4 与双曲线有关的轨迹问题例4 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．并指出表示什么曲线．[解] 如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<AB .∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线右支且除去点(2，0)．拓展提升用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)． (2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)． (3)写出标准方程并下结论(定论)．【跟踪训练4】如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心为F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心为F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1， |MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3<|F 1F 2|＝10， ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，∴b ＝912，∴点M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了；(2)不可漏掉定义中的常数小于|F 1F 2|，否则，当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当||PF 1|－|PF 2||>2a 时，不表示任何图形；(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支. 2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置；(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值.1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞) D．(－∞，－1) 答案 B解析依题意，应有m ＋1>0，即m >－1.2．已知双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7) 答案 B解析由双曲线的标准方程可知a 2＝16，b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，故c ＝5.又焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 答案 B解析 ∵A ，B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a . ∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m .∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .4．焦点在y 轴上，a ＝3，c ＝5的双曲线方程为________．答案y 29－x 216＝1 解析 ∵b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16，又焦点在y 轴上， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.5．已知双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则word- 11 - / 11 双曲线的方程为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得2a ＝24，2c ＝26. ∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25. 双曲线的方程为x 2144－y 225＝1；若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系．则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程高效测评新人教a版选修2-1

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程高效测评新人教A 版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的双曲线解析：原方程化为：y 2k 2－1－x 21＋k＝1∵k >1，∴k 2－1>0,1＋k >0，∴方程的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．故选B. 答案： B2．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1D.x 22－y 22＝1 解析：由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1，又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选A.答案： A3．椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F 1和F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A.12(m －a ) B ．m －a 2C ．m 2－a 2D.m －a解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|＝m －a 2. 答案： B4．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24解析：由已知得2a ＝2，又由双曲线的定义得， |PF 1|－|PF 2|＝2，又|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又|F 1F 2|＝2c ＝213.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝62＋42－522×6×4＝0.∴三角形F 1PF 2为直角三角形． ∴S △PF 1F 2＝12×6×4＝12.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中命题正确的序号为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，4－k ≠k －1，解得1<k <52或52<k <4，此时方程表示椭圆，且1<k <52时表示焦点在x 轴上的椭圆，所以①②错，④正确；由(4－k )·(k －1)<0得k <1或k >4，此时方程表示双曲线，故③正确．所以应填③④.答案： ③④6．设m 为常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由题意得c 2＝a 2＋b 2，即25＝m ＋9，∴m ＝16. 答案： 16三、解答题(每小题10分，共20分)7．(1)求焦点在y 轴上，且过点P 1(3，－42)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5的双曲线的标准方程；(2)已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解析： (1)设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．因为P 1，P 2在双曲线上，所以P 1，P 2的坐标适合方程，所以有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－9b 2＝125a 2－8116b 2＝1，令m ＝1a 2，n ＝1b2.则方程组可化为⎩⎪⎨⎪⎧32m －9n ＝125m －8116n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝116n ＝19，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16b 2＝9.∴所求方程为y 216－x 29＝1. (2)已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简得，4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254.又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254<0，不合题意． ∴所求双曲线标准方程是：x 2－y 224＝1.8．设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切，求C 的圆心轨迹L 的方程．解析：依题意得两圆的圆心分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，从而可得|CF 1|＋2＝|CF 2|－2或|CF 2|＋2＝|CF 1|－2，所以||CF 2|－|CF 1||＝4<|F 1F 2|＝2 5.所以圆心C 的轨迹是双曲线，其中2a ＝4,2c ＝|F 1F 2|＝25，即a ＝2，c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝1，故L 的方程为x 24－y 2＝1.9．(10分)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点坐标分别为(－22，0)和(22，0)，且该双曲线经过点P (3,1)．(1)求双曲线的方程；(2)若F 是双曲线的右焦点，Q 是双曲线上的一点，过点F ，Q 的直线l 与y 轴交于点M ，且MQ →＋2QF →＝0，求直线l 的斜率．解析： (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2＝89a 2－1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6b 2＝2.于是，所求双曲线的方程为x 26－y 22＝1.(2)∵点F 的坐标为(22，0)，∴可设直线l 的方程为y ＝k (x －22)，令x ＝0，得y ＝－22k ，即M (0，－22k )．设Q (x 0，y 0)，由MQ →＋2QF →＝0，得(x 0，y 0＋22k )＋2(22－x 0，－y 0)＝(0,0)，即(42－x 0,22k －y 0)＝(0,0)，故⎩⎨⎧x 0＝42y 0＝22k.又Q 是双曲线上的一点，∴x 206－y 202＝1，即226－2k22＝1，解得k 2＝1312，∴k ＝±396.故直线l 的斜率为±396.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程高效测评新人教版

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程高效测评新人教A 版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知曲线C 的方程为x 3＋x ＋y －1＝0，则下列各点中在曲线C 上的点是( ) A ．(0,0) B ．(－1,3) C ．(1,1)D ．(－1,1)解析：点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )上⇔f (x 0，y 0)＝0. 答案： B2．“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： f (x ，y )＝0是曲线C 的方程必须同时满足以下两个条件：①以f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上；②曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解，故选B.答案： B3．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析：设P (x ，y )，∵k PA ＋k PB ＝－1， ∴y －0x －－＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)．答案： B4．方程(x ＋y －1)x 2＋y 2－4＝0所表示的曲线是( )解析：原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2≥4或x 2＋y 2＝4.其中当x ＋y －1＝0时，需x 2＋y 2－4有意义，即x 2＋y 2≥4，此时它表示直线x ＋y －1＝0上不在圆x 2＋y 2＝4内的部分及圆x 2＋y 2＝4.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为________．解析：将点P 的坐标(2，－3)代入曲线方程，可得22－a ·(－3)2＝1，解得a ＝13.答案： 136．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是____________．解析：设M (x ，y )，B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1. 又M 为AB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋x 02，y ＝y 0－12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，将其代入y 0＝2x 20＋1得，2y ＋1＝2(2x )2＋1，即y ＝4x 2. 答案： y ＝4x 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．指出方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？解析：因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0或者x －3－1＝0，也就是2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.8．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值．解析： (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10，解得m ＝2或m ＝－185.∴m 的值为2或－185.9．(10分)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析：方法一(直接法)：如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°. 设Q (x ，y )，由题意，得 |OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法二(定义法)：如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法三(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2xy 1＝2y，又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点).。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.2.2 抛物线方程及性质的应用高效测评新人教A版选修1-

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程及性质的应用高效测评新人教A版选修1-1一、选择题（每小题5分,共20分)1．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12,则该弦所在直线的倾斜角是( ）A。

错误!或错误! B．错误!或错误!C。

错误!或错误!D．错误!解析: 抛物线的焦点为错误!,过焦点垂直于x轴的弦长为6≠12,∴该弦所在直线的斜率存在．设直线方程为y＝k错误!，与方程y2＝6x联立得：4k2x－（12k2＋24）x＋9k2＝0。

设直线与抛物线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．∴x1＋x2＝3k2＋6 k2，∴x1＋x2＋3＝3k2＋6k2＋3＝12.∴k2＝1，∴k＝±1。

答案: B2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2解析: 抛物线的焦点F错误!，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－错误!，即x＝y ＋错误!，将其代入y2＝2px＝2p错误!＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0,所以y1＋y2＝2p＝4,∴p＝2所以抛物线的方程为y2＝4x,准线方程为x＝－1.答案：B3．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是（1，2）,则抛物线的焦点到该直线的距离为（)A。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课时跟踪训练含解析新人教A版选修2

学习资料高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1双曲线及其标准方程课时跟踪训练含解析新人教A版选修2班级：科目：双曲线及其标准方程[A 组学业达标]1．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切,则动圆圆心的轨迹为（）A ．双曲线的一支B ．圆C ．抛物线D ．双曲线解析：设动圆半径为r ,圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，由题意得|OO 1｜＝r ＋1，｜OO 2｜＝r ＋2，∴｜OO 2｜－｜OO 1｜＝r ＋2－r －1＝1〈｜O 1O 2｜＝4，由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．答案：A2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B （5，0）距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是（） A 。

错误!－错误!＝1 B.错误!－错误!＝1C 。

x 29－错误!＝1(x ≤－3）D 。

错误!－错误!＝1（x ≥3）解析：由题意c ＝5，a ＝3，∴b ＝4。

∴点P 的轨迹方程是错误!－错误!＝1(x ≥3)．答案：D3．k 〉9是方程错误!＋错误!＝1表示双曲线的（ ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件解析:当k 〉9时，9－k <0，k －4〉0,方程表示双曲线．当k <4时，9－k >0，k －4<0，方程也表示双曲线．∴k 〉9是方程错误!＋错误!＝1表示双曲线的充分不必要条件．答案：B4．椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则a的值是（）A。

错误!B．1或－2C．1或错误!D．1解析：依题意：错误!解得a＝1。

答案:D5．设P为双曲线x2－错误!＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1｜∶｜PF2｜＝3∶2，则△PF1F2的面积为()A．6错误!B．12错误!C．12 D．24解析:由已知易得2a＝2，由双曲线的定义及已知条件得，｜PF1|－|PF2｜＝2，又|PF1｜∶｜PF2|＝3∶2，∴|PF1｜＝6,|PF2｜＝4。

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1抛物线及其标准方程高效测评新人教A版选修1-1资料

2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程高效测评新人教A 版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分) 1．抛物线y 2＝－16x 的焦点坐标是( ) A ．(0,4) B ．(0，－4) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：根据抛物线方程y 2＝－2px (p >0)知－2p ＝－16，解得p ＝8，代入焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0中得焦点坐标是(－4,0)，故选D. 答案： D2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析： ∵准线方程为x ＝－2， ∴p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线的方程为y 2＝8x ，故选B. 答案： B3．平面上到定点A (1,1)和到直线l ：x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹为( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．圆D ．椭圆解析：定点A (1,1)在直线l ：x ＋2y ＝3上，因此满足条件的点的轨迹是过A 且与直线l 垂直的直线．答案： A4．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >p 2，则点M 的横坐标是( )A ．a ＋p2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p解析：设M (x 0，y 0)，由点M 到焦点的距离是a ，可得点M 到准线x ＝－p2的距离也为a ，即x 0＋p 2＝a ，可解得x 0＝a －p2.故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．抛物线图象过点M (2,2)，则抛物线标准方程是________．解析：由于点M (2,2)在第一象限，抛物线开口向右或向上，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2p 0y (p 0>0)，把M (2,2)代入抛物线方程，解得p ＝1或p 0＝1，则抛物线方程为y 2＝2x 或x 2＝2y .答案： y 2＝2x 或x 2＝2y6．设抛物线的顶点在原点，其焦点在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与焦点F 的距离为4，则k 等于________．解析：由抛物线定义知抛物线上的点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，为4，由于点P 的坐标为(k ，－2)，可知准线是y ＝2，且抛物线开口向下，可设为x 2＝－2py (p >0)，准线是y ＝p 2，所以p2＝2，解得p ＝4，所以抛物线方程为x 2＝－8y ，把y ＝－2代入抛物线方程解得x ＝±4，所以k ＝±4.答案： ±4三、解答题(每小题10分，共20分)7．抛物线的焦点是双曲线4x 2－9y 2＝36的左顶点，求抛物线的标准方程．解析：双曲线方程4x 2－9y 2＝36可化为x 29－y 24＝1，左顶点坐标是(－3,0)，根据题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，解得p ＝6，所以抛物线标准方程为y 2＝－12x .8．已知点P 到F (4,0)的距离和到直线x ＝－5的距离相等，求点P 的轨迹方程．解析：设点P (x ，y )，则|PF |＝ x －4 2＋y 2，点P 到直线x ＝－5的距离为d ＝|x ＋5|. 由题意知|PF |＝d ，∴ x －4 2＋y 2＝|x ＋5|，化简整理得y 2＝18x ＋9. ∴点P 的轨迹方程为y 2＝18x ＋9.9．(10分)已知抛物线x 2＝4y ，定点A (12,39)，点P 是此抛物线上的一动点，F 是该抛物线的焦点，求|PA |＋|PF |的最小值．解析：将x ＝12代入x 2＝4y ，得y ＝36<39. ∴点A (12,39)在抛物线内部，抛物线的焦点为(0,1)，准线l为y＝－1.过P作PB⊥l于点B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PB|，由图可知，当P，A，B三点共线时，|PA|＋|PB|最小．∴|PA|＋|PB|的最小值为|AB|＝39＋1＝40.故|PA|＋|PF|的最小值为40.。