§8.3 基本不等式

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基本不等式(课件)

比较大小
学习如何比较不等式中的数值大小。
证明基本不等式的方法
数学归纳法
使用数学归纳法证明基本不等式。
反证法
使用反证法证明基本不等式。
代入法
使用代入法证明基本不等式。
基本不等式形式讲解
1
三角不等式
学习三角函数中常用的不等式。
2
均值不等式
介绍均值不等式及其不同形式。
3
柯西-施瓦兹不等式
探讨柯西-施瓦兹不等式及其几何和向量形式。
基本不等式的推广
绝对值不等式
学习利用基本不等式解决绝对值不等式。
积分不等式
探讨基本不等式在积分中的运用。
幂不等式
介绍基本不等式在幂函数中的应用。
例题和练习
例题
通过例题加深对基本不等式的理解。
练习
加强基本不等式的应用能力。
基本不等式的应用
实际应用
了解基本不等式在实际生活中的应用，如经济学、物理学等领域。
最优化问题
学习如何使用基本不等式解决最优化问题。
概率
探索基本不等式在概率论中的应用。
基本不等式与均值不等式的关系
深入研究基本不等式与均值不等式之间的联系，包括均值不等式是基本不等式的特殊情况，以及它们在数学推导和证明中的应用。
基式的概念、证明方法以及各种形式的基本不等式。我们还将探讨基本不等式的应用、与均值不等式的关系以及推广内容，并提供例题和练习。
不等式的概念
符号表达
学习不等式中的符号表示以及它们在数学中的含义。
数轴表示
了解如何使用数轴来可视化不等式并确定不等式的解集。

基本不等式课件(共43张PPT)

02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理来证明存在某个点使得函数值满足给定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质，来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。

基本不等式完整版

基本不等式完整版一、知识点总结1.基本不等式原始形式：若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$。

2.基本不等式一般形式（均值不等式）：若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$。

3.基本不等式的两个重要变形：1）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$。

2）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $ab\leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

4.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。

5.常用结论：1）若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当$x=1$ 时取“=”）。

2）若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”）。

3）若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。

4）若 $a,b>0$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\leq \frac{a^2+b^2}{2}$。

5）若 $a,b\in\mathbb{R^*}$，则 $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$。

特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。

6.柯西不等式：1）若 $a,b,c,d\in\mathbb{R}$，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$。

基本不等式知识点

基本不等式知识点基本不等式是数学中的重要概念，它可以帮助我们判断数值大小关系，是各种不等式的基础。

在本文中，我们将介绍基本不等式的相关知识点，包括基本不等式的定义、证明方法、应用以及一些例题分析等方面。

1. 基本不等式的定义基本不等式也称为“平均数不等式”，它是数学中一个基本但又重要的不等式。

对于任意的正数 a1、a2、…、an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n其中n表示正整数。

基本不等式描述了一组数的算术平均数和它们的几何平均数之间的关系。

可以看出，算术平均数大于等于几何平均数，且当且仅当所有数相等时等号成立。

2. 基本不等式的证明方法基本不等式的证明方法有很多种，下面列举一种简单易懂的证明方法。

首先，对于所有正数x，y，由均值不等式可得：(x + y) / 2 ≥ √(xy)⇒ x + y ≥ 2√(xy)接着，考虑一个序列a1，a2，……，an，它们的乘积为p。

对于每一对(aj，ak)，有：aj + ak ≥ 2√(ajak)即：a1 + a2 ≥ 2√(a1a2)a1 + a2 + a3 ≥ 3√(a1a2a3)a1 + a2 + … + an ≥ n√(a1a2…an)我们可以将上述不等式相乘，得到：(a1 + a2) * (a3 + a4) * … * (an-1 + an) ≥ 2n/2* √(a1a2) * 2n/2 * √(a3a4) * … * 2n/2 * √(an-1an) 即：(a1 + a2 + … + an) / n ≥ (a1 * a2 * … * an)1/n故基本不等式得证。

3. 基本不等式的应用基本不等式在数学中应用广泛，以下列举几个经典的例子。

（1）一种常见的问题是，给定一个定值的周长，什么形状的图形可以使面积最大。

答案是正方形，因为在所有形状中，正方形的面积和周长之比最大，这个比值为4π。

基本不等式ppt课件

对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的位置关系，以及求解圆中弦长等几何问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面积和体积的问题，例如在给定周长的条件下，求矩形或立方体的最大面积或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明

基本不等式

基本不等式一、基础知识☐基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．☐平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a 、b ，有2a b ab ，且等号当且仅当a b 时成立.证明：对于正数a 、b ，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明2a bab ，即20a b ab.由22a b aba b.上式显然成立，且只有当ab 时，原不等式两边才相等.☐常用不等式：对于任意的正数a 、b ，有22a bab ，且等号当且仅当a b 时成立.☐三角不等式：对于任意的实数a 、b ，有a b a b ，且等号当且仅当0ab 时成立.证明：为证明a ba b ，只需证明22a ba b，即222222aab b a ab b ，也即22ab ab ，这是显然的，且等号当且仅当a 、b 同号，即0ab时成立.二、拓展知识☐基本不等式：如果a ，b ，c R ，那么3333a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）证明：33333223333a b c abca bc a b ab abc223a b ca ba b c c ab a b c22223a b c a ab b ac bc c ab 222a b c a b c ab bc ac 22212a bc a ba cbca ，b ，cR ，222102a b c a b a cb c从而3333ab c abc☐推论：如果a ，b ，c R ，那么33a b c abc （当且仅当a b c 时取“”）☐基本不等式：1212nn a a a a a a n，*n N ，ia R ，1in .证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略； ☐柯西不等式：222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b,1,2,,i i a b R i n ，等号当且仅当120na a a 或i ib ka 时成立（k 为常数，1,2,,i n ）证明：构造二次函数2221122n nf xa xb a x b a x b2222222121122122n n n n a a a xa b a b a b xb b b222120n aa a又0f x 恒成立222222211221212440n nn n a b a b a b a a a b b b即222222211221212n nn n a b a b a b a a a b b b当且仅当0i i a x b x（1,2,,i n ）即1212nna a ab bb 时等号成立. ☑一个重要的不等式链：2112a b a b+≤≤≤+． ☑函数()()0,0bf x ax a b x =+>>图象及性质（1）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象大致如下图（xx x f 1)(+=）所示：（2）函数()0)(>+=b a xb ax x f 、性质：①值域：()2,ab,⎡-∞-+∞⎣；②单调递增区间：,,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间：0,,0⎛⎡⎫ ⎪⎢ ⎪⎝⎣⎭．三、最值常见类型注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．类型一：积定和最小；重点：利用好“一正，二定，三相等”，凑积为定值；例1、已知1->x ，求221xx 的最小值【解析】求和的最小值，去找积的定值，这里面发现2x 与21x 的积没有关系，但是能够注意到题目中有1->x ，从而01>+x ，且可以将2x 出来1x 让分母抵消，故有222221222122111xx x x x x ，当且仅当2211x x 即0x 时取等号；注意：在使用积定和最小时，第一要注意两个式子是正还是负（一正）；第二要注意两个式子乘起来是不是定值，如果是定值，结束，如果不是定值要注意进行变形，凑成乘起来是定值的式子（二定）；第三是要注意进行验证，是否可以取等（三取等）；注意：三取等一定要关注，一个是为了验证等号，第二个是因为有的不等式是会进行多次应用基本不等式（多次放缩），如果多次应用中等号不一致，是不可以进行取等的；例2、已知0xy ，1xy ，求yx y x -+22的最小值及相应的y x ,的值。

《基本不等式》知识清单

《基本不等式》知识清单一、基本不等式的形式基本不等式是高中数学中的一个重要知识点，它有两种常见形式：1、对于任意两个正实数 a 和 b，有\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。

2、如果\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），则\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。

这两个形式本质上是等价的，它们都反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数的重要关系。

二、基本不等式的证明我们先来证明第一个形式\（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）。

因为\（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\），展开得到：＼＼begin{align}a 2\sqrt{ab} ＋b ＆＼geq 0\＼a ＋b ＆＼geq 2\sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（＼sqrt{a} ＼sqrt{b} ＝ 0\），即\（a ＝ b\）时，等号成立。

对于第二个形式\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），证明如下：因为\（（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 2ab ＋ b^2 ＼geq 0\），移项得到\（a^2 ＋ 2ab ＋ b^2 ＼geq 4ab\），即\（（a ＋ b)＾2 ＼geq 4ab\）。

因为\（a\gt 0\），＼（b\gt 0\），所以\（a ＋ b ＼gt 0\），两边同时除以 4 得到：＼＼begin{align}＼frac{（a ＋ b)＾2}｛4} ＆＼geq ab\＼＼frac{a ＋ b}｛2} ＆＼geq ＼sqrt{ab}＼end{align}＼当且仅当\（a ＝ b\）时，等号成立。

三、基本不等式的应用1、求最值基本不等式在求最值问题中有着广泛的应用。

例如，求函数\（y ＝ x ＋＼frac{1}｛x}＼）（＼（x\gt 0\））的最小值。

基本不等式

基本不等式基本不等式是数学中一个重要的概念。

其中，重要不等式指的是a²＋b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。

而基本不等式则是指a＋b≥2√(ab)，当且仅当a=b时等号成立。

此外，还有一条基本不等式是任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

在利用基本不等式求函数的最大值、最小值时，需要注意函数式中各项必须都是正数，含变数的各项的积或者必须是常数，等号成立条件必须存在。

举例来说，如果0<a<b且a＋b＝1，则a²＋b²＞2ab，a＋b≥2√(ab)，2ab＜2(1/2-a)²，a²＋b²＞(1/2-a)²＋(1/2-b)²，因此b 最大。

又如，如果a、b、c都是正数，则(a＋b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9，即a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c≥6，证明过程中利用了基本不等式。

例3、已知$a,b,c$为不等正实数，且$abc=1$。

求证：$a+b+c<\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$。

证明：根据柯西不等式，$(1+1+1)(a+b+c)\geq(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2$，即$3(a+b+c)\geq(a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca})$。

因为$abc=1$，所以$2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=2\sqrt{abc}(1/\sqrt{a}+1/\sqrt {b}+1/\sqrt{c})\leq3\sqrt[3]{abc}\cdot3=9$。

所以$3(a+b+c)\geq(a+b+c+9)$，即$2(a+b+c)\geq9$，即$a+b+c\geq\frac{9}{2}$。

又因为$a,b,c$不全相等，所以$a+b+c>\frac{9}{2}$。

基本不等式课件

均值不等式的证明
均值不等式的证明可以通过数学归纳法、柯西不等式等方法进行。
其中，利用柯西不等式进行证明的方法较为简洁明了，可以通过构造向量并应用柯西不等式得出结论。
均值不等式的应用
均值不等式在数学中有着广泛的应用，例如在证明不等式、求最值、解决方程等问题中都可以发挥作用。
在实际应用中，均值不等式也可以用于解决一些实际问题，例如在经济学中的收入分配、物理学中的能量均分等问题中都可以应用均值不等式进行分析和求解。
一元二次不等式的解集
满足不等式的 $x$ 的取值范围。
3
一元二次不等式的图像
一元二次函数的图像在 $x$ 轴上方的部分或下方的部分。
一元二次不等式的解法
判别式法
通过计算判别式 $Delta = b^2 4ac$，判断一元二次方程的根的情况，从而确定不等式的解集。
配方法
通过配方将一元二次不等式转化为完全平方的形式，然后利用平方根的性质求解。
THANKS
感谢观看
05
柯西-施瓦茨不等式
柯西-施瓦茨不等式的定义
对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$（$i=1,2,...,n$），有
$left( sum_{i=1}^{n} a_i^2 right) left( sum_{i=1}^{n} b_i^2 right) geq left( sum_{i=1}^{n} a_i b_i right)^2$
基本不等式的重要性
01
02
03
数学基础
基本不等式是数学中的重要内容，是后续学习不等式解法、函数性质等的基础。
实际应用
在实际问题中，经常需要比较大小、求解最值等问题，基本不等式是解决这些问题的有效工具。

基本不等式

感谢观看
证明
算术证明
Байду номын сангаас
几何证明
当时，两边开平方得即当且仅当a=b时，当且仅当a=b时，不等式取等号。
在△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，AE为高，设BE=a，EC=b 由射影定理，得 A E ²= a b ∴AE= ∵在△ABC中，点D为斜边BC的中点 ∴ ∵在Rt△ADE中，AD≥AE △ABC∴当且仅当AD与AE重合，即a=b时等号成立
基本不等式
数学术语
01 概念
03 证明 05 应用
目录
02 公式 04 推广 06 技巧
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。“一正”就是指两个式子都为正数， “二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。
概念
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值。
公式
原型
变形二元均值不等式
（a＞0，b＞0）注：当且仅当a=b时取等其中称为的算术平均数，称为的几何平均数。
1、（当且仅当时取等号）（a＞0，b＞0） 2、 3、
（调和均值≤几何均值≤算术均值≤平方均值）当且仅当a=b时等号成立
技巧
“1”的妙用。题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

基本不等式6个公式

基本不等式6个公式
基本不等式是初中数学中常见的一类不等式，包括以下6个公式：
1. 两个非负实数的平均数大于等于它们的几何平均数：(a+b)/2≥√ab
这个公式表明，对于两个非负实数a和b，它们的平均数不会小于它们的几何平均数。

2. 两个非负实数的平方和大于等于它们的算术平均数的平方：a²+b²≥(a+b)²/4
这个公式表明，对于两个非负实数a和b，它们的平方和不会小于它们的算术平均数的平方。

3. 两个正实数的积大于等于它们的几何平均数的平方：ab≥(a+b)²/4
这个公式表明，对于两个正实数a和b，它们的积不会小于它们的几何平均数的平方。

4. 两个正实数的积大于等于它们的调和平均数的平方：ab≥4/(1/a+1/b)²
这个公式表明，对于两个正实数a和b，它们的积不会小于它们的调和平均数的
平方。

5. n个正实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)
这个公式表明，对于n个正实数a1、a2、...、an，它们的算术平均数不会小于它们的几何平均数。

6. n个正实数的调和平均数大于等于它们的算术平均数：n/(1/a1+1/a2+...+1/an)≥(a1+a2+...+an)/n
这个公式表明，对于n个正实数a1、a2、...、an，它们的调和平均数不会小于它们的算术平均数。

基本不等式教学课件

基本不等式教学课件一、引言基本不等式是数学中的重要概念之一，它在解决数学问题和推理过程中起到了至关重要的作用。

本教学课件旨在帮助学生全面理解基本不等式的概念、性质和解题方法，以提升他们的数学推理和解题能力。

二、基本不等式的概念基本不等式是指关于变量的一种不等式，它涉及到数值的大小关系。

在基本不等式中，比较的对象可以是数字、变量或者表达式。

基本不等式的一般形式可以表示为：a≥b 或者a≤b，其中a和b分别表示两个数值、变量或者表达式。

三、基本不等式的性质1. 反身性质：对于任意实数a，在基本不等式a≥a和a≤a中，不等号成立。

2. 传递性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b且b≥c成立，那么a≥c也成立。

3. 加法性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b成立，那么a+c≥b+c也成立。

4. 减法性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b成立，那么a-c≥b-c 也成立。

5. 乘法性质：对于任意实数a、b和c，如果a≥b成立，且c≥0，那么ac≥bc也成立。

如果c<0，那么ac≤bc也成立。

四、基本不等式的解题方法1. 加减法解法：利用加法和减法的性质，将不等式中的项进行增减，以求得解。

2. 乘法解法：利用乘法的性质，将不等式中的项进行增减，以求得解。

需要注意乘法解法在乘以负数时需要改变不等号的方向。

3. 合并解法：将多个基本不等式进行合并后，进行分析推导，得到最终的解。

五、练习题演示1. 示例一：已知不等式3x-5<7，需要求解x的取值范围。

通过加减法解法，可得3x<12，进一步得到x<4。

因此，不等式的解为x取所有小于4的实数。

2. 示例二：已知不等式2(x+3)>5，需要求解x的取值范围。

通过乘法解法，可得2x+6>5，进一步得到2x>-1。

由于2为正数，因此不等式的解为x取所有大于-1/2的实数。

3. 示例三：已知不等式3(x-2)>2(x+3)，需要求解x的取值范围。

《基本不等式》知识清单

《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义如果 a，b 是正数，那么\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。

其中，＼（＼frac{a ＋ b}｛2}＼）叫做正数 a，b 的算术平均数，＼（＼sqrt{ab}＼）叫做正数 a，b 的几何平均数。

基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

二、基本不等式的推导对于正数 a，b，有：＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\）＼（a 2\sqrt{ab} ＋ b ＼geq 0\）＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）当且仅当\（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。

三、基本不等式的几何解释以长为 a ＋ b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC ＝ a，CB ＝ b。

过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DE，连接 AD，DB。

根据圆的性质，可得\（CD ＝＼sqrt{ab}＼），而半径\（＼frac{a＋ b}｛2}＼）。

因为半径不小于弦长的一半，所以\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 C 为圆心时，等号成立，即 a ＝ b 。

四、基本不等式的变形1、＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（a^2 ＋ b^2 2ab ＝（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 ＋b^2 ＼geq 2ab\）2、＼（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：由基本不等式\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），两边平方可得\（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）3、＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\）（a，b 同号且不为 0，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\sqrt{＼frac{b}｛a} ＼times ＼frac{a}｛b}｝＝ 2\）五、用基本不等式求最值1、若两个正数的和为定值，则当这两个数相等时，它们的积取得最大值。

基本不等式(共43张)ppt课件

解法步骤与技巧
01
02
03
移项
将不等式两边的同类项进行合并，并把未知数移到不等式的一边，常数移到另一边。
合并同类项
将移项后的不等式两边的同类项进行合并。
系数化为1
将不等式两边的系数化为 1，得到不等式的解集。
解法步骤与技巧
注意不等号的方向
在解不等式时，要注意不等号的方向，特别是在乘以或除以一个负数时，不等号的方向要发生变化。
基本不等式(共43张)ppt课件
目录
• 基本不等式概念及性质 • 一元一次不等式解法 • 一元二次不等式解法 • 绝对值不等式解法 • 分式不等式和无理不等式解法 • 基本不等式在几何中的应用 • 基本不等式在函数中的应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
基本不等式概念及性质
不等式定义与分类
不等式定义
根）；
04
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无实根，有两个共轭复根。
04
绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
对于任意实数$x$，其绝对值$|x|$定义为：若$x geq 0$，则$|x| = x$；若$x < 0$，则$|x| = -x$。
绝对值的性质
非负性、对称性、三角不等式。
绝对值不等式解法步骤
将不等式左边进行因式分解，找出不等式的临界点。
无理不等式解法
第一步
确定无理不等式的定义域，即根号内的表达式必须大于等于零。
第二步
通过平方消去根号，将无理不等式转化为有理不等式。
第三步
利用有理不等式的解法，求解转化后的不等式，得到原无理不等式的解集。
综合应用举例
例1

基本不等式(很全面)

基本不等式【知识框架】1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ （2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab+≤+≤≤+ 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+【题型归纳】题型一：利用基本不等式证明不等式题目1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+题目2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：cabc ab c b a ++>++222题目3、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥题目4、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥---题目5、已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：1111118⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪题目6、（新课标Ⅱ卷数学（理）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a ++≥.题型二：利用不等式求函数值域题目1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -=（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x x x y题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；变式3：已知2<x ，求函数4224xy x x =+-的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；题目2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）题目1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

《基本不等式》课件

《基本不等式》PPT课件
欢迎来到《基本不等式》PPT课件！在本次课程中，我们将深入探讨基本不等式的概述、定义、性质以及证明方法。通过应用实例，我们将进一步理解如何求最小值和进行定理证明。让我们一起展望本课件带来的新知识和启示！
基本不等式的概述
基本不等式是数学中的重要概念，用于比较两个数或者两个代数式的大小关系。它是我们学习不等式的基石，掌握基本不等式对于解决更复杂的不等式问题至关重要。
乘法性
将不等式的两边同时乘以（或除以）相实数时，不等式的符号反向。
基本不等式的证明方法
数学归纳法
通过归纳假设和递推关系，逐步证明基本不等式的成立。
代数证明
将基本不等式转化为代数表达式，通过代数运算和推导来证明。
几何证明
借助几何图形和几何关系，通过几何推理来证明基本不等式。
应用实例1：求最小值
基本不等式在求解数学问题时扮演着重要角色。通过对一些实际问题的分析，我们可以利用基本不等式的性质来找到函数的最小值，有效地解决各种优化问题。
应用实例2：定理证明
基本不等式被广泛运用于数学定理的证明中。通过灵活应用基本不等式的定义和性质，我们可以推导出一系列重要的数学结论和定理，拓展数学领域的边界。
基本不等式的定义
基本不等式指的是一类具有特定形式的不等式，其中常见的包括平均数不等式、均方根不等式和柯西-施瓦茨不等式。这些定义为我们解决各种数学问题提供了强大的工具。
基本不等式的性质
单调性
基本不等式满足严格单调性，即当其中的变量递增（或递减）时，不等式的符号也相应地改变。
加法性
将不等式的两边同时加上（或减去）相同的实数时，不等式的符号保持不变。
总结和展望

基本不等式公开课课件

基本不等式公开课课件一、引言基本不等式是数学中的重要概念，它在解决实际问题、证明数学定理等方面起到了重要的作用。

本课件旨在介绍基本不等式的概念、性质和解题方法，帮助学生理解并掌握基本不等式的应用。

二、基本不等式的概念1. 不等式的定义和符号不等式是数学中一种表示大小关系的表达式。

通常用不等号（>、<、≥、≤）表示。

2. 基本不等式的定义基本不等式是指具有普遍适用性和重要性的不等式。

常见的基本不等式有：算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。

三、基本不等式的性质1. 不等式的运算性质基本不等式满足不等式的运算性质，包括加法法则、乘法法则和取反法则等。

2. 不等式的传递性质如果对于任意的实数a、b、c，若a < b，b < c，则有a < c。

这种传递性质在解决不等式问题时具有重要意义。

四、基本不等式的应用1. 不等式求解方法不等式求解的一般步骤包括：将不等式转化为等价的形式、求解等价不等式，最后给出不等式的解集。

2. 基本不等式的应用举例例1：应用算术平均-几何平均不等式证明某个数值组的最优解。

例2：利用基本不等式解决实际问题，如最优化问题、优化调整问题等。

五、基本不等式的证明1. 不等式的证明方法常见的不等式证明方法有：直接证明法、间接证明法（反证法）、数学归纳法等。

2. 不等式的证明举例例：使用间接证明法证明算术平均-几何平均不等式。

六、课堂练习为了巩固学生对基本不等式的掌握，本课件设置了一些课堂练习，供学生在课后完成。

七、总结通过本课件的学习，我们了解了基本不等式的概念、性质和应用。

基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题和证明数学定理中具有广泛的应用。

希望同学们能够通过课后的练习进一步巩固对基本不等式的理解和运用能力。

基本不等式优秀课件

基本不等式是指介于两个实数之间的数学不等式，常见的基本不等式有数学中的均值不等式和几何中的三角不等式。
倒置不等式是什么？
倒置不等式是指改变不等式符号后所得到的不等式。它可以帮助我们在解决问题时更灵活地应用和推导基本不等式。
利用倒置不等式的场景案例
倒置不等式可以应用于经济学中的供求分析、物理学中的力学问题以及概率统计中的风险分析等各种实际场景。
如何证明基本不等式?
证明基本不等式的方法有很多，其中一种常用的方法是使用数学归纳法。通过逐步推导和分析，可以证明基本不等式的正确性。
基本不等式与平均数不等式的关系
基本不等式和平均数不等式密切相关。平均数不等式提供了将等式推广为不等式的方法，并通过均值的概念推导出了很多重要的不等式。
极值原理与基本不等式
基本不等式优秀课件
通过本课件，我们将深入了解基本不等式及其广泛的应用。探索不同领域中如何利用基本不等式解决实际问题，并了解基本不等式的重要性和应用价值。
什么是基本不等式？
基本不等式是数学中的重要概念，用于描述数值之间的大小关系。它提供了一种有力的工具，可以证明和推导出其他重要不等式。
基本不等式的定义和内容
极值原理是基本不等式的一个重要分支，它用于解决极限问题和最优化问题。极值原理通过基本不等式将极值和不等式联系起来，提供了一种有力的工具。
基本不等式在概率统计中的应用
基本不等式在概率统计中有广泛的应用，可以用于描述随机变量的分布、测量误差和评估可靠性等问题。
基本不等式解决实际问题的步骤
通过以下步骤，我们可以利用基本不等式解决实际问题：1. 理解问题要求；2. 利用倒置不等式进行变形；3. 使用基本不等式推导出结论。
拓展性质：黑尔德不等式

基本不等式知识点归纳

基本不等式知识点归纳基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。

在数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。

本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。

一、基本不等式的定义基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。

二、基本不等式的性质1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。

2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。

3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。

4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。

5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。

若c ≤ 0，则ac ≥ bc。

6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。

若 c < 0，则a/c ≥ b/c。

三、常用的基本不等式1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ +a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。

该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，那么这些数之间存在不等关系。

2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、b₂、...、bₙ，有(a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂²+ ... + bₙ²)。

柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘积的平方之间的关系。

该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛应用。

3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝对值之和。

《基本不等式》课件

01
传递性
如果a≥b且b≥c，则a≥c。
02
对称性
如果a≥b，则对于任意正实数d，有a+d≥b+d。
02
CHAPTER
基本不等式的证明
面积法
利用几何图形面积的性质，通过比较不同形状的面积来证明基本不等式。
体积法
利用几何体体积的性质，通过比较不同几何体的体积来证明基本不等式。
三角法
利用三角形的性质，通过比较不同三角形的边长或角度来证明基本不等式。
在化学反应速率的研究中，基本不等式可以用来分析反应速率与反应物浓度的关系，从而优化反应条件。
生物医学研究
在生物医学研究中，基本不等式可以用来研究药物剂量与治疗效果的关系，以找到最佳用药方案。
市场占有率分析
在市场占有率分析中，基本不等式可以用来确定企业产品的最大市场份额，以提高市场竞争力。
广告投放策略
AM≥GM，即算术平均数大于等于几何平均数。
柯西不等式形式
对于任意的正实数a₁，a₂，…，an和b₁，b₂，…，bn，都有(a₁²+a₂²+…+an²)(b₁²+b₂₂+…+bn²)≥(a₁b₁+a₂b₂+…+anbn)²。
平方和与平方差形式
a²+b²≥2ab和a²-b²≥0。
03
可加性
如果a≥b且c≥d，则a+c≥b+d。
基本不等式
目录
基本不等式的定义基本不等式的证明基本不等式的应用基本不等式的扩展基本不等式的实际例子
01
CHAPTER
或多个正数之间大小关系的数学式子。
表达形式简单明了，是数学中常用的一个概念。

§8.3 基本不等式

基本不等式(课件)

基本不等式课件(共43张PPT)

基本不等式完整版

基本不等式知识点

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《基本不等式》 知识清单

基本不等式

基本不等式课件

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基本不等式6个公式

基本不等式教学课件

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基本不等式知识点归纳

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