第2章 拉伸与压缩

四、直杆受轴向拉伸或压缩时的强度条件
1、危险应力：杆件横截面上的应力达到某一数值时，杆件就开始破坏，这一 应力称为危险应力，用ζ0 表示。
为了使杆件能安全工作, 杆件横截面上的正应力———最大工作应力σmax 不应 超过危险应力ζ0 ， 即
σmax < σ0
2、许用应力：①为了补偿构件实际工作情况与设计计算时所设想的条件不一致。 ②为了有必要的强度储备。故应选取危险应力ζ0 的若干分之一作为构件工作时 允许应力的最大值, 这种最大的允许应力称为许用应力，用符号[ζ]来表示。为 了保证受轴向拉伸或压缩时的杆件安全可靠地工作，必须使
例2-2 立式容器重20kN，用4 根88 .5×4mm 钢管作为容器的支脚，其总高H = 200mm, 已知钢管许用应力[ζ] = 108MPa，试校核钢管的强度。
五、例题讲解
例2-3 管架由横梁AB，拉杆AC组成。横梁AB承受管道的重力分别为G1 = 8kN, G2 = G3 = 5kN。横梁AB的长度l = 6m，B 端由支座支承，A 端由直径 为d 的两根拉杆(圆钢) 吊挂着。圆钢的许用应力[ζ] = 100MPa，试确定圆钢 截面尺寸。
2.1材料力学的基本概念
材料力学的基本假设： (1)连续性假设(数学假设) 组成固体的物质不留空隙的充满整个固体的体积。 (2)均匀性假设(力学假设)
固体内各点处具有相同的力学性能。
(3)各向同性假设(物理学假设) 各向同性材料：固体材料内沿各个不同方向的力学性能相同；
各向异性材料：固体材料内沿各个不同方向的力学性能不同。
五、例题讲解
例2-4 旋臂起重机的结构如图所示，通过小车起吊重物，小车工作时能沿着横梁 AB 移动。已知小车自重G= 5kN，拉杆BC 的直径d = 20mm，材料为低碳钢， 许用应力[ζ] = 120MPa, 试由拉杆BC 确定此起重机的许可起吊重[Q]。
六、纵向变形
F F
l
l1
l l1 l
Nx N σ0 = sinαcosα= σ0 sinαcosα= sin2α Aα A 2
三、直杆受轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
ζα 和ηα的说明
符号规定
（1）正应力ζα 以拉应力为正，压应力为负。 （2）剪应力ηα 绕物体内任一点有顺时针转动趋势的为正，反之 为负。
最大值确定
（1）在α＝0的截面(横截面)上，ζα ＝ζ max＝ ζ0 （2）在α＝45o的截面上， ηα ＝η max＝ ζ0 /2
第二章 拉伸与压缩
本章主要讨论的四个问题：
(1) 内力与截面法； (2)应力与强度条件； (3)材料的变形与虎克定律； (4)材料的力学性能。
2.1材料力学的基本概念
一、任务和研究对象
什么叫刚体？ 刚体是实际固体的理想化模型，即在受力后其大小、形 状和内部各点相对位置都保持不变的物体。
什么叫弹性形变？什么叫非弹性形变？ 弹性形变是指固体受外力作用而使各点间相对位置的改 变，当外力撤消后，固体又恢复原状谓之“弹性形变”。 当外力撤消后，无法回到原来的形状称为非弹性形变。
根据化工专业的需要和本课程的特点, 我们首先着重讨论
直杆的基本变形与稳定性问题, 然后结合化工容器讨论壳
体的强度和稳定性问题。
三、构件及杆件变形的基本形式
杆件产生变形的基本形式： A 轴向拉伸及压缩；——拉压变形 B 弯曲；——弯曲变形 C 剪切；——剪切变形 D 扭转；——扭转变形
2.2 拉伸和压缩
4、颈缩断裂阶段(ek 段)
伸长率(延伸率)：
σ
e k c a ζb
l1 - l δ= × 100% l
δ> 5% 的材料称为塑 性材料； δ< 5% 的材料称为脆 性材料。；
ζp
ζs
o o1 δ
Q235的ζ-ε
ε/%
一、金属材料拉伸时的强度与塑性
其它塑性材料
一、金属材料拉伸时的强度与塑性
其它塑性材料
二、内力与截面法
例2-1 图为一个双压手铆机的示意图，作用于活塞杆上的力分别简化为 F1=2.62kN，F2 =1.3kN，F3 =1.32kN，计算简图如图所示。试求活塞 杆横截面1-1和2-2的轴力，并作活塞杆的轴力图。
三、构件及杆件变形的基本形式
构件的基本类型：
(1)杆件；
(2)板；
(3)壳；
弹性；弹性形变； 虎克定律σ= Eε； 斜直线的斜率就是弹 性模量E； ζp 称为材料的比例极 限, 它是应变ε与应力 ζ成正比的应力最高 限。 c a ζb
σ
e k
ζp
ζs
o o1 δ
Q235的ζ-ε
ε/%
一、金属材料拉伸时的强度与塑性
2、屈服阶段(ac段)
屈服； 斜划线； 塑性；塑性变形； c a ζb ζs 称为材料的屈服极 限(流动极限)，相当 于危险应力ζ0；
2、若其他条件相同，则E 值愈大，杆件的伸长或缩短就愈 小；EA称为杆件的抗拉刚度或抗压刚度。
八、横向变形
纵向伸长： l l1 l 横向收缩： 纵向应变： a1 横向应变： a 实验指出, 在弹性范围内, 横向应变 与纵向应变之比的绝对值为一常数, 即
a=a1 -a
l = l a = a
弹性模量E的确定；
一、金属材料拉伸时的强度与塑性
几点说明： (1)、习惯上所说的塑性材料或脆性材料, 是根据材料通过 常温静拉伸试验所得的伸长率δ的数值大小来区分的。 (2)、实际上材料的塑性或脆性并非固定不变，温度、变形 速度、应力情况和热处理等都会改变材料的强度及伸长率。 (3)、材料也是可以改造的，例如在铸铁铁水中加入球化剂, 可以改变其内部结构，从而得到球墨铸铁，球墨铸铁的一 些主要机械性质和钢很相近。
2.1材料力学的基本概念
一、任务和研究对象
为了保证整个机器设备在外力作用下安全可靠地工作，它们的每一个构 件都必须满足以下三个基本要求： (1)具有足够的强度；(强度的概念：构件抵抗破坏的能力) (2)具有一定的刚度；(刚度的概念：构件抵抗弹性变形的能力) (3)具有足够的稳定性；(稳定性的概念：构件受力后保持原有平衡状态 的能力) 在研究构件的强度、刚度和稳定性时，构件的变形虽然很小，却是一 个重要的因素, 必须加以考虑而不能忽略。因此，在材料力学中所研究 的一切物体都是变形固体。 材料力学的主要任务是分析、计算构件的强度、刚度和稳定性，为 正确解决安全与经济之间的矛盾提供必要的理论基础。
这些材料与低碳钢相比，其共同点是， 都具有良好的塑性；不同点是，这些 材料没有明显的屈服极限。对于这些材料，工程上规定：取对应于试件卸载 后产生0.2%的残余应变时的应力值作为材料的名义屈服极限，以σ0.2 表示, 也 可用σs 表示。
一、金属材料拉伸时的强度与塑性
脆性材料
有些材料在拉伸时，一直到断裂，变 形都不显著，而且没有屈服阶段，也 没有颈缩现象，只有断裂时的强度极 限ζb 。这些材料的特点是伸长率很小， 一般δ< 5% ，因此称它们为脆性材料。
二、金属材料压缩时的强度与塑性
塑性材料
当应力小于比例极限σp 或屈服极限σs 时, 它所表现的性质与拉伸时相同，而 且比例极限与弹性模量的数值，与受拉 伸时数值大致相等。对于钢来说，甚至 屈服极限σs 也基本相同。 应力超过屈服极限后, 材料产生明显的 残余变形，圆柱形试件高度显著缩短， 而直径则增大，试件由鼓形逐渐变成圆 饼形。塑性材料在压缩下不会发生断裂， 所以测不出强度极限。 对于塑性材料，拉伸试验是主要的，塑性材料的机械性质主要是用拉伸试验 来测定。
一、金属材料拉伸时的强度与塑性
拉伸试验的测量方法：《金属拉力实验法》GB228-87。
圆截面：l=10d(10倍构件)，或l=5d(5倍构件) 矩形截面：l=11.3√A，或l=5.65√A
一、金属材料拉伸时的强度与塑性
Q235的F-Δl
Q235的ζ-ε
一、金属材料拉伸时的强度与塑性
1、弹性阶段( Oa 段)
a b c d F
F
Hale Waihona Puke Baidu
a b
c d
变形前的平面横截面，在变形后，仍然为与轴线垂直的平面。 应力ζ的方向是与横截面垂直的，所以称为正应力：
通常取拉伸时的轴力作为正值，压缩时的轴力作为负值。
三、直杆受轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
为了全面了解直杆在轴向拉伸或压缩时的强度计算，还需要研究直杆在任意斜截面 上的应力是怎样分布的，会不会超过横截面上的应力，究竟哪一截面上的应力最大？ 直杆横截面上的应力与斜面上的应力有什么关系？
σ
e k
ζp
ζs
o o1 δ
Q235的ζ-ε
ε/%
一、金属材料拉伸时的强度与塑性
3、强化阶段(ce段) σ
材料的强化； 颈缩； a ζb ζb 称为材料的强度极 限(抗拉强度)；ζb 是 危险应力ζ0 的最明显 标志； c e k
ζp
ζs
o o1 δ
Q235的ζ-ε
ε/%
一、金属材料拉伸时的强度与塑性
μ称为横向变形系数或泊松比。因为 ε′与ε的符号总是相反, 所以又可写为
=
=
μ也是无因次的量, 它和弹性模量E 一样, 也是表示材料力学性质的一个弹性常数, 其数值可由实验求出, 在一般情况下, 碳钢的横向变形系数μ约为0 .27。
2.3 材料的机械性质
1、工程上所用的构件一般都是由一定几何形状和尺寸的金 属材料制成。要保证构件的正常工作, 不仅要知道应力的计 算, 还必须了解构件材料抵抗破坏的能力和它的受力和变形 过程中所具有的特性, 也即材料的机械性质。 2、材料的机械性质是材料本身固有的特性，它能反映出材 料的机械方面的特点, 它包括强度、塑性、韧性和硬度四个 方面的指标，它们都是通过科学实验的方法测定出来的。 3、金属材料大致可以分成塑性材料和脆性材料两大类。
(4)小变形假设(几何假设) 固体受力后的变形比固体的原始尺寸小的多。
二、内力与截面法
外力：物体对构件的作用，如约束反力、主动力;
内力：构件一部分与相邻部分之间的相互作用力;
材料力学所注意的就是这种内力。对于具有一定横截面积、 由一定材料制成的构件，其内力的增大具有一定的限度， 若超过这个限度, 构件就发生破坏。不同的材料制成的构 件，各有其不同的限度，这个限度就是材料的强度。
二、内力与截面法
截面法：假想将杆件切开，使内力转化为外力，运用静
力平衡条件求出截面上内力的方法。 轴力图：若选取一个坐标系，其横坐标表示横截面位置，
纵坐标表示相应截面上的轴力，便可用图形表示出轴力 沿杆件轴线的变化情况，这种图形称为轴力图。
在轴力图中，将拉力绘在X轴的上侧, 压力绘在X轴的下侧。这样， 轴力图不但可显示出杆件各段内轴力的大小，而且还可表示出各 段内的变形是拉伸或是压缩。
σmax
N [ σ] A
此式是保证直杆有足够强度, 能够安全可靠地使用的条件, 叫做强度条件。
四、直杆受轴向拉伸或压缩时的强度条件
3、根据强度条件可以解决杆件三个方面的问题：
A 强度校核：
σmax [ σ]
N A [ σ]
B 截面设计：
C 确定许用载荷： N A[ σ]
五、例题讲解
拉伸时Δl 称为直杆的绝对伸长, 为正值; 压缩时Δl 称为绝对缩短, 为负值。
l = l
这个比值ε称为直杆的相对伸长或相对缩短, 统称为杆的纵向应变。ε的符号, 在拉伸时为正值, 在压缩时为负值。 ε表示单位长度直杆变形的大小。显 然,ε是无因次量, 在工程中也常用原长的百分数来表示。
七、虎克定律
一、应力的基本概念
1、定义：我们把横截面上各点所承受的内力数值称为应力。 2、公式： ζ＝N/A 3、单位： N/m2 Pa； N/mm2 MPa；
4、规定：拉应力为正，压应力为负。 5、杆件受外力拉压时是否破坏, 决定于它的横截面上各点的 应力大小。
二、直杆受轴向拉伸或压缩时横截面上的应力
1、平面截面假设：
Ny
α
F
N
F
Nx
三、直杆受轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力
Ny
F
α
N
F
Nx
N x = N sin
N y = N cos
斜截面的面积： Aα =
A cosα
斜截面法向应力：σ = α (正应力) 斜截面切向应力： τ α= (剪应力)
Ny N σ = cos 2α= σ0cos 2α= 0 （1+ cos2α） Aα A 2
F F
l
l1
l l1 l
虎克定律：
σ
Eε Fl l EA
l = l
引进比例系数E：σ =
也可以写成：
E 称为材料的弹性模量，表示材料抵抗弹性变形的能力。单位：MPa或N/mm2。
关于虎克定律的几点说明：
1、虎克定律可简述为当应力未超过某一限度时, 纵向应变与 正应力成正比；若应力超过某一限度，虎克定律不再适用； 这个应力的限度称为比例极限；各种材料的比例极限可以 通过实验测得。