《高等数学》(本科)

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本科教材高等数学

本科教材高等数学

本科教材高等数学高等数学是本科教育中不可或缺的一门课程。

作为一门基础学科,高等数学在培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决实际问题的能力方面起着重要的作用。

本文将从高等数学的定义、内容和教学方法三个方面对本科教材高等数学进行探讨。

一、高等数学的定义与重要性高等数学是一门研究数与数的关系及其性质的学科,是数学中的一支重要分支。

它主要包括微积分、线性代数、概率统计等内容。

作为一门基础学科,高等数学具有以下重要性:1. 培养学生的逻辑思维能力:高等数学要求学生在解决问题时运用严密的逻辑推理,培养学生的思辨能力和科学精神。

2. 分析问题的能力:高等数学通过数学模型与方法的引入,培养学生分析问题和解决问题的能力,为学生解决实际问题打下基础。

3. 解决实际问题的能力:高等数学应用广泛,它在物理、工程、经济等领域的实际问题中发挥着重要作用,因此掌握高等数学对学生未来的专业发展至关重要。

二、高等数学的内容高等数学主要包括微积分、线性代数和概率统计三个方面的内容。

1. 微积分微积分是高等数学的基础,主要分为微分学和积分学两个部分。

微分学研究函数的变化率、极限、导数等概念,积分学研究函数的面积、曲线长度等概念。

微积分是分析问题和解决问题的重要工具。

2. 线性代数线性代数研究向量空间及其上的线性变换。

它主要包括矩阵的运算、矩阵的特征值、向量的内积等内容。

线性代数在解决多元线性方程组、矩阵计算等问题时起着重要作用。

3. 概率统计概率统计是研究随机事件发生的规律性的学科。

它主要包括概率论和数理统计两个方面。

概率论研究随机事件的概率与性质,数理统计研究通过样本推断总体的性质。

概率统计在实际问题中的应用广泛。

三、高等数学的教学方法高等数学的教学方法应该注重培养学生的问题解决能力和创新思维。

1. 引导学生主动学习教师可以通过提问、解题示范等方式激发学生的学习兴趣,使学生从被动接受转变为主动思考和探究。

2. 注重理论与实际的结合高等数学作为一门应用学科,教师可以通过引入实际问题,让学生将抽象的理论与实际问题相结合,更好地理解高等数学的概念和方法。

高等数学教材推荐书目

高等数学教材推荐书目

高等数学教材推荐书目高等数学是大学本科课程中的一门重要学科,对于理工科等相关专业的学生来说,掌握高等数学的基本概念和方法是必不可少的。

而选择一本适合自己的高等数学教材,则是成功学习这门学科的关键。

在下面,我将向您推荐几本优秀的高等数学教材,希望对您有所帮助。

1. 《高等数学》(第七版)作者:同济大学数学系该教材是同济大学数学系编写的经典教材之一,深受广大学生和教师的喜爱。

全书内容系统完整,理论结合实际,涵盖了高等数学的各个分支,包括极限与连续、函数与极限等。

同时,该教材还提供了大量的例题和习题,供学生练习和巩固所学知识。

2. 《高等数学》(第六版)作者:复旦大学数学系复旦大学数学系编写的这本教材也是备受推崇的经典之作。

该教材注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力,通过丰富的例题和题型的设计,帮助学生提高数学建模和应用能力。

此外,该教材还融入了一些数学史、数学思想和数学方法的介绍,使学生更好地理解高等数学的发展历程。

3. 《高等数学》(修订版)作者:北京大学数学学院北京大学数学学院出版的这本教材是为现代学生新编的,更加贴近学生的需求和学习特点。

相比于传统的高等数学教材,该教材更加注重数学概念的解释和推导过程的详细说明,使学生能够更好地理解和消化数学知识。

此外,该教材还拓展了一些高等数学的应用,引导学生在实际问题中灵活运用数学知识。

4. 《高等数学快速复习指南》作者:清华大学出版社对于那些希望快速复习高等数学的学生来说,这本教材是一个不可多得的好选择。

该教材对高等数学的各个知识点进行了精简和概括,提供了大量的思维导图和汇总表格,帮助学生迅速回顾和掌握知识要点。

此外,该教材还提供了大量的辅助题和习题,供学生进行强化练习和考前复习。

综上所述,以上几本高等数学教材都是经典之作,具有深入浅出、内容全面、题目翔实等优点。

根据个人的学习风格和需求,选择适合自己的教材很重要。

无论选择哪本教材,只要能够认真学习,并结合课堂讲解和实际应用,相信都能够取得优异的学习成绩。

高等数学本科生教材目录

高等数学本科生教材目录

高等数学本科生教材目录引言高等数学是一门重要的学科,对本科生的数学素养和专业能力的培养具有至关重要的作用。

为了帮助学生系统学习和掌握高等数学知识,我们特别编写了本教材。

以下是教材内容的详细目录。

1. 函数与极限1.1 函数的概念1.2 函数的运算与性质1.3 函数的图像与性质1.4 极限的概念与性质1.5 无穷小与无穷大2. 导数与微分2.1 导数的定义与运算法则2.2 函数的微分2.3 高阶导数与导数的应用2.4 函数的凹凸性与拐点2.5 泰勒公式与函数的近似计算3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的定义3.2 基本积分公式与常用方法3.3 定积分的概念与性质3.4 简单曲线下的面积计算3.5 定积分的应用4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念4.2 一阶线性微分方程4.3 可降次的高阶线性微分方程4.4 常系数齐次线性微分方程4.5 非齐次线性微分方程5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.2 偏导数的定义与求法5.3 隐函数与全微分5.4 多元函数的极值和条件极值5.5 多元函数的泰勒公式与误差估计6. 重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 三重积分的概念与性质6.4 三重积分的计算方法6.5 曲线积分的概念与计算7. 曲面积分与梯度7.1 曲面积分的概念与计算方法7.2 散度与无源场7.3 梯度与有源场7.4 两类重要定理的应用7.5 Green公式与Stokes公式结语通过对高等数学本科生教材的编写,我们力求提供一套系统、全面的教材,帮助学生夯实数学基础,提高数学能力,并为将来的专业学习奠定坚实的基础。

希望本教材能够成为学生们学习高等数学的有力工具,引导他们在数学领域取得更进一步的成就。

大学本科数学教材高等数学

大学本科数学教材高等数学

大学本科数学教材高等数学高等数学是大学本科数学教材中的重要组成部分。

它是一门综合性科学,涉及了微积分、线性代数、概率统计等多个数学分支。

通过学习高等数学,学生能够掌握基本的数学思维方法和问题求解能力,为后续学习和专业发展奠定坚实基础。

第一章微积分微积分是高等数学的核心内容之一。

它是研究函数的变化规律、导数、积分和微分方程等数学工具的科学。

本章将介绍函数与极限、导数与微分、积分与微分方程等内容。

1.1 函数与极限函数是数学中的基本概念,它描述了自变量和因变量之间的关系。

极限是函数的重要性质之一,它描述了函数在某一点附近的变化趋势。

我们将学习函数的定义、极限的概念与性质,以及如何计算极限。

1.2 导数与微分导数是函数变化率的度量,描述了函数在某一点的瞬时变化速率。

微分是导数的几何意义,它描述了函数图像的局部线性近似。

我们将学习导数的定义、计算方法、导数的应用等内容。

1.3 积分与微分方程积分是导数的逆运算,描述了函数的累积效应。

微分方程是描述自然现象的数学模型,涉及到微分和函数求解。

我们将学习积分的定义、计算方法,以及如何解微分方程。

第二章线性代数线性代数是研究向量空间及其上的线性变换的一门学科。

它在数学和应用领域都具有广泛的应用。

本章将介绍向量空间、线性变换、矩阵、行列式等内容。

2.1 向量空间向量空间是线性代数的基础概念,它描述了具有加法、数乘运算的集合。

我们将学习向量空间的定义、性质,以及如何判断一个集合是否为向量空间。

2.2 线性变换线性变换是向量空间之间的一种特殊映射,保持向量空间的线性结构不变。

我们将学习线性变换的定义、性质,以及如何求线性变换的矩阵表示。

2.3 矩阵与行列式矩阵是线性代数中的重要工具,它可以方便地表示线性变换和方程组。

行列式是矩阵的一个重要性质,它用于求解线性方程组的解。

我们将学习矩阵的基本运算、逆矩阵的求解,以及行列式的定义与计算方法。

第三章概率与统计概率与统计是研究随机事件及其规律的数学学科。

高等数学教材排名

高等数学教材排名

高等数学教材排名高等数学作为大学本科阶段的重要学科之一,对于培养学生的数学思维和创新能力具有重要意义。

而选择一本好的高等数学教材,不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识,还能够为他们的学习和成长提供有力的支持。

本文将介绍一些目前被广泛认可的优秀高等数学教材,并对其进行排名评比。

1.《高等数学》(第七版) - 王润基《高等数学》(第七版)是我国目前使用范围最广的高等数学教材之一。

该书作者王润基教授是中国科学院院士,享有很高的学术声誉。

该教材内容丰富,涵盖了大学高等数学的各个知识点,讲解详细,注重理论与应用的结合。

书中还配有大量的习题和例题,能够帮助学生巩固知识、提高解题能力。

同时,该教材的排版整洁美观,语句通顺,易于阅读和理解,因此备受学生和教师的喜爱。

2.《高等数学》(第六版) - 同济大学《高等数学》(第六版)是同济大学编写的一套高等数学教材,被广泛应用于各大高校。

该教材突出了数学知识的逻辑性和严密性,同时注重理论与实际问题的联系。

书中的例题和习题覆盖了各个难度层次,有助于培养学生的解题能力和思维能力。

此外,教材的配图清晰简明,排版整齐,让学生更好地理解和消化书中的内容。

3.《高等数学》(第十二版) - 高等教育出版社《高等数学》(第十二版)是由高等教育出版社出版的一套高等数学教材。

该教材以理论与实践相结合为原则,注重把握数学知识的本质和内在联系。

书中的例题和习题十分丰富,涵盖了各类题型和难度层次,可以满足学生的不同需求。

此外,该教材的编排紧密合理,内容全面,能够帮助学生系统地学习高等数学的各个部分。

4.《高等数学》(第十一版) - 北京大学出版社《高等数学》(第十一版)是北京大学出版社出版的一套高等数学教材。

该教材内容全面,注重数学知识的本质,同时兼顾数学的实际应用。

书中的例题和习题从简单到复杂,层次分明,有助于学生逐步提高解题能力。

教材的排版整洁美观,语句通顺,便于学生理解和掌握数学知识。

高等数学工本共几本教材

高等数学工本共几本教材

高等数学工本共几本教材高等数学是大学本科数学的一门重要课程,对于理工类专业的学生来说,学习高等数学是必不可少的。

而在学习高等数学的过程中,教材的选择也是至关重要的。

本文将探讨高等数学教材的种类及其使用情况。

在大多数高校中,高等数学作为一门课程,通常涵盖了多个学期。

每个学期的教学内容不尽相同,因此需要不同的教材来进行讲解。

根据我的了解,一般来说,在大学数学系的课程设置中,高等数学至少有两本教材。

首先,我们来看一下大一学期的高等数学教材。

大部分学校使用的是大陆编写的教材,其中最经典和常用的是同济大学出版社的《高等数学》。

这本教材首次出版于1980年,已经成为许多学校的标配教材。

《高等数学》主要包括了高等数学的基本概念、函数与极限、数列与级数等内容。

它的特点是理论严谨,内容详尽,并且配有大量的例题和习题。

学生可以通过大量的练习巩固所学知识,并提高解题能力。

此外,该教材还附带了配套的习题解析和考试大纲,方便学生备考。

随着高等数学课程的深入,大二学期将涉及到更多的内容。

因此,通常需要再选用一本补充教材。

此时,常用的选择是人民教育出版社的《高等数学》和清华大学出版社的《高等数学》。

这两本教材都是相对较新的版本,内容较为先进。

它们涵盖了高等数学更深入的内容,例如多元函数微分学、多重积分等。

这些内容对于专业性强的学生来说尤为重要,能够帮助他们更好地掌握高等数学的核心概念和方法。

除了上述介绍的主要教材外,还有一些其他的教材供学生参考。

例如,上海交通大学出版社的《高等数学》、北京大学出版社的《高等数学》等。

这些教材往往具有专业性和深度,适合对数学有浓厚兴趣的学生阅读。

此外,还有一些外文教材,例如Thomas' Calculus和Stewart Calculus等,这些教材通常更加注重数学的理论和应用,对于有一定数学基础的学生来说是很好的选择。

综上所述,高等数学工本共有若干本教材,学生可以根据自己的实际情况进行选择。

本科高等数学教材推荐书目

本科高等数学教材推荐书目

本科高等数学教材推荐书目随着数学的发展,本科高等数学教材的选择变得越来越重要。

一本好的教材可以帮助学生更好地理解和应用数学知识,提高他们的学习效果。

下面是几本推荐的本科高等数学教材:1.《高等数学》(第七版)- 同济大学数学系作者:郭庆林、钱泳帆出版社:高等教育出版社2.《高等数学》(第六版)- 北京大学数学系作者:李建国、杜应奎出版社:高等教育出版社3.《高等数学》(上、下册)- 李建国版作者:李建国出版社:清华大学出版社4.《数学分析教程》(第二版) - 同济大学数学系作者:赵毅、李涛出版社:高等教育出版社5.《数学分析习题课程辅导》- 黄春来、郑晨编著出版社:高等教育出版社这些教材在本科高等数学教学中都有着很高的声誉和影响力。

它们以其全面、系统和详细的内容介绍、清晰易懂的表达方式以及丰富的例题和习题而闻名。

以下简要介绍每本教材的特点:《高等数学》(第七版)是同济大学数学系推荐使用的教材,由郭庆林教授和钱泳帆教授合著。

它以全面、详尽而又具有一定难度的内容,适合那些希望深入学习高等数学的学生。

《高等数学》(第六版)是北京大学数学系所编写的教材,被广大数学专业及相关专业的学生所使用。

该教材在内容上既保留了高等数学的经典部分,又增加了许多前沿的数学知识。

《高等数学》(上、下册)是李建国教授编写的教材,由清华大学出版社出版。

它以理论与实际相结合的方式,能够帮助学生更好地理解高等数学的概念与方法。

《数学分析教程》是由同济大学数学系赵毅教授和李涛教授合著的教材,该教材系统地介绍了数学分析的基本概念、定理和方法,并包含大量的例题和习题,有助于学生巩固所学知识。

《数学分析习题课程辅导》则侧重于提供一系列与教材对应的习题以供学生练习,由黄春来教授和郑晨编著,适合那些希望加强数学分析习题应用能力的学生。

总之,选择一本适合自己的本科高等数学教材是非常重要的。

这些推荐的教材都具备了全面、详细和易懂的特点,可以帮助学生更好地掌握数学知识,提高学习成效。

大学本科高等数学教材pdf

大学本科高等数学教材pdf

大学本科高等数学教材pdf 高等数学是大学本科数学教育中的一门重要课程,旨在培养学生的数学思维、分析问题和解决问题的能力。

针对大学本科高等数学教学的需求,许多教材被编写出版。

其中,电子书籍成为了广大学生和教师的首选,方便快捷地获取所需的教材资源。

本文将为大家介绍一些常见的高等数学教材PDF资源。

1. 《高等数学(上、下册)》(第七版)张宇主编该教材是近年来备受学生喜爱的一本高等数学教材,由著名数学教育专家张宇主编。

它以通俗易懂的语言阐述了高等数学的基本概念和定理,并提供了大量典型例题来帮助学生理解和掌握知识。

该教材PDF版本可以通过互联网搜索引擎或教育资源网站进行下载。

2. 《高等数学(上、下册)》(第九版)同济大学数学系主编该教材是同济大学数学系编写的一份经典高等数学教材,已经出版多个版本。

它全面系统地介绍了高等数学的各个分支,内容翔实而深入。

教材配有大量图表和习题,方便学生巩固和应用所学知识。

同样地,该教材的PDF版本可以通过网络资源进行获取。

3. 《高等数学教程》(全国高等学校数学系列教材)同济大学数学系主编该教材是一本高校数学系列教材中的重要教材之一。

它在对高等数学基本理论进行讲解的同时,注重培养学生的数学思维和创新能力。

教材的PDF版本可以通过各大教育资源网站进行下载,方便学生自主阅读和学习。

总结:通过搜索引擎或教育资源网站,我们可以方便地获取到大学本科高等数学教材的PDF版本。

这些教材均由数学专家和研究者编写,内容全面系统,深入浅出。

通过自主阅读和学习这些教材,我们可以提高自己的数学素养,巩固和拓展所学知识。

同时,电子版教材的便捷性和可携带性也使得学习更加灵活自由。

因此,我们可以充分利用这些高等数学教材PDF资源,提高自身学习效果。

高等数学本科有几本教材

高等数学本科有几本教材

高等数学本科有几本教材高等数学是大部分理工科本科学生必修的一门学科,因此有很多教材可以供选择。

根据教育部的要求,每个学校可以根据自己的实际情况自主选择教材。

教材的选用应该综合考虑教学目标、教学内容、教学方法和学生的学习需求等因素。

因此,不同学校所使用的高等数学教材也可能会有所不同。

一、主流教材在高等数学本科教材中,有一些是相对主流,被广泛使用的。

比较常见的包括《高等数学》(第一册、第二册、第三册)(郭志坚主编)、《高等数学》(第一册、第二册、第三册)(李乃成许多安主编)、《高等数学》(第一册、第二册、第三册)(黎建宏等人主编)等。

这些教材内容丰富、详实,对高等数学的各个知识点进行了系统的介绍和讲解。

它们通常会从数列、极限、连续、微分、积分等基本概念开始,逐步引出高等数学中的重要理论和方法,如微分学、积分学、级数等。

同时,这些教材还会通过大量的例题和习题,帮助学生巩固和提高解题能力。

二、参考教材除了主流教材外,还有一些教材被用作参考书。

这些教材通常对高等数学的某一方面进行了深入的阐述,或者通过不同的教学方法和角度,对某个问题进行了研究和讨论。

例如,《高等数学参考教程》(陈纪涵主编)、《高等数学参考教程》(罗斯导文等主编)、《高等数学参考教程》(曾维迅主编)等,这些参考教材可以作为辅助教材,供学生在学习高等数学时进行参考和深入学习。

三、自编教材一些学校会根据自身的教学特点和实际需求,自行编写高等数学教材。

这些自编教材可能结合学校的教学大纲和特殊要求,有针对性地进行编写。

自编教材通常会更贴合学生的学习情况和实际应用需求,教学内容也更加贴合学校的教学要求。

因此,对于使用自编教材的学生来说,可能会更容易理解和掌握高等数学的知识和方法。

四、网络教材随着互联网的发展,越来越多的高等数学教材也开始以电子形式在互联网上提供。

这些网络教材可以免费下载或在线浏览,为广大学生提供了方便、快捷的学习资源。

网络教材内容形式多样,有文字、图表、动画等多种形式的呈现方式。

高等数学本科教材

高等数学本科教材

高等数学本科教材高等数学是大学本科阶段必修的一门课程,它是数学学科的延伸与深化,涉及到微积分、线性代数、概率论等多个分支。

高等数学本科教材的编写是为了帮助学生系统学习和掌握高等数学的基本理论和方法,培养学生的数学思维和问题解决能力。

本文将探讨高等数学本科教材的特点和编写原则。

一、高等数学本科教材的特点1.理论与实践相结合:高等数学是一门具有强烈实践性的学科,教材需要紧密结合实际问题,引导学生将数学理论应用于实际生活和工程实践中。

2.系统性与模块化:高等数学涉及到多个分支和概念,教材需要将这些内容划分为不同的模块,系统地进行组织和呈现,使学生能够逐步建立起完整的数学知识框架。

3.抽象与具体相结合:高等数学中的许多概念和方法具有较强的抽象性,教材需要通过具体的例子和图表等形式,将抽象的数学概念变得更加具体和易于理解。

4.理论与方法并重:高等数学不仅要求学生理解数学理论,还要求学生掌握解题方法和技巧。

教材需要注重理论和方法的统一,既要进行深入的理论讲解,又要详细介绍解题过程和方法。

二、高等数学本科教材的编写原则1.整体结构合理:教材编写应根据高等数学的知识体系,将各个模块有机地组织起来,形成一个完整的整体结构。

例如,可以将微积分、线性代数、概率论等内容分别划分为不同的章节,每个章节再划分为小节。

2.层次清晰递进:教材编写应按照从基础到高级的原则,将数学概念和方法按照递进的顺序进行阐述。

每个概念和方法的引入应有明确的前后关系,使学生能够循序渐进地理解和掌握知识。

3.例题与习题并重:教材编写应合理安排例题和习题的数量和难度,通过例题引导学生掌握解题思路,通过习题提高学生的应用能力和问题解决能力。

同时,教材应给予习题详细的解答或提示,以方便学生进行自学和巩固。

4.注重实际应用:教材编写应充分体现数学在实际生活和工程应用中的价值和作用。

可以通过引入一些真实的案例和计算实例,使学生更好地理解和应用所学的数学知识。

高等数学6本教材

高等数学6本教材

高等数学6本教材高等数学是大学本科阶段的一门重要的基础课程,它通过数学的基本概念和方法的学习,培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。

对于每位学生而言,选择适合自己的高等数学教材是非常重要的。

本文将介绍六本知名的高等数学教材,帮助学生更好地选择适合自己的教材。

一、《高等数学(上)》和《高等数学(下)》《高等数学(上)》和《高等数学(下)》是清华大学出版社出版的高等数学教材。

这套教材内容丰富,结构严谨。

作者以清晰明了的语言,深入浅出地解析了高等数学的理论和方法,既包含了基本概念的讲解,又包含了大量的例题和习题,帮助学生巩固所学知识,并提高解题能力。

这套教材通常被许多高校采用,适用于对数学理论有一定了解基础的学生。

二、《高等数学(全英文版)》《高等数学(全英文版)》是由北京大学出版社出版的高等数学教材。

这套教材的特点是全部使用英文进行讲解,适合有良好英语基础的学生,尤其是希望将高等数学与英语能力相结合的学生。

教材内容详实且难度适中,涵盖了微积分、线性代数、常微分方程等多个领域,是培养学生英文数学思维的良好选择。

三、《高等数学(修订版)》《高等数学(修订版)》是人民教育出版社出版的高等数学教材。

该教材对前述版本进行了修订,删除了一些过于繁琐的内容,增添了一些经典例题和应用实例,使得教材更加精简、实用。

教材通过精心编排的章节和习题,帮助学生更好地理解数学概念,并能够灵活应用于实际问题的求解。

四、《高等数学(理工类)》《高等数学(理工类)》是高等教育出版社出版的高等数学教材。

该教材主要面向理工类专业的学生,内容紧密结合实际问题,突出了数学在工程和科学领域的应用。

教材以课时和周数为单位进行组织,便于教师进行教学计划的安排。

此外,教材还融入了一些计算机实践例题,帮助学生将数学与计算机科学相结合。

五、《高等数学(经济类)》《高等数学(经济类)》是高等教育出版社出版的高等数学教材。

与上述《高等数学(理工类)》类似,该教材也紧密结合了经济学领域的实际问题,并通过大量的经济实例进行讲解,增强学生对数学在经济学中的应用理解。

高等数学(本科少学时类型)

高等数学(本科少学时类型)

高等数学(本科少学时类型)第一章 函数与极限第一节 函数○函数基础(高中函数部分相关知识)(★★★) ○邻域(去心邻域)(★) (){},|U a x x a δδ=-<(){},|0U a x x a δδ=<-<第二节 数列的极限○数列极限的证明(★)【题型示例】已知数列{}n x ,证明{}lim n x x a →∞=【证明示例】N -ε语言1.由n x a ε-<化简得()εg n >,∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦2.即对0>∀ε,()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立,∴{}a x n x =∞→lim第三节 函数的极限○0x x →时函数极限的证明(★)【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x x =→0lim【证明示例】δε-语言1.由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<,∴()εδg =2.即对0>∀ε,()εδg =∃,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立,∴()A x f x x =→0lim○∞→x 时函数极限的证明(★)【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞→lim【证明示例】X -ε语言1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>,∴()εg X =2.即对0>∀ε,()εg X =∃,当X x >时,始终有不等式()f x A ε-<成立,∴()A x f x =∞→lim第四节 无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质(★) 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f 函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim○无穷小与无穷大的相关定理与推论(★★)(定理三)假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小,则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦(定理四)在自变量的某个变化过程中,若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之,若()x f 为无穷小,且()0f x ≠,则()x f 1-为无穷大 【题型示例】计算:()()0lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦(或∞→x )1.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U内是有界的; (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界;) 2.()0lim 0=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; (()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小;)3.由定理可知()()0lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦(()()lim 0x f x g x →∞⋅=⎡⎤⎣⎦)第一节 极限运算法则○极限的四则运算法则(★★) (定理一)加减法则 (定理二)乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设:()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--nn n mm m b x b x b x q a x a x a x p 110110 则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0limb a x q x p x m n m n m n >=< ()()()()000lim 00x x f x g x f x g x →⎧⎪⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地,当()()00lim 0x x f x g x →=(不定型)时,通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值,也可以用罗比达法则求解)【题型示例】求值233lim9x x x →--【求解示例】解:因为3→x ,从而可得3≠x ,所以原式()()23333311lim lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()239x f x x -=-的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节):解:()()0233323311lim lim lim 9269x L x x x x x x x '→→→'--===-'- ○连续函数穿越定理(复合函数的极限求解)(★★)(定理五)若函数()x f 是定义域上的连续函数,那么,()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【题型示例】求值:93lim23--→x x x【求解示例】36x →==第一节 极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则(P53)(★★★)第一个重要极限:1sin lim0=→xxx ∵⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ,x x x tan sin <<∴1sin lim0=→x x x 0000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫⎪⎝⎭(特别地,000sin()lim1x x x x x x →-=-)○单调有界收敛准则(P57)(★★★)第二个重要极限:e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim(一般地,()()()()lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,其中()0lim >x f )【题型示例】求值:11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x【求解示例】()()211121212122121122122121lim21221232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦解:()()12lim 1212121212122lim 121x x x x x x x x x eee e+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥+⎣⎦+⎛⎫⎪+⎝⎭====第一节 无穷小量的阶(无穷小的比较) ○等价无穷小(★★) 1.()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U U U U U U U e +-2.U U cos 1~212-(乘除可替,加减不行)【题型示例】求值:()()xx x x x x 31ln 1ln lim 20++++→【求解示例】()()()()()()()3131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim,0,000020=++=+⋅+=++⋅+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解:因为第二节 函数的连续性 ○函数连续的定义(★) ()()()00lim lim x x x x f x f x f x -+→→==○间断点的分类(P67)(★)⎩⎨⎧∞⋯⋯⎩⎨⎧)无穷间断点(极限为第二类间断点可去间断点(相等)跳越间断点(不等)限存在)第一类间断点(左右极(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)【题型示例】设函数()⎩⎨⎧+=x a e x f x 2 ,00≥<x x 应该怎样选择数a ,使得()x f 成为在R上的连续函数?【求解示例】1.∵()()()2010000f e e e f a a f a --⋅++⎧===⎪⎪=+=⎨⎪=⎪⎩2.由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0∴e a =第五节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理(★)【题型示例】证明:方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】 1.(建立辅助函数)函数()()()x f x g x C ϕ=--在闭区间[],a b 上连续; 2.∵()()0a b ϕϕ⋅<(端点异号)3.∴由零点定理,在开区间()b a ,内至少有一点ξ,使得()0=ξϕ,即()()0f g C ξξ--=(10<<ξ)4.这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分 第一节 导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义(P83)(★★)【题型示例】已知函数()⎩⎨⎧++=b ax e x f x 1 ,00>≤x x 在0=x 处可导,求a ,b【求解示例】1.∵()()0010f e f a -+'⎧==⎪⎨'=⎪⎩,()()()00001120012f e e f b f e --+⎧=+=+=⎪⎪=⎨⎪=+=⎪⎩2.由函数可导定义()()()()()0010002f f a f f f b -+-+''===⎧⎪⎨====⎪⎩∴1,2a b ==【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 (或:过()x f y =图像上点(),a f a ⎡⎤⎣⎦处的切线与法线方程) 【求解示例】1.()x f y '=',()a f y a x '='=| 2.切线方程:()()()y f a f a x a '-=- 法线方程:()()()1y f a x a f a -=--'第二节 函数的和(差)、积与商的求导法则 ○函数和(差)、积与商的求导法则(★★★) 1.线性组合(定理一):()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地,当1==βα时,有()u v u v '''±=± 2.函数积的求导法则(定理二):()uv u v uv '''=+3.函数商的求导法则(定理三):2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭第三节 反函数和复合函数的求导法则 ○反函数的求导法则(★) 【题型示例】求函数()x f 1-的导数【求解示例】由题可得()x f 为直接函数,其在定于域D 上单调、可导,且()0≠'x f ;∴()()11f x f x -'⎡⎤=⎣⎦' ○复合函数的求导法则(★★★)【题型示例】设(ln y e =,求y '【求解示例】(22arcsi y ex a e e e ''='⎛⎫' ⎪+ ⎝⎛⎫⎪ ⎝⎭解:⎛ ⎝第四节 高阶导数 ○()()()()1n n fx fx -'⎡⎤=⎣⎦(或()()11n n n n d y d y dx dx--'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦)(★) 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数【求解示例】()1111y x x -'==++, ()()()12111y x x --'⎡⎤''=+=-⋅+⎣⎦, ()()()()()2311121y x x --'⎡⎤'''=-⋅+=-⋅-⋅+⎣⎦ ……()1(1)(1)(1)n n n y n x --=-⋅-⋅+!第一节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导(等式两边对x 求导)(★★★)【题型示例】试求:方程y e x y +=所给定的曲线C :()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+⋅ ∴ee y -=-='11111∴切线方程:()e x ey +--=-1111 法线方程:()()e x e y +---=-111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x γϕ,求22dx yd【求解示例】1.()()t t dx dy ϕγ''=2.()22dy d y dx dxt ϕ'⎛⎫⎪⎝⎭=' 第二节 变化率问题举例及相关变化率(不作要求)第三节 函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则(★★★) ()dx x f dy ⋅'=第三章 中值定理与导数的应用第一节 中值定理 ○引理(费马引理)(★) ○罗尔定理(★★★)【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续,在()0,π 上可导,试证明:()0,ξπ∃∈,使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立 【证明示例】 1.(建立辅助函数)令()()sin x f x x ϕ=显然函数()x ϕ在闭区间[]0,π上连续,在开区间()0,π上可导; 2.又∵()()00sin00f ϕ==()()sin 0f ϕπππ==即()()00ϕϕπ==3.∴由罗尔定理知()0,ξπ∃∈,使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立○拉格朗日中值定理(★)【题型示例】证明不等式:当1x >时,x e e x >⋅ 【证明示例】 1.(建立辅助函数)令函数()x f x e =,则对1x ∀>,显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续,在开区间()1,x 上可导,并且()x f x e '=;2.由拉格朗日中值定理可得,[]1,x ξ∃∈使得等式()11x e e x e ξ-=-成立, 又∵1e e ξ>,∴()111x e e x e e x e ->-=⋅-, 化简得x e e x >⋅,即证得:当1x >时,x e e x >⋅ 【题型示例】证明不等式:当0x >时,()ln 1x x +<【证明示例】 1.(建立辅助函数)令函数()()ln 1f x x =+,则对0x ∀>,函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续,在开区间()0,π上可导,并且()11f x x '=+;2.由拉格朗日中值定理可得,[]0,x ξ∃∈使得等式()()()1ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立, 化简得()1ln 11x x ξ+=+,又∵[]0,x ξ∈,∴()111f ξξ'=<+,∴()ln 11x x x +<⋅=,即证得:当1x >时,x e e x >⋅ 第二节 罗比达法则○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤(★★) 1.☆等价无穷小的替换(以简化运算)2.判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A .属于两大基本不定型(0,0∞∞)且满足条件, 则进行运算:()()()()lim limx a x a f x f x g x g x →→'=' (再进行1、2步骤,反复直到结果得出)B .☆不属于两大基本不定型(转化为基本不定型) ⑴0⋅∞型(转乘为除,构造分式) 【题型示例】求值:0lim ln x x x α→⋅【求解示例】()10000201ln ln lim ln limlimlim111lim 0x x L x x x x xx x x x x xxx a ααααααα∞∞-'→→→→→'⋅===⋅'⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=解: (一般地,()0lim ln 0x x x βα→⋅=,其中,R αβ∈)⑵∞-∞型(通分构造分式,观察分母)【题型示例】求值:011lim sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭【求解示例】200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭解: ()()()()00002sin 1cos 1cos sin limlim lim lim 0222L x x L x x x x x x xx x x ''→→→→''---====='' ⑶00型(对数求极限法) 【题型示例】求值:0lim x x x →【求解示例】()()0000lim ln ln 000002ln ,ln ln ln ln ln 0lim ln lim lim111lim lim 0lim lim 11x x x x x L x yy x x x x x y x y x x x xx xx y xx x x y e e e x→∞∞'→→→→→→→===='→=='⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=====-解:设两边取对数得:对对数取时的极限:,从而有 ⑷1∞型(对数求极限法)【题型示例】求值:()10lim cos sin xx x x →+【求解示例】()()()()()1000000lim ln ln 10ln cos sin cos sin ,ln ,ln cos sin ln 0lim ln lim ln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x x x x L x x yy x x x x y x x y xx x y x y x x x x x x x x y e e e e→→→'→→→→+=+=+→='+⎡⎤--⎣⎦====++'===解:令两边取对数得对求时的极限,从而可得⑸0∞型(对数求极限法)【题型示例】求值:tan 01lim xx x →⎛⎫ ⎪⎝⎭【求解示例】()()tan 0020002220011,ln tan ln ,1ln 0lim ln lim tan ln 1ln ln lim lim lim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li xx x x L x x x L x y y x x x y x y x x x x x x x x x x x x x →→∞∞'→→→'→→⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫→=⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=-=-=-⎛⎫'⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'==='解:令两边取对数得对求时的极限,00lim ln ln 002sin cos m 0,1lim =lim 1x x yy x x x xy e e e →→→→⋅====从而可得 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路(★★)00001∞⎧⎪∞-∞−−→←−−⋅∞←−−⎨∞⎪∞⎩∞(1)(2)(3)⑴通分获得分式(通常伴有等价无穷小的替换)⑵取倒数获得分式(将乘积形式转化为分式形式)⑶取对数获得乘积式(通过对数运算将指数提前)第一节 泰勒中值定理(不作要求) 第二节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性(单调区间)(★★★)【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】1.∵函数()f x 在其定义域R 上连续,且可导∴()261812f x x x '=-+2.令()()()6120f x x x '=--=,解得:121,2x x ==4.∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞;单调递减区间为()1,2【题型示例】证明:当0x >时,1x e x >+ 【证明示例】 1.(构建辅助函数)设()1x x e x ϕ=--,(0x >) 2.()10x x e ϕ'=->,(0x >) ∴()()00x ϕϕ>=3.既证:当0x >时,1x e x >+【题型示例】证明:当0x >时,()ln 1x x +<【证明示例】 1.(构建辅助函数)设()()ln 1x x x ϕ=+-,(0x >)2.()1101x xϕ'=-<+,(0x >) ∴()()00x ϕϕ<=3.既证:当0x >时,()ln 1x x +<○连续函数凹凸性(★★★)【题型示例】试讨论函数2313y x x =+-的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】1.()()236326661y x x x x y x x '⎧=-+=--⎪⎨''=-+=--⎪⎩ 2.令()()320610y x x y x '=--=⎧⎪⎨''=--=⎪⎩解得:120,21x x x ==⎧⎨=⎩-(1,3) 5 4.⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞;⑵函数2313y x x =+-的极小值在0x =时取到,为()01f =,极大值在2x =时取到,为()25f =;⑶函数2313y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹,在区间(1,2),(2,)+∞上凸; ⑷函数2313y x x =+-的拐点坐标为()1,3第一节 函数的极值和最大、最小值○函数的极值与最值的关系(★★★)⑴设函数()f x 的定义域为D ,如果M x ∃的某个邻域()M U x D ⊂,使得对()M x U x ∀∈,都适合不等式()()M f x f x <,我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ⎡⎤⎣⎦处有极大值()M f x ;令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足:()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =;⑵设函数()f x 的定义域为D ,如果m x ∃的某个邻域()m U x D ⊂,使得对()m x U x ∀∈,都适合不等式()()m f x f x >,我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ⎡⎤⎣⎦处有极小值()m f x ;令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足:()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =; 【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值 【求解示例】1.∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续,且可导∴()233f x x '=-+2.令()()()3110f x x x '=--+=, 解得:121,1x x =-= 3.(三行表)4.又∵()()()12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====-第一节 函数图形的描绘(不作要求) 第二节 曲率(不作要求)第三节 方程的近似解(不作要求) 第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质○原函数与不定积分的概念(★★) ⑴原函数的概念:假设在定义区间I 上,可导函数()F x 的导函数为()F x ',即当自变量x I ∈时,有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =⋅成立,则称()F x 为()f x 的一个原函数⑵原函数存在定理:(★★)如果函数()f x 在定义区间I 上连续,则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=,也就是说:连续函数一定存在原函数(可导必连续) ⑶不定积分的概念(★★)在定义区间I 上,函数()f x 的带有任意常数项C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分,即表示为:()()f x dx F x C =+⎰(⎰称为积分号,()f x 称为被积函数,()f x dx 称为积分表达式,x 则称为积分变量)○基本积分表(★★★)○不定积分的线性性质(分项积分公式)(★★★) ()()()()1212k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 第二节 换元积分法○第一类换元法(凑微分)(★★★) (()dx x f dy ⋅'=的逆向应用)()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求221dx a x +⎰ 【求解示例】222211111arctan 11x x dx dx d C a x a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰解:【题型示例】求 【求解示例】()()121212x x C=+=+= ○第二类换元法(去根式)(★★) (()dx x f dy ⋅'=的正向应用) ⑴对于一次根式(0,a b R ≠∈):t =,于是2t bx a-=, 则原式可化为t⑵对于根号下平方和的形式(0a >):tan x a t =(22t ππ-<<), 于是arctan xt a=,则原式可化为sec a t ;⑶对于根号下平方差的形式(0a >):asin x a t =(22t ππ-<<),于是arcsin xt a=,则原式可化为cos a t ;bsec x a t =(02t π<<),于是arccos at x =,则原式可化为tan a t ;【题型示例】求(一次根式)【求解示例】2221t x t dx tdttdt dt t C C t =-=⋅==+=⎰⎰【题型示例】求(三角换元)【求解示例】()()2sin ()2222arcsincos 22cos 1cos 221sin 2sin cos 222x a t t xt adx a ta a tdt t dta a t t C t t t C ππ=-<<==−−−−−−→=+⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰第一节 分部积分法 ○分部积分法(★★)⑴设函数()u f x =,()v g x =具有连续导数,则其分部积分公式可表示为:udv uv vdu =-⎰⎰⑵分部积分法函数排序次序:“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤: ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序; ⑵就近凑微分:(v dx dv '⋅=)⑶使用分部积分公式:udv uv vdu =-⎰⎰ ⑷展开尾项vdu v u dx '=⋅⎰⎰,判断a .若v u dx '⋅⎰是容易求解的不定积分,则直接计算出答案(容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果);b .若v u dx '⋅⎰依旧是相当复杂,无法通过a 中方法求解的不定积分,则重复⑵、⑶,直至出现容易求解的不定积分;若重复过程中出现循环,则联立方程求解,但是最后要注意添上常数C【题型示例】求2x e x dx ⋅⎰ 【求解示例】()()222222222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C⋅===-=-⋅=-⋅=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:【题型示例】求sin x e xdx ⋅⎰ 【求解示例】()()()()sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x x x x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx⋅=-=-+=-+=-+=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ⋅=-+-⎰⎰即:∴()1sin sin cos 2x x e xdx e x x C ⋅=-+⎰第一节 有理函数的不定积分 ○有理函数(★)设:()()()()101101m m mn n nP x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++⋯+==++⋯+ 对于有理函数()()P x Q x ,当()P x 的次数小于()Q x 的次数时,有理函数()()P x Q x 是真分式;当()P x 的次数大于()Q x 的次数时,有理函数()()P x Q x 是假分式○有理函数(真分式)不定积分的求解思路(★)⑴将有理函数()()P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有公因式的多项式的乘积:其中一个多项式可以表示为一次因式()kx a -;而另一个多项式可以表示为二次质因式()2lx px q ++,(240p q -<);即:()()()12Q x Q x Q x =⋅一般地:n mx n m x m ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,则参数n a m =-22b c ax bx c a x x a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭则参数,b cp q a a==⑵则设有理函数()()P x Q x 的分拆和式为: ()()()()()()122k l P x P x P x Q x x a x px q =+-++ 其中()()()()1122...k k k P x A A A x a x a x a x a =+++----()()()()2112222222...ll llP x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=++++++++++++参数121212,,...,,,,...,l k lM M M A A A N N N ⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎩⎩⎩由待定系数法(比较法)求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解【题型示例】求21x dx x +⎰(构造法) 【求解示例】()()()221111111111ln 112x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x Cx +-++⎛⎫==-+ ⎪+++⎝⎭=-+=-++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一节 积分表的使用(不作要求) 第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义(★)()()01lim nbiiai f x dx f x I λξ→==∆=∑⎰(()f x 称为被积函数,()f x dx 称为被积表达式,x 则称为积分变量,a 称为积分下限,b 称为积分上限,[],a b 称为积分区间) ○定积分的性质(★★★) ⑴()()bba af x dx f u du =⎰⎰ ⑵()0aa f x dx =⎰⑶()()bba a kf x dx k f x dx =⎡⎤⎣⎦⎰⎰ ⑷(线性性质)()()()()1212b b baa a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⑸(积分区间的可加性)()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >,则()0b af x dx >⎰; (推论一)若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤,则()()b baa f x dx g x dx ≤⎰⎰;(推论二)()()bbaaf x dx f x dx ≤⎰⎰○积分中值定理(不作要求) 第二节 微积分基本公式○牛顿-莱布尼兹公式(★★★) (定理三)若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间[],a b 上的一个原函数,则()()()baf x dx F b F a =-⎰○变限积分的导数公式(★★★)(上上导―下下导)()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dx ϕψϕϕψψ''=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰ 【题型示例】求21cos 2limt xx e dt x -→⎰【求解示例】()2211cos cos 2002lim lim 解:t t x xx L x d e dt e dt dx x x--'→→='⎰⎰ ()()()()2222221cos cos000cos 0cos cos 0cos 010sin sin lim lim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim21lim sin cos 2sin cos 21122x xx x xL x x x x x x e e x x e x xd xe dx x x e x e x xe x x x x e e---→→-'→--→-→-⋅-⋅-⋅==⋅='⋅+⋅⋅=⎡⎤=+⋅⎣⎦=⋅= 第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法(★★★) ⑴(第一换元法)()()()()b ba a f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'⋅=⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【题型示例】求20121dx x +⎰【求解示例】()[]222000111121ln 212122121ln 5ln 5ln122解:dx d x x x x =+=⎡+⎤⎣⎦++=-=⎰⎰ ⑵(第二换元法)设函数()[],f x C a b ∈,函数()x t ϕ=满足:a .,αβ∃,使得()(),ab ϕαϕβ==;b .在区间[],αβ或[],βα上,()(),f t t ϕϕ'⎡⎤⎣⎦连续 则:()()()ba f x dx f t t dt βαϕϕ'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰【题型示例】求40⎰【求解示例】()2210,43220,1014,332332311132213111332223522933解:t t x x t x t t dx tt t dt t dt t x t =-====+→+⎛⎫=⋅⋅=+=+ ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰ ⑶(分部积分法)()()()()()()()()()()()()bba ab bb aaau x v x dx u x v x v x u x dxu x dv x u x v x v x du x ''=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰○偶倍奇零(★★)设()[],f x C a a ∈-,则有以下结论成立: ⑴若()()f x f x -=,则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰⑵若()()f x f x -=-,则()0aaf x dx -=⎰第四节 定积分在几何上的应用(暂时不作要求) 第五节 定积分在物理上的应用(暂时不作要求) 第六节 反常积分(不作要求)第六章 如:不定积分公式21arctan 1dx x C x =++⎰的证明。

高等数学有几张教材书啊

高等数学有几张教材书啊

高等数学有几张教材书啊高等数学是大学本科数学教育的一门基础课程,涵盖了微积分、线性代数、概率论等内容。

针对高等数学的教育教材也非常丰富,下面将介绍一些常见的高等数学教材。

1. 《高等数学(上、下册)》这是由同济大学数学系编写的一套教材。

分为上、下两册,详细讲解了微积分的概念、定理和应用等内容。

它以清晰简明的文字和丰富的例题,深受广大学生喜爱。

2. 《高等数学(全套共四册)》这套教材是由清华大学数学系编写的,分为上、下两册(上册是《数学分析》,下册是《线性代数与解析几何》),涵盖了高等数学的各个分支。

它以严谨的数学推导和深入的理论知识,适合对数学有较高要求的学生。

3. 《高等数学教程》这本教材是由北京大学数学系编写的一本综合教材,涵盖了微积分、线性代数、概率论等内容。

它突出了数学的应用意义,并融入了一些实际问题的求解方法,有助于学生将数学知识应用到实际生活中。

4. 《高等数学导学与习题解析》这本教材是为高等数学学习者准备的导学辅助材料,由上海交通大学数学系编写。

它在讲解高等数学的基础概念和定理的同时,提供了大量的习题和解析,有助于学生巩固所学内容和培养解题能力。

5. 《高等数学应用题解析》这本教材侧重于高等数学知识的应用,包含了大量实际问题的解析和求解方法。

它由多位数学专家合著,对于希望将高等数学应用到实际领域的学生具有很高的参考价值。

除了上述教材,还有很多其他的高等数学教材可供选择,如《高等数学习题指导与解答》、《高等数学理论与实践》等。

学生可以根据自身的学习风格和课程要求选择适合自己的教材。

需要注意的是,教材的选择应结合实际情况,同时参考教师的建议,因为不同学校、不同课程可能会有不同的教材要求。

同时,高等数学的学习不应仅仅依赖于教材,还需要有针对性的练习和理解,以加深对数学知识的理解和应用。

总之,高等数学教材众多,学生可以根据自己的需求和兴趣进行选择。

通过合适的教材,辅以适当的练习和理解,相信学生一定能够掌握高等数学的知识和方法,取得好的学习成绩。

高等数学的本科教材

高等数学的本科教材

高等数学的本科教材高等数学作为大学本科阶段的一门重要课程,其本科教材是学生学习和理解高等数学知识的主要依据。

本文将从教材内容、教材编排和教材特点三个方面进行探讨,旨在分析高等数学本科教材的重要性和有效性。

一、教材内容高等数学本科教材的内容应涵盖基本的数学理论和方法,包括微积分、线性代数、概率统计等等。

首先,微积分是高等数学的重要组成部分,其内容包括极限与连续、导数与微分、不定积分与定积分等。

通过学习微积分,学生能够掌握数学分析的基本思想和方法,提高问题分析和解决的能力。

其次,线性代数则是高等数学中的另一重要内容,包括向量空间、矩阵与行列式、线性方程组等。

线性代数的学习有助于学生理解向量和矩阵的基本性质,并运用于实际问题的解决。

再次,概率统计是高等数学的实际应用领域,包括概率基础、随机变量及其分布、统计推断等。

学习概率统计有助于学生掌握概率和统计的常用方法,从而在实际问题中进行数据分析和统计推断。

二、教材编排高等数学的本科教材应该具有良好的编排结构,以便学生系统地学习和掌握相关知识。

首先,教材应按照课程进度进行编排,使学生能够按部就班地学习。

其次,每一章节的内容应有明确的层次结构,包括概念的引入、定理的证明和例题的讲解。

这样有助于学生理清知识脉络,加深理解和记忆。

再次,教材中应有合适的习题和解析,供学生进行练习和自我评估。

通过练习,学生能够巩固所学知识、提高问题解决能力和思维能力。

三、教材特点高等数学的本科教材应具备一定的特点,以满足学生的学习需求。

首先,教材应内容准确、简明易懂。

作为学生学习的重要参考资料,教材应该准确地传递数学理论和方法,同时使用简洁明了的语言表达,使学生易于理解和消化。

其次,教材应具备应用性和实用性。

数学理论的学习离不开实际应用,教材中应该有一定数量和难度的应用题,使学生能够将所学知识应用到实际问题中,提高解决实际问题的能力。

再次,教材应与其他学科相结合。

高等数学作为一门交叉学科,应与其他学科相互融合,教材中的案例和习题可以与工程、物理、经济等领域相结合,增加学习的趣味性和实用性。

高等数学有什么版本教材

高等数学有什么版本教材

高等数学有什么版本教材高等数学是大学本科阶段重要的数学课程之一,它为培养学生的数学基本素养、提高学生的问题解决能力和逻辑思维能力起着至关重要的作用。

为了满足不同学生的需求,市场上存在多个版本的高等数学教材。

下面将介绍几种常见的高等数学教材版本。

1.《高等数学》《高等数学》教材是目前最常见的高等数学教材之一,由复旦大学出版社出版。

该教材系统全面地介绍了高等数学的各个分支,例如极限与连续、微分学、积分学、级数等。

这套教材内容丰富,讲解详细,适合初学者使用。

同时,教材还附带有大量的练习题和例题,供学生巩固和拓展知识。

2.《高等数学分析教程》《高等数学分析教程》是由北京大学出版社出版的高等数学教材,是一套高等数学的经典教材之一。

该教材对高等数学的各个分支进行了深入的分析和探讨,涉及了数学分析的基本概念、理论和方法。

与《高等数学》相比,该教材更加注重理论基础和证明方法的训练,适合有一定数学基础的学生使用。

3.《高等数学教程》《高等数学教程》是由人民教育出版社出版的高等数学教材,也是一套优秀的教材之一。

该教材内容全面,结构严谨,例题和习题设计细致周到,有助于学生理解和掌握数学知识。

此外,教材还提供了一些数学工具的使用技巧和数学应用的实例,帮助学生将数学知识与实际问题相结合。

4.《高等数学导论》《高等数学导论》是由高等教育出版社出版的高等数学教材,适用于理工科类学生。

该教材重点介绍了高等数学的基本概念和基本思想,帮助学生建立数学思维的基础。

教材内容简明扼要,注重培养学生的逻辑思考和问题解决能力。

此外,教材还提供了一些实际问题的数学模型和求解方法,培养学生的数学建模能力。

除了上述介绍的教材,还有一些地方性教材和名师编写的教材,适用于不同地区、不同院校的教学需求。

学生可以根据自己的实际情况和学习需求选择适合自己的教材版本。

此外,高等数学教材的辅导书籍也是学生学习的重要辅助工具,可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。

高等数学各教材

高等数学各教材

高等数学各教材在高等数学教学中,选择合适的教材对于学生的学习成果起到至关重要的作用。

不同的教材都有其独特的特点和教学方式,本文将对几种常见的高等数学教材进行介绍和评述。

一、《高等数学(上、下册)》《高等数学(上、下册)》是一套经典的高等数学教材,适用于大学本科高等数学课程。

该教材内容全面,涵盖了高等数学的基本理论和方法,从微积分到微分方程都有详细的讲解。

该教材注重理论推导和实际应用的结合,每个章节都配有大量的例题和习题,以帮助学生更好地理解和掌握知识。

二、《数学分析》《数学分析》是一本高等数学教材中的经典之作。

该教材具有严谨的数学推导和丰富的例题,深入浅出地讲解了高等数学的各个分支,如极限、连续、微分和积分等。

该教材适合对数学有浓厚兴趣和较强数学基础的学生,通过对抽象和形式化的分析,使学生对数学的思维和逻辑能力有较大提高。

三、《高等数学引论》《高等数学引论》是一本注重启发性教学的教材,强调数学思维和解决问题的能力培养。

该教材以问题为导向,通过引入数学的基本概念和方法,启发学生的思考和探索,使学生能够主动探索和解决实际问题。

该教材内容生动有趣,引人入胜,帮助学生建立起对高等数学的兴趣和信心。

四、《高等数学推导与实例》《高等数学推导与实例》是一本更加注重实践应用的教材。

该教材通过丰富的实例和案例,将高等数学的理论与实际问题相结合,使学生能够更好地理解和应用数学知识。

该教材还提供了大量的推导过程和详细解题方法,帮助学生提高解题的能力和技巧。

总的来说,选择适合自己的高等数学教材对于学生的学习非常重要。

无论是经典的《高等数学(上、下册)》,还是注重启发性教学的《高等数学引论》,或者是更加实践应用的《高等数学推导与实例》,每本教材都有不同的亮点和特点。

学生可以根据自己的学习目标、数学基础和兴趣选择合适的教材,从而更好地掌握高等数学知识,提高数学的思维能力和解决问题的能力。

高等数学是本科教材吗

高等数学是本科教材吗

高等数学是本科教材吗高等数学,作为一门数学学科,被广泛应用于工科、理科、医学等领域,它的学习内容深入抽象,理论性较强。

那么,高等数学究竟是本科教材还是其他类型的教材?本文将详细探讨这个问题。

首先,我们需要明确高等数学的定义和范围。

高等数学是一门研究数学基本概念、基本理论及其在科学技术中的应用的学科,它主要包括微积分、数学分析、线性代数等内容。

在学术界,高等数学通常被定义为大学本科数学课程的一部分。

从课程设置的角度来看,大部分本科专业都设有高等数学作为必修课程。

无论是工科、理科还是经济管理类专业,都会涵盖高等数学的学习内容。

这是因为高等数学是培养学生逻辑思维、抽象建模和解决实际问题的关键学科之一。

在本科阶段,通过学习高等数学,学生可以掌握基本的数学分析方法,为进一步学习专业课程打下扎实的基础。

此外,高等数学作为本科教材,具有教育的普适性和独立性。

它不仅在理论上具有广泛的适用性,还可以在实际应用中发挥重要的作用。

高等数学的学习可以培养学生的抽象思维和解决问题的能力,这对于他们未来的科研、工程设计以及创新能力的提升都具有积极的影响。

但是,需要注意的是,高等数学也不仅仅局限于本科阶段的教学。

在国内,研究生的课程设置中也包含了高等数学的内容,用以进一步深化学生对数学的理解和应用能力的培养。

此外,在世界范围内,高等数学作为一门基础学科也在研究生及以上的学术研究中得到了广泛的应用。

总的来说,高等数学作为一门本科数学课程,在大部分本科专业中都是必修课程。

它的学习内容广泛应用于各个领域,对学生的思维培养和应用能力提升具有重要作用。

同时,在研究生阶段以及学术研究中,高等数学依然扮演着重要的角色。

因此,可以说高等数学是本科教材之一,但不仅仅被局限于本科阶段的教学。

综上所述,高等数学作为一门数学学科,具有本科教材的属性。

它在本科阶段的课程设置中起到了培养学生数学思维和解决问题能力的重要作用。

然而,高等数学并不仅仅局限于本科教育,也在研究生教育和学术研究中发挥着重要作用。

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(7)掌握幂级数的收敛半径,收敛区间的求法(端点不作要求)。
(8)了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质。
(9)了解泰勒级数,会用 、 、 、 、 的麦克劳林展开式及幂级数的基本性质,将一些简单函数展开幂级数。
(10)了解傅里叶级数的概念及函数展开成傅里叶级数的狄利克莱定理。
(11)会将定义在[ , ]上函数展开为傅里叶级数、会将定义在[0, ]上函数展开为正弦级数与余弦级数。
4应用方面:掌握用元素法和常微分方程的方法解决一些简单的几何、经济问题,会解最大值最小值的应用问题。
教学
内容

学时
分配
(注5)
(一)函数、极限、连续(12学时)
(1)理解函数的慨念,掌握函数的表示方法。
(2)了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
(3)理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念,会建立简单函数关系式。
(4)掌握求隐函数的一阶、二阶导数。
(5)了解微分的概念和四则运算。
(三)不定积分(12学时)
(1)理解原函数概念,理解不定积分的概念及性质。
(2)掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分法(对有理函数的待定系数法分解,不作过高要求。)
(四)定积分及其应用(12学时)
(1)理解定积分的基本概念、定积分中值定理。
二选教材:同济大学高等数学教研室编《高等数学》第五版
`参考书目:
6.考核形式:(注3)闭卷笔试、半开卷笔试、开卷笔试
教学目的及
教学
要求(注4)
目的:
高等数学是成人高等教育工科重要的基础理论课之一。通过本课程的学习,使学生系统地获得微积分、空间解析几何、级数及常微分方程的基础理论知识和常用的运算方法。通过各教学环节逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。为学习后继课程及今后的专业工作奠定必要的数学基础。
要求:
1要正确了解和理解以下概念:函数、极限、连续性、导数、微分、偏导数、全微分、函数的极值。不定积分、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数的敛散性、无穷级数的和、有关空间解析几何及常微分方程的基本概念。
2要了解和掌握下列基本理论、基本定理和公式:基本初等函数的性质及图形,基本初等函数的导数公式,微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理),不定积分基本公式,变上限积分及其求导定理、牛顿-莱伯尼兹公式,偏导数的几何意义,极值存在的必要条件,格林公式,几何级数和P级数的收敛性,级数敛散性的判定条件,直线与平面的方程,典型的二次曲面、二阶线性常微分方程解的结构。
(10)了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质,并会应用这些性质。
(二)导数与微分(12学时)
(1)理解导数的概念(包括左、右导数)导数的几何意义和物理意义,函数的可导性与连续性之间关系。
(2)掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握初等函数的一阶、二阶导数公式。
(3)了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数。
(4)会用降阶法解下列方程: 。
(5)了解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
(6)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
(7)会求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解(自由项由多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和、积构成)。
(8)会用微分方程解一些简单的应用问题。
学时
分配
教学
形式
配套
实践
环节
(2)理解变限函数及其求导定理,掌握牛顿---莱布尼兹公式。
(3)了解定积分的性质,掌握换元积分法和分部积分法。
(4)会用定积分计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积),会用定积分求解一些简单的经济应用题。
(5)了解广义积分的概念。会计算简单的广义积分。
(五)中值定理及导数的应用(12学时)
《高等数学》(本科)
教学大纲
上海大学夜大学课程教学大纲
学院:
课程
编号
课程名称
高等数学A(一~三)
课程基本情况
1.学分:15学时:150(课内学时专业:工类各专业
适用对象:(注2)本科生
4.先修课程:中学初等数学
5.首选教材:李心灿主编《高等数学》(本科使用)高等教育出版社
说明
(注6)
大纲
编写
责任

高等数学(教研组)陈基明、唐一鸣、俞国胜(签名)
2001年4月30日

审核
意见
数学(系)唐一鸣(签名)
2001年4月30日
学院
审核
意见
(签名)(公章)
年月日
上海大学夜大学课程教学大纲
学院:
课程
编号
课程名称
高等数学B(一~二)
课程基本情况
1.学分:12学时:120(课内学时:120实验学时:)
3掌握下列运算法则和方法:求函数和数列极限的方法与运算法则,导数和微分的运算法则,复合函数求导法,初等函数一阶、二阶导数的求法,用导数判断函数的单调性及求极值方法,多元函数复合函数的偏导数求法,不定积分、定积分的换元与分部积分法,正项级数的比值审敛法,求幂级数的收敛半径和收敛区间,函数展开成幂级数的间接展开法,函数展开为傅里叶级数,一阶变量可分离变量微分方程的求解,二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
(4)会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。
(5)了解微分的概念和四则运算。
(6)会用导数描述一些简单的物理量。
(三)中值定理与导数的应用(12学时)
(1)理解并会应用罗尔定理、拉格朗日定理,会用定理证明不等式及函数单调性。
(2)理解函数的极值概念,掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。
(1)理解罗尔定理、拉格朗日定理,会用单调性证明不等式。
(2)理解函数的极值概念,掌握用导数判别函数的单调性和求函数极值的方法。
(3)会用导数描绘图形(包括水平、垂直渐近线)。
(4)会求最大值、最小值问题,会解决经济上的简单应用问题。
(5)会用洛必达法则求不定式极限的方法。
(六)微分方程(16学时)
(六)级数(18学时)
(1)理解常数项级数收敛与发散的概念、收敛级数和的概念,了解级数的基本性质及收敛的必要条件。
(2)了解几何级数、P-级数的敛散性。
(3)会用正项级数的判别法(比较法、比值法)。
(4)掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
(5)了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的慨念,及二者之间的关系。
(6)了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
2.课程性质:(注1)公共基础课
3.适用专业:经济管理专业
适用对象:(注2)本科生
4.先修课程:中学初等数学
5.首选教材:李心灿编《高等数学》(本科使用)高教出版社
二选教材:中国人民大学赵树嫄编《微积分》
参考书目:
6.考核形式:(注3)闭卷笔试、半开卷笔试、开卷笔试
教学目的及
教学
要求(注4)
目的:
高等数学是成人高等教育经管类重要的基础理论课之一。通过本课程的学习,使学生系统地获得微积分、级数及常微分方程的基础理论知识和常用的运算方法。通过各教学环节逐渐培养学生的分析问题和解决问题的能力。为学习后继课程奠定必要的教学基础。
(七)向量代数和空间解析几何(14学时)
(1)理解向量的概念及其表示。
(2)掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积),了解两向量垂直、平行的条件。
(3)掌握单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。
(4)掌握平面方程(点法式、截距式、一般式方程)、直线方程(参数式方程、对称式方程、一般式方程)、会根据所给的条件求平面、直线方程。
(1)理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质。
(2)掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法,会计算三重积分(直角坐标、极坐标、球面坐标)。
(3)会用重积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、立体的体积、质量、重心)。
(十)曲线积分与曲面积分(14学时)
(1)了解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质。
(4)了解极限的概念(对给出 ,求 或 不作要求),了解左、右极限的概念。
(5)了解极限四则运算法则。会用两个重要极限求极限。
(6)了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念,会用等价无穷小求极限。
(7)理解函数连续性的概念,会判别函数间断点的类型。
(8)了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质,并会应用这些性质。
(4)掌握基本初等函数的性质和图形。
(5)了解极限的概念(对给出 ,求 或 不作要求),了解左右极限的概念。
(6)掌握极限四则运算法则,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
(7)了解极限存在的二个准则。
(8)了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念,会用等价无穷小求极限。
(9)理解函数连续性的概念,会判别函数间断点的类型。
(4)掌握复合函数的求导法则,会求复合函数的一阶、二阶偏导数。
(5)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求它们的方程。
(6)理解多元函数极值的概念,会求二元函数的极值,了解条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。
(九)重积分(14学时)
要求:
1要正确了解和理解以下概念:函数、极限、连续性、无穷小(大)、导数、微分、偏导数、全微分、极值、不定积分、定积分、重积分、级数的敛散性、常微分方程和差分方程的基本概念。
2要了解和掌握下列基本理论、基本定理和公式:函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、极限的定理、闭区间上连续函数的性质、微分中值定理、Taylor公式、变限积分及其导数、Newton-Leibniz公式、偏导数的几何意义、全微分存在的必要条件和充分条件、极值存在的必要条件、级数敛散性的判定条件、二阶线性常微分方程解的结构。
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