同济大学_运筹学_第三章

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运筹学PPT——第三章

第三章整数规划Integer Programming§1问题的提出[eg.1]用集装箱托运货物问：甲乙货物托运多少箱，使总利润最大？货物m3/箱百斤/箱百元/箱甲5220乙4510限制2413分析：设x1为甲货物托运箱数，x2为乙货物托运箱数。

则max z= 20x1+10x25x1+4x2≤242x1+5x2≤13x 1,x2≥0x 1,x2取整数图解法：x 1x 24321012 4.8①2.6②(4,1)∴x 1*= 4 x 2*= 1 z I *= 90一般，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最优解。

对于max 问题，z I * ≤z l *对于min 问题，z I *≥ z l *数学模型：取整数j j nj iijij nj jj x nj x m i b xa x c z ,,10,,1max 11 =≥=≤=∑∑==§2 分枝定界法用单纯形法，去掉整数约束IP LP xl*判别是否整数解x I *= xl*Yes去掉非整数域No多个LP……§3 0-1规划（xi= 0或1的规划）[eg.2]选择投资场所A i 投资Bi元，总投资≤B，收益Ci元.问：如何选择Ai ，使收益最大？A6A7A4A5A3A2A1最多选2个最少选1个最少选1个分析：引入xi= 1 A i选中0 Ai落选max z= C1x1+C2x2+… +C7x7x 1+x2+x3≤2x 4+x5≥1x 6+x7≥1B 1x1+B2x2+… +B7x7≤Bx i = 0或1南区西区东区[eg.3]求解如下0-1规划max z= 3x1-2x2+5x3x1+2x2-x3≤2 ①x 1+4x2+x3≤4 ②x 1+x2≤3 ③4x2+x3≤6 ④x 1,x2,x3= 0或1解：(1)观察一个可行解x1= 1 x2= x3= 0此时，z= 3(2)增加一个过滤条件3x1-2x2+5x3≥3 *(3)列表计算x x x *可行？z0015√51003110√3123①②③④0000×-1115010-2×01131×110180211√81101×111626×∴ 最优解：x 1*= 1 x 2*= 0 x 3*= 1 此时，z *= 8第四章。

运筹学第三章习题答案详细

运筹学第三章习题答案详细运筹学是一门研究如何有效地做出决策的学科，它运用数学和逻辑的方法来解决实际问题。

在运筹学的学习中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对知识的理解和应用。

本文将详细解答运筹学第三章的习题，帮助读者更好地掌握该章节的内容。

第一题是关于线性规划的基本概念和性质的。

线性规划是运筹学中的重要分支，它的目标是在一组约束条件下，找到使目标函数最大或最小的变量值。

这个问题可以用一个线性规划模型来描述，其中包括决策变量、目标函数和约束条件。

在解答这个问题时，我们需要先确定决策变量、目标函数和约束条件，然后使用线性规划的方法求解最优解。

具体的计算过程可以通过线性规划的算法来完成。

第二题是关于线性规划的图解法的。

线性规划的图解法是一种直观的解法，它通过绘制变量的可行域和目标函数的等高线图来求解最优解。

在解答这个问题时，我们需要先将约束条件转化为直线或者曲线的形式，然后绘制出这些直线或曲线，并确定它们的交点。

最后，我们需要在可行域内找到使目标函数取得最大或最小值的点，这个点就是线性规划的最优解。

第三题是关于整数规划的应用的。

整数规划是线性规划的一种特殊形式，它要求决策变量取整数值。

在解答这个问题时，我们需要先确定整数规划的模型，包括决策变量、目标函数和约束条件。

然后，我们可以使用整数规划的算法来求解最优解。

在实际应用中，整数规划可以用来解决很多实际问题，比如生产计划、运输调度等。

第四题是关于线性规划的灵敏度分析的。

灵敏度分析是线性规划中的一种重要技术，它用来分析目标函数系数、约束条件右端常数和决策变量上下界的变化对最优解的影响。

在解答这个问题时，我们需要计算目标函数系数、约束条件右端常数和决策变量上下界的变化对最优解的影响程度，并进行相应的调整。

通过灵敏度分析，我们可以了解到线性规划模型对参数变化的敏感性，从而做出更加准确的决策。

第五题是关于线性规划的对偶问题的。

线性规划的对偶问题是线性规划的一个重要概念，它可以用来求解原始问题的最优解。

《运筹学教程》第三章习题答案

《运筹学教程》第三章习题答案1.影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。

它是一种边际价格，其值相当于在资源得到最有效利用的生产条件下，资源每变化一个单位时目标函数的增量变化。

又称效率价格。

影子价格是指社会处于某种最优状态下，能够反映社会劳动消耗、资源稀缺程度和最终产品需求状况的价格，是社会对货物真实价值的度量。

只有在完善的市场条件下才会出现，然而这种完善的市场条件是不存在的，因此现成的影子价格也是不存在的。

市场价格是物品和服务在市场上销售的实际价格，是由供求关系决定的。

2.证明：当原问题约束条件右端变为b i′时，原问题变为： maxz=∑C i X js.t. ∑a ij X i≤b i′(i=1,2,3,……,m)X j≥0 (j=1,2,3,……,n)对偶问题为： minp=∑b i′y is.t. ∑a ij y i≥C iy i≥0(i=1,2,3,……,m) (j=1,2,3,……,n) 设，当b i变为b i′原问题有最优解（X1′X2′X3′……X n-1′X n′）时，对偶问题的最优解为（y1′y2′y3′……y n-1′y n′）,则有：又因为当原问题有最优解时，对偶问题也有最优解，且相等，则有：所以3（1）.minp=6y1 + 2y2s.t. -y1+2y2≥-33y1+3y2≥4y1,y2≥0(2)解：令X2=X2′-X2〞，X4= X4′-X4〞，X2′，X2〞，X4′，X4〞≥0 ，原式化为：maxz=2X1 +2X2′-2X2〞-5X3 +2X4′-2X4〞s.t. 2X1 -X2′+X2〞+3X3 +3X4′-3X4〞≤-5-2X1 +X2′-X2〞-3X3 -3X4′+3X4〞≤5-6X1 -5X2′+5X2〞+X3 -5X4′+5X4〞≤-610X1 -9X2′+9X2〞+6X3 +4X4′-4X4〞≤12X1, X2′，X2〞，X3, X4′，X4〞≥0则对偶规划为：.minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2-y1′+y1〞-5y2 -9y3≥2y1′-y1〞+5y2 + 9y3≥-23y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-53y1′-3y1〞-5y2 + 4y3≥2-3y1′+3y1〞+5y2 -4y3≥-2即：minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2-y1′+y1〞-5y2 -9y3=23y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-53y1′-3y1〞+5y2 + 4y3=2令 y1〞- y1′= y1，得：minp= 5y1 -6y2 + 12y3s.t. -2y1-6y2 + 10y3≥2y1-5y2 -9y3=2-3y1+y2 + 6y3≥-5-3y1-5y2 + 4y3=24、试用对偶理论讨论下列原问题与他们的对偶问题是否有最优解。

运筹08(第三章运输问题)运筹学第五版课件(历史上最好的,最全面的课件)

3
B2
11 9
B3
B4
3 2 10
产量
10 8
4 1
3
7
3
0
A2 A3
销量
3
1 7
4 9
1 3
0 0 20
6
6 0
4
3
6 3 0
5
3 0
5 4 0
20
12
2012-8-18
表中填有数字的格对应于基变量(取值即为格中数字），而空格对应
的是非基变量（取值为零）.

在求初始基本可行解时要注意的一个问题：当我们取定xij的值之后，会出现Ai的产量与Bj的销量都改为零的情况，这时只能划去Ai行或Bj列，但不能同时划去Ai行与Bj列。（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为
m+n-1个。
2012-8-18
13
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差额越大处，就应当采用最小运费调运。
，各产地的产量，各销地的销量，及各产地往各销
地的运费单价如表所示。应如何调运可使运费最小？
销地运费单价产地
B1
3 1
B2
11 9
B3
3 2
B4
10 8
产量（吨） 7 4
A1 A2
A3
销量（吨）
2012-8-18
7
3
4
6
10
5
5

同济大学线性代数课件(第三章)

0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0

0
6 0

B4
2019/6/24
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4

3 3 0

B5
行最简形

x1 x2

x3 x3

4 3
3
2 5
3
2 3
4

0
6 3

B2
2019/6/24
11
1 1 2 1 4
r2 2

rr43 35rr22
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 1

0 6 3

B
3
1 1 2 1 4 行阶梯形
r4 12r4
②③
③2①

④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
3x2 3x3 4x4 3, ④
2019/6/24
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②

x2 2x3 x2 x3
2019/6/24
2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11

x2 3x2

x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③

运筹学第三章作业的参考答案

第三章作业的参考答案
99P 3、用Gomory 割平面法求解下面的ILP 问题.
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≥-≤+-=.2,1,0482..5min 212121i x x x x x t s x x z i 整数，解：将原问题标准化
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=--=++-=.
4,3,2,1,0482..5min 42132121i x x x x x x x t s x x z i 整数，将第二个等式乘以)1(-加到第一个等式，可得线性方程组的典式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=--=++-=.4,3,2,1,0443..5min 42143221i x x x x x x x t s x x z i 整数，
所以，其松驰问题（P0）的第一张单纯形表为
把零行化成检验行，得
1x 2x 3x 4x RHS z
3x 1x
以2x 为进基变量，3x 为离基变量，旋转得
所以，松驰问题（P0）的最优解为T x )0,0,3
4,316(
0=，它不是整数向量。

所以由第一行生成的割平面条件为 31313143≥+x x .
对应的割平面为
313131143-=+--s x x .
把它加入到松驰问题（P0）的最优单纯形表中，得到改进的松弛问题（P1）的
1x 2x 3x 4x RHS z 2x 1x
利用对偶单纯形方法求解. 以1s 为离基变量，3x 为进基变量，旋转得
所以，松弛问题（P 1）的最优解为T x )0,0,1,1,5(1=。

因此，原问题的最优解为T x )1,5(*=,最优值为0. 1x 2x 3x 4x 1s RHS z
2x 1x 3x。

运筹学课件第三章运输问题----数学模型及其解法

例3.2.1
销地 1 运费产地 1 2 3 销量 bj 产量 2 3 4
ai
20 11 3 6 5 5 9 10 2 10 18 7 4 1 15 3 3 12 12
4
例3.2.1 西北角法
销地运量
产量 1 2 3 4
ai
产地 1 2 3 销量 b j
mn 7
3
3Байду номын сангаас
x2 5 12 x1 x9 10 22 23 x3 x 33 15 33 12 3 12 12
©管理与人文学院
1999，4
忻展红
第三章运输问题 — 数学模型及其解法
顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生非异也，善假于物也。荀子《劝学》
3.1 运输问题的一般数学模型
• 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资 • 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各销地的销量，ai=bj 称为产销平衡 • 设xij表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij表示对应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：
2 1 2
0/6
2 0 1
ui
分配表{x ij }
5 3 3 4+ 3 x 32 7 8 3 12 12
分配表{x ij }
5 10 15
OBJ=101
运费表{ z ij / w ij }
3 / 20 6 / 11
5
4 / 18
8 / 9 5 / 10
4
7 7
2 1 1
1 1 0
5 3 3 3 3 7 7 5 12 12

运筹学第三章课件

B3
3 2 10 ３
B4
10 8 5
日产量
罚金成本
A1 A2 A3
销量罚金成本
7 4 9-6
0 1 1
０ 1 ２
②
6 5
5 1
6 -３ 3
①
1.5 表上作业法
③重复步骤②，直至求得求得初始调运方案。与最小元素法相同，最后表中应有m＋n－1个数字格。对应初始基本可行解的m＋n－1个基变量。
x13 =5,x14 =2,x 21 =3,x 24 =1,x 32 =6,x 34 = 3
······
0
i=m j=1 j=2
0 1 0
······
······ 0 ···· ···· ·· 0 ······ 0 0 1 ······
0 1 0
······
······ 1 ···· ···· · 0 ······ 0 0 1
0 ······ 0 ···· ···· ·· 1 ······ 0 ······
日产量（吨）
A1 A2 A3
日销量（吨）
7 4 9
问该公司应如何确定调运方案，在满足各销地需求量的前提下可使得总运费最小？
1.5 表上作业法
最小元素法确定初始基本可行解的步骤：
① 从全部单位运价中找出最低单位运价（若有两个以上最低单位运价，则可在其中任选其一）。然后比较最低运价所对应的加工厂的日产量和销地的日销量，并且确定第一笔供销关系。
1.5 运输问题
运输问题（Transportation Problem）：一类特殊的线性规划问题：它们的约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构，利用这一特点，可能找到比单纯形法更简便的算法。
运输问题及其数学模型表上作业法产销不平衡的运输问题

《运筹学》教案汇总

《运筹学》教案授课专业：信息管理、工程管理任课教师：黄健南通大学商学院2007．2教案用纸第 1 次课 3 学时上次课复习：无一、本次课题（或教材章节题目）：绪论1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望教学要求： 1、了解运筹学的性质和特点、运筹学的应用与展望2、运筹学的模型与工作步骤重点：运筹学工作步骤难点：无教学手段及教具：讲授讲授内容：1、运筹学的性质和特点2、运筹学的模型与工作步骤3、运筹学的应用与展望课后作业无同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 2 次课 3 学时上次课复习：运筹学的学科性质和发展概况运筹学的模型与工作步骤本次课题（或教材章节题目）：二、线性规划与目标规划第一章线性规划及单纯形法1、线性规划问题及其数学模型教学要求：1、通过实际问题引入线性规划模型，初步掌握建立线性规划模型的方法；2、通过图解法直观地理解线性规划解的状态和线性规划的基本性质；3、熟练掌握线性规划问题的标准化方法；4、理解基、基解，基可行解的概念。

重点：线性规划问题及其数学模型、标准形式难点：线性规划问题及其数学模型、线性规划问题解的概念教学手段及教具：讲授讲授内容：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念课后作业P44： 1.1、1.2、1.3、1.10同济大学出版社：运筹学教程参考资料高等教育出版社：管理运筹学注：本页为每次课教案首页教案用纸第 3 次课 3 学时上次课复习：1、线性规划模型的建立2、线性规划问题的图解法3、线性规划问题的标准形式4、线性规划问题解的概念本次课题（或教材章节题目）：2、线性规划问题的几何意义3、单纯形法4、单纯形法的计算步骤教学要求：1、了解线性规划问题的几何意义和基本性质2、理解单纯形法的理论基础，熟练掌握可行条件和优化条件；3、熟练掌握单纯形法的计算步骤重点：可行条件与优化条件。

运筹学第三章课后习题答案

量 1 2 34
4 51 34
6 8 302
④
A2 A3 销量
31
2
25
30 8 1 1 5
⑤
3
7 15
1 4 224 ⑥
6
5
6
3
列12 罚22 数3
vj 4
111 11 11 1
②
①⑦
③
2020/1/1
9
从上表计算知：x12=5，x13=3，x21=3，x23=2，x24=3， x33=1。总费用=5×1＋3×4＋3×1＋2×5＋3×0＋ 1×5=35，在上述三种计算方法中，这种方法计算所需运输费用是最省的。但还不知是否最优。现用闭回路法检验如下：闭回路法检验如下：
2020/1/1
10
第一个闭回路σ11，走4→1→5→4线路
产地销地
A1
B1
B2
B3
45 13 4
B4
6
A2 3 1
22 5 3 0
A3 销量
3
71 5
1
6
5
6
3
产量
8 8 4
σ11=4-1+5-4=4
2020/1/1
11
第二闭回路σ14，走6→0→5→4线路
产地销地
A1
B1
B2
B3
45 13 4
2020/1/1
17
①最小元素法求解：
销地 B1
B2
产地
A1
13
7
A2
22
4
A3
4
33
销量
3
3
B3
B4 B5 产量
6 3 28 2
1 4 30

运筹学第三章

3.1写出下列线性规划的对偶规划。

(1)431423max x x x z -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=+-≤+-+-≥++-无约束432142143214321,,0,05282332..x x x x x x x x x x x x x x x t s解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-=++=-≤-+-≥++++-=无约束32132121321321321,0,0423202332..583min y y y y y y y y y y y y y y t s y y y w (2)321325min x x x z -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤++=++-≥+-0,0533*******..321321321321x x x x x x x x x x x x t s 无约束，解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-≤++=++-≥++-=0,03342322..532max 321321321321y y y y y y y y y t s y y y w 无约束，3.2判断下列说法是否正确，并说明原因。

（1）如果线性规划的原问题存在可行解，其对偶问题也一定存在可行解。

答：不一定。

对偶问题可能存在唯一解或无界解。

（2）如果线性规划的原问题无可行解，则其对偶问题一定存在无界解。

答：错。

其对偶问题可能存在无可行解或无界解。

（3）线性规划的原问题的任一可行解的函数值一定不大于其对偶问题的任一可行解的函数值。

答：正确。

（4）任何线性规划问题存在唯一的对偶问题。

答：正确。

3.3 试运用对偶理论证明下面的线性规划问题存在无界解。

⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+-++=0,,5247432..223max 321321321321x x x x x x x x x t s x x x z解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥--≥++=0,224223342..57min 2121212121y y y y y y y y t s y y w画图可得其对偶函数无可行解。

运筹学(第三章)

i =1 j =1
m
n
u1 u2
um v1 v2
vn
ij = cij YP = cij (u1, u2 ,, um , v1, v2 ,, vn )Pij ij
= cij (ui v j )
基变量的检验数为0，得到m+n-1个方程，这些方程中共包含m+n个对偶变量，因此解的个数不唯一。把用这m+n-1个方程求得的对偶变量的解带入到其它 m*n-(m+n-1)个式子中，求出非基变量的检验数。当所有的检验数都≥0时，得到最优解。
所有步骤都在表上进行操作
运输表
销地产地 A1 A2

B1 C 11 x 11 C 21 x 21 x 22 x 12
B2 C 12
…
Bn C 1n x 1n C 2n x 2n

产量 a1 a2
C 22
Am 销量
C m1 x m1 b1 x m2 b2
C m2 … x mn bn
C mn
am
例子：
销地产地 A1 A2 A3 销量 4
B1 3 11 6 3
B2 12 2 7 5
B3 3 5 1 6
B4 4 9 5
B5 (虚销地) 0 0 0 4
产量 8 5 9 22
销地产地 A1 A2 A3 销量 4 4
C m2 x mn … bn
C mn x m, n+1
m
0
am
ai b j
i =1 j =1
n
2、销大于产，即 a b
i =1 i j =1
n m j i
m
n
j
此时增加一个假想的产地m+1，该产地的产量为 b a ，而假想产地到各销地的单位运价定为 0，就转化成产销平衡的运输问题。

运筹学课件第三章

2013-7-12 Introduction to Operations Research Page 7
OR
Graphical Solution
In a similar fashion, the restriction 2x2 < 12 (or, equivalently, x2< 6) implies that the line 2x2=12 should be added to the boundary of the permissible region. The final restriction, 3x1 + 2x2 < 18, provides another line to complete the boundary. The resulting region of permissible values of (x1, x2) , called the feasible region, is shown in Fig. 3.2. The final step is to pick out the point in this feasible region that maximizes the value of Z = 3x1 + 5x2 through trial-and-error procedure.
Chapters 4 and 5 focus on the simplex method. Chapter 6 discusses the further analysis of linear programming problems after the simplex method has been initially applied. Chapter 7 presents several widely used extensions of the simplex method. Chapters 8 and 9 consider some special types of linear programming problems.

运筹学课件第三章-线性规划对偶问题

??????????????????????????????????????????????0322252min21321321321321xxxxxxxxxxxxxxz????????????????????????????????????????????????????0121213225max21321321321321yyyyyyyyyyyyyyw最小化问题
9, 4 A 4, 5
3, 10

• 这两个线性规划问题无论从经济意义上或者是从数学意义上都是紧密相连的：
— 从经济上看，A工厂的目标是寻找最优生产方案，以获得最大生产收入；而B企业是寻求最优价格，使总成本最低。
— 从数学模型的形式上看，它们也是关联的，比较模型如下：
双方谈判的焦点——每种能源的价格
y1 = 煤价（万元/吨）y2 = 电价（万元/千瓦时）y3 = 油价（万元/吨）
B企业的目标: Min w=360y1 + 200y2 + 300y3
煤电油单价
甲乙资源
按B企业提供的能源 A工厂产品
9 4 360 A工厂的底线: 价格折算的产品价格的要求价格
Max z=7x1 + 12x2 (总销售收入) s.t. 9x1 + 4x2 360 (煤资源限制)
4x1 + 5x2 200 (电资源限制) 3x1 + 10x2 300 (油资源限制) x1 0，x2 0 (非负条件)
• 假有一家B企业，计划收购A工厂。
• 收购A工厂的本质行为是，以适当的价格将A工厂的所有资源全部买下，使A工厂自愿放弃原来的生产活动。
原问题Max（对偶问题）
对偶问题Min（原问题）

同济大学概率论与数理统计第三章

定义：称 A 、 B 、 C 是相互独立的，如果有
P AB P A P B ， P BC P B P C ， P AC P A P C ，
P ABC P A P B P C
四个等式都成立。
定义可以推广到n个事件上去
由题意 1-(0.4)n ≧0.99
解出n ≧5.027,即至少需要6门炮才能以 99%的把握命中敌机。
三独立性在可靠性问题中的应用
一个产品或一个元件、一个系统的可靠性可以用可靠度来刻划，所谓可靠度指的是产品能正常工作的概率。以下讨论中，假定一个系统中的各个元件能否正常工作都是相互独立的。
例1，盒中装有16个球，6个玻璃球，其中2个红色4个兰色；10个木质球，其中3个红色7个兰色。现从中任取一球，记 A={取到玻璃球}，B={取到兰色球} 则 P（A）=6/16，P（B）=11/16。 AB={取到兰色玻璃球}， P（AB）=4/16
问“如果已知取到的是兰色球，那么它是玻璃球的概率”是多少？
例 3 中， P A2 B 0.4138
例4．某厂生产的产品不合格率为 0.1%，但是没有适当的仪器进行检验。有人声称发明了一种仪器可以用来检验，误判的概率仅 5%，试问厂长能否采用他发明的仪器？
定义设Ａ１，Ａ２，…Ａn满足下面的条件：（１）Ａ１，Ａ２，…Ａn两两互不相容；（２）Ａ１∪Ａ２∪…∪Ａn=Ω 则称Ａ１，Ａ２，…Ａn构成样本空间Ω的一个划分（或称构成一个完备事件组）．
全概公式：如果随机事件 A1 , A2 ,
, An 构成
完备事件组，且都具有正概率，则对任一事件 B 皆有
P B P Ai P B Ai

运筹学习题答案(第三章)

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第三章习题解答
3.7 试判断表3-30和表3-31中给出的调运方案可否作为表上作业法迭代时的基可行解?为什么? 答：都不是。数字格的数量不等于m+n-1。表3-30 销地产地 A1 A2 A3 销量
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第三章习题解答
3.4 详细说明用位势法(对偶变量法)求检验数的原理。解：原问题的检验数也可以利用对偶变量来计算：

ij
c ij ( u i v j )
i 1, 2 , m ; j 1, 2 , , n
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第三章习题解答
由于方程有m+n-1个，而变量有m+n个。所以上面的方程有无穷多个解。任意确定一个变量的值都可以通过方程求出一个解。然后再利用这个解就可以求出非基变量的检验数了。
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第三章习题解答
3.5 用表上作业法求解运输问题时，在什么情况下会出现退化解？当出现退化解时应如何处理？解：当数字格的数量小于m+n-1时，相应的解就是退化解。如果出现了退化解，首先找到同时划去的行和列，然后在同时划去的行和列中的某个空格中填入数字0。只要数字格的数量保持在m+n-1个的水平即可。
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第三章习题解答