运筹学第三章

5 2 2 1 6 3
v4 11 6 3 3 v5 17 v6 2
5
一、一般提法：
设有网络D=(V, A, C)，其中C={cij}， cij为弧(vi,vj) 上的容量，现在D上要通过一个流f={fij}， fij为弧 (vi,vj)上的流量。 问题：如何安排fij，可使网络D上的总流量V最大？
二、最大流问题的模型
Vs
8 3
Vt
17 2
5
v3
v5
2. 增广链 f为一可行流，u为vs至vt的链，令u+={正向弧}， u-={反向弧}。若u+中弧皆非饱，且u-中弧皆非零，则称 u为关于f的一条增广链。
10
5
v2
3 4 1
5 0 2 1 6 3
v4
11 6 3 3
Vs
8 3
Vt
17 2
5
v3
v5
2. 增广链 f为一可行流，u为vs至vt的链，令u+={正向弧}， u-={反向弧}。若u+中弧皆非饱，且u-中弧皆非零，则称 u为关于f的一条增广链。
2 1 5
7 v3
[4,v2/ v4]
[8,v5]
5 3
v6
5 7
[13,v6]
v7
1
v5[7,v3]
最短路模型的应用——设备更新问题（P120 例 5.3）
第 i年 1 2 价格ai 11 11 3 4 5 12 12 13 使用寿命 0~1 1~2 2~3 3~4 4~5 费用bj 5 6 8 11 18
第三章 图与网络分析
第三章 图与网络分析
3.1 图的基本概念 3.2 最小支撑树问题 3.3 最短路径问题 3.4 网络最大流问题
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第三章 图与网络分析
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B D C B A D
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
例： G2为G1的支撑子图
v5
v5 v1 v4
v1
v4
v2
G1
v3
v2
G2
v3
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第三章 图与网络分析
6、赋权图（网络） 图的每条边都有一个表示一定实际含义的 权数，称为赋权图。记作D=(V，A，C)。
例： 5
v1
3 7.5 5.5 4 2
第三章 图与网络分析
4、连通图
任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。 例： G1为不连通图， G2为连通图
G1
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G2

第三章 图与网络分析
5、支撑子图 图G=(V，E)和G'=(V ' ，E ')，若V =V ' 且 E ' E ，则称G' 为G的支撑子图。
3.3 最短路问题
问题：求网络中起点到其它点之间的一条路 v2
2 3 1 2 1
6
v5
2
v8
6 10 3
3
v1
v3 v4
6
4
v9 v7
4
10
v6
2
算法：Dijkstra（狄克斯拉）标号法
基本思想：从起点vs开始，逐步给每个结点vj标号[dj， vi]，其中dj为起点vs到vj的最短距离，vi为该最短路线 上的前一节点。
v2
2 [5, v2]
[0, v1]
v1
4
v5
v6
1
2.5 2 4 [9, v7]
[4, v1]
v4
3
[7, v4/ v6] 2
v7
v9 [8.5, v6]
v8
[课堂练习] 无向图情形
求网络中v1至v7的最短路。
v2 2 v1 3 v4 5 2 1 5 7 v3 3 v5 5 v6 1 5 7 v7
v1
3 4 2
v5
v3 3.5 v4
解： 该问题实为求图 的支撑树问题， 共需铺4条路。
v1 v2 v5 v3
v4
v1
三、最小支撑树问题
v2
问题：求网络的支撑树，使其权和最小。 算法（避圈法）：把所有的边按权从小到 大排列，依次将边添入图中，若出现圈， 则删去其中最大边，直至填满n-1条边为止 （n为结点数） 。 [例] 求上例中的最小支撑树 v1 解： 5 5.5
v4 v3

第三章 图与网络分析
3、链与路、圈与回路 无向图： 链 有向图： 路
v5 v1 v4 v1
点边交错的序列 圈 起点=终点的链 起点=终点的路
点弧交错的序列 回路
v5 v4
v2
v3
v2
v3
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3
v1
1
v3
6
4
v9 v7
4
v4
[1, v1]
10
v6
2
(4) 重复(3)，直至终点vn标上号[dn, vi]，则dn即为v1→ vn的最短距离，反向追踪可求出最短路。
(1) 给起点v1标号[0, v1] 步骤： (2) 把顶点集V分成
VA：已标号点集 VB：未标号点集
(3) 考虑所有这样的边[vi , vj]，其中vi∈VA， vj∈VB，挑选 其中与起点v1距离最短（min{di+cij}）的vj，对vj进行标号
例 若V1={vs,v1}，则 截集为：{(vs,v2), (v1,v2), (v1,v3), (v1,v4)}； 截量为： C(V1,V2) =8+4+5+3=20
v5
6
2
v8
6 10 3
3
v1
1
v3
2
4
v9 v7
4
v4
[1, v1]
10
v6
2
[5, v3] 6
[0, v1]
v2 v3
2
1 2 [3, v1]
[6, v2]
v5
6
2
v8
6 10 3
3
v1
1
3
4
v9 v7
4
v4
[1, v1]
10
v6
2
[5, v3] [0, v1] 6
[6, v2] 1
v2 v3
10
5
v2
3 4 1
5 0 2 1 6 3
v4
11 6 3 3
Vs
8 3
Vt
17 2
5
v3
v5
2. 增广链 f为一可行流，u为vs至vt的链，令u+={正向弧}， u-={反向弧}。若u+中弧皆非饱，且u-中弧皆非零，则称 u为关于f的一条增广链。
10
5
v2
3 4 1
5 0 2 1 6 3
v4
11 6 3 3
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第三章 图与网络分析
1857年英国的哈密尔顿 环球旅行问题
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第三章 图与网络分析
3.1 图的基本概念
1. 图 由点和边组成，记作G=(V，E)，其中 V=(v1，v2，……，vn)为结点的集 合，E=(e1，e2，……，em) 为边的集 合。 点表示研究对象 边表示研究对象之间的特定关系
二、图的支撑树
若一个图 G =（V , E）的支撑子图 T=（V , E’ ） 构成树，则称 T 为 G的支撑树，又称生成树、部分树。
例
(G1)
(G2)
(G)
(G3)
(G4)
图的支撑树的应用举例 5 [例] 某地新建5处居民点，拟修 道路连接5处，经勘测其道路可铺 v2 7.5 成如图所示。为使5处居民点都有 5.5 道路相连，问至少要铺几条路？
10 5 Vs v2 3 4 1 3 v3 5 5 2 2 1 6 3 3 3 v5 17 v4 116 Vt 2
max v=v（f）
8
0 f ij c ij
s.t.
容量约束
f
ij j j
v( f ) i s f ji v( f ) i t 0 i s, t
v2
v5
v3
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3.5
v4

3.2 最小支撑树问题
一、树的概念与性质 树 无圈连通图
例 判断下面图形哪个是树：
(A) 树的性质： 1、树中任两点中有且仅有一条链；
(B)
(C)
2、树任删去一边则不连通，故树是使图保持连通且具有最少边数的一种图形。 3、边数 = 顶点数 – 1。
(1) 给起点v1标号[0, v1] 步骤： (2) 把顶点集V分成
VA：已标号点集 VB：未标号点集
(3) 考虑所有这样的边[vi , vj]，其中vi∈VA， vj∈VB，挑选 其中与起点v1距离最短（min{di+cij}）的vj，对vj进行标号
[0, v1] 6
v2
2 3 2
1
v5
2
v8
6 10 3
平衡约束
注：满足约束条件的流f称为可行流
三、基本概念与定理
饱和弧 fij=cij
1. 弧按流量分为
非饱和弧 fij<cij 零流弧 fij=0
10
5
v2
3 4 1
5 2 2 1
非零流弧 fij≠0
v4
11 3 3 6
v1
8 3
v6
2 17
5
v3
6 3
v5
2. 增广链 f为一可行流，u为vs至vt的链，令u+={正向弧}， u-={反向弧}。若u+中弧皆非饱，且u-中弧皆非零，则称 u为关于f的一条增广链。