第22章《一元二次方程》常考题集(12)：22.2 一元二次方程的解法

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22 一元二次方程同步练习

22.1一元二次方程（第1课时）1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .22.1一元二次方程（第2课时）1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .22.2.1配方法（第1课时）1.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-8=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .2.完成下面的解题过程：解方程：9x2+6x+1=4；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .3.填空：(1)x2+2·x·2+ =(x+ )2；(2)x2-2·x·6+ =(x- )2；(3)x2+10x+ =(x+ )2；(4)x2-8x+ =(x- )2.4.完成下面的解题过程：解方程：x2-8x+1=0；解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= .5.用配方法解方程：x2+10x+9=0.课外补充作业：6.填空：(1)x2-2·x·3+ =(x- )2；(2)x2+2·x·4+ =(x+ )2；(3)x2-4x+ =(x- )2；(4)x2+14x+ =(x+ )2.7.完成下面的解题过程：解方程：x2+4x-12=0.解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= .8.用配方法解方程：x2-6x+7=0.22.2.1配方法（第2课时）1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-12x+35=0.解：移项，得 .配方，得， .开平方，得，x1= ，x2= .2.填空：(1)x2-2·x·13+ =(x- )2；(2)x2+5x+ =(x+ )2；(3)x2-32x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2.3.完成下面的解题过程：用配方法解方程：x2-x-74=0.解：移项，得 .配方， .开平方，得，x1= ，x2= .4.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x+2=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .5.用配方法解方程：9x2-6x-8=0.22.2.1配方法（第3课时）1.完成下面的解题过程：用配方法解方程：3x2+6x－4=0.解：移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .2.完成下面的解题过程：用配方法解方程：(2x-1)2=4x+9.解：整理，得 .移项，得 .二次项系数化为1，得.配方， .开平方，得，x1= ,x2= .3.用配方法解方程：(2x+1)(x-3)=x-9.22.2.2公式法（第1课时）1.完成下面的解题过程：利用求根公式解方程：x2+x-6=0.解：a= ，b= ，c= . b2-4ac== ＞0.=_________，1x=_________，1x=__________.2.利用求根公式解下列方程：(1)21x=04；(2)24x ；(3)3x 2-4x+2=0.22.2.2公式法（第2课时） 1.完成下面的解题过程：用公式法解下列方程：(1)2x 2-3x-2=0.解：a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = ＞0.=_________，1x =_________，1x =__________.解：整理，得 . a= ，b= ，c= .b 2-4ac= = .=_________，12x =x =_________.(3)(x-2)2=x-3.解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac== ＜0.方程实数根.2.利用判别式判断下列方程的根的情况：(1)x 2-5x=-7；(2)(x-1)(2x+3)=x ；(3)x 2x.22.2.3因式分解法（第1课时） 1.完成下面的解题过程：用公式法解方程：2x(x-1)+6=2(0.5x+3)解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac== ＞0.x=__________________=______， 1x =_________，2x =__________. 2.完成下面的解题过程：用因式分解法解方程：x 2解：移项，得 .因式分解，得 . 于是得或， x 1= ，x 2= .3.用因式分解法解下列方程：(1)x 2+x=0；(2)4x 2-121=0；(3)3x(2x+1)=4x+2；(4)(x-4)2=(5-2x)2.22.2.3因式分解法（第2课时）1.填空：解一元二次方程的方法有四种，它们是直接开平方法、、、 . 2.完成下面的解题过程：(1)用直接开平方法解方程：2(x-3)2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得， x 1= ，x 2= .(2)用配方法解方程：3x 2-x-4=0；解：移项，得 . 二次项系数化为1，得.配方， . 开平方，得，x 1= ，x 2= .(3)用公式法解方程：x(2x-4)=2.5-8x. 解：整理，得 . a= ，b= ，c= . b 2-4ac== ＞0.=_________,x 1= ，x 2= .(4)用因式分解法解方程：x(x+2)=3x+6. 解：移项，得 . 因式分解，得 . 于是得或，x 1= ，x 2= .2.指出下列方程用哪种方法来解比较适当：(1)(2x+3)2=-2x；(2)(2x+3)2=4(2x+3)；(3)(2x+3)2=6.课外补充作业：3.先指出下列方程用哪种方法来解比较合适，然后再按这种方法解：(1)(2x-3)2=25；(2)(2x-3)2=5(2x-3)；(3)(2x-3)=x(3x-2).4.用配方法解方程：x2+2x-1=0.22.3实际问题与一元二次方程（第1课时）1.完成下面的解题过程：一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7cm2,求两条直角边的长.解：设一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm.根据题意列方程，得.整理，得 .解方程，得x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm.2.一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2，(1)求菱形的两条对角线长；(2)求菱形的周长.（提示：菱形的面积=两条对角线积的一半）22.3实际问题与一元二次方程（第2课时）1.填空：(1)有一人得了流感，他把流感传染给了10个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了10个人，经过两轮传染后，共有人得流感.(2)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x个人，经过两轮传染后，共有人得流感.2.完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x个人.根据题意列方程，得.提公因式，得( )2= .解方程，得 x1= ，x2= （不合题意，舍去）.答：每轮传播中平均一个人传播了个人.3.一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x个人，填空：(1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息；(2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息；(3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息；(4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息.22.3实际问题与一元二次方程（第3课时）1.填空：(1)扎西家2006年收入是2万元，以后每年增长10％，则扎西家2007年的收入是万元，2008年的收入是万元；(2)扎西家2006年收入是2万元，以后每年的增长率为x，则扎西家2007年的收入是万元，2008年的收入是万元.2.完成下面的解题过程：某公司今年利润预计是300万元，后年利润要达到450万元，该公司利润的年平均增长率是多少？解：设该公司利润的年平均增长率是x.根据题意列方程，得.解方程，得x1≈，x2≈（不合题意，舍去）.答：该公司利润的年平均增长率是 %.3.某公司今年利润预计是300万元，设该公司利润的年平均增长率是x，填空：(1)明年该公司年利润要达到万元；(2)后年该公司年利润要达到万元；(3)第三年该公司年利润要达到万元；(4)第十年该公司年利润要达到万元.第二十二章一元二次方程复习（第1、2、3课时）1.填空（以下内容是本章的基础知识，是需要你理解的，先直接用铅笔填，想不起来再在课本中找）(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程. (2)ax2+bx+c=0这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.(3)能使一元二次方程左右相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的 .(4)一元二次方程的四种解法是：直接开平方法、、、.(5)一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2-4ac 时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac 时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac 时，方程没有实数根. (6)b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的，用来表示.(7)利用一元二次方程解决实际问题的步骤是：审题，，，， .2.填空：(1)把(x+2)(x-5)=1化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .(2)把(x+3)(x-3)=5x2-2化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .(3)已知一元二次方程x2-kx+2=0的一个根是-3，则k= .(4)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.根据这个问题，可以列出的方程是 .(5)x2+12x+ =(x+ )2，x2-43x+ =(x- )2.(6)在方程①3x2，②5x2，③8x2=3x-1中，没有实数根的是，有两个不相等的实数根是，有两个相等的实数根是 .(7)有一人得了流感，他把流感传染给了x个人，则经过两轮传染后，共有人得流感.(8)经过两年的努力，某村的青稞亩产由250千克达到300千克，求每年的平均增长率x.根据这个问题，可以列出的方程是.3.完成下面解题过程：(1)用直接开平方法解方程：4(x+2)2-9=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)用配方法解方程：x2+2x-4=0；解：移项，得 .配方，得，.开平方，得，x1= ，x2= .(3)用公式法解下列方程：2x(x-1)=3(x+1)；解：整理，得 .a= ，b= ，c= .b2-4ac= = ＞0.=_________，1x =_________，2x =__________. (4)用因式分解法解方程：(2x-3)2=x 2.解：移项，得 . 因式分解，得 . 于是得或， x 1= ，x 2= .4.用适当的方法解下列方程：(1)196x 2-1=0；(2)x 2+8x=0；(3)x(2x-5)=4x-10；(4)x(x-7)=1；(5)2x 2+3x+3=0；(6)4x 2+12x+9=81.5.一元二次方程kx 2-2x+1=0，填空：(1)当k 时，方程有两个不相等的实数根；(2)当k 时，方程有两个相等的实数根；(3)当k 时，方程没有实数根. 6.把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.7.某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由4％降至2％，平均每次降息的百分率是多少？8.一个直角梯形的下底比上底大2cm ，高比上底小1cm ，面积等于8cm 2，求这个直角梯形的周长.文档说明(Word 文档可以删除编辑)专注于可以编辑的精品文档：小学试卷教案合同协议施工组织设计、期中、期末等测试中考、高考、数学语文英语试卷、高中复习题目、本文档目的是为了节省读者的工作时间，提高读者的工作效率，读者可以放心下载文档进行编辑使用.由于文档太多，审核有可能疏忽，如果有错误或侵权，请联系本店马上删除。

九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.1第1课时直接开平方法

22.2.1 第1课时直接开平方法1．解方程：x 2＝25.因为x 是25的平方根，所以x ＝________．所以原方程的解为x 1＝________，x 2＝________．2．一元二次方程x 2－4＝0的解是( )A ．x 1＝2，x 2＝－2B ．x ＝－2C ．x ＝2D ．x 1＝2，x 2＝03．［教材例1变式］用直接开平方法解下列方程：(1)x 2－5＝0; (2)16x 2＝81；(3)5x 2－125＝0; (4)x 2－5＝49.知识点 2 用直接开平方法解形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)的一元二次方程4．将方程(2x －1)2＝9的两边同时开平方，得2x －1＝________，即2x －1＝________或2x －1＝________，所以x 1＝________，x 2＝________．5．下列方程中，不能用直接开平方法求解的是( )A ．x 2－3＝0B ．(x －1)2－4＝0C ．x 2＋2＝0D ．(x －1)2＝(－2)26．用直接开平方法解下列方程：(1)(x ＋2)2＝27； (2)(x －3)2－9＝0；(3)(2x －8)2＝16； (4)9(3x －2)2＝64.7．若a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a ＞b ，则a b＝( )A ．－5B ．－4C ．1D ．38．［2016·深圳］给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n －1.例如：若函数y ＝x 4，则y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的根是( )A ．x 1＝4，x 2＝－4B ．x 1＝2，x 2＝－2C ．x 1＝x 2＝0D ．x 1＝2 3，x 2＝－2 39．若(x 2＋y 2－1)2＝4，则x 2＋y 2＝________．10．已知直角三角形的两边长x ，y 满足||x 2－16＋y 2－9＝0，求这个直角三角形第三边的长．11．［2017·河北］对于实数p ，q ，我们用符号min {}p ，q 表示p ，q 两数中较小的数，如min {}1，2＝1.因此，min {}－2，－3＝________；若min {}（x －1）2，x 2＝1，则x ＝________．1．±5 5 －5 2.A3．解：(1)x 2＝5，x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－ 5. (2)∵x 2＝8116，∴x ＝±8116，即x 1＝94，x 2＝－94. (3)∵5x 2＝125，∴x 2＝25，∴x ＝±5，即x 1＝5，x 2＝－5.(4)x 2－5＝49，x 2＝499，解得x 1＝73，x 2＝－73. 4．±3 3 －3 2 －15．C [解析] x 2－3＝0移项得x 2＝3，可用直接开平方法求解；(x －1)2－4＝0移项得(x －1)2＝4，可用直接开平方法求解；(x －1)2＝(－2)2＝4，可用直接开平方法求解．故选C.6．解：(1)∵x ＋2＝±27，∴x ＝－2±3 3，∴x 1＝－2＋3 3，x 2＝－2－3 3.(2)∵(x －3)2－9＝0，∴(x －3)2＝9，∴x －3＝±3，∴x 1＝6，x 2＝0.(3)∵2x －8＝±16，∴2x ＝8±4，∴x 1＝6，x 2＝2.(4)∵(3x －2)2＝649， ∴3x －2＝83或3x －2＝－83，解得x 1＝149，x 2＝－29. 7．A [解析] x 2－4(x ＋1)＝1，∴x 2－4x －4＝1，∴(x －2)2＝9，∴x 1＝5，x 2＝－1.∵a ，b 为方程x 2－4(x ＋1)＝1的两根，且a >b ，∴a ＝5，b ＝－1，∴a b ＝5－1＝－5. 故选A.8． B [解析] 由函数y ＝x 3得n ＝3，则y ′＝3x 2，∴3x 2＝12，则x 2＝4，∴x ＝±2，∴x 1＝2，x 2＝－2.故选B.9． 3 [解析] (x 2＋y 2－1)2＝4直接开平方得x 2＋y 2－1＝±2.解得x 2＋y 2＝3或x 2＋y 2＝－1.∵x 2≥0，y 2≥0，∴x 2＋y 2＝3. 10．解：根据题意，得x 2－16＝0，y 2－9＝0，所以x ＝±4，y ＝±3.因为三角形的边长是正数，所以x＝4，y ＝3.若第三边为斜边，则第三边的长为32＋42＝5；若第三边为直角边，则第三边的长为42－32＝7，所以这个直角三角形第三边的长为7或5.11．－ 3 2或－1 [解析] min{－2，－3}＝－ 3.∵min{(x －1)2，x 2}＝1，当x ＝0.5时，x 2＝(x －1)2，不可能得出最小值为1，当x>0.5时，(x－1)2<x2，则(x－1)2＝1，x－1＝±1，即x－1＝1或x－1＝－1，解得x1＝2，x2＝0(不合题意，舍去)；当x<0.5时，(x－1)2>x2，则x2＝1，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－1. 综上所述，x的值为2或－1.。

九年级上第22章一元二次方程测试题及答案

一元二次方程单元测试卷时间:120分钟满分;120分一、选择题（每题3分;共30分）1．已知x=1是一元二次方程x 2-2mx+1=0的一个解;则m 的值是（）A ．1B ．0C ．0或1D ．0或-12．已知a 、b 为一元二次方程0922=-+x x 的两个根;那么b a a -+2的值为（）（A ）-7 （B ）0 （C ）7 （D ）113．根据下列表格中二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值;判断方程20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．6.18 6.19x << Ｄ．6.19 6.20x <<4．等腰三角形的底和腰是方程x 2-6x+8=0的两根;则这个三角形的周长为（）A.8B.10C.8或10D.不能确定5．某城市2007年底已有绿化面积300公顷;经过两年绿化;绿化面积逐年增加;到底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ;由题意;所列方程正确的是A ．300(1＋x )=363B ．300(1＋x )2=363C ．300(1＋2x )=363D ．363(1－x )2=3006．现定义某种运算()a b a a b ⊗=>;若2(2)2x x x +⊗=+;那么x 的取值范围是（）（A ）12x -<<（B ）2x >或1x <-（C ）2x > （D ）1x <-7、已知a b ，是关于x 的一元二次方程210x nx +-=的两实数根;则式子b a a b +的值是（）A ．22n +B ．22n -+C ．22n -D ．22n -- 8、用配方法将代数式a 2+4a -5变形;结果正确的是（）A.(a +2)2-1B. (a +2)2-5C. (a +2)2+4D. (a +2)2-99、关于x 的一元二次方程222310x x a --+=的一个根为2;则a 的值是（）A ．1BC ．D ．10、某商品经过两次连续降价;每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x ;则下列方程中正确的是（）A ．55 (1+x )2=35B ．35(1+x )2=55C ．55 (1－x )2=35D ．35(1－x )2=55二、填空题（每题3分;共30分）11．已知一元二次方程有一个根是2;那么这个方程可以是（填上你认为正确的一个方程即可）．12．已知实数x 满足4x 2-4x+l=0;则代数式2x+x21的值为________． 13．如果αβ、是一元二次方程23 1 0x x +-=的两个根;那么2+2ααβ-的值是___________。

秋九年级数学上册第22章一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 22.2.5 一元二次方程的

*22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系知识点 1 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和或两根之积1．［2016·黄冈］若方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．－4B ．3C ．－43D.432．［2016·某某］一元二次方程x 2－3x －2＝0的两根分别为x 1，x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 1＝－1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝－2C ．x 1＋x 2＝3D ．x 1x 2＝2知识点 2 利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值3．若α，β是一元二次方程x 2＋2x －6＝0的两根，则α2＋β2＝( )A ．－6B ．32C ．16D ．404．［2017·某某］若方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1(1＋x 2)＋x 2的值为________．知识点 3 已知方程及方程的一个根求方程的另一个根5．［2017·某某］已知关于x 的方程x 2＋x －a ＝0的一个根为2，则另一个根是( )A ．－3B ．－2C ．3D ．66．［2016·潍坊］关于x 的一元二次方程3x 2＋mx －8＝0有一个根是23，求该一元二次方程的另一个根及m 的值．7．若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( )A ．－2或3B ．3C ．－2D ．－3或28．［教材练习第3(1)题变式］［2017·某某］关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，则n m的值为( )A ．－8B ．8C ．16D ．－169．［2017·某某］定义运算：a ★b ＝a (1－b )．若a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，则b ★b －a ★a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关10．［2017·某某］已知方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，则x 12＋x 22＝________．11．［2017·某某］已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 12－x 22＝10，则a ＝________．12．［2017·某某］已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)某某数k 的取值X 围；(2)若x 1，x 2满足x 12＋x 22＝16＋x 1x 2，某某数k 的值．13．若a ，b 是方程x 2＋x －2018＝0的两个实数根，则a 2＋2a ＋b ＝( )A ．2018B ．2017C ．2016D ．201514．已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0.(1)证明：无论m 为何值，方程都有两个实数根．(2)是否存在正数m ，使方程的两个实数根的平方和等于26？若存在，求出满足条件的正数m 的值；若不存在，请说明理由．1．D [解析] ∵方程3x 2－4x －4＝0的两个实数根分别为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝－b a ＝43.故选D.2．C3．C [解析] 根据题意，得α＋β＝－2，αβ＝－6，所以α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝(－2)2－2×(－6)＝16.故选C.4．5 [解析] 根据题意得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，所以x 1(1＋x 2)＋x 2＝x 1＋x 1x 2＋x 2＝x 1＋x 2＋x 1x 2＝4＋1＝5.故答案为5.5．A [解析] 设方程的另一个根为t ，根据题意得2＋t ＝－1，解得t ＝－3，即方程的另一个根是－3.故选A.6．解：设方程的另一个根为t .依题意得3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23m －8＝0，解得m ＝10. 又23t ＝－83，所以t ＝－4. 故该一元二次方程的另一个根是－4，m 的值为10.7．[全品导学号：15572076]C [解析] ∵x 1＋x 2＝m ＋6，x 1x 2＝m 2，x 1＋x 2＝x 1x 2， ∴m ＋6＝m 2，解得m 1＝3，m 2＝－2.∵方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝(m ＋6)2－4m 2＝－3m 2＋12m ＋36＝0，解得m 1＝6，m 2＝－2，∴m ＝－2.故选C.8．C [解析] ∵关于x 的方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是－2和1，∴－m 2＝－1，n 2＝－2， ∴m ＝2，n ＝－4，∴n m ＝(－4)2＝16.故选C.9． A [解析] ∵a ，b 是方程x 2－x ＋14m ＝0(m ＜0)的两根，∴a ＋b ＝1，ab ＝14m . ∴b ★b －a ★a ＝b (1－b )－a (1－a )＝b (a ＋b －b )－a (a ＋b －a )＝ab －ab ＝0.故选A.10．23 [解析] ∵方程x 2＋5x ＋1＝0的两个实数根分别为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝－5，x 1·x 2＝1，∴x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝(－5)2－2×1＝23.故答案为23.11. 214[解析] 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝a ，由x 12－x 22＝10得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝10.∵x 1＋x 2＝5，∴x 1－x 2＝2，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝25－4a ＝4，∴a ＝214. 故答案为214. 12．[解析] (1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝－4k ＋5≥0，解之即可得出实数k 的取值X 围；(2)由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2－1，将其代入x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝16＋x 1x 2中，解之即可得出k 的值．解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0，解得k ≤54， ∴实数k 的取值X 围为k ≤54. (2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1x 2＝k 2－1.∵x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1x 2，∴(1－2k )2－2(k 2－1)＝16＋(k 2－1)，即k 2－4k －12＝0，解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k 的值为－2.13．B [解析] ∵a 是方程x 2＋x －2018＝0的根，∴a 2＋a －2018＝0，∴a 2＝－a ＋2018，∴a 2＋2a ＋b ＝－a ＋2018＋2a ＋b ＝2018＋a ＋b .∵a ，b 是方程x 2＋x －2018＝0的两个实数根，∴a ＋b ＝－1，∴a 2＋2a ＋b ＝2018－1＝2017.故选B.14．[解析] (1)求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；(2)根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，根据方程的两个实数根的平方和等于26，即可得到一个关于m 的方程，求得m 的值．解：(1)证明：∵关于x 的方程x 2＋(m －3)x －m (2m －3)＝0的判别式Δ＝(m －3)2＋4m (2m －3)＝9(m －1)2≥0，∴无论m 为何值，方程都有两个实数根．(2)设方程的两个实数根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－(m －3)，x 1x 2＝－m (2m －3)，令x 12＋x 22＝26，得(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(m －3)2＋2m (2m －3)＝26，整理，得5m 2－12m －17＝0，解这个方程，得m ＝175或m ＝－1. 所以存在正数m ＝175，使方程的两个实数根的平方和等于26.。

【华东师大版】九年级数学上册同步练习第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.2配方法

22.2.2 配方法知识点 1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1．用配方法解方程x 2－6x ＝16时，应在方程两边同时加上( )A ．3B ．9C ．6D ．362．把方程x 2－10x ＝－3的左边化成含x 的完全平方式，其中正确的是( )A ．x 2－10x ＋(－5)2＝28B ．x 2－10x ＋(－5)2＝22C ．x 2＋10x ＋52＝22D ．x 2－10x ＋5＝23．填空，将左边的多项式配成完全平方式：(1)x 2＋4x ＋______＝(x ＋______)2；(2)x 2＋43x ＋______＝(x ＋______)2； (3)x 2－2x ＋______＝(x －______)2.4．将方程x 2－10x ＋16＝0配方成(x ＋a )2＝b 的形式，则a ＝________，b ＝________．5．用配方法解下列方程：(1)［2016·淄博］x 2＋4x －1＝0；(2) x 2－6x －4＝0；(3)［2016·安徽］x 2－2x ＝4；(4)t 2＋15＝8t.知识点 2 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程6．用配方法解方程2x 2＋4x －1＝0的步骤：移项，得________________，二次项系数化为1，得____________________________________________，方程两边同时加上1，得___________________________________________________，即________________，解得____________________________．7. 用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )A ．(x －3)2＝13B ．3(x －1)2＝13C ．(3x －1)2＝1D ．(x －1)2＝238．某学生解方程3x 2－x －2＝0的步骤如下：解：3x 2－x －2＝0→x 2－13x －23＝0①→x 2－13x ＝23②→⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＝23＋49③→x －23＝±103④→x 1＝2＋103，x 2＝2－103⑤. 上述解题过程中，开始出现错误的是( )A ．第②步B ．第③步C ．第④步D ．第⑤步9．用配方法解方程：(1)4x 2＋12x ＋9＝0; (2)2x 2－8x ＋3＝0；(3)2x 2＋4x ＋1＝0; (4)6x 2－x －12＝0.10．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上9的方程是( )A ．3x 2－3x ＝8B ．x 2＋6x ＝－3C ．2x 2－6x ＝10D ．2x 2＋3x ＝311．在用配方法解下列方程时，配方错误的是( )A ．x 2－2x －99＝0⇒(x －1)2＝100B ．2t 2－7t －4＝0⇒(t －74)2＝818C ．x 2＋8x －9＝0⇒(x ＋4)2＝25D ．y 2－4y ＝2⇒(y －2)2＝612．利用配方法将x 2＋2x ＋3＝0化为a (x －h )2＋k ＝0(a ≠0)的形式为( )A．(x－1)2－2＝0 B．(x－1)2＋2＝0C．(x＋1)2＋2＝0 D．(x＋1)2－2＝013．已知方程x2＋4x＋n＝0可以配方成(x＋m)2＝3，则(m－n)2018＝________．14．当x＝__________时，代数式3x2－2x＋1有最________值，这个值是________．15．解方程：(1)x(2x＋1)＝5x＋70；(2)x2＋3＝2 3x.16．用配方法说明代数式2x2－4x－1的值总大于x2－2x－4的值．17．阅读材料后再解答问题：阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x2＋2x－35＝0的一个解．[阿尔·花拉子米解法]如图22－2－1，将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形拼合在一起，面积就是x2＋2·x·1＋1×1，而由x2＋2x－35＝0变形可得x2＋2x＋1＝35＋1，即左边为边长是x＋1的正方形的面积，右边为36，所以(x＋1)2＝36，取正根得x＝5.请你运用上述方法求方程x2＋8x－9＝0的正根．图22－2－11．B2．B [解析] x 2－10x ＝－3，x 2－10x ＋(－5)2＝－3＋(－5)2，即x 2－10x ＋(－5)2＝22. 故选B.3．(1)4 2 (2)49 23(3)1 1 4．－5 9 [解析] 将原方程配方，得(x －5)2＝9.5．解：(1)原方程可化为(x 2＋4x ＋4－4)－1＝0，即(x ＋2)2＝5，直接开平方，得x ＋2＝±5，解得x 1＝－2＋5，x 2＝－2－ 5.(2)移项，得x 2－6x ＝4.配方，得x 2－6x ＋9＝4＋9，即(x －3)2＝13.直接开平方，得x －3＝±13，所以x 1＝3＋13，x 2＝3－13.(3)原方程两边都加上1，得x 2－2x ＋1＝4＋1，即(x －1)2＝5，直接开平方，得x －1＝±5，所以x ＝1±5，所以x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.(4)移项，得t 2－8t ＝－15，两边同时加上16可得t 2－8t ＋16＝－15＋16，即(t －4)2＝1，直接开平方，得t －4＝±1，所以t ＝4±1，所以t 1＝5，t 2＝3.6．2x 2＋4x ＝1 x 2＋2x ＝12 x 2＋2x ＋1＝12＋1 (x ＋1)2＝32 x 1＝－1＋62，x 2＝－1－627．D [解析] 原方程为3x 2－6x ＋1＝0，移项，二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－13，配方，得x 2－2x ＋1＝－13＋1，所以(x －1)2＝23. 8．B [解析] 第③步，应在方程两边加上一次项系数一半的平方．9．解：(1)移项，得4x 2＋12x ＝－9，二次项系数化为1，得x 2＋3x ＝－94，配方，得(x ＋32)2＝0，解得x 1＝x 2＝－32. (2)∵2x 2－8x ＋3＝0，∴2x 2－8x ＝－3，∴x 2－4x ＝－32， ∴x 2－4x ＋4＝－32＋4，即(x －2)2＝52， ∴x ＝2±102， ∴x 1＝2＋102，x 2＝2－102. (3)2x 2＋4x ＋1＝0，∴2x 2＋4x ＝－1，∴x 2＋2x ＝－12， ∴x 2＋2x ＋1＝－12＋1，即(x ＋1)2＝12，则x ＋1＝±12， ∴x ＝－1±22，即x 1＝－1＋22，x 2＝－1－22. (4)6x 2－x －12＝0，∴6x 2－x ＝12，∴x 2－16x ＝2， ∴x 2－16x ＋1144＝2＋1144，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1122＝289144， ∴x －112＝±1712， ∴x ＝112±1712，即x 1＝32，x 2＝－43. 10．B 11．B 12．C13．1 14．13 小 2315．解：(1)x (2x ＋1)＝5x ＋70.去括号，得2x 2＋x ＝5x ＋70.移项、合并同类项，得2x 2－4x ＝70.两边同除以2，得x 2－2x ＝35.配方，得x 2－2x ＋1＝35＋1，即(x－1)2＝36.解得x1＝7，x2＝－5.(2)移项并配方，得x2－2 3x＋(3)2＝－3＋(3)2，即(x－3)2＝0，∴x1＝x2＝ 3.16．：因为(2x2－4x－1)－(x2－2x－4)＝2x2－4x－1－x2＋2x＋4＝x2－2x＋3＝(x2－2x＋1)＋2＝(x－1)2＋2＞0，所以代数式2x2－4x－1的值总大于x2－2x－4的值．17．如图所示，大正方形的边长为x＋4，四个图形面积的和为x2＋4x＋4x＋16＝x2＋8x ＋16，而x2＋8x－9＝x2＋8x＋16－25＝0，所以x2＋8x＋16＝25，即(x＋4)2＝25，取正根得x＝1.。

22.2 一元二次方程的解法(因式分解法)--

(4) x 7 x 12 0
2
解： ( x 3)( x 4) 0, x 3 0或x 4 0,
x1 3, x2 4.
(5) t(t+3)=28
(6) 2 (7) x ( 3 2 ) x 6 0
x 3 x(3 2 x) x(3x 1) (8) 3 2 3
(4) x x
2
解：移项，得
x( x 1) 0
x 0, 或x 1 0
原方程的解为: x1 0, x2 1. 注：如果一元二次方程有实数根，那么一定有两个实数根.
x x 0,
2
下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解：原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
X2－4= (x+2)(x－2)
教 1、熟练掌握用因式分解法解一学元二次方程目 2、通过因式分解法解一元二次标方程的学习，树立转化的思想重点难点重点：用因式分解法解一元二次方程难点：正确理解AB=0A=0或 B=0（ A、B表示两个因式）
自学内容:
3分钟时间自学课本内容，并寻找下面各题答案，比一比，看谁找的又快又好
5)=0
=0 5
3x+1+ 5 =0或3x+1－
１ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边不为零的化为零。 2o将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 3o至少有一个一次因式为零，得到两个一元一次方程。 4o两个一元一次方程的解就是原方程的解。

22.2 一元二次方程的解法3.公式法

22.2.3 公式法知识点1 对求根公式的理解1．利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________________的形式，确定________，________，________的值，当________时，可得方程的根为______________．2．用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a，b，c的值，下列叙述正确的是( )A．a＝3，b＝2，c＝3B．a＝－3，b＝2，c＝3C．a＝3，b＝2，c＝－3D．a＝3，b＝－2，c＝33．用公式法解方程(x＋2)2＝6x＋8时，b2－4ac的值为( ) A．52B．32C．20D．－12知识点2 用公式法解一元二次方程4．解下列方程，最适合用公式法求解的是( )A．(x＋2)2－16＝0B．(x＋1)2＝4C.x2＝1D．x2－3x－5＝05．一元二次方程x2＋2x－6＝0的根是( )A．x1＝x2＝B．x1＝0，x2＝－2C．x1＝，x2＝－3D．x1＝－，x2＝－36．方程x2＋x－1＝0的正根是__________．7．在一元二次方程2x2＋x＝6中，b2－4ac＝________，x1＝________，x2＝________．8．用公式法解下列方程：(1)x2－6x＋1＝0;(2)4x2－12＝2x；(3)x2－2x＋2＝0;(4)2x2＋8x－7＝0.9．已知a是一元二次方程x2－3x－5＝0的较小的根，则a的取值范围是( ) A．－2<a<－1B．2<a<3C．－4<a<－3D．4<a<510．如图22－2－2所示，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AE ＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则▱ABCD的周长为( )22－2－2A．4＋2B．12＋6C．2＋2D．2＋或12＋611．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的根为( )A．x＝－2B．x1＝－2，x2＝3C．x1＝，x2＝D．x1＝，x2＝12．若关于x的一元二次方程2x2－3x＋c＝0的一个根是1，则另一个根是________．13.方程(x＋4)(x－5)＝1的根为____________．14．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋6＝0，若b2－4ac ＝37，则m＝________．15．若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是________．16．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2－2b＋3，若将实数对(x，－3x)放入其中，得到一个新数5，则x＝________．17．[教材例6(4)变式]用公式法解下列方程：(1)3y(y－3)＝2(y＋1)(y－1)；(2)(3x－1)(x＋2)＝11x－4.18．当m取何值时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是关于x的一元二次方程？并求出此方程的解．19．设a，b，c都是实数，且满足(2－a)2＋＋|c＋8|＝0，请你求出方程ax2＋bx＋c＝0的根．20．阅读下列材料，解答问题：为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1＝y，则(x2－1)2＝y2，原方程可化为y2－5y＋4＝0(*)，解此方程得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，∴x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，∴x＝±，∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－.(1)填空：在原方程得到方程(*)的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)解方程：(x2－x)2－8(x2－x)＋12＝0.21．已知a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根．(1)求a2－4a＋2019的值；(2)化简并求值：－－.详解详析1．ax2＋bx＋c＝0 a b c b2－4ac≥0x＝2．D3．C [解析]注意先把方程化为一般形式．4．D [解析]A．用直接开平方法；B.用直接开平方法；C.变形后用直接开平方法．故选D.5．C 6.7．49 －2 [解析]把原方程化为一般形式为2x2＋x－6＝0，∴a＝2，b＝1，c＝－6，∴b2－4ac＝12－4×2×(－6)＝49>0，∴x＝，∴x1＝，x2＝－2.8．解：(1)∵a＝1，b＝－6，c＝1，∴b2－4ac＝(－6)2－4×1×1＝32>0，∴x＝，∴x1＝3＋2，x2＝3－2.(2)原方程可化为2x2－x－6＝0，∴a＝2，b＝－1，c＝－6，∴b2－4ac＝(－1)2－4×2×(－6)＝49>0，∴x＝，∴x1＝2，x2＝－.(3)∵a＝1，b＝－2，c＝2，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×2＝－4<0，∴原方程无解．(4)∵a＝2，b＝8，c＝－7，∴b2－4ac＝82－4×2×(－7)＝120>0，∴x＝，∴x1＝，x2＝.9．A [解析]一元二次方程x2－3x－5＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝－5，∴b2－4ac＝9＋20＝29，∴x＝，则较小的根a＝，则－2<a<－1，故选A.10．A [解析]解一元二次方程x2＋2x－3＝0，得x1＝－3，x2＝1，所以AE＝EB＝EC＝1，所以BC＝2，根据勾股定理可得AB ＝，所以▱ABCD的周长为(2＋)×2＝4＋2.11．D12.13．x1＝，x2＝14．±[解析]∵a＝1，b＝m，c＝6，∴b2－4ac＝m2－24＝37，∴m＝±.15．－516．－3±[解析]根据题意，得x2＋6x＋3＝5，即x2＋6x－2＝0.∵a＝1，b＝6，c＝－2，∴b2－4ac＝36－4×1×(－2)＝44>0，则x＝＝－3±.故答案为－3±.17．解：(1)原方程可化为y2－9y＋2＝0，∴a＝1，b＝－9，c＝2，∴b2－4ac＝(－9)2－4×1×2＝73>0，∴y＝，∴y1＝，y2＝.(2)原方程可化为3x2－6x＋2＝0，∴a＝3，b＝－6，c＝2，∴b2－4ac＝(－6)2－4×3×2＝12>0，∴x＝，∴x1＝，x2＝.18．[解析]只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，因而m2＋1＝2且m＋1≠0，即可求得m的值，求得方程，进而求出方程的解．解：由题意得m2＋1＝2且m＋1≠0，解得m＝1，即当m＝1时，方程(m＋1)xm2＋1＋(m－3)x－1＝0是关于x 的一元二次方程．∴原方程是2x2－2x－1＝0，解得x＝.∴x1＝，x2＝.19．解：∵(2－a)2≥0，≥0，|c＋8|≥0，而(2－a)2＋＋|c＋8|＝0，∴解得故所求方程为2x2＋4x－8＝0，即x2＋2x－4＝0，∴x＝－1±，即x1＝－1＋，x2＝－1－.20．解：(1)换元转化(2)设x2－x＝y，则原方程可化为y2－8y＋12＝0，解得y1＝2，y2＝6.当y＝2时，x2－x＝2，解得x＝－1或x＝2；当y＝6时，x2－x＝6，解得x＝－2或x＝3，∴原方程的解为x1＝－1，x2＝2，x3＝－2，x4＝3.21．解：(1)∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的根，∴a2－4a＋1＝0，∴a2－4a＝－1，∴a2－4a＋2019＝－1＋2019＝2018.(2)原方程的解是x＝＝2±.∵a是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根中较小的根，∴a＝2－，且a－1<0，∴－－＝－－＝a－1－－＝a－1＋－＝a－1.∵a＝2－，∴原式＝2－－1＝1－.。

22.2-一元二次方程解法(直接开平方法)-

2
3 2 x 3 5;
2
2 2 4 x 1 3; 3
注意：解方程时，应先把方程变形为：
p 0 ; 2 mx n p p 0
x2 p
1、用直接开方法解方程：
你会变吗？
2
32x 5 12 22x 5 4
合作学习
共同回顾

一个数x的平方等于a，这个数x叫做a的什么？即 x a （a≥0）则x叫做a的平方根，表示为： x a
2
下列各数有平方根吗?若有,你能求出它的平方根吗?
25 ;

3 25 0 ; ; 2 ; -3; 4 16
例题解析：例1、解方程先移项，得：
x 4 0
2
2、用直接开方法解方程：
93m 5 3 0
2
1 3m 5 3
2
3m 5 0; 无论m取何值，
2
此方程无解。
方程
ax c 0 a 0 一定有解吗?
2
a0
1当
c x ; a
2
c a
0时，方程的根是 x ;
(b≥0）的形式,再求解
1 （4） 2 x 0 2
2
再显身手
( x a) b
例2、解方程: (1) (2)
将方程化成 2 (b≥0）的形式,再求解
x 1
2
4 0
2
12(2 x) 9 0
解下列方程：
1 x 9 0;
2
2
16 x 49 0;
c a
2当
c a
0时，原方程无实数根。

2022秋九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法目标一用公式法解一元二

2 即 y1＝___3_____，y2＝___－__1___．
5 下列方程，最适合用公式法求解的是( C ) A．(x－1)2＝4 B．2x2＝8 C．x2－x－1＝0 D．2(x＋1)2－20＝0
6 【2020·临沂】一元二次方程 x2－4x－8＝0 的解是 ( B) A．x1＝－2＋2 3，x2＝－2－2 3 B．x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3 C．x1＝2＋2 2，x2＝2－2 2 D．x1＝2 3，x2＝－2 3
x1＝1＋2
13，x2＝1－2
13 .
9 【 2020·广东】已知关于 x ， y 的方程组
ax＋2 3y＝－10 x＋y＝4
3，与xx－＋yb＝y＝2，15的解相同．
(1)求 a，b 的值；解：由题意，得关于 x，y 的方程组的相同解就是方
程组xx＋－yy＝＝42，的解，
解得xy＝＝13，，代入原方程组得 a＝－4 3，b＝12.
∴x1＝3＋ 7，x2＝3－ 7.
8 已知 a，b，c 均为实数且 a2－2a＋1＋|b＋1|＋(c＋ 3)2＝0，求方程 ax2＋bx＋c＝0 的根．
解：依题意，得 a2－2a＋1＝0 且 b＋1＝0 且 c＋3
＝0，
∴a＝1，b＝－1，c＝－3.代入方程可得 x2－x－3＝
0，∴x＝1±2 13，即
第22章
一元二次方程
22.2. 公式法
3
目标一用公式法解一元二次程
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1D 2A 3D 4
5C 6B 7 8
答案呈现
9
1 一元二次方程 3x － 1 － 2x2 ＝ 0 在用公式 x ＝－b± 2ba2－4ac解时，a，b，c 的值是( D ) A．3，－1，－2 B．－2，－1，3

华师版九年级数学上册作业课件(HS)第22章一元二次方程一元二次方程的解法第2课时配方法

(1)x2＋4x＝－1；(2)x2－6x＋5＝0.
解：(1)x2＋4x＋4＝3，(x＋2)2＝3，x＋2＝± 3 ， ∴x1＝－2＋ 3 ，x2＝－2－ 3 (2)x2－6x＝－5，x2－6x＋9＝4，(x－3)2＝4，x－3＝±2， ∴x1＝5，x2＝1
9．(3 分)(河南省实验学校月考)下列用配方法解方程12 x2－x－2＝0 的四个步骤中，出现错误的是( D ) A．① B．② C．③ D．④
即_(_x_－__2_)_2__＝__6__．直接开平方，得__x_－__2_＝__±__6_____．所以 x1＝___2_＋___6__，x2＝__2_－___6____．
5．(3分)(镇平期中)用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0，配方后得到的方程为（ B ） A．(x－1)2＝m－1 B．(x－1)2＝m＋1 C．(x－1)2＝1－m D．(x－1)2＝m2－1 6．(3分)(泰安中考)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是（ A ） A．－4，21 B．－4，11 C．4，21 D．－8，69
10．(3 分)用配方法解方程 2x2＋3x－1＝0，则方程可变形为 ( D )
A．(x＋3)2＝13
B．(x＋34 )2＝12
C．(3x＋1)2＝1
D．(x＋34 )2＝1176
11．(6 分)用配方法解方程：
(1)2x2－3x－6＝0；
2 (2)3
x2＋13
x－2＝0.
解：(1)(x－34 )2＝5176 ，∴x1＝3＋4 57 ，x2＝3－4 57 (2)(x＋14 )2＝4196 ，∴x1＝32 ，x2＝－2
3．(4 分)填空：
(1)x2－4x＋_4__＝(x－_2__)2；

2023九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法3公式法教案(新版)华东师大版

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。
作用与目的：
-巩固学生在课堂上学到的“一元二次方程的解法--公式法”知识点和技能。
-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。
-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。
学生学习效果
1.知识与技能：
-学生能够理解一元二次方程的解法--公式法的基本概念和原理。
重点难点及解决办法
重点：一元二次方程的公式法及其应用。
难点：理解并运用公式法求解实际问题，掌握公式法与判别式之间的关系。
解决办法：
1.通过具体实例，引导学生理解一元二次方程的公式法，让学生在实际问题中体会公式的运用。
2.利用数形结合，让学生直观地理解公式法与判别式之间的关系，突破难点。
3.设计梯度性练习题，让学生在练习中逐步掌握公式法的运用，巩固知识点。
-学生能够运用公式法求解一元二次方程，并正确运用判别式判断方程的解的情况。
-学生能够在实际问题中运用公式法，求解实际问题，并能够解释结果的实际意义。
2.过程与方法：
-学生能够通过自主探索和小组合作的方式，积极主动地参与课堂学习和实践活动。
-学生能够通过听讲、思考和讨论，深入理解一元二次方程解法--公式法的内涵和应用。
3.在线学习平台：利用在线学习平台，提供丰富的学习资源和练习题，方便学生自主学习和巩固知识。
4.实物教具：使用实物教具，如数学模型、图形展示等，帮助学生更好地理解和掌握一元二次方程的解法。
5.练习册与评价工具：提供练习册和评价工具，及时检测学生的学习效果，为学生提供反馈和指导。
教学实施过程
1.课前自主探索
-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

深圳市第二中学九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.1直接开平方法和

22．2 一元二次方程的解法22．2.1 直接开平方法和因式分解法1．会用直接开平方法解形如a(x －k)2＝b(a≠0，ab ≥0)的方程．2．灵活应用因式分解法解一元二次方程．3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用．重点利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．难点合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程．一、情境引入教师提出问题，让学生说出作业中的解法，教师板书．问：怎样解方程(x ＋1)2＝256?解：方法1：直接开平方，得x ＋1＝±16，∴原方程的解是x 1＝15，x 2＝－17.方法2：原方程可变形为(x ＋1)2－256＝0，方程左边分解因式，得(x ＋1＋16)(x ＋1－16)＝0，即(x ＋17)(x －15)＝0，∴x＋17＝0或x －15＝0，原方程的解是x 1＝15，x 2＝－17.二、探究新知教师多媒体展示，学生板演，教师点评．例1 用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝7； (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1±73； (2)－1±26；(3)4±113. 【教学说明】运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根．例2 用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0；(2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.解：(1)x 1＝0，x 2＝45；(2)x 1＝23，x 2＝－12； (3)x 1＝－5，x 2＝－2.【教学说明】解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想．三、练习巩固教师多媒体展示出题目，由学生自主完成，分组展示结果，教师点评．1．用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0；(2)x 2－4x ＋4＝5；(3)(x ＋5)2＝25；(4)x 2＋2x ＋1＝4.解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2；(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；(3)x 1＝0，x 2＝－10；(4)x 1＝1，x 2＝－3.2．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0； (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2.解：(1)x 1＝0，x 2＝－1；(2)x 1＝0，x 2＝23；(3)x 1＝x 2＝1；(4)x 1＝112，x 2＝－112； (5)x 1＝3，x 2＝1.3．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m .则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2，解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m .四、小结与作业小结1．引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤．2．对于形如a(x －k)2＝b(a≠0，ab ≥0)的方程，只要把(x －k)看作一个整体，就可转化为x 2＝n(n≥0)的形式用直接开平方法解．3．当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想．一．选择题（共15小题）1．下列说法中正确的是（）A．平分弦的直径一定垂直于弦B．长度相等的弧是等弧C．平行弦所夹的两条弧相等D．相等的圆心角所对的弦相等2．如图，⊙O的半径为6，直径CD过弦EF的中点G，若∠EOD=60°，则弦CF的长等于（）A．6 B．6C．3D．93．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为M，则下列结论一定正确的是（）A．AC=CD B．OM=BM C．∠A=∠ACD D．∠A=∠BOD 4．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB=10，CD=8，则BE为（）A．2 B．3 C．4 D．3.55．如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（）A．6cm B．10cm C．8cm D．20cm6．在半径为25cm的⊙O中，弦AB=40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm 7．下列说法中正确的个数有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径一定垂直于弦；③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；④直径是弦；⑤长度相等的弧是等弧．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=2，BC=8．则⊙O的半径为（）A．B．5 C．D．69．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O 到水面的距离OC是（）A．4 B．5 C．6D．610．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，（注：1尺=10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸11．如图，半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm12．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm13．如图，圆弧形桥拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，则圆弧形桥拱所在圆的半径为（）A．6 m B．8 m C．10 m D．12 m14．如图，在半径为10cm的圆形铁片上切下一块高为4cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm15．“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（）A．寸B．13寸C．25寸D．26寸二．填空题（共10小题）16．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB=12，CD=2．则⊙O半径的长为．17．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，且AB＞OC，若OC和AB是方程x2﹣11x+24=0的两个根，则⊙O的半径OA= ．18．半径等于16的圆中，垂直平分半径的弦长为．19．在平面直角坐标系中，过三点A（0，0），B（2，2），C（4，0）的圆的圆心坐标为．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是．21．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升cm．22．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径为cm．23．如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形（如图中阴影部分），然后量得弦AB的长为4cm，这个弓形的高为1cm，则这个轮子的直径长为cm．24．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=1尺，则直径CD 长为寸．25．如图，花园边墙上有一宽为1m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC的长为2m，现准备打掉部分墙体，使其变成以AC为直径的圆弧形门，则打掉墙体后，弧形门洞的周长（含线段BC）为．三．解答题（共6小题）26．如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圆O的半径长．27．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．28．已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）交于点F，若FB=2，CF=FD=4，求AC 的长．29．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=10m，水面宽AB=12m，某天下雨后，水管水面上升了2m，求此时排水管水面的宽CD．30．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．31．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．【解答】解：A、当两条弦都是直径时不成立，故本选项错误；B、在同圆或等圆中，两个长度相等的弧是等弧，故本选项错误；C、如图所示，两弦平行，则圆周角相等，圆周角相等，则弧相等；故本选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误．故选：C．2．【解答】解：连接DF，∵直径CD过弦EF的中点G，∴=，∴∠DCF=∠EOD=30°，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴CF=CD•cos∠DCF=12×=6，故选：B．3．【解答】解：连接DA，∵直径AB⊥弦CD，垂足为M，∴CM=MD，∠CAB=∠DAB，∵2∠DAB=∠BOD，∴∠CAD=∠BOD，故选：D．4．【解答】解：连接OC．∵AB是⊙O的直径，AB=10，∴OC=OB=AB=5；又∵AB⊥CD于E，CD=8，∴CE=CD=4（垂径定理）；在Rt△COE中，OE=3（勾股定理），∴BE=OB﹣OE=5﹣3=2，即BE=2；故选：A．5．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OC，∵弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm∴OE=6cm，AE=AB=8cm，在Rt△AOE中，根据勾股定理得，OA==10cm 故选：B．6．【解答】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，∵点C和D为弦AB所对弧的中点，∴CD为直径，CD⊥AB，∴AE=BE=AB=20，在Rt△OAE中，∵OA=25，AE=20，∴OE==15，∴DE=OD+OE=40，CE=OC﹣OE=10，即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．故选：D．7．【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等；错误．必须在同圆或等圆中；②平分弦的直径一定垂直于弦；错误，此弦不是直径；③圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；错误，应该是每一条直径所在的直线都是对称轴；④直径是弦；正确；⑤长度相等的弧是等弧．错误．能够完全重合的两条弧是等弧；故选：A．8．【解答】解：延长AO交BC于点D，连接OB，由对称性及等腰Rt△ABC，得到AD⊥BC，∴D为BC的中点，即BD=CD=BC=4，AD=BC=4，∵OA=2，∴OD=AD﹣OA=4﹣2=2，在Rt△BOD中，根据勾股定理得：OB==2，则圆的半径为2．故选：C．9．【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC=AC=AB=×16=8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC===6，故选：D．10．【解答】解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．11．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=8，OD=13，∴OC=5，又∵OB=13，∴Rt△BCO中，BC==12，∴AB=2BC=24．故选：C．12．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4﹣x）2+22=x2解得：x=2.5故选：B．13．【解答】解：如图，设OA=r，则OD=r﹣4，∵AB=16m，∴AD=8m．在Rt△AOD中，∵OD2+AD2=OA2，即（r﹣4）2+82=r2，解得r=10（m）．故选：C．14．【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD=4，OD=10，∴OC=6，又∵OB=10，∴Rt△BCO中，BC=，∴AB=2BC=16．故选：C．15．【解答】解：连接OA．设圆的半径是x尺，在直角△OAE中，OA=x，OE=x﹣1，∵OA2=OE2+AE2，则x2=（x﹣1）2+25，解得：x=13．则CD=2×13=26（cm）．故选：D．二．填空题（共10小题）16．【解答】解：连接AO，∵半径OC⊥弦AB，∴AD=BD，∵AB=12，∴AD=BD=6，设⊙O的半径为R，∵CD=2，∴OD=R﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即：R2=（R﹣2）2+62，∴R=10，答：⊙O的半径长为10．17．【解答】解：x2﹣11x+24=0（x﹣3）（x﹣8）=0x﹣3=0，x﹣8=0，x1=3，x2=8，∵AB＞OC，∴AB=8，OC=3，∵OC⊥AB，∴AC=AB=4，由勾股定理得，OA==5，故答案为：5．18．【解答】解：如图，OA=16，则OC=8，根据勾股定理得，AC==8，∴弦AB=16．故答案为：16．19．【解答】解：已知A（0，0），B（2，2），C（4，0），如图：可设：AB的垂直平分线解析式为：y=kx+b，把（0，2），（2，0）代入解析式可得：，解得：，所以AB的垂直平分线解析式是y=﹣x+2，设AC的垂直平分线解析式为x=m，把（2，2）代入解析式，可得：x=2，所以AC的垂直平分线解析式是x=2，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．20．【解答】解：连接OC，由题意，得OE=OA﹣AE=4﹣1=3，CE=ED==，CD=2CE=2，故答案为2．21．【解答】解：作半径OD⊥AB于C，连接OB由垂径定理得：BC=AB=30cm，在Rt△OBC中，OC==40cm，当水位上升到圆心以下时水面宽80cm时，则OC′==30cm，水面上升的高度为：40﹣30=10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30=70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．故答案为10或70．22．【解答】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，设OF=x，则ON=OF，∴OM=MN﹣ON=4﹣x，MF=2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2即：（4﹣x）2+22=x2解得：x=2.5故答案为：2.523．【解答】解：连接OB；Rt△OBD中，BD=AB=2cm，根据勾股定理得：OD2+BD2=OB2，即：（OB﹣1）2+22=OB2，解得：OB=2.5；所以轮子的直径为5cm．故答案为：5．24．【解答】解：连接OA，设OA=r，则OE=r﹣CE=r﹣1，∵AB⊥CD，AB=1尺，∴AE=AB=5寸，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，即r2=52+（r﹣1）2，解得r=13（寸）．∴CD=2r=26寸．故答案为：26．25．【解答】解：设矩形外接圆的圆心为O，连接OB，∵矩形ABCD的AC=2m，BC=1m，∴OB=OC=BC=1m，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°．∴弧形门洞的周长（含线段BC）为： +1=+1，故答案为：（+1）m．三．解答题（共6小题）26．【解答】解：过点O作OM⊥CD于点M，联结OD，∵∠CEA=30°，∴∠OEM=∠CEA=30°，在Rt△OEM中，∵OE=4，∴，，∵，∴，∵OM过圆心，OM⊥CD，∴CD=2DM，∴，∵，∴在Rt△DOM中，，∴弦CD的长为，⊙O的半径长为．27．【解答】解：连结BE，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，∴x2=42+（x﹣2）2，解得 x=5，∴AE=10，OC=3，∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，在Rt△CBE中，CE===2．28．【解答】解：连接BC，∵AB是直径，CF=FD=4，∴AB⊥CD，∵∠ACB=90°∴∠A=∠BCF，∴△BCF∽△CAF，∴=，∴CF2=AF•BF，设AF=x，∴16=2x，∴x=8，∴由勾股定理可知：AC=429．【解答】解：如图：作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB=12m，OE⊥AB，OA=1m，∴OE=8m．∵水管水面上升了2m，∴OF=8﹣2=6m，∴CF==8m，∴CD=16m．30．【解答】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．31．【解答】解：（1）连结OA，由题意得：AD=AB=30，OD=（r﹣18）在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r﹣18）2，解得，r=34；（2）连结OA′，∵OE=OP﹣PE=30，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2﹣OE2，即：A′E2=342﹣302，解得：A′E=16．∴A′B′=32．∵A′B′=32＞30，∴不需要采取紧急措施．第21章二次函数与反比例函数周周测921.5反比例函数一、精心选一选1﹒下列函数中，y 是x 的反比例函数的为（） A.y ＝2x +1 B.y ＝22x C.y ＝－15xD.y ＝x 2－2x 2﹒函数y ＝k 23kx 是反比例函数，则k 的值是（）A.－1B.2C.±2D.±2 3﹒若y 与x 成反比例，x 与z 成反比例，则y 是z 的（）A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数 4﹒一次函数y ＝－x +a －3（a 为常数）与反比例函数y ＝－4x的图象交于A 、B 两点，当A 、B 两点关于原点对称时，a 的值是（）A.0B.－3C.3D.4 5﹒反比例函数y ＝－2x的图象上有两点P 1（x 1，y 1）,P 2（x 2，y 2），若x 1＜0＜x 2，则下列结论正确的是（）A.y 1＜y 2＜0B.y 1＜0＜y 2C.y 1＞y 2＞0D. y 1＞0＞y 2 6﹒如图，直线y ＝－x +3与y 轴交于点A ，与反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象交于点C ，过点C 作CB ⊥x 轴于点B ，AO ＝3BO ，则反比例函数的解析式为（）A.y ＝4xB.y ＝－4xC.y ＝2xD.y ＝－2x7﹒已知反比例函数y ＝kx的图象经过点P （－1，2），则这个函数的图象位于（）A.第二、三象限B.第一、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限8﹒如果等腰三角形的底边长为x ，底边上的高为y ，它的面积为10时，则y 与x 的函数关系式为（）A.y ＝10x B.y ＝5x C.y ＝20x D.y ＝20x 9﹒已知变量y 与x 成反比例函数关系，当x ＝3时，y ＝－6，那么当y ＝3时，x 的值是（）A.6B.－6C.9D.－910. 某次实验中，测得两个变量v 与m 的对应数据如下表，则v 与m 之间的关系最接近下列函数中的是（）m 1 2 3 4 5 6 7 v－6.10－2.90－2.01－1.51－1.19－1.05－0.86A.v ＝m 2－2 B.v ＝－6m C.v ＝－3m －1 D.v ＝－6m二、细心填一填11.若函数y ＝(m +3)28m x -是反比例函数，则m ＝_______________. 12.若函数y ＝1m x-是反比例函数，则m 的取值范围是_______；当m ＝______时，y 是x 的反比例函数，且比例系数为3. 13.若函数y ＝－kx +2k +2与y ＝kx（k ≠0）的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____.14.如图，直线y ＝－x +b 与双曲线y ＝－1x（x ＜0）交于点A ，与x 轴交于点B ，则OA 2－OB 2＝__________.（第14题图）15.一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系表示人数x 与完成任务所需时间y 之间的函数关系为_______________________.16.把一个长、宽、高分别为3cm ，2cm ，1cm 的长方形铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S （cm 2）与高h （cm ）之间的函数关系式为________________________. 三、解答题17.某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t 天完成.（1）写出每天生产夏凉小衫w （件）与生产时间t （天）（t ＞4）之间的函数关系式；（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？18.某开发公司计划生产一批产品，需要加工后才能投放市场，已知甲厂每天可加工60件，8天便可完成任务.（1）这批产品的数量是________件；（2）若这批产品由乙厂加工，请写出乙厂每天加工件数M（件）与所需天数t（天）之间的函数表达式；（3）如果要求乙厂在5天内将所有产品加工完，那么乙厂每天至少加工多少件？19.已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例关系，y2与x成反比例关系，且当x＝1时，y＝3；当x＝－1时，y＝1.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当x＝－12时，求y的值.20.反比例函数y＝kx（k≠0，x＞0）的图象与直线y＝3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图于点D，且AB＝3BD.（1）求k的值；（2）求点C的坐标；（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d＝MC+MD最小，求点M的坐标.21.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系；（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？22.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在营运过程中发现此商品的日销价为x（元）与销售量y（张）之间有如下关系：x/元 3 4 5 6y/张20 15 12 10（1）猜测并确定y与x的函数关系式；（2）当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？（3）设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润.23.在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（－2，－4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个.（1）若点M（2，a）是反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；（2）函数y＝3mx－1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由.21.5 反比例函数课时练习题（1）参考答案一、精心选一选1﹒下列函数中，y 是x 的反比例函数的为（） A.y ＝2x +1 B.y ＝22x C.y ＝－15xD.y ＝x 2－2x 解答：A.y＝2x +1，y 是x 的一次函数，故A 不合题意；B.y ＝22x ，y 是x 2的反比例函数，故B 不合题意； C.y ＝－15x，y 是x 的反比例函数，故C 符合题意；D.y ＝x 2－2x ，y 是x 的二次函数，故D 不合题意，故选：C. 2﹒函数y ＝k 23k x-是反比例函数，则k 的值是（）A.－1B.2C.±2D.解答：∵y ＝k 23k x-是反比例函数，∴k 2－3＝－1，且k ≠0，解得：k 故选：D.3﹒若y 与x 成反比例，x 与z 成反比例，则y 是z 的（）A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数解答：∵y 与x 成反比例，x 与z 成反比例， ∴设y ＝1k x①，x ＝k 2z ②，把②代入①得：y ＝12k k z，故y 与z 成反比例函数关系，故选：B.4﹒一次函数y＝－x+a－3（a为常数）与反比例函数y＝－4x的图象交于A、B两点，当A、B两点关于原点对称时，a 的值是（）A.0B.－3C.3D.4【解答】设A（t，－4t），∵A、B两点关于原点对称，∴B（－t，4t），把A（t，－4t），B（－t，4t），分别代入y＝－x+a－3得：4343t att at⎧-=-+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩①②，①+②得：2a－6＝0，则a＝3，故选：C.5﹒反比例函数y＝－2x的图象上有两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（）A.y1＜y2＜0B.y1＜0＜y2C.y1＞y2＞0D. y1＞0＞y2【解答】∵反比例函数y＝﹣2x中k＝﹣2＜0，∴此函数图象在二、四象限，∵x1＜0＜x2，∴A（x1，y1）在第二象限；点B（x2，y2）在第四象限，∴y1＞0＞y2，故选：D．6﹒如图，直线y＝－x+3与y轴交于点A，与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO＝3BO，则反比例函数的解析式为（）A.y＝4xB.y＝－4xC.y＝2xD.y＝－2x【解答】∵直线y＝﹣x+3与y轴交于点A，∴A（0，3），即OA＝3，∵AO＝3BO，∴OB＝1，∴点C的横坐标为﹣1，∵点C在直线y＝﹣x+3上，∴点C（﹣1，4），把C（﹣1，4）代入y＝kx得：k＝－4，∴反比例函数的解析式为：y＝－4x．故选：B．7﹒已知反比例函数y＝kx的图象经过点P（－1，2），则这个函数的图象位于（）A.第二、三象限B.第一、三象限C.第三、四象限D.第二、四象限【解答】∵反比例函数y＝kx的图象经过点P（－1，2），∴k＝－1×2＝－2＜0，∴反比例函数的图象分布在二、四象限，故选：D.8﹒如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，它的面积为10时，则y与x的函数关系式为（）A.y＝10xB.y＝5xC.y＝20xD.y＝20x解答：根据题意，得：12xy＝10，∴y＝20x,故选：C.9﹒已知变量y与x成反比例函数关系，当x＝3时，y＝－6，那么当y＝3时，x的值是（）A.－6B. 6C.－9D.9解答：设y＝kx，把x＝3，y＝－6代入得：k＝－18，∴y＝18x，∴当x＝3时，y＝－6，故选：A.10. 某次实验中，测得两个变量v 与m 的对应数据如下表，则v 与m 之间的关系最接近下列函数中的是（）A.v ＝m 2－2 B.v ＝－6m C.v ＝－3m －1 D.v ＝－m解答：将m 的值代入各选项的函数关系式中，看v 的值是否与表中数据相近，若相近，则为正确的解析式，如把m ＝1代入各式：A.v ＝－1；B.v ＝－6；C.v ＝－4；D.v ＝－6.再把m ＝2代入各式：A.v ＝2；B.v ＝－12；C.v ＝－7；D.v ＝－3.由此可发现D 选项的值与表中数据相近，故D 选项符合题意，故选：D. 二、细心填一填11. 3； 12. m ≠1，4； 13. y ＝6x； 14. 2； 15. y ＝20x ； 16. S ＝6h.11.若函数y ＝(m +3)28m x -是反比例函数，则m ＝_______________. 解答：∵函数y ＝(m +3)28m x -是反比例函数， ∴8－m 2＝－1，且m +3≠0， ∴m ＝3，故答案为：3. 12.若函数y ＝1m x-是反比例函数，则m 的取值范围是_______；当m ＝______时，y 是x 的反比例函数，且比例系数为3. 解答：∵函数y ＝1m x-是反比例函数， ∴m －1≠0，则m ≠1，由m －1＝3得：m ＝4，故答案为：m ≠1，4.13.若函数y ＝－kx +2k +2与y ＝kx（k ≠0）的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____.【解答】把方程组22y kx kkyx=-++⎧⎪⎨=⎪⎩消去y得：－kx+2k+2＝kx，整理得：kx2－(2k+2)x+k＝0，由题意得：△＝(2k+2)2－4k2＞0，解得：k＞－12，∴当k＞－12时，函数y＝－kx+2k+2与y＝kx（k≠0）的图象有两个不同的交点，故答案为：k＞－12且k≠0.14.如图，直线y＝－x+b与双曲线y＝－1x（x＜0）交于点A，与x轴交于点B，则OA2－OB2＝__________.【解答】∵直线y＝﹣x+b与双曲线y＝﹣1x（x＜0）交于点A，设A的坐标（x，y），∴x+y＝b，xy＝﹣1，而直线y＝﹣x+b与x轴交于B点，∴OB＝b，∴又OA2＝x2+y2，OB2＝b2，∴OA2﹣OB2＝x2+y2﹣b2＝(x+y)2﹣2xy﹣b2＝b2+2﹣b2＝2．故答案为：2．15.一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系表示人数x与完成任务所需时间y之间的函数关系为_______________________.解答：由题意得：人数x与完成任务所需时间y之间的函数关系为y＝30015x＝20x，故答案为：y＝20x.16.把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方形铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为________________________. 解答：由题意得：Sh＝3×2×1，则S＝6h，故答案为：S＝6h.三、解答题17.某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600件的任务，计划用t 天完成.（1）写出每天生产夏凉小衫w （件）与生产时间t （天）（t ＞4）之间的函数关系式；（2）由于气温提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？解答：（1）每天生产夏凉小衫w （件）与生产时间t （天）（t ＞4）之间的函数关系式为：w ＝1600t（t ＞4），（2）由题意，得：16004t -－1600t ＝16001600(4)(4)t t t t ---＝264004t t -，答：每天要多做264004t t-（t ＞4）件夏凉小衫才能完成任务.18.某开发公司计划生产一批产品，需要加工后才能投放市场，已知甲厂每天可加工60件，8天便可完成任务.（1）这批产品的数量是________件；（2）若这批产品由乙厂加工，请写出乙厂每天加工件数M （件）与所需天数t （天）之间的函数表达式；（3）如果要求乙厂在5天内将所有产品加工完，那么乙厂每天至少加工多少件？解答：（1）60×8＝480（件），故答案为：480；（2）乙厂每天加工件数M （件）与所需天数t （天）之间的函数表达式为y ＝480t（t ＞0），（3）把t ＝5代入上式得M ＝96，故如果要求乙厂在5天内将所有产品加工完，那么乙厂每天至少加工96件.19.已知y ＝y 1+y 2，y 1与x 2成正比例关系，y 2与x 成反比例关系，且当x ＝1时，y ＝3；当x ＝－1时，y ＝1.（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当x ＝－12时，求y 的值. 解答：∵y ＝y 1+y 2，y 1与x 2成正比例关系，y 2与x 成反比例关系， ∴可设y 1＝k 1x 2，y 2＝2k x，把x ＝1时，y ＝3和x ＝－1时，y ＝1代入得：121231k k k k +=⎧⎨-=⎩，解得：1221k k =⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝2x 2+1x，（2）当x ＝－12时， y ＝2×(－12)2+(－2)＝－32. 20.反比例函数y ＝kx（k ≠0，x ＞0）的图象与直线y ＝3x 相交于点C ，过直线上点A （1，3）作AB ⊥x 轴于点B ，交反比例函数图于点D ，且AB ＝3BD . （1）求k 的值；（2）求点C 的坐标；（3）在y 轴上确定一点M ，使点M 到C 、D 两点距离之和d ＝MC +MD 最小，求点M 的坐标. 【解答】（1）∵A （1，3）， ∴AB ＝3，OB ＝1， ∵AB ＝3BD ， ∴BD ＝1， ∴D （1，1），将D （1，1）代入反比例函数解析式得：k ＝1；（2）由（1）知，k ＝1， ∴反比例函数的解析式为：y ＝1x，由31y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得：333x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或333x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∵x ＞0，∴C （33，3），（3）如图，作C 关于y 轴的对称点C ′,连接C ′D 交y 轴于M ，则d ＝MC +MD 最小， ∴C ′（－33，3），设直线C ′D 的解析式为y ＝kx +b ，∴3331k b k b ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，解得：323232k b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， ∴y ＝(3－23)x +23－2，当x ＝0时，y ＝23－2， ∴M （0，23－2）.21.某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x （小时）之间的函数关系如图所示（当4≤x ≤10时，y 与x 成反比例）.（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系；（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？【解答】（1）当0≤x ＜4时，设直线解析式为：y ＝kx ，将（4，8）代入得：8＝4k ，解得：k ＝2，故直线解析式为：y ＝2x ，当4≤x ≤10时，设直反比例函数解析式为：y ＝k x，将（4，8）代入得：8＝4k ，解得：k ＝32，故反比例函数解析式为：y ＝32x；因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y ＝2x （0≤x ＜4），下降阶段的函数关系式为y ＝32x（4≤x ≤10）．（2）当y ＝4，则4＝2x ，解得：x ＝2，当y ＝4，则4＝32x，解得：x ＝8， ∵8﹣2＝6（小时），∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．22.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在营运过程中发现此商品的日销价为x （元）与销售量y（张）之间有如下关系：（1）猜测并确定y与x的函数关系式；（2）当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？（3）设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，并求出最大利润.解答：（1）由表中数据可以发现x与y的乘积是一个定值，所以可知y与x成反比例，设y＝kx，把（3，20）代入得：k＝60，∴y与x的函数关系式为y＝60x；（2）当x＝10时，y＝6，所以日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；（3）∵W＝(x－2)y＝60－120x，又∵x≤10，∴当x＝10时，W最大＝60－12010＝48，故日销售单价为10元时，每天获得的利润最大，最大利润为48元.23.在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的2倍的点称之为“理想点”，例如点（－2，－4），（1，2），（3，6）…都是“理想点”，显然这样的“理想点”有无数多个.（1）若点M（2，a）是反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式；（2）函数y＝3mx－1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由.解答：∵点M（2，a）是反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）图象上的“理想点”，∴a＝4，∵点M（2，4）在反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）图象上∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝8x；（2）假设函数y＝3mx－1（m为常数，m≠0）的图象上存在“理想点”（x，2x）, 则有3mx－1＝2x，整理得：（3m－2）x＝1，当3m－2≠0，即m≠23时，函数图象上存在“理想点”，为（132m-，232m-），当3m－2＝0，即m＝23时，x无解，综合上述，当m≠23时，函数图象上存在“理想点”，为（132m-，232m-），当m＝23时，函数图象上不存在“理想点”.。

22.2 降次-解一元二次方程-配方法,公式法,因式分解法

2
2 3 2 3 y1 1 , y2 1 . 3 3
(1)3 x 2 x 5 0；
2
(2)2 y y 6 0；
2
(3)3 x 6 x 1.
2
1.熟悉配方法解方程的步骤 2.体会转化的数学思想.
解下列方程：
(1)t 2t 48；
2
(2)2 x 4 x 5 0.
x 3 5, x1 3 5 , x2 3 5.
解： x 2 5 x 6,
(2)
5 5 x 5x 6 , 2 2
2
2
2
x 5x 6 0.
2
5 25 x 6 , 2 4 5 49 x , 2 4 5 7 5 7 x1 , x2 , 2 2 2 2 x1 1, x2 6.
课时总结
(1)、可直接开方解形如 x p ( p 0) 的方程，那么 x p 达到降次的目的；
2
(2)、可直接开方解形如 ( mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目的；
2
一元二次方程配方的一般步骤：化简：把方程化简为一般形式，把二次项系数化为1 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方开方：根据平方根意义,方程两边开平方求解：解一元二次方程定解：写出原方程的解
2
(2) 可直接开方解形如 (mx n) p ( p 0) 的方程，那么 mx n p 达到降次的目的；
2
问题2 要使一块矩形场地的长比宽多6m , 并且面积为16 m2 ，场地的长和宽应各是多少？
解：设场地的宽为 x m ，长为( x 6) m .根据 2 矩形面积为16 m ，列方程

九年级数学上第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法4一元二次方程根的判别式课华东师大

解：(1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)2x2－x＋1＝0； ∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0， ∴方程没有实数根．
(3)4x－x2＝x2＋2; 方程整理为x2－2x＋1＝0，∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴方程有两个相等的实数根．
(4)3x－1＝2x2.
方程整理为2x2－3x＋1＝0，∵Δ＝(－3)2－4×2×1＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．
9．【中考·陇南】关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是( C )
A．k≤－4 B．k＜－4 C．k≤4 D．k＜4
10．【2020·攀枝花】若关于x的方程x2－x－m＝0没有实数
1．已知关于x的方程x2＋mx－1＝0的根的判别式的值为5，则m的值为( D )
A．±3 B．3 C．1 D．±1
2．【2021·长春师大附中新城校区期末】一元二次方程x2 －x－3＝0根的判别式的值是___1_3____．
3．已知关于x的一元二次方程mx2－(3m－1)x＝1－2m，其根的判别式的值为4，求m的值．
第22章一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
4．一元二次方程根的判别式
提示：点击进入习题
新知笔记 1 b2－4ac；一般形式 2 (1)> (2)＝ (3)<
1D 2 13 3 见习题
4C
5A
答案显示
6B 7C 8 见习题 9C 10 A
11 1
16 B
答案显示
12 见习题 17 4
13 D
(2)若a、b、c为△ABC的三边长，方程有两个相等的实数根，求证：△ABC为等边三角形． ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝8[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0. ∵a、b、c为三角形的三边长， ∴a＝b≠0，b＝c≠0，a＝c≠0， ∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形．

华师版数学九年级上册-22.2一元二次方程的解法

2.像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.
注意：配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.
华师版数学九年级上册
第22章一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
第 3 课时公式法
回顾与思考
“配方法”解方程的基本步骤： 1. 化1：把二次项系数化为 1； 2. 移项：把常数项移到方程的右边； 3. 配方：方程两边同加一次项系数一半的平方； 4. 变形：化成 (x + m)2 = a(a≥0)； 5. 开平方，求解.
解：将原方程化为一般形式，得
运用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程化为一般形式，确定 a、b、c 的值；
（2）求出 b2 4ac的值；
（3）若
，把 a、b、c 及 b2 4ac的值
代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；
若
，此时方程无实数解.
练一练
1.
用公式法解下列一元二次方程：23
用配方法解一元二次方程 x2－4x＋1＝0 变形为 (x－2)2 = 3
变形
这种方程
为
怎样解？
•• • • 2 a 的形式．（a 为非负常数）
像这种通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
(1) x2＋8x＋ 16 =(x＋4)2
(2) x2－4x＋ 4 =(x－2 )2
(3) x2－_6__x＋ 9 =(x－ 3 )2
配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方
典例精析例用配方法解下列方程: (1) x2 - 4x - 1 = 0； (2) 2x2 - 3x - 1 = 0.

九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法和因式分解法作业

解：∵方程x(x－7)－10(x－7)＝0，∴x1＝7，x2＝10，当x＝10时，3＋7＝10, 所以x2＝10不符合题意，舍去， ∴x＝7，∴这个三角形的周长为3＋7＋7＝17
15．(复习题 18 变式)已知 9a2－4b2＝0，求代数式ba －ba －a2＋abb2 的值．
解：由题意得(3a＋2b)(3a－2b)＝0，∴ba ＝－32 或ba ＝32 ， ∵原式＝－2ab ，当ba ＝－32 时，原式＝3，∴当ba ＝32 时，原式＝－3
8．(凉山州中考)若关于 x 的方程 x2＋2x－3＝0 与x＋2 3 ＝x－1 a
有一个解相同，则 a 的值为( C )
A．1
B．1 或－3
C．－1 D．－1 或 3
9．(2019·内江)一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是( A) A．16 B．12 C．14 D．12或16 10．小华在解一元二次方程2x(x－5)＝6(x－5)时，只得出一个根是x＝3，则被他漏掉的一个根是x＝____5．
6．利用因式分解法解方程： (1)(巴中中考)3x(x－2)＝x－2；
解：x1＝2，x2＝13
(2)(x－3)2＋4x(x－3)＝0. 解：x1＝3，x2＝35
7．若实数 x，y 满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0，则 x2＋y2 的值为( －1 D．－2 或－1
11．已知方程(x－2)2＝1的根也是方程x2－2mx＋1＝0的根，则m＝_____53__或__1__．
12．(2019·十堰)对于实数a，b，定义运算“◎”如下： a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝___－__3_或__4_．

22.2_一元二次方程的解法(直接开平方法配方法公式法因式分解)--

9.x 12x 27 0;
2
8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9.
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
用配方法解一元二次方程的步骤： 1.把原方程化成 x2+px+q=0的形式。
2.移项整理得 x2+px=-q 3.在方程 x2+px= -q 的两边同加上一次项系数 p的一半的平方。 x2+px+( )2 = -q+( ) 2= )2 -q
1 2
例2：用配方法解下列方程
x 6 x 16 0
2
x 8x 1 0
2
二次项系数为1
2 x 1 3x
2 2
二次项系数不为1
3x 6 x 4 0 可以先将系数化为1
用配方法解一元二次方程的步骤:
移项:把常数项移到方程的右边; 系数化为1：将二次项系数化为1；配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用公式法解一元二次方程的一般
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
步骤：
1、把方程化成一般形式。并写出a，
b，c的值。
例1.用公式法解方程2x2+5x3=0
①
2、求出b2-4ac的值。
解: a=2, b=5,
∴ 3)=49 ∴x =
= =
c= -3,
②
3、代入求根公式 : X=
b2-4ac=52-4×2×(③
对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
还有其它的解法吗？

22.2一元二次方程的解法(公式法)

22．2一元二次方程的解法（公式法）教学目标：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程。

2、会用公式法解一元二次方程。

学情分析：本节是在学生已经掌握了配方法解一元二次方程的基础上,从问题入手,推导求根公式,并能用公式法解简单系数的一元二次方程。

教学重难点：重点：本节教学的重点是用公式法解一元二次方程。

难点：一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力，是本节教学的难点。

教学过程：一、复习引入请你用配方法解下列一元二次方程： 08922=+-x x学生先独立完成，由一名学生板演，师生共同评价。

师：对于任意的一个一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）是不是有一种万能的方法，都能求出一元二次方程的解呢？下面我们一起研究02=++c bx ax 的特点。

引出课题：用公式求一元二次方程的解二、授新课 1、探究活动怎样用配方法解用一般形式表示的一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）。

请完成下面的填空：1）化1:把二次项系数化为1： 2）移项:把常数项移到方程的右边：3）配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方： 4）变形:方程左分解因式,右边合并同类：5）开方:根据平方根意义,方程两边开平方： 6）求解:解一元一次方程： 7）定解:写出原方程的解。

想一想：为什么0,042≠≥-a ac b ？如果042<-ac b 一元二次方程有没有实数根？（学生思考后由一名优生回答） 2、给出求根公式一般地,对于一元二次方程 02=++c bx ax （0≠a ）：板书：1）上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。

2）用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solving by formular). 教师强调：用公式法解一元二次方程的前提是：1）必需是一般形式的一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）） .0:2=++ac x a b x 解.2ac x a b x -=+.22222ac a b a b x a b x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++.442222a acb a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,042时当≥-ac b .2422aac b a b x -±=+().04.2422≥--±-=∴ac b aac b b x 它的根是时当,042≥-ac b ().04.2422≥--±-=ac b aac b b x 042≥-ac b3.概括一元二次方程根的情况：当042 ac b -时，方程有两个不相等的实数根；当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根；当042 ac b -时，方程无实数根。