数字信号处理 第二章离散时间信号和离散时间

1 = 0 m=n m≠n
= δ ( m − n)
在物理意义上， 表示序列x(n)的频谱，ω为数字域 的频谱， 为数字域 在物理意义上，X(ejω)表示序列 表示序列 的频谱 频率。 一般为复数， 频率。 X(ejω)一般为复数，可用它的实部和虚部表示为 一般为复数
X (e jω ) = X R (e jω ) + jX I (e jω )
k = n ± n0 n = k m n0
n =−∞
∑
x(n ± n0 )e − jω n
k =−∞
∑
∞
x(k )e − jω ( k m n0 )
= e ± jω n0
± jω0 n
k =−∞
∞ ∞
∑
∞
x(k )e− jω k = e ± jω n0 X (e jω )
± jω0 n − jω n
1 FT [ xe (n)] = [ X (e jω ) + X ∗ (e jω )] = Re[ X (e jω )] = X R (e jω ) 2 1 FT [ xo (n)] = [ X (e jω ) − X ∗ (e jω )] = jIm[ X (e jω )] = jX I (e jω ) 2
3. 时移与频移
设X (e jω ) = FT [ x(n)], 那么 FT [ x(n ± n0 )] = e ± jω n0 X (e jω ) FT [e± jω n0 x(n)] = X (e j (ω mω0 ) )
∞
(2.2.8) (2.2.9)
证: FT [ x(n ± n0 )] = → =
xoi (n) = xoi (−n)
可见共轭反对称序列实部为奇函数，虚部为偶函数。 可见共轭反对称序列实部为奇函数，虚部为偶函数。 xor(n) 例子
实部为奇 对称序列
xoi(n)
虚部为偶 对称序列
0
n
0
n
(3)序列的傅里叶变换的对称性 序列的傅里叶变换的对称性 任何序列x(n)均可表示成一个共轭对称序列 e(n)和共轭反对称 均可表示成一个共轭对称序列x 任何序列 均可表示成一个共轭对称序列 和共轭反对称 序列x 之和， 序列 o(n)之和，即 x( n) = xe ( n) + xo ( n) (2.2.16) 之和 其中
∗ − jω X o (e ) = j ∑ xi (n)e n =−∞
∞
jω n ∗
− jω n ∞ = − j ∑ xi (n)e = − X o (e jω ) n =−∞
结论：序列虚部和 一起对应的 一起对应的FT具有共轭反对称性 结论：序列虚部和j一起对应的 具有共轭反对称性
2.2 序列的傅立叶变换的定义及性质
2. 2. 1 序列傅里叶变换的定义 定义 X (e ) =
jω n =−∞
∑ x(n)e
∞
− jω n
(2.2.1) 为序列x(n)的傅立叶变换。 为序列 的傅立叶变换。 的傅立叶变换
(2.2.1)式成立充分条件为：
n =−∞
∑
∞
x(n) <∞
(2.2.2)
X(ejω)的傅里叶反变换为 的傅里叶反变换为 1 π x ( n) = X (e jω )e jωn d ω 2π ∫−π
xe (n) = [ x(n) + x* (−n)] 2 xo (n) = [ x(n) − x* (−n)] 2
对(2.2.16)进行傅氏变换得 X (e jω ) = X e (e jω ) + X o (e jω ) 进行傅氏变换得
2.2.20
式2.2.20说明序列的傅里叶变换 jω)可以被分解成共轭对称与 说明序列的傅里叶变换X(e 可以被分解成共轭对称与 说明序列的傅里叶变换 共轭反对称两部分之和，它们满足： 共轭反对称两部分之和，它们满足：
2 其模的平方 H (e ) = H R (e jω ) + H I2 (e jω )是偶函数
相位函数 arg[ H (e jω )] = arg tan[ H I (e jω ) H R (e jω )]是奇函数。
将实序列h(n)分成共轭对称和反共轭对称两部分 分成共轭对称和反共轭对称两部分 将实序列
X e (e jω ) = X e∗ (e − jω ),
其中
(2.2.21)
∗ X o (e jω ) = − X o (e − jω ), (2.2.22)
(a)将序列分成实部和虚部 将序列分成实部和虚部
x(n) = xr (n) + jxi (n), 令傅立叶变换后为：X (e jω ) = X e (e jω ) + X o (e jω ) X e (e jω ) = FT [ xr (n)] = ∗ − jω X e (e ) = ∑ xr (n)e n =−∞
h(n) = he ( n) + ho (n) 1 he (n) = [h(n) + h( −n)] 2 1 ho (n) = [ h(n) − h(−n)] 2 奇序列为： 奇序列为：
n=0 0, ho (n) = h(n) 2, n > 0 (2.2.28) −h(n) 2, n < 0
所以
X (e jω ) = X R (e jω ) + jX I (e jω )
(2.2.26)
上式表明序列共轭对称部分xe (n)对应着FT的实部X R (e jω ) 而序列反共轭对称部分xo (n)对应着FT的虚部
讨论h(n)为实序列的情况 为实序列的情况 讨论 实序列的FT只有共轭对称部分，共轭反对称部分为零，即 实序列的 只有共轭对称部分，共轭反对称部分为零， 只有共轭对称部分
π
jω jω n
(2.2.4)
π
∞
推导如下： ∞ X (e )e d ω = ∫ [ ∑ x(mπe − jω m ]e jωn d ω ∫−π x(m) π e− j ( m−n)ω dπω m⇐ 1 ) e− j ( m−n) x dx = δ (m − n) − =−∞ = ∑ ∫−π 2π ∫−π n =−∞
第二章 离散时间信号和系 统的频率分析
刘海华
一、本章主要讨论内容
♦ 序列付里叶变换的定义与性质 ♦ 周期序列付里叶变换的表达 ♦ 序列的Z变换 ♦ Z变换与系统的关系
2.1 引言 一.离散信号的频域分析
1.序列傅立叶变换是分析序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用。
−j
ω ( N −1)
2
sin(ω N / 2) (2.2.5) sin(ω / 2)
X (e jω )
n
0 π -π 0
π/2 π
arg[ X (e )]
jω
2π
ω
即：X (e jω ) =
sin(ω N / 2) sin(ω / 2)
ω
N −1 jω arg[ X (e )] = − ω 2
2.2.2 序列傅里叶变换的性质 1. FT的周期性 的周期性
H (e jω ) = H e (e jω ), 所以 H (e jω ) = H ∗ (e − jω )
因此实序列的傅立叶变换的实部是ω的偶函数，而虚部是 因此实序列的傅立叶变换的实部是 的偶函数，而虚部是ω 的偶函数 的奇函数
H R (e jω ) = H R (e − jω ),
jω 2
H I (e jω ) = − H I (e − jω )
X (e ) =
jω n =−∞
∑ x(n)e
∞
− jω n
＝
n =−∞
∑ x(n)e
∞
− j ( ω + 2π M )
=X (e j (ω + 2π M ) ),M为整数
(2.2.6)
因此序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是 。 因此序列的傅立叶变换是频率 的周期函数，周期是2π。 的周期函数 在ω ＝0处代表其直流分量的成分，由于频谱被周期延拓， 处代表其直流分量的成分， 处代表其直流分量的成分 由于频谱被周期延拓， 等处也代表x(n)的直流分量。 的直流分量。 故在 等处也代表 的直流分量 ω = ±2π , ±4π L
或用幅度和相位表示为
X (e jω ) = X (ω )e jϕ (ω )，式中 X (ω ) = X (e jω ) ,
ϕ (ω ) = arg[ X (e jω )]
离散的 非周期的 时域信号
周期的 连续的 频域信号
例2.2.1设 x(n) = RN (n), 求x(n)的傅立叶变换。 设
解：X (e ) =
由于FT的周期性，我们一般只分析－π ≤ ω ≤ π 或0 ≤ ω ≤ 2π 之间的FT
2. 线性
设X 1 (e jω ) = FT [ x1 (n)]; X 2 (e jω ) = FT [ x2 (n)]; 那么 FT [ax1 (n) + bx2 (n)] = aFT [ x1 (n)] + bFT [ x2 (n)] = aX 1 (e jω ) + bX 2 (e jω ) （2.2.7）
将序列分成共轭对称和反共轭对称两部分
x(n) = xe ( n) + xo (n)
(2.2.25), 即： (2.2.18) (2.2.19)
xe (n) = [ x(n) + x* (−n)] 2 xe (n) = [ x(n) − x* (− n)] 2
对上三式进行傅立叶变换
X (e jω ) = X e (e jω ) + X o (e jω )
可见共轭对称序列实部为偶函数，虚部为奇函数。 可见共轭对称序列实部为偶函数，虚部为奇函数。 xei(n) xer(n) 例子