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(完整word版)初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =--3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =--B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。

二次函数经典测试题附答案

二次函数经典测试题附答案二次函数经典测试题附答案一、选择题1.小明从如图所示的二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像中，观察得出了下面五条信息：①$c0$，③$a-b+c>0$，④$b^2>4ac$，⑤$2a=-2b$，其中正确结论是（）．A。

①②④B。

②③④C。

③④⑤D。

①③⑤解析】本题考查了二次函数图像与系数关系，观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。

由抛物线的开口方向判断 $a$ 的符号，由抛物线与 $y$ 轴的交点判断 $c$ 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 $x$ 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断。

详解】①由抛物线交 $y$ 轴于负半轴，则 $c0$；由对称轴在 $y$ 轴右侧，对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，又 $a>0$，故$b0$，故②错误；③结合图像得出 $x=-1$ 时，对应 $y$ 的值在 $x$ 轴上方，故 $y>0$，即 $a-b+c>0$，故③正确；④由抛物线与 $x$ 轴有两个交点可以推出 $b^2-4ac>0$，故④正确；⑤由图像可知：对称轴为 $x=-\frac{b}{2a}$，则 $2a=-2b$，故⑤正确；故正确的有：③④⑤。

故选：C。

点睛】本题考查了二次函数图像与系数关系，观察图像判断图像开口方向、对称轴所在位置、与 $x$ 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件。

2.二次函数 $y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）图像如图所示，下列结论：①$abc>0$；②$2a+b^2=2$；③当 $m\neq1$ 时，$a+b>am^2+bm$；④$a-b+c>0$；⑤若$ax_1+bx_1=ax_2+bx_2$，且 $x_1\neq x_2$，则 $x_1+x_2=2$。

其中正确的有（）A。

①②③B。

②④C。

②⑤D。

高考数学学业水平测试复习专题三第11讲二次函数与幂函数pptx课件

1．求二次函数的解析式 (1)二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为
－1，则它的解析式是________________． (2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________．
解析：(1)依题意可设 f(x)＝a(x－2)2－1，又其图象过点(0，1)，所以 4a－1＝1，所以 a＝12. 所以 f(x)＝12(x－2)2－1.
解：(1)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则ff（（－3）1）＝＝ 9aa＋－3bb＋＋cc＝＝33，，
f（1）＝a＋b＋c＝－1，解得 a＝1，b＝－2，c＝0. 所以 f(x)＝x2－2x.
(2)根据题意： a－1≤1≤a＋1，（a＋1）－1≥1－（a－1），解得 1≤a≤2，所以 a 的取值范围为[1，2]．
1．幂函数f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，
＋∞)上是减函数，则a等于( )
A．3
B．4
C．5
D．6
C 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
f(x)＝x(a－5)2－2(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减
函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4，5，6，
因为 0＜x＜1，
当 x＝12时，函数取得最大值34.
故选 C.
5 ．已知函数 y ＝ 2x2 － 6x ＋ 3 ， x∈( － 1 ， 1) ，则 y 的最小值是 ______．
解析：函数 y＝2x2－6x＋3 的图象的对称轴为 x＝32>1，所以函数 y＝2x2－6x＋3 在(－1，1)上单调递减，所以 ymin＝2－6＋3＝－1.

二次函数单元测试题及答案(用)

二次函数单元测试题及答案(用) 二次函数单元测评时间：60分钟，满分：100分一、选择题（每题3分，共30分）1.下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）() A。

y = 2x + 3B。

y = x^3 + x^2 + xC。

y = x^2 - x + 1D。

y = √x2.函数y = x^2 - 2x + 3的图象的顶点坐标是()A。

(1，-4)B。

(-1，2)C。

(1，2)D。

(0，3)3.抛物线y = 2(x - 3)^2的顶点在()A。

第一象限B。

第二象限C。

x轴上D。

y轴上4.抛物线的对称轴是()A。

x = -2B。

x = 2C。

x = -4D。

x = 45.已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A。

ab。

0，c。

0B。

ab。

0，c < 0C。

ab。

0D。

ab < 0，c < 06.二次函数y = ax^2 + bx + c的图象如图所示，则点在第___象限()A。

一B。

二C。

三D。

四7.如图所示，已知二次函数y = ax^2 + bx + c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m。

4，那么AB的长是()A。

4 + mB。

mC。

2m - 8D。

8 - 2m8.若一次函数y = ax + b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y = ax^2 + bx的图象只可能是()9.已知抛物线的顶点为V(1，-2)，过点V的切线方程为y = 2x - 4，则这条抛物线的解析式为()10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()二、填空题（每题4分，共32分）11.二次函数y = x^2 - 2x + 1的对称轴方程是______________.12.若将二次函数y = x^2 - 2x + 3配方为y = (x - h)^2 + k的形式，则y = ________.13.若抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.14.抛物线y = x^2 + bx + c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.考点：二次函数图象性质.选B.4.考点：二次函数图象性质和解析式的求法.选D.5.考点：二次函数图象性质和解析式的求法.选B.6.考点：二次函数图象性质和解析式的求法.选D.7.考点：二次函数图象性质和解析式的求法.选C.8.考点：二次函数图象性质和解析式的求法.选A.9.考点：二次函数图象性质和解析式的求法.选B.10.考点：二次函数图象性质和解析式的求法.选D.二、填空题11.解析：根据题意，将二次函数y=ax2+bx+c带入已知条件，得到3个方程组成的线性方程组，解得a=1，b=-2，c=3，所以答案为1.12.解析：根据题意，将二次函数y=ax2+bx+c带入已知条件，得到3个方程组成的线性方程组，解得a=-1/2，b=5/2，c=1，所以答案为-1/2.13.解析：将y=x2-4x+4转化为顶点式，即y=(x-2)2，所以顶点坐标为(2，0)，答案为2.14.解析：将y=2x2-8x+7转化为顶点式，即y=2(x-2)2+3，所以顶点坐标为(2，3)，答案为2.三、解答题19.1)解析：根据对称性质，点A关于对称轴对称的点A′的坐标为A′(0，4).2)解析：根据已知条件，对称轴方程为x=2，所以顶点坐标为(2，k)，代入已知点A或B，得到k=-4，所以二次函数解析式为y=(x-2)2-4.20.1)解析：根据已知条件，解得x14，x21，代入已知条件(x11)(x21)=-8，得到k=-3，所以二次函数解析式为y=x2-8x-7.2)解析：将二次函数沿x轴向右平移2个单位，即将解析式中的x替换为x-2，得到y=(x-2)2-8(x-2)-7，交y轴得到C(0,-11)，顶点为P(2,-15)，所以△POC的面积为48.21.1)解析：根据已知条件，得到二次函数过点(1，8)，所以解析式为y=a(x-1)2+8，代入已知点A(-1,0)，得到a=5/4，所以二次函数解析式为y=5/4(x-1)2+8.2)解析：根据已知条件，点M为顶点，所以x坐标为1，代入二次函数解析式，得到y=37/4，所以点M的坐标为(1,37/4)；点C的坐标为(0,5)，所以CB的斜率为-5/4，所以BC的斜率为4/5，所以△MCB的面积为5/4.22.解析：设销售单价为x元，销售量为y件，则根据已知条件，得到y=-100x+1500，所以销售收益为xy=-100x2+1500x，求导得到其最大值的x为7.5，所以销售单价为7.5元时，可以获利最大。

初三数学二次函数测试题及答案

初三数学二次函数测试题及答案初三数学二次函数测试附详细答案一、选择题：（共24分）1.(B)2.(A)3.(D)4.(D)5.(D)6.(B)7.(C)8.(B)二、填空题：（共50分）9.1）开口向上，对称轴是直线x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）；2）与x轴的交点为（﹣3，0），与y轴的交点为（0，3）。

10.a=﹣1，b=4，c=3.11.向左平移1个单位得到。

12.y=﹣2(x+2)2﹣5.13.给定点A（1，3）、点B（-2，-6）和对称轴为y轴，求抛物线的解析式。

14.给定抛物线y=-2x^2+4x+1，求其在x轴上的截距长度。

15.给定抛物线y=x^2+(m-2)x+(m^2-4)的顶点在原点，求m的值。

16.给定抛物线y=-x^2-2x+m的顶点在x轴上方，求m的值。

17.给定二次函数y=(m-1)x^2+2mx+3m-2，求当m等于多少时，函数取得最大值。

18.给定二次函数y=ax^2+bx+c，使得函数值永远为负数的条件是a0.19.如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图像与两坐标轴分别交于A（-1,0）、点B（3,0）和点C（0,-3），一次函数的图像与抛物线交于B、C两点。

1）求二次函数的解析式；2）当自变量x增大时，两函数的函数值都随之增大；3）当自变量x取何值时，一次函数值大于二次函数值；4）当自变量x取何值时，两函数的函数值的积最小。

20.给定抛物线y=ax^2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，求点M（a，c）在第几象限。

21.给定抛物线y=x^2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，求b的值。

22.某商人将进货价为8元的商品按每件x元出售，每天可销售100件，每涨价1元其销售量就减少10件。

问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大，并求出最大利润。

23.在三角形ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6.在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，使DE在AB上。

微专题11 二次函数根的分布问题(原卷版)

微专题11 二次函数根的分布问题【方法技巧与总结】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系（1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题一般情况下需要从以下4个方面考虑：（1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示．根的分布图像限定条件12m x x <<2()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩ 12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩ 在区间(,)m n 内没有实根0∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩ Onm yxOnmyxOnm yxOnm yxOnm yx在区间(,)m n内有且只有一个实根()0()0f mf n>⎧⎨<⎩()0()0f mf n<⎧⎨>⎩在区间(,)m n内有两个不等实根2()0()0bm naf mf n∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩【题型归纳目录】题型一：正负根问题题型二：根在区间的分布问题题型三：整数根问题题型四：范围问题【典型例题】题型一：正负根问题例1．（2022·河南·郑州市回民高级中学高一阶段练习）已知m为实数，命题甲：关于x的不等式240mx mx+-<的解集为R；命题乙：关于x的方程22200x mx m-++=有两个不相等的负实数根．若甲、乙至少有一个为真命题，求实数m的取值范围为_______．例2．（2022·全国·高一单元测试）关于x的方程2210ax x++=的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件为____________.OnmyxOnmyxOnmyx例3．（2022·甘肃·兰化一中高一阶段练习）若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围为___________.例4．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的二次方程2(21)210m x mx m +-+-=有一正数根和一负数根，则实数m 的取值范围是_____．例5．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b 的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围.例6．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高一阶段练习）已知1x ､2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．(1)若1x ､2x 均为正根，求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不能存在，请说明理由．题型二：根在区间的分布问题例7．（2022·全国·高一专题练习）已知一元二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a 的取值范围为________．例8．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=． (1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？例9．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的一元二次方程2220x ax a -++=，当a 为何值时，该方程：有不同的两根且两根在(1,3)内．例10．（2022·江苏·高一专题练习）已知二次函数()2221R y x tx t t =-+-∈.(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式22210x tx t -+-≥；(2)若关于x 的方程22210x tx t -+-=的两个实根均大于2-且小于4，求实数t 的取值范围．例11．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221?260.x m x m +-++= (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<； (3)至少有一个正根.例12．（2022·上海市七宝中学高一阶段练习）方程()2271320x a x a a -++--=的一个根在区间()0,1上，另一个根在区间()1,2上，则实数a 的取值范围为___________.例13．（2022·全国·高一专题练习）关于x 的方程()2140x a x --+=在区间[]1,3内有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_____．例14．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的取值范围是_____．例15．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程220ax x ++=的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是_____．例16．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．例17．（2022·上海·高一专题练习）方程2240x ax -+=的两根均大于1，则实数a 的取值范围是_______例18．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（） A ．2275a -< C ．27a <-D ．2011a -<<例19．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（） A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦题型三：整数根问题例20．（2022·上海市实验学校高一开学考试）已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.例21．（2022·上海·高三专题练习）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13 B ．18 C ．21 D ．26例22．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．9例23．（2022·全国·高一专题练习）若方程()22460x kx x --+=有两个不相等的实根，则k 可取的最大整数值是______.题型四：范围问题例24．（2022·上海·高一专题练习）已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则()()2211a b --的最小值是___________.例25．（2022·吉林省实验中学高一阶段练习）设方程240x mx m -+=的两实根分别为12,x x . (1)当1m =时，求1211+x x 的值；(2)若120,0x x >>，求实数m 的取值范围及124x x +的最小值.例26．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数()22f x x bx c =++（b ，c 为实数），()()1012f f -=.若方程()0f x =有两个正实数根1x ，2x ，则1211+x x 的最小值是（） A ．4 B ．2C ．1D ．12例27．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（） A ．-2 B ．23C ．89D ．1例28．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知实数a b <，关于x 的不等式()210x a b x ab -+++<的解集为()12,x x ，则实数a 、b 、1x 、2x 从小到大的排列是( ) A ．12a x x b <<< B ．12x a b x <<< C ．12a x b x <<< D ．12x a x b <<<例29．（2022·福建厦门·高一期末）已知函数()()11f x x x a =-⋅--，a R ∈． (1)若0a =，解不等式()1f x <；(2)若函数()f x 恰有三个零点1x ，2x ，3x ，求123111x x x ++的取值范围．【过关测试】一、单选题 1．（2022·江苏·高一专题练习）已知p ：a m <（其中R a ∈，m ∈Z ），q ：关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有一正一负两个根.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的最大值为（） A ．1B ．0C ．1-D ．22．（2022·江苏·高一专题练习）已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（） A ．(5,4)(4,)--+∞ B ．(5,)-+∞ C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞3．（2021·北京·北师大实验中学高一期中）设方程2610x x -+=的两个不等实根分别为12,x x ，则12||x x -=（） A ．3B ．6C ．22D ．424．（2021·江苏·高一课时练习）设a 为实数，若方程220x ax a -+=在区间(1,1)-上有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（）. A ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ B ．(1,0)-C ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,0(1,)3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭5．（2022·全国·高一课时练习）一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正实数根和一个负实数根的一个充分不必要条件是( ) A ．0a C ．1a <-D ．2a <6．（2021·四川·树德中学高一阶段练习）设集合{}2320A x x x =-+<，集合{}2210B x ax x =--=，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（） A ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．5,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(1,)+∞7．（2022·全国·高一课时练习）要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则实数a 的取值范围是（） A ．{}12a a -<8．（2021·甘肃·天水市第一中学高一阶段练习）已知一元二次方程2(1)10()x m x m Z +++=∈有两个实数根1x ，2x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．4-B ．5-C ．6-D ．7-二、多选题9．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知不等式20(0)x ax b a ++>>的解集是{}|x x d ≠，则下列四个结论中正确的是（）. A ．24a b =B ．若不等式2+x ax b c +<的解集为(3,1)-，则7a b c ++=C ．若不等式20x ax b +-<的解集为12(,)x x ，则120x x >D ．若不等式2x ax b c 的解集为12(,)x x ，且12||4x x -=，则4c =10．（2021·江苏·海安高级中学高一阶段练习）一元二次方程240x x m -+=有正数根的充分不必要条件是（） A ．4m =B ．5m =C ．1m =D ．12=-m11．（2022·湖南湖南·高一期末）若方程220x x λ++=在区间()1,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（） A ．3-B ．18C ．14D ．112．（2021·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（） A ．方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈ D ．当m =3时，方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为0 13．（2021·江苏·高一专题练习）已知一元二次方程()()21102x m x m Z +++=∈有两个实数根12,x x ，且12013x x <<<<，则m 的值为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-5三、填空题14．（2022·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）关于x 的方程210x ax ++=的一根大于1，一根小于1，则a 的取值范围是：__________________．15．（2021·北京师大附中高一期中）若关于x 的一元二次方程2240x ax -+=有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a 的取值范围是________．16．（2021·上海·复旦附中高一期中）若关于x 的方程220x kx -+=的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k 的取值范围为______．17．（2020·上海·高一专题练习）已知集合()(){}2|320,A x x x x x R =-+-≤∈，{}2|120,B x x ax x R =--≤∈，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______________．四、解答题18．（2022·全国·高一期中）命题:p 关于x 的方程20x x m ++=有两个相异负根；命题():0,q x ∃∈+∞，2390x mx -+<．(1)若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．19．（2022·湖南·高一课时练习）若一元二次方程2570x x a --=的一个根在区间()1,0-内，另一个根在区间()1,2内，求实数a 的取值范围．20．（2021·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中）已知()()2213f x x a x =+-+．(1)如果方程()0f x =在()0,3有两个根，求实数a 的取值范围； (2)如果[]1,2x ∃∈，()0f x >成立，求实数a 的取值范围．21．（2021·上海市七宝中学高一阶段练习）设二次函数()2f x ax bx c =++，其中R a b c ∈、、.(1)若()21,94b a c a =+=+，且关于x 的不等式()28200-+<x x f x 的解集为R ，求a 的取值范围； (2)若Z a b c ∈、、，且()()01f f 、均为奇数，求证：方程()0f x =无整数根； (3)若21,21,a b k c k ==-=，当方程()0f x =有两个大于1的不等根时求k 的取值范围.。

二次函数单元测试题及答案

二次函数单元测试题一、选择题（本题共计7 小题，每题3 分，共计21分，）1. 下列函数中是二次函数的是（）+x2A.y=ax2+bx+cB.y=3x2+1C.y=2(x+1)2−2x2D.y=1x2. 已知二次函数的图象如右图，则下列结论中，正确的结论有（）①a+b+c>0②a−b+c<0③abc<0④b=2a⑤b>0．A.5个B.4个C.3个D.2个3. 若正方形的边长为6，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A.y=(x+6)2B.y=x2+62C.y=x2+6xD.y=x2+12x4. 已知二次函数y=a(x+1)2−b(a≠0)有最小值1，则a，b的大小关系为（）A.a>bB.a<bC.a=bD.不能确定5. 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(0, 1)和(−1, 0)．下列结论：①ab<0；②b2>4ac；③0<b<1；④当x<−1时，y< 0．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46. 设函数y＝a(x−ℎ)2+k(a，ℎ，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y ＝8，（）A.若ℎ＝4，则a<0B.若ℎ＝5，则a>0C.若ℎ＝6，则a<0D.若ℎ＝7，则a>07. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，现有下列结论：①abc> 0；②b2−4ac<0；③4a−2b+c<0；④b=−2a．则其中结论正确的是（）A.①③B.③④C.②③D.①④二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）8. 抛物线y=x2+x+2上三点(−2, a)、(−1, b)，(3, c)，则a、b、c的大小关系是________．9. 将函数y=−12(x−1)2+5图象向________平移________个单位可得函数y=−12(x+1)2+5的图象．10. 抛物线y=−3x2+8向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是________．11. 已知二次函数y=x2，在−1≤x≤3内，函数的最小值为________.12. 不等式x2+px>4x+p−3对于一切0≤p≤4均成立，则实数x的取值范围是________．13. 已知抛物线y=x2−kx−8经过点P(2, −8)，则k=________，这条抛物线的顶点坐标是________．14. 用配方法将抛物线y=x2+2√3x+1化成y=(x+ℎ)2+k的形式是________．15. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________米．16. 在二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中：①b2−4ac<0；>0；③abc>0；④a−b−c>0，说法正确的是________（填序②−b2a号）．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2−4x+1与y轴交于点A，过点A平行于x轴的直线交抛物线y=x2于点B、C两点，点P在抛物线y=−x2−4x+1上且在x轴的上方，连接PB、PC，则△PBC面积的最大值是________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）18. 已知抛物线y=x2−2x−3．（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴的一个交点为C，画草图，求△ABC的面积．19. 利用二次函数y=12x2+x+2的图象和性质，求方程−12x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值．（结果精确到0.1）20. 已知二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(1, 0)，与y轴的交点坐标为(0, −3)．（1）求出b、c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．21. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53．则他将铅球推出的距离是10m．22. 抛物线y＝−x2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求顶点D的坐标；（2）求直线BC的解析式；（3）求△BCD的面积；（4）当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．23. 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA= 1，OB=3，OC=4.(1)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出使|PM−AM|最大时点M的坐标，并直接写出|PM−AM|的最大值．参考答案一、选择题（本题共计7 小题，每题 3 分，共计21分）1.【答案】B【考点】二次函数的定义【解答】解：A、y=ax2+bx+c，其中a≠0，故本选项错误；B、y=3x2+1，故本选项正确；C、y=2(x+1)2−2x2，整理后不含二次项，故本选项错误；+x2，不是整式，故本选项错误；D、y=1x故选B．2.【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系【解答】解：根据图象，当x=1时，y=a+b+c>0，当x=−1时，y=a−b+c<0，可知①②正确；>0，且抛物线开口向下，a<根据图象与y轴的交点位置可知c>0，根据对称轴x=−b2a0，可知b>0，abc<0，故③⑤正确；=1得b=−2a，可知④错误．根据对称轴x=−b2a正确的是①②③⑤4个，故选B．3.【答案】D【考点】根据实际问题列二次函数关系式【解答】解：原边长为6的正方形面积为：6×6=36，边长增加x后边长变为：x+6，则面积为：(x+6)2，∴ y=(x+6)2−36=x2+12x．故选：D．4.【答案】A【考点】二次函数的最值【解答】解：∴ 二次函数y=a(x+1)2−b(a≠0)有最小值，∴ 抛物线开口方向向上，即a>0；又最小值为1，即−b=1，∴ b=−1，∴ a>b．故选A．5.【答案】D【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系抛物线与x轴的交点【解答】∴ 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)过点(0, 1)和(−1, 0)，∴ c＝1，a−b+c＝0．>0，①∴ 抛物线的对称轴在y轴右侧，∴ x=−b2a∴ a与b异号，∴ ab<0，正确；②∴ 抛物线与x轴有两个不同的交点，∴ b2−4ac>0，∴ b2>4ac，正确；③∴ 抛物线开口向下，∴ a<0，∴ ab<0，∴ b>0．∴ a−b+c＝0，c＝1，∴ a＝b−1，∴ a<0，∴ b−1<0，b<1，∴ 0<b<1，正确；④由图可知，当x<−1时，y<0，正确；综上所述，正确的结论有①②③④．6.【答案】C【考点】二次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征【解答】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：，∴ a(8−ℎ)2−a(1−ℎ)2＝7，整理得：a(9−2ℎ)＝1，若ℎ＝4，则a＝1，故A错误；若ℎ＝5，则a＝−1，故B错误；若ℎ＝6，则a＝-，故C正确；若ℎ＝7，则a＝-，故D错误；7.【答案】B【考点】二次函数图象与系数的关系【解答】解：由抛物线的开口向下，得到a<0，>0，∴ b>0，∴ −b2a由抛物线与y轴交于正半轴，得到c>0，∴ abc<0，选项①错误；又抛物线与x轴有2个交点，∴ b2−4ac>0，选项②错误；∴ x=−2时对应的函数值为负数，∴ 4a−2b+c<0，选项③正确；=1，即b=−2a，选项④正确，∴ 对称轴为直线x=1，∴ −b2a则其中正确的选项有③④．故选B二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分） 8.【答案】c >a >b【考点】二次函数图象上点的坐标特征【解答】解：∴ 二次函数的解析式为y =x 2+x +2=(x +12)2+74， ∴ 抛物线的对称轴为直线x =−12，∴ (−2, a)、(−1, b)，(3, c)，∴ 点(3, c)离直线x =−12最远，(−1, b)离真相x =−12最近，而抛物线开口向上，∴ c >a >b ；故答案为c >a >b ．9.【答案】左,2【考点】二次函数图象与几何变换【解答】解：由“左加右减”的原则将函数y =−12(x −1)2+5的图象向左平移2个单位，所得二次函数的解析式为：y =−12(x +1)2+5；故答案为：左，2．10.【答案】y =−3(x −5)2+8【考点】二次函数图象与几何变换【解答】解：∴ 抛物线y =−3x 2+8顶点坐标为(0, 8)，向右平移5个单位后，顶点坐标为(5, 8)，由顶点式，得平移后抛物线解析式为y =−3(x −5)2+8．故本题答案为：y =−3(x −5)2+8．11.【答案】【考点】二次函数的最值【解答】解：y=x2的对称轴为x=0，且−1≤x≤3，故x=0时，取最小值，最小值为0,故答案为：0.12.【答案】x<−1或x>3．【考点】二次函数与不等式（组）【解答】∴ x2+px>4x+p−3，∴ x2−1>4x−px+p−4，∴ x2−1>(4−p)x+p−4，∴ x2−1>(4−p)(x−1)，当p＝4时，x2−1>0，画出函数y＝x2−1的图象，找出x轴上方所对应的x的取值范围得到x>1或x<−1；当p＝0时，x2−4x+3>0，画出函数y＝x2−4x+3的图象，找出x轴上方所对应的x的取值范围得到x<1或x>3；当0<p<4，①当x>1，不等式变形为x+1>4−p>0，解得x>−1，则x>1；②当x<1，不等式变形为x+1<4−p，则x+1<0，解得x<−1，则x<−1；∴ x>1或x<−1；综上所述，实数x的取值范围为x<−1或x>3．13.【答案】2,(1, −9)【考点】待定系数法求二次函数解析式【解答】解：∴ 抛物线y=x2−kx−8经过点P(2, −8)，∴ 4−2k−8=−8，解得k=2，∴ 此抛物线的解析式为y=x2−2x−8，配方得y=(x−1)2−9，∴ 这条抛物线的顶点坐标是(1, −9)．14.【答案】y=(x+√3)2−2【考点】二次函数的三种形式【解答】解：y=x2+2√3x+1=x2+2√3x+3−3+1=(x+√3)2−2．故化成y=(x+ℎ)2+k的形式是y=(x+√3)2−2．15.【答案】0.5【考点】二次函数的应用【解答】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0, 2.5)，B(2, 2.5)，C(0.5, 1)，设函数解析式为y=ax2+bx+c，把A，B，C三点分别代入得出c=2.5，同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1，解之得a=2，b=−4，c=2.5．∴ y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5．∴ 2>0，∴ 当x=1时，y=0.5米．故答案为：0.5．16.【答案】②③④【考点】二次函数图象与系数的关系【解答】解：由图可知，抛物线与x轴有2个交点，所以b2−4ac>0，故①错误；>0，故②正确；对称轴在y轴右侧，则x=−b2a抛物线开口向上，则a>0，而对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b<0，其与y轴的交点(0, c)位于y轴的负半轴，则c<0，所以abc>0，故③正确；∴ a>0，b<0，c<0，∴ a−b−c>0，故④正确；故答案为：②③④．17.【答案】4【考点】二次函数图象上点的坐标特征抛物线与x轴的交点【解答】当x=0时，y=−x2−4x+1=1，则A(0, 1)，当y=1时，x2=1，解得x1=1，x2=−1，则B(−1, 1)，C(1, 1)，∴ BC=2，设P(x, −x2−4x+1)，P点在BC上方时，△PBC面积有最大值，⋅2⋅(−x2−4x+1−1)=−x2−4x=−(x+2)2+4，∴ S△PBC=12∴ 当x=−2时，△PBC面积的最大值为4．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）18.【答案】解：（1）∴ y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴ 该抛物线开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1, −4)．（2）按点A在点B的左侧画出草图，如图所示．∴ y=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，∴ 点A(−1, 0)，点B(3, 0)，当x=0时，y=−3，∴ 点C(0, −3)，∴ S△ABC=12AB⋅OC=12×[3−(−1)]×|−3|=6．【考点】抛物线与x轴的交点【解答】解：（1）∴ y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴ 该抛物线开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为(1, −4)．（2）按点A在点B的左侧画出草图，如图所示．∴ y=x2−2x−3=(x+1)(x−3)，∴ 点A(−1, 0)，点B(3, 0)，当x=0时，y=−3，∴ 点C(0, −3)，∴ S△ABC=12AB⋅OC=12×[3−(−1)]×|−3|=6．19.【答案】解：方程−12x2+x+2=0根是函数y=12x2+x+2与x轴交点的横坐标．如图所示：二次函数y=12x2+x+2的图象，由图象可知方程有两个根，一个在−2和−1之间，另一个在3和4之间．当x=3.2时，y=0.08；当x=3.3时，y=−0.145；因此，x=3.2是方程的一个近似根，故方程−12x2+x+2=0在3和4之间的根的近似值为x≈3.2．图象法求一元二次方程的近似根【解答】解：方程−12x 2+x +2=0根是函数y =12x 2+x +2与x 轴交点的横坐标．如图所示：二次函数y =12x 2+x +2的图象，由图象可知方程有两个根，一个在−2和−1之间，另一个在3和4之间．当x =3.2时，y =0.08；当x =3.3时，y =−0.145；因此，x =3.2是方程的一个近似根，故方程−12x 2+x +2=0在3和4之间的根的近似值为x ≈3.2． 20.【答案】解：（1）由二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过(1, 0)和(0, −3)两点，得{1+b +c =0c =−3，解这个方程组，得{b =2c =−3； ∴ 抛物线的解析式为y =x 2+2x −3．（2）当x <−3或x >1时，y >0．【考点】待定系数法求二次函数解析式二次函数与不等式（组）【解答】解：（1）由二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过(1, 0)和(0, −3)两点，得{1+b +c =0c =−3，解这个方程组，得{b =2c =−3； ∴ 抛物线的解析式为y =x 2+2x −3．（2）当x <−3或x >1时，y >0．21.【答案】当y ＝0时，−112x 2+23x +53=0，解之得x 1＝10，x 2＝−2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．二次函数的应用【解答】当y ＝0时，−112x 2+23x +53=0，解之得x 1＝10，x 2＝−2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．22.【答案】函数的对称轴为：x ＝1，当x ＝1时，y ＝−1+2+3＝4，故点D(1, 4)；y ＝−x 2+2x +3的顶点为D ，它与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，则点A 、B 、C 的坐标分别为：(−1, 0)、(3, 0)、(0, 3)，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{0=3k +b b =3 ，解得：{k =−1b =3，故直线BC 的表达式为：y ＝−x +3；过点D 作DG // y 轴交BC 于点G ，则点G(1, 2)，△BCD 的面积=12×DG ×OB =12×(4−2)×3＝3；过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P(x, −x 2+2x +3)，点H(x, −x +3)，则S △PBC =12×PH ×OB =32(−x 2+2x +3+x −3)=−32x(x −3)， ∴ −32<0，∴ S △PBC 有最大值，最大值为：278，此时点P(32, 154)．【考点】二次函数综合题【解答】函数的对称轴为：x ＝1，当x ＝1时，y ＝−1+2+3＝4，故点D(1, 4)；y ＝−x 2+2x +3的顶点为D ，它与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，则点A 、B 、C 的坐标分别为：(−1, 0)、(3, 0)、(0, 3)，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{0=3k +b b =3 ，解得：{k =−1b =3，故直线BC 的表达式为：y ＝−x +3；过点D 作DG // y 轴交BC 于点G ，则点G(1, 2)，△BCD 的面积=12×DG ×OB =12×(4−2)×3＝3；过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，设点P(x, −x 2+2x +3)，点H(x, −x +3)，则S △PBC =12×PH ×OB =32(−x 2+2x +3+x −3)=−32x(x −3)， ∴ −32<0， ∴ S △PBC 有最大值，最大值为：278，此时点P(32, 154)． 23.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c .由题意可知，A(1, 0)，B(0, 3)，C(−4, 0)，∴ {a +b +c =0,c =3,16a −4b +c =0,解得：a =−34，b =−94，c =3，∴ 经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y =−34x 2−94x +3.(2)在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，∴ OB =3，OC =4，OA =1，∴ BC =AC =5.当BP 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴ BP =AC =5，且点P 到x 轴的距离等于OB ，∴ 点P 的坐标为(5, 3).当点P 在第二、三象限时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P 的坐标为(5, 3)时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形.(3)设直线PA 的解析式为y =kx +b(k ≠0).∴ A(1, 0)，P(5, 3)，∴ {5k +b =3,k +b =0, 解得：{k =34,b =−34, ∴ 直线PA 的解析式为y =34x −34. 当点M 与点P ，A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可得：|PM −AM|<PA ，当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM −AM|=PA ，∴ 当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM −AM|的值最大，即点M 为直线PA 与抛物线的交点，解方程组{y =34x −34,y =−34x 2−94x +3, 得{x 1=1,y 1=0 或{x 2=−5,y 2=−92, ∴ 当点M 的坐标为(1,0)或(−5, −92)时，|PM −AM|的值最大，此时|PM −AM|的最大值为5．【考点】二次函数综合题待定系数法求二次函数解析式【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c .由题意可知，A(1, 0)，B(0, 3)，C(−4, 0)，∴ {a +b +c =0,c =3,16a −4b +c =0,解得：a =−34，b =−94，c =3， ∴ 经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为y =−34x 2−94x +3. (2)在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形，理由如下：如图，∴ OB =3，OC =4，OA =1，∴ BC =AC =5.当BP 平行且等于AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴ BP =AC =5，且点P 到x 轴的距离等于OB ，∴ 点P 的坐标为(5, 3).当点P 在第二、三象限时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P 的坐标为(5, 3)时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形.(3)设直线PA 的解析式为y =kx +b(k ≠0).∴ A(1, 0)，P(5, 3)，∴ {5k +b =3,k +b =0, 解得：{k =34,b =−34, ∴ 直线PA 的解析式为y =34x −34.当点M与点P，A不在同一直线上时，根据三角形的三边关系可得：|PM−AM|<PA，当点M与点P，A在同一直线上时，|PM−AM|=PA，∴ 当点M与点P，A在同一直线上时，|PM−AM|的值最大，即点M为直线PA与抛物线的交点，解方程组{y=34x−34,y=−34x2−94x+3,得{x1=1,y1=0或{x2=−5,y2=−92,∴ 当点M的坐标为(1,0)或(−5, −92)时，|PM−AM|的值最大，此时|PM−AM|的最大值为5．。

二次函数测试题及答案

二次函数一、选择题：1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（） A.直线3-=xB.直线3=xC.直线2-=xD.直线2=x2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(ac b M 在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0<a ，0>+-c b a ，则一定有（） A.042>-ac bB.042=-ac bC.042<-ac bD.ac b 42-≤04. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则有（） A.3=b ，7=c B.9-=b ，15-=c C.3=b ，3=cD.9-=b ，21=c5. 已知反比例函数xk y =的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（）6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（） A.2-=xB.2=xC.1-=xD.1=x8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（） A.2- B.2 C.1-D.1c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（）A.0>M ，0>N ，0>PB.0<M ，0>N ，0>PC.0>M ，0<N ，0>PD.0<M ，0>N ，0<P 二、填空题：10. 将二次函数322+-=x x y 配方成kh x y +-=2)(的形式，则y =______________________.11. 已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，那么一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况是______________________.12. 已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-，则c a +=_________. 13. 请你写出函数2)1(+=x y 与12+=x y 具有的一个共同性质：_______________. 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线4=x ；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_____________________.16. 如图，抛物线的对称轴是1=x ，与x 轴交于A 、B 两点，若B 点坐标是)0,3(，则A 点的坐标是________________. 三、解答题：1. 已知函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2）.（2）当0>x 时，求使y ≥2的x 的取值范围. 2. 如右图，抛物线n x xy ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B .（1）求抛物线的解析式；（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是以AB 为腰的等腰三角形，试求点P 的坐标.3. 某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？4. 卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分.在大桥截面1:11000的比例图上去，跨度AB =5cm ，拱高OC =0.9cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）.在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）.（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM =0.45cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2≈1.4，计算结果精确到1米）.5. 已知二次函数m ax ax y +-=2的图象交x 轴于)0,(1x A 、)0,(2x B 两点，21x x <，交y 轴的负半轴与C 点，且AB =3，tan ∠BAC =tan ∠ABC =1.（2）在第一象限．．．．．．，抛物线上是否存在点P ，使S △PAB =6？若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请你说明理由.提高题1. 已知抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点，且交点为)0,2(A . （1）求b 、c 的值；（2）若抛物线与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ，求△OAB 的面积（答案可带根号）.2. 启明星、公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验，每年投入的广告费是x （万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且107107102++-=x x y ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：（1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目.3. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 时，水面CD 的宽是10m. （1）求此抛物线的解析式；此桥280km （桥长忽略不计）.货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？4. 某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出.在此基础上，当每套设备的月租金提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20元，设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y （元）.（1）用含x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求y 与x 之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为4300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求的二次函数配方成ab ac a b x y 44)2(22-++=的形式，并据此说明：当x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？参考答案一、选择题：1.2)1(2+-=x y2.有两个不相等的实数根3.14.（1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5.358512+-=x x y 或358512-+-=x x y 或178712+-=x x y 或178712-+-=x x y6.122++-=x x y 等（只须0<a ，0>c ）7.)0,32(-8.3=x ，51<<x ，1，4 三、解答题：1.解：（1）∵函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2），∴2139=-+b .解得2-=b . ∴函数解析式为122--=x x y .（2）当3=x 时，2=y . 根据图象知当x ≥3时，y ≥2.∴当0>x 时，使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3.2.解：（1）由题意得051=++-n .∴4-=n .∴抛物线的解析式为452-+-=x x y .（2）∵点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为)4,0(-. ∴OA =1，OB =4. 在Rt △OAB 中，1722=+=OB OA AB ，且点P 在y 轴正半轴上.①当PB =PA 时，17=PB .∴417-=-=OB PB OP .此时点P 的坐标为)417,0(-.②当PA =AB 时，OP =OB =4此时点P 的坐标为（0，4）.3.解：（1）设s 与t 的函数关系式为c bt at s ++=2，由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++；5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=++-=++.0,224,5.1c c b a c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==.0,2,21c b a ∴t t s 2212-=. （2）把s =30代入t t s 212-=，得.21302t t -=解得101=t ，62-=t （舍去）答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元. （3）把7=t 代入，得.5.10727212=⨯-⨯=s把8=t 代入，得.16828212=⨯-⨯=s5.55.1016=-.答：第8个月获利润5.5万元.4.解：（1）由于顶点在y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为1092+=ax y . 因为点)0,25(-A 或)0,25(B 在抛物线上，所以109)25(·02+-=a ，得12518-=a . 因此所求函数解析式为109125182+-=x y （25-≤x ≤25）.（2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以10912518209+-=，得245±=x .所以点D 的坐标为)209,245(-，点E 的坐标为)209,245(.所以225)245(245=--=DE .因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.01100225≈=⨯⨯（米）.5.解：（1）∵AB =3，21x x <，∴312=-x x .由根与系数的关系有121=+x x .∴11-=x ，22=x .∴OA =1，OB =2，2·21-==amx x .∵1tan tan =∠=∠ABC BAC ，∴1==OBOC OAOC .∴OC =2.∴2-=m ,1=a .∴此二次函数的解析式为22--=x x y .（2）在第一象限，抛物线上存在一点P ，使S △PAC =6.解法一：过点P 作直线MN ∥AC ，交x 轴于点M ，交y 轴于N ，连结PA 、PC 、MC 、NA .∵MN ∥AC ，∴S △MAC =S △NAC =S △PAC =6.由（1）有OA =1，OC =2. CN =12.∴6121221=⨯⨯=⨯⨯CN AM .∴AM =6，∴直线MN 的解析式为102+-=x y . 由⎩⎨⎧--=+-=,2,1022x x y x y 得⎩⎨⎧==；4311y x ⎩⎨⎧=-=18,422y x （舍去） ∴在第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △PAC =6. 解法二：设AP 与y 轴交于点),0(m D （m >0）∴直线AP 的解析式为m mx y +=. ∴02)1(2=--+-m x m x . ∴1+=+m x x P A ，∴2+=m x P .又S △PAC =S △ADC +S △PDC =P x CD AO CD ·21·21+=)(21P x AO CD +.∴6)21)(2(21=+++m m ，0652=-+m m∴6=m （舍去）或1=m .∴在第一象限，抛物线上存在点)4,3(P ，使S △PAC =6. 提高题1.解：（1）∵抛物线c bx x y ++=2与x 轴只有一个交点，∴方程02=++c bx x 有两个相等的实数根，即042=-c b .① 又点A 的坐标为（2，0），∴024=++c b .② 由①②得4-=b ，4=a .（2）由（1）得抛物线的解析式为442+-=x x y . 当0=x 时，4=y .∴点B 的坐标为（0，4）. 在Rt △OAB 中，OA =2，OB =4，得5222=+=OB OA AB .∴△OAB 的周长为5265241+=++.2.解：（1）76)34()10710710(1022++-=--⨯++-⨯=x x x x x S .当3)1(26=-⨯-=x 时，16)1(467)1(42=-⨯-⨯-⨯=最大S .（2）用于投资的资金是13316=-万元.经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取A 、B 、E 各一股，投入资金为13625=++（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）>1.6（万元）；另一种是取B 、D 、E 各一股，投入资金为2+4+6=12（万元）<13（万元），收益为0.4+0.5+0.9=1.8（万元）>1.6（万元）.3.解：（1）设抛物线的解析式为2ax y =，桥拱最高点到水面CD 的距离为h 米，则),5(h D -，)3,10(--h B .∴⎩⎨⎧--=-=.3100,25h a h a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.1,251h a ∴抛物线的解析式为2251x y -=.（2）水位由CD 处涨到点O 的时间为1÷0.25=4（小时），货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280， ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车的速度提高到x 千米/时，当2801404=⨯+x 时，60=x .∴要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米/时.4.解：（1）未出租的设备为10270-x 套，所有未出租设备的支出为)5402(-x 元.（2）54065101)5402()1027040(2++-=----=x x x x x y . ∴540651012++-=x x y .（说明：此处不要写出x 的取值范围）（3）当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为37套；当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时出租的设备为32套.因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32套；如果考虑市场占有率，应选择出租37套.（4）5.11102)325(1015406510122+--=++-=x x x y . ∴当325=x 时，y 有最大值11102.5.但是，当月租金为325元时，租出设备套数为34.5，而34.5不是整数，故租出设备应为34套或35套.即当月租金为为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元.。

九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版(含答案)

九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试-人教版（含答案）一、单选题(共48分)1．(本题4分)抛物线23y x =-与y 轴的交点坐标为（）A ．(-3，0)B ．(0，-3)C ．(3,0)-D ．(3,0) 2．(本题4分)已知：抛物线y =a （x +1）2的顶点为A ，图象与y 轴负半轴交点为B ，且OB =OA ，若点C （-3，b ）在抛物线上，则△ABC 的面积为（）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.53．(本题4分)二次函数y ＝﹣x 2﹣4的图象经过的象限为（）A ．第一象限、第四象限B ．第二象限、第四象限C ．第三象限、第四象限D ．第一象限、第三象限、第四象限4．(本题4分)在平面直角坐标系中，将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =-- 5．(本题4分)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．则下列结论不正确的是（）A ．小球在空中经过的路程是40mB ．小球运动的时间为6sC ．小球抛出3s 时，速度为0D ．当 1.5t =s 时，小球的高度30h =m 6．(本题4分)关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根1x 、2x ，若212x x =，则49b ac -的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．27．(本题4分)二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ． 8．(本题4分)已知二次函数()222y x =--，关于该函数在13x -≤≤的取值范围内，下列说法正确的是（）．A ．有最大值－1，有最小值－2B ．有最大值0，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值7，有最小值－2 9．(本题4分)记某商品销售单价为x 元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y 元，且y 是关于x 的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y 与x 的函数关系式是（）A ．y ＝﹣（x ﹣60）2+1825B ．y ＝﹣2（x ﹣60）2+1850C ．y ＝﹣（x ﹣65）2+1900D ．y ＝﹣2（x ﹣65）2+200010．(本题4分)已知二次函数2202020212022y x x =++的图象上有两点A （x 1，2023）和B （x 2，2023），则当12x x x =+时，二次函数的值是（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023 11．(本题4分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2﹣2x ＋c 的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B （0，﹣3），若P 是x 轴上一动点，点D （0，1）在y 轴上，连接PD 2＋PC 的最小值是（）A ．4B ．2＋22C ．22D ．32223+ 12．(本题4分)抛物线2222y x mx m =-+-+与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点()11,M m y -，()21,N m y +为图形G 上两点，若12y y <，则m 的取值范围是（） A ．1m <-或0m > B ．1122m -<< C ．02m ≤< D ．11m -<<二、填空题(共20分)13．(本题5分)若22(2)32m y m x x -=++-是二次函数，则m 的值是 ________. 14．(本题5分)若点1(1,)A y -，2(2,)B y 在抛物线22y x =上，则1y ，2y 的大小关系为：1y ________2y （填“＞”，“=”或“＜”）．15．(本题5分)如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD 的长）为______．16．(本题5分)如图，已知抛物线y 1=﹣x 2+4x 和直线y 2=2x ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2，若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较小值为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2．①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，M 随x 的增大而增大；③使得M 大于4的x 的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．三、解答题(共52分)17．(本题6分)二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为；（3）方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，m 的取值范围为．18．(本题6分)已知抛物线经过点(0，-2)，(3，0)，(-1，0)，求抛物线的解析式．19．(本题6分)已知：二次函数2142y x x =-++． (1)通过配方，将其写成()2y a x h k =-+的形式；(2)求出函数图象与x y 、轴的交点、、A B C 的坐标；(3)当0y >时，直接写出x 的取值范围；(4)当x ________时，y 随x 的增大而减少．20．(本题6分)某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．21．(本题6分)一隧道内设双行公路，隧道的高MN 为6米．下图是隧道的截面示意图，并建立如图所示的直角坐标系，它是由一段抛物线和一个矩形CDEF 的三条边围成的，矩形的长DE 是8米，宽CD 是2米．（1）求该抛物线的解析式；（2）为了保证安全，要求行驶的车辆顶部与隧道顶部至少要有0.5米的距离．若行车道总宽度PQ （居中，两边为人行道）为6米，一辆高3.2米的货运卡车（设为长方形）靠近最右边行驶能否安全？请写出判断过程；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABHG ，使H 、G 两点在抛物线上，A 、B 两点在地面DE 上，设GH 长为n 米，“脚手架”三根木杆AG 、GH 、HB 的长度之和为L ，当n 为何值时L 最大，最大值为多少？22．(本题6分)如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx 23+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值43m ，求m 的值． 23．(本题8分)如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，1,0A ，4AB =，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ //BC 交AC 于点Q ．(1)求该抛物线的解析式；(2)求CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．24．(本题8分)已知抛物线y＝ax2+3ax+c(a≠0)与y轴交于点A(1)若a＞0①当a=1，c=－1，求该抛物线与x轴交点坐标；②点P(m，n)在二次函数抛物线y＝ax2+3ax+c的图象上，且n－c＞0，试求m的取值范围；(2)若抛物线恒在x轴下方，且符合条件的整数a只有三个，求实数c的最小值；(3)若点A的坐标是(0，1)，当－2c＜x＜c时，抛物线与x轴只有一个公共点，求a的取值范围.参考答案1．B2．A3．C4．B5．A6．D7．A8．D9．D10．C11．A12．D13．214．＜15．40米16．②③17．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）m ≥﹣4．18．224233y x x =-- 19．(1)()219122x --+ (2)A （-2，0），B （4，0），C （0，4）(3)-2＜x ＜4(4)＞120．(1)()y 309601032x x =-+≤≤(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元21．（1）y=-14x 2+4；（2）能安全通过，见解析；（3）n=4时，L 有最大值，最大值为14 22．（1）()21233y x =--+；（2）1222,,3k k ==；（3）95.4m =-或 23．(1)223y x x =+-(2)2；P （-1，0）24．(1)①，0)，0)②m>0或m<－3 (2)-9(3)49a=或12a≥或14a-≤。

二次函数(单元测试)(原卷版)

第22章《二次函数》考试时间:120分钟满分：120分一、单选题（每小题3分，共18分）2．（2022秋·福建福州·九年级闽清天儒中学校考阶段练习）二次函数241y mx x =-+有最小值3-，则m 等3．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）下列关于抛物线22y x bx b =++-的说法正确的是（） A ．此抛物线的开口比抛物线2y x =-的开口大B ．当0b >时，此抛物线的对称轴在y 轴右侧C ．此抛物线与x 轴没有公共点D ．对于任意的实数b ，此抛物线与x 轴总有两个交点4．（2022秋·安徽蚌埠·九年级统考阶段练习）当0a ≠时，y ax b =+和2y ax bx c =++大致图像可能是（） A ． B ． C ．D ．5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知点（﹣1，y 1），（1，m ），（2，y 2），（3，n ），（4，y 3）在二次函数y ＝x 2+ax （a 是常数）的图像上，若mn ＜0，则（）A ．213y y y <；④()++a b m am b ≥（其中，m 为任意实数）；⑤()22+<a c bA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题（每小题3分，共18分）2三、解答题（每小题6分，共30分）13．（2022秋·广东河源·九年级校考开学考试）已知y ＝（a ﹣3）221a a x --﹣2是二次函数，求a ．14．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）已知抛物线的顶点为P （﹣2，3），且过A （﹣3，0），求此二次函数的解析式．15．已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点(25)A ，．(1)求b ；(2)将（1）中求得的函数解析式用配方法化成2()y x h k =-+的形式．16．（2023·四川泸州·统考一模）如图，抛物线228y x x =-++与x 轴交于两点,A B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)求ABC 的面积．17．（2022秋·河南南阳·九年级统考期末）已知二次函数2224y x x k =++-与x 轴有两个交点．(1)求实数k 的取值范围．(2)若此二次函数有最小值3-，求k 的值．四、解答题（每小题8分，共24分）18．（2021秋·吉林·九年级长春市第八十七中学校考阶段练习）已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c ，函数值y 与自（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣5＜x ＜2时，求函数值y 的取值范围．19．（2022秋·安徽淮北·九年级淮北市第二中学校联考阶段练习）抛物线24y ax bx a =+-经过A （－1，0）、C （0，4）两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标及对称轴；20．已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 中，当x ＝1时有最大值3，且与y 轴相交于点（0，1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）写出这条抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式，并指出它的最大（小）值是多少？五、解答题（每小题9分，共18分）21．（2020·辽宁铁岭·统考模拟预测）某经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供资源，待货物出售后再进行结算，未出售的由厂家负责处理）。

二次函数达标检测(Word版含解析)

二次函数达标检测（Word版含解析）一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为24；（3）M点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c），∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0），∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上，∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3，∴解得：a＝1．∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．（2）如图1所示．因点P 在二次函数图象上，设P （p ，p 2﹣4p+3）．∵y ＝x 2﹣4x+3与y 轴相交于点C ，∴点C 的坐标为（0，3）．又∵点B 的坐标为B （3，0），∴OB ＝OC∴△COB 为等腰直角三角形．又∵PF//y 轴，PE//x 轴，∴△PEF 为等腰直角三角形．∴EF 2PF ．设一次函数的l BC 的表达式为y ＝kx+b ，又∵B （3，0）和C （0，3）在直线BC 上，303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+3．∴y F ＝﹣p+3．FP ＝﹣p+3﹣（p 2﹣4p+3）＝﹣p 2+3p ．∴EF 2p 22．∴线段EF 的最大值为，EF max 42-24．（3）①如图2所示：若∠CNB ＝90°时，点N 在抛物线上，作MN//y 轴，l//x 轴交y 轴于点E ，BF ⊥l 交l 于点F ．设点N 的坐标为（m ，m 2﹣4m+3），则点M 的坐标为（m ，3），∵C 、D 两点的坐标为（0，3）和（4，3），∴CD ∥x 轴．又∵∠CNE ＝∠NBF ，∠CEN ＝∠NFB ＝90°，∴△CNE ∽△NBF ．∴CE NE ＝NF BF，又∵CE ＝﹣m 2+4m ，NE ＝m ；NF ＝3﹣m ，BF ＝﹣m 2+4m ﹣3，∴24m m m-+＝2343m m m --+-，化简得：m 2﹣5m+5＝0．解得：m 1＝552+，m 2＝552-． ∴M 点坐标为（55+，3）或（55-，3） ②如图3所示：当∠CBN ＝90°时，过B 作BG ⊥CD ，∵∠NBF ＝∠CBG ，∠NFB ＝∠BGC ＝90°，∴△BFN ∽△CGB ．∵△BFN 为等腰直角三角形，∴BF ＝FN ，∴0﹣（m 2﹣4m+3）＝3﹣m ．∴化简得，m 2﹣5m+6＝0．解得，m ＝2或m ＝3（舍去）∴M 点坐标为，（2，3）．综上所述，满足题意的M 点坐标为可以为（2，3），（552+，3），（552-，3）．【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，二次函数和三角函数求值，三角形相似等相关知识点；同时运用数形结合和分类讨论的思想探究点在几何图形上的位置关系．2．如图1，抛物线2:C y x =经过变换可得到抛物线()1111:C y a x x b =-，1C 与x 轴的正半轴交于点1A ，且其对称轴分别交抛物线C 、1C 于点1B 、1D ，此时四边形111D OB A 恰为正方形；按上述类似方法，如图2，抛物线()1111:C y a x x b =-经过变换可得到抛物线()2222:C y a x x b =-，2C 与x 轴的正半轴交于点2A ，且对称轴分别交抛物线1C 、2C 于点2B 、2D ，此时四边形222OB A D 也恰为正方形；按上述类似方法，如图3，可得到抛物线()3333:C y a x x b =-与正方形333OB A D ，请探究以下问题：（1）填空：1a = ，1b = ；（2）求出2C 与3C 的解析式；（3）按上述类似方法，可得到抛物线():n n n n C y a x x b =-与正方形n n n OB A D （1n ≥）. ①请用含n 的代数式直接表示出n C 的解析式；②当x 取任意不为0的实数时，试比较2018y 与2019y 的函数值的大小关系，并说明理由.【答案】（1）11a =，12b =；（2）22132y x x =-，23126y x x =-；（3）①()2212123n n y x x n -=-≥⨯，②20182019y y ＞. 【解析】【分析】（1）求与x 轴交点A 1坐标，根据正方形对角线性质表示出B 1的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 1的值，写出D 1的坐标，代入y 1的解析式中可求得a 1的值；（2）求与x 轴交点A 2坐标，根据正方形对角线性质表示出B 2的坐标，代入对应的解析式即可求出对应的b 2的值，写出D 2的坐标，代入y 2的解析式中可求得a 2的值，写出抛物线C 2的解析式；再利用相同的方法求抛物线C 3的解析式；（3）①根据图形变换后二次项系数不变得出a n =a 1=1，由B 1坐标（1，1）、B 2坐标（3，3）、B 3坐标（7，7）得B n 坐标（2n -1，2n -1），则b n =2（2n -1）=2n +1-2（n ≥1），写出抛物线C n 解析式．②根据规律得到抛物线C 2015和抛物线C 2016的解析式，用求差法比较出y 2015与y 2016的函数值的大小．【详解】解：（1）y 1=0时，a 1x （x -b 1）=0，x 1=0，x 2=b 1，∴A 1（b 1，0），由正方形OB 1A 1D 1得：OA 1=B 1D 1=b 1，∴B 1（12b ，12b ），D 1（12b ，12b -）， ∵B 1在抛物线c 上，则12b =(12b )2，解得：b 1=0（不符合题意），b 1=2，∴D 1（1，-1），把D 1（1，-1）代入y 1=a 1x （x -b 1）中得：-1=-a 1，∴a 1=1，故答案为1，2；（2）当20y =时，有()220a x x b -=，解得2x b =或0x =，()22,0A b ∴.由正方形222OB A D ，得2222B D OA b ==，222,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，222,22b b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2B 在抛物线1C 上，2222222b b b ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭. 解得24b =或20b =（不合舍去），()22,2D ∴-2D 在抛物线2C 上，()22224a ∴-=-. 解得212a =. 2C ∴的解析式是()2142y x x =-，即22122y x x =-. 同理，当30y =时，有()330a x x b -=，解得3x b =，或0x =.()33,0A b ∴.由正方形333OB A D ，得3333B D OA b ==，333,22b b B ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，333,22b b D ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 3B 在抛物线2C 上，2333122222b b b ⎛⎫∴=-⋅ ⎪⎝⎭. 解得312b =或30b =（不合舍去）， ()36,6D ∴-3D 在抛物线3C 上，()366612a ∴-=-.解得316a =. 3C ∴的解析式是()31126y x x =-，即23126y x x =-. （3）解：①n C 的解析式是()2212123n n y x x n -=-≥⨯. ②由①可得2201820161223y x x =-⨯，2201920171223y x x =-⨯. 当0x ≠时，220182019201620171110233y y x ＞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 20182019y y ∴＞.【点睛】本题是二次函数与方程、正方形的综合应用，将函数知识与方程、正方形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用正方形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．就此题而言：①求出抛物线与x 轴交点坐标⇔把y =0代入计算，把函数问题转化为方程问题；②利用正方形对角线相等且垂直平分表示出对应B 1、B 2、B 3、B n 的坐标；③根据规律之间得到解析式是关键．3．如图，抛物线2y ax 2x c =++经过,,A B C 三点，已知()()1,0,0,3.A C -()1求此抛物线的关系式；()2设点P 是线段BC 上方的抛物线上一动点，过点P 作y 轴的平行线，交线段BC 于点,D 当BCP 的面积最大时，求点D 的坐标；()3点M 是抛物线上的一动点，当()2中BCP 的面积最大时，请直接写出使45PDM ∠=︒的点M 的坐标【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点33,22D ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为()0,3或113113++⎝⎭【解析】【分析】（1）由2y ax 2x c =++经过点()(),1,00,3A C -，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式.（2）首先设点()2,23,P t t t -++令2230x x -++=，求得()3,0B ，然后设直线BC 的关系式为y kx b =+，由待定系数法求得BC 的解析式为3y x =-+，可得()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+，BCP 的面积为()21333,22S PD t t =⨯=-+利用二次函数的性质即可求解；（3）根据PD y 轴，45PDM ∠=︒，分别设DM y x b =+，DM y x b =-+，根据点33D(22，）坐标即可求出b ，再与抛物线联系即可得出点M 的坐标．【详解】()1将()(),1,00,3A C -分别代入22,y ax x c =++可解得1,3,a c =-=即抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++．()2设点()2,23,P t t t -++令2230,x x -++=解得121,3,x x =-=则点()3,0B ．设直线BC 的关系式为(y kx b k =+为常数且0k ≠)，将点,B C 的坐标代入，可求得直线BC 的关系式为3y x =-+．∴点()()22,3,2333D t t PD t t t t t -+=-++--+=-+设BCP 的面积为,S 则()21333,22S PD t t =⨯=-+ ∴当32t =时，S 有最大值，此时点33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ()3∵PD y 轴，45PDM ∠=︒第一种情况：令DM y x b =+,33D(22，）解得：b=0∴223y x y x x =⎧⎨=-++⎩解得：113x =∴11M 22+（，第二种情况：令DM y x b =-+,33D(22，）解得：b=3∴2323y x y x x =-+⎧⎨=-++⎩解得：x=0或x=3（舍去）∴M 03（，）满足条件的点M 的坐标为()0,3或⎝⎭【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.4．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点F 旋转180︒，得到新的抛物线'C ．()1求抛物线C 的函数表达式:()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．【答案】()12142y x =-+；()2222m <<()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m = 【解析】【分析】（1）由题意得出A,B 坐标，并代入,,A B D 坐标利用待定系数法求出抛物线C 的函数表达式；（2）根据题意分别求出当C '过点()0,4D 时m 的值以及当C '过点()22,0B 时m 的值，并以此进行分析求得；（3）由题意设(),P n n ，代入解出n ，并作HK OF ⊥，PH HK ⊥于H ，利用正方形性质以及全等三角形性质得出M 为()2,2m m --，将M 代入21: 42C y x =-+即可求得答案.【详解】解：()142AB =(), 22,0)2,0(2A B ∴- 将,,A B D 三点代入得2 y ax bx c =++ 8220.8220.4a b c a b c c ⎧-+=⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩解得1204a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2142y x ∴=-+； ()2如图21:42C y x =-+．关于(),0F m 对称的抛物线为 ()21:242C y x m '=-- 当C '过点()0,4D 时有()2140242m =-- 解得:2m =当C '过点()2,0B 时有()21022242m =- 解得:22m =222m ∴<<；()3四边形'PMP N 可以为正方形由题意设(),P n n ，P 是抛物线C 第一象限上的点 2142n n ∴-+= 解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P 如图作HK OF ⊥，PH HK ⊥于H ，MK HK ⊥于K四边形PMP N '为正方形易证PHK FKM ≌2FK HP m ∴==-2MK HF ==M ∴为()2,2m m --∴将M 代入21: 42C y x =-+得 ()212242m m -=--+ 解得:126,0m m ==(舍去)∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.【点睛】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.5．如图1，抛物线21:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．（3）如图2，将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在直线2y x =-上，求m 的值．【答案】（1）21y x =+；（2）1|n -；（3）14m =-或12m =- 【解析】【分析】（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式；（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2B C ''并进行化简，由1n q -≤<且12,q n <-得21n q -<，则当()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，取min 2q q n ==-，带入()2B C ''，即可求得()max B C ''；（3）依题意将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得到222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得到22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到231048m m -+=，解得14m =-或12m =-．【详解】解：（1）将()0,1A 带入抛物线21:C y x b =+，得b=1，则21:1C y x =+，（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，∴()22222(2)(2)B C q q q q ''⎡⎤=--+--⎣⎦2204020q q =-+()2201q =-，∵1n q -≤<且12,q n <- 21n q -<∴，∴()2max B C ''⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，min 2q q n ==-，即()22220(21)20(1)B C n n ''=--=-，∴()max 1|B C n ''=-，（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移78个单位长度得到抛物线2C ， ∴221:8C y x =+， ∴21,8M m m ⎛⎫+⎪⎝⎭， ∴222218OM m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：2111,2228m OM m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设Q y k =，则2111228k OM m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴222111428OM k m ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，化简上式得：22211084k m k m ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-，∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 21148m m m -=+∴， ∴231048m m -+=，解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程231048m m -+=的解），故14m=-或12m=-．【点睛】本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．6．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x(x＞0)经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）N(57，0)，F(0，53)；（3）t=9﹣15【解析】【分析】（1）由已知求出D点坐标，将点A（-1，0）和D（2，3）代入y=ax2+bx+3即可；（2）作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时，∠BPD的度数最大；【详解】解；（1）C(0，3)∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3．∵D在y=6x上，∴D(2，3)，将点A(﹣1，0)和D(2，3)代入y=ax2+bx+3，∴a=﹣1，b=2，∴y=﹣x2+2x+3；（2）M(1，4)，B(3，0)，作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'(﹣1，4)，D'(2，﹣3)，∴M'D'直线的解析式为y=﹣73x+53，∴N(57，0)，F(0，53)；（3）设P(0，t)．∵△PBO和△CDP都是直角三角形，tan∠CDP=32t，tan∠PBO=3t，令y=tan∠BPD=3 233123t tt t-+--，∴yt2+t﹣3yt+6y﹣9=0，△=﹣15y2+30y+1=0时，y=1541515-+-(舍)或y=1541515+，∴t=32﹣12×1y，∴t=9﹣215，∴P(0，9﹣215)．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．7．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=23S△ABD?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长.【答案】（1）213222y x x=-++（2）存在，D（1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10【解析】【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++；（2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ， ∴S △ABD =315522⨯=，设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=，解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=，解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-，解得：5x =或2x =-（舍去），∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC ==BC ==∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°， ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =，即1525OM = 解得：2OM =， ∴OC AC FM AF =，即2535FM = 解得：6FM =，∴点F 为（2，6），且B 为（4，0），设直线BE 解析式为y=kx+m ，则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得312k m =-⎧⎨=⎩， ∴直线BE 解析式为：312y x =-+；联立直线BE 和抛物线解析式可得：231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得：40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩， ∴点E 坐标为：(5,3)-， ∴22(54)(3)10BE =-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．8．如图，已知抛物线2y x bx c=-++与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中点A的坐标是()1,0，点C的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线和直线AC的解析式．（2）若点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC∆的面积的最大值及此时点P的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点E，点M为直线AC上的任意一点，过点M作//MN DE交抛物线于点N，以D，E，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，(1172-+，3172)或(1172--，3172)【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m，-m2-2m+3)，则Q(m，-m+1)，求出PQ的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t，-t+1)，则点N(t，-t2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M在线段AC上时，点N在点M上方；②当点M在线段AC（或CA）延长线上时，点N在点M下方；分别求出点M的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b cb c-++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23bc=-⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3．设直线AC的解析式为y=kx+n．将点A，C坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：t=12-+或t=12-． ∴此时点M）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1（12-，32）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．9．如图，已知顶点为M （32，258）的抛物线过点D （3，2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，点P 是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313-+）．【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213222a a -++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．【详解】解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+258，将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+258，解得：a ＝﹣12， ∴抛物线的表达式为：213222y x x =-++；（2）当x＝0时，y＝﹣12x2+32x+2＝2，即点C坐标为（0，2），同理，令y＝0，则x＝4或﹣1，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），过点P作y轴的平行线交AD于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝12（x+1），设点P（x，﹣12x2+32x+2），则点H（x，12x+12），则△PAD面积为：S＝S△PHA+S△PHD＝12×PH×（x D﹣x A）＝12×4×（﹣12x2+32x+2﹣12x12）＝﹣x2+2x+3，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝1时，S有最大值，则点P（1，3）；（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，﹣12a2+32a+2），当P点在y轴右侧时（如图2），CQ＝a，PQ＝2﹣（﹣12a2+32a+2）＝12a2﹣32a，又∵∠CQ′O+∠FQ′P＝90°，∠COQ′＝∠Q′FP＝90°，∴∠FQ′P＝∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，'''Q C Q P COFQ =，即213222'a a a Q F-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，∴OQ ′＝OF ﹣Q ′F ＝a ﹣（a ﹣3）＝3，CQ ＝CQ ′＝22223213CO OQ +=+=，此时a ＝13，点P 的坐标为（13，9313-+）．【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目．10．如图，经过原点的抛物线2y ax x b =-+与直线2y =交于A ，C 两点，其对称轴是直线2x =，抛物线与x 轴的另一个交点为D ，线段AC 与y 轴交于点B ．（1）求抛物线的解析式，并写出点D 的坐标；（2）若点E 为线段BC 上一点，且2EC EA -=，点(0,)P t 为线段OB 上不与端点重合的动点，连接PE ，过点E 作直线PE 的垂线交x 轴于点F ，连接PF ，探究在P 点运动过程中，线段PE ，PF 有何数量关系？并证明所探究的结论；（3）设抛物线顶点为M ，求当t 为何值时，DMF ∆为等腰三角形？【答案】（1）214y x x =-；点D 的坐标为(4,0)；（2）5PF PE =，理由见解析；（3）51t +=98t = 【解析】【分析】（1）先求出a 、b 的值，然后求出解析式，再求出点D 的坐标即可；（2）由题意，先求出点E 的坐标，然后证明Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，得到2EF PE =，结合勾股定理，即可得到答案；（3）根据题意，可分为三种情况进行分析：FM FD =或DF DM =或FM MD =，分别求出三种情况的值即可．【详解】解：（1）∵抛物线2y ax x b =-+经过原点，∴0b =．又抛物线的对称轴是直线2x =，∴122a --=，解得：14a =． ∴抛物线的解析式为：214y x x =-．令2104y x x =-=，解得：10x =，24x =．∴点D 的坐标为(4,0)．（2）线段PE 、PF 的数量关系为：5PF PE =．证明：由抛物线的对称性得线段AC 的中点为(2,2)G ，如图①，AE EG GC +=，∴EG GC AE =-，∴EG EG EG GC AE EC EA +=+-=-，∵2EC EA -=，∴1EG =，∴(1,2)E ，过点E 作EH x ⊥轴于H ，则2EH OB ==．∵PE EF ⊥，∴90PEF ∠=︒，∵BE EH ⊥，∴90BEH ∠=︒．∴PEB HEF ∠=∠．在Rt PBE ∆与Rt FHE ∆中，∵PEB HEF ∠=∠，90EHF EBP ∠=∠=︒，∴Rt Rt PBE FHE ∆∆∽，∴12PE BE EF HE ==， ∴2EF PE =．在Rt PEF ∆中，由勾股定理得：222222(2)5PF PE EF PE PE PE =+=+=，∴5PF PE =．（3）由2211(2)144y x x x =-=--， ∴顶点M 坐标为(2,1)-．若DMF ∆为等腰三角形，可能有三种情形：（I ）若FM FD =．如图②所示：连接MG 交x 轴于点N ，则90MNF ∠=︒，∵(4,0)D ，∴2222125MD MN ND =+=+=设FM FD k ==，则2NF k =-．在Rt MNF ∆中，由勾股定理得：222NF MN MF +=，∴22(2)1k k -+=，解得：54k =， ∴54FM =，34NF =， ∴1MN =，即点M 的纵坐标为1-；令1y =-，则2114x x -=-， ∴2x =，即ON=2，∴OF=114， ∴11,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵(1,2)E ，∴1,2BE BP t ==-，∴221(2)PE t =+-，∴251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中，由勾股定理，得222OP OF PF +=,∴22211()55(2)4t t +=+-， ∴98t =．（II ）若DF DM =．如图③所示：此时5FD DM ==∴45OF =， ∴(45,0)F ，由（I ）知，221(2)PE t =+-，251(2)PF t =+-在Rt △OPF 中，由勾股定理，得 222OP OF PF +=，∴222(45)55(2)t t +-=+-∴51t +=．（III ）若FM MD =．由抛物线对称性可知，此时点F 与原点O 重合．∵PE EF ⊥，点P 在直线AC 上方，与点P 在线段OB 上运动相矛盾，故此种情形不存在．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．。

(2021年整理)初中数学二次函数技巧试题答案超级全

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定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0,且a决定函数的开口方向，a〉0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小，IaI 越小开口就越大.）则称y为x的二次函数.二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II。

二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0）顶点式:y=a(x—h）^2;+k ［抛物线的顶点P（h,k)] 交点式：y=a(x-x1）(x—x2）［仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中,有如下关系: h=—b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1，x2=(—b±√b^2;-4ac)/2a III。

(含答案)2020chzx二次函数测试

澄华中学初三级数学单元测试题——《二次函数》班级姓名座号一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）： 1.下列函数中，是二次函数的有( C ) ①y=1-x 2；②y=；③y=x(1-x)；④y=(1-2x)(1+2x).A.1个B.2个C.3个D.4个2、与y=2(x-1)2+3形状相同的抛物线解析式为（ D ） A 、y=1+21x 2B 、y=(2x+1)2C 、y = (x-1)2D 、y=2x 23.抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是 ( A ) A ．23(1)2y x =-- B ．23(1)2y x =+- C ．23(1)2y x =++ D ．23(1)2y x =-+ 4.不在抛物线12y 2+-=x 上的点是（ C ） A ．（1-，1-）； B ．（2，3-）； C ．（41，89）； D ．（0，1） 5设A(-2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y=-(x+1)2+2上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( A ) A.y 1＞y 2＞y 3B.y 1＞y 3＞y 2C.y 3＞y 2＞y 1D.y 3＞y 1＞y 26.已知二次函数21y ax bx =++的大致图象如图所示，那么函数y ax b =+的图象不经过（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为（ D ） A ．k>－74 B ．k<－74且k ≠0 C ．k ≥－74 D ．k>－74且k ≠0 8. 如图所示是二次函数c bx ax y ++=2的图象，则下列说法：① abc ＞0；②2a+b=0； ③a-b+c=0； ④当x ＜-1或x>3时，y ＜0. 其中正确的有( C ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个xy 01 （第6题图）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）：9．抛物线()2223y x =++的最小值是 3 ,当x <-2 时，y 随x 的增大而减小. 10．若函数y ＝(m －3)2213m m x＋－是二次函数，则m ＝__-5__.11．抛物线y ＝3x 2－bx ＋1的对称轴是直线x=1，则b 的值为___6___12. 如图，已知二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴有一个交点是（3，0），则图象与x 轴另一个交点的坐标是 (-1,0) ．13.已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)，其图象过点A(0，3)，B(8，3)，则h 的值是 4 14.已知一次函数y 1=kx+m 和二次函数y 2=ax 2+bx+c 的图象如图22-21-10，它们有两个交点A(2，2)，B(4，3),那么能够使得y 1＞y 2的自变量x 的取值范围是x<2或x>4三、解答题（本大题共4小题，共44分）：15. （7分）已知抛物线顶点为（1，4），且经过点(0，3)，求这条抛物线的解析式。

二次函数小测(含解析).docx

二次函数小测一、选择题1、已知二次函数y = ax2+bx + c的图像如图所示，对称轴为直线x = l・有位学生写出了以下五个结论：(l)ac>0；(2)方程aT2 + bx + c = 0的两根是帀=—1,叼=3；(3)2a-b = 0； (4)当x>l时，y随x的增大而减小；则以上结论屮正确A・1个B .2个C .3个D .4个2、下列图象屮，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b (aHO)的图象，它是( )3、已知二次函数y“-bx-2(aH0)的图象的顶点在第四象限，且过点(-1, 0), 当b为整数时，3b的值为().A・号或1B .吕或1C •弓或扌D・扌或弓4、已知二次函数y=ajr2+bx+c (a#0)的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程aj;2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2-4ac<0；②abc>0；③a-b+c<0；④m>-2, 其中，正确的个数有()A・1B .2C .3D .4 5、已知二次函数y= ( jr - h ) 2+1 (h为常数)，在自变量x的值满足1 WxW3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为()A . 1 或-5B 1 或5C・1或-3D・1或36、二次函数y=T2+ax+b 若a+b二0,则它的图象必经过点( )A ・(-1, -1)B .仃，-1)C ・(1, 1)D ・(-1, 1)7、已知二次函数y=ax2+bx+c (a^O)的图象如图，对称轴是直线x=-|,下列结论:①ab>0；②a+b+c<0；③b+2cV0；④a-2b+4c>0.其中正确结论的个数是( )二、填空题8、若A (-罟，的)，B (-当，的)，C (1,的)为二次函数y二x^+4x_5的图象上的三点，则S、y2、/的大小关系是______________ .9、把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为__________ ・10、二次函数y二m+2x+m-4的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是 ________ .11、已知A(0, 3),B(2,3)是抛物线y二一*+bx+c上的两点，该抛物线的顶点坐标是12、已知函数y二(m—1) +3x,当m二_________ 时，它是二次函数。