第4章刚体力学X

r r r 2.外力F不在转动平面内，将其 分解为F⊥和F||
r F|| : 平行于转轴的力，对刚 体转动不起作用；
r F⊥ : 垂直于转轴的力（即在转动平面内），其力矩
r r r M = r × F⊥
v 规定：M沿Z轴正向为正； v M沿Z轴负向为负
二、刚体定轴转动定理：
对质点i用牛顿第二定律：
2 由ω 2 − ω0 = 2α∆θ
ω=0
ω02 ω02 3R 3Rω02 ∴ ∆θ = − = × = 2α 2 4 µ g 8µ g
2 ∆θ 3Rω0 = n= 2π 16πµg
又ω = ω0 + α t ω = 0
0 = ω0 − 4 µg t 3R
3Rω0 ∴ t= 4µg
v FZ
4-3-1力矩的功 力矩的功
2(m1 − m2 ) a1 = a 2 = g m + 2(m1 + m2 )
(m + 4m2 )m1 T1 = g T = (m + 4m1 )m2 g 2 m + 2(m1 + m2 ) m + 2(m1 + m2 )
,
的匀质细杆， 【例4-4】如图，一根长为l，质量为 的匀质细杆，可绕水平光滑轴在竖直 一根长为 ，质量为m的匀质细杆 角时的角速度和角加速度。 角 角时的角速度和角加速度 平面内转动，最初棒静止在水平位置， 平面内转动，最初棒静止在水平位置，求它下摆 θ 时的角速度和角加速度。 杆在下摆运动中作顺时针转动，选取向内为转轴正向。 解 杆在下摆运动中作顺时针转动，选取向内为转轴正向。 在杆上取dx小段，其质量 在杆上取 小段， 小段 杆下摆到
θ
m dm = dx l
角度时， 角度时，它所产生的重力矩为
dM = xdmg cos θ =
整个杆受的重力矩为
m l
gx cos θdx
M =
N
∫
l
0
l2 m m m g cos θ = gl cos θ gx cos θ dx = l l 2 2
O
θ
x
mg
C
dx
θ dmg
根据转动定律， 根据转动定律，可得棒的角加速度为
（ Fi τ ＋ f i τ ） ri = m i a τ ri
对整个刚体： n n n 2 Fi sin θ i ri + ∑ f i sin ϕi ri = (∑ mi ri ) β ∑
i =1 i =1 i =1
由牛顿第三定律知，内力对转轴的力矩和为零：
∑ f sin ϕ r＝0
i =1 i i i
ω0
O
R M
M 2 − TR = Jα = Rα 2
a = Rα
T x m
mg
轴向上， 选x轴向上，根据牛顿定律，有 轴向上 根据牛顿定律， T-mg=ma
T
−mgR −2 × 9.8 × 0.1 α= = = −78.4(rad/s) 2 1 J + mR (0.1) 2 + 2(0.1) 2 2
mi
m2
J = ∑ mi ri 2
3.连续分布
小质元 dm dJ = r 2 dm
i =1
n
o
o′
r
则
J = ∫ r 2 dm
dm
取决于三个因素： 1.m的大小；2.m的分布；3.转轴位置
o
【例4-1】计算质量为 ，半径为 的匀质圆盘对通过盘心并垂直于盘面的轴的 】计算质量为m，半径为R的匀质圆盘对通过盘心并垂直于盘面的轴的 转动惯量。 转动惯量。 由于质量均匀分布， 解 由于质量均匀分布， 单位面积上的质量为
4-3-3 刚体定轴转动的动能定理
dω dA = Mdθ = J dθ = J ω dω dt J 2 A = ∫ dA = ∫ Mdθ = ∫ J ω dω = (ω2 − ω12 ) = Ek 2 − Ek 1 θ1 ω1 2 在定轴转动中，合外力矩作功等于刚体转动动能的增量
θ2 ω2
4-3-4 刚体的重力势能
v 力F的元功：
v v v v FZ ⊥ ds Fn ⊥ ds v v v v v v v v dA = F ⋅ ds = Ft ⋅ ds + Fn ⋅ ds + FZ ⋅ ds = Ft ds = Ft rdθ = ( Ft r )dθ
dA = Mdθ
= Mdθ
M与dθ同向，dA为正；否则为负。
θ2
需修改
o′
ω
v fi
r
v Fi
v v v Fi＋f i = mi ai
法向：Fin＋f in = mi ain 切向：Fiτ＋f iτ = mi aiτ
法向力对轴的力矩为零
v ri
ϕi θ i
mi
o
v 2 即：M i = Fi sin θ i ri + f i sin ϕi ri = mi ri β
如转轴相对所选参照系 固定不动，称定轴转动
刚体运动＝平动＋转动
• A
• ′ A
o′
• ′′ A • •C′′
ω
r
• •
C
C′ • B′
•
B
图4-1 刚体的平动
B′′
o
刚体作定轴转动时的基本特征：
1.刚体上各质点都在垂直于固定转轴的平面内作圆周运动。
2.由于刚体上各点间的相对位置不变，所以各质点作圆周 运动的半径在相同时间内转过的角度相同。
3g ω= sin θ l
例（补）： 均匀薄圆盘质量为m，半径为R，在桌上，转轴为O （如图），圆盘与水平桌面的摩擦系数为µ，问角速度 由ω0到停止转动，圆盘共转过多少圈？经过多少时间？ 1 (圆薄盘的转动惯量J = mR 2 ) 2 解：先求摩擦力矩：
R
O
f
ω0
在圆盘上取小圆环为质元： dm = σ 2πrdr
4-1-1 刚体
定义：任何情况下，形状和大小都不会发生任何 变化的物体。
质量密度
dm = ρ dV
质元具有质量
体分布 面分布 线分布
dm = σds dm = ηdx
在分析刚体运动过程中，可假定各质元的相对位置保持不变。 在分析刚体运动过程中，可假定各质元的相对位置保持不变。
4-1-2刚体的平动和转动 刚体的平动和转动 平动：刚体在运动中，连接刚体上任意两点的直线， 平动：刚体在运动中，连接刚体上任意两点的直线，在各时刻始终保持彼 此平行 转动：刚体上所有质元都绕同一直线 转轴 转轴)作圆周运动 转动：刚体上所有质元都绕同一直线(转轴 作圆周运动
当刚体由θ1 → θ 2 位置，外力矩作功：
A = ∫ dA = ∫ Mdθ
θ1
若M为恒力矩
A = ∫ Mdθ = M ∫ dθ = M (θ1 − θ 2 )
θ1 θ1
θ2
θ2
功 — —力矩的角积累（空间 积累）效应。
4-3-2刚体定轴转动的动能 刚体定轴转动的动能
1 1 2 ∆mi： ∆Eki = ∆mi vi = ∆mi ri2ω 2 2 2 1 1 2 2 总转动动能： Ek = ∑ ∆Eki = ∑ ∆mi ri ω = J ω 2 2 2
n
则，刚体所受和外力矩 ：
M = ∑ Fi sin θ i ri = (∑ mi ri ) β
2 i =1 i =1
n
n
M = Iβ
刚体定 轴转动 定理
定义转动惯量：I = ∑ mi ri
i =1
n
2
4-2-3 转动惯量 转动惯量J
o′
1. M = J α
2.分离质点：
M α= J
m 1
r1
ri
r2
式中， 式中， v
0
= Rω 0
代人数据， 代人数据，解得 h=0.0159 m
o′
4-4-1 刚体定轴转动的角动量定理
ω
r vi
r
刚体定轴转动定理： dω J固定 M = Jα = J dt
即：Mdt＝（Jω） d
微分形式
t1 → t2时间内，
d ω） dL （J M= ＝ dt dt J ω = (∑ mi ri 2 )ω = ∑ mi rriω i v v = ∑ mi rvi = ∑ ri × mi vi i
图4-3线速度和角速度之间的矢量关系
z
v 1.外力F在转动平面内：
r r r M i = ri × Fi
4-2-1力矩 力矩
v Fiτ
v Fin
v Fi
αi
大小：M iz = ri Fi sin α i = ri Fiτ
( Fiτ = Fi sin α i : 力的切向分量）
方向：右手螺旋，图中 向上
σ = m / πR 2
在圆盘上取一半径为r宽度为 的窄圆环 在圆盘上取一半径为 宽度为dr的窄圆环，其中所有质点到转轴的距离都是 宽度为 的窄圆环， r，该环的面积为 ，
dS = 2πrdr
对轴的转动惯量为
2
，
质量为
dm = σ 2πrdr
3
dJ = r dm = σ 2πr dr
因而对通过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量为
刚体中所有质点具有相 同的 角位移、角速度、角加 速度
v 刚体角速度用矢量ω表示
方向与转动方向的关系：右手螺旋法则。
对刚体上任一质点有
v v v v = ω × ri
π v v = v = ω ri sin = riω 2
ω
v
r ri r vi
• ∆m
i
dvi aτ = = riα dt
vi2 an = = riω 2 ri
2
方向垂直于纸面向内， 方向垂直于纸面向内，求(1)定滑轮的角加速度 定滑轮的角加速度 (2)定滑轮角速度变化到 定滑轮角速度变化到