2014华师大版初三二次函数实践与探索问题2 (公开课教案)
华师大版九下《二次函数》教案
华师大版九下《二次函数》教案教学内容分析教学内容选自华师大版九年级下册数学教材，主要涵盖第二十一章“二次函数”。
这一章节是数学教学中的重要部分，涉及二次函数的定义、图像特征、性质以及应用。
这些内容不仅是初中数学学习的重点，也是高中数学的基础。
教学目标设定1. 理解与掌握：使学生能够理解和掌握二次函数的基本概念和一般形式，了解其图像特征和性质。
2. 应用与实践：培养学生运用二次函数解决实际问题的能力，强化学生将理论知识应用于实践的意识。
3. 思维与能力：通过教学活动，培养学生的逻辑思维能力、团队协作能力和自主学习能力。
4. 情感与态度：在教学过程中，注重激发学生对数学学科的兴趣，培养他们积极探究、勇于挑战的学习态度。
教学难点与重点解析二次函数的图像特征：理解开口方向、对称轴、顶点坐标等是学生需要掌握的关键内容。
这些特征不仅决定了函数的视觉表现，也与其性质紧密相关。
二次函数的性质：增减性、极值等性质是解决复杂问题的基础。
学生需要能够运用这些性质来分析函数行为，并为解决实际问题提供理论支持。
图像与不等式（组）的关系：这一部分内容要求学生能够将函数图像与不等式（组）的解集联系起来，这对于培养学生的直观思维和问题解决能力至关重要。
教学过程设计情景引入：通过具体实例引入二次函数的概念，如物理中的抛物线运动，让学生能够直观感受二次函数的实际意义。
概念讲解：结合实例讲解二次函数的定义和一般形式，强调关键词汇，并通过数学公式进行说明。
图像特征讲解：利用多媒体工具展示二次函数图像，详细讲解开口方向、对称轴和顶点坐标等图像特征。
性质讲解与应用：通过示例讲解二次函数的增减性、极值等性质，并引导学生如何应用这些性质解决实际问题。
对话与讨论：在适当环节加入对话元素，让学生通过讨论来加深对知识点的理解。
作业与练习：布置针对性作业和练习，让学生能够巩固所学知识，并能够将理论应用于实际问题。
教学反思与调整在未来的教学中，应更多地关注学生的个体差异，确保教学内容和方法能够适应不同学生的学习需求。
华师大版九下《二次函数》精品教案
华师大版九下《二次函数》精品教案一、教学内容本节课选自华师大版九年级下册《二次函数》章节，详细内容包括：二次函数的定义、图像及性质，二次函数的顶点式和一般式，二次函数的图像变换，以及二次函数在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握二次函数的图像及性质。
2. 学会使用顶点式和一般式表示二次函数，并能进行图像变换。
3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力。
三、教学难点与重点重点：二次函数的定义、图像及性质，二次函数的顶点式和一般式。
难点：二次函数图像的变换，以及在实际问题中的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、三角板。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一个抛物线的运动轨迹，让学生观察并思考，激发兴趣。
2. 知识讲解：a. 引入二次函数的定义，解释二次项、一次项和常数项。
b. 介绍二次函数的图像及性质，通过示例让学生理解并掌握。
c. 讲解二次函数的顶点式和一般式，并进行图像变换的推导。
3. 例题讲解：讲解典型例题，分析解题思路，强调注意事项。
4. 随堂练习：布置一些典型练习题，让学生巩固所学知识。
5. 小组讨论：针对实际问题，让学生分组讨论，提出解决方案。
六、板书设计1. 二次函数的定义、图像及性质。
2. 二次函数的顶点式和一般式。
3. 图像变换的推导过程。
4. 典型例题及解题思路。
七、作业设计1. 作业题目：a. 求下列二次函数的顶点坐标和对称轴：y = x^2 4x + 3。
b. 将二次函数y = (x 1)^2 + 2向左平移3个单位，求新函数的表达式。
c. 某抛物线的顶点坐标为(2, 3)，且过点(0, 6)，求抛物线的解析式。
2. 答案：a. 顶点坐标：(2, 1)，对称轴：x = 2。
b. 新函数的表达式：y = (x 4)^2 + 2。
c. 抛物线的解析式：y = (x 2)^2 3。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入、例题讲解和随堂练习，使学生掌握了二次函数的定义、图像及性质。
华师大版-数学-九年级上册-23.3 实践与探索(2) 教案
华师大版九年级（上）第二十三章《一元二次方程》第三节23.3 实践与探索-2 教案【三维教学目标】知识与技能：通过复习二元一次方程组等建立数学模型，并利用它解决实际问题，引入用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题。
过程与方法：①引导（教师指出学习目标）②学生自学③分组交流、探究④展示（探究结果）⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）情感态度与价值观：建立数学模型，并通过一元二次方程的知识解决实际问题。
教学重点：用“倍数关系”建立数学模型。
教学难点：用“倍数关系”建立数学模型。
【课堂导入】学生活动：列方程解应用题下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：股票每天交易结果时某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，•星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？老师点评：一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．解：设这人持有的甲、乙股票各x、y张．则0.5(0.2)2000.40.61300x yx y+-=⎧⎨+=⎩解得1000(1500(xy=⎧⎨=⎩股)股)答：此人持有的甲、乙股票分别为1000股，1500股。
【教学过程】A自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。
B交流：例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、•二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．分析：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．解：设平均增长率为x则200+200（1+x）+200（1+x）2=950整理，得：x2+3x-1.75=0解得：x=50%答：所求的增长率为50%．C 探 究：例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x ，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x ·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x ·80%，其它依此类推．解： 设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x ·80%+（1000+2000x ·8%）x ·80%=1320整理，得：1280x 2+800x+1600x=320，即8x 2+15x-2=0解得：x 1=-2（不符，舍去），x 2=18=0.125=12.5% 答：所求的年利率是12．5%．【课堂作业】1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、•三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x ，依题意列出的方程是（ ）A ．100（1+x ）2=250B ．100（1+x ）+100（1+x ）2=250C ．100（1-x ）2=250D ．100（1+x ）2 2．一台电视机成本价为a 元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，•所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为 （ ）A ．（1+25%）（1+70%）a 元B ．70%（1+25%）a 元C ．（1+25%）（1-70%）a 元D ．（1+25%+70%）a 元3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，•售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为 （ ）A ．100p p +B ．pC ．1001000p p -D ．100100p p+ 4．为了响应国家“退耕还林”，改变我省水土流失的严重现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，计划到2002年一年退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的平均增长率。
九年级数学下册 第27章二次函数27.3 实践与探索第2课时习题课件 华东师大版
(2)根据1的分析,作出二次函数y=x2+2x-3的图象.
(3)根据图象找出二次函数与x轴的交点的坐标分别为: A_(_-3__,0_)__;B_(_1_,0__) _. (4)根据以上分析可知一元二次方程x2+2x-3=0的解为: x1=-_3__;x2=1__.
【总结提升】利用函数图象求ax2+bx+c=0(a≠0)的近似解的两
图象与x轴只有一个
交点
(
b
, 0)
2a
图象与x轴没有交点
方法 技巧
转 化 法
知识点 2 利用函数图象求一元二次方程(组)的解 【例2】利用函数图象,求方程x2+2x-3=0的解. 【解题探究】(1)如何利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定一元 二次方程ax2+bx+c=0的解? 提示:画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,找到二次函数图象与x 轴的交点的横坐标,所得的横坐标的值就是一元二次方程 ax2+bx+c=0的解.
知识点 1 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 【例1】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象 解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根. (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集. (3)写出y随x的增大而减小的自变 量x的取值范围. (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
【总结提升】
关键要点
二次 函数 与一 元二 次方 程的 关系
b2-4ac
一元二次方程 二次函数 ax2+bx+c=0 y=ax2+bx+c
华师大版九下《二次函数》教案
华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级下册数学教材中第五章《二次函数》的第一小节“二次函数的图像与性质”。
具体内容包括：二次函数的定义、图像、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值等概念，以及二次函数图像与性质之间的关系。
二、教学目标1. 让学生掌握二次函数的定义，能够识别并写出一般形式的二次函数表达式。
2. 使学生理解二次函数图像的几何特征，如开口方向、顶点坐标、对称轴和最值等。
3. 培养学生运用二次函数图像与性质解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点难点：二次函数图像的绘制及性质的理解。
重点：二次函数的定义、图像与性质的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：练习本、铅笔、橡皮、直尺、圆规等。
五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线现象（如投篮、拱桥等），引出二次函数的概念。
2. 新课导入：（1）二次函数的定义：让学生回顾一次函数的定义，然后引导他们发现二次函数的定义。
（2）二次函数图像的绘制：讲解二次函数的一般形式，通过实例演示如何绘制二次函数的图像。
3. 例题讲解：（1）求二次函数的顶点坐标、对称轴、最值等。
（2）已知二次函数的部分信息，求解析式。
4. 随堂练习：让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数图像的绘制方法3. 二次函数的性质开口方向顶点坐标对称轴最值七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列二次函数的顶点坐标、对称轴、最值： y = 2x^2 4x + 3y = x^2 + 6x 5（2）已知二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（1，3），且过点（0，2），求该二次函数的解析式。
2. 答案：（1）y = 2x^2 4x + 3顶点坐标：（1，1）对称轴：x = 1最小值：1y = x^2 + 6x 5顶点坐标：（3，4）对称轴：x = 3最大值：4（2）y = x^2 2x 1八、课后反思及拓展延伸重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定。
九年级数学下册 26.3 二次函数的实践与探索(2)学案(新版)华东师大版
二次函数的实践与探索
教学内容：求二次函数的实践与探索〔2〕
学习目标：
1.学会在实际问题中建立恰当的平面直角坐标系;
2.能利用对抛物线的位置的描述条件求抛物线对应的函数关系式.
典型学习任务:
例1.一个涵洞的截面边缘是抛物线,如图,现测得当水面宽＝1.6时，涵洞顶点与水面的距离为2.4，这时，离开水面1.5处，涵洞宽是多少？是否会超过1？
一级学习任务：
1.如图，是抛物线形拱桥，拱顶离水面2米时，水面宽4米，假设水面下降1米，那么水面宽度增加多少米？
二级学习任务：
例2.明明在矩形纸片上为“数学爱好者协会〞设计的徽标如下图，其中＝5，＝6，曲线局部是抛物线的一局部，点在边上，抛物线的对称轴平行于，＝4，顶点到的距离为4，四边形
是正方形，点在抛物线上，，两点分别在、边上.
〔1〕建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
〔2〕求正方形的边长.
【课后作业】
课后任务A：
1.一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米，高6米，如图，车辆双向通行，规定必须在中心线两侧、距
离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于米的空隙，你能否根据这些要求，建立适当的平面直角坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？
课后任务B：
2.如图，有一个横截面为抛物线形的水泥门洞，门洞内的地面宽度为8m，两侧距离地面4m高处个有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，求这个门洞的高度.〔精确到0.1m〕。
华师大版九下《二次函数》教案
华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级下册《二次函数》章节的内容。
具体包括：二次函数的定义、图像及性质；二次函数的顶点式和标准式；二次函数图像的平移；二次函数的实际应用。
二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义，能熟练地用顶点式和标准式表示二次函数。
2. 能够通过分析二次函数的性质，解决实际问题。
3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像的平移，二次函数性质的运用。
教学重点：二次函数的定义，顶点式和标准式的转换，图像的绘制。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备，黑板，粉笔。
学具：直尺，圆规，计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一些生活中的抛物线现象，如抛物线运动，拱桥等，引导学生观察并思考抛物线与二次函数的关系。
2. 教学内容讲解（1）二次函数的定义：回顾一元二次方程，引导学生发现二次函数与一元二次方程的联系，给出二次函数的定义。
（3）二次函数的顶点式和标准式：讲解两种形式的二次函数，并进行转换。
（4）二次函数图像的平移：通过实际操作，让学生感受图像的平移。
3. 例题讲解选择一些具有代表性的例题，讲解解题思路，步骤，并强调注意事项。
4. 随堂练习让学生独立完成一些练习题，巩固所学知识。
5. 小结六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的图像及性质3. 顶点式和标准式的转换4. 图像的平移5. 例题解析七、作业设计1. 作业题目：（1）已知二次函数的图像，求函数的解析式。
（2）已知二次函数的顶点，求函数的解析式。
（3）已知二次函数的图像，判断其开口方向和顶点坐标。
2. 答案：（1）y = x^2 + 2x + 3（2）y = (x 1)^2 + 2（3）开口向上，顶点坐标为（1，2）八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义和性质掌握情况，以及图像的绘制和转换能力。
2. 拓展延伸：探讨二次函数与一元二次方程的关系，以及二次函数在实际问题中的应用。
华师大版九下《二次函数》教案
华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级下册《二次函数》的第一章节。
具体内容包括：二次函数的定义、图像与性质，以及二次函数的顶点式和一般式的互化。
我们还将探讨二次函数在生活中的实际应用。
二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握其图像与性质。
2. 学会二次函数顶点式与一般式的互化方法，并能熟练运用。
3. 能够将二次函数应用于解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像与性质的理解，顶点式与一般式的互化。
教学重点：二次函数的定义，图像与性质，以及实际应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮。
五、教学过程1. 引入：通过展示生活中常见的抛物线现象，如抛物线运动、拱桥等，引导学生思考抛物线与二次函数之间的关系。
2. 新课导入：讲解二次函数的定义，引导学生回顾一元二次方程，为新课打下基础。
a. 二次函数的定义b. 二次函数的图像与性质c. 二次函数顶点式与一般式的互化3. 例题讲解：讲解典型例题，展示解题思路和方法。
4. 随堂练习：布置与例题类似的练习题，让学生巩固所学知识。
六、板书设计1. 二次函数定义2. 图像与性质a. 开口方向b. 顶点坐标c. 对称轴3. 顶点式与一般式的互化4. 例题及解题思路七、作业设计1. 作业题目：a. 求下列二次函数的顶点坐标和对称轴：y = x^2 2x + 1b. 将下列二次函数化为一般式：y = (x 1)^2 + 2c. 某公园的拱桥形状为二次函数图像，已知顶点坐标为（2, 3），开口向上，求该二次函数的解析式。
2. 答案：a. 顶点坐标：(1, 0)，对称轴：x = 1b. 一般式：y = x^2 2x + 3c. 二次函数解析式：y = a(x 2)^2 + 3，由于开口向上，a > 0。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像与性质掌握情况较好，但在顶点式与一般式的互化方面存在一定困难，需要在课后加强练习。
九年级华师大《二次函数》全章教案
教学目标 1．使学生会用描点法画二次函数y=ax 2的图象． 2．使学生进一步理解二次函数和抛物线的有关知识． 3．进行由特殊到一般的辩证唯物主义认识论的教育．重点和难点重点：会用描点法画二次函数y=ax 2的图象，掌握它的性质．难点：渗透数形结合思想． 教具准备 投影片师 生 活 动 过 程备注一 、情境导入我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？ 二、新课例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 ：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． 列表：C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 补充例题1．已知点M(k ，2)在抛物线y=x 2上， (1)求k 的值．(2)点N(k ，4)在抛物线y=x 2上吗？ (3)点H(-k ，2)在抛物线y=x 2上吗？ 2．已知点A(3，a)在抛物线y=x 2上， (1)求a 的值．(2)点B(3，-a)在抛物线y=x 2上吗？ 三、小结1．抛物线y=ax 2(a ≠0)的对称轴是y 轴，顶点是原点． 2．a ＞0时，抛物线y=ax 2的开口向上．重点和难点重点：通过画图得出二次函数性质 难点：识图能力的培养教具准备 投影片师 生 活 动 过 程备注一、情境导入同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． 二、实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ．回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =… 18 8 2 0 2 8 18 …222+=x y … 20 10 4 2 4 10 20 …重点和难点重点：通过画图得出二次函数性质难点：识图能力的培养教具准备 投影片师 生 活 动 过 程备注一、情境导入 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 二、 实践与探索例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 解 列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．x… -3 -2 -1 0 123…221x y =…29 2 21 0 21 2 29… 2)2(21+=x y …21 021 2 225 8 225… 2)2(21-=x y …225 8 29221 0 21 …重点和难点重 点：函数形如y=a(x －h)2＋k 图象的性质。
华师大版九年级数学下册教案：26.3 实践与探索
26．3 实践与探索 第1课时 二次函数的应用教学目标一、基本目标会运用二次函数的图象与性质解决生活中的实际问题，培养分析和解决问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】利用二次函数解决实际问题的步骤． 【教学难点】读懂题意，找出相关量的数量关系，正确构建数学模型．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P26～P27的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．一般地，对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a ＞0，当x ＝－b2a 时，函数值y 有最小值，其值为4ac －b 24a ；若a ＜0，当x ＝－b 2a 时，函数值y 有最大值，其值为4ac －b 24a.2．建立二次函数模型，解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意建立适当的平面直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出所求函数的解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析判断并进行相关的计算． 3．常见的二次函数模型：直观图象式：直接由物体运动的轨迹，如喷出的水流、涵洞等建立数学模型解决问题． 情景应用式：根据实际问题创设情景，由所提供的条件建立数学模型解决问题． 几何综合式：与几何知识结合并运用其性质建立数学模型解决问题． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端A 处安装一个喷头向外喷水．柱子在水面以上部分的高度为1.25 m ，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路径落下，如图1所示．根据设计图纸已知：在图2所示的平面直角坐标系中，水流喷出的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54.(1)喷出的水流距水面的最大高度是多少？(2)如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？【互动探索】(引发学生思考)在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点(最大高度)、与x 轴、y 轴的交点，解答题目的问题．【解答】(1)∵y ＝－x 2＋2x ＋54＝－(x －1)2＋2.25，∴顶点是(1,2.25)，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米． (2)解方程－x 2＋2x ＋54＝0，得x 1＝－12，x 2＝52，∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫52，0， ∴OB ＝52.故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外． 【互动总结】(学生总结，老师点评)这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，利用抛物线的性质即可解决问题．【例2】一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图．现测得当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m?【互动探索】(引发学生思考)根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为y ＝ax 2.根据AB ＝1.6，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4 m ，那么B 点坐标应该是(0.8，－2.4)，利用待定系数法即可求出函数的解析式，继而求出点D 的坐标及ED 的长．【解答】设抛物线的函数解析式为y ＝ax 2(a ＜0)．由题意，得点B 在抛物线上，且B (0.8，－2.4)， 将B (0.8，－2.4)代入y ＝ax 2(a ＜0)， 解得a ＝－154，∴所求函数解析式为y ＝－154x 2.设点D 的坐标为(x ，－0.9)(x >0)， 则有－0.9＝－154x 2，解得x ＝65，故DE 宽度为265＜1，∴涵洞宽ED 不超过1 m.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？解：球出边线了．【教师点拨】抛物线的解析式为y ＝－245(x －9)2＋5.5.代入C 点的纵坐标0，得x ≈20.12＞18，所以球出边线了．2．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m 加设不锈钢管(如图1)做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图2所示的坐标系进行计算．(1)求该抛物线的函数关系式； (2)计算所需不锈钢管立柱的总长度．图1图2解：(1)y ＝－12x 2＋12. (2)80米．3．如图，一位运动员在距篮下4 m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8 m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？解：(1)抛物线的表达式为y ＝－0.2x 2＋3.5.(2)0.2 m. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】某跳水运动员在进行10 m 跳台跳水训练时，身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1023 m ，入水处距池边的距离为4 m ，同时运动员在距水面高度5 m 或5 m 以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(1)求这条抛物线的函数关系式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335m ，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．【互动探索】(1)利用待定系数法求出二次函数的解析式．(2)要判断会不会失误，只要看运动员是否在距水面高度5 m 以前完成规定动作，于是只要求运动员在距池边水平距离为335m 时的纵坐标即可．【解答】(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A ，入水点为B ，抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c .由题意知，O 、B 两点的坐标依次为(0,0)、(2，－10)，且顶点A 的纵坐标为23，∴⎩⎨⎧c ＝0，4ac －b24a ＝23，4a ＋2b ＋c ＝－10.解得⎩⎨⎧ a ＝－256，b ＝103，c ＝0.或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－2，c ＝0.∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴－b2a ＞0，∴a ＝－256，b ＝103，c ＝0.∴抛物线的解析式为y ＝－256x 2＋103x .(2)此次试跳会出现失误．理由如下： 由题意知，横坐标为3.6－2＝1.6，即当x ＝1.6时，y ＝⎝⎛⎭⎫－256×⎝⎛⎭⎫852＋103×85＝－163， 此时运动员距水面的高为10－163＝143＜5.因此，此次试跳会出现失误．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题时，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的关系教学目标一、基本目标1．经历探索二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系的过程，体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系．2．理解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝h 的根就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与直线y ＝h (h 是实数)交点的横坐标．二、重难点目标 【教学重点】二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．【教学难点】用图象法解一元二次不等式．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P28的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点.与此相对应，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．3．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？(1)方程x2＋x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝1；(2)方程x2－6x＋9＝0的根是x1＝x2＝3；(3)方程x2－x＋1＝0的根的情况是无实根.4．若二次函数的解析式为y＝2x2－4x＋3，则其函数图象与x轴交点的情况是没有交点.5．给出三个二次函数：①y＝x2－3x＋2；②y＝x2－x＋1；③y＝x2－2x＋1.它们的图象分别为(1)观察图象与x轴的交点个数，分别是2个、0个、1个．(2)你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程的根的情况有关．(3)能否利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象寻找方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解？能．环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】画出函数y＝x2－x－34的图象，根据图象回答下列问题．(1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？(2)当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程x 2－x －34＝0有什么关系？(3)x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时，函数值y 小于0?【互动探索】(引发学生思考)数形结合法：画出函数图象→根据所画图象解决问题． 【解答】函数图象如图所示：(1)图象与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，0、⎝⎛⎭⎫32，0，与y 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－34. (2)当x ＝－12或x ＝32时，y ＝0，x 的取值与方程x 2－x －34＝0的解相同．(3)当x ＜－12或x ＞32时，y ＞0；当－12＜x ＜32时，y ＜0.【互动总结】(学生总结，老师点评)解决此类问题常用数形结合的思想方法：(1)二次函数图象与x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．(2)利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x 轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，请你根据图象求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是x 1＝－3，x 2＝1.2．若二次函数y ＝x 2－2x ＋c 的图象与x 轴没有交点，求c 的取值范围．解：∵二次函数y ＝x 2－2x ＋c 的图象与x 轴没有交点，∴x 2－2x ＋c ＝0的判别式Δ＜0，即b 2－4ac ＝4－4c ＜0，解得c ＞1.3．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的最低点的坐标为(1，－1)，求关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的根．解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的最低点的坐标为(1，－1)，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的顶点是(1，－1)，∴当y ＝－1，即ax 2＋bx ＋c ＝－1时，x 1＝x 2＝1，∴关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝－1的根为x 1＝x 2＝1.4．已知二次函数y ＝2x 2－4x －6.(1)此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图； (2)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)通过观察图象，在x ＞0及当y ≥－6时，试求x 的取值范围．解：(1)∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8，∴图象开口向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为(1，－8)．画出的函数图象如下图所示：(2)∵对称轴x ＝1，图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．(3)由图知，点(0，－6)关于x ＝1的对称点为(2，－6)，∴在x ＞0及当y ≥－6时，x 的取值范围为x ≥2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知二次函数y ＝x 2－(a －1)x ＋a －2，其中a 是常数． (1)求证：不论a 为何值，该二次函数的图象与x 轴一定有公共点；(2)当a ＝4时，该二次函数的图象顶点为A ，与x 轴交于B 、D 两点，与y 轴交于点C ，求四边形ABCD 的面积．【互动探索】(1)要证明二次函数的图象与x 轴一定有公共点，可以转化为一元二次方程根的判断方法．(2)由a ＝4→确定A 、B 、C 、D 的坐标→求四边形ABCD 的面积．【解答】(1)证明：令y ＝x 2－(a －1)x ＋a －2＝0. ∵Δ＝[－(a －1)]2－4(a －2)＝(a －3)2≥0， ∴方程x 2－(a －1)x ＋a －2＝0有实数根，∴不论a 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点． (2)由题可知，当a ＝4时，y ＝x 2－3x ＋2. 配方，得y ＝x 2－3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫x －322－14， ∴A ⎝⎛⎭⎫32，－14. 当y ＝0时，x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2. ∴B (1,0)、D (2,0)． 当x ＝0时，y ＝2， ∴C (0,2)，∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BDC ＝18＋1＝98.【互动总结】(学生总结，老师点评)要判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，只需要将二次函数转化为一元二次方程，然后判断方程的根的情况即可．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．二次函数与一元二次方程有下列对应关系：0,0根．练习设计请完成本课时对应训练！第3课时利用二次函数的图象求一元二次方程的根教学目标一、基本目标1．掌握方程与函数间的转化．2．掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．二、重难点目标【教学重点】能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．【教学难点】用图象法求解一元二次方程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P29的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根，这样求出的根是准确值吗？由于作图或观察可能存在误差，由二次函数的图象求得一元二次方程的根，一般是近似值．2．根据二次函数的图象求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的近似解的方法：(1)直接作出函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根；(2)先将方程ax2＋bx＋c＝0变形为ax2＋bx＝－c，再分别作抛物线y1＝ax2＋bx和直线y2＝－c ，则两图象交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根；(3)先将方程ax 2＋bx ＋c ＝0变形为ax 2＝－bx －c ，再分别作出抛物线y 1＝ax 2和直线y 2＝－bx －c ，则两图象交点的横坐标就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．3．在难以读出交点的坐标时，我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的近似根．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】利用函数的图象，求下列方程的解： (1)x 2＋2x －3＝0； (2)2x 2－5x ＋2＝0.【互动探索】(引发学生思考)将一元二次方程转化为两个函数→利用图象法求交点坐标即可．【解答】(1)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝－2x ＋3的图象， 得到它们的交点(－3,9)、(1,1)，如图1， 则方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.(2)先把方程2x 2－5x ＋2＝0化为x 2－52x ＋1＝0，然后在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝52x －1的图象，如图2，得到它们的交点⎝⎛⎭⎫12，14、(2,4)，则方程2x 2－5x ＋2＝0的解为x 1＝12，x 2＝2.【互动总结】(学生总结，老师点评)一般地，求一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的近似解时，可先将方程ax 2＋bx ＋c ＝0化为x 2＋b a x ＋c a ＝0，然后分别画出函数y ＝x 2和y ＝－ba x－ca的图象，得出两函数图象的交点，交点的横坐标即为方程的解． 【例2】利用函数的图象，求下列方程组的解： (1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋32，y ＝x 2；(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋6，y ＝x 2＋2x . 【互动探索】(引发学生思考)(1)可以通过直接画出函数y ＝－12x ＋32和y ＝x 2的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；(2)也可以同样解决．【解答】(1)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2和y ＝－12x ＋32的图象，如图1，得到它们的交点⎝⎛⎭⎫－32，94、(1,1)， 则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋32，y ＝x 2的解为⎩⎨⎧x 1＝－32，y 1＝94，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. (2)在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2＋2x 和y ＝3x ＋6的图象，如图2，得到它们的交点(－2,0)、(3,15)，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋6，y ＝x 2＋2x 的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝15.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意分别画出两函数的图象，由函数图象的交点即可得出方程组的解，考查的是用数形结合的方法求方程组的解，解答此题的关键是正确画出函数的图象，找出两图象的交点坐标．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：A ．1.2＜x ＜1.3B ．1.3＜x ＜1.4C ．1.4＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜1.62．如图，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 2＝kx ＋b (k ≠0)的图象交于A (－2,4)、B (8,2)，求能使y 1<y 2成立的x 的取值范围．解：－2＜x ＜8.3．用函数的图象求下列方程的解： (1)x 2－3x ＋2＝0； (2)－x 2－6x －9＝0.解：(1)画图略，方程的解是x 1＝1，x 2＝2. (2)画图略，方程的解是x 1＝x 2＝－3. 4．利用函数的图象求下列方程组的解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋32，y ＝x 2(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －1，y ＝x 2－x . 解：(1)画图略，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝1.⎩⎨⎧x 2＝32，y 2＝94.(2)画图略，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2＝－1，y 1＝y 2＝2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2－2x －1＝0的近似根．(精确到0.1) 【互动探索】利用图象求一元二次方程的近似根．【解答】一元二次方程x 2－2x －1＝0的根是函数y ＝x 2－2x －1与x 轴交点的横坐标． 作出二次函数y ＝x 2－2x －1的图象，如图所示：由图象可知，方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间． 先求－1和0之间的根：当x ＝－0.4时，y ＝－0.04；当x ＝－0.5时，y ＝0.25. 因此，x ＝－0.4是方程的一个近似根． 同理，x ＝2.4是方程的另一个近似根． 综上，x 1≈－0.4，x 2≈2.4.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：(1)画出二次函数的图象；(2)确定抛物线与x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间；(3)列表或直接取值代入方程计算，哪一个值能使方程近似成立，则这个值就是方程的近似根．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤： (1)画出二次函数的图象；(2)确定抛物线与x 轴的交点的横坐标在哪两个数之间； (3)列表，在(2)中的两数之间取值，进行估计．2．在列表求近似根时，近似根就出现在对应y 值正负交换的位置，也就是对x 取一系列值，看y对应于哪两个值由负变成正，或由正变成负，此时x的两个对应值之间必有一个近似根．练习设计请完成本课时对应训练！。
华东师大版九年级上二次函数模型的实践与探索教案
课题：典型二次函数模型的实践与探索教材：华东师大版九年级上授课教师：广州市第97中学数学科吴晶晶1.教学目标1）知识目标：①掌握如何将实际问题抽象出二次函数模型；②能运用函数关系中的对应法则并解释自变量取值范围的实际意义；③学会根据题意，合理建系，并准确标识题意；④能运用并合理解释二次函数模型。
2）能力目标：①数学思考能力：联系实际，感知数学与现实世界的密切联系，让学生经历数学建模过程，渗透数学建模思想，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。
②解决问题的能力：结合具体情境，发现并提出问题，并寻找解决问题的方法。
能与他人合作交流，并通过反思来体验解决问题策略的多样性，以此来获得解决问题的经验。
3）情感目标：了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，同时借助题目中丰富的背景知识来充实自己的精神世界，形成良好的个性品质。
2.教学重点——建立并合理解释数学模型3.教学难点——实际问题数学化过程4.教学过程1）教学思路实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。
——体现构建二次函数数学模型解决实际问题的思想——通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。
——合理解释相应的数学模型2）教学环节分析环节一：抛砖引玉，点明主旨环节二：自主探索，实践新知环节三：拓展转化，加深理解环节四：合作探索，学以致用环节五：反思小结，形成新知环节六：布置作业，巩固新知教学环节教师活动学生活动设计意图二、自主探索，实践新知问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。
连喷头在内，柱高为0.8m。
水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？2) 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？从简入手，忽略建系以及求解析式的过程，通过变式让学生着重体会函数关系中对应法则和自变量取值范围的实际意义。
华师大版九年级数学下册第26章26.3 实践与探索(二) 教案
华师大版九年级数学下册第 26 章
解：（1）∵点 A（﹣1，0）在抛物线 y= x2+bx﹣2 上，
∴b=﹣
， [来^源@:&%中~教网]
∴抛物线解析式 y= x2﹣ x﹣2，
∵抛物线 y= x2﹣ x﹣2= （x﹣ ）2﹣ ，
∴顶点 D 的坐标（ ，﹣
）； [来#源:~&中教网@%]
（2）当 x=0 时，y=﹣2，∴C（0，﹣2）
∴OC=2，
当 y=0 时，0= x2﹣ x﹣2， 解得：x=4 或﹣1， ∴B（4，0）， ∴OB=4， 由抛物线的性质可知：点 A 和 B 是对称点， ∴AM=BM， ∴AM+CM=BM+CM≥BC=2 ． ∴CM+AM 的最小值是 2 ． （四）练习：课本 P28 练习第 1、2 题。 三、小结
华师大版九年级数学下册第 26 章
实践与探索（二）
教学目标：
1、掌握求二次函数与坐标轴交点坐标的方法； 2、理解二次函数与一元二次方程和不等式之间的关系；
教学重难点：
重点：掌握求二次函数与坐标轴交点坐标的方法； [来源:zz%ste*&p.co#m~]
难点：理解二次函数与一元二次方程和不等式之间的关系；
解：（1）令 y=0，则
4，
解得：
x1
3 2
,
x2
1 2
所以，图象与 x 轴的交点坐标为（1.5，0），（-0.5，0）.
x2 x 3 0
（2）当 x 取 1.5 或-0.5 时，y＝0；这里 x 的取值就是方程
4 的根。
（3）抛物线与 x 轴交点横坐标实际上就是方程 ax2 bx c 0 的根。
（二）学习试一试 [来源:中%@国教育~出&版网#]
26.3 实践与探索 第四课时 二次函数与方程、不等式之间的关系(二)-华师大版九年级数学下册教案
图1 图2 课 题：26.3实践与探索第四课时 二次函数与方程、不等式之间的关系（二）＆.教学目标：1、复习巩固二次函数c bx ax y ++=2的图象求02=++c bx ax 的解。
2、让学生体验二次函数2x y =和c bx y +=的交点横坐标是方程c bx x +=2的解的过程，掌握用函数2x y =和c bx y +=图象交点的方法求方程c bx x +=2的解。
3、提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
＆.教学重点、难点：重点：用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力。
难点：一元二次方程及二元二次方程组的图象解法。
＆.教学过程：一、知识回顾1、如何运用函数c bx ax y ++=2的图象求方程02=++c bx ax 的解？（精确到1.0）2、解答下列各题：（1）画出函数12-+=x x y 的图象，求方程012=-+x x 的解。
（2）画出函数2322--=x x y 的图象，求方程02322=--x x 的解。
教学方法：学生先独立思考，教师根据学生情况加以讲评。
答案：（1）7.11-=x ，7.02=x ；（2）211-=x ，22=x . 二、探究新知 问题：育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程3212+=x x 的解时，几乎所有学生都是将方程化为03212=--x x ，画出函数3212--=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数2x y =和的图象321+=x y ，如图1，认为它们交点A 、B 的横坐标23-和2就是原方程的解。
思考： 1、这两种解法的结果一样吗？2、小刘解法的理由是什么？解析：这两种近似解法都是可行的，但是小刘的做法比其他同学的做法要简便，因为画抛物线比画直线困难，小刘只要事先画好一条抛物线2x y =，再根据待解的方程画出相应的直线即可。
做一做：利用图2，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。
华师大版-数学-九年级上册-22.3 实践与探索2 教案 (2)
22.3实践与探索2教学目标：1.使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型.2.让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程.3.通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.教学重点：列一元二次方程解决实际问题.教学难点：寻找实际问题中的相等关系.教学方法：三疑三探教学过程：一、设疑自探（考考你）小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子.（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？质疑再探：同学们还有什么问题或疑问？1.长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？【答案】长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系2.长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？【答案】长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍3.你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长.【答案】设剪去的正方形边长为xcm ，依题意得：，因为正方形硬纸板的边长为10cm ，所以剪去的正方形边长为1cm.4.请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积.【答案】长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为81181=⨯cm35.完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？6.在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致.二、解疑合探：某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？ 尝试探索，合作交流，解决问题1.翻一番，你是如何理解的？【答案】翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是22.“平均年增长率”你是如何理解的.【答案】“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值.即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的3.独立思考后，小组交流，讨论.4.展示成果，相互补充.【答案】设平均年增长率应为，依题意，得，因为增长率不能为负数 所以增长率应为.三、质疑再探：同学们还有什么问题或疑问？2(10)81x -=109x -=±11x =29x =x 2(1)2x +=1x +=11x =21x =10.414x =2 3.414x =-41.4%四、拓展运用若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？独立思考完成后，与同伴交流，教师分析示范与学生交流.五、巩固练习：某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元.平均每次降价百分之几？【答案】设平均降价百分率为x，则有：96（1-x）2=54课堂小结：谈谈你对本节所探讨的知识有何体会，你能否结合你的体会编制一道应用题，在小组内交流.请一些小组展示成果.作业：教学反思：。
华东师大版初中数学九年级下册《典型二次函数模型实践与探索》教案设计附课堂练习
课题：华东师大版九年级上典型二次函数模型的实践与研究教材：华东师大版九年级上1.教课目的1〕知识目标：①掌握怎样将实质问题抽象出二次函数模型；②能运用函数关系中的对应法那么并解说自变量取值范围的实质意义；③学会依据题意，合理建系，并正确表记题意；④能运用并合理解说二次函数模型。
2〕能力目标：①数学思虑能力：联系实质，感知数学与现实世界的亲密联系，让学生经历数学建模过程，浸透数学建模思想，领会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。
b5E2RGbCAP②解决问题的能力：联合详细情境，发现并提出问题，并找寻解决问题的方法。
能与他人合作交流，并经过反省来体验解决问题策略的多样性，以此来获取解决问题的经验。
p1EanqFDP w3〕感情目标：认识数学理论的适用价值，提升学生对数学的好奇心和求知欲；加强学数学的自信心，同时借助题目中丰富的背景知识来充分自己的精神世界，形成优秀的个性质量。
DXDiTa9E3d教课要点——成立并合理解说数学模型教课难点——实质问题数学化过程4.教课过程1〕教课思路实质问题的提出，说明引入二次函数模型的必需性。
——表达建立二次函数数学模型解决实质问题的思想——经过丰富的问题情形，形成用二次函数解决实质问题的一般性策略和方法。
——合理解说相应的数学模型2〕教课环节剖析环节一：抛砖引玉，点明要旨环节二：自主研究，实践新知环节三：拓辗转变，加深理解环节四：合作研究，学致使用环节五：反省小结，形成新知环节六：部署作业，牢固新知教课环节教师活动学生活动设计企图一、抛砖1〕部署学生，用照片1〕课前采集对于“生或图画的形式描述生活中的抛物线〞的活中的抛物线，引玉，图片；2 〕选出较好的几幅作2〕感知在解决实质问品。
创建问题情境，例点明题中引入数学模型的如，求拱门的最大高度必需怎么办？要旨实质问题的提出，说明引入二次函数模型的必需性。
选择从学生自己的作品入手，表达数学来源于生活，也营造了轻松和睦的学习氛围，自然导入下一环节。
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二次函数实践与探索教案
南安市洪新中学
一、教材分析:
（一）教材的地位和作用
本节是九年级下册第27章第3节，利用二次函数的性质解决实际问题，是历年中考的热点,需引起同学们的关注和重视。
通过有关二次函数实际应用问题的探索和研究，让学生体验数学“建模”思想。
并学会合理解释模型，重在培养学生探索精神和创新意识。
（二）、学情分析
学生已经学习过了二次函数的图像及其性质及其待定系数法，已具有用数学知识解决实际问题的经验，另外学生个性活泼,思维活跃,积极性高，已初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。
（三）、教学目标
知识目标——经历和体验用二次函数解决实际问题的过程，进一步体会函数是刻画现实世界的有效数学模型。
能力目标——培养学生的数学应用能力。
情感目标——了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，体现发展性教学评价。
（四）、教学重难点
教学重点——建立并合理解释数学模型
教学难点——实际问题数学化过程
突破点：利用丰富的素材，充分感知，实现数学化过程。
(五)、教法及学法分析
体现“变教为导，以导促学，学思结合，导学互动”的教学理念，关注个体差异，满足不同学生的学习需要。
教学方法——情景探究，师生互动
学习方法——自主探索，合作交流
教学手段——使用多媒体辅助教学
二、设计思路：
1. 实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。
2. 树立用二次函数构建数学模型解决实际问题的思想
3. 通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。
4. 合理解释相应的数学模型。
三、教学过程
（一）复习引入：二次函数的解析式三种表示法：
（二）抛砖引玉，点明主旨：我们处处都能看见抛物线的踪影。
如投篮球、打排球，踢足球、跳水等；在生活中有许多实物也是抛物线型，找同学举例子：跳绳、喷泉、隧道，涵洞，拱桥等等。
通过实际问题的提出，既激发了学生的学习兴趣又说明引入二次函数模型的必要性。
（三）自主探索，实践新知：
例１、一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，当水面宽AB ＝1.6m 时，测得涵洞顶点与水面的距离为2.4m ，
1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式；
2)离开水面1.5m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1m ？
要求：1通过阅读，建立适当的平面直角坐标系，自己尝试解决问题，求出抛物线的函数解析式；
2.先让前后桌讨论，你有几种建立平面直角坐标系的方法？以谁为原点建立平面直角坐标系最简单？
经过讨论，发现以顶点为原点或以AB 的中点为原点建立平面直角坐标系简单
3.采用小组合作学习，让学生充分发表自己的见解，给学生一定的时间和空间自主探索每一个问题，而不是急于告诉学生结论，学生充当小老师，既体现生生互动，又使学生积极主动地参与到学习中。
4...在第一问的基础上，让学生自主探究问题（2），在积极探索的过程中,体验成功的快乐。
对于第（2)个问题是为了解释和应用模型而设,目的是为了更完整的体现数学建模的过程。
（四)导学归纳：
实际问题转化为数学问题 ，通过建立坐标系，求出函数解析式从而利用函数性质来解决实际问题。
（五)举一反三：
一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB ＝2米，涵洞顶点D 与水面的距离为3米，若水面上涨1米，则此时的水面宽MN 为多少
（1）建立适当的直角坐标系(几种建法）
（2）根据你建立的坐标系，求出抛物线的解析式
|（六）学以致用：
一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12米，高6米，如图，车辆双向通行，规定车辆必须在中心线右侧、距道路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与
隧道有不少于 3
1米的空隙。
你能否根据这些要求，建立适当的坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧道车辆的高度限制？
通过此题 ，目的促使学生主动提炼现实生活中的数学问题，建立并合理解释数学模型，培养学生学习数学的兴趣，提高学生的探究能力，体现数学的实用价值。
（六)、布置作业，巩固新知
习题27.3 1、2题
四、教学反思
通过本节课，1.充分地体现“以学生为主体”和实际生活紧密的联系，使学生深刻感受“数学来源于生活，并服务于生活”，体现了数学的使用价值更大的激发了学生学习数学的兴趣。
2. 力争实现发展性评价，使每个学生都在自己的就近发展区有所收获和进步。